Ementa detalhada até agora -...
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Ementa detalhada até agora
23 de Novembro de 2017
1. (31/07: Aula 1): Definição informal de produto cartesiano, função, relação (como função de AxB´ ąV, F ), operação interna a um conjunto. Descrição Axiomaticas de Z: Estrutura de dominito comutativo:soma: associatividade, elemento neutro 0, oposto, comutatividade; produto: associatividade, elementoneutro 1, Lei de Anulação de um produto; comutatividade. Propriedade Distributiva. Consequenciasdos axiomas de grupo aditivo: unicidade do 0, unicidade do oposto, notação do oposto ´a de a; lei decancelação aditiva, ´p´aq “ a;. Consequecias dos axiomas de anel: unicidade do elemento neutro 1,a ¨ 0 “ 0; regra dos sinais, p´1q ¨ a “ ´a.
2. (02/08: Aula 2): A Lei de Anulação do produto é equivalente à Lei de Cancelação para o produto.A comutatividade da soma é um axioma dependente dos outros axioma de anel. Relação de ordemem Z e estrutura de dominio comutativo: a relação ď é reflexiva, simétrica, transitiva; a ordem étotal. Simbolos: ď,ě,ă,ą,ň,ŋ. Não todas as relações de ordem são totais: exemplo (informal)da divisibilidade em N˚). A ordem ď de Z é compativel com a adição e com o produto (obs: umadisegualdade é respeitada quando se soma um inteiro qualquer e quando se multiplica para um número. Lei da trichotomia (a ă b, a ą b, a “ b). Variante equivalente só com a “ 0, a ă 0, a ą 0. A Leida trichotomia é equivalente, se a ordem é compativel com a soma, com a totalidade da ordem. a ě 0
sse ´a ď 0; a2 ě 0; 1 ě 0. a ď b, c ď 0 implica que ac ě bc. Temos que postular como axioma que1 ‰ 0 (se não Z “ 0). Então 1 ą 0. Definição de máximo e mínimo para um subconjunto A de Z (oupara um conjunto parcialmente ordenado). Não todos conjuntos ou subconjuntos admitem máximo oumínimo (exemplos de 0 ă x ă 1 em Q ou R). Se A admite máximo, então A não é vazio. Unicidade domáximo e mínimo quando existem. Definição de conjunto bem ordenado: é um conjunto totalmenteordenado tal que qualquer seu subconjunto não vazio tem mínimo. Princípio da Boa Ordenação: oconjunto de inteiros não negativos é bem ordenado com a ordem ď. O princípio da Boa Ordenação nãoval para Q ou R (que são dominio comutativos ordenados). Resumo das propriedades axiomaticas deZ: Existe um único (veremos mais a frente o que isto quer dizer) domínio comutativo ordenado Z talque o conjunto dos seu elementos não negativos seja bem ordenado. Não confundir o Princípio da BoaOrdenação com o Teorema de Boa Ordenação (que diz que em qualquer conjunto não vazio X podemosdar uma ordem total tal que X seja bem ordenado: o Teorema da Boa Ordenação é extremamentepotente e equivalente ao Axioma da Escolha: este Axioma é posto em forte discussão (e removido) pelaescola de Lógica Intuicionista, porquê leva a demonstrar fatos bem surprendentes, como o paradoxo deBanach-Tarski).Exercicio: dar uma boa ordenação em Z (é claro que esta boa ordenação não vai poderser compativel com as operações).
3. (07/08: Aula 3): Comparação entre máximos e mínimos de um conjunto A e do conjunto dos opostos´A; (minA “ ´maxp´Aq, etc...); deduzimos, da unicidade do mínimo, a unicidade do máximo. Cotassuperiores, inferiores; (sub)conjuntos de Z limitados inferiormente, superiormente.
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Proposition 0.0.1. Todo subconjunto não vazio de Z limitado inferiormente admíte mínimo.
Proposition 0.0.2. Todo subconjunto não vazio de Z limitado superiormente admíte mínimo.
Observação 1. A proposição acima é falsa em Q e em R, mas em R admite um analogo (que na verdadeé um axioma importante), substituendo o conceito de max (ou min) com inf e sup; inf = máximo doconjunto das cotas inferiores; sup = mínimo do conjunto das cotas superiores.
Observação 2. Temos que a proposição acima implica o PBO. A proposição acima, mesmo se parecemais geral do principio de Boa Ordenação, é, na verdade equivalente. De fato conseguimos prova-la apartir do PBO.
Consequencias da boa ordenação.
Proposition 0.0.3. Não ha inteiros estritamente maiores de 0 e estritamente inferiores a 1.
Corolário 1. Não ha inteiros estritamente maiores de n e estritamente inferiores a n` 1.
Corolário 2. Se m ą n, então m ě n` 1. Se m ă n, então m ď n´ 1.
Observação 3. O corolário acima nos faz compreender como os inteiros sejam um conjunto discreto(sentido informal), no sentido que "saltam": coisa que não acontece em Q ou R em outras palavras,por cada n P Z, permite de definir o "sucessor"de n, ou seja, o mínimo inteiro m tal que m ą n:
n` :“ mintm P Z |m ą nu “ n` 1
(necessariamente) O conceito de "sucessor"é fundamental na descrição axiomatica de N “ Zě dadapor Peano, na qual se assume como conceito primitivo.
Proposition 0.0.4 (Propriedade Arquimedeana). Sejam a, b P Z, a ą 0. Então existe n P N˚ tal quena ą b.
Demonstração. Se fosse na ď b por cada n P N, então, dado que a ě 1, teriamos que n ď na ď b, porcada n e N seria superiormente limitado (teria b como cota superior), e teria maximo...abs.
Valor absoluto, definição |a| “ max a,´a. Propriedades |a| ě 0, |a| “ 0 ðñ a “ 0; ´|a| ď a ď |a|,| ´ a| “ |a|; |ab| “ |a||b|; |a` b| ď |a| ` |b|; ||a| ´ |b|| ď |a´ b|.
Definição 1. Seja a P Z. Dizemos que a é inversível (multiplicativamente) se existe b P Z tal queab “ pbaq “ 1. Indicamos com UpZ, ¨q o subconjuntos dos inversíveis de Z.
Observação 4. A definição acima se pode dar em geral para um monóide; de fato ele faz intervir só aestrutura de monoide multiplicativo do anel Z.
Observação 5. Se a é inversível, então a ‰ 0. (Isto não se pode dizer na generalidade de um monóidemultiplicativo, porque só temos o elemento neutro 1).
Proposition 0.0.5. UpZ, ¨q “ t1,´1u.
4. (09/08: Aula 4) A disegualdade |a||b| ě |b| fornece outra demonstração para a propriedade aquimedeana(exercicio). Se a, b P UpZ, ¨q, então ab P UpZ, ¨q. Em geral, se pM, ¨q é monoide multiplicativo, então oconjunto UpM, ¨q dos inversíveis de M é um grupo.
Principio de Indução Matemática: é uma caraterística fundamental do conjunto N, tanto que é assumidocomo axioma na axiomatização de N dada por Peano. Vamos ver isto mais a frente. Temos a primeiraversão
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Teorema 1 (Principio de Indução Matemática). Seja S Ď N tal que
• 0 P S;
• por cada n P N, se n P S, então n ` 1 P S (ou seja, mais formalmente p@n P Nqppn P Sq ùñpn` 1 P Sqq).
Então S “ N.
Demonstração. Via o Princípio da Boa Ordenação
Observação 6. O Princípio de Indução Matemática diz que os naturais N são o mínimo conjunto talque 0 P N, se n P N, então o sucessor n` P N.
Exemplo 1. Esemplo de aplicação do PIM à demonstração deřnk“0 k “
npn`1q2 .
Observação 7. O PIM não tem nada a ver com a indução empirica. Exemplos: consideramos apropriedade n2 ă 600n`503. Por n “ 0, . . . , 600, a propriedade é verdadeira, e poderiamos ser tentadosde concluir que val para todos, mas já não val para n “ 601. Consideramos a função ϕpnq´n2´n`41
e o predicado, P pnq : ϕpnq é primo. É verdadeiro para n “ 0, . . . , 40, e então poderiamos ser tentadosde concluir que é verdadeiro para todo n. Mas não, por n “ 41, se ve logo que ϕp41q “ 412, que nãoé primo. Para provar um fato, não podemos nunca deduzir a sua verdade, ou a sua prova, de umaverifica de muitos casos particulares.
Observação 8. Existem subconjuntos S de Qě0 que verificam 0 P S, n P S, então n ` 1 P S, masS ‰ Qě0, e nem S ‰ N.
Demos a versão do princípio de Indução com predicados. Do ponto de vista da lógica matemática, umaproposição é uma afirmação declarativa tal que o seu valor lógico (verdade ou falsidade) é completa-mente determinado. Um predicado P pxq, interpretado num conjunto A, é uma familia de proposições,uma por cada x P A, ou seja, em outras palavras, uma função P : A - tProposiçõesu. Temos oseguinte importante axioma da teoria dos conjuntos (axioma da pertinencia restrita): Dado um con-junto A e um predicado interpretado em A, P : A - tProposiçõesu, então a coleção de objetosB :“ tx P A | P pxq “ V u é um conjunto1. Consideramos agora A “ N, e P pnq é um predicadointerpretado em A (uma propriedade que faz sentido em n), então o conjunto
S “ tn P N | P pnq “ V u
é um conjunto. Temos que m P S ðñ P pmq “ V . Com isto explicado,
Teorema 2 (Principio de Indução Matemática). Seja P pnq uma propriedade (afirmação) definida emN. Supomos que
• P p0q “ V
• por cada n P N, se P pnq “ V , então P pn` 1q “ V . (ou seja, mais formalmente p@n P NqpP pnq “V - P pn` 1q “ V q.
1Não é a mesma coisa se consideramos o axioma da pertinencia irrestrita, que diz a coisa seguinte: por cada predicado P pxq(por cada propriedade P pxq), a coleção de objetos B “ tx | P pxqu é um conjunto. Este axioma, que aparecia no tratado de teoriados conjuntos de Frege, foi completamente destroido por Russel, com o seu paradoxo, que se pode formular na maneira seguinte:consideramos o predicado P pxq “ xé um conjunto, então, por o axioma da pertinencia irrestrita, o conjunto B “ tx | P pxqu éo conjunto de todos os conjuntos. Consideramos agora C “ tx P B |x R xu. Então C é um conjunto (por pertinencia restrita,neste caso). Mas as proposiçõs C P C e C R C não podem ser nem verdadeiras nem falsas. Absurdo.
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Então P pnq “ V por cada n P N. (ou seja p@n P NqpP pnq “ V q)
Exemplo: provar que pn` 4q! ě 2n`4 por indução.
Valem facilemente estas variantes, a partir de um subconjunto de Z, inferiormente limitado.
Teorema 3 (Principio de Indução Matemática). Seja c P Z e S Ď Zěc tal que
• c P S;
• por cada n P Zěc, se n P S, então n ` 1 P S (ou seja, mais formalmente p@n ě cqppn P Sq ùñ
pn` 1 P Sqq).
Então S “ Zěc.
Teorema 4 (Principio de Indução Matemática). Seja c P Z e seja P pnq uma propriedade (afirmação)definida em Zc. Supomos que
• P pcq “ V
• por cada n P Zěc, se P pnq “ V , então P pn ` 1q “ V . (ou seja, mais formalmente p@n ěcqpP pnq “ V - P pn` 1q “ V q.
Então P pnq “ V por cada n ě c. (ou seja p@n ě cqpP pnq “ V q)
Exemplo de possíveis erros. No passo indutívo é sempre preciso deixar o n livre de correr em N, ou emZěc (dependentemente dos casos). Por exemplo, é facil dar uma demonstração errada de 4n2 ě 8n´ 3
se no passo indutívo tomamos n ě 1.
5. (14/08: Aula 5). Exemplo de póssivel erro em que o passo indutívo p@nqpP pnq Ñ P pn` 1qq é sempreverdadeiro, mas onde o caso base P p0q não é verdadeiro e P pnq é sempre falsa.
Duas imagens mentais para o principio de indução matemática: a imagem do "domino": em que o passoindutívo significa que as peças são bem posta (se cai a n-esima, então cai a n` 1 esima); o caso baseque significa que a primeira (a 0-esima) de fato cai; e entào vão cair todas. Segunda imagem: vemosP pnq como rochas em principio separadas uma da outra. O passo indutívo significa que existe umaponte entre a n-esima e a n`1-esima. O caso base é que de fato se parte da 0-esima. Aprofundamentológico da primeira imagem: regras de dedução; modus ponens: se p, q são proposições, então val a regrade dedução (tautologia):
p
p - q
,
/
.
/
-
ùñ q
ou seja, se sabemos que p implica q e temos de fato p, então temos q. O efeito "domino"do principio deindução pode ser re-interpretado com o modus ponens (que é a dedução lógica subjacente, o mecanismológico subjacente) da forma seguinte: assumir p@nqpP pnq Ñ P pn`1qq significa assumir todas as infinitasproposições
P p0q - P p1q
P p1q - P p2q
P p2q - P p3q
P p3q - P p4q
. . .
,
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Do outro lado temos que assumir também P p0q (caso base). Então, no final, assumimos:
P p0q
P p0q - P p1q
P p1q - P p2q
P p2q - P p3q
P p3q - P p4q
. . .
,
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/
/
/
/
/
/
/
.
/
/
/
/
/
/
/
/
-
Mas então, uma aplicação sucessíva do modus ponens da:
P p0q
P p0q - P p1q
P p1q - P p2q
P p2q - P p3q
P p3q - P p4q
. . .
,
/
/
/
/
/
/
/
/
.
/
/
/
/
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/
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/
-
ùñ
P p0q
P p1q
P p1q - P p2q
P p2q - P p3q
P p3q - P p4q
. . .
,
/
/
/
/
/
/
/
/
.
/
/
/
/
/
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-
ùñ
P p0q
P p1q
P p2q
P p2q - P p3q
P p3q - P p4q
. . .
,
/
/
/
/
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/
.
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/
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/
-
ùñ
P p0q
P p1q
P p2q
P p3q
P p3q - P p4q
. . .
,
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/
.
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/
-
e se continuassemos até o infinito, daria todas as P pnq. Obviamente este raciocinio é só euristico enão tem validade formal, porque quando se passa n arbitrariamente grande não temos controlo lógicosobre o que estamos fazendo, e na verdade, estamos usando indução empirica.
De uma certa forma o princípio de induçào permite evitar esta "passagem ao infinito"ou seja, ospontinhos...
Prinçipio de Indução Forte: As vezes as peças do domino não são postas linearmente, mas a disposiçãoé mais complicada, e o que faz diretamente cair a peça n` 1-esima não é necessariamente a n-esima,mas pode ser uma peça k-esima, com k ă n. Temos o
Teorema 5 (Principio de Indução Forte). Seja S Ď N tal que
• 0 P S;
• p@n P Nqpt0, . . . , nu Ď S ùñ n` 1 P Sq
Então S “ N.
Obviamente temos a versão com predicados
Teorema 6 (Principio de Indução Forte). Seja P pnq um predicado definido (interpretado) em N.Supomos que
• P p0q• p@n P NqpP p0q ^ P p1q ^ ¨ ¨ ¨ ^ P pnq ùñ P pn` 1qq
Então p@n P NqpP pnqq.
Demonstração a partir do principio de induçao estandard aplicado ao conjunto T “ tn P N t0, . . . , nu ĎSu.
Explicação do porquê se chama de Indução forte. Em lógica, uma proposição A se diz mais forte deuma proposição B se A ùñ B. Temos que se A é mais forte do que A1, então A1 ùñ B é mais fortedo que A ùñ B. A estrutura do principios de Indução (PIM) e Indução Forte (PIF) é
PIM :1q
A ùñ B
+
ùñ C , PIF1q
A1 ùñ B
+
ùñ C
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com A1 ùñ A. Mas então pA ùñ Bq ùñ pA1 ùñ Bq e então
1q
A ùñ B
+
ùñ1q
A1 ùñ B
+
e então˜
1q
A1 ùñ B
+
ùñ C
¸
ùñ
˜
1q
A ùñ B
+
ùñ C
¸
ou seja PIF ùñ PIM. Isto quer dizer que PIF é mais forte do que PIM.
Enunciar e demonstrar as versões transladadas por exercicio.
Exemplo: mostrar que todo inteiro n maior ou igual a 12 se pode escrever como n “ 4k ` 5l, pork, l P N.
6. (16/08: Aula 6) Equivalencia entre PBO, PIM, PIF (ver notas separadas). Definições por recursão.
Teorema 7. Seja S um conjunto e seja ϕ : S - S uma função e a0 P S um elemento fixado. Entãoexiste uma única função f : N - S tal que
• fp0q “ a0;
• p@n P Nqpfpn` 1q “ ϕpfpnqqq
Exemplo do fatorial n! e an.
7. (21/08: Aula 7) Considerações e exemplo sobre o teorema de recursão.
Divisibilidade: definição. Unicidade do quociente no caso o divisor não seja zero. Zero só divide zero.Em Z (ou em qualquer domínio comutativo) não existem divisores de zeros não triviais com quocientenão trivial. Comparação entre relação de divisibilidade e ordem (se a � b, então |a| ď |b|). Definição:a, b são associados se a � b e b � a. Prop: a „ b (a associado a b) se e somente se existe u P UpZ, ¨q talque a “ bu (mesmo que a “ 0, b “ 0). Corolário. a „ b se e somente se a “ ˘b. Varias propriedadesda relação de divisibilidade (reflexiva, transitiva, compatibilidade com soma e produto, e combinaçõeslineares inteiras).
Teorema 8 (Algoritmo da Divisão Euclidiana). Se a, b P Z, b ą 0, então existem únicos q, r P Z taisque
• a “ bq ` r
• 0 ď r ň |b|
Demonstração. Existencia: Caso a ě 0, b ą 0 demonstrado em duas maneiras: I, via PBO, II, comindução forte. Extensão (trivial ou quase) aos outros casos.
Obs: falta de unicidade se prescrevemos só : 0 ď |r| ň |b|.
8. 28/08, aula 8
Demonstração da unicidade da divisão euclidiana (com resto 0 ď r ň |b|). Variante do princípio deIndução forte
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Teorema 9 (Principio de Indução forte, variante). Sejam c1, c2 P Z e seja P pnq um predicado definidoem Zěc1 . Supomos que
• P pc1q “ V, . . . , P pc2q “ V .
• p@n ą c2qpp@i P Z, c1 ď i ă n, P piq “ V q - P pnqq
Então p@n ě c1qpP pnq “ V q
Esta versão do principio de indução forte se pode reformular em palavras assim Seja P pnq um predicadodefinido em Zěc1 . Supomos que uma certa quantidade de casos base seja verificada, ou seja P pc1q “V, . . . , P pc2q “ V . Seja agora n ą c2; supomos que P piq “ V seja verificada por cada i ă n ( e, claro,i ě c1), e supomos que desta hipótese se possa concluir que P pnq “ V . Então P pnq “ V por cadan ě c1.
Teorema 10 (Numeração em base b). Seja b P N, b ě 2. Por cada n P N˚ existem únicos m P N eα0, . . . , αm P N, tais que
• n “ αmbm ` αm´1b
m´1 ` ¨ ¨ ¨ ` α1b` α0;
• 0 ď αi ă b
• αm ‰ 0.
Demonstração. Demonstração da existencia por indução forte considerando como casos bases todos os1 ď j ď b ´ 1. Passo indutívo por n ě b escrevendo a divisão euclidiana n “ bn1 ` α0 e aplicando oteorema para n1 ă n. Unicidade usando a unicidade da divisão euclidiana e o passo indutívo.
Exemplos.
9. 30/08: aula 9
Definição 2. Sejam a, b P Z. Dizemos que um inteiro d P Z é um máximo divisor comum de a e b se
•
#
d � a
d � b
• Se c P Z,
#
c � a
c � bùñ c � d
Observação 9. Se d1, d2 são dois máximos comuns divisores de a e b, então d1 „ d2.
Indicamos um dos mcd(a,b), se existe, com pa, bq.
Observação 10. Dados a, b P Z, existe ao máximo um único máximo divisor comum não negatívo dea, b. (Vamos ver que sempre existe).
Exemplo 2. p0, 0q “ 0; pa, 0q “ a; pa, 1q “ 1.
Definição 3. Sejam a, b, a1, . . . , an, k P Z. Definimos os seguintes subconjuntos de Z:
kZ :“ tkx | x P Zu multiplos inteiros de k
aZ` bZ :“ tax` by | x, y P Zu combinações lineares inteiras de a, b
a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ :“ ta1x1 ` ¨ ¨ ¨ ` anxn | x1, . . . , xn P Zu combinações lineares inteiras de a1, . . . , an
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Observação 11. O conjunto kZ verifica as propriedades
• 0 P kZ;
• z, w P kZ ùñ z ` w P kZ;
• z P kZ ùñ ´z P kZ
• z P kZ, α P Z ùñ αz P kZ.
Analogamente o subconjunto a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ verifica as propriedades
• 0 P a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ;
• z, w P a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ ùñ z ` w P a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ;
• z P a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ ùñ ´z P a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ
• z P a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ, α P Z ùñ αz P a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ.
Definição 4. Um subconjunto I Ď Z é chamado um subgrupo aditivo de Z (ou um subgrupo do grupoaditivo pZ, 0,`q) se
• 0 P I
• z, w P I, ùñ z ` w P I;
• z P I ùñ ´z P I.
Um subgrupo aditivo I de Z é chamado um ideal de Z, se val também a propriedade
• z P I, α P Z, ùñ αz P I.
(A definição val por qualquer anel comutatívo).
Observação 12. Os conjuntos kZ e, mais em geral a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ são ideais de Z.
Proposição 1. Seja I um subconjunto de Z. Então I é um ideal de Z se e somente se
• I ‰ H;
• z, w P I ùñ z ` w P I;
• z P I, α P Z, ùñ αz P I.
Observação 13. Temos as seguintes traduções em termos de ideais:
• a � b ðñ bZ Ď aZ;
• a „ b ðñ aZ “ bZ;
• u P UpZ, ¨q ðñ uZ “ Z.
Definição 5. Um ideal I de Z se diz principal se é da forma I “ kZ, por algum k P Z. Neste casoI “ kZ se diz ideal principal gerado por k.
Teorema 11. Todo ideal I de Z é principal. [Z é domínio a ideais principais.]
10. 04/08: aula 10:
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Teorema 12 (Teorema de Bézout). Sejam a, b P Z. Então existe d “ pa, bq. Além disso, val a relação
aZ` bZ “ dZ .
Em particular existem x0, y0 P Z tais que
d “ ax0 ` by0 .
Observação 14. Sejam a1, . . . , an P Z. Existe maxta1, . . . , anu: dem: mostrar que o elemento
maxtmaxta1, . . . , an´1u, anu
é o maxta1, . . . , anu. Analogamente, existe minta1, . . . , anu e val uma parecida relação recursiva.
Observação 15. Sejam a1, . . . , an. Temos que
b ě ai@i ðñ b ě minta1, . . . , anu
b ď ai@i ðñ b ď maxta1, . . . , anu
Dj0 | b ě aj0 ðñ b ě minta1, . . . , anu
Dj0 | b ď aj0 ðñ b ď maxta1, . . . , anu .
Observação 16. Sejam a, b P Z, tais que pelo menos um dois dois seja não zero. Indicamos com Dpa, bq
os divisores comuns de a e b. Temos que Dpa, bq é um conjunto limitado seja superiormente sejainferiormente. (Se c � a, c � b, então |c| ď |a|, |c| ď |b|, ou seja |c| ď mint|a|, |b|u. Mais em geral sea1, . . . , an são inteiros não todos zeros, Dpa1, . . . , anq é limitado superiormente e inferiormente.
Teorema 13. Sejam a, b P Z, não os dois zero. Então se d “ pa, bq, temos que |d| “ maxDpa, bq.
Definição 6. Definição de mdc para a1, . . . , an.
Observação 17. Se d1, d2 são mdc para a1, . . . , an então d1 „ d2.
Teorema 14 (Teorema de Bézout). Sejam a1, . . . , an P Z. Então existe d “ pa1, . . . , anq. Além disso,val a relação
a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ “ dZ .
Em particular existem x1, . . . , xn P Z tais que
d “ a1x1 ` ¨ ¨ ¨ ` anxn .
Proposição 2. Sejam a1, . . . , an inteiros. Val a seguinte relação recursiva:
pa1, . . . , anq “ ppa1, . . . , an´1q, anq .
Teorema 15. Sejam a1, . . . , an inteiros não todos zero. Se d “ pa1, . . . , anq temos que |d| “ maxDpa1, . . . , anq.
Teorema 16. Sejam a1, . . . , an inteiros. São equivalentes.
d “ pa1, . . . , anq
a1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZ “ dZ
d “ ppa1, . . . , an´1q, anq
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|d| “ maxDpa1, . . . , anq
11. (06/09: aula 11).
Lema 1 (Lema de Euclides). Sejam a, b P Z. Supomos que
a “ bq ` r
por algum q, r P Z. Entãopa, bq “ pb, rq .
Demonstração. Demonstração via a definição de máximo divisor comum e via Dpa, bq “ Dpb, rq.
Aplicação do lema de Euclides para o cálculo de pa, bq e de coefficientes x0, y0 tais que d “ ax0 ` by0.
Teorema 17 (Algoritmo de Euclides). Sejam a, b P Z, com b ‰ 0. Existem n P N, r0, . . . , rn`1 P Z,q0, . . . , qn P Z tais que
• r0 “ |b|, rn`1 “ 0; rn ‰ 0;
• a “ |b|q0 ` r1, rj´1 “ rjqj ` rj`1 for all j “ 1, . . . , n, 0 ď rj`1 ă rj, for all j “ 0, . . . , n.
• rn “ pa, bq.
Além disso, a algoritmo da uma maneira construtiva para encontrar x0, y0 tais que d “ ax0 ` by0.
Demonstração. Indução forte sobre |b| ě 1.
Exemplos.
Lema 2. Seja u P UpZ, ¨q. Se c � u, então c P UpZ, ¨q.
Proposição 3. Sejam a, b P Z, não os dois nulos e seja d “ pa, bq. Seja a “ a1d, b “ b1d. Entãopa1, b1q „ 1.
Demonstração. É claro que d ‰ 0, porque se não os dois a “ 0 “ b. Seja c P Z tal que#
c � a1
c � b1.
Então a “ a1d “ a2cd, b “ b1d “ b2cd. Mas então cd � a, cd � b e então cd � d. Dado que d ‰ 0, temosc � 1. Mas então c é inversível. Isto mostra que todos os divisores comuns de a1, b1 são inversíveis.Então pa1, b1q é inversível, ou seja pa1, b1q „ 1.
Proposição 4. Sejam a, b, c P Z. Temos pac, bcq “ cpa, bq.
Demonstração. O teorema é trivial no caso a “ 0 “ b (ou seja pa, bq “ 0, ou c “ 0). Supomos entãoque d :“ pa, bq ‰ 0 e c ‰ 0. Seja d :“ pa, bq, e “ pac, bcq. Temos que provar que cd „ e. De um ladotemos
#
d � a
d � bùñ
#
cd � ac
cd � bcùñ cd � e .
Escrevemos então e “ cde1. É suficiente provar que e1 é um inversível. Escrevemos a “ a1d, b “ b1d.Lembramos que pa1, b1q „ 1. Então ac “ a1cd, bc “ b1cd. Mas ac “ eα, bc “ eβ, e então ac “ cde1α,
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bc “ cde1β. Mas então a “ de1α, b “ de1β, ou seja a1d “ de1α, b1d “ de1β, e por a lei de cancelação,dado que d ‰ 0: a1 “ e1α, b1 “ e1β. Mas então e1 � a1, e1 � b1, mas então e1 � pa1, b1q „ 1. Isto implicaque e1 é inversível, e que, entào cd „ e.
Teorema 18 (Teorema de Euclides). Sejam a, b, c P Z. Temos que#
a � bc
pa, bq „ 1ùñ a � c .
Demonstração I. É claro que a � ac (por definição), a � bc (por hipótese). Então a � pac, bcq “ cpa, bq “
c, porque pa, bq „ 1.
Demonstração II. Temos que a � c se e somente se pa, cq „ a. Mas
pa, cq „ pa, cpa, bqq „ pa, pac, bcqq „ ppa, acq, bcq „ pa, bcq „ a
porque a � bc.
Demonstração III. Se pa, bq “ 1, então existem x0, y0 P Z tais que ax0 ` by0 “ 1. Mas então, multipli-cando por c, apcx0q ` bcy0 “ c. Mas agora bc “ at, porque a � bc. Então
apcx0q ` aty0 “ c
e então a � c.
Definição 7. Um inteiro p P Z, p ‰ 0, p não inversível (p ‰ ˘1) se diz primo se
@a, b P Z p � ab ùñ pp � aq _ pp � bq .
Definição 8. Um inteiro p P Z, p ‰ 0, p não inversível (p ‰ ˘1) se diz irredutível se
@a, b P Z, p “ ab ùñ pa P UpZ, ¨qq _ pb P UpZ, ¨qq .
Lema 3. Seja p P Z, p irredutível e a P Z tal que p ffl a. Então pp, aq „ 1.
Demonstração. Seja d “ pp, aq. Temos p “ dp1, com d � a. Se d 1, então p1 „ 1 e necessariamentep „ d, mas d � a, então p � a, o que é absurdo. Então d „ 1.
Teorema 19. Em Z p é primo se e somente se p é irredutível.
Demonstração. “ ùñ ". Seja p “ ab. Dado que p é primo, então p � a ou p � b. Supomos que p � a.Então a “ a1p. Mas então p “ ab “ a1bp. Mas então, por a lei de cancelação, 1 “ a1b e b P UpZ, ¨q. Sep � b a demonstração é analoga.
“ð”. Seja p irredutível. Supomos que p � ab e que p ffl a. Mas então pp, aq „ 1. Então p � b por oTeorema de Euclides. Então p é primo.
Observação 18. A prova de que se p é primo então p é irredutível é válida por qualquer domíniocomutatívo, enquanto a outra direção faz uso da existencia do mdc.
12. (11/09: aula 12)
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13. (13/08: aula 13) Definição de injetividade, sobrejetividade, bijetividade para uma função f : A - B.Definição de composição de funções g ˝ f . Prova de que a composição de funções injetivas é injetiva,composição de funções sobrejetiva é sobrejetiva, e que então a composição de funções bijetivas é bijetiva.Prova de que se f : A - B é bijetiva, então existe uma única função g : B - A tal queg ˝ f “ idA, f ˝ g “ idB , chamada a inversa de f e denotada com f´1. Definição de permutação deum conjunto X. Definição do grupo simétrico pSpXq, ˝, idXq. O grupo simétrico sobre n elementos éSn :“ Spt1, . . . , nuq.
Lema 4. Sejam a1, . . . , an P Z. Então existe uma permutação σ P Sn tal que aσpiq ď aσpi`1q por cadai “ 1, . . . , n´ 1.
Demonstração. Por induçao sobre n, com n ě 2. Caso base: n “ 2. Dados a1, a2, se a1 ď a2, defina-seσ como idt1,2u e se a1 ě a2, defina-se σ como σp1q “ 2 e σp2q “ 1. É claro que σ faz o que queremos.
Passo Indutívo.
Lema 5. Sejam a1, . . . , an P Z, onde a1 ď a2 ď ¨ ¨ ¨ an´1 ď an. Então o produto a1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an se podeescrever como a1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an “ aα1
i1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ aαr
ir, onde r P N, r ď n, aij ň aij`1 , por cada j “ 1, . . . , r ´ 1 e
αi P N˚.
Demonstração. Por indução sobre n, o número dos fatores. Caso base n “ 1. Só temos a1. Não ha nadapara mostrar (r “ 1, i1 “ 1, α1 “ 1). Passo indutívo. Supomos o teorema válido para n ě 1 e provamo-no para n ` 1. Consideramos o produto a1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an ¨ an`1, com a1 ď a2 ď ¨ ¨ ¨ an ď an`1. O produtoa1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an verifica as hipóteses do teorema, e, por indução, se escreve como a1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an “ aα1
i1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ aαr
ir
onde r P N, r ď n, aij ň aij`1, por cada j “ 1, . . . , r ´ 1 e αi P N˚. Agora, o produto original
a1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an ¨ an`1 se escreve comoaα1i1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ aαr
ir¨ an`1
onde, an`1 ě aij por cada ij , porque aij P ta1, . . . , anu e já sabiamos que an`1 ě an ě ¨ ¨ ¨ ě a1.Sabemos também que ai1 ‰ ai2 ň ¨ ¨ ¨ ň air e que então air é o maior de todos os aij . Entãoan`1 ě air . Agora temos duas possibilidades: ou an`1 “ air ou an`1 ŋ ar. Na primeira possíbilidade,o produto a1 ¨ ¨ ¨ an`1 se escreve
a1 ¨ ¨ ¨ an`1 “ aα1i1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ aαr`1
ir.
Na segunda, pomos ir`1 “ n` 1 e αr`1 “ 1 e então o produto a1 ¨ ¨ ¨ an`1 se escreve
a1 ¨ ¨ ¨ an`1 “ aα1i1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ aαr
ir¨ aαr`1
ir`1.
Corolário 3. Qualquer produto a1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an de números inteiros se pode escrever como a1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ an “
aα1i1¨ ¨ ¨ ¨ ¨ aαr
ir, onde r P N, r ď n, aij ň aij`1
por cada j “ 1, . . . r ´ 1 e αi P N˚.
Exercício 1. Provar com a definição, que 2 e 3 são irredutíveis.
Teorema 20 (Teorema Fundamental da Aritmetica, versão I). Todo inteiro n P Z, n ‰ 0, se escrevede forma essencialmente única como produto
n “ up1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ pr
onde
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• r P N;
• u P UpZ, ¨q;
• pi são irredutíveis (primos).
A unicidade essencial significa que se n “ up1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨pr “ vq1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨qs, por algum v P UpZ, ¨q, e por algumqj irredutível, então r “ s e existe uma permutação σ P Sr tal que pi „ qσpiq — ou seja, qσpiq “ uipi
por algum ui P UpZ, ¨q — e vu1 ¨ ¨ ¨ur “ u.
Demonstração. Existencia. Por indução forte sobre |n| ě 1. Caso base: supomos |n| “ 1. Entãon P UpZ, ¨q. Posto u “ n e r “ 0, temos a decomposição n “ u do teorema. Fazemos o caso |n| “ 2.Então n é irredutível, e então primo, pelo exercício precedente. Posto u “ 1, temos a decoposiçãon “ 1 ¨ n, com u “ 1, r “ 1, p1 “ n como no enunciado do teorema.
Passo indutívo. Supomos agora |n| ą 2 e supomos que por cada k P Z, 1 ď |k| ň |n| o enunciado daexistencia da decomposição seja verdadeiro. Agora temos duas possibilidades: ou n é irredutível ou nnão é irredutível. Se n é irredutível, pomos u “ 1, r “ 1, p1 “ n e temos a decomposição n “ 1 ¨ n
como no enunciado do teorema. ..............
14. 18/09: aula 14.
Teorema 21 (Teorema Fundamental da Aritmética, versão 2). Todo inteiro n P Z, n ‰ 0 se escrevede forma única como produto
n “ up1 ¨ ¨ ¨ pr
onde
• r P N;
• u “ sgnpnq :“ n{|n|;
• pi são irredutíveis (primos) positívos;
• p1 ď p2 ď ¨ ¨ ¨ ď pr.
Demonstração. Existencia.Unicidade.
Teorema 22 (Teorema Fundamental da Aritmética, versão 2). Todo inteiro n P Z, n ‰ 0 se escrevede forma única como produto
n “ upα11 ¨ ¨ ¨ pαr
r
onde
• r P N;
• u “ sgnpnq :“ n{|n|;
• pi são irredutíveis (primos) positívos;
• p1 ň p2 ň ¨ ¨ ¨ ň pr: em particular pi são primos positivos distintos.
• αi P N.
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Demonstração. Existencia.Unicidade
Definição 9. Chamamos os primos distintos pi que aparecem com expoente αi P N˚ na fatoração deum inteiro n os primos associados a n.
Lema 6. Sejam n,m dois inteiros diferentes de 0. Então existem p1, . . . , pr primos positivos distintostais que
n “ upα11 ¨ ¨ ¨ pαr
r
m “ vpβ1
1 ¨ ¨ ¨ pβrr
por αi, βi P N.
Demonstração. Fatoramos n como n “ utγ11 ¨ ¨ ¨ tγll onde ti são primos positivos distintos, l P N e
γi P N˚, e onde u “ sgnpnq. Fazemos a mesma coisa com m fatorando-no na forma m “ vzδ11 ¨ ¨ ¨ zδkk ,
onde zi são primos positivos distintos, k P N e δi P N˚, e onde v “ sgnpmq. Consideramos o conjuntoA “ tt1, . . . , tlu Y tz1, . . . , zku e o escrevemos como A “ tp1, . . . , pru por primos positivos distintos pi.Então teremos que
n “ upα11 ¨ ¨ ¨ pαr
r
m “ vpβ1
1 ¨ ¨ ¨ pβrr
onde αi “ 0 se pi R tt1, . . . , tlu e αi “ γh se pi “ th e onde βi “ 0 se pi R tz1, . . . , zku e βi “ δh sepi “ zh.
Observação 19. Observamos que os primos p1, . . . , pr que aparecem nas ambas as decomposições den e m são exactamente os primos associados ao produtos nm. É claro que o procedimento do lemaprecedente pode ser extendido a r inteiros n1, . . . , nk de forma de encontrar p1, . . . , pr primos reuniãodos primos associados às decomposições de n1, . . . , nk, ou, de forma equivalentes, os primos associadosao produto n1 ¨ ¨ ¨nk.
15. 20/08: aula 15
Proposição 5. Sejam a, b inteiros não núlos. Então a � b se e somente se, chamando p1, . . . , pr osprimos associados ao produto ab, e escrevendo as fatorações
a “ upα11 ¨ ¨ ¨ pαr
r
b “ vpβ1
1 ¨ ¨ ¨ pβrr
temos αi ď βi por cada i.
Teorema 23. Sejam a, b inteiros não núlos e sejam p1, . . . , pr os primos associados ao produto ab.Sejam
a “ upα11 ¨ ¨ ¨ pαr
r
b “ vpβ1
1 ¨ ¨ ¨ pβrr
as fatorações em primos distintos. Então
pa, bq „ pγ11 ¨ ¨ ¨ pγrr onde γi “ mintαi, βiu
ra, bs „ pδ11 ¨ ¨ ¨ pδrr onde δi “ maxtαi, βiu
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Corolário 4. Sejam a, b inteiros não núlos. Temos que a � b se e somente se
@p P Z,@α P N p primo, pα � a ùñ pα � b .
Em particular a „ b se e somente se
@p P Z,@α P N p primo, pα � a ðñ pα � b .
Observação 20. O teorema acima se generaliza a n inteiros a1, . . . , an.
Proposição 6. Sejam a1, . . . , an, b inteiros. Temos as seguintes propriedades distributivas
pra1, . . . , ans, bq “ rpa1, bq, . . . , pan, bqs (1)
rpa1, . . . , anq, bs “ pra1, bs, . . . , ran, bsq (2)
Demonstração. Demonstramos a primeira. Seja p um primo e supomos que pα � pra1, . . . , ans, bq.Então, por definição de máximo divisor comum, pα � ra1, . . . , ans e pα divides b. Mas pα � ra1, . . . , ans
implica que pα � aj0 por um certo j0, porquê a máxima potencia de p que aparece em algum ai temque ser maior ou igual a α. Mas então pα � paj0 , bq e então divide rpa1, bq, . . . , pan, bqs.
Do outro lado, se pα � rpa1, bq, . . . , pan, bqs então tem que dividir um certo paj0 , bq, porque a máximapotencia de p que aparece nos diferentes pai, bq tem que ser maior ou igual a pα. Mas então pα � aj0 epα � b, mas então pα � ra1, . . . , ans e divide b e então divide pra1, . . . , ans, bq.
A segunda igualdade se demonstra analogamente.
Observação 21. As propriedade de distributividade do mdc e mcm relativamente um ao outro podemser expressas em termos de ideais nesta forma
pa1ZX ¨ ¨ ¨ X anZq ` bZ “ pa1Z` bZq X ¨ ¨ ¨ X panZ` bZq
pa1Z` ¨ ¨ ¨ ` anZq X bZ “ pa1ZX bZq ` ¨ ¨ ¨ ` panZ` bZq .
Cuidado: em geral a classe dos aneis tais que a soma de ideais distribui em relação à interseção é muitorestrita: val para aneis mais gerais do que Z, mas não é nada comum.
Teorema 24 (Euclides). Os números primos são infinitos.
Demonstração. Supomos por absurdo que exista só um número finito de primos tp1, . . . , pru, r ą 0,r P N. Consideramos o produto k “ |p1| ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ |pr| ` 1. É claro (exercício) que k ŋ pi por cadai P t1, . . . , ru e que então k ‰ pi por cada i P t1, . . . , ru. Então k não pode ser primo. Temos tambémque k ŋ 1. Mas então k admite uma fatoração em primos k “ upα1
1 ¨ pαrr , com pelo menos um dos
αi ‰ 0 (se não teriamos k “ 1, o que vimos que não é). Mas então um dos pi, chamamos pj0 , divide k.Mas então pj0 divide 1. Mas então pj0 é inversível, o que é absurdo, porque pj0 é primo.
Equações Diofantinas.
Proposição 7. Sejam a, b, c P Z. Seja d “ pa, bq. Seja a “ a1d, b “ b1d. Sejam x0, y0 P Z tais queax0 ` by0 “ d. A equação diofantina
ax` by “ c
tem solução se e somente se d � c. Neste caso ela admite infinitas soluções. Uma destas soluções éx “ c1x0, y “ c1y0, onde c “ c1d. Todas e só as soluções da equação se escrevem como
#
x “ c1x0 ` b1t
y “ c1y0 ´ a1t
, t P Z .
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Demonstração. Se a equação diofantina admite solução, então c P aZ ` bZ “ dZ, e então d � c. Dooutro lado se d � c, temos c “ c1d. Neste caso, existem x0, y0 P Z tais que ax0 ` by0 “ d. Mas então,multiplicando por c1 temos que
ac1x0 ` bc1y0 “ c1d
ou seja, que x “ c1x0, y “ c1y0 é solução da equação diofantina. Então provamos o primeiro enunciado.
Provamos o segundo. É claro que se d “ 0 se e somente se a “ 0 e b “ 0, no qual caso Z2 é o conjuntode todos os pares de soluções. Supomos então que d ‰ 0. Então a ‰ 0 ou b ‰ 0. Supomos, sem faltade generalidade, que b1 ‰ 0. Seja x1, y1 uma solução qualquer da equação diofantina. Temos
ax1 ` by1 “ c
e então, subtraendo apc1x0q ` bpc1y0q “ c, temos
apx1 ´ c1x0q ` bpy1 ´ c
1y0q “ 0
ou sejaapx1 ´ c
1x0q “ bpc1y0 ´ y1q
ou seja, dividendo por d, temosa1px1 ´ c
1x0q “ b1pc1y0 ´ y1q .
Mas agora b1 � a1px1´ c1x0q, mas é primo com a1, então b1 � x1´ c
1x0, ou seja, que x1´ c1x0 “ b1t, por
um certo t P Z, ou seja x1 “ c1x0 ` b1t. Então temos
a1b1t “ b1pc1y0 ´ y1q .
Dividendo por b1, temosc1y0 ´ y1 “ a1t
da qual se deduzy1 “ c1y0 ´ a
1t .
É claro que todas os pares pc1x0 ` b1t, c1y0 ´ a
1tq são soluções, porque
apc1x0 ` b1tq ` bpc1y0 ´ a
1tq “ ac1x0 ` bc1y0 ` tpab
1 ´ a1bq “ c` 0 “ c .
16. 25/09: aula 16: revisão.
17. 27/09: P1
18. 02/10: aula 17. Revisão da soma de uma PG:
1` q ` ¨ ¨ ¨ ` qn “qn`1 ´ 1
q ´ 1
se q P R, q ‰ 1.
Proposição 8. Seja a “ upα11 ¨ ¨ ¨ pαr
r onde pi são primos positivos distintos. Então, indicando npaq onúmero de divisores positivos de a e com spaq a soma dos divisores positivos, temos
npaq “ pα1 ` 1q ¨ ¨ ¨ pαr ` 1q
spaq “rź
i“1
pαi`1i ´ 1
pi ´ 1
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Crivo de Erathóstenes. Existencia da raiz quadrada:
Teorema 25. Seja x P R, x ě 0. Então existe um único α P R, α ě 0 tal que α2 “ x. Um tal α sediz a raiz quadrada de x.
Sejam α, x P R. As seguintes são equivalentes
#
x ě 0
α “?x
ðñ
$
’
&
’
%
x ě 0
α ě 0
α2 “ x
.
Lema 7. Seja n P N, e seja n “ ab uma qualquer fatoração, com a ě 0, b ě 0. Então temos quea ď
?n ou b ď
?n.
Proposição 9. Seja n P Z, n ‰ 0, n ‰ ˘1. Se n não é primo, então n admite um divisor primopositivo p tal que p ď
a
|n|.
Demonstração. Se n não é primo, podemos escrever n “ uab, onde u “ sgnn, a ą 0, b ą 0, ondea ‰ ˘1, b ‰ ˘1. Mas então |n| “ ab é uma fatoração propria. Pelo lema precedente a ď
a
|n| oub ď
a
|n|. Supomos que a ďa
|n|. Mas dado que |n| “ ab é uma fatoração propria, temos que aadmite primos associados. Seja p um primo positivo associado à a. Então p � a, o que implica p ď a
(tomando os valores absolutos) e entãop ď a ď
a
|n|
.
Corolário 5 (Crivo de Erathóstenes). Seja n P N, n ą 1. Se n não admite nenhum divisor primopositivo p tal que p ă
?n, então p é primo.
Exemplo: encontrar todos os primos positivos menores de 100.
Distribuição dos primos.
Congetura (Congetura dos Primos Gemeos). Por cada n P N, existem p, p ` 2 primos consecutivosmaiores do que n. (Existem infinitos primos gemeos).
O estado atual (03 de Outubro 2017) da congetura é o seguinte:2013: Yitang Zhang provou que por cada n P N existem primos p, q, com q ą p ą n, tais queq ´ p ă 70 ¨ 106.2014: Tao, em conjunto no Projeto Polymath, conseguiram reduzir a cota de 70 milhões até 246. Acota pode ser reduzida até 6 se se assumem outras conjeturas.
Do outro lado é facil provar que existem primos consecutivos afastados quando se quer.
Lema 8. Por cada n P N, existem n inteiros consecutivos tais que nenhum deles é primo.
Demonstração. Tomamos n ě 3 e consideramos os n inteiros
pn` 1q!` 2, pn` 1q!` 3, . . . , pn` 1q!` n` 1 .
Proposição 10. Por cada n P N, existem dois primos positivos consecutivos ph, ph`1 tais que ph`1 ´
ph ą n.
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Demonstração. Seja ph “ maxtp P N, p primo, p ă pn ` 1q! ` 2u. Então necessáriamente o primoseguinte satisfaz a ph`1 ą pn` 1q!` pn` 1q, o que implica que ph`1 ´ ph ą n.
Relacionado a isso é o
Teorema 26 (Postulado de Bertrand, ou teorema de Bertrand-Chebyshev). Por cada n P N, n ě 3,existe um primo p tal que n ă p ă 2n´ 2.
Observação 22. Outras formulações se podem fazer: por cada n P N, n ą 1, existe um primo p tal quen ă p ă 2n. Isto implica que, dado o k-esimo primo pk, o primo sucessivo pk`1 satisfaz
pk`1 ă 2pk .
Joseph Bertrand enuncio o postulado (congetura) no 1845. Foi demonstrada no 1852 por Chebyshev,e vai hoje sob o nome de Bertrand-Chebyshev.
Observação 23. O teorema de Bertrand-Chevyshev foi redemostrado (com uma prova mais simples) egeneralizado por Ramanujan.NO 1934 Erdös provou o seguinte resultado:
Teorema 27. Por cada inteiro positivo k, existe N P N tal que por cada n ą N , existem pelo menos kprimos entre n e 2n. (Ou seja, o número de primos entre n e 2n vai a infinito quando n vai a infinito).
No 2006 El Bachroui mostrou que, por cada n P N˚, existe sempre um primo p entre 2n e 3n.No 2011 Andy Loo provou que existe sempre um primo entre 3n e 4n. Loo provou também que se mn
é o números de primos entre 3n e 4n então limnÑ`8mn “ `8.
Relacionada a estes fatos mas ainda aberta é a
Congetura (Congetura de Legendre). Por cada n P N˚, existe um primo p entre n2 e pn` 1q2.
"Regularidade"dos Primos. Não se sabe se os primos seguem um "padrão". Quem se aproximoumais a estudar um "padrão"dos números primos foi Riemann, do qual falamos mais a frente. Dequalquer forma eles não podem ser produzidos por uma função polinomial.
Teorema 28 (Binomio de Newton). Sejam a, b P C, n P N, n ě 1. Então
pa` bqn “nÿ
k“0
ˆ
n
k
˙
akbn´k
ondeˆ
n
k
˙
:“n!
k!pn´ kq!.
Corolário 6. Sejam a, b P C, n P N, n ě 1. Então existe um polinômio não trivial ϕnpx, yq, que,ordenado nas potencias de y, tem como monomio de grau mais alto yn´1, tal que
pa` bqn “ an ` bϕnpa, bq .
Demonstração. Temos
pa` bqn “nÿ
k“0
ˆ
n
k
˙
akbn´k “ an `n´1ÿ
k“0
ˆ
n
k
˙
akbn´k “ an ` bn´1ÿ
k“0
ˆ
n
k
˙
akbn´k´1
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Posto então
ϕnpx, yq “n´1ÿ
k“0
ˆ
n
k
˙
akbn´k´1 “ yn´1 ` nxyn´2 `
ˆ
n
2
˙
x2yn´3 ` ¨ ¨ ¨ ` nxn´1
temos o enunciado.
Proposição 11. Não existe nenhum polinômio ppxq tal que ppnq seja primo por cada n P N.
Demonstração. Supomos que ppxq seja um tal polinômio, ppxq “ amxm ` ¨ ¨ ¨ ` a1x ` a0. Podemos
assumir m ě 1. Seja n0 P N e seja ppn0q “ p primo. Então, por cada t P N, ppn0 ` tpq é primo. Mas éfacil ver, com o lema precedente, que
ppn0 ` tpq “ ppn0q ` tpgpn0, pq
onde gpn0, tpq “ amϕmpn0, tpq`am´1ϕm1pn0, tpq` ¨ ¨ ¨`a1ϕ1pn0, tpq. Mas então ppn0q` tpgpn0, tpq “
pp1` tgpn0, tpqq é primo, e então 1` tgpn0, pq “ ˘1. Agora se m ě 1, gpn0, tpq é de grau m´ 1 e nãozero (se m “ 1, então gpn0, tpq “ 1. ). Ainda gpn0, tpq tem termo dominante em tp igual a amptpqm´1.Então tgpn0, tpq não pode ser constante. Absurdo.
O Teorema dos Números Primos. Seja x P R, x ą 0. Indicamos com πpxq a função que conta osprimos positivos menores ou iguais a x, ou seja:
πpxq “ |tp P N | p primo , p ď xu| .
Estudar esta função é fundamental para perceber como estão distribuidos os primos.
Teorema 29 (Teorema dos Números Primos). A função πpxq é assintotica, por x que tende a `8 à
função x{ logpxq, ou à função2 Lipxq “
ż x
2
dt
log t, ou seja
limxÑ`8
πpxq
x{ log x“ 1 “ lim
xÑ`8
πpxq
Lipxq.
Os primeiros fatos sobre a função πpxq foram determinados por Legendre que enunciou no 1797 queπpxq tinha que ser assintotica à
x
A log x`B. No 1808 melhorou a estimativa, propondo A “ 1 e
B “ ´1.08366.
No 1792, à idade de 15 anos, Gauss conjeturou que πpxq fosse assintotica a Lipxq. Mas ele não publicou.
No 1838 Dirichlet re-encontrou a estimativa assintotica de Gauss πpxq „ Lipxq.
Entre o 1848 e 1852, ao fim de provar a estimativa assintotia para πpxq, Chebyshev fez estudos pro-fundos sobre a função ζpsq, s P C, mais tarde chamada zeta de Riemann, mas já usada e estudada porEuler,
ζpsq “`8ÿ
n“1
1
ns.
Chebyshev conseguiu provar que2É facil provar, usando a regra de De L’Hospital e o teorema fundamental do Calculo, que
limxÑ`8
x{ logpxq
Lipxq“ 1 .
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• Se limxÑ`8πpxq
x{ log xexiste, então tem que ser 1;
• existem constantes c1, c2, c1 ă 1, c2 ą 1, muito perto de 1, tais que, por x suficientemente grande,
c1 ă πpxq{px{ log xq ă c2 .
Usando estas estimativas, Chebyshev consegui provar o Postulado de Bertrand.
1859. Riemann publica o artigo 3 Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, de 9paginas, único artigo de Riemann em teoria dos números. Neste artigo é feita uma analise extremamenteprofunda da função zeta. A função zeta, assim como definida, fornece uma função de variável complexa(holomorfa), na região de C, definida por Rez ą 1. Riemann mostra que ela satisfaz uma equaçãofuncional, que permite de extende-la a todo o plano complexo (com um único polo, ou seja um pontoonde ela vai ao infinito, em z “ 1). Com esta extensão, ela admite, nos inteiros negativos pares, zeroschamados triviais. Riemann mostra que, a parte estes zeros, todos os outros zeros da função zeta estãona faixa critica 0 ă Rez ă 1. Graças à função zeta, Riemann fornece uma formula explicita para πpxq.A prova desta formula foi completada por Von Mangoldt no 1895. Na formulação de Von Mangoldt, aformula explicita de Riemann diz o seguinte. Seja Λpnq a função definida por
Λpnq “
#
log p se n “ pk, com p primo e k ě 1
0 em outros casos
Por exemplo, a função Λ de 1, 2, . . . , 10 é dada por
0, log 2, log 3, log 2, log 5, 0, log 7, log 2, log 3, 0
A função ψ de Chebyshev é dada porψpxq “
ÿ
nďx
Λpnq
A função ψ0pxq de Chebyshev normalizada é dada por
ψ0pxq “ limhÑ0
ψpx` hq ´ ψpx´ hq
2
ou seja, a media dos limites direito e esquerdo, nas discontinuidades de ψ. A fórmula explicita deRiemann, na reformulação de Von Mangoldt diz que
ψpxq “ x´ÿ
w
xw
w´ logp2πq para x não inteiro
onde w corre entre os zeros não triviais na função ζ, e que, para todo x:
ψ0pxq “ x´ÿ
w
xw
w´ logp2πq ´
1
2logp1´
1
x2q
Reparamos que o enunciado do Teorema do Números Primos é equivalente a provar que
limxÑ`8
ψpxq
x“ limxÑ`8
ψ0pxq
x“ 1
3copia escaneada do qual se pode encontrar no sitehttps://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/Ueber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Grösse.pdf
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Ou seja, a função ψpxq é uma especie de função que conta os primo numa escala adaptada 4, "mais
natural". Observamos mais de perto o termoÿ
w
xw
w. Dado que w é complexo, w “ ρ` iγ, ρ, γ P R, o
número xw se pode re-escrever como
xw “ eplog xqw “ eplog xqpρ`iγq “ eρ log xeiγ log x “ eρ log xpcospγ log xq ` i sinpγ log xqq
Riemann faz a seguinte Hipótese: seria tudo mais simples se a parte real dos zeros da função zeta fosseconstante 1{2, no qual caso se poderia escrever
xw “?xpcospγ log xq ` i sinpγ log xqq
e a somaÿ
w
xw
wseria, considerando que a parte imaginaria tem que ir a zero:
ÿ
γ
1{2´ iγ
1{4` γ2
?xpcospγ log xq ` i sinpγ log xqq “
ÿ
γ
?x
1{4` γ2p1
2cospγ log xq ` γ sinpγ log xqq
onde γ é tal que 1{2 ` iγ é zero não trivial da função zeta. Observamos que a soma é uma somade ondas nas variavel γ, fato que nos permite de interpretar a formula explicita de Riemann comouma analise de Fourier, numa escala adequada, da função πpxq: ou seja: Riemann consegue explicaros "saltos"da função πpxq gerado pela presencia de um novo primo (e, então, essencialmente, a sua"posição"), com uma soma infinitas de ondas de frequencia γ log x e de amplitude
?x{p1{2 ` 2γ2q e
γ?x{p1{4`γ2q, exactamente como sinais discontinuos (mas periodicos) podem ser produzidos por soma
infinitas de ondas monocromaticas. Re-enviamos o estudante interessado à página web http://web.math.ucsb.edu/~stopple/explicit.html onde simulações ao computador permitem de visualizarquanto a formula explicita aproxima bem a distribuição dos primos.
A hipótese de Riemann é ligada ao Teorema dos Números Primos. De fato, von Koch provou no 1905que a hipótese de Riemann é equivalente à estimativa muito precisa
πpxq “ Lipxq `Op?x log xq
ou seja que existe uma constante C ą 0 tal que, por x suficientemente grande
|πpxq ´ Lipxq| ď C?x log x
o que implica diretamente o Teorema dos Números Primos.
1896. Hadamard e De la Vallée-Poussin demonstram independentemente, usando a função zeta deRiemann, o Teorema dos Números Primos. A demonstração é analitica e dificil. Corre voz que nãoseja possível demonstrar o Teorema dos Números Primos de forma elementar.
1948 Em seguida de estudos profundos de Selberg, o proprio Selberg e, independentemente, Erdös, dãouma demonstração elementar do Teorema dos Números Primos. A prova é elementar, mas ainda longa.
1980. Newman da uma prova elementar e curta do Teorema dos Números Primos.4De fato, fixado x real positivo, se p é primo tal que pk ď x, mas pk`1 ę x, a função ψpxq "conta"o primo p com peso
k logppq. Exemplo ψp11` 12q “ 3 log 2` 2 log 3` log 5` log 7` log 11, em lugar de escrever πp11` 1
2q “ 1` 1` 1` 1` 1 “ 5
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19. 04/10/2017, Aula 18.
Dado um conjunto X, o axioma do conjunto das partes afirma a existencia do conjunto PpXq “tY | Y Ď Xu, ou seja, o conjunto de todos os subconjuntos de X.
Sejam A e B dois conjuntos. Definição de par ordenado pa, bq, onde a P A, b P B, como
pa, bq :“ ttau, ta, buu P PpPpAYBqq .
Proposição 12. pa, bq “ pc, dq se e somente se a “ c, b “ d.
Definição de produto cartesiano AˆB de dois conjuntos como
AˆB :“ tpa, bq | a P A, b P Bu
Observamos que AˆB é naturalmente subconjunto de P pPpAYBqq. O produto cartesiano de três omais conjuntos é definido indutivamente como
A1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆAn´1 ˆAn :“ pA1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆAn´1q ˆAn .
Definição 10. Sejam A,B conjuntos. Uma relação R entre o conjunto A e o conjunto B é umsubconjunto ΓR do produto cartesiano A ˆ B. Dizemos que a P A é em relação com b P B, eescreveremos aRb se e somente se pa, bq P ΓR. Impropriamente, dizemos que ΓR é o grafico da relaçãoR (mas formalmente é a propria relação).
Varios exemplos de relações, entre os quais as relações de ordem e divisibilidade em Z.
Interpretação de uma relação em termos de Diagramas de Venn, como flechas arbitrarias conectandoelementos de a com elementos de b.
Obs: o conceito de relação não é simétrico nos conjuntos A e B. Na definição de relação ha sempreuma direção (a direção das flechas) que sempre vai de A até B para uma relação entre A e B.
Observação 24. Algumas vezes, sobretudo quando os conjuntos A e B podem variar, é bom consideraruma relação como uma terna pA,B,Γq onde Γ Ď AˆB. Em tal caso, duas relações pA,B,Γq, pA1, B1,Γ1qsão iguais, se e somente se são iguais como ternas, ou seja A “ A1, B “ B1, Γ “ Γ1.
Algumas propriedades das relações.
Definição 11. Sejam A,B dois conjuntos. Seja R uma relação entre o conjunto A e o conjunto B eseja ΓR o seu grafico. Chamamos com DpRq o dominio da relação R, ou seja,
DpRq “ ta P A | pa, bq P ΓRDb P Bu
com IpRq chamamos a imagem da relação R, ou seja,
IpRq “ tb P B | pa, bq P ΓRDa P Au .
Definição 12. Sejam A,B dois conjuntos. Seja R uma relação entre o conjunto A e o conjunto B eseja ΓR o seu grafico. Dizemos que a relação R é
• com unicidade a esquerda, ou injetiva se#
px1, yq P ΓR
px2, yq P ΓRùñ x1 “ x2
equivalentemente: se cada "reta horizontal"A ˆ tyu intersecta o grafico ΓR em ao máximo umponto;equivalentemente: se cada elemento b de B é alvo de ao máximo uma flecha proveniente de A;
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• com unicidade a direita, ou univalente se#
px, y1q P ΓR
px, y2q P ΓRùñ y1 “ y2
equivalentemente: se cada "reta vertical"tauˆB intersecta o grafico ΓB em ao máximo um ponto;equivalentemente se de cada elemento a de A parte ao máximo uma flecha em direção de B
• total a esquerda, se @a P A, Db P B, tal que pa, bq P ΓR;ou seja, se cada "reta vertical"tau ˆB cruza o grafico ΓR em pelo menos um ponto;equivalentemente se de cada elemento a P A parte pelo menos uma flecha em direção de Bequivalentemente DpRq “ A;
• total a direita, ou sobrejetiva: se @b P B, Da P A tal que pa, bq P ΓR;ou seja, se cada "reta horizontal"Aˆ tbu cruza o grafico ΓR em pelo menos um ponto;equivalentemente, se cada elemento b de B é alvo de pelo menos uma flecha proveniente de A;equivalentemente IpRq “ B.
Definição 13 (Relação R˚, simétrica de uma relação R). Sejam A,B conjuntos e seja R uma relaçãode A em B. Definimos a relação R˚ como
ΓR˚ :“ tpb, aq P B ˆA | pa, bq P ΓRu
Observação 25. A relação simétrica R˚ tem grafico exactamente o simétrico do grafico ΓR. Na intepre-tação com diagramas de Venn e flechas, a relação R˚ se obtem invertendo todas as flechas da relaçãoR. É imediato provar que: DpR˚q “ IpRq; IpR˚q “ DpRq.
Definição 14 (Composição de relações). Sejam A,B, C conjuntos. Seja R uma relação de A em B,e seja S uma relação de B em C. Definimos a relação S ˝R, composição de R e S, como
ΓS˝R :“
#
pa, cq P Aˆ C | Db P B |
#
pa, bq P ΓR
pb, cq P ΓS
+
Exercício 2. A composição de relações é associativa, ou seja, se A,B,C,D são conjuntos. Seja Ruma relação de A em B, S uma relação de B em C e T uma relação de C em D. Então
T ˝ pS ˝Rq “ pT ˝ Sq ˝R .
Definição 15. Dados A e B conjuntos, uma função f de A em B é uma relação univalente e total
a direita entre A e B. Em outras palavras, o grafico Γf da relação f é o grafico de uma função se e
somente se
@a P A D!b P B | pa, bq P Γf .
Fixado a P A, temos um único b tal que pa, bq P Γf . Em outras palavras, qualquer "reta vertical"tauˆBcruza o grafico Γf em um único ponto. Por sua unicidade, o b depende unicamente de a, e serà indicadocom fpaq. Então a escritura
b “ fpaq
é equivalente apa, bq P Γf
quando f é uma função.
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Definição 16. Uma função f : A - B se diz injetiva, se é injetiva como relação;sobrejetiva, se é sobrejejtiva como relaçãobijetiva se é injetiva e sobrejetiva.
Observação 26. Se A é conjunto a função idA : A - A é a função cujo grafico é ∆A “ tpa, aq |a P Au,ou seja, a função tal que idApaq “ a por cada a P A.
Exercício 3. Sejam A,B conjuntos. Seja R uma relação de A em B. Provar que R ˝ idA “ R,idB ˝R “ R.
Observação 27. É facil ver que uma função f : A - B é bijetiva se e somente se
@b P B D!a P A | pa, bq P Γf
Observação 28. Seja f : A - B uma função. A condição de bijetividade para f , ou seja
@b P B D!a P A | pa, bq P Γf
é equivalente a dizer que@b P B D!a P A | pb, aq P Γf˚
ou seja que a relação f˚ é uma função.
Exercício 4. Composição de funções é uma função.
Definição 17. Uma função f : A - B se diz inversível se existe uma função g : B - A tal que#
g ˝ f “ idA
f ˝ g “ idB
Uma tal função se diz inversa de f .
Exercício 5. Seja f : A - B uma função inversível e sejam g1, g2 duas inversas de f . Entãog1 “ g2.
Teorema 30. Seja f : A - B uma função. Então f é bijetiva se e somente se f é inversível.Neste caso a única inversa é a função f˚. Neste caso indicaremos com a mais comum notação f´1 afunção inversa f˚.
20. 09/10: Aula 19. Sejam, A,B conjuntos e R uma relação entre A e B. Se C Ď B, definimos com
R´1pCq “ ta P A | aRb, Db P Cu
Em outras palavras R´1pCq “ R˚pCq.
Sejam A,B conjuntos e f : A - B uma função. Se C “ tcu Ď B é um subconjunto de B que contémum único elemento, denotamos com f´1pcq o subconjunto f´1ptcuq, mesmo que f não seja inversívelcomo função.
Motivação para as relações de equivalencia. Uma relação de equivalencia formaliza um conceito de"igualdade"menos rigido do que a igualdade formal, de forma a enfatizar, a concentrar-se sobre aspropriedades que consideramos importantes a cada vez. Por exemplo, na geometria euclidiana plana,consideramos iguais dois triangulos quando um deles pode ser transportado em cima do outro via um
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movimento rigido (movimento que conserva as distancias). Mas dois triangulos considerados iguais,não são necessariamente o mesmo triangulo. No caso da geometria euclidiana a propriedade queconsideramos importante é a conservação da distancia, e então consideramos iguais dois triangulosquando os lados são, a dois a dois, do mesmo tamanho.
Seja R uma relação do conjunto A em si. Definição de relação reflexiva, simétrica, antisimétrica,transitiva. Uma relação de equivalencia é uma relação reflexiva, simétrica e transitiva. Uma relação depre-ordem é uma relação reflexiva e transitiva. Uma relação de pre-ordem antisimétrico é uma relaçãode ordem.
Definição 18. Seja R uma relação de A em si mesmo. Seja a P A. Definimos com
ras “ tb P A | bRau
ou seja, é o subconjunto de A de todos os elementos em relação com A. Quando R é de equivalencia,chamamos ras a classe de equivalencia de a para a relação R.
Definição 19. Seja R uma relação de equivalencia definida em A. Chamamos conjunto quociente oconjunto A{R “ tras | a P Au de todas as classes de equivalencia de A.
Observação 29. O conjunto quociente é naturalmente um subconjunto de PpAq.
Definição 20. Seja R uma relação de equivalencia definida em A e seja A{R o conjunto quociente. Aprojeção quociente é a função (naturalmente sobrejetiva)
πR : A -- A{R
a - ras
Exemplo de relações de pre-ordem, ordem e de equivalencia como a divisibilidade em Z (pre-ordem),divisibilidade em N (ordem), ď em Z (ordem total), várias relações de equivalencia geometrica em R2,identificação das classes de equivalencia e do conjunto quociente. Reparamos o seguinte fenomeno: asclasses de equivalencia distintas são sempre disgiunta e nunca vazias, e cobrem todo o conjunto A ondea relação é definida.
Definição 21 (Relação de congruencia módulo k). Seja k P Z. Definimos a relação de congruenciamódulo k em Z como
x ”k y ðñ y ´ x P kZ ðñ y ´ x “ kq, Dq P Z .
Proposição 13. A relação de congruencia módulo k é de equivalencia. Denotamos o conjunto quoci-ente Z{ ”k com Z{kZ, o, as vezes, com Zk.
Observação 30. É facil reparar que ”0 é exactamente a identidade idZ, que Γ”1 “ Zˆ Z, ou seja que@y P Z, @x P Z, x ”1 y.
Exemplo 3. Escrevemos todas as classes de equivalencia r0s6, r1s6, r2s6, r3s6, r4s6, r5s6 em Z{6Z.
21. 11/10 Aula 20. Vamos provar agora que as classes de equivalencias formam uma partição do conjuntoonde a relação é definida.
Observação 31. Vamos reformular as propriedades reflexiva, simétrica, transitiva, para uma relaçõa Rdefinida no conjunto A.
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• R é reflexiva ðñ aRa @a P A ðñ a P ras @a P A.
• R é simétrica se e somente se @a, b P A aRb ðñ bRa, ou seja @a, b P A a P rbs ðñ b P ras
• R é transitiva se e somente se @a, b, c P A,
#
aRb
bRcùñ aRc, ou seja
@a, b, c P A
#
a P ras
b P rcsùñ a P rcs .
Proposição 14. Seja R uma relação de equivalencia definida em A. São equivalentes
i) aRb;
ii) ras X rbs ‰ H;
iii) ras “ rbs.
Demonstração. i) ùñ ii). Se aRb então a P rbs, mas a P ras, porque R é reflexiva, então a P ras X rbs.Então ras X rbs ‰ H.
ii) ùñ iii). Supomos que ras X rbs ‰ H. Então existe x P A, tal que x P ras X rbs. Mas então x P ras,e x P rbs. Pela propriedade simétrica, se x P ras implica que a P rxs, e dado que x P rbs, temos quea P rbs, ou seja que aRb, e que então bRa, por simétria.
Provamos agora que ras Ď rbs. Seja y P ras. Dado que a P rbs, temos por transitividade que y P rbs, oque implica que ras Ď rbs. Seja agora y P rbs. Dado que b P ras, temos y P ras por transitividade; entãorbs Ď ras. Então ras “ rbs.
iii) ùñ i) Se ras “ rbs, temos que a P ras “ rbs, então a P rbs, ou seja aRb.
Corolário 7. Seja R uma relação de equivalencia definida em A. Se ras ‰ rbs, então ras X rbs “ H.Ou seja, duas classes de equivalencia distintas são disjuntas.
Observação Importante. A proposição precedente diz o fato seguinte. Se A é conjunto e R é deequivalencia em A, então temos
xRy ðñ rxs “ rys .
Observação Importante, II Em particular, se k P Z, k ‰ 0, temos que se x, y P Z, temos
x ”k y ðñ rxsk “ rysk .
Definição 22. Seja A um conjunto. Uma partição de A é uma familia tSλuλPΛ de subconjuntos de Atais que
• por cada λ P Λ, Sλ ‰ H;
• Se λ1 ‰ λ2, temos Sλ1X Sλ2
“ H
• YλPΛSλ “ A.
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Teorema 31. Seja A um conjunto. Cada relação de equivalencia R em A define uma única partiçãode A cuja família de subconjuntos tSλuλPΛ é dada pelas classes de equivalencia trasurasPA{R. Recipro-camente, dada uma partição tSλuλPΛ de A, existe uma única relação de equivalencia R em A tal queas classes de equivalencias sejam exactamente os subconjuntos da partição (ou seja, se por cada a P A,indicamos com Sλa
o único subconjunto da partição que contem a, então a função A{R - tSλu queassocia a ras o conjunto Sλa
é bem definida e bijetiva: não só, temos que ras “ Sλa).
Funções a partir de um conjunto quociente.
Dada uma relação de equivalencia R no conjunto A e um segundo conjunto B, se põe o problema dedefinir funções
f : A{R - B .
O problema se põe quando queremos definir fprxsq, ou seja f aplicada à classe de equivalencia de umelemento x, em termos de x. Surge o problema da boa definição: A classe rxs, mesmo dependendo doelemento x, pode provavelmente se escrever como rxs “ rys, com y diferente de x. Então, para ter umafunção bem definida de A{R até B, é preciso que cada vez que rxs “ rys, tenhamos que a definição defprxsq coincida com a definição de fprysq.
Exemplo 4. A função f : Z{6Z - N dada por fprnsq “ |n| não é bem definida. De fato fpr2sq teriaque ser igual a fpr8sq porque r2s “ r8s, mas na nossa definição fpr2sq “ |2| ‰ |8| “ fpr8sq. Ou seja, adefinição de f tem que depender só da classe e não do elemento representante da classe, mesmo que adefinição use aquele elemento.
Exemplo 5. Seja R2 “ A e seja R a relação de equivalencia px, yqRpx1, y1q se x2 ` y2 “ px1q2 ` py1q2.Consideramos a função f : R2{R - R "definida"por
fprpx, yqs “ x4 ` y4 ` 2x2y2 ` 3x2 ` 3y2
Então ela é bem definida, no sentido que se rpx, yqs “ rpx1, y1qs, então x4 ` y4 ` 2x2y2 ` 3x2 ` 3y2 “
px1q4 ` py1q4 ` 2px1q2py1q2 ` 3px1q2 ` 3py1q2.
Tentamos agora de ver o problema de forma um pouco mais teorica. Seja A um conjunto e seja R umarelação de equivalencia sobre A. Se g : A{R - B é uma função bem definida entre o quociente A{Re o conjunto B, então, por composição com a projeção quociente πR : A - A{R, fica definida umafunção f : g ˝ πR : A - A{R - B. Por definição temos que
fpxq “ gpπRpxqq “ gprxsq
Ou seja, cada vez que temos uma função bem definida g : A{R - B, conseguimos sempre exprimirg como uma função do representante. É claro também que se
πRpxq “ πRpyq ùñ fpxq “ gpπRpxqq “ gpπRpyqq “ fpyq
ou seja a função f : A - B tem a propriedade
πRpxq “ πRpyq ùñ fpxq “ fpyq .
Esta condição se pode re-escrever como
rxs “ rys ùñ fpxq “ fpyq
ou entãoxRy ùñ fpxq “ fpyq .
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Observação 32. A condição que acabamos de escrever se pode interpretar como R Ď„f , en termos derelações, ou ainda como o fato que f é constante longo das classes de equivalencia de R.
Vamos ver agora o reciproco. Se trata de saber quando, dada uma função f : A - B, e uma relaçãode equivalencia R sobre A, a função f "desce"a uma função g : A{R - B. É claro que a condiçãoque encontramos é necessaria, mas serà suficiente?
Vamos colocar o problema de forma ainda mais geral.
Lema 9. Seja f : A - B uma função e seja π : A -- Q uma função sobrejetiva. Então existe(uma única) g : Q - B tal que g ˝ π “ f se e somente se πpxq “ πpyq ùñ fpxq “ fpyq, ou seja,se e somente se f é constante longo as fibras de π.
Demonstração. A necessidade da condição é evidente porque se existe g, e se πpxq “ πpyq, entãofpxq “ gpπpxqq “ gpπpyqq “ fpyq. Do outro lado, supomos que por cada x, y P A, πpxq “ πpyq ùñ
fpxq “ fpyq. Sabemos que g é sobrejetiva. Queremos definir gpqq, com q P Q. Mas certamente existea P A tal que πpaq “ q. Definimos então
gpqq :“ fpaq .
Aqui surge o problema da boa definição, porque para definir g fizemos uma escolha. Temos queconseguir provar que o valor de gpqq não depende da escolha feita, mas só de q. Supomos então que a1
seja outro elemento em A tal que πpa1q “ πpaq “ q. Ou seja a, a1 P π´1pqq. Mas f é constante sobre asfibras de π, então
πpaq “ πpa1q ùñ fpa1q “ fpaq
ou seja, se tivessemos definido gpqq usando o levantamento a1, teriamos tido o mesmo resultado. Entãog esta bem definida e é claro que gpπpaqq “ fpaq porque a é um levantamento de πpaq. É tambémclaro que se existe uma tal g tem que ser única.
Temos o reciproco:
Teorema 32. Seja f : A - B uma função entre conjuntos. Seja R uma relação de equivalenciadefinida em A e seja πR : A - A{R a projeção quociente. Então existe g : A{R - B tal quef “ g ˝ πR se e somente se
@x, y P A, xRy ùñ fpxq “ fpyq
Demonstração. A necessidade da condição foi feita antes da observação. Para a suficiencia, usamos olema acima, com Q “ A{R, e obtemos que g existe (unica) se temos a condição
πRpxq “ πRpyq ùñ fpxq “ fpyq
mas esta é a condição do teorema.
Observação 33. No teorema acima, temos que a função induzida g é sobrejetiva se e somente se f ésobrejetiva, e é injetiva se e somente se fpxq “ fpyq ùñ πpxq “ πpyq ðñ xRy, ou seja, se e somentese R “„f .
As vezes é preciso definir uma função g : A1{R1ˆA2{R2- B a partir do produto cartesiano de dois
conjuntos quocientes. Certamente temos a função sobrejetiva πR1ˆπR2 : A1ˆA2- A1{R1ˆA2{R2.
Então podemos aplicar o lema acima, para obter
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Proposição 15. Sejam A1, A2, B conjuntos. Seja f : A1 ˆ A2- B uma função. Sejam R1, R2
relações de equivalencias, respeitivamente, nos conjuntos A1 e A2. Então existe uma função g : A1{R1ˆ
A2{R2- B tal que g ˝ pπR1
ˆπR2q se e somente se px1R1y1q^px2R2y2q ùñ fpx1, y1q “ fpx2, y2q.
Proposição 16. Seja k P Z, k ‰ 0. Temos que x ”k y ou seja, que rxsk “ rysk se e somente se x e ytem o mesmo resto na divisão por k.
Demonstração. Se x “ kq ` r, y “ kq1 ` r, então x ”k r, y ”k r, e então rxs “ rrs “ rys.
Do outro lado, supomos que x ”k y, e dividimos os dois por k: x “ kq`r, y “ kq1`r1, com 0 ď r ă |k|,0 ď r1 ă |k|. Então rrs “ rxs “ rys “ rr1s. Mas então r ” r1 mod k, e então r “ kq` r1. Mas então asduas r “ k0` r e r “ kq ` r1 são duas divisões euclidianas e r “ r1.
Proposição 17. Seja k P Z, k ‰ 0. O conjunto quociente Z{kZ contém exactamente |k| elementos(ou seja, é em bijeção com t1, . . . , |k|u).
Demonstração. Consideramos a composição
j : t0, . . . , |k| ´ 1u Ă - Z - Z{kZ .
É composição de funções, e então é uma função. Ela é definida como jpxq “ rxs. É sobrejetiva, porquê,dado rxs P Z{kZ, e dividindo x por k temos x “ kq ` r, com 0 ď r ă |k|, então 0 ď r ď |k| ´ 1. Alémdisso, rxs “ rrs, porquê x ”k r, porquê x´ r P kZ. Então rxs “ rrs “ jprq. Então é sobrejetiva.
Mostramos que é injetiva. Supomos que x, y P t0, . . . , |k| ´ 1u e que jpxq “ jpyq. Mas então x e y temo mesmo resto na divisão por k. Mas temos as divisões euclidianas x “ k0 ` x, y “ k0 ` y. Entãox “ y. É claro agora que t0, . . . , |k| ´ 1u é em bijeção com t1, . . . , |k|u, via função x - x ` 1, quetem inversa x - x ´ 1. Mas então a composição t1, . . . , |k|u - t0, . . . , |k| ´ 1u - Z{kZ, queobservamos dada por x - rx´ 1sk, é bijetiva, porquê composição de bijeções.
22. (16/10: aula 21)Funções a partir de um conjunto quociente.
23. (18/10: aula 22)
Definição 23. Seja A um conjunto. Uma operação interna em A é uma função µ : AˆA - A.
Provamos, em duas maneiras, a mão e usando a teoria da aula passada, que as seguintes (propostasde) definições são BEM DEFINIDAS fornecem duas operações ` e ¨ sobre Z{nZ:
rasn ` rbsn :“ ra` bsn
rasn ¨ rbsn :“ rabsn
Observação 34. As definições acima não são fruto do caso. Queremos que Z{nZ tenha operações soma` e produto ¨ tais que a projeção quociente π : Z - ZZ respeite ou seja compativel com as operaçõesem Z (estandard) e em Z{nZ, ou seja, queremos que
πpa` bq “ πpaq`πpbq
πpa ¨ bq “ πpaq¨πpbq
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Mas, dado que πpaq :“ rasn, segue que para ter operações ` e ¨ da forma que π as respeite, é necessarioque
rasn`rbsn :“ πpaq`πpbq :“ πpa` bq “ ra` bsn
rasn¨rbsn :“ πpaq¨πpbq :“ πpa` bq “ ra ¨ bsn
Ou seja, existe uma única definição possível para operações de soma e produto em Z{nZ tais que π asrespeite.
Definição 24. Seja A um conjunto e seja µ : AˆA - A uma operação interna.
• Dizemos que µ é associativa se
@a, b, c P A µpµpa, bq, cq “ µpa, µpb, cqq .
• Dizemos que um elemento e P A é neutro para a operação µ se
@a P A µpa, eq “ a “ µpe, aq .
Neste caso dizemos que a operação µ admite elemento neutro e.
Observação 35. Seja A um conjunto e µ uma operação em A. Existe ao máximo um únicoelemento neutro e para µ.
Demonstração. Supomos que e1, e2 sejam elementos neutros para µ. Então
e1 “ µpe1, e2q “ e2
onde na primeira igualdade usamos que e2 é neutro para µ e na segunda usamos que e1 é neutro.
• Seja µ uma operação interna com elemento neutro definida em A. Seja a P A. Dizemos que a éinversível (ou admite inverso) para a operação µ se existe b P A tal que
µpa, bq “ e “ µpb, aq .
Observação 36. Seja A um conjunto e seja µ uma operação interna associativa com elementoneutro definida em A. Seja a P A. Então existe ao máximo um inverso b de a para a operação µ.
Demonstração. Se b1, b2 são dois inversos de a para a operação µ, então
b1 “ µpb1, eq “ µpb1, µpa, b2qq “ µpµpb1, aq, b2q “ µpe, b2q “ b2 .
• Dizemos que µ é comutativa se
@a, b P A µpa, bq “ µpb, aq .
Definição 25. Seja A um conjunto com uma operação interna µ.
• Dizemos que o par pA,µq é um semigrupo se µ é associativa.
Exemplo 6. pNě5,`q, pNě3, ¨q são semigrupos.
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• Dizemos que o par pA,µq é um monoide se pA,µq é um semigrupo e µ admite elemento neutro e.
Exemplo 7. pN,`q é um monoide, assim como pN˚, ¨q, com elementos neutros 0 e 1, respeitiva-mente.
• Dizemos que pA,µq, é um grupo se pA,µq é um monoide onde todos os elementos são inversíveispara µ.
Exemplo 8. O par pSpXq, ˝q, onde X é um conjunto, SpXq é o conjunto das bijeções de X emX, e ˝ é a composição é um grupo, chamado o grupo simétrico de X.
• Dizemos que pA,µq é um grupo comutativo se pA,µq é grupo e µ é comutativo.
Exemplo 9. pZ,`q é um grupo comutativo. O grupo simétrico pSpXq, ˝q não é comutativo se|X| ě 3.
Definição 26. Um anel é uma tripla pA,µ, νq onde A é um conjunto e µ e ν são operações internasdefinidas em A tais que
• pA,µq é um grupo (comutativo) com elemento neutro 0;
• pA, νq é um monoide com elemento neutro 1;
• 1 ‰ 0;
• As duas estruturas pA,µq (estrutura aditiva) e pA, νq (estrutura multiplicativa) são relacionadaspor a propriedade distributiva
@a, b, c P A νpa, µpb, cqq “ µpνpa, bq, νpa, cqq
νpµpa, bq, cq “ µpνpa, cq, νpb, cqq
• Um anel pA,µ, νq se diz comutativo se ν é comutativa.
Teorema 33. O conjunto quociente Z{nZ, com as operações soma ` e produto ¨ é um anel comutativo.
(23/10: aula 23). Lei de anulação do produto em Z{nZ é valida se e somente se n é primo. Inversosmultiplicativos modulo n.
Proposição 18. Sejam a, b P Z, n P N, n ě 1. A congruencia ax ” b mod n tem solução se e somente sepa, nq � b. Em tal caso a solução é única modulo n1, onde n1 é definido como n “ n1|pa, nq|. Isto significa quea solução geral pode ser exprimida como x ” c mod n1, onde c é uma solução particular. Modulo n existemexactamente as d soluções distintas c, c` n1, . . . , c` pd´ 1qn1.
(30/10: aula 24).
Teorema 34. O sistema de congruencias#
x ” a mod n
x ” b mod m
admite solução se e somente se a ” b mod pm,nq.
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Teorema 35. O sistema de congruências:$
’
&
’
%
x ” a1 mod m1
. . .
x ” ak mod mk
O sistema tem solução se e soamente se por cada i, j temos ai ” aj mod pmi,mjq. Em tal caso a solução éúnica módulo rm1, . . . ,mks, ou seja, a solução geral se pode escrever como x ” c mod rm1, . . . ,mks, onde cé uma solução particular.
Demonstração. Por indução sobre o número de congruências k. Por k “ 2 o enunciado é o conteudo doteorema 34. Supomos o resultado seja valido por k congruências e tentámos mostra-lo por k ` 1. Supomoster k ` 1 congruências
$
’
’
’
&
’
’
’
%
x ” a1 mod m1
. . .
x ” ak mod mk
x ” ak`1 mod mk`1
com a hipótese@i, j P t1, . . . , k ` 1u ai ” aj mod pmi,mjq .
Mas então temos a condição
@i, j P t1, . . . , ku ai ” aj mod pmi,mjq
Por hipótese indutiva existe então uma solução e às primeiras k congruências e todas as outras soluções sãoda forma x ” e mod rm1, . . . ,mks: esta última congruência é equivalente às primeiras k. Então só temosque encontrar uma solução ao sistema de duas congruências:
#
x ” e mod rm1, . . . ,mks
x ” ak`1 mod mk`1
.
Podemos usar o teorema 34: temos que provar antes de tudo que as hipóteses são verificadas, ou seja que
e ” ak`1 mod prm1, . . . ,mks,mk`1q .
Reparamos antes de tudo que
prm1, . . . ,mks,mk`1q “ rpm1,mk`1q, . . . pmk,mk`1qs .
Reparamos tambem que e ” ak`1 mod rpm1,mk`1q, . . . pmk,mk`1qs é equivalente ao fato
rpm1,mk`1q, . . . pmk,mk`1qs � e´ ak`1 ðñ
$
’
’
’
&
’
’
’
%
pm1,mk`1q � e´ ak`1
. . .
. . .
pmk,mk`1q � e´ ak`1
o que é equivalente ao sistema de congruências:$
’
’
’
&
’
’
’
%
e ” ak`1 mod pm1,mk`1q
. . .
. . .
e ” ak`1 mod pmk,mk`1q
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Provamos que estas k congruências são verdadeiras. Por cada i “ 1, . . . , k, temos e ” ai mod mi o queé equivalente a mi � pe ´ aiq. Mas agora pmi,mk`1q � mi � e ´ ai e então e ” ai mod pmi,mk`1.Temos por hipótese ai ” ak`1 mod pmi,mk`1q. Mas então a propriedade transitiva diz e ” ak`1
mod pmi,mk`1q. Então as congruências aqui em cima são todas verdadeiras, ou seja é verdade que e ” ak`1
mod rpm1, ak`1q, . . . pmk, ak`1qqs. Mas se esta condição é verificada, então podemos aplicar o teorema 34 ededuzir a existência de uma solução ao sistema de congruências
#
x ” e mod rm1, . . . ,mks
x ” ak`1 mod mk`1
.
Mas este sistema de congruências é equivalente ao sistema original. Agora a solução geral do sistema#
x ” e mod rm1, . . . ,mks
x ” ak`1 mod mk`1
se escreve comox ” c mod rrm1, . . . ,mks,mk`1s
que, sendo rrm1, . . . ,mks,mk`1s “ rm1, . . . ,mk`1s, é o que queriamos.
Corolário 8. Se m1, . . . ,mk são a dois a dois coprimos (ou seja pmi,mjq “ 1 por cada i ‰ j), o sistemade congruências
$
’
&
’
%
x ” a1 mod m1
. . .
x ” ak mod mk
tem sempre solução. Essa solução é única módulo m1 ¨ ¨ ¨mk.
(01/11: aula 25). Estrutura de anel produto cartesiano de aneis.
Proposição 19. Sejam pA,µA, νAq, pB,µB , νBq dois aneis. Então as operações µAˆµB, νAˆ νB definidascomo as composições
µA ˆ µB : pAˆBq ˆ pAˆBq„- pAˆAq ˆ pB ˆBq - AˆB
ppa1, b1q, pa2, b2qq - ppa1, a2q, pb1, b2qq - pµApa1, a2q, µBpb1, b2qq
νA ˆ νB : pAˆBq ˆ pAˆBq„- pAˆAq ˆ pB ˆBq - AˆB
ppa1, b1q, pa2, b2qq - ppa1, a2q, pb1, b2qq - pνApa1, a2q, νBpb1, b2qq
definem sobre o produto cartesiano AˆB uma estrutura de anel, com elemento neutro para a soma µAˆµBo elemento p0A, 0Bq e elemento neutro para o produto µA ˆ νB o elemento p1A, 1Bq.
Exemplo 10. O produto cartesiano Z{12Zˆ Z{15Z tem estrutura de anel com as operações
pra1s12, rb1s15q ` pra2s12, rb2s15q “ pra1s12 ` ra2s12, rb1s15 ` rb2s15q
pra1s12, rb1s15q ¨ pra2s12, rb2s15q “ pra1s12 ¨ ra2s12, rb1s15 ¨ rb2s15q
O elemento neutro para a soma é pr0s12, r0s15q e o do produto é pr1s12, r1s15q. O elemento oposto depras12, rbs15q é pr´as12, r´bs15q.
Homomorfismo de aneis. Isomorfismo de Aneis.
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Definição 27. Sejam pM,µM q, pN,µN q dois monoides, com elementos neutros eM , eN , respeitivamente.Uma função f : M - N é homomorfismo de monoides se
fpµM px, yqq “ µN pfpxq, fpyqq
fpeM q “ fpeN q
Definição 28. Sejam pG,µGq, pH,µHq dois grupos, com elementos neutros eG, eH , respeitivamente. Umafunção f : G - H é homomorfismo de grupos se é homomorfismo de monoides.
Observação 37. Sejam pG,µGq, pH,µHq dois grupos, com elementos neutros eG, eH . Então uma funçãof : G - H é homomorfismo de grupos se e somente se fpµM px, yqq “ µN pfpxq, fpyqq, ou seja, destacondição, com a hipótese que G e H são grupos, podemos deduzir fpeGq “ eH .
Definição 29. Sejam pA,µA, νAq, pB,µB , νBq dois aneis. Uma função f : A - B se diz homomorfismode aneis se
fpµApx, yqq “ µBpfpxq, fpyqq @x, y P A
fpνApx, yqq “ νBpfpxq, fpyqq @x, y P A
fp1Aq “ fp1Bq
Exercício 6. Provar que se f : A - B é homomorfismo de aneis (como aqui em cima), então necessari-amente fp0Aq “ 0B . Usar que 0A “ 0A ` 0A.
Definição 30. Uma função f : A - B entre dois aneis é isomorfismo de aneis se é homomorfismo deaneis e se existe g : B - A, homomorfismo de aneis, tal que f ˝ g “ idB , g ˝ f “ idA.
Exercício 7. Uma função f : A - B entre dois aneis é isomorfismo de aneis se e somente se é homomor-fismo bijetivo.
Teorema 36 (Teorema Chinês do Resto, versão II). Se pmi,mjq “ 1, por i ‰ j, então a função
pf : Z{m1 ¨ ¨ ¨mkZ - Z{m1Zˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{mkZ
rxsm1¨¨¨mk- prxsm1
, . . . , rxsmkq
é um isomorfismo de aneis.
(06/11: aula 26).
Teorema 37. Se pmi,mjq “ 1, por i ‰ j, então o isomorfismo de aneis
pf : Z{m1 ¨ ¨ ¨mkZ - Z{m1Zˆ ¨ ¨ ¨ ˆ Z{mkZ
rxsm1¨¨¨mk- prxsm1 , . . . , rxsmk
q
induz um isomorfismo de grupos dos inversíveis multiplicativos
pfˇ
ˇ
U: UpZ{m1 ¨ ¨ ¨mkZ, ¨q - UpZ{m1Z, ¨q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ UpZ{mkZ, ¨q .
Definição 31. Seja n P N, n ě 2. Definimos a função totiente de Euler ϕpnq como
ϕpnq :“ˇ
ˇUpZ{nZ, ¨qˇ
ˇ “ˇ
ˇ tm P N | 0 ď mleqn | pm,nq “ 1uˇ
ˇ .
Proposição 20. A função ϕ é multiplicativa, ou seja, se m,n P N, m,n ě 2,
ϕpmnq “ ϕpmqϕpnq .
34
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Demonstração. Dado que pm,nq “ 1, pelo teorema 37 temos o isomorfismo de grupos
UpZ{mnZq » UpZ{mZq ˆ UZ{nZq
e então
ϕpnmq “ˇ
ˇUpZ{mnZqˇ
ˇ “ |UpZ{mZq ˆ UpZ{nZqˇ
ˇ “ |UpZ{mZq| ¨ |UZ{nZqˇ
ˇ “ ϕpmqϕpnq .
Proposição 21. Se p é um primo, então
ϕppkq “ pk ´ pk´1 “ pk´1pp´ 1q .
Demonstração. É suficiente contar quantos são os inteiros não negativos menores de pk que não são primoscom pk, ou com p, que é a mesma coisa, ou seja: vamos contar os naturais até pk que são divisiveis por p.São todos da forma mp, com 0 ď m ă pk´1. Então são pk´1. Então
ϕppkq “ pk ´ pk´1 .
Teorema 38 (Formula do Produto de Eulero). Seja n P N, n ě 2. Então:
ϕpnq :“ nź
pn
´
1´1
p
¯
.
Demonstração. Decompomos n em fatores primos: escrevaremos n como n “ pα11 . . . pαk
k , com pi primosdistintos. Então:
ϕpnq “kź
j“1
ϕppαj
j q “
kź
j“1
pαj´1j ppj ´ 1q
“
kź
j“1
pαj
j
´
1´1
pj
¯
“ nkź
j“1
´
1´1
pj
¯
“ nź
p�n
´
1´1
p
¯
(08/11: aula 27).
Proposição 22. Se p P N é primo, então por cada 1 ď k ď p´ 1,
p �
ˆ
p
k
˙
Demonstração. Por definiçãoˆ
p
k
˙
“p!
k!pp´ kq!“ppp´ 1q . . . pp´ k ` 1q
k!.
Entãok!
ˆ
p
k
˙
“ ppp´ 1q . . . pp´ k ` 1q .
Agora o termo de direita tem como p como fator primo. Então o termo de esquerda tambem. Mas todosos fatores primos de k!, dado que k ă p, são necessariamente menores do que p. Então p é fator primo deˆ
p
k
˙
.
35
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Proposição 23. Sejam a, b inteiros, p P N, p primo. Então
pa` bqp ” ap ` bp mod p .
Demonstração. Da fórmula do binómio de Newton temos:
pa` bqp “ ap ` bp `n´1ÿ
i“1
ˆ
p
i
˙
ap´ibi .
Então
pa` bqp ” ap ` bp `n´1ÿ
i“1
ˆ
p
i
˙
ap´ibi mod p .
É suficiente mostrar quen´1ÿ
i“1
ˆ
p
i
˙
ap´ibi ” 0 mod p ,
mas, pela proposição precedente, p �ˆ
p
i
˙
por cada i “ 1, . . . , p´ 1. Ou seja, podemos escreverˆ
p
i
˙
“ pci,
ci P N˚, se i “ 1, . . . , p´ 1. Então
n´1ÿ
i“1
ˆ
p
i
˙
ap´ibi “ pn´1ÿ
i“1
ciap´ibi ” 0 mod p
e então obtemos o que queremos.
Teorema 39 (Pequeno Teorema de Fermat). Seja p P N, p primo. Se a P Z então
ap ” a mod p
Se p ffl a, esta equação é equivalente aap´1 ” 1 mod p .
Demonstração. Demostramos a primeira. A afirmação é modulo p, e então é suficiente demostra-la paraa “ 0, . . . , p ´ 1. De fato, se val para a “ 0, . . . , p ´ 1, então por qualquer outro a, dividendo por p, temosa ” r mod p, onde r é o resto da divisão euclidiana de a por p e então 0 ď r ď p ´ 1. Mas então ap ” rp
mod p ” r mod p ” a mod p.É suficiente então mostrar a identidade para a P N, por indução sobre a. É claro que o caso base a “ 0 é
obvio dado que 0p “ 0 e então 0p ” 0 mod p. Supomos agora o teorema válido por a ě 0, ou seja supomosap ” a mod p, e provamo-no por a` 1. Temos
pa` 1qp ” ap ` 1p mod p
por a proposição precedente. Mas agora ap ” a mod p por hipótese indutiva, então
pa` 1qp ” ap ` 1p mod p ” a` 1 mod p
e o passo indutivo esta mostrado.Para demostrar a segunda, se p não divide a, então pa, pq “ 1 e a tem inverso multiplicativo módulo p.
Seja b o inverso múltiplicativo de a módulo p. Lembramos que ab ” 1 mod p. Então
ap´1 ” apb mod p ” ab mod p ” 1 mod p .
36
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Teorema 40 (Euler-Fermat). Sejam n P N, n ě 2, a P Z, com pa, nq “ 1. Então
aϕpnq ” 1 mod n .
Demonstração. A hipótese pa, nq “ 1 é equivalente ao fato que rasn P UpZ{nZ, ¨q. Em particular existerbsn “ ras
´1n o inverso multiplicativo de rasn. Consideramos agora a função g : UpZ{nZ, ¨q - UpZ{nZq
definida como
g : UpZ{nZ, ¨q - UpZ{nZq
rxsn - rasn ¨ rxsn “ raxsn
Mostramos agora que g é uma bijeção. Temos que gprxsnq “ gprysnq implica que rasn ¨ rxsn “ rasn ¨ rysn emultiplicando a esquerda por rbsn obtemos
rasn ¨ rxsn “ rasn ¨ rysn
rbsn ¨ prasn ¨ rxsnq “ prbsn ¨ rasnq ¨ rysn
prbsn ¨ rasnq ¨ rxsnq “ prbsn ¨ rasnq ¨ rysn
r1sn ¨ rxsn “ r1sn ¨ rysn
rxsn “ rysn
Então g é injetiva. Sabemos que uma função injetiva entre conjuntos finitos tem que ser sobrejetiva; então gé bijeção. Mostramos a mão que g é sobrejetiva. Seja rysn P UpZ{nZ, ¨q. É facil ver que gprbsn ¨ rysnq “ rysn.
O fato que g é bijetiva diz que g é uma permutação do conjunto UpZ{nZ, ¨q. Em outras palavras,denotamos o conjunto UpZ{nZ, ¨q “ trα1sn, . . . , rαϕpnqsnu. O fato que g é uma permutação deste conjuntosignifica que podemos re-escrever este conjunto como
UpZ{nZ, ¨q “ trα1sn, . . . , rαϕpnqsnu “ tgprα1snq, . . . , gprαϕpnqsnqu ,
ou seja os elementos gprα1sn, . . . , gprαϕpnqsnq coincidem (a menos da ordem, que pode ter estado alteradapor g) com os elementos rα1sn, . . . , rαϕpnqsn.
Seja agora z :“śϕpnqi“1 rαisn P UpZ{nZq. Temos que
z “
ϕpnqź
i“1
rαisn “
ϕpnqź
i“1
gprαisnq “
ϕpnqź
i“1
rasn ¨ rαisn “ rasϕpnqn
ϕpnqź
i“1
rαis “ rasϕpnqn z
Multiplicando agora por o inverso multiplicativo w de z temos
r1sn “ zw “ rasϕpnqn zw “ rasϕpnqn
o que é equivalente ao fatoaϕpnq ” 1 mod n .
Teorema 41 (Wilson). Seja p P N. Então p é primo se e somente se
pp´ 1q! ” ´1 mod p .
37
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Demonstração. A necessidade da condição de primalide para ter pp´1q! ” ´1 mod p é facilmente verificada:de fato, se p não é primo, então p se fatora p “ ab, com 1 ă a ă p, 1 ă b ă p. Mas então a � pp ´ 1q!,b � pp´ 1q! e a � ppp´ 1q!, pq, b � ppp´ 1q!, pq, que implicamo ppp´ 1q!, pq ‰ 1. Então pp´ 1q! não pode sercongruente a ´1 mod p, porque se o fosse teriamos ppp´ 1q!, pq “ 1.
Mostramos a suficiencia da condição de primalidade para ter pp´ 1q! ” 1 mod p. A suficiencia é obviase p “ 2. Tomamos então p ‰ 2. Seja agora R a relação definida em UpZ{pZq “ tr1sp, . . . , rp´1spu da formaseguinte:
xRy ðñ px “ yq _ pxy “ r1spq
ou seja, dois elementos em UpZ{pZq são em relação se e somente se ou são iguais ou são um inverso dooutro. Esta relação é de equivalencia, porque é trivialmente reflexiva e simétrica, e facilmente transitiva(deixamos ao estudante provar a transitividade). Então as classes de equivalencia Ci, i “ 1, . . . , k, formamuma partição de UpZ{pZq. Em particular Yki“1Ci “ UpZ{pZq e Ci X Cj “ H se i ‰ j e cada Ci ‰ H.
Provamos agora o fato seguinte: |Ci| “ 1 se e somente se Ci contem r1sp ou rp´1sp “ r´1sp. Obsevamosque r1sp {R r´1sp, se p primo diferente de 2, então r´1sp e r1sp pertencem a classes distintas. Observamostambém que |Ci| “ 1 se e somente se Ci contém um único elemento x, que tem que ser inverso de si mesmo.Provamos então que em UpZ{pZq os únicos inversos de si mesmos são r1sp e r´1sp. De fato x “ rksp é inversode si mesmo se e somente se k2 ” 1 mod p, o que é equivalente ao fato de p � k2 ´ 1 “ pk ´ 1qpk ` 1q. Masentão p � k ´ 1 ou p � k ` 1. No primeiro caso k ” 1 mod p, no segundo k ” ´1 mod p (e os dois nãose realizam ao mesmo tempo se p ą 2). Mas então as únicas possibilidades são x “ r˘1sp como querido.Então as classes de equivalencia de r1sp e r´1sp contém só um elemento, enquanto todas as outras contemexactamente dois elementos. Então k “ pp ´ 1 ´ 2q{2 ` 2 “ pp ´ 3q{2 ` 2 “ pp ` 1q{2. Seja C1 a classe der1sp e Ck a classe de r´1sp. Temos
rpp´ 1q!sp “ź
xPUpZ{pZqx “
kź
i“1
ź
xPCi
x “ r1sp
˜
k´1ź
i“2
ź
xPCi
x
¸
r´1sp “ r´1sp
k´1ź
i“2
ź
xPCi
x
mas agora, por i “ 2, . . . , k´ 1, temos que Ci “ txi, x´1i u com xi ‰ x´1
i , e entãoś
xPCix “ 1. Então temos
que
rpp´ 1q!sp “ r´1sp
k´1ź
i“2
ź
xPCi
x “ r´1sp
k´1ź
i“2
r1sp “ r´1sp
o que significapp´ 1q! ” ´1 mod p .
Exercício 8. Calcular pn´ 1q! mod n quando n não é primo.
(13/11: aula 28). Subgrupos, classes laterais esquerdas e direitas, conjunto quociente G{H.Subgrupos. Um subgrupo H de um grupo pG, ¨q é um subconjunto que "herda"a operação de G, e, com
ela, fica um grupo. Mais precisamente
Definição 32. Seja pG, ¨q um grupo, com elemento neutro e. Um subconjunto H Ď G é um subgrupo de Gse
i) @x, y P H, x ¨ y P H (ou seja H é fechado pela operação ¨ de G).
ii) e P H (o elemento neutro de G) esta em H.
iii) @x P H, x´1 P H ou seja, o inverso x´1 (em G) pertence a H. (ou seja, H é fechado por inversão).
38
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Observação 38. Sejam pG, ¨q e H Ď G um subgrupo, como na definição precedente. Então a operação ¨ˇ
ˇ
HˆH,
restringida a H ˆH, define uma operação
¨ˇ
ˇ
HˆH: H ˆH - H
por o ponto i) da definição acima. Esta operação é automaticamente associativa, porque é a mesma operaçãode G e ela é associativa em G. Além disso, se x P H, temos x ¨ e “ e ¨ x “ x, em H, porque agora e P H:então o elemento neutro e de G fica agora o elemento neutro de H. Finalmente, todo elemento de x de Htem um inverso x´1 que pertence a H. De fato temos a equação xx´1 “ x´1x “ e em G, mas agora ela valem H (todos os elementos estão em H). Então H é grupo com a estrutura induzida por G.
Exemplo 11. Se vê facilmente que nZ é subgrupo de Z.
Exemplo 12. Seja G um grupo e seja g P G. O conjunto xgy “ tgm | m P Zu é um subgrupo de G. Aqui sem é negativo, gm é definido como gm “ pg´1q´m. Dizemos que xgy é o subgrupo gerado por g.
Definição 33. Seja pG, ¨q um grupo e H um seu subgrupo. Seja g P G. Definimos as classes lateraisesquerdas e direitas gH e Hg como os conjuntos
gH “ tgh | h P Hu
Hg “ thg | h P Hu
Lema 10. Seja pG, ¨q um grupo e H um seu subgrupo. Temos as seguintes equivalencias:
xH “ yH ðñ y´1x P H ðñ x´1y P H
Hx “ Hy ðñ xy´1 P H ðñ yx´1 P H
Proposição 24. Seja pG, ¨q um grupo e H um seu subgrupo. As relações L „H e R„H definidas respecti-vamente em G como
x L„H y ðñ xH “ yH
xR„H y ðñ Hx “ Hy
são de equivalencias com classes de equivalencias
rxsL„H
“ xH
rxsR„H
“ Hx .
Proposição 25. A involução5 ω : G - G dada por a inversão ωpgq “ g´1 induz uma bijeção pω entre osconjuntos quocientes
pω : G{ L„Hbij- G{R„H .
Demonstração. A função ω verifica ω2 “ id, então é uma involução, ou seja, é inversível e coincide com asua inversa. Então ω é bijetiva. Consideramos agora a composição
πR ˝ ω : Gω- G
πR- G{R„H
5Dizemos involução uma função f : X - X tal que f2 “ id
39
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onde πR é a projeção quociente de G sobre G{R„H . Temos o diagrama
Gω - G
G{ L„H
πL
?G{R„H
πR
?
πR˝ω
-
onde πL é a projeção quociente de G sobre G{ L„H . Mostramos que πR ˝ ω desce a uma função
pω : G{ L„H - G{R„H ,
ou seja, que πR ˝ω fatora como πR ˝ω “ pω ˝πL por uma aplicação pω : G{ L„H - G{R„H . Por a teoriageral, isto acontece se e somente se
x L„H y ùñ πR ˝ ωpxq “ πR ˝ ωpyq .
Agora temos que
πR ˝ ωpxq “ πR ˝ ωpyq ðñ Hx´1 “ Hy´1 ðñ y´1px´1q´1 P H ðñ y´1x P H ðñ xH “ yH
ou seja mostramos quexH “ yH ðñ πR ˝ ωpxq “ πR ˝ ωpyq .
Isto implica que não só πR ˝ ω desce, mas desce a uma função injetiva pω : G{ L „H - G{R „H talque πR ˝ ω “ pω ˝ πL. Dado que πL é sobrejetiva e ω é sobrejetiva, temos que πR ˝ ω é sobrejetiva, e queentão pω ˝ πL é sobrejetiva; mas se uma composição é sobrejetiva, a segunda função (neste caso pω tem queser sobrejetiva. Então pω é bijetiva. Ela manda xH em Hx´1.
Observação 39. A proposição precedente afirma que os conjuntos quocientes, pelo menos do ponto de vistaconjuntistico, são muito parecidos. Em particular, tem o mesmo cardinal.
Definição 34. Seja pG, ¨q um grupo e H um seu subgrupo. Denotamos com G{H um dos conjuntosquocientes G{ L „H ou G{R „H , fixado uma vez por todas, dependentemente do gosto do autor e daconveniencia do uso do objeto matemático. Para nos, neste curso, denotaremos com
G{H :“ G{ L„H“ tgH | g P Gu .
O cardinal de G{H serà indicado com rG : Hs e serà chamado o indice de H em G.
Observação 40. Denotamos com π : G - G{H a projeção quociente. Como em qualquer relação deequivalencia, temos
π´1pgHq “ gH
onde o gH de esquerda é um ponto de G{H, e o gH de direita é um subconjunto de G. A π não é bijetiva,então neste caso π´1pgHq “ tx P G | πpxq “ gHu denota o subconjunto pre-imagem de gH por π.
Observação 41. Em geral, o cojunto quociente G{H não tem estrutura de grupo, a menos que H não tenhaalguma outra hipótese adicional (ser subgrupo normal, ou que não definiremos). Em particular, em geral,não ha uma estrutura de grupo tal que a projeção quociente π : G - G{H seja um homomorfismo. Temosuma tal estrutura se e somente se a operação em G{H é definida como
pg1Hqpg2Hq :“ g1g2H .
Mas esta, em geral, não é bem definida. Por exemplo se tomamos G “ σ3, e H “ σ12 “ tτ P σ3 | τp3q “ 3u,a operação acima não é bem definida.
40
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Observação 42. Se G (e então H) é comutativo, então a posição
pg1Hqpg2Hq :“ g1g2H
bem define uma operação em G{H, que torna G{H um grupo, como elemento neutro H, e com inversopgHq´1 “ g´1H. De fato, se g1H “ k1H e se g2H “ k2H, temos k´1
1 g1 P H, k´12 g2 P H, e então
k´11 g1k
´12 g2 P H, mas dado que tudo é comutativo, temos
k´11 k´1
2 g1g2 P H
o que é equivalente a (porque G é comutativo)
k´12 k´1
1 g1g2 P H ðñ pk1k2q´1g1g2 P H ðñ k1k2H “ g1g2H
o que implica que a operaçãopg1Hqpg2Hq :“ g1g2H
é bem definida. Deixamos ao estudantes provar que ela é associativa e que tem como elemento neutro H ecomo inveso do elemento gH o elemento g´1H. Com esta operação a projeção quociente π : G - G{H éum homomorfismo sobrejetivo de grupos.
Exercício 9. Provar que tomando G “ Z e H “ nZ, com n P N, n ě 2, e fazendo a construção G{H descritaacima, se obtem exactamente o grupo aditivo Z{nZ das classes de resto.
Lema 11. Seja pG, ¨q um grupo e seja H um seu subgrupo. Seja g P G e consideramos a classe lateral gH.Então a multiplicação a esquerda por g´1 induz uma bijeção
gHbij - H
gh - h
com o subgrupo H.
Observação 43. Analogamente se demonstra que qualquer classe lateral direita Hg é em bijeção com osubgrupo H (bijeção induzida pela multiplicação a direita por g´1. ).
Lema 12. Seja f : X -- Y uma sobrejeção entre dois conjuntos. Supomos que exista um terceiro conjuntoZ tal que, por cada y P Y temos uma bijeção
ψy : f´1pyqbij- Z .
Então existe uma bijeçãoΨ : X
bij- Y ˆ Z .
Demonstração. Seja x P X. Observamos que x P f´1pfpxqq, ou seja, x pertence necessariamente à fibra def sobre fpxq. Definimos uma função Ψ : X - Y ˆ Z da seguinte forma
Ψ : X - Y ˆ Z
x - pfpxq, ψfpxqpxqq
Tentamos de definir uma função inversa Φ : Y ˆ Z - X, da seguente forma
Φ : Y ˆ Z - X
py, zq - ψ´1y pzq
41
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Provamos agora que são uma inversa da outra: neste caso seram inversíveis e então bijetivas ambas. Temosque provar que
ΨΦ “ idYˆZ
ΦΨ “ idX .
Provamos a primeira: reparamos que ψ´1y pzq P f´1pyq, ou seja, pertence à fibra de f sobre y. Então
fpψ´1y pzqq “ y.
ΨΦpy, zq “ Ψpψ´1y pzqq “ pfpψ
´1y pzqq, ψfpψ´1
y pzqqpψ´1y pzqqq “ py, ψypψ
´1y pzqqq “ py, zq .
Provamos a segunda:ΦΨpxq “ Φpfpxq, ψfpxqpxqq “ ψ´1
fpxqpψfpxqpxqq “ x .
Observação 44. Seja f : X -- Y uma sobrejeção entre dois conjuntos. Supomos adicionalmente que X éfinito (então Y é finito, necessariamente) e que existe k P N˚ tal que todas as fibras f´1pyq tenham o mesmocardinal k. Então, sem usar o lema precedente, temos que
|X| “ k|Y | .
Demonstração. Temos que a familia tf´1pyquyPY é uma partição finita do conjunto X. Então
|X| “ÿ
yPY
|f´1pyq| “ÿ
yPY
k “ kÿ
yPY
1 “ k|Y | .
Definição 35. Seja G um grupo e H um seu subgrupo. Chamamos indice rG : Hs do subgrupo H em G ocardinal
rG : Hs :“ |G{H| .
Teorema 42 (Lagrange). Seja pG, ¨q um grupo e seja H Ă G um seu subgrupo. Então existe uma bijeção6
Gbij- G{H ˆH .
Em particular, em termos de cardinais|G| “ rG : Hs|H| .
Consequentemente, se G é um grupo finito, a ordem do subgrupo H divide a ordem do grupo G.
Demonstração I: caso geral. Consideramos a projeção quociente π : G - G{H. Dado que G{H “
G{L „H e que L „H é uma relação de equivalencia. temos que π´1pgHq “ gH. Mas então, pelo lema11, temos que existe uma bijeção, induzida pela multiplicação a esquerda por g´1:
ψgH : π´1pgHq “ gH - H .
Mas então, pelo lema 12 existe uma bijeção
Gbij- G{H ˆH .
As outras afirmações seguem diretamente dessa.6esta bijeção é longe de ser um isomorfismo em geral
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Demonstração II: caso G finito. . No caso em que G é um grupo finito, não é preciso usar o lema ??.Consideramos a sobrejeção π : G - G{H. Todas as fibras de π tem cardinal |gH| “ |H|, pelo lema 11.Mas então, aplicando a observação 44, temos
|G| “ |G{H||H| “ rG : Hs|H| .
(22/11: aula 29).
Definição 36. Seja pG, ¨, eq um grupo e seja g P G um seu elemento. Supomos que exista m P N˚ tal quegm “ e. Então definimos7 a ordem de g em G o inteiro positivo
ordGpgq :“ mintm P N˚ | gm “ eu .
Se não existe m P N˚ tal que gm “ e dizemos que ordGpgq é infinito.
Proposição 26. Seja G um grupo e seja g um elemento de ordem finita, dizemos ordGpgq “ m0 P N˚.Então
• Todos os elementos e, g, . . . , gm0´1 são distintos,
• xgy “ te, g, . . . , gm0´1u ;
• em particular |xgy| “ ordGpgq .
Demonstração. Provamos o primeiro ponto. Sejam 0 ď i ă j ď m0 ´ 1. Provamos que gi ‰ gj . Sefosse gi “ gj , multiplicando por g´i “ pg´1qi, teriamos gj´i “ e, mas então j ´ i P N˚, e gj´i “ e, masj ´ i ă m0 “ mintn P N˚ | gn “ eu. Absurdo. Então gi ‰ gj .
Provamos o segundo ponto. É claro que temos te, g, . . . , gm0´1u Ď xgy, por definição de xgy. Provamosque val a inclusão oposta. Seja gs P xgy. Dividimos s por m0: temos s “ m0q ` r, com 0 ď r ď m0 ´ 1.Então
gs “ gm0q`r “ pgm0qqgr “ eqgr “ egr “ gr P te, g, g2, . . . , gm0´1u .
O terceiro ponto é consequencia imediata do segundo, por que |xgy| “ |te, g, g2, . . . , gm0´1u| “ m0 “
ordGpgq.
Corolário 9. Seja G um grupo finito. Seja g P G. Então ordGpgq � |G|.
Demonstração. O conjunto |xgy| é subgrupo de G. Então ordGpgq “ |xgy| � |G|.
Corolário 10. Seja G um grupo. Seja g P G. Então
gm “ e Dm ‰ 0 ðñ a ordem de g é finita e ordGpgq � m .
Demonstração. Provamos a implicação ùñ . Provamos antes de tudo que existe n P N˚ tal que gn “ e.O que sabemos é que existe m P Z˚ tal que gm “ e. Se m P N˚, então não ha nada a demonstrar. Sem ă 0, então multiplicando a gm “ e por g´m “ pg´1qm, temos g´m “ e, e ´m P N˚. Então existe m P N˚
tal que gm “ e. Então g é de ordem finita, o que implica que |G| “ |xgy| é finito, porque ordGpgq “ |xgy|.Provamos que ordGpgq � m. Denotamos com m0 :“ ordGpgq. Dividimos m por m0: temos m “ m0q ` r,com 0 ď r ď m0 ´ 1. Com a mesma conta feita na proposição precedente, temos
e “ gm “ gm0q`r “ pgm0qqgr “ gr .
7aqui usamos implicitamente o PBO para dizer que o conjunto tm P N˚ | gm “ eu tem minimo
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Agora, se r ą 0, teriamos que gr “ e, e r ă m0 “ mintn P N˚ | gn “ eu. Absurdo. Então r “ 0. Entãom “ m0q, ou seja ordGpgq � m.
A implicação ðù é imediata, porque, chamado m0 “ ordGpgq, se temos m “ m0q, temos também quegm “ gm0q “ pgm0qq “ eq “ e.
Exercício 10. Seja G um grupo. Seja g P G. Então
gm “ gncom m ‰ n ðñ a ordem de g é finita e m ” n mod ordGpgq .
Corolário 11 (Euler-Fermat). Seja n P N, n ě 2. Seja a P Z, pa, nq “ 1. Então
aϕpnq ” 1 mod n .
Demonstração. O fato que pa, nq “ 1 é equivalente a dizer que rasn P UpZ{nZ, ¨q. Mas então
ordUpZ{nZqprasnq � |UpZ{nZ, ¨q| “ ϕpnq .
Mas pelo corolário 10 temos então querasϕpnqn “ r1sn
o que é equivalente aaϕpnq ” 1 mod n .
Exercício 11. Encontrar todos os x P Z tais que
r4s7x´565 “ r´1s65 .
Solução. Temos p4, 65q “ 1 e então r4s65 é multiplicativamente inversivel em Z{65Z. A equação só temsolução se r´1s65 P xr4s65y. Agora, por Euler-Fermat, temos
r4sϕp65q65 ” r1s65
e então ordpr4s65q � ϕp65q “ ϕp5qϕp13q “ 4 ¨ 12 “ 48. Mas é facil ver que r4s265 “ r16s65, r4s365 “ r´1s65 eque então ordpr4sq “ 6. Então a equação fica:
r4s7x´565 “ r4s365
Mas isto acontece se e somente se7x´ 5 ” 3 mod 6
o que é equivalente a x ” 2 mod 6.
Definição 37. Seja G um grupo. Dizemos que G é cíclico se existe g P G (chamado gerador) tal queG “ xgy.
Proposição 27. Seja G um grupo cíclico, gerado por g P G, ou seja G “ xgy. Então
• G é infinito se e somente se Em P N˚ tal que gm “ e.
• G é finito se e somente se Dm P N˚ tal que gm “ e.
Demonstração. A segunda segue diretamente do corolário 10. A primeira é equivalente à segunda (ou seja asegunda é da forma A ðñ B e a primeira é equivalente a A ðñ B).
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Teorema 43 (Classificação dos grupos cíclicos). Seja G um grupo cíclico, gerado por g P G, ou seja G “ xgy.
• Se G é infinito, a função
ϕ : Z - G
m - gm
é isomorfismo.
• Se G é finito e |G| “ m, então a função ϕ, definida acima, é sobrejetiva, mas não injetiva, e induz umisomorfismo
pϕ : Z{mZ - G
rksm - gk
Demonstração. 1. Consideramos a função ϕ : Z - G que manda m - gm. É claramente sobrejetiva.Provamos que é injetiva. Se fosse ϕpm1q “ ϕpm2q, com m1 ‰ m2 — podemos assumir sem falta degeneralidade que m2 ą m1 — então gm1 “ gm2 , então, multiplicando os dois lados por g´m1 “ pg´1qm1 ,temos
gm2´m1 “ e
e então existe s “ m2´m1 P N˚ tal que gs “ e. Mas então pelo corolário 10 G é finito. Absurdo. Mas entãoϕ é injetiva.
Só falta provar que ϕ é homomorfismo de grupos, ou seja, que
ϕpm1 `m2q “ ϕpm1qϕpm2q .
Mas
ϕpm1 `m2q “ gm1`m2 “ gm1 ¨ gm2 “ ϕpm1q ¨ ϕpm2q
pelas propriedades das potencias em grupos quaisquer. Então ϕ é homomorfismo bijetivo, ou seja, isomor-fismo.
2. Temos que |G| “ |xgy| “ ordGpgq “ m “ mintn P N˚ | gn “ eu. Consideramos mais uma vez a funçãoϕ : Z - G que manda m - gm. É claramente sobrejetiva. Ela não é injetiva. De fato temos, peloexercicio precedente:
ϕpm1q “ ϕpm2q ðñ gm1 “ gm2 ðñ m1 ” m2 mod m
Mas isto implica que ϕ desce a uma função bem definida e injetiva
pϕ : Z{mZ - G
que manda rksm - gk. Dado que ϕpkq “ pϕprksmq “ gk por cada k P Z, resulta que pϕ é necessariamentesobrejetiva, e então bijetiva. Mas pϕ é também homomorfismo de grupos dado que
pϕprk1sm ` rk2smq “ pϕprk1 ` k2smq “ gk1`k2 “ gk1 ¨ gk2 “ pϕprk1smq ¨ pϕprk2smq .
Então pϕ é isomorfismo de grupos.
(27/11: aula 30). Revisão.
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