ESTATÍSTICAPanorama Histórico

Desde a Antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individual e social realizando levantamentos quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de “estatísticas”. Há mais de 3000 anos antes de Cristo, os egípcios deixaram dados estatísticos gravados nas pirâmides. Os chineses realizaram um censo demográfico no ano 2275 a.C. e bem mais tarde, os romanos no ano 556 a.C., também realizaram trabalho bastante semelhante. Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. Só no século XVIII a Estatística passa a ser estudada por matemáticos e filósofos adquirindo, aos poucos, feições verdadeiramente científicas. Atualmente, existem duas visões divergentes e igualmente errôneas quanto à validade das conclusões estatísticas: ou crê-se em sua infalibilidade ou afirma-se que elas nada provam. Os que assim pensam ignoram os objetivos, o campo e o rigor do método estatístico; ignoram a Estatística, quer teórica quer prática, ou a conhecem muito superficialmente.

O que é Estatística?

Estatística é um conjunto de técnicas e processos que permite, de forma sistemática, coletar, organizar, descrever, analisar e interpretar dados para a tomada de decisões.

OBS.: Dados é um conjunto de valores, numéricos ou não.

A Estatística é utilizada em uma grande variedade de situações, que acumulam grande quantidade de dados numéricos e que necessitam de meios de comunicação claros, sintéticos e objetivos: eventos sociais, econômicos, científicos, esportivos, etc.

No mercado financeiro, os métodos estatísticos são empregados para previsões de taxas de juros e preços de diferentes bens e para desenvolvimento de estratégias de investimentos que maximizem os lucros.No comércio, a Estatística pode ser usada para previsão de demandas, planejamento da produção e implantação de técnicas administrativas eficientes que garantam o melhor lucro.Em Administração, a análise estatística funciona como uma importante ferramenta para se diagnosticar problemas de gerenciamento em diferentes setores de uma empresa e para propor políticas de investimento mais eficientes dentro da própria empresa.

A Estatística pode ser usada para simplesmente coletar, organizar, descrever e resumir dados, fazendo as interpretações iniciais (ESTATÍSTICA DESCRITIVA) ou para analisar e interpretar esses dados, com a utilização de probabilidades, que permitam conclusões que extrapolam os dados obtidos inicialmente (ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL).OBS.: A Estatística Descritiva resume os dados para facilitar interpretações. Porém, se não forem tomadas muitas precauções, os resultados podem ficar distorcidos, com perda de informações.

Método estatístico

Método estatístico é um processo para se obter, apresentar e analisar características ou valores numéricos para uma melhor tomada de decisão em situações de incerteza.

Fases do Método Estatístico: definição dos objetivos, planejamento, coleta de dados, sondagem, crítica dos dados, apuração dos dados, exposição ou apresentação dos dados, análise dos resultados e relatório final.

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População e Amostra

População (ou universo) é um conjunto de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.

Essa característica comum deve delimitar inequivocamente quais os elementos que pertencem à população e quais os que não pertencem.Os dados que observaremos, na tentativa de tirar conclusões sobre o fenômeno que nos interessa, serão referentes a elementos dessa população.

Exemplos: população dos alunos matriculados nas escolas públicas estaduais; população dos livros da biblioteca da ETESP; população das lâmpadas fabricadas pela Empresa L, no mês de janeiro.

O tamanho de uma população é o número de elementos que a compõem.

CensoLevantamento estatístico que abrange todos os elementos de uma população.

Amostra, fixada uma população, é qualquer subconjunto finito formado exclusivamente por elementos dessa população.

A amostra deve ser representativa da população, isto é, a amostra deve possuir as mesmas características básicas da população, no que diz respeito à(s) característica(s) que desejamos pesquisar.A Estatística Indutiva busca obter resultados sobre as populações a partir das amostras, dizendo também qual a precisão desses resultados e com que probabilidade se pode confiar nas conclusões obtidas.

Amostragem é o processo de seleção de uma amostra, que possibilitará o estudo das características da população.

Os problemas de amostragem podem ser mais ou menos complexos e sutis, dependendo das populações e das características que se deseja estudar. Na indústria,onde amostras são freqüentemente retiradas para efeito de controle de qualidade dos produtos e materiais, em geral os problemas de amostragens são mais simples. de resolver. Por outro lado, em pesquisas sociais, econômicas ou de opinião, a complexidade dos problemas de amostragem é normalmente bastante grande.A caracterização da população e a técnica de amostragem são fundamentais para garantir a representatividade da amostra.

FonteApós planejar quais os dados a coletar e que amostra utilizará, o pesquisador (estatístico) deve decidir como e onde fará a coleta.

Fonte primária: as informações são obtidas diretamente pelo pesquisador. Fonte secundária: as informações são obtidas de relatórios, revistas, arquivos, livros ou instituições

especializadas.A fonte de dados é de grande importância para uma pesquisa.

Dados imprecisos, amostras viciadas, populações mal definidas e critérios subjetivos levam a resultados igualmente imprecisos, que a estatística não pode e não deve tentar salvar.

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Variáveis

Suponha que um questionário foi aplicado às famílias residentes no bairro B da cidade de São Paulo.Após a tabulação do questionário foi construída a tabela de dados brutos, que contém os dados da maneira que foram coletados inicialmente.

Em cada família investigada existe uma característica (ou mais) em estudo que pode assumir diferentes valores.

Família Idade do pai

Grau de instrução do pai Religião Classe

socialRenda mensal (em

salário mínimo)Nº de filhos em idade escolar

Região de procedência

1 35 fundamental evangélica baixa 4 3 Interior2 33 médio budista média 10 0 Capital3 42 médio espírita média 12 1 outro Estado4 28 superior nenhuma alta 16,5 2 Capital5 38 nenhuma católica baixa 6 4 outro Estado

Variável: Característica dos elementos de uma população ou de uma amostra, que pode assumir diferentes valores (numéricos ou não).

Uma variável é dividida em categorias que devem ser:

unívocas (apresenta uma única forma de interpretação, homogênea) bem definidas mutuamente exclusivas exaustivas

No exemplo tem-seVariável “número de filhos” assumindo os valores: 0, 1, 2, 3, ....Variável “nível de instrução” assumindo as categorias: fundamental, médio, superior, nenhumaVariável “religião” assumindo as categorias: católica, espírita, evangélica, ....Variável “renda mensal” assumindo os valores: 1,7 salário mínimo; 3,2 salários mínimos, etc.

Uma variável pode ser1. Qualitativa: quando os valores são expressos por atributos ou qualidades (não-numérico).

a) Variável qualitativa ordinal : os atributos ou qualidades tem uma ordenação natural.Exemplo: nível de instrução, classe social

b) Variável qualitativa nominal : os atributos ou qualidades não são ordenáveis.Exemplo: sexo, raça, religião, naturalidade

2. Quantitativa: quando seus valores são expressos numericamente.a) Variáveis quantitativas discretas : variáveis que podem assumir apenas determinados valores, e

resultam de uma contagem (números inteiros).Exemplo: número de filhos

b) Variáveis quantitativas contínuas : variável que pode assumir qualquer valor entre dois limites, e resultam de uma medição (números reais).Exemplo: idade, estatura, peso, etc

No estudo feito, temos que:Variáveis qualitativas: grau de instrução (O), religião (N), classe social (O), região de procedência (N)Variáveis quantitativas: idade do pai (C), renda mensal (C), número de filhos (D)

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EXERCÍCIOS

1. Pretendia-se fazer um estudo sobre o número de irmãos dos alunos da 8ª série do Ensino Fundamental da Escola E.Para isso, efetuou-se uma pesquisa com 60 alunos. Indique:a) a população em estudo;b) a amostra escolhida;c) a variável em estudo e classifique-a.

2. Identifique as variáveis em qualitativa e quantitativa. Se for qualitativa, classifique em ordinal ou nominal. Se for quantitativa, classifique em discreta ou contínua.a) massa;b) altura;c) sexo;d) idade;

e) número de irmãos;f) gosto musical;g) cor dos olhos;h) grau de instrução.

3. Para as situações descritas nos itens, determine a população. a variável em estudo. a classificação da variável em qualitativa ou quantitativa.

a) Na cidade “C” verificou-se que 28% dos carros são movidos a álcool e 72%, a gasolina.b) Pesquisa sobre o consumo de energia elétrica mensal nas residências do bairro “B”.c) Ocorrência de hipertensão pré-natal em grávidas com mais de 35 anos.d) O número de filmes disponíveis num hotel, por dia, a seus hóspedes.

4. Classifique as variáveis quantitativas abaixo em discretas ou contínuasa) População: alunos de uma cidade

Variável: número de irmãosb) P.: estação meteorológica de uma cidade

V.: precipitação pluviométrica, durante um ano.

c) P.: funcionários de uma empresaV.: salários.

d) P.: pregos produzidos por uma máquinaV.: comprimento.

e) P.: casais residentes em uma cidadeV.: número de filhos

f) P.: propriedades agrícolas do BrasilV.: produção de algodão, em toneladas.

g) P.: segmentos de retaV.: comprimento.

h) P.: bibliotecas da cidade de São PauloV.: número de volumes.

i) P.: aparelhos produzidos em uma linha de montagem.V.: número de defeitos por unidade.

j) P.: Rede de Lanches ABCV.: número de sanduíches vendidos por dia.

k) P.: Frota de automóveis da cidade CV.: capacidade do tanque de combustível.

l) P.: Restaurante Arroz e FeijãoV.: “peso” de cada refeição servida por quilograma.

5. Admita que será feita uma pesquisa com cada população descrita abaixo. Associe a cada população uma variável qualitativa, quantitativa discreta e quantitativa contínua, analisada na pesquisa:a) Turistas estrangeiros no Brasil.b) Restaurante “Comida boa”.c) Caixas de um supermercado.d) Escritório de contabilidade “Contas certas”.e) Provedoras de acesso à Internet.f) Produção de parafusos da fábrica “Rosca”.

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TABELAS

Uma tabela compõe-se de:1. título – conjunto de informações, claras e objetivas, respondendo às perguntas: O quê? (natureza do

fato), Quando? (tempo), Onde? (lugar), localizado no topo da tabela. 2. corpo – conjunto de linhas e colunas que contém informações sobre a variável em estudo;

a) cabeçalho – parte superior da tabela que especifica o conteúdo das colunas;b) coluna indicadora – parte da tabela que especifica o conteúdo das linhas;c) linhas – retas imaginárias que facilitam a leitura, no sentido horizontal, de dados que se inscrevem

nos seus cruzamentos com as colunas;d) casa ou célula – espaço destinado a um só número;

3. fonte – deve entrar no rodapé, sendo obrigatória;4. notas – explicações escritas no rodapé. (opcional)5. total – as tabelas podem apresentar um total ou não. Aparece entre traços horizontais.

PRODUÇÃO DE CAFÉBRASIL – 1991-1995

ANOS PRODUÇÃO(1 000 t)

1991 2 5351992 2 6661993 2 1221994 3 7501995 2 007

Fonte: IBGE

OBS.: Resolução 886 da Fundação IBGE: nas casa ou células

(--) traço horizontal quando o valor é zero, sem arredondamento.(...) três pontos quando não dispomos dos dados.(?) ponto de interrogação quando temos dúvida quanto à exatidão de determinado valor(0) 0; 0,0; 0,00; 0,000; ...(zero) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela

unidade utilizada. A tabela não deve ser fechada lateralmente. As colunas muito extensas devem ter, de cinco em cinco ou de dez em dez linhas, uma linha em

branco.

Série Estatística

Série estatística é a organização dos dados coletados em uma pesquisa, de acordo com critérios específicos, e que tem como principal objetivo o agrupamento de um conjunto de dados de mesma natureza com um caráter variável, facilitando a sua interpretação e análise.A representação de uma série estatística pode ocorrer por meio de tabelas ou gráficos.A variável deverá inicialmente ser classificada em categorias (de forma unívoca, bem definidas, mutuamente exclusivas e exaustivas). Feita a categorização procede-se à contagem que constituíra as frequências das casas nas séries.

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TABELA é um quadro que resume um conjunto de observações.

Título

CabeçalhoColunaindicadora

Rodapé

Conforme a natureza da variável, a série toma uma denominação especial:

Série temporal, histórica ou cronológica: quando a variável é o tempo.Neste caso, ficam fixos o espaço e a espécie.

TAXA DE ESCOLARIZAÇÃO ENSINO FUNDAMENTAL

BRASIL – 1994 - 2000

Anos ALUNOS(%)

1994 89,11995 90,01996 90,81997 91,21998 95,31999 96,32000 97,0

Fonte: Ministério da Educação/INEP

Série geográfica, territorial ou de espaço: quando a variável é o espaço (País, Estado, Município, Cidade, etc.).Neste caso, ficam fixos o tempo e a espécie.

DURAÇÃO MÉDIA DOSESTUDOS SUPERIORES

1994PAÍSES Nº DE ANOSItália 7,5Alemanha 7,0França 7,0Holanda 5,9Inglaterra menos de 4Fonte: Revista Veja

Série específica ou categórica: quando a variável é a espécie (categoria/fenômeno).Neste caso, ficam fixos o tempo e o espaço.

Utilização do 13º salárioCidade de São Paulo

Dezembro 2008Opções Valor percentual (%)

Pagar dívidas 53Fazer compras 14Poupar/guardar 14Investir/aplicar 7Gastar nas férias

6

Outros 6Fonte: dados fictícios

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS: Quando a variável é um número.Neste caso, todos os elementos – tempo, espaço e espécie – são fixos. Embora fixa, a espécie varia em intensidade (variação quantitativa do fenômeno).

A IDADE MAIS PROVÁVELNO PEDIDO DE SEPARAÇÃO

BRASIL - 1997Idade Homem Mulher

Menos de 20 0,2% 3%De 20 a 29 25% 36%De 30 a 39 41% 38%De 40 a 49 23,5% 18%Mais de 50 10% 5%Fonte: IBGE

Séries conjugadasAs séries poderão ser conjugadas, resultando daí uma série de dupla entrada. Em uma tabela desse tipo ficam criadas duas ordens de classificação: uma horizontal (linha) e uma vertical (coluna).

Série geográfica – histórica

Eleitorado do Estado de São PauloRegião 1998 2000 2002Capital 7 131 722 7 135 170 7 531 597Interior 16 193 067 17 133 381 18 123 956Estado 23 324 789 24 268 551 25 655 553

Fonte: Tribunal Regional Eleitoral de São Paulo - setembro/2002

Observação:Se os dados reunidos numa tabela não apresentarem uniformidade, sendo apenas um aglomerado de informações gerais sobre determinado assunto, a tabela não representa uma série estatística.

Assolan – Lã de AçoDezembro de 2002

Participação no mercado 16,5%Produção

(em toneladas por mês) 2 100

Número de Funcionários 670Pontos-de venda 200 000

Fonte: Revista Veja 05/MAR/2003

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Dados Estatísticos

Dados absolutos: dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a contagem ou medida.Os dados absolutos traduzem um resultado exato e fiel, mas não têm a virtude de ressaltar de imediato as suas conclusões numéricas.Dados relativos são aqueles que passaram por algum tipo de tratamento, como por exemplo: índices, coeficientes e taxas.

Índices

Definição: Índice é a razão entre duas grandezas independentes.Exemplos:

Densidade demográfica:

Índices econômicos:

Produção per capita =

Consumo per capita =

Renda per capita =

Coeficientes

Definição: Coeficiente é razão entre o número de ocorrências e o número total.

Exemplos:

Coeficiente de natalidade:

Coeficiente de mortalidade:

Coeficiente de evasão escolar:

Taxa

Definição: Taxa é o coeficiente multiplicado por uma potência de 10 (1, 10, 100,1 000, etc.).

Exemplos: Taxa de mortalidade = coeficiente de mortalidade x 1 000

Ex.: Suponha que, em uma determinada região o coeficiente de mortalidade é 0,159, o que significa 0,159 óbitos por habitante. Pode-se dizer que há 159 óbitos por 1 000 habitantes.

Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1 000

Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 100

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Taxa unitária e Taxa percentual

Taxa unitária é o próprio coeficiente obtido.Suponha que em uma escola o coeficiente de aprovação é 0,87, isso significa que há 0,87 aprovados para cada aluno.Taxa percentual ou porcentagem é o coeficiente obtido multiplicado por 100.No exemplo anterior, a taxa percentual de aprovação nessa escola é .

Complete a tabela da série estatística a seguir:

Matrículas nas Escolas da Cidade A - 2009Dados absolutos Dados Relativos

Ensino Número de Alunos taxa unitária taxa percentual Fundamental 19 286

Médio 1 681Superior 234

Total 21 201 1,0000 100,00Fonte: Dados fictícios

OBS.: Taxa unitária: considerar 4 casas decimais.Taxa percentual: considerar 2 casas decimais.

Exemplo: Complete a tabela

ESCOLAS Nº DE ALUNOS taxa unitária taxa percentual

A 175B 222C 202D 362E 280F 540

TOTAL 1 781 1,0000 100,00

Arredondamento

Arredondamento de NúmerosQuando o primeiro algarismo a ser abandonado é 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último algarismo a permanecer.Exemplo: 1,4378 1,4 258,871 258,87Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se uma unidade ao último algarismo a permanecer.Exemplo: 36,3624 36,4 15,99 16,0Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é 5, há dois procedimentos: Se após o algarismo 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de 0, aumenta-se em uma

unidade o algarismo que antecede o 5.Exemplo: 369,45001 369,5 54,6251 54,63

Se após o algarismo 5 não seguir (em qualquer casa) um algarismo diferente de zero, ao algarismo que antecede o 5 será acrescentada uma unidade, se for ímpar, e permanecerá como está, se for par.Exemplo: 26,35 26,4 159,65 159,6

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Arredondamento de SomaNa soma deve-se arredondar primeiro o total, e posteriormente as parcelas. Há dois casos a considerar:

Quando a soma das parcelas da série arredondada é superior ao total, deve-se voltar à série original, arredondando-se, por falta, tantas parcelas quantas forem as unidades excedentes. Serão escolhidas as maiores parcelas.

Série Original Série Arredondada Série Corrigida

6,51 7 7 7,50 8 814,63 15 1520,10 20 2024,73 25 24*26,52

27 26*

99,99 102 > 100 100*Arredondamentos refeitos

Quando a soma das parcelas da série arredondada é inferior ao total, deve-se voltar à série original, arredondando-se, por excesso, tantas parcelas quantas forem as unidades em falta. Serão escolhidas as maiores parcelas.

Série Original Série Arredondada Série Corrigida

5,34 5 5 7,45 7 718,50 18 1819,90 20 2022,37 22 23*26,43

26 27*

99,99 98 < 100 100* Arredondamentos refeitos

EXERCÍCIOS

1. Procure exemplos de séries estatísticas em jornais e revistas e copie-os/recorte-os, classificando essas séries.

2. Representar os dados abaixo em uma série estatística. Classifique-a.“Estabelecimentos de ensino da região Norte do Brasil em 1982. A região Norte subdivide-se em: Rondônia, Acre, Amazonas, Roraima, Pará e Amapá e possuem um total de 29, 13, 78, 4, 110 e 9 estabelecimentos de ensino, respectivamente, segundo o SEEC-MEC.”

3. Uma escola apresentava, no final do ano, o seguinte quadro:

SÉRIESMATRÍCULAS

MARÇO NOVEMBRO1ª 480 4752ª 458 4563ª 436 4304º 420 420

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Calcule a taxa percentual dea) evasão por série.b) evasão da escola.

Total

Total

Total 1 794 1 781

4. Suponha que em 2008, o Estado A apresentou no início do ano 159 753 matrículas 1ª série do Ensino Médio e no fim do ano 153 753 matrículas. Já o Estado B apresentou, respectivamente, 456 753 e 432 951 matrículas. Qual o estado que apresentou maior evasão escolar?

5. São Paulo tinha, em 2000, uma população de 37 032 403 habitantes. Sabendo que sua área terrestre é de 248 809 , calcule a sua densidade demográfica em 2000.

6. Considerando que Minas Gerais, em 1992, apresentou (dados fornecidos pelo IBGE): População: 15 957,6 mil habitantes Superfície: 586 624 Nascimentos: 292 036 Óbitos: 99 281

7. A tabela refere-se aos resultados de uma pesquisa, realizada com 400 adolescentes, a respeito do seu lazer preferido. Complete a tabela.

8. A tabela refere-se aos resultados de uma pesquisa, realizada com os 357 funcionários da empresa A, a respeito do seu salário, que foram agrupados de 500 em 500 reais a partir do valor R$ 500,00. Complete a tabela.

9. Considere a tabela a seguir, referente à parte das peças fabricadas por uma determinada empresa, classificadas por tipo. Observe que a filosofia de trabalho da empresa é a busca da qualidade total, portanto qualquer defeito nas peças que possa comprometer a sua imagem perante o público consumidor, é automaticamente rejeitado.

FABRICAÇÃO DE PEÇAS PARA CARRO MODELO CMês – novembro/97

DiscriminaçãoQuantidadefabricada

Quantidaderejeitada por

defeito

Porcentagemde peças defeituosas

por tipo

Porcentagempor tipo fabricado

em relação ao totalgeral de peças

Lanterna traseira direita 2 000 80Palheta do limpador de pára-brisa 1 800 100Cinzeiro 3 000 200Cinto de segurança 2 500 100Pára-choque dianteiro 600 30Lanterna de teto 700 25Trinco da porta 1 200 120

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Calculec) a densidade demográfica;d) a taxa de natalidade (por 1 000 habitantes);e) o coeficiente de mortalidade.

LazerDados absolutos Dados relativos

Número deadolescentes

taxa unitária

taxa percentual

Internet 123Esporte 56Música 35Ler 26Dançar 158Outros 2

Total 1,0000 100,00

Salário(em reais)

Dados absolutos Dados relativosNúmero de

funcionáriostaxa

unitáriataxa

percentual de 500 a 1 000 154de 1 000 a 1 500 0,2437de 1 500 a 2 000 56de 2 000 a 2 500 36de 2 500 a 3 000 4,20de 3 000 a 3 500 9

Total

Total ---------------Fonte: Dados fictícios

Determine a porcentagem de peças defeituosas em relação ao total geral.

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REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE VARIÁVEIS QUALITATIVAS

Gráfico estatístico: forma de apresentação dos dados estatísticos para produzir uma impressão mais rápida e viva do fenômeno.Tipos de gráficos: diagramas, pictogramas e cartogramas.A representação gráfica deve se caracterizar pela:

Simplicidade – o gráfico deve ser destituído de detalhes de importância secundária, assim como de traços desnecessários que possam levar o observador a uma análise morosa ou com erros.

Clareza – o gráfico deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo.

Veracidade – o gráfico deve expressar a verdade sobre o fenômeno em estudo.

Os gráficos estatísticos devem apresentar: Título (“o que”, “onde”, “quando”) Escalas e respectivas unidades de medidas Indicações das convenções adotadas (legendas) fonte

OBS.: Para a moldura do gráfico, recomenda-se manter a proporção: largura com 1,25 a 1,75 da altura.

Gráfico em linha ou em curva ou de tendência

O gráfico em linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num sistema de coordenadas cartesianas. Neste tipo de gráfico uma linha poligonal é usada para representar a série estatística.O gráfico em linha representa, exclusivamente, uma série temporal com um número significativo de informações ( 5 ou mais), sendo que o tempo é colocado no eixo das abscissas e os valores observados no eixo das ordenadas. Para um número menor de ocorrências um outro tipo de gráfico de ser construído.Exemplo:

Taxa de Mortalidade InfantilBrasil – 1994-2000

AnosMortalidade

(por 1 000 nascidos vivos)

1994 39,6

1995 38,41996 37,51997 36,7

- 12 –

a

b 1,25b < a < 1,75b

Taxa de Mortalidade Infantil Brasileira(por 1 000 nascidos vivos)

353637383940

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Fonte: IBGE e Ministério da Saúde

1998

36,1

1999 35,62000 35,3

Fonte: IBGE e Ministério da Saúde

- 13 –

Fonte: IBGE e Ministério da Saúde

Taxa de Mortalidade Infantil Brasileira(por 1 000 nascidos vivos)

39,6

38,437,5

36,736,1

35,6 35,3

1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

Gráfico em colunas ou em barras

Representa praticamente qualquer tipo de série estatística, por meio de retângulos, dispostos verticalmente (em colunas) ou horizontalmente (em barras). Adequado para comparar variáveis diferentes ou valores diferentes da mesma variável.

Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprimentos são proporcionais aos respectivos dados.

Notas: Sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos, devemos dar preferência ao gráfico em barras

(séries geográficas e específicas). Porém, se ainda assim preferimos o gráfico em colunas, os dizeres deverão ser dispostos de baixo para cima, nunca ao contrário.

A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a decrescente, se for geográfica ou categórica.

A distância entre as colunas (ou barras), por questão estética, não deverá ser menor que a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura) dos retângulos.

Exemplos

a) Extensão das linhas de Metrôs

Brasil -- 2001

Cidade Extensão(km)

Salvador 11,9Fortaleza 43,0São Paulo 49,2Rio de Janeiro 34,9Porto Alegre 34,0Belo Horizonte 21,3

Fonte: Revista Veja/2001

b) Número de Homicídios 1º trimestre/2002

Cidade Nº Homicídios(em cada 100 000 habitantes)

Medellín(Colômbia)

152

Johanesburgo(África do Sul)

148

São Paulo 53Rio de Janeiro 39

Fonte: Revista Veja 27/03/2002

- 14 –

Fonte: IBGE e Ministério da Saúde

Fonte: Revista Veja 27/03/2002

Número de Homicídios1º trimestre/2002

(em cada 100 000 habitantes)

0 50 100 150

Medellín(Colômbia)

J ohanesburgo(África do Sul)

São Paulo

Rio de J aneiro

Fonte: Revista Veja/2001

49,243

34,9 34

21,311,9

Extensão das linhas de Metrôs - 2001(em quilômetros)

Gráfico em colunas ou em barras múltiplas

Este tipo de gráfico é geralmente empregado quando queremos representar, simultaneamente, dois ou mais fenômenos estudados com o propósito de comparação (série conjugada).

Exemplo

CONSUMO DIÁRIO DE CALORIAS*

POR SEXO, SEGUNDO O PAÍS2001

PaísSexo

Meninos MeninasBrasil 2 500 1 900

Alemanha 2 400 1 900Estados Unidos 2 300 1 800

Inglaterra 2 300 1 700França 2 300 1 400Itália 2 100 1 450

Fonte: Instituto Sodexho* Jovens de 12 a 17 anos

Gráfico de área

Geralmente utilizado quando se pretende comparar a participação de cada categoria em relação ao total.Este tipo de gráfico representa as séries geográficas e específicas, de poucas ocorrências.As figuras geométricas mais adequadas são o retângulo e o círculo. Mas, com cuidado, pode-se usar outras figuras.

a) Gráfico em retângulo

A construção do gráfico consiste em dividir um retângulo, de dimensões quaisquer, em retângulos menores de mesma altura (largura) com larguras (alturas) variando proporcionalmente às ocorrências das categorias.

Exemplo:

Onde trabalham os cientistas e engenheiros2001

Local Brasil EUAUniversidade 73% 13%Instituto de pesquisa 11% 7%Empresa privada 16% 80%Fonte: Revista Época 27/Agosto/2001

- 15 –

Fonte: Revista Época 27/Agosto/2001

b) Gráfico em setores

A construção do gráfico consiste em dividir um círculo, que representa o total, em tantos setores quantas são as categorias.da variável em estudo. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aos dados da série.Obtemos cada setor por meio de uma regra de três simples e direta, lembrando que o total da série corresponde a 360°.

Notas: O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete categorias. Recomenda-se que o início da contagem dos ângulos seja feito a partir do raio correspondente à

indicação do norte na bússola e marca-se os setores em ordem crescente no sentido horário. (não é obrigatório).

Exemplo

As quatro categoriasentre 1 200 usuários de computador, as senhas escolhidas recaem sobre

quatro categorias – em %.Categoria Porcentagem

Familiar 47,5Fanática 32,0Fantasiosa 11,0Criptográfica 9,5Fonte: Revista Época 27/ago/2001

Cartograma

Representação sobre uma carta geográfica. É empregado quando o objetivo é o de figurar os dados estatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

Pictograma

Representação gráfica utilizando figuras alusivas ao assunto da série estatística em estudo. De modo geral, são muito atrativos e perdem na precisão. Só devem ser usados para comparações visuais.

Estereograma

Representação gráfica por sólidos.

- 16 –

11%

32%

47%

10%

Familiar Fanática Fantasiosa Criptográfica

As Quatro Categoriasentre 1 200 usuários de computador, as senhas escolhidas recaem sobre quatro

categorias

Fonte: Revista Época 27/ago/2001

EXERCÍCIOS

1. Represente a série abaixo usando o gráfico em linha.Índice de Satisfação com o País e com as Instituições

Brasil – Mar/98-Jan/00

PeríodoÍndice de Satisfação

com o País com as InstituiçõesMar/98 102,70 101,04Jun/98 106,81 101,00Set/98 108,62 104,26Dez/98 106,38 103,82Mar/99 97,58 101,18Jul/99 99,27 102,78Out/99 94,91 97,09Jan/00 102,48 101,74

Fonte: Vox Populi Brasil/CNT

Compare os gráficos e faça uma interpretação dos fenômenos.

2. Construa um gráfico de colunas que represente a cada série abaixo.

Venda de eletrodomésticos

Casas Alemãs - 1993-97

AnosQuantidade

(em milhares)1993 701994 851995 981996 1201997 270

Fonte: Dados fictícios

Queda LivreDesde 1994, a Varig só fechou dois anos com lucro. No primeiro semestre deste ano o prejuízo foi o maior de sua história.

Ano Resultado Financeiro(em milhões de reais)

1994 1701995 71996 641997* 281998 251999 952000 1782001** 509Fonte: Revista Veja 22/ago/2001* Vendeu aviões para evitar prejuízo** Primeiro semestre

3. Estudo do Ibope e-Ratings revela quais foram os banners mais vistos da internet brasileira em janeiro de 2001, em número de vezes. (Revista Veja)

1º StarMedia 33,0 milhões2º Cadê? 25,5 milhões3º Shopping BOL 23,0 milhões4º Terra 20,5 milhões5º Usina do Som 17,0 milhões

Construa o gráfico de barras da série.

- 17 –

4. O interesse dos jovens por política foi objeto de um levantamento realizado pela Fundação Perseu Abramo em nove regiões metropolitanas do país. Ao todo, foram ouvidos 1 806 rapazes e moças, entre 15 e 24 anos.

Perguntas Sempre De vez em quando NuncaVocê assiste ao noticiário ou lê sobre política? 20% 47% 33%Conversa sobre política? 10% 42% 48%Em época de eleição, faz propaganda para candidato?

4% 10% 86%

Participa de reuniões de partidos políticos? 2% 6% 92%Assina manifestos de protesto ou de reivindicações? 7% 17% 76%

Para cada pergunta, construa um gráfico em setor ou em em retângulo.

5. Construa o gráfico de barras múltiplas para a série abaixo.

TAXA NATALIDADE POR REGIÂO DO BRASIL

RegiõesTaxa de Natalidade

(em %)1940 1960 1980

Norte 54,4 57,4 43,6Nordeste 53,5 52,6 41,5Sudeste 43,7 42,5 28,9Sul 39,2 41,7 29,4Centro-Oeste 46,8 47,0 35,9Fonte: jornal Folha de S. Paulo, 21/07/88

6. As áreas e a população, em 1970, de cada região no Brasil estão na tabela seguinte:

Região Área (km2) PopulaçãoNorte 3 581 180 3 603 860

Nordeste 1 548 672 28 111 927Sudeste 924 935 39 853 498

Sul 577 732 16 496 493Centro-Oeste 1 879 455 5 073 259

Total 8 511 974 93 139 037

a) Represente as porcentagens de áreas de cada região num gráfico de setores.

b) Represente as porcentagens de população de cada região num gráfico de barras.

- 18 –

7. O gráfico por setores representado ao lado mostra os resultados de um estudo da ATP (Associação dos Tenistas Profissionais), com 198 tenistas, sobre as lesões mais freqüentes nos tenistas. a) Quantos tenistas tiveram lesão no

cotovelo?b) Qual o ângulo do setor correspondente

a lesão no ombro ?c) Qual o tipo de lesão mais freqüente?d) Dos 18 tenistas espanhóis, que estão

entre os 100 melhores no atual ranking de entradas da ATP, quantos, possivelmente, já tiveram lesão no ombro?

e) Construa uma tabela para o gráfico.

Tabelas de frequência para variável qualitativa

Feita uma coleta dos dados, para cada variável, pode-se construir uma tabela com as informações resumidas. Essa tabela será denominada de tabela de frequência e, como o nome indica, conterá os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou simplesmente, frequência. A tabela de frequência consiste em listar os valores possíveis da variável e fazer a contagem do número de ocorrências. Representa-se por fi a frequência do valor i e por n a frequência total. Para efeito de comparação com outros grupos ou conjuntos de dados, será conveniente acrescentarmos uma coluna na tabela de frequência contendo o cálculo da frequência

relativa, definida por .

Exemplo:

Em uma turma de 50 alunos foi aplicado um questionário, sendo que uma das perguntas era:

Qual a sua opinião a respeito da qualidade da programação na TV?( ) Ruim ( ) Média ( ) Boa ( ) Não sabe

Os valores obtidos para esta variável estão apresentados abaixo (tabela de dados brutos):

R M R R M R M R M RN R R N R M N R M MR R M M N R R M R RN M R R B R N M R RB R N R R R R R R B

Aplicando técnicas de contagem, obtém-se as frequências dos valores e constrói-se a tabela de frequência:

Opiniãofrequênci

a(fi)

Frequência relativa(fri)

Porcentagem(%)

Ruim

Média

BoaNão sabeTotal

Distribuição de Freqüência

Variável Quantitativa Discreta

Coleta de dados: Pesquisa sobre o número de irmãos dos alunos da ..........

Dados brutos ou tabela primitiva é o conjunto dos dados numéricos, obtidos após a crítica dos valores coletados, cujos elementos não foram numericamente organizados.Através dos dados brutos é difícil formar uma idéia exata do comportamento do fenômeno em estudo.

Número de irmãos da ..............

Rol é a organização dos dados iniciais em certa ordem, crescente ou decrescente. É a maneira mais simples de organizar os dados.

Número de irmãos da ..............

A organização feita, ainda não está boa, pois pode implicar em obter uma tabela com numerosas linhas.Feita a contagem, podemos construir uma tabela em que para cada valor da variável (número de irmãos) a respectiva freqüência (quantidade de vezes em que o número de irmãos é repetido). Essa tabela recebe o nome de distribuição de frequência . da variável número de irmãos dos alunos da .......

Número de irmãos

Frequência

i xi fi

12

Total

Para a distribuição de em estudo, temos que:

, , , ..... , e

i = 1, 2, …., k, onde k é a quantidade de valores distintos (categorias) que a variável assume.

xi: indentifica as categorias da variável.

fi: freqüência absoluta ou, simplesmente, freqüência de xi é o número de ocorrências ou repetições deste dado

Se n é o número total de dados, então , ou não

havendo possibilidade de engano, apenas .

Frequência relativa ( ) são os valores das razões da frequência absoluta ( ) pelo número de elementos da população.

É claro que, a porcentagem correspondente a cada valor será .

A frequência relativa é conveniente para comparações e permitir a análise.

Voltando para a distribuição em estudo, temos que:

iNúmero de

irmãosxi

Frequênciaabsoluta

Frequênciarelativa Porcentagem

( )

Frequênciaacumulada

Fi

Frequênciaacumulada

relativaFri

Porcentagem acumulada

(%)

12

1,0000 100,00Total 1,0000 100,00

Frequência absoluta acumulada (Fi) é a soma das frequências dos valores inferiores ou iguais ao valor considerado.

, em que i = 1, 2, …., k

A finalidade da frequência acumulada é informar quantos casos ocorreram até aquela determinada categoria.

Frequência acumulada relativa (Fri):

O conhecimento dos vários tipos de frequência auxilia a responder muitas questões com relativa facilidade.

a) Quantos alunos têm até 3 irmãos?b) Quantos alunos têm mais de 3 irmãos?c) Qual a porcentagem de alunos que têm menos de 3 irmãos?d) Qual o valor da variável mais freqüente?e) Qual o valor da variável que reparte o conjunto ordenado dos dados observados em dois

subconjuntos com a mesma quantidade de elementos?

Representação gráfica da distribuição de frequência de uma variável discreta.

A representação gráfica da distribuição de frequência de uma variável discreta é feita por um diagrama onde cada valor da variável é representado por um segmento de reta vertical e de comprimento proporcional à respectiva frequência.Para a distribuição em estudo, construir o gráfico das frequências relativas.

Exercícios

1. Em um prédio residencial com 45 apartamentos, o número de moradores de cada apartamento foi coletado, resultando os seguintes dados:

4 4 1 2 4 5 2 1 4 4 5 2 3 4 42 4 1 0 5 3 3 3 2 2 4 4 4 3 24 3 2 2 4 5 4 1 3 0 1 5 2 4 4

a) Construir a distribuição de frequência, determinando as frequências relativas e acumuladas;b) Construir o gráfico da frequência absoluta;c) Qual é a porcentagem de apartamentos que têm 5 moradores?d) Qual é a porcentagem de apartamento que têm 2 ou 3 moradores?

2. Numa caixinha de fósforos, vem grafada a seguinte informação: “contém 40 palitos”. Para averiguar esta informação, foram adquiridas 60 caixinhas de fósforos e foi feita uma contagem do número de palitos contidos em cada uma delas. Os resultados obtidos foram:

41 40 40 42 40 39 42 41 43 42 40 39 41 40 4041 43 40 39 40 40 40 40 38 41 40 40 43 41 4241 40 40 40 40 44 40 40 41 39 39 40 42 40 4040 41 43 40 40 40 40 39 41 41 40 42 40 41 41

Organize esses dados em uma distribuição de frequência sem intervalos de classe e construa um gráfico de frequência absoluta.

3. A distribuição abaixo indica o número de acidentes ocorridos com 70 motoristas de uma empresa de ônibus:Nº ACIDENTES 0 1 2 3 4 5 6 7Nº MOTORISTAS 20 10 16 9 6 5 3 1

Determine:a) o número de motoristas que não sofreram nenhum acidente;b) o número de motoristas que sofreram pelo menos 4 acidentes;c) o número de motoristas que sofreram menos de 3 acidentes;d) o número de motoristas que sofreram no mínimo 3 e no máximo 5 acidentes;e) a percentagem dos motoristas que sofreram no máximo 2 acidentes.

Distribuição de frequência em classes

No caso das variáveis quantitativas contínuas, ou mesmo no caso de uma variável discreta com grande quantidade de categorias, o modo de resumir bem o conjunto é apurar os valores da variável em intervalos, denominados classes, que permitem uma grande condensação dos dados em estudo.

A maior vantagem da apuração dos em classes é o posterior trabalho numérico dos dados e a construção de gráficos.

A desvantagem é que há perda de informação, porque os valores originais não mais aparecem individualmente.

Coleta de dados: Pesquisa sobre a estatura, em cm, dos alunos da ..........

Dados Brutos: dados originais

Estatura dos alunos da ..............(em cm)

Rol: é a ordenação dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente.

Amplitude total (AT) é a diferença entre o maior e o menor valor observado: AT = xmáx - xmín

No exemplo: AT =

Classes: intervalos da reta real.Um requisito essencial é que as classes sejam mutuamente excludentes e exaustivas.

Frequência da classe (fi): número de elementos de cada classe.

Quantidade de classes (k): Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes.Existem vários critérios para se estabelecer o número de classes. A escolha depende do problema em questão, de tal forma que os valores não fiquem muito compactados ou muito dispersos.Alguns critérios:

nº de elementosobservados

número de classes

mínimo máximoaté 50 5 10

51 a 100 8 16101 a 200 10 20201 a 300 12 24

Menor valor inteiro de k, tal que . k = 5, se n 25 e , para n > 25

OBS. k deve ser aproximado

para o maior inteiro. não se trabalha com

classes vazias.

No nosso exemplo, k =

Limites de classe são os extremos de cada classe.

Notação: Se = limite inferior da classe e = limite superior da classe, então .

Amplitude ( ) de um intervalo de classe é a medida do intervalo que define a classe:

Uma característica desejável, mas não essencial, é que as amplitudes das classes sejam iguais, porém em algumas situações, classes com amplitudes diferentes possam ser utilizadas ou classes com limites indeterminados (geralmente a 1ª ou a última).

Quando todas as classes têm a mesma amplitude, temos que: , i = 1, 2, ..., k

(quando o resultado não é exato devemos arredondá-lo para o maior inteiro).

Resumo:1. achar a amplitude total;2. escolher o número de classes;3. escolher a amplitude de classes (h);4. organizar os limites de classe, podendo começar ou terminar em números não pertencentes ao

conjunto, mas em torno dos limites extremos (maior e menor ocorrências).

A distribuição de freqüência da variável em estudo é

Estatura dos alunos da ..............(em cm)

i classes fi

1234

Total

Nota: Ao agruparmos os valores da variável em classes, ganhamos em simplicidade mas perdemos em pormenores.

Ponto médio classe i (xi) é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais:

O ponto médio de uma classe é o valor que a representa.

Em nosso exemplo, temos que: x1 = x2 = x3 = x4 =

Frequência relativa da classe i ( ): , em que fi é a frequência absoluta da classe i e n é o

número de valores estudados.

Porcentagem da classe i: .

Frequência absoluta acumulada da classe i (Fi) como já foi definido

Frequência relativa acumulada da classe i (Fri) como já foi definido

i classes xi fi friPorcentagem

(%) Fi Fri

12345

1,000Total 1,0000 100,00

xi = ponto médio da classe i;fi = frequência absoluta da classe i;fri = frequência relativa da classe i;Fi = frequência absoluta acumulada da classe i;Fri = frequência relativa acumulada da classe i

Representações Gráficas da Distribuição de Frequência em classes

Histograma é o gráfico formado por um conjunto de retângulos justapostos, no qual os extremos da base do retângulo i são definidos pelos limites da classe i, e a altura é proporcional à frequência (absoluta ou relativa). A área do histograma é proporcional ao número de dados total.

Roteiro1. Obtenha a distribuição de frequência a partir dos dados, agrupando-os em classes;2. Desenhe os eixos ortogonais;3. Divida o eixo horizontal em tantas partes quanto for o número de classes mais dois, e marque

os números correspondentes aos limites inferior e superior de cada classe;4. Identifique a maior frequência da classe na tabela de frequência; escolha um número

adequado, maior ou igual àquela frequência; marque esse número na extremidade do eixo vertical; divida o eixo vertical em algumas partes e marque os números correspondentes;

5. Para cada classe, desenhe um retângulo com largura igual à amplitude da classe e com altura igual à frequência da classe;

6. Hachure ou preencha os retângulos com padrões ou cores;7. Por fim, coloque o título do gráfico, o nome da variável no eixo horizontal e a palavra

frequência no eixo vertical.

Polígono de frequência é um gráfico em linha, onde a abscissa é o ponto médio da classe e a ordenada é proporcional à frequência dessa classe.

Para realmente obtermos um polígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e posterior à última, da distribuição.

Podemos também considerar a poligonal que une os pontos médios das bases superiores dos retângulos do histograma (pontos médios das classes). A área delimitada pela poligonal e o eixo horizontal é igual à área total dos retângulos.

O polígono de frequência é importante pois podemos comparar duas ou mais distribuições de frequência, traçando os polígonos em um mesmo plano cartesiano.

Exercícios

1. São dadas as vendas de uma firma, expressas em milhares de reais, durante 100 semanas, segundo o quadro abaixo:

26 39 26 29 34 27 28 30 29 3234 30 29 32 21 24 23 29 30 3631 37 34 30 27 28 33 28 30 3427 34 29 31 27 32 33 36 32 3033 23 29 27 30 29 30 31 37 2730 32 26 30 27 36 33 31 28 3333 29 30 24 30 28 30 27 30 3031 33 30 32 30 33 27 27 31 3327 33 31 27 31 28 27 29 31 2428 30 27 30 31 30 33 30 33 34

Determinara) rol;b) amplitude máxima;c) número de classes;d) amplitude das classes;e) distribuição em classes de frequência.

Elaborarf) histograma;g) polígono de frequências.

2. Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 100 alunos:

64 78 66 82 74 103 78 86 103 8773 95 82 89 73 92 85 80 81 9078 86 78 101 85 98 75 73 90 8686 84 86 76 76 83 103 86 84 8576 80 92 102 73 87 70 85 79 9382 90 83 81 85 72 81 96 81 8968 96 86 70 72 74 84 99 81 8571 73 63 105 74 98 78 78 83 9695 94 88 62 91 83 98 93 83 7694 75 67 95 108 98 71 92 72 73

3. As alturas, em metros, dos 100 alunos de uma faculdade estão apresentadas na distribuição de frequência a seguir:

Classe fi Fi

1,55 |--- 1,60 3

1,60 |--- 1,65 12

1,65 |--- 1,70 24

1,70 |--- 1,75 36

1,75 |--- 1,80 15

1,80 |--- 1,85 8

1,85 |--- 1,90 2

Total 100

4. A tabela abaixa apresenta uma distribuição de frequência das áreas de 400 lotes:

i Áreas(m2)

Nº de Lotes fri

Porcentagem (%)

Fi Fri

1 300 |--- 400 142 400 |--- 500 463 500 |--- 600 584 600 |--- 700 765 700 |--- 800 686 800 |--- 900 627 900 |--- 1 000 488 1 000 |--- 1 100 229 1 100 |--- 1 200 6

Total

Complete a tabela e determine:a) a amplitude total;b) o limite superior da quinta classe;c) o limite inferior da oitava classe;d) o ponto médio da sétima classe;e) a amplitude do intervalo da segunda classe;f) a frequência da quarta classe;

Complete a tabela com a freqüência acumulada, a freqüência relativa acumulada e a porcentagem acumulada e responda:

a) a classe que tem maior freqüência é

b) a amplitude total da distribuição é

c) a freqüência absoluta da 5ª classe é

d) a freqüência acumulada até a 4ª classe é

e) a classe que acumulada 50% dos elementos da distribuição é

f) o número de alunos cuja altura não atinge 1,70m é

g) a porcentagem de alunos cuja altura é maior ou igual a 1,75m é

Determinara) rol;b) amplitude máxima;c) número de classes;d) amplitude das classes;e) distribuição em classes de freqüência.Elaborarf) histograma;g) polígono de freqüências relativas.

0123456789

59,5 65,5 70,5 80,5 95,5Massas (kg)

dens

idad

e de

freq

üênc

ia

g) a frequência relativa da sexta classe;h) o número de lotes cuja área não atinge 700 ;

i) o número de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 ;

j) a percentagem dos lotes cuja área não atinge 600 ;

k) a percentagem dos lotes cuja área seja maior ou igual a 900 ;

l) a percentagem dos lotes cuja área é de 500 , no mínimo, mas inferior a 1 000 ;m) a classe do 72º lote;n) a classe que acumula 50% dos lotes.o) a classe que apresenta a maior frequência.

Existem casos em que é mais adequado agrupar os dados em classes com larguras desiguais. A representação gráfica dos dados em forma de um histograma requer a transformação dos valores de

frequência em densidade de frequência , pois devemos manter a área dos retângulos do histograma

proporcionais à frequência.

A densidade de frequência será dada por:

5. O histograma abaixo descreve a distribuição das massas, em quilogramas, dos alunos do 2ª série do Ensino Médio da Escola “E”.

6. Em um campeonato de dominó, existem 12 atletas na categoria mirim, 5 na infantil, 8 na juvenil, 30 na adulto, 12 na pré-sênior, 10 na sênior e 12 na veterano. Considerando que as faixas etárias correspondentes a cada categoria sejam as mostradas na tabela abaixo:

CategoriaIdade(anos)

mirim de 5 a 12infantil de 13 a 14juvenil de 15 a 17adulto de 18 a 29

pré-sênior de 30 a 39sênior de 40 a 59

veterano de 60 a 95

Obter a distribuição de frequência agrupando os dados em classes de acordo com a categoria à qual os atletas pertencem e construa um histograma.

Medidas de PosiçãoMedidas de Tendência Central: Média, Moda e Mediana

a) Qual é a frequência da classe 65,5 |--- 70,5?

b) Qual é a frequência da classe 70,5 |--- 80,5?

c) Quantos alunos fazem parte dessa amostra?

Na análise e na interpretação do conjunto de dados recolhidos, alguns números são utilizados para mostrar como e em torno de que se distribuem os dados do conjunto.

As medidas de posição estudam como a distribuição se comporta em relação ao eixo horizontal.

Média Aritmética ( )

Considere uma variável com observações representadas por x1, x2, ...., xn. A média aritmética desse conjunto é a soma dos valores dividida pelo número total de observações.

sendo: a média aritmética; xi os valores da variável; n o número de valores.

Dados não agrupados

Exemplo; Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos para a produção média da semana:

Logo, litros

Dados agrupados

(I) Sem intervalos de classe

ExemploConsideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculina.

Tabela 1Nº DE

MENINOS fi

0 21 62 103 124 4

Total 34

A média aritmética da distribuição de frequência é dada pela fórmula:

(média aritmética ponderada)

O modo mais prático de obtenção da média aritmética é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos xi.fi:

xi fi xi.fi

0 2 01 6 62 10 203 12 364 4 16

34 78

Logo, meninos

OBS.: A média não precisa ser necessariamente um número inteiro. O valor médio 2,3 meninos sugere, neste caso, que o maior número de famílias tem 2 meninos e 2 meninas, sendo, porém, a tendência geral de uma leve superioridade numérica em relação ao número de meninos.

Exercício: A média aritmética do número de irmãos dos alunos ________________ é

(II) Com intervalos de classe

Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética por meio da fórmula

, onde xi é o ponto médio da classe.

Exercício: Calcular a média aritmética das estaturas (cm) dos alunos __________

Tabela 2: Estatura (em cm) dos alunos ___________

i classes xi fi xifi

1

2

3

4

5

6

Total ---

Logo,

OBS.: A média não pode ser calculada para distribuições com limites indeterminados.

Notas:1. A média aritmética expressa um certo “centro” da série de dados, mas informa pouco como o

conjunto é formado. Se os valores da série não são constantes, existem valores maiores e menores que a média aritmética, mas não informa mais nada do que isso.

2. A média aritmética pode ser um número diferente de todos os números da série de dados que ela representa. A média aritmética pertence obrigatoriamente ao intervalo entre a maior e a menor ocorrência dos dados.

3. A média aritmética é uma medida de tendência central que, por uniformizar os valores da série, não representa bem os conjuntos que revelam tendências extremas. Deste modo, é grandemente influenciada pelos valores extremos da série, sendo desaconselhável o seu emprego para as distribuições de frequências representadas pelas curvas abaixo.

Moda (Mo)

Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série de valores.

AplicaçãoPequeno produtor de calçados tem interesse na fabricação de sapatos de tamanho modal.

Dados não-agrupados

Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete.Exemplo:

a) A série de dados: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 tem moda igual a 10.b) A série 3, 5, 8, 10, 12, 13 não apresenta moda (amodal)c) A série 2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 tem duas modas 4 e 7 (bimodal)

Dados agrupados

Sem intervalos de classe

Exemplo:Na distribuição da tabela 1, à frequência máxima (12) corresponde o valor 3 da variável.Logo, Mo = 3.

Com intervalos de classe

A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

Exemplo:Na distribuição da tabela 2, à frequência máxima ( ) corresponde a classe modal

|--- . Logo, Mo =

Nota: A moda não é afetada por dados extremos e não se utiliza todos os dados para sua determinação.

Mediana (Md)

Mediana (Md) é o valor da variável que ocupa a posição central dos dados ordenados.

Considerando os dados ordenados, 50% estão abaixo e 50% estão acima da mediana.

Aplicação:Medida conveniente para representar a distribuição de renda.

Dados não-agrupados

Exemplos:a) Dada a série

5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9o primeiro passo a ser dado é o de ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:

2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16 18logo, Md = 10.b) A série de valores:

2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12. Logo, Md = 11.

Sendo n o número de elementos de uma série ordenada,

se n for ímpar, o termo de ordem será a mediana.

se n for par, a mediana é a média aritmética dos termos de ordem e .

ExemploConsidere as notas de 10 alunos em uma prova: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 9, 10, 10, 10.Md = 2,5 (50% dos alunos tiveram notas inferiores a 2,5) e

Dados agrupados

Sem intervalos de classeExemplo:

Nº DE MENINOS fi Fi

0 2 21 6 82 10 183 12 304 4 34

34 ---

Em que Fi é a frequência acumulada.

Como n = 34 é par, então a mediana é a média aritmética dos termos de ordem e

.

A menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor 2 da variável. Logo, Md = 2 meninos.Nota:

No caso em que n é par e existe uma frequência acumulada (F i), tal que , a mediana será

dada por , isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável

correspondente a essa frequência acumulada e o valor seguinte.

Com intervalos de classe

Primeiro vamos determinar a classe na qual se acha a mediana – classe mediana. Tal classe será,

evidentemente, aquela correspondente à frequência acumulada imediatamente superior a .

i ESTATURAS(cm) fi

Porcentagem(%) Fi

1 150 |--- 154 4 10,0 42 154 |--- 158 9 22,5 133 158 |--- 162 11 27,5 244 162 |--- 166 8 20,0 325 166 |--- 170 5 12,5 376 170 |--- 174 3 7,5 40

Total 40 100,0temos

=> a 3ª classe é a classe mediana. (158 |--- 162).

Para calcular a mediana da variável estatura através do histograma, admiti-se que as observações da variável em cada classe são homogeneamente distribuídas, e que para um mesmo retângulo, fatias de mesmo tamanho contém uma mesma porcentagem de observações.Considerando o retângulo que deve conter a mediana (a base do retângulo corresponde a classe mediana), temos que

Logo, de 158 cm até a mediana Md temos 17,5% (= 50% - 32,5%) das observações, e podemos estabelecer a seguinte proporção

7,5%

12,5%

20,0%

27,5%22,5%

10,5%

150 154 158 162 166 170 174

Md

50% dos dados 50% dos dados

Logo, a mediana da variável estatura é 160,54 cm.

OBS.: No caso de existir uma frequência acumulada exatamente igual a , a mediana será o limite

superior da classe correspondente.

Nota: A mediana depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada, não sendo afetada por dados extremos e não utiliza todos os dados para ser calculada.

Para a distribuição da tabela 2, observamos que A perpendicular ao eixo das abscissas passando pelo ponto correspondente à mediana Md, divide a

área sob o histograma em duas partes de mesma área. A moda é o valor correspondente, no eixo das abscissas, ao ponto de ordenada máxima.

Os valores das medidas de tendência central obtidos dos dados brutos e dos dados organizados em distribuição de frequência diferem, pois, quando agrupamos os dados em classes, perdemos informações dos dados originais.

Mo = 160 cm

Md = 160,54 cm

Mo< Md < 4

911

8

5

3

150 154 158 162 166 170 174

Mo Mdx

27,5%

150 154 158 162 166 170 174

Md

17,5%

Posição relativa da Média, Mediana e Moda

Em uma distribuição com a curva de frequência em forma de sino, podemos ter

, distribuição simétrica;

, distribuição com assimetria positiva;, distribuição com assimetria negativa.

Exemplo“Um estudante está procurando um estágio para o próximo ano. As companhias A e B

têm programas de estágios e oferecem uma remuneração por 20 horas semanais com as seguintes características (em salários mínimos):

Companhia A BMédia 2,5 2,0

Mediana 1,7 1,9Moda 1,5 1,9

Qual companhia é mais adequada?Inicialmente vamos discutir as informações fornecidas, supondo que o estudante terá seu salário

“escolhido” de acordo com uma política salarial resumida na tabela anterior. A companhia A tem 50% dos seus estagiários recebendo até 1,7 salários mínimos e o valor com maior frequência de ocorrência é 1,5. Como a média é 2,5 deve haver alguns poucos estagiários com salário bem mais alto, isto é, valor alto de salário com frequência pequena de ocorrência. A companhia B tem as três medidas bem próximas indicando uma razoável simetria entre salários altos e baixos. A opção do estudante dependerá de sua qualificação. Se ele for bem qualificado, deve preferir a companhia A, pois terá mais chance de obter um dos altos salários. Se tiver qualificação próxima ou abaixo dos outros estudantes, deve preferir B que parece ter uma política mais homogênea de salários.”(Noções de Probabilidade e Estatística. Marcos N. Magalhães; Antonio C. P. de Lima. EDUSP)

Exercícios

Refazer a lista de exerc´cios

1. Houve uma denúncia de intoxicação por mercúrio em uma remessa de 20 latas de certo produto que chegaram a um supermercado. Então, foi feita uma inspeção para determinar a massa de mercúrio (material tóxico) presente em cada lata. Os resultados da inspeção são dados a seguir (em g de mercúrio por 1 000 g do produto):

Uma remessa é confiscada quando, em média, a massa de mercúrio é superior a 0,4 g.a) Deve essa remessa ser confiscada? Justifique.b) Para evitar o confisco, o fornecedor propôs acrescentar cinco novas latas a essa remessa,

garantindo que todas as novas latas contêm massas iguais de mercúrio. Qual é a massa máxima de mercúrio que cada lata pode conter, a fim de que a “nova” remessa não seja confiscada?

2. Num experimento, 15 coelhos foram alimentados com uma nova ração e seu peso avaliado ao fim de um mês. Os dados referentes ao ganho de peso (em quilogramas) foram os seguintes:

1,5; 1,6; 2,3; 1,7; 1,5; 2,0; 1,5; 1,8; 2,1; 2,1; 1,9; 1,8; 1,7; 2,5 e 2,2.a) Utilizando os dados brutos, determine média, moda e mediana desse conjunto.b) Organize uma tabela de frequência com faixas de amplitude 0,2 a partir de 1,5.c) Calcule, a partir da tabela de frequência, a média, a moda e a mediana. Comente as diferenças

encontradas com o item (a).

MEDIDAS DE DISPERSÃO

Considere as cidades A e B, em um determinado dia A temperatura média da cidade A é 24°C, sendo que a temperatura mínima foi de 12°C e a

temperatura máxima foi de 32°C. A temperatura média da cidade B é 24°C, sendo que a temperatura mínima foi de 21°C e a

temperatura máxima foi de 26°C.A maior variação de temperatura ocorreu na cidade A.A menor variação de temperatura ocorreu na cidade B.A cidade B apresenta um clima mais agradável, devido a pequena variação de sua temperatura.

A média aritmética, isoladamente, nada informa sobre a variabilidade de um conjunto de dados observados.Logo, a média não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores que compõem um conjunto.

Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis A e B:X: 70, 70, 70, 70, 70 Y: 68, 69, 70, 71, 72 Z: 5, 15, 50, 120, 160

Os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética, entretanto, é fácil notar que: No conjunto X não houve dispersão. O conjunto X é mais homogêneo que o conjunto Y e que o

conjunto Z. A dispersão no conjunto Y é menor que no conjunto Z (em Y os valores estão mais próximos da

média do que em Z), dizemos que o conjunto Y é mais homogêneo que o conjunto Z.As medidas de dispersão (ou de variação) expressam o grau de dispersão ou concentração de um conjunto de dados em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação. As principais são

Amplitude total Desvio médio Variância Desvio padrão Coeficiente de variação

1. Amplitude total A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado.

At = xmáx - xmín

No exemplo 2, temospara X: At = 0para Y: At = 4para Z: At = 155A amplitude total tem a sua importância, porém por considerar apenas dois valores da série, sem mencionar os demais, e não possibilitar verificar se existe concentração/dispersão de valores em torno de algum ponto da série, possui pouca sensibilidade estatística.

2. Desvio relativo O desvio relativo (di) de cada valor xi é a diferença entre xi e a média aritmética dos dados.

xi di

X Y Z X Y Z70 68 5 0 -2 -6570 69 15 0 -1 -5570 70 50 0 0 -2070 71 120 0 1 5070 72 160 0 2 90

Total 0 0 0

Note que, se o desvio relativo de um elemento xi é positivo, então xi está acima da média; negativo, então xi está abaixo da média; zero, então xi é igual à própria média.

Na determinação de cada di estamos medindo a dispersão entre cada xi e a média .

Propriedade:

Para analisar todos os dados, devemos calcular a média dos desvios, porém a soma dos desvios é nula!Como estamos interessados na distância de um valor em relação à média, devemos considerar o módulo dos desvios relativos, evitando, deste modo, valores negativos de alguns dos desvios.Define-se, então o desvio absoluto .

3. Desvio médio absoluto Desvio médio absoluto (DM) é a média aritmética dos desvios absolutos de cada dado.

Voltando ao exemplo 2, temos que:xi di = xi - |di| = |xi - |

X Y Z X Y Z X Y Z70 68 5 0 - 2 - 65 0 2 6570 69 15 0 - 1 - 55 0 1 5570 70 50 0 0 - 20 0 0 2070 71 120 0 1 - 50 0 1 5070 72 160 0 2 90 0 2 90

Total 0 0 0 0 6 280

Como o desvio médio de Y é menor que o de Z, podemos dizer que Y é mais homogêneo do que Z. Os dados de Y estão mais agrupados em torno da média do que os de Z.Ao invés de trabalhar com os módulos dos desvios, pode-se considerar os quadrados dos desvios.4. Variância

A variância (v) é a média aritmética dos quadrados dos desvios;

logo,

O desvio médio absoluto é uma medida associada à amostra como um todo; quando no exemplo dizemos que DMY = 1,2, estamos afirmando que, em média, os elementos da amostra se afastam 1,2 da média aritmética, para cima ou para abaixo.

xi di = xi - di2 = (xi - )2

X Y Z X Y Z X Y Z70 68 5 0 -2 -65 0 4 422570 69 15 0 -1 -55 0 1 302570 70 50 0 0 -20 0 0 40070 71 120 0 1 -50 0 1 250070 72 160 0 2 90 0 4 8100

Total 0 0 00 10 1825

0Logo,

Var(X) = 0 Var(Y) = 2

Quanto menor a variância, maior o grau de concentração dos dados em torno da média, e vice-versa; quanto maior a variância, maior o grau de dispersão dos dados em torno da média.No nosso exemplo, o conjunto X não tem dispersão e o conjunto Z tem uma dispersão maior que o conjunto Y.O inconveniente da variância é ser expressa no quadrado da unidade da variável em estudo, o que pode causar dificuldades de interpretação.Nota: Utilizaremos, no cálculo da variância, o dobro de casas decimais dos dados, arredondando o

resultado no final.

5. Desvio Padrão O desvio padrão () é a raiz quadrada positiva da variância.

No nosso exemplo, temos que

OBS.: Quando todos os valores da variável são iguais, o desvio padrão é 0. Quanto menor é o desvio padrão, mais homogênea é a distribuição dos valores da variável. O desvio padrão é expresso na mesma unidade da variável.

Exemplos:(I) Dados não-agrupados

Considere a seguinte série estatística:

xi di d2i

40 40 – 53 = -13 16945 45 – 53 = -8 6448 48 – 53 = -5 2552 52 – 53 = -1 154 54 – 53 = 1 162 62 – 53 = 9 8170 70 – 53 = 17 289371 ---- 630

(II) Dados agrupados

Neste caso, temos que:

a) Sem intervalos de classeDetermine o desvio padrão variável __________________________________________

i xi fi xi.fi

12345678

Total ----- -----

temos que:

e e

c) Com intervalos de classe Determine o desvio padrão da variável para a distribuição de frequência _______________

i Classes xi fi fi.xi xi - (xi - )2 fi . (xi - )2

1 |---2 |---3 |---4 |---5 |---6 |---7 |---8 |---

Total ---- ---- ----

Logo, e e

6. Coeficiente de Variação

para o cálculo da média aritmética

para o cálculo da variância e do desvio padrão

ponto médio da classe i

O desvio padrão não é suficiente para caracterizar a variabilidade de uma distribuição. Além disso, o fato do desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores expressos em unidades diferentes.O coeficiente de variação (CV) caracteriza a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos em torno da média da série. É dado pela razão entre o desvio padrão e a média da distribuição:

Para efeitos práticos, costuma-se considerar que CV superior a 50% indica alto grau de dispersão e, conseqüentemente, pequena representatividade da média. Enquanto que para valores inferiores a 50%, a média será tanto mais representativa de fato quanto menor for o valor de seu CV.ExemploConsideremos os resultados obtidos das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:

Estaturas 175 cm 5,0 cmPesos 68 kg 2,0 kg

Logo, nesse grupo de indivíduos, os pesos apresentam maior grau de dispersão que as estaturas.

Exercícios

1. Um certo cruzamento tem alto índice de acidentes de trânsito, conforme pode ser constatado em uma amostra dos últimos 12 meses: 5, 4, 7, 8, 5, 6, 4, 7, 9, 7, 6 e 8. Determine a média e o desvio padrão do número de acidentes mensais nesse local.

2. Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação das distribuições de frequência dos exercícios 1, 3, 5 e 7 da página 37.

3. Um grupo de cem estudantes tem uma estatura média de 163,8 cm, com um coeficiente de variação de 3,3%. Qual o desvio padrão desse grupo?

4. Uma fábrica de iogurtes opera com duas máquinas e está colocando o produto dentro de embalagens, cujo peso nominal é de 100 ml. No entanto, um teste estatístico da produção apontou os seguintes números:

Máquina 1 Máquina 2

média por embalagem = 100,34 ml média por embalagem = 100,41 ml

desvio padrão = 0,4 ml desvio padrão = 0,7 ml

Qual das duas máquinas está trabalhando melhor? Justifique.

5. Numa prova de Matemática, duas classes obtiveram as seguintes médias e desvios:

Turma A Turma Bmédia = 5,5 média = 5,5desvio padrão = 2,5 desvio padrão = 3,0

Se for sorteado um aluno de cada classe, em qual delas é mais provável sair um aluno com nota entre 4,5 e 6,0? Justifique.

6. Uma máquina empacotadora de leite está regulada para que cada embalagem contenha 1 000 ml. O controle de qualidade desse laticínio obteve amostras com suas respectivas frequências. Determine a porcentagem, em relação ao total das amostras, que está acima da média mais o desvio padrão.

7. Duas indústrias, A e B, fabricam um mesmo tipo de rolamento. De cada indústria, uma amostra de 25 peças foi obtida e o diâmetro de cada rolamento foi medido, obtendo-se os seguintes dados (em mm):

Qual das duas indústrias fabrica o rolamento com menor variação de diâmetro?

8. Considere, abaixo, a distribuição de frequência dos “pesos” de 20 alunos de uma classe.

a) Calcule a média aritmética e o desvio padrão da distribuição.

b) Desenhe o histograma.c) Represente no histograma a região que corresponde

aos “pesos” pertencentes ao intervalo .d) Descubra a porcentagem de alunos que tiveram o

“peso” na média ou a um desvio padrão da média, isto é, cujo “peso” está no intervalo . Determine, também, o número de alunos.

Sugestão: A área do histograma é proporcional ao número total de dados e a área da região considerada no item c) é proporcional ao número de elementos do intervalo.

9. As pontuações dos 160 candidatos a um concurso estão tabeladas a seguir. A tabela (a) mostra as pontuações obtidas em 1996 e a tabela (b) mostra as de 1997.

a) Calcule a média e o desvio padrão dos dados de cada tabela.b) Determine a distribuição mais homogênea.c) Calcule a porcentagem de candidatos que estão nos intervalos e

para cada tabela.