Em coordenadas cartesianas e

cilíndricas

Equação da conservação de energia para um intervalo de tempo t:

A exigência da conservação de energia:

acsge EEEE

Equação da conservação de energia para um instante (t):

dt

dEEEEE ac

acsge

O termo Eg = “energia gerada" dizrespeito à energia térmica que éproduto de uma transformação deoutra forma de energia (química,elétrica, nuclear,...) no interior dovolume de controle ou do sistema

A lei de Fourier é uma generalização baseada em evidências experimentais:

Observemos o bastão cilíndrico ao lado com sua superfície lateral isolada termicamente.

Pode-se medir o calor qx transferido e queremos saber como qx depende das seguintesvariáveis: T, x e A, a área da seção transversal do bastão.

Quando mantemos T e x constantes, ao variarmos A, verificamos que qx é diretamenteproporcional a A. Quando mantemos T e A constantes, observamos que qx variainversamente com x. Finalmente, mantendo A e x constantes, vemos que qx édiretamente proporcional a T. Então:

Quando mudamos o material que constitui o cilindro, nota-se que a proporcionalidadepermanece válida. Porém, para valores idênticos de A, T e x, o valor de qx variadependendo do material. Então:

Onde k é uma importante propriedade do material, a condutividade térmica [W/(m.K)].

Quando levamos esta expressão ao limite, quando x 0, chegamos à taxa detransferência de calor:

ou ao fluxo de calor (fluxo térmico):

A equação da taxa de condução (Lei de Fourier):

x

TAqx

x

TkAqx

dx

dTkAqx

dx

dTk

A

qq x

x O sinal de menos é necessário porque o calor flui no

sentido da diminuição da temperatura

O fluxo térmico é uma grandeza vetorial:

Desta forma podemos escrever a Lei de Fourier de uma forma mais geral:

que nos diz que o vetor fluxo térmico encontra-se em uma direção perpendicular àssuperfícies isotermas. Então, uma forma alternativa da lei de Fourier é:

Observe-se ainda que o vetor fluxo térmico pode ser expresso por componentes, emcoordenadas cartesianas:

e

A equação da taxa de condução (Lei de Fourier):

z

Tk

y

Tj

x

TikTkq

n

Tkqn

zyx qkqjqiq

x

Tkqx

y

Tkqy

z

Tkqz

A equação da difusão de calor:

Em cada superfície, temos as taxas de transferência de calor qx, qy, qz e:

dxx

qqq x

xdxx

dyy

qqq

y

ydyy

dzz

qqq z

zdzz

No interior do meio pode haver, também, um termo defonte de energia que pode ser associado a uma taxa de‘geração’ de energia térmica:

Onde, é a taxa na qual a energia é ‘gerada’ porunidade de volume do meio.

dxdydzqEg

q

Também podem ocorrer variações na quantidade de energia interna térmica armazenada pela matéria no interior do volume de controle:

dxdydzt

TcE pac

A equação da difusão de calor:

dxx

qqq x

xdxx

dyy

qqq

y

ydyy

dzz

qqq z

zdzz

dxdydzqEg

dxdydzt

TcE pac

A forma geral da equação de conservação de energia:

acsge EEEE

dxdydzt

Tcqqqdxdydzqqqq pdzzdyydxxzyx

dxdydzt

Tcdxdydzqdz

z

qdy

y

qdx

x

qp

zyx

A equação da difusão de calor:

dxdydzt

Tcdxdydzqdz

z

qdy

y

qdx

x

qp

zyx

As taxas de transferência de calor por conduçãosão dadas pela Lei de Fourier:

x

Tkdydzqx

y

Tkdxdzqy

z

Tkdydxqz

Substituindo na equação acima e dividindo tudo por dxdydz:

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

Que é a forma geral da Equação da Difusão do Calor emcoordenadas cartesianas.

A equação da difusão de calor:

Forma geral da Equação da Difusão do Calor em coordenadascartesianas:

Às vezes podem ser feitas simplificações.

t

Tcq

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

xp

Por exemplo, se k for constante:

onde = k/(cp) é a difusividade térmica.

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T

12

2

2

2

2

2

Se tratamos de regime estacionário:

0

q

z

Tk

zy

Tk

yx

Tk

x

Se for regime estacionário, unidimensional e sem ‘geração’ de calor:

indicando que, nestas condições, o fluxo de calor é constante na direção da transferência.

0

x

Tk

x

A equação da difusão de calor:

Em coordenadas cilíndricas, fica:

t

Tcq

z

Tk

z

Tk

rr

Tkr

r

T

rp

2

11