UNIVERSIDADE DO MINHO

INSTITUTO DE EDUCAÇÃO E PSICOLOGIA

Elsa Maria Barrigão Ferreira

ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA EM AMBIENTES GEOMÉTRICOS

DINÂMICOS: O tema de Geometria do Plano no 9º ano de escolaridade

Dissertação de Mestrado em Educação

Área de Especialização em Supervisão Pedagógica em Ensino da Matemática

Trabalho efectuado sob a orientação do

Professor Doutor José António Fernandes

Outubro de 2005

É autorizada a reprodução integral desta dissertação apenas para efeitos de

investigação, mediante declaração escrita do interessado, que a tal se

compromete.

O autor

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A G R A D E C I M E N T O S Quero agradecer a todos o que tornaram este trabalho possível, em especial, Ao Professor Doutor José António Fernandes pela sua orientação e disponibilidade,

pelas suas sugestões e comentários, pelo seu estímulo positivo e por acreditar em mim. Aos professores do curso de mestrado pela sua experiência e sabedoria que me

abriram os olhos para muitas questões. Ao Conselho Executivo da Escola Secundária de Felgueiras por ter permitido a

realização desta experiência. À professora Carla e aos seus alunos, que muito prontamente se dispuseram a ajudar

nesta “caminhada”, pelo seu empenho e entusiasmo. À Sónia pela sua disponibilidade e por ter “encontrado” a professora Carla. À Paula, à Célia e à Cristina pela bibliografia fornecida, pelas suas sugestões e

discussões. Ao Sr. Fernandes e à D. Aida por me “aturarem” durante este tempo. Ao Jorge pela paciência e carinho. Aos meus pais por todo o seu amor e apoio incondicional. A todos pela sua amizade e compreensão.

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ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA EM AMBIENTES GEOMÉTRICOS DINÂMICOS: O tema de Geometria do Plano no 9º ano de escolaridade

Elsa Maria Barrigão Ferreira Dissertação de Mestrado

Universidade do Minho, Outubro de 2005 A matemática é cada vez mais utilizada na sociedade, com ligação às mais diversas

áreas da actividade humana e, numa sociedade cada vez mais competitiva e mais tecnológica, espera-se que a escola seja capaz de formar seres "matematicamente alfabetizados" (NCTM, 1991, p. 5), que sejam capazes de reflectir criticamente, de resolver problemas, de efectuar escolhas, de tomar decisões, adoptando um papel mais activo e mais autónomo.

Torna-se, assim, urgente proporcionar ambientes de ensino/aprendizagem mais ricos, mais estimulantes e mais desafiantes, que permitam aos alunos desenvolver a sua capacidade para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente, utilizar e reflectir sobre a informação disponível. Para tal, a Geometria constitui um tema propício ao desenvolvimento de tais capacidades, sendo os Ambientes de Geometria Dinâmica (AGD), como o Geometer’s Sketchpad (GSP), vistos como poderosos instrumentos de ensino da Geometria. Assim, neste estudo, pretendemos estudar as potencialidades do GSP como mediador no processo de ensino/aprendizagem da Geometria, quer no que diz respeito ao desempenho matemático, quer no que diz respeito às atitudes dos alunos.

O estudo desenvolveu-se com os alunos de uma turma do 9° ano de escolaridade, de uma escola secundária, do distrito do Porto, com idades compreendidas entre os 14 e os 17 anos, que trabalharam, em grupo, com recurso ao GSP, a unidade didáctica Circunferência e Polígonos. Rotações.

Dada a problemática em estudo, optou-se por uma metodologia de investigação predominantemente qualitativa, tendo a recolha de dados sido centrada na observação de aulas, no registo de notas da investigadora, nos documentos produzidos pelos alunos, em dois questionários aos alunos e numa entrevista à professora da turma.

Em termos de resultados, salienta-se o aprofundamento de algumas das capacidades matemáticas mencionadas, a autonomia e as concepções acerca da demonstração. Apesar dos aspectos menos conseguidos, designadamente a resistência de alguns alunos à forma implementada para aprender geometria, no sentido de que tinham de “explicar tudo”, o balanço que alunos, professora e investigadora fazem da experiência é, em todos os sentidos, bastante positivo.

Finalmente, este estudo veio reforçar a ideia de que é importante romper com algumas tradições escolares, pelo menos no que diz respeito aos papéis dos intervenientes directos (professor e alunos) no processo de ensino/aprendizagem.

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TEACHING AND LEARNING OF GEOMETRY IN DYNAMIC GEOMETRIC ENVIRONMENTS: The subject of Geometry of the Plan in 9th year grade

Elsa Maria Barrigão Ferreira Master Dissertation

Universidade do Minho, October 2005 The mathematics is more used in society, with linking to most diverse areas of

human’s activity and, in a society more competitive and more technological, expects that the school be able to form "mathematically literate" beings (NCTM, 1991, p. 5), that they are able to reflect critically, to solve problems, to make choices, to take decisions, adopting a more active and more autonomous role.

It is, thus, urgent to provide richer environments of teaching/learning, more challenging and more stimulants, where the students are allowed to develop their capacity to explore, to conjecture, to think logically and to use and to reflect on the available information. Thus, Geometry is a propitious subject to the development of such capacities, being the Environments of Dynamic Geometry, as Geometer's Sketchpad (GSP), seen as powerful instruments in teaching Geometry. Thus, in this study, we intend to analyze the potentialities of the GSP as a mediator in the process of teaching/learning Geometry, in respect to the mathematical performance or in respect to the attitudes of the students.

The study was carried with the students of a 9th year, of an intermediate school in the district of Porto, with ages between 14 and 17 years, who had worked, in groups, with the help of the GSP, the didactics unit Circumference and Polygons. Rotations.

On this subject the methodology chosen was predominantly qualitative, having the gathering of data been centred in the classroom notes taken by the investigator, in the student’s documents, in two questionnaires to the students and in an interview to the teacher of the class. In terms of results, it is noticeable the deepening of some of the mentioned mathematical capacities, the autonomy and the conceptions concerning the demonstration.

Despite of not so good results, for example, the resistance of some students to the given form to learn geometry, with the intent that they had "to explain everything", the summing up that pupils, teacher and investigator make of the experience is, in all senses, enough positive.

Finally, this study gives to strength to the idea that it is important to break with some school traditions, at least in respect to the performance of those directly involved (teacher and students) in the teaching/learning process.

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ÍNDICE AGRADECIMENTOS.............................................................................................. iii RESUMO ................................................................................................................... iv ÍNDICE ...................................................................................................................... vi LISTA DE TABELAS .............................................................................................. ix LISTA DE FIGURAS ................................................................................................ x CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO AO PROBLEMA ............................................... 1

1.1. Problema de investigação................................................................................. 2 1.2. Perspectivas actuais na Educação Matemática ................................................ 5 1.3. Geometria, AGD e Demonstração.................................................................. 10 1.4. Motivações para o estudo............................................................................... 12 1.5. Aspectos da metodologia usada no estudo..................................................... 15

CAPÍTULO II – FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ............................................. 17

2.1. A Geometria no currículo de Matemática ...................................................... 17 2.1.1. Recuperação da Geometria no currículo de Matemática ..................... 17 2.1.2. Situação actual no ensino básico.......................................................... 21

2.2. O computador ao serviço do ensino da Geometria ........................................ 25 2.2.1. O computador no ensino e na aprendizagem da Geometria................. 25 2.2.2. O ensino e a aprendizagem da Geometria em AGD ............................ 31

2.3. A demonstração em Matemática .................................................................... 39 2.3.1. Os diferentes papéis da demonstração ................................................. 39 2.3.2. O ensino e a aprendizagem da demonstração ...................................... 46 2.3.3. A demonstração em AGD .................................................................... 50

CAPÍTULO III – PLANO METODOLÓGICO ................................................... 59

3.1. Opções metodológicas do estudo ................................................................... 59 3.2. Participantes no estudo................................................................................... 60

3.2.1. Escolha da turma.................................................................................. 60 3.2.2. A professora da turma .......................................................................... 61 3.2.3. Caracterização da turma/escola............................................................ 61 3.2.4. Intervenção didáctica ........................................................................... 64 3.2.5. Grupos de trabalho............................................................................... 68

3.3. Materiais de ensino utilizados........................................................................ 70 3.3.1. O Geometer’s Sketchpad, versão 4.00 ................................................. 72

vi

3.3.2. Fichas de trabalho ................................................................................ 74 3.4. Métodos e instrumentos de recolha de dados................................................. 82

3.4.1. Observação........................................................................................... 83 3.4.2. Documentos produzidos pelos alunos.................................................. 85 3.4.3. Questionários ....................................................................................... 86 3.4.4. Entrevista ............................................................................................. 89

3.5. Análise de dados............................................................................................. 90 CAPÍTULO IV – IMPLEMENTAÇÃO DA EXPERIÊNCIA DE ENSINO...... 93

4.1. Primeira sessão............................................................................................... 93 4.2. Segunda sessão............................................................................................... 95 4.3. Terceira sessão ............................................................................................... 96 4.4. Quarta sessão................................................................................................ 101 4.5. Quinta sessão................................................................................................ 104 4.6. Sexta sessão.................................................................................................. 113 4.7. Sétima sessão................................................................................................ 119 4.8. Oitava sessão ................................................................................................ 120 4.9. Nona sessão .................................................................................................. 124 4.10. Décima sessão ............................................................................................ 127 4.11. Décima primeira sessão.............................................................................. 127

CAPÍTULO V – AVALIAÇÃO DA EXPERIÊNCIA ........................................ 139

5.1. Ideias e atitudes dos alunos acerca da Geometria e da demonstração ......... 139 5.1.1. Atitudes face à Geometria.................................................................. 140 5.1.2. Concepções acerca da demonstração ................................................. 146

5.2. Apreciação global sobre a experiência......................................................... 152 5.2.1. Apreciação sobre as aulas de Geometria ........................................... 152 5.2.2. Apreciação das tarefas de Geometria................................................. 159

5.3. Entrevista à professora ................................................................................. 166 5.3.1. Ensino da Geometria: Circunferência e Polígonos ............................ 167 5.3.2. Experiência de ensino e aprendizagem.............................................. 168

CAPÍTULO VI – CONCLUSÕES DO ESTUDO ............................................... 173

6.1. Descrição do estudo ..................................................................................... 173 6.2. Principais conclusões ................................................................................... 177

6.2.1. Desenvolvimento de capacidades matemáticas ................................. 177 6.2.2. Desenvolvimento de uma pedagogia para a autonomia..................... 187

vii

6.2.3. Atitudes e concepções dos alunos acerca da geometria e da demonstração........................................................................................ 190

6.3. Limitações e recomendações........................................................................ 195 BIBLIOGRAFIA.................................................................................................... 203 ANEXOS................................................................................................................. 219

Anexo I. Pedido de autorização ao Conselho Executivo .................................... 221 Anexo II. Pedido de autorização aos Encarregados de Educação....................... 222 Anexo III. Manual de iniciação ao Geometer’s Sketchpad, ver. 4.00................. 223 Anexo IV. Fichas de trabalho propostas ............................................................. 239 Anexo V. Questionário sobre atitudes e concepções dos alunos acerca da geometria e da demonstração .............................................................. 263 Anexo VI. Questionário sobre a experiência de ensino e aprendizagem da Geometria ............................................................................. 269 Anexo VII. Guião de entrevista à professora da turma ....................................... 279

viii

LISTA DE TABELAS

Tabela 1. Distribuição dos alunos que participaram no estudo por sexo e idade ...... 62

Tabela 2. Classificação obtida no 1º período na disciplina de Matemática............... 63

Tabela 3. Sistematização das sessões da intervenção didáctica e os respectivos

assuntos abordados..................................................................................................... 67

Tabela 4. Atitudes dos alunos face à Geometria...................................................... 141

Tabela 5. Situações do dia-a-dia em que seja necessária a Geometria .................... 143

Tabela 6. Razões para a utilização do computador nas aulas de matemática .......... 144

Tabela 7. Metodologias preferidas para a aprendizagem da geometria................... 145

Tabela 8. Formas de se certificar da correcta resolução de exercícios ou problemas ............................................................................................................ 146

Tabela 9. Como ter a certeza de que uma propriedade é verdadeira ....................... 147

Tabela 10. Funções da demonstração ...................................................................... 148

Tabela 11. Definição de demonstração .................................................................... 149

Tabela 12. Razões para trabalhar como um verdadeiro matemático ....................... 150

Tabela 13. Demonstração de que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um qualquer paralelogramo é 360º...................................................................... 150

Tabela 14. Apreciação global sobre a experiência................................................... 153

Tabela 15. Importância e interesse dos temas estudados......................................... 159

Tabela 16. Dificuldades sentidas pelos alunos ........................................................ 160

Tabela 17. Finalidades das tarefas ........................................................................... 161

Tabela 18. Finalidade do trabalho de grupo............................................................. 163

Tabela 19. Ajuda na formulação das conclusões, na explicação dos procedimentos e na explicação das conclusões ....................................................... 164

ix

LISTA DE FIGURAS Figura 1. Teorema de Napoleão (adaptada de De Villiers, 2003) ............................. 33

Figura 2. Quadrilátero de Varignon (adaptada de De Villiers, 2003)........................ 41

Figura 3. Centro de gravidade de um triângulo (adaptada de De Villiers, 2003) ...... 42

Figura 4. Propriedades 2 e 3 do Bissectogramo [EFGH] do quadrilátero [ABCD]... 43

Figura 5. Caso particular do Quadrilátero de Varignon............................................. 44

Figura 6. Um velho problema... ................................................................................. 50

Figura 7. Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo [ABC] (adaptada de De Viliiers, 2003) ..................................................................... 53

Figura 8. Resolução de uma tarefa da ficha 9, Recta tangente à circunferência....... 86

Figura 9. Resolução da ficha de trabalho 1, pelo grupo GSP4 .................................. 98

Figura 10. Definição de ângulo ao centro dada por alguns grupos............................ 99

Figura 11. Resolução da ficha de trabalho 1, pelo grupo GSP5 .............................. 100

Figura 12. Para ângulos côncavos, o GSP continua a medir a amplitude do arco correspondente ao ângulo convexo .................................................................. 100

Figura 13. Exercício de aplicação, resolvido pelos alunos com recurso às ferramentas tradicionais, papel e lápis ..................................................................... 102

Figura 14. Resolução da ficha 2, apresentada pelo grupo GSP7 ............................. 103

Figura 15. Resolução da tarefa 3, da ficha 3, apresentada pelo grupo GSP8 .......... 106

Figura 16. Justificações apresentadas pelo grupo GSP11 para a conjectura estabelecida para os ângulos inscritos...................................................................... 108

Figura 17. Resolução da tarefa 5, da ficha 3, pela Flávia ........................................ 108

Figura 18. Resolução da tarefa 5, da ficha 3, pela Joana ......................................... 109

Figura 19. Construção de um ângulo inscrito numa semi-circunferência, pelo grupo GSP5.............................................................................................................. 110

Figura 20. Resolução da ficha 4, pelo grupo GSP5 ................................................. 112

x

Figura 21. Resolução da ficha 5, pelo grupo GSP5 ................................................. 115

Figura 22. Resolução da tarefa 2, da ficha 9, pelo grupo GSP5 .............................. 117

Figura 23. Resolução da tarefa 3, da ficha 9, pelo grupo GSP5 .............................. 119

Figura 24. “Construção do aeroporto” pelo grupo GSP5 ........................................ 122

Figura 25. “Construção do aeroporto” pelo grupo GSP7 ........................................ 122

Figura 26. Resolução da tarefa 2, da ficha 10, pelos grupos GSP7 e GSP6 ............ 131

Figura 27. Resolução da ficha 10, pelo grupo GSP7 ............................................... 132

Figura 28. Resolução da ficha 10, pelo grupo GSP5 ............................................... 136

Figura 29. Esquema de demonstração apresentado por um aluno ........................... 151

xi

C A P Í T U L O I

INTRODUÇÃO AO PROBLEMA

Com este estudo procurou-se analisar as potencialidades educativas dos Ambientes

Geométricos Dinâmicos (AGD), nomeadamente do Geometer’s Sketchpad (GSP) na

influência quer no que diz respeito às atitudes e concepções dos alunos perante a geometria,

quer no que diz respeito ao seu desempenho matemático no estudo do capítulo

Circunferência e Polígonos. Rotações, do 9º ano de escolaridade. Desempenho esse

centrado na construção de conceitos e relações matemáticas e na necessidade de

justificação das mesmas.

Este estudo está organizado em seis capítulos. No presente capítulo começaremos por

apresentar os objectivos do estudo e fundamentar as nossas opções à luz das actuais

orientações em Educação Matemática e as razões que nos levaram a optar por esta temática.

No capítulo que se segue, capítulo dois, é apresentada uma revisão de literatura, que

consideramos essencial, sobre o ensino e a aprendizagem da geometria com recurso aos

AGD e que orientou o desenvolvimento deste estudo. Começamos por nos referir às

mudanças actuais na sociedade e às suas implicações no ensino, nomeadamente a utilização

das novas tecnologias, para de seguida dar uma especial atenção aos AGD e à questão da

demonstração em matemática.

A descrição geral do estudo é feita no terceiro capítulo, onde fundamentamos a escolha

da metodologia adoptada e onde descrevemos pormenorizadamente as condições em que

este decorreu, os participantes, os materiais de ensino utilizados e os instrumentos para a

recolha e análise dos dados.

No capítulo quatro iremos debruçarmo-nos sobre a implementação da experiência de

ensino, com especial enfoque no trabalho realizado pelos alunos na investigação, na

1

descoberta e na argumentação de conceitos e relações geométricas, com recurso ao GSP.

No capítulo cinco é feita uma avaliação da experiência onde damos a conhecer a forma

como os alunos e a professora viveram e sentiram a mesma.

Finalmente, as conclusões do estudo são deixadas para capítulo seis, onde se resumem e

discutem os principais resultados obtidos. São também apresentadas as limitações do

presente estudo e sugeridos possíveis caminhos para futuras investigações.

1.1. Problema de investigação

A matemática é cada vez mais utilizada na sociedade, com ligação às mais diversas

áreas da actividade humana. Vivemos num “cenário matematizado” (Providência, 2001, p.

8), desde a arquitectura à engenharia, desde a biologia à medicina, desde a música à arte, a

matemática faz parte do nosso quotidiano, e, portanto, para se ser seduzido pelo fascínio da

matemática é necessário, segundo Pappas (2001), compreender que esta não é um assunto

isolado sem relação com as coisas que nos rodeiam.

Deste modo, a Educação Matemática tem como objectivo promover a formação de

cidadãos participativos, críticos e confiantes na forma como lidam com a matemática, uma

vez que esta se distingue das outras ciências, em especial no modo como encara a

generalização e a demonstração e no modo como combina o trabalho experimental com os

raciocínios indutivo e dedutivo, oferecendo um contributo único como meio de pensar, de

aceder ao conhecimento e de comunicar ( [Departamento de Educação Básica] DEB, 2001).

Nesta perspectiva, a geometria torna-se um campo privilegiado de matematização da

realidade e da realização de descobertas. Segundo Mason (1991), aprendemos geometria

para fortalecer e ajudar a organizar a noção de espaço, para ter conhecimento do mundo

real em que vivemos e para contactar directamente com o mundo da matemática através da

observação e da mente, indo de encontro às ideias já defendidas, em 1973, por Freudenthal,

para quem a geometria é essencialmente “a compreensão do espaço” o qual a criança “deve

aprender a conhecer, a explorar, a conquistar” de modo a poder aí “viver, respirar e

movimentar-se melhor” (p. 403). Acções tão simples como consultar um mapa ou fazer

2

medições, pendurar um quadro, jogar bilhar ou fazer construções com legos exigem sentido

de orientação, compreensão do espaço, ou seja, noções necessárias para compreender e

viver no mundo que nos rodeia.

É, portanto, indubitável o papel relevante que a geometria deve ocupar na Educação

Matemática. Mas, o ambiente em que esta é explorada influencia de formas diferentes a

apropriação de saberes.

Ao longo dos tempos, os instrumentos disponíveis sempre propiciaram o

desenvolvimento de ambientes geométricos criativos e didácticos. Agora, também o

impacto das novas tecnologias, da sociedade actual, se traduzem em mudanças de

conteúdos, abordagens, métodos e processos de pensamento no ensino e aprendizagem da

geometria, que poderão ser patrocinados pela exploração do moderno software geométrico

(Hershkowitz, 1994; citado em Junqueira, 1995). Tal como refere Laborde (1993), aprender

geometria com papel, lápis, régua e compasso é diferente de aprender recorrendo a

materiais manipuláveis, que por sua vez é diferente de aprender geometria recorrendo a

ambientes computacionais dinâmicos, como o Cabri-Géomètre ou o Geometer’s Sketchpad.

Estes libertam-nos de tarefas mecânicas e rotineiras, de construção, de medição e de

cálculos, deixando tempo para um trabalho mais dinâmico e activo em geometria.

Os AGD vieram então dar um novo contributo ao processo de ensino/aprendizagem da

geometria, uma vez que estes permitem, de uma maneira muito mais viva e eficaz (De

Villiers, 1996a), explorar, descobrir e desenvolver conceitos matemáticos e não somente

verificar resultados ou realizar experiências. Estes ambientes, oferecem, portanto, a

professores e alunos, segundo Noss e Hoyles (1996), uma nova janela para a geometria,

contribuindo, assim, para um ensino renovado deste tema.

Outra questão que tem vindo a recuperar o seu lugar na Educação Matemática é a

demonstração que, considerada por muitos professores como a “entrada no mundo da

matemática”, é vista por muitos alunos como o “ início do seu fracasso escolar” (Barbin,

1996, p. 195). Sendo assim, é necessário encontrar meios que motivem os alunos para a

demonstração na sala de aula, para que comecem a senti-la como uma actividade útil e

interessante.

A geometria foi, desde sempre, um campo privilegiado para abordar as questões da

3

demonstração. Mas, será que também se pode demonstrar com os AGD?

Estudos recentes, como os de Gardiner, Hudson e Povey (2000) e Mogetta (2000),

mostram como a utilização dos AGD pode contribuir para o desenvolvimento nos alunos da

ideia de construção e de demonstração. Contudo, esta questão ainda não tem uma resposta

definitiva, pois há quem considere que a demonstração com recurso ao computador não é

uma “verdadeira demonstração”. Por exemplo, a tão procurada demonstração do teorema

das quatro cores, um dos mais famosos problemas da matemática contemporânea,

demonstrado com o computador, em 1976, por Kennet Appel e Wolfang Hanken, é

contestada por muitos matemáticos e filósofos. Enquanto que no entendimento de uns não

chega a ser uma demonstração, para outros desafia o conceito tradicional de demonstração

matemática. Hanken, citado em Providência (2001, p. 55), argumenta dizendo que:

“O facto de um computador percorrer mais pormenores nalgumas horas de que um humano alguma vez pode esperar ao longo de uma vida não altera o conceito básico da prova matemática. O que mudou não é a teoria, mas a prática das matemáticas.”

Apesar da demonstração ter vindo a ocupar um papel mais relevante na Educação

Matemática, alguns autores, dentre os quais Wu (1996, citado em Knuth, 2002b), salientam

o facto da sua utilização se restringir, quase unicamente, ao campo da Geometria. Mas, a

verdade é que com a ajuda dos AGD, devido à sua característica facilitadora da

experimentação e através dos vários exemplos gerados, da investigação de propriedades e

relações, a demonstração pode ser “vista com outros olhos”, motivar alunos e professores

nesse sentido e, consequentemente, poder constituir o primeiro passo para que a

demonstração “venha para ficar”, poder ser a porta da entrada principal. Assim, uma vez

que a aprendizagem da Geometria é influenciada de diferentes formas, dependendo também

do ambiente em que é explorada, o objectivo deste estudo foi estudar as potencialidades dos

AGD como mediadores no processo de ensino/aprendizagem da Geometria e como é que

estes podem aproximar os alunos da prática da demonstração matemática.

Estas considerações levaram-nos a formular as seguintes questões de investigação:

- A utilização dos AGD contribui para o desenvolvimento de capacidades matemáticas,

tão importantes, como compreender e relacionar objectos geométricos, formular

conjecturas, estabelecer raciocínios lógicos, comunicar e usar correctamente a linguagem

4

matemática? Será que o recurso aos AGD leva os alunos a privilegiar a evidência como

forma de argumentação?

- Os AGD poderão contribuir para uma nova aprendizagem da geometria tornando os

alunos mais interessados e autónomos?

- Quais as concepções que os alunos têm acerca da geometria e da demonstração? É

possível mudá-las através da utilização dos AGD?

1.2. Perspectivas actuais na Educação Matemática

“ De todos os lados assistimos a uma invasão crescente da vida moderna pela matemática, a uma matematização das ciências que dia a dia se tornam mais imprescindíveis aos homens. De modo que a orgulhosa «rainha das ciências», até aqui rainha distante, encerrada num Mont-Salvat mal abordável, tende a tornar-se numa companheira democratizada e querida de todos nós” (Caraça, 1978, p. 295).

Bom, não tão “querida” assim de todos nós, mas com certeza um “mal necessário” para

muitos e uma paixão para alguns. O que é de salientar é que há já 27 anos atrás Bento de

Jesus Caraça falava da matemática como indispensável na vida de todos nós e é verdade

que as transformações, incessantes e em ritmo acelerado, a que a sociedade está

actualmente sujeita, exigem cada vez mais matemática, até ao mais comum dos cidadãos.

Face a esta sociedade, em constante mudança, “fortemente matematizada e tecnológica”

(Piteira, 2000, p. 1), torna-se necessário preparar os alunos para o mercado de trabalho e

para exercer uma cidadania de modo crítico e consciente, pois vivemos num permanente

desfio: adaptarmo-nos a um mundo em constante transformação. Tal desafio reflecte-se

inevitavelmente no currículo de Matemática. Citando Ponte, Boavida, Graça e Abrantes

(1997, p. 45):

“Um currículo pode vigorar durante mais ao menos tempo, conforme se revele mais ao menos adequado às suas funções e ao jogo das forças políticas e sociais a que se encontra submetido. Com a transformação acelerada da sociedade, característica deste final de século XX, é natural que os currículos passem a ter uma vida útil cada vez menor” (p. 45).

5

O currículo da disciplina de Matemática tem sofrido importantes alterações,

salientando-se sobretudo as seguintes tendências: (1) a natureza das competências

matemáticas que merecem especial atenção no processo de ensino/aprendizagem. A

resolução de problemas e investigações, por parte dos alunos, permite dar asas à

imaginação e à criatividade, desenvolvendo capacidades que vão além do cálculo e da

memorização, como a comunicação, o espírito critico, a modelação, a capacidade de

analisar dados e situações complexas, de realizar demonstrações, de planear, gerir e avaliar

o seu próprio trabalho; (2) o impacto das novas tecnologias. As novas tecnologias estão a

mudar a Matemática e as competências a que se deve dar mais ênfase, sendo uma tendência

muito forte nos currículos actuais; (3) a emergência de novos domínios na Matemática. A

evolução da própria matemática e a emergência de novos temas, como a matemática

discreta, as probabilidades e as ciências da computação, redefinem os assuntos a abordar

nos novos currículos; (4) o aprofundamento da investigação sobre o processo de

aprendizagem.

As investigações sobre o processo de ensino/aprendizagem também influenciam as

novas orientações curriculares. A investigação tem mostrado que a maioria dos alunos

realiza as tarefas propostas mas sem reflectir muito sobre o seu sentido, acabando por ver a

matemática como algo sem interesse e inútil. Esta visão encontra-se ainda muito marcada

na cultura de sala de aula (Ponte, Boavida, Graça e Abrantes, 1997), pelo que é necessário

invertê-la.

As novas tendências curriculares, no ensino e aprendizagem da Matemática, tiveram

como motor principal a associação de professores de Matemática dos Estados Unidos,

National Council of Teacher of Mathematics (NCTM).

Em Portugal, a principal protagonista pela reforma na matemática escolar foi a

Associação de Professores de Matemática (APM). A reforma da matemática escolar é

exigida pelas características de uma sociedade cada vez mais competitiva. De acordo com

as Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar do NCTM (1991, p. 5),

“a sociedade actual espera que as escolas garantam que todos os estudantes tenham a oportunidade de se tornar matematicamente alfabetizados, sejam capazes de prolongar a sua aprendizagem, tenham iguais oportunidades de aprender e se tornem

6

cidadãos aptos a compreender as questões em aberto numa sociedade tecnológica. Tal como a sociedade muda, também as suas escolas devem transformar-se”.

Neste contexto, torna-se prioritário combater a iletracia matemática a que os nossos

alunos se resignam e torná-los matematicamente alfabetizados, de modo a fazer frente às

novas exigências da actualidade.

O estudo internacional PISA 2000 (Programme for International Assessment) revelou

que os alunos portugueses de 15 anos de idade tiveram um desempenho em literacia

matemática claramente inferior à média conseguida pelos alunos dos países da OCDE

(Organização para a Cooperação e Desenvolvimento Económico). A literacia matemática

no PISA é definida como “a capacidade de um indivíduo identificar e compreender o papel

que a matemática desempenha no mundo, de fazer julgamentos bem fundamentados e de

usar e se envolver na resolução matemática das necessidades da sua vida, enquanto cidadão

construtivo, preocupado e reflexivo”, e procura avaliar até que ponto os alunos de 15 anos,

de vários países, incluindo Portugal, podem ser considerados “cidadãos informados e

reflexivos e consumidores esclarecidos” centrando-se na capacidade destes “utilizarem o

conhecimento e a compreensão matemática” para os ajudar a perceber determinadas

questões e levar a cabo as tarefas daí resultantes ([Ministério da Educação] ME e [Gabinete

de Avaliação Educativa] GAVE, 2004, p. 2).

Os alunos portugueses tiveram um desempenho médio bastante modesto,

aproximadamente 450 pontos, bastante inferior ao dos alunos do Japão com mais de 550

pontos e inferior ao dos alunos dos países da OCDE cuja média é de 500 pontos. Os

estudantes portugueses encontram-se ao mesmo nível da Itália, da Grécia, da Letónia e do

Luxemburgo. No que diz respeito ao desempenho dos alunos portugueses por ano de

escolaridade, os alunos do 10º ano e um número reduzido de alunos do 11º ano situa-se

acima da média da OCDE. Relativamente ao 9º ano, o decréscimo é evidente, para os 428

pontos, e acentua-se à medida que nos aproximamos do 5º ano de escolaridade, atingindo

apenas os 247 pontos. Estes resultados são preocupantes e leva-nos a pensar que algo não

está bem e é preciso fazer algo no sentido de preparar melhor os nossos alunos para a vida

futura.

De acordo com o DEB (2001) tornar os alunos matematicamente competentes envolve

7

um conjunto de atitudes, capacidades e conhecimentos relativos à matemática, que todos

devem desenvolver ao longo da educação básica e que inclui: (1) a predisposição para

raciocinar matematicamente, isto é, para explorar situações problemáticas, procurar

regularidades, fazer e testar conjecturas, formular generalizações, pensar de maneira lógica;

(2) o gosto e a confiança pessoal em realizar actividades intelectuais que envolvem

raciocínio matemático e a concepção de que a validade de uma afirmação está relacionada

com a consistência da argumentação lógica, e não com alguma autoridade exterior; (3) a

aptidão para discutir com os outros e comunicar descobertas e ideias matemáticas através

do uso de uma linguagem, escrita e oral, não ambígua e adequada à situação; (4) a

compreensão das noções de conjectura, teorema e demonstração, assim como das

consequências do uso de diferentes definições; (5) a predisposição para procurar entender a

estrutura de um problema e a aptidão para desenvolver processos de resolução, assim como

para analisar os erros cometidos e ensaiar estratégias alternativas; (6) a aptidão para decidir

sobre a razoabilidade de um resultado e de usar, consoante os casos, o cálculo mental, os

algoritmos de papel e lápis ou os instrumentos tecnológicos; (7) a tendência para procurar

ver e apreciar a estrutura abstracta que está presente numa situação, seja ela relativa a

problemas do dia-a-dia, à natureza ou à arte, envolva ela elementos numéricos, geométricos

ou ambos e (8) a tendência para usar a matemática, em combinação com outros saberes, na

compreensão de situações da realidade, bem como o sentido crítico relativamente à

utilização de procedimentos e resultados matemáticos.

As Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar propõem para todos

os alunos, desde o ensino pré-escolar ao 12º ano, os seguintes objectivos gerais: (1)

aprender a dar valor à matemática; (2) adquirir confiança na sua capacidade de fazer

matemática; (3) tornarem-se aptos na resolução de problemas matemáticos; (4) aprender a

comunicar matematicamente e (5) aprender a raciocinar matematicamente. Infelizmente,

alguns dados que temos acerca destes objectivos não são muito animadores (NCTM, 1991).

Os resultados das provas de aferição do ensino básico no que diz respeito à Matemática,

mostram que os alunos do 4º ano revelaram um melhor desempenho do que os do 6º ano, e

apontam para uma recuperação do 9º ano relativamente aos resultados do 6º ano. Ainda

assim, os dados globais apontam para um nível máximo de aproximadamente 50% para o

8

4º ano, contra 10% no 6º ano, verificando-se um grande desnível nos resultados do 4º para

o 6º ano. Esse desnível diminui para o 9º ano, onde os níveis máximos chegam a

aproximar-se dos 40%. Em 2003, na variável do conhecimento, os níveis máximos subiram

um pouco acima dos 50%, na resolução de problemas diminui, não chegando aos 20%, no

raciocínio também diminui e encontra-se um pouco acima dos 20% e na comunicação

superam os 40% (ME, 2004). Apesar de haver uma recuperação no 9º ano e os níveis terem

atingido os 40%, os resultados não se podem considerar animadores e estão longe do que é

satisfatório.

Para ir de encontro dos objectivos atrás referidos, o NCTM (1991) sugere que os

alunos: (1) participem em numerosas e variadas experiências relacionadas entre si e que os

encorajem a dar apreço ao desenvolvimento da matemática, a desenvolver hábitos de

pensamento matemático e a compreender e apreciar o papel da matemática na vida da

humanidade; (2) sejam encorajados a explorar, a fazer tentativas, e mesmo a cometer erros

e a tentar corrigi-los, de tal modo que ganhem confiança na sua capacidade de resolver

problemas complexos; (3) leiam, escrevam e discutam matemática, e ainda conjecturem,

testem e construam argumentos sobre a validade de uma conjectura. Mas, o alcance destes

objectivos não é conseguido se mudarmos os conteúdos e as finalidades e continuarmos a

utilizar as mesmas metodologias de ensino.

Já em 1964, Bento de Jesus Caraça (citado em Ponte et al., 1997, p. 50), era defensor do

abandono do método expositivo tradicional e do uso das tecnologias mais desenvolvidas no

ensino da matemática. No entanto, passados tantos anos, ainda há necessidade de continuar

a insistir que os alunos devem ter um papel mais activo na aprendizagem e que devemos

adoptar métodos de ensino diferentes, incluindo as potencialidades que as novas

tecnologias nos oferecem. Pois, como evidencia Gomes (2001), a aprendizagem já não é

entendida como um processo de transmissão e recepção de informação, mas sim como

processo de construção cognitiva que se favorece mediante a estimulação dos processos de

investigação dos alunos. Pretende-se actualmente que os alunos participem em numerosas e

variadas experiências que lhes estimulem o gosto e o prazer da criação matemática, que os

encorajem, a explorar, a questionar, a experimentar, a fazer estimativas, a sugerir

aplicações e a aprender com os próprios erros.

9

A actual Lei de Bases do Sistema Educativo refere como objectivos específicos para o

3º Ciclo, “a aquisição sistemática diferenciada da cultura moderna, nas suas dimensões

humanística, literária, artística, física e desportiva, científica e tecnológica, indispensável ao

ingresso na vida activa e ao prosseguimento dos estudos, bem como a orientação escolar e

profissional que facilite a opção pela realização da pessoa humana” (artigo 8º, alínea 3. c).

Face a estes objectivos, entre outros, partilhamos da estupefacção de Jaime Carvalho e

Silva: “como compreender então que a escola ‘fuja ao uso da tecnologia?”. Para o autor,

“infelizmente as dificuldades em integrar a tecnologia na escola afectam especialmente a

disciplina de Matemática. (...) A integração da tecnologia na escola e na disciplina de

Matemática é um dos maiores desafios da educação actual” (Silva, 2003, p. 1).

1.3. Geometria, AGD e Demonstração

A utilização das novas tecnologias, nomeadamente os AGD, veio também revolucionar,

em particular, o ensino e a aprendizagem da geometria que experimentaram “um

emocionante renascer” e que, diferente nos novos currículos, passou a ter “lugar cativo

entre os melhores” (De Villiers, 1996a, p. 5). Há mesmo quem tenha chegado a afirmar que

o novo software de geometria dinâmica veio salvar o currículo de geometria (De Villiers,

1996a).

As tendências actuais relativas ao ensino da geometria passam pela promoção de uma

aprendizagem baseada na experimentação e na manipulação e pela utilização dos AGD,

como Cabri-Géomètre e o Geometer’s Sketchpad. Estimular e reintroduzir a experiência e a

investigação foram, na opinião de De Villiers (1996a), provavelmente, as principais

vantagens introduzidas por estes programas, uma vez que “permitem a construção e

manipulação de objectos geométricos e a descoberta de novas propriedades desses objectos,

através da investigação das relações ou medidas que se mantêm invariantes”. Manipulação,

essa, que pode “ajudar os alunos a dar sentido ao processo de demonstração” (Abrantes,

Serrazina e Oliveira, 1999, pp. 68, 74). Esta opinião é partilhada por diversos autores (e.g.,

De Villiers, 1996a, 2002, 2003; Gardiner, Hudson e Povey, 2000; Hanna, 2002; Mogetta,

10

2000 e Osório, 2002). Para De Villiers (1996a) o aparecimento dos AGD veio também

implicar uma mudança radical no ensino da demonstração. O ponto fulcral deixou de estar

assente na verificação, mas sim noutras funções como a explicação e a descoberta. Para que

os alunos vejam a demonstração como uma actividade significativa deve ser-lhes dada a

oportunidade de formular problemas, explorar, conjecturar, refutar, reformular, explicar,

etc.

Relativamente ainda à questão da demonstração, também os recentes documentos do

NCTM (2000) falam da sua importância na Educação Matemática. A matemática deve

fazer sentido para os alunos, devendo estes reconhecer, procurar e encontrar explicações

para os padrões observados e para os procedimentos usados, de modo a desenvolver um

conhecimento profundo da matemática (NCTM, 2000). Na sala de aula, os alunos deviam

ser confrontados com a necessidade de explicar e justificar as suas conclusões. Segundo o

ponto de vista de De Villiers (1997) podemos enriquecer as nossas investigações nos AGD,

fazer generalizações e descobertas, se constantemente nos questionarmos “E se...?”.

Questões do tipo “O que estás a fazer? Porquê? E se?”, “Porque é que isso faz sentido?”,

“Como chegaste aí?” revestem-se de uma extrema importância no processo de

ensino/aprendizagem, pois podem ajudar os alunos a clarificar o seu pensamento, levá-los a

procurar novos caminhos e a desenvolver o raciocínio matemático, indo ao encontro das

orientações apontadas, já em 1988, pela APM: “perguntas como: “Porquê?”, “o que

acontece se...?”, “não existirá outro processo...?”, etc., devem proliferar e as suas respostas

devem ser procuradas, quer individualmente, quer em grupo” (p. 71).

Em Portugal, a Comissão para a Promoção do Estudo da Matemática e das Ciências,

num documento que constitui “um conjunto de orientações destinadas especificamente à

matemática” (ME, 2003, p. 2), aliás muito contestado pela APM (2003a), uma das

recomendações prende-se com o “raciocínio lógico e método hipotético-dedutivo” e a

geometria surge como a protagonista principal desse processo, como fonte de

“oportunidades para a realização de demonstrações simples e curtas que valem tanto pelos

seus resultados como pelo facto de habituarem o aluno ao rigor da construção de provas

lógicas”, de modo a acostumar progressivamente os alunos com o “estabelecimento de

axiomas e definições e com os procedimentos demonstrativos que constituem o cerne da

11

matemática” (p. 9).

Concordamos que a geometria pode ser realmente uma porta aberta para a

demonstração e que esta desempenha um papel importante na Educação Matemática, mas

colocamo-nos a mesma questão que Boavida (2003, p. 44), “ Queremos seguir por

aqui?!...”. A autora contra argumenta, dizendo que o cerne da matemática não está nos

procedimentos matemáticos, mas “numa actividade muito mais abrangente que dá sentido a

esses procedimentos e em que o conjecturar, o argumentar, o demonstrar e o formular e

resolver problemas estão intimamente entrelaçados” (p. 45). Ainda, de acordo com a autora,

“Perspectivar o ensino e a aprendizagem da demonstração, exclusivamente, como uma familiarização progressiva, dos alunos, com axiomas, definições, procedimentos demonstrativos, como um meio de introduzir temas básicos de lógica e de os habituar ao rigor, não me parece ser uma via prometedora. Quando considerarmos a demonstração, de um ponto de visita educativo, o seu papel fundamental deve ser, como defendem diversos autores, o de promover a compreensão da matemática” (p. 45).

É aqui que a geometria pode entrar, como “bom veículo para fazer descobertas”

(Saraiva, 1995, p. 5) e como fonte excepcional de tarefas não rotineiras (Afonso, 2002;

Freixo, 2002; Junqueira, 1995), pode promover o desenvolvimento de diversas

capacidades, apontadas como fundamentais para qualquer pessoa e, particularmente, para

todos os alunos (Afonso, 2002, p. 12) e, estando presente em tudo o que tudo o que nos

rodeia, pode ser vantajoso aproveita-la para promover aprendizagens geométricas baseadas

na exploração e na investigação, onde os alunos fazem e compreendem matemática.

1.4. Motivações para o estudo

O estudo levado a cabo prendeu-se com o ensino e a aprendizagem da geometria e com

a utilização das novas tecnologias, nomeadamente o computador.

As razões que levaram à escolha deste tema deveram-se principalmente a um gosto

pessoal, quer por este ramo da matemática quer pelas novas tecnologias, em particular pelas

potencialidades que o novo software de geometria dinâmica proporciona para o seu ensino.

12

Mas, outros factores estiveram na base da decisão, como a actualidade, a pertinência e a

importância dos assuntos envolvidos, à luz das actuais orientações da Educação Matemática

e algumas das sugestões de trabalhos de investigação nesta área, como os de Freixo (2002)

e Junqueira (1995).

É indubitável a importância da geometria e essa importância assume-se também nas

reformas curriculares, onde ocupa agora um lugar de destaque. Para o National Council of

Supervisors of Mathematics, a geometria é uma das doze componentes essenciais de

matemática para o século vinte e um (Geddes et al., 2001). Todavia, também é do

conhecimento geral que, apesar da sua importância, apesar de todos os esforços

empreendidos pelas novas orientações e por alguns professores, esta continua a ser relegada

para segundo plano, conjuntamente com todas as suas potencialidades.

É necessário tentar colmatar essas dificuldades, sensibilizando os professores para esse

facto, tendo em conta que muitas das vezes parte deles próprios a insegurança que acabam

por transmitir aos seus alunos. É necessário sensibilizá-los para novas abordagens que

poderão contribuir para um crescente interesse e aprendizagem da geometria por parte dos

alunos, para que estes a comecem a ver como algo muito mais agradável, interessante e útil.

Neste sentido, os investigadores têm procurado novas formas de ensinar e aprender

geometria, uma delas recorrendo à utilização das novas tecnologias. Pois, a escola tem de

se adaptar às novas exigências da sociedade, caso contrário arrisca-se a “ser cada vez mais

rejeitada pelos jovens” (Ponte e Canavarro, 1997, p. 24).

É também incontestável a atracção que os computadores exercem sobre os jovens de

hoje. Sabemos que são capazes de passar horas a fio à sua frente. Então, porque não

transpor esse ambiente para a sala de aula, potencializando e rentabilizando a sua utilização

na resolução de desafios que os cativem e que desenvolvam as suas competências

matemáticas e não só matemáticas.

Segundo os mesmos autores, Ponte e Canavarro (1997), apesar de, nos anos 80, as

novas tecnologias terem começado a entrar mais activamente na aula de Matemática, e

apesar de as experiências de ensino com computadores terem vindo a aumentar, a utilização

das novas tecnologias, na aula de Matemática, ainda fica muito aquém do que seria de

esperar nos dias de hoje e restringe-se a um pequeno grupo de professores. É que, num

13

universo tão grande de professores, por muitos que pareçam ser, ainda representam uma

percentagem bastante pequena. No prefácio da tradução portuguesa do livro Geometry

turned on – Dynamic software in learning, teaching and research, Veloso e Candeias

(2003) informam que num inquérito, realizado no ProfMat2001, em Vila Real, dos 228

professores que responderam, cerca de 66% não tinha utilizado nenhum software nas aulas

de Geometria no ano lectivo anterior. E, portanto, estamos de acordo com os autores

quando referem que “estes dados, sobretudo se considerarmos que dizem respeito a

professores suficientemente interessados no seu desenvolvimento profissional e nas

questões da educação matemática para participarem num ProfMat, não são muito

animadores “ (p. 5).

A opção pelo capítulo Circunferência e Polígonos. Rotações, do 9º ano de escolaridade,

deveu-se ao facto de este ser rico em conceitos geométricos e reunir um conjunto de

características propícias à utilização dos AGD. Para King (1998), o software interactivo

como o GSP permite-nos manipular dinamicamente objectos da geometria elementar, como

é o caso da circunferência, e uma vez que este permite traçar o lugar geométrico de um

objecto geométrico em movimento, podemos também criar e investigar dinamicamente

muitas outras curvas. Consideramos que se trata de um capítulo importante para a

aprendizagem da matemática no 3º Ciclo, pois possibilita o desenvolvimento do raciocínio

dedutivo, característico desta disciplina, e vai de encontro a algumas das recomendações do

programa de Matemática do 3º Ciclo do ensino básico: “ a observação e análise de figuras,

a ligação à vida real, o aproveitamento da intuição e o desenvolvimento progressivo do

rigor, o uso de raciocínios indutivos e dedutivos sem esquecer a importância da

comunicação, da argumentação, a utilidade do esboço e da construção rigorosa” ([Direcção

Geral do Ensino Básico e Secundário] DGEBS, 1991, p. 47). Além disso, como salienta

Araújo (1999, p. 1), “a geometria do ensino básico é sem dúvida mais rica e dinâmica que a

tristonha geometria analítica do ensino secundário”.

14

1.5. Aspectos da metodologia usada no estudo

A opção metodológica adoptada foi predominantemente qualitativa pois pretendemos

observar, descrever, interpretar e intervir nos processos desenvolvidos por alunos, do 9º ano

de escolaridade, em tempo real, num contexto natural de sala de aula, no estudo de

conceitos geométricos, com recurso às novas tecnologias, nomeadamente ao AGD, o GSP.

Foram realizadas onze sessões, as duas primeiras com o objectivo de familiarizar os

alunos com a nova metodologia de ensino, sete sessões onde os alunos trabalharam temas

de geometria com recurso ao GSP, e duas sessões de exercícios práticos com recurso aos

instrumentos tradicionais, papel e lápis, do manual adoptado, que decorreram na sala

habitual de aula.

Para as sessões práticas com o GSP foram desenvolvidas diversas fichas de trabalho que

abordaram vários temas de geometria, centrados, essencialmente, no estudo da

circunferência.

Para a descrição e avaliação da experiência, recorremos ao registo de observações, aos

documentos produzidos pelos alunos, aos questionários respondidos pelos mesmos e a uma

entrevista realizada à professora da turma em estudo.

15

C A P Í T U L O I I

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

No sentido de encontrarmos referências, tomarmos posições e encontrarmos caminhos

possíveis para a realização do nosso estudo, foi terminante recorrermos à literatura já

existente. Assim sendo, com este capítulo pretendemos dar a conhecer alguma da literatura

que orientou este estudo e que consideramos essencial sobre o ensino e aprendizagem da

geometria e da demonstração, com recurso aos AGD.

Começamos por nos referir, na primeira secção, às mudanças actuais na sociedade,

principalmente no que diz respeito ao desenvolvimento tecnológico e às suas implicações

no ensino, em particular da geometria. Na segunda secção iremos debruçarmo-nos sobre as

potencialidades do computador ao serviço da educação, em especial dos AGD, ao serviço

do ensino da geometria. Por fim, na terceira secção, iremos centrar-nos na questão da

demonstração, no seu papel e importância no currículo de Matemática.

2.1. A Geometria no currículo de Matemática

2.1.1. Recuperação da Geometria no currículo de Matemática

As rápidas transformações do mundo actual, resultantes dos avanços tecnológicos,

científicos e sociológicos, ocorridos nas últimas décadas, exigem que os indivíduos, para

além de adquirirem conhecimentos, os reconvertam de forma dinâmica, de modo a poderem

resolver novos, e cada vez mais complexos, problemas que lhes vão surgindo, sempre à luz

do sentido crítico e da criatividade. Deste modo, torna-se necessário encontrar os meios de

concretização de um saber que se quer integrado, do desenvolvimento do espírito de

17

iniciativa, de hábitos de organização e de autonomia dos alunos. A matemática é uma área

do saber que pode proporcionar tais competências, dentro da qual se encontra a geometria

com os seus problemas e modelos perfeitamente construídos, onde se põe em jogo o poder

da nossa imaginação e criação.

Assim, um pouco por todo o lado, e de modo a contemplar as exigências de uma

sociedade dita da informação, espera-se que a escola já não se vire apenas para o saber, mas

também para o saber fazer e para o ajudar a ser, permitindo aos alunos que “participem

como cidadãos produtivos e auto-realizados” (Junqueira, 1995, p. 15.).

De acordo com as Normas para o Currículo e Avaliação em Matemática Escolar,

“a sociedade actual espera que as escolas garantam que todos os estudantes tenham a oportunidade de se tornar matematicamente alfabetizados, sejam capazes de prolongar a sua aprendizagem, tenham iguais oportunidades de aprender e se tornem cidadãos aptos a compreender as questões em aberto numa sociedade tecnológica.” (NCTM, 1991, p. 5).

Nesse sentido, e ainda de acordo com o NCTM (1991), é necessário que o aluno

desenvolva a sua capacidade para explorar, conjecturar, raciocinar logicamente e utilizar

com eficácia uma variedade de métodos na resolução de problemas, indo de encontro às

novas orientações que propõem que os currículos de Matemática dêem mais ênfase à

compreensão dos conceitos, em vez do tradicional foco na aprendizagem de algoritmos, e à

geometria como sendo um dos domínios a privilegiar.

Durante muitos anos, o ensino e a aprendizagem da geometria em Portugal, bem como

noutros países, foi remetido para segundo plano, não sendo, de modo algum, uma grande

prioridade nos currículos de Matemática. O reconhecimento desta situação levou, um pouco

por todo o mundo, à “recuperação” da geometria e à sua reimplantação nos currículos

escolares, pois é genericamente aceite que, através de problemas não rotineiros, pode

propiciar o desenvolvimento de capacidades de visualização espacial, de raciocínio e de

argumentação, identificadas como fundamentais para os cidadãos na época actual e no

futuro (Junqueira, 1995).

Uma das alterações mais significativas no currículo de Matemática foi, então, a

recuperação da geometria que esteve durante muito tempo esquecida no final dos manuais,

18

chegando mesmo, a nem fazer parte destes.

Foi Freudenthal que, com as suas preocupações quanto ao estado da Educação

Matemática, maior influência exerceu no regresso da geometria. No seu livro Mathematics

as an Educational Task, publicado em 1973, apresenta, através de múltiplos exemplos e de

comentários, algumas das principais orientações que propõe para a renovação do ensino da

geometria (Veloso, 1998).

Outro marco essencial no movimento da recuperação da geometria foi a publicação, em

1989, do documento Curriculum and Evaluation Standars for School Mathematics e

traduzido para português, em 1991, com o título Normas para o Currículo e a Avaliação

em Matemática Escolar. Ainda hoje considerado como um documento de referência, as

Normas, reflectem as novas tendências curriculares e o crescente aumento de interesse e de

experiências de ensino da geometria que caracterizou a parte final dos anos 80 e propõe-se,

nas normas dedicadas à geometria, uma visão renovada do seu ensino (Veloso, 1998).

Esta visão foi intensificada com a publicação das Adendas às normas sobre geometria,

com o intuito de fornecer ideias e materiais para o ensino, para apoiar e facilitar a

implementação das Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática Escolar. Para

os anos de escolaridade 9-12 – Geometria a partir de múltiplas perspectivas – aborda-se a

reforma dos conteúdos, da pedagogia e da avaliação dos alunos em matemática escolar;

propõe-se uma maior atenção ao estudo da geometria através de diversas perspectivas,

como por exemplo, através das coordenadas e das transformações, através das aplicações ao

mundo real e à modelação, através da investigação, tirando partido, por exemplo, das

potencialidades nos novos AGD; e preconiza-se ainda que coloquemos a ênfase no “fazer

matemática”, onde para isso os alunos terão de se envolver mais activamente na construção

e aplicação dos seus conhecimentos.

Para os anos de escolaridade 5-8 – Geometria dos 2º e 3º ciclos – advoga-se uma nova

visão da matemática e um novo ambiente de aprendizagem na sala de aula, recomendando-

se que se dê mais atenção à matemática como resolução de problemas, como comunicação,

como raciocínio e às conexões matemáticas, bem como uma nova abordagem no ensino e

mais eficaz, onde o facto de o professor conhecer os seus alunos e a forma como aprendem

pode ajudá-lo a decidir acerca dos objectivos a atingir e das metodologias mais adequadas a

19

adoptar, que podem passar quer pela utilização de materiais manipuláveis, quer pela

utilização de trabalho cooperativo, quer pela utilização das novas tecnologias.

Para além das alterações metodológicas que caracterizam a nova visão do ensino da

matemática, no caso específico da geometria, são feitas propostas de alteração aos

programas tradicionais no sentido de dar mais relevo a determinados aspectos, como, por

exemplo, a compreensão dos objectos geométricos e das suas relações, a utilização da

geometria na resolução de problemas, o desenvolvimento de curtas sequências de

demonstrações, a exploração em computador de figuras bi e tridimensionais, as aplicações

ao mundo real, a modelação e os argumentos dedutivos expressos oralmente ou por frases

ou parágrafos escritos.

Também a publicação de diversos livros sobre geometria e o aparecimento de novos

materiais e software para o seu ensino vieram ajudar ao seu “regresso”. As aplicações da

geometria, como por exemplo à arte, vieram mostrar uma outra vertente não tão

reconhecida na matemática que pode ajudar a despertar o interesse e a criatividade dos

alunos.

Em Portugal, o aparecimento do programa LOGO, de Seymour Papert, desencadeou um

maior interesse pelas questões e problemas da geometria, que se ampliou com o

aparecimento do Projecto Minerva. Também a criação, em 1986, da Associação de

Professores de Matemática (APM), veio dar um novo impulso através da publicação de

artigos na sua revista Educação e Matemática, das numerosas conferências, comunicações

e sessões práticas sobre geometria que se têm vindo a realizar nos diversos encontros de

professores e educadores e da publicação de obras importantes, como foi a publicação, em

1988, de O geoplano na sala de aula, da autoria de Lurdes Serrazina e José Manuel Matos,

que veicula uma metodologia inovadora do ensino da geometria (Veloso, 1998), onde o

professor deixa de ser o centro das atenções e os alunos deixam de ser receptores passivos,

para se tornarem participantes activos, de modo a adquirirem uma cultura matemática que

lhes possibilite aplicar na sua vida diária e facilmente se adaptarem ao mundo de hoje, cada

vez mais especializado.

A geometria deve fazer parte dessa cultura matemática, mas infelizmente é o tema que

mais aversão tem provocado, quer em alunos, quer em professores. Em Para mim a

20

matemática é... pode ler-se o testemunho de uma aluna, do 1º ano do curso de

Português/Inglês, que a determinada altura escreve: “uma amiga minha fugia da sala de

aula (...) especialmente se o conteúdo abordado era a geometria” (Barbosa, 2003, p. 51).

Segundo Serrazina e Matos (1996), as crianças têm, desde cedo, um interesse e uma

curiosidade inata pelas ideias geométricas. Então como compreender tal aversão? Talvez

não estejamos a ir ao encontro desse interesse e dessa curiosidade. Para estes autores o

estudo da geometria possibilita o envolvimento dos alunos na descoberta de relações, no

teste de conjecturas, no pensamento imaginativo e crítico e deve estar relacionado com o

mundo real, devendo ser estimulados a explorar relações espaciais e a procurar exemplos de

relações geométricas no mundo físico que os rodeia. A aprendizagem deve ser inicialmente

informal, experimentando uma descoberta activa, raciocínios indutivos, elaboração e teste

de conjecturas e desenvolvimento da percepção visual e imaginativa, para gradualmente

traduzir essas experiências através de uma linguagem mais precisa e formal (Serrazina e

Matos, 1996).

Em 1988, a publicação, também pela APM, do livro Renovação do Currículo de

Matemática, serviu de base para a elaboração dos actuais programas portugueses, e

recomenda uma reforma nos conteúdos e nos métodos de ensino, em particular da

geometria.

Estavam, assim, lançadas algumas condições favoráveis para que a geometria

recuperasse o lugar que há muito lhe competia no currículo.

2.1.2. Situação actual no ensino básico

O actual Programa de Matemática para o 3º ciclo do ensino básico, organizado por

objectivos gerais e específicos, pretende desenvolver o aluno não só ao nível dos

conhecimentos, mas também ao nível dos valores/atitudes e das capacidades/aptidões.

No que concerne à geometria, estes reflectem o movimento do seu regresso, tendo

havido a preocupação de lhe reservar maior tempo lectivo, que, em alguns dos casos, chega

a atingir mais de 40%. Ao nível das introduções gerais e das indicações metodológicas,

realça-se o valor da intuição, como um poderoso guia na descoberta da verdade, e da

21

utilização de materiais manipuláveis na aprendizagem da geometria (Veloso, 1998).

A geometria passou a estar no centro das preocupações e são muitas e variadas as

questões que se colocam relativamente ao seu ensino: – Que possibilidades trazem as novas

tecnologias, em especial os AGD? Qual a importância da demonstração? Como evitar os

dois extremos, igualmente nefastos, – o excesso de demonstrações “obrigatórias” que se

decoram sem compreender ou o vazio total de demonstrações, onde não se faz a mínima

ideia do que é uma demonstração matemática? Qual o lugar para o trabalho investigativo do

aluno e do professor em geometria? Estas são algumas das questões que se podem colocar

(Veloso e Ponte, 1999).

O objectivo central do ensino da geometria nos programas do ensino básico é

desenvolver o conhecimento de espaço, estabelecendo sempre que possível a ligação

espaço-plano-espaço. Enquanto nos programas anteriores se partia do plano para o espaço,

pressupondo uma maior facilidade de aprendizagem da geometria formal do plano, nos

novos programas dá-se mais valor ao espaço como compreensão da realidade, pressupondo

vantagens na exploração de uma abordagem mais intuitiva e da sua ligação à realidade.

Para além de se enfatizar a ligação à vida real e o aproveitamento da intuição e da

observação, são também preocupações dos novos programas do 3º ciclo, a análise de

figuras, o uso de raciocínios indutivos e dedutivos e o desenvolvimento progressivo do

rigor. Realça-se também a importância da comunicação e da argumentação, aspectos que

podem ser bastante desenvolvidos com a geometria, através, por exemplo, de debates e

discussões em grupo.

A utilização de modelos é outra das sugestões propostas pelo programa. Dada a

dificuldade de abstracção dos alunos desta faixa etária, preconiza-se a elaboração de tarefas

que permitam ao aluno fazer experiências, medições e construções, estabelecer hipóteses e

estratégias, descrever e justificar processos de resolução.

No estudo da geometria, no 3º ciclo, torna-se importante a realização de experiências,

bem como a justificação de raciocínios, a resolução de problemas, a comunicação oral e

escrita de processos e raciocínios, de conjecturas ou conclusões, o que implica a exploração

de tarefas variadas, quer em grupo quer individualmente, que sejam motivadoras, para

desenvolver o espírito crítico, de pesquisa e de cooperação, o gosto por aprender e a

22

autonomia. Continua também a ser importante desenvolver o raciocínio indutivo, onde os

alunos terão de verificar conjecturas, justificar propriedades, processos de resolução e

casualmente fazer pequenas demonstrações, caminhando, aos poucos, para um pensamento

progressivamente mais rigoroso.

Mais recentemente, em 2001, com a publicação, pelo DEB, do documento Currículo

Nacional do Ensino Básico – Competências Essenciais, o Ministério da Educação define

um conjunto de competências, consideradas essenciais e estruturantes no âmbito do

desenvolvimento do currículo nacional, para cada um dos ciclos do ensino básico, o perfil de

competências de saída deste nível de ensino e, ainda, os tipos de experiências educativas que

devem ser proporcionadas a todos os alunos. Inclui ainda as competências de carácter geral,

a desenvolver ao longo de todo o ensino básico, assim como as competências específicas

que dizem respeito a cada uma das áreas curriculares.

No domínio da geometria, algumas das competências matemáticas que os alunos devem

desenvolver, ao longo de todos os ciclos, são: (1) a aptidão para realizar construções

geométricas e para reconhecer e analisar propriedades de figuras geométricas,

nomeadamente recorrendo a materiais manipuláveis e a software geométrico; (2) a aptidão

para utilizar a visualização e o raciocínio espacial na análise de situações e na resolução de

problemas em geometria e em outras áreas da matemática; (3) a compreensão dos conceitos

de comprimento e perímetro, área, volume e amplitude, assim como a aptidão para utilizar

conhecimentos sobre estes conceitos na resolução e formulação de problemas; (4) a aptidão

para efectuar medições e estimativas em situações diversas, bem como a compreensão do

sistema internacional de unidades; (5) a predisposição para procurar e explorar padrões

geométricos e o gosto por investigar propriedades e relações geométricas; (6) a aptidão para

formular argumentos válidos recorrendo à visualização e ao raciocínio espacial,

explicitando-os em linguagem corrente; e (7) a sensibilidade para apreciar a geometria no

mundo real e o reconhecimento e a utilização de ideias geométricas em diversas situações,

nomeadamente na comunicação.

Em particular, no 3º ciclo, as competências específicas a desenvolver são: (1) a aptidão

para visualizar e descrever propriedades e relações geométricas, através da análise e

comparação de figuras, para fazer conjecturas e justificar raciocínios; (2) a aptidão para

23

realizar construções geométricas, nomeadamente quadriláteros, outros polígonos e lugares

geométricos; (3) a compreensão do conceito de forma de uma figura geométrica e o

reconhecimento das relações entre elementos de figuras semelhantes; (4) a aptidão para

resolver problemas geométricos através de construções, nomeadamente envolvendo lugares

geométricos, igualdade e semelhança de triângulos, assim como para justificar os processos

utilizados; (5) o reconhecimento do significado de fórmulas e a sua utilização no cálculo de

áreas e volumes de sólidos e de objectos do mundo real, em situações diversificadas; (6) a

predisposição para identificar transformações geométricas e a sensibilidade para relacionar

a geometria com a arte e com a técnica; e (7) a tendência para procurar invariantes em

figuras geométricas e para utilizar modelos geométricos na resolução de problemas reais.

Nos aspectos atrás referidos estão bem patentes as razões por que a geometria é

“unanimemente escolhida como tópico obrigatório de ensino aos cidadãos de todo o

mundo” (Loureiro, Oliveira, Ralha e Bastos, 1997, p. 14). O ensino da geometria permite

desenvolver simultaneamente a capacidade de raciocínio lógico-dedutivo, de visualização e

interpretação espacial e o conhecimento do mundo em que vivemos. O raciocínio lógico-

dedutivo integra capacidades como a intuição, a descoberta de propriedades e relações entre

objectos e constitui um processo gradual que começa com pequenas experiências concretas

e que acaba numa organização de resultados num sistema axiomático, desenvolvendo-se

assim a nossa capacidade de pensar matematicamente. A capacidade de visualização

espacial é caracterizada por Abrantes, Serrazina e Oliveira (1999) como um conjunto de

capacidades relacionadas com a forma como vemos o mundo à nossa volta e como

conseguimos representar, interpretar, modificar e antecipar transformações relativamente

aos objectos que nos rodeiam, de modo a compreender o que se passa à nossa volta. As

aplicações da geometria vão desde a sua relação com diferentes áreas da matemática e

outras ciências à sua constante presença em inúmeras situações do dia-a-dia, do trabalho,

do lazer e da própria natureza que nos oferece um sem fim de formas e relações

geométricas, possíveis e inimagináveis.

Nos novos programas reconhece-se ainda a necessidade de mudança nos métodos de

ensino e consequentemente das propostas de trabalho. Como ressaltam Méndez, Estévez e

del Sol (2003), muitas das propostas tradicionais tornaram-se obsoletas com a introdução

24

dos computadores e do aparecimento de novas profissões e desafios. O estudo

Matemática2001, realizado pela APM, faz um conjunto de recomendações sobre o ensino e

a aprendizagem da Matemática em Portugal e vai de encontro a algumas das ideias já aqui

referidas. No que diz respeito à prática pedagógica,

“Esta deve valorizar tarefas que promovam o desenvolvimento do pensamento matemático dos alunos, nomeadamente a resolução de problemas e as actividades de investigação, e que diversifiquem as formas de interacção em aula, criando oportunidades de discussão entre os alunos, de trabalho de grupo e de trabalho de projecto (...). Os professores devem procurar utilizar situações de trabalho que envolvam contextos diversificados (...) e a utilização de materiais que proporcionem um forte envolvimento dos alunos na aprendizagem, nomeadamente, materiais manipuláveis, calculadoras e computadores” (APM, 1998b, pp. 81 – 82).

O uso das novas tecnologias é fortemente recomendado nos novos programas, mas

muitos professores, pelas mais diversas razões, ainda colocam algumas reservas à sua

utilização, principalmente ao computador, seja por falta de tempo, ou por falta de condições

ou por achar que se perde o rigor e recear que a aula se possa transformar “numa

brincadeira”. Não concordamos com esta última observação, pois acreditamos que as aulas

até se podem tornar bastante mais exigentes e significativas, pois se ensinar e aprender

envolve processos complexos, trazer as novas tecnologias traz ainda mais complexidade

(Lagrange, Artigue e Frouxe, 2003), o que também exige muito mais trabalho e dedicação,

quer por parte dos professores, quer por parte dos alunos.

2.2. O computador ao serviço do ensino da Geometria

2.2.1. O computador no ensino e na aprendizagem da Geometria

Como se pode constatar, são várias as referências que recomendam o recurso a

materiais manipuláveis e a software geométrico no desenvolvimento de competências de

geometria.

O “velho quadro negro”, auxiliar constante da actuação do professor de Matemática ao

longo de gerações, embora continue a manter o seu lugar e importância, tem de partilhar o

25

seu papel didáctico com todos os outros meios que estão hoje ao dispor do professor,

nomeadamente as inovações tecnológicas, porque uma pedagogia que conduza a uma

aprendizagem significativa e à autonomia “requer a mobilização de recursos múltiplos de

aprendizagem” (Vieira, Marques e Moreira, 1999, p. 533).

A autonomia é um valor importante a nível da educação dos nossos dias, estando

consagrada em documentos oficiais. De acordo com a Lei de Bases do Sistema Educativo,

este terá de contribuir para o “desenvolvimento pleno e harmonioso da personalidade dos

indivíduos, incentivando a formação de cidadãos livres, responsáveis, autónomos e

solidários e valorizando a dimensão humana do trabalho” (artigo 2º, 4). Ainda de acordo

com o mesmo documento, é objectivo do ensino básico “proporcionar a aquisição de

atitudes autónomas, visando a formação de cidadãos civicamente responsáveis e

democraticamente intervenientes na vida comunitária” (artigo 7º, i)).

Sendo a autonomia um atributo indispensável do cidadão, ela deverá estar ligada ao

próprio processo de ensino/aprendizagem. Para tal, a reforma do sistema educativo

estabelece a adopção de metodologias centradas no aluno como sujeito construtor do seu

saber, atribuindo ao professor um papel de orientador e mediador das aprendizagens a

realizar. O que se exige é que o professor assuma que “ensinar não é transferir

conhecimento, mas criar as possibilidades para a sua produção ou sua construção” (Freire,

1997, p. 52). Como diz o velho ditado chinês: “Se queres matar a fome a alguém, mais vale

ensiná-lo a pescar do que oferecer-lhe um peixe”. Concretamente, se quisermos que os

nossos alunos tenham sucesso na escola e na vida, ao ensiná-los a “pensar bem” estamos a

contribuir para “matar o insucesso” e facilitar o sucesso, porque numa sociedade em que,

cada vez mais, é preciso enfrentarmos e adaptarmo-nos a novas, e cada vez mais

complexas, situações, a escola não se pode limitar à transmissão de conhecimentos. Caso

contrário, arriscamo-nos a cair no erro a que Freire (1997) faz alusão:

“o educador que ensinando (...) “castra” a curiosidade do educando em nome da eficácia da memorização mecânica do ensino dos conteúdos, tolhe a liberdade do educando, a sua capacidade de aventurar-se. Não forma, domestica” (p. 63).

Hoje queremos uma escola dinâmica e inovadora onde o saber é construído e não

simplesmente transmitido e memorizado, onde os alunos são confrontados e estimulados

26

com situações problemáticas, onde são levados a dar resposta às situações com base na

pesquisa, no confronto de ideias, na reflexão e na criatividade. Assim, também na aula de

Matemática teremos de criar situações para que os alunos se possam tornar agentes da sua

própria aprendizagem, assumindo um papel activo e construtivo do seu conhecimento, pois

“só fazendo, experimentando, mexendo, se aprende efectivamente e não apenas vendo fazer

ou ouvindo dizer como se faz” (Rocha, 1995, p. 235). Como dizia o filósofo Confúcio, há

mais de 2500 anos, “ouço e esqueço, vejo e recordo, faço e compreendo”!

Face a estas considerações, há que ponderar quais os recursos e as metodologias mais

adequadas e eficazes para o desenvolvimento de uma pedagogia para a autonomia e mais

significativa. Ora, desde sempre se discutiu quais os recursos mais adequados a utilizar, na

sala de aula, de modo a proporcionar aos alunos uma aprendizagem mais significativa. As

inúmeras recomendações no sentido de alterar as práticas tradicionais de ensino, o grande

impacto do ensino na aprendizagem dos alunos e a preocupação dos professores em

melhorar o desempenho dos alunos em geometria, remetem para a necessidade de

experimentar, em ambiente de sala de aula, modelos de ensino e aprendizagem da

geometria diferentes.

Os manuais escolares continuam a constituir, “numa época em que se assiste a uma

verdadeira explosão de suportes de ensino informatizados”, (Gérard e Roegiers, 1998, p.

15) um importante instrumento de suporte no processo de ensino/aprendizagem e continua,

sem dúvida, a ser o instrumento mais utilizado tanto por professores como por alunos,

desempenhando “uma função fortemente reguladora das práticas instrucionais e sociais em

sala de aula” (Vieira et al., 1999, p. 527). A utilização de outros recursos, como materiais

manipuláveis, revistas, jogos, computador, etc., que envolvam o aluno de maneira mais

activa no processo de ensino/aprendizagem, pode motivar e reforçar a aprendizagem dos

alunos, “em substituição de uma dependência quase exclusiva face ao professor” (Vieira et

al., 1999, p. 533), pois se queremos que o aluno tenha esse papel central na aprendizagem,

onde constrói o seu conhecimento, o uso exclusivo do manual parece-nos insuficiente na

consecução dessa tarefa.

A condição estática dos manuais não permite dar uma resposta tão eficaz à dinamização

que se pretende na relação entre alunos, professores e saberes, não querendo dizer que o

27

consigamos com outros recursos, mas apenas com o manual parece-nos um pouco mais

difícil.

Azevedo (2002) partilha igualmente desta opinião e aponta as novas tecnologias,

sobretudo o computador, como sendo de um enorme interesse pedagógico, no sentido em

que facilitam uma melhor organização das actividades curriculares e extracurriculares, são

geradoras de uma nova escola onde a interdisciplinaridade e criatividade podem optimizar a

relação entre professor e aluno e estimular o sucesso escolar. Para Goldenberg (2000), os

computadores vieram aumentar a importância de certas ideias, tornar alguns problemas e

tópicos mais acessíveis, valorizar conteúdos e pedagogias e proporcionar novas formas de

representação e domínio da informação matemática, que nunca antes tinha sido possível.

Já em 1988, Neves dizia que o recurso aos computadores, nomeadamente no ensino da

geometria, significava um “salto qualitativo importante relativamente aos processos

tradicionais”, sendo “um novo processo de aprender geometria e até de ‘fazer geometria’”

(p. 46), pois estes levam o aluno a uma aprendizagem mais activa e eficaz, permitindo que

tome iniciativas e faça descobertas, indo ao encontro de uma aprendizagem por descoberta.

Nesse sentido, muitos investigadores têm procurado estudar as enormes potencialidades

do computador na tentativa de proporcionar aos alunos uma experiência de aprendizagem

mais atractiva, útil e eficaz, conduzindo a uma compreensão mais profunda e abrangente

desta disciplina. Mas, não basta insistir, face a tudo o que já foi dito, que devemos usar as

novas tecnologias, porque, como salientam Goldenberg (2000) e King (1999), o que é

realmente importante é como estas são usadas e como orientamos os alunos na forma como

aprendem. Se continuarmos com as mesmas atitudes e concepções perante o ensino, com as

mesmas propostas de trabalho, arriscamo-nos a que o uso dessas tecnologias não altere o

status quo, caindo no perigo, como refere Paulo (1996), que “os professores voltem aos

métodos tradicionais, perpetuando-se o desfasamento entre ela [a tecnologia] e a sociedade

e, em particular, o mundo do trabalho” (p. 111). Mas, também é importante salientar que,

apesar das todas as vantagens que podem advir da sua utilização, não significa, de maneira

alguma, como salientam Méndez, Estévez e del Sol (2003), que estas venham substituir

completamente os meios tradicionais, como o uso de modelos ou os instrumentos de

desenho. Antes, trata-se de combinarmos os vários recursos para conseguir aumentar a

28

qualidade do processo de ensino/aprendizagem. Como se costuma dizer: “nem 8, nem 80”!

Muitas vezes deparamo-nos com a procura de “receitas milagrosas” que venham dar

resposta a todas às nossas hesitações e inquietações, mas que não existem, é claro! O que

funciona com uns alunos e um professor pode não funcionar com outros. Temos que

conhecer os nossos alunos, saber até onde podemos ir e como, temos de experimentar.

No que diz respeito à utilização das novas tecnologias, a questão fundamental que aqui

se coloca é, como realça English (2002), como tirar o máximo proveito deste

desenvolvimento tecnológico no ensino e aprendizagem, como nos tornarmos inovadores e

eficazes na forma como usamos a tecnologia no ensino da matemática e como tirar o

melhor partido do impacto da tecnologia para a Educação Matemática. Parafraseando

Ponte,

“É impossível falar de efeitos genéricos das novas tecnologias no processo de aprendizagem. A sua utilização na educação pode assumir formas radicalmente diferentes, com efeitos diametricalmete opostos. Tudo depende das interacções que se estabelecem entre alunos, o computador e o professor. (...) Mas, globalmente, a maioria das indicações aponta para a possibilidade de desenvolver novas estratégias cognitivas, para a criação de sentimentos e autoconfiança, maior responsabilização do aluno pelo seu próprio trabalho, novas relações professor-aluno e laços de cooperação e inter ajuda entre os alunos. Estas indicações são altamente encorajadoras, fazendo-nos crer que as novas tecnologias podem dar, de facto, um importante contributo para o desenvolvimento multifacetado dos alunos em harmonia com um mundo de alta tecnologia” (Ponte, 1997, p. 121).

Apesar das tão mencionadas vantagens, muitos professores continuam a “fugir” à

utilização das novas tecnologias, principalmente do computador. No estudo

Matemática2001, relativamente aos materiais utilizados pelo professor, o manual adoptado

era utilizado com muita frequência, por mais de 80% dos professores, assim, como as

fichas de trabalho, por aproximadamente 60%. Na altura em que o estudo foi realizado, já

uma percentagem significativa dos professores, 50%, utilizava em muitas aulas a

calculadora, mas os restantes materiais, como jogos didácticos, materiais manipuláveis e

computador, eram usados por uma percentagem muitíssimo baixa de professores.

Acreditamos, que passados sete anos, estas baixas percentagens de utilização destes

materiais tenham melhorado significativamente, apesar de ainda ficarem aquém do

29

desejado.

O ano 2003 foi o ano da Matemática e Tecnologia para a APM e do ponto de vista

desta associação,

“A educação com recurso à tecnologia é um direito dos alunos, que todos os intervenientes no sistema educativo devem respeitar. A negação deste direito contraria a desejada igualdade de oportunidades de acesso aos bens da educação. A tecnologia tem influenciado e alterado as formas de ver, utilizar e produzir matemática. A educação matemática não pode permanecer indiferente a esta situação. É fundamental que as ferramentas tecnológicas sejam integradas de forma consistente nas actividades lectivas, proporcionando aos alunos verdadeiras e significativas aprendizagens matemáticas” (APM, 2003b, p. 1)

Também em 1987, Smart afirmava que o ensino da matemática nunca mais seria o

mesmo com o desenvolvimento das ciências da computação, inclusive o ensino da

geometria. Efectivamente, o computador tem sido referido, sistematicamente, como

propiciador de potentes ambientes de ensino/aprendizagem (Laborde, 1993; Hoyles e Noss,

1994) e a geometria como particularmente adaptada na exploração das virtualidades desses

ambientes, devido às potencialidades dinâmicas e gráficas que permitem ao aluno uma

abordagem muito mais viva e rica.

Os novos ambientes geométricos, em oposição aos tradicionais de papel e lápis,

permitem, segundo Laborde (1993), um maior leque de acções e objectos que, podendo ser

manipulados mais facilmente, permitem a realização de outras tarefas, progressivamente

mais complexas. Os alunos são assim libertados de tarefas mecânicas e automáticas para

terem espaço para reflectir sobre estas e fortalecer os próprios processos de pensamento.

Estes ambientes são considerados por Schulmann (citado em Junqueira, 1995)

poderosos meios para a indução de descobertas em geometria, que podem ser formuladas

através de conjecturas. Os alunos podem, devido ao feedback recebido do computador,

aquando da manipulação das construções, gozar da sensação de serem eles próprios a

experimentar, a explorar e a descobrir, ensaiando soluções, construindo figuras,

manipulando-as e intuindo as suas propriedades, ou seja, são apoiados na resolução dos

problemas e levados a reflectir sobre os seus processos de resolução, fazendo, segundo

Olive (2002), com que compreendam as relações entre os conceitos geométricos de uma

30

forma mais profunda, levando-os a pensar de um modo mais geral e mais abstracto.

Outra das potencialidades destes ambientes é, como Battista e Clements (1992) fazem

notar, a geração espontânea da aprendizagem cooperativa. O facto das actividades com

computador serem habitualmente realizadas em grupo leva os alunos a terem de comunicar

uns com os outros, bem como com o professor, gerando-se assim discussões facilitadoras

da organização do seu próprio processo de raciocínio, uma vez que permitem o confronto

de ideias e a análise de problemas segundo perspectivas diferentes, favorecendo, além do

desenvolvimento cognitivo, o desenvolvimento da autonomia. O conceito de aprender é,

assim, oposto ao tradicional porque é o aluno que, partindo à descoberta, constrói

activamente o seu próprio saber, levando-o a uma aprendizagem mais significativa. É neste

contexto que podemos (e devemos) trabalhar a geometria nestes novos ambientes

computacionais.

Os ambientes computacionais mais recentes para o ensino da geometria permitem

realizar construções geométricas no ecrã do computador, utilizando explicitamente as

propriedades das figuras, e possibilitam a manipulação directa dessas construções,

conservando as propriedades utilizadas. A esses ambientes dá-se o nome de Ambientes

Geométricos Dinâmicos (AGD).

2.2.2. O ensino e a aprendizagem da Geometria em AGD

Várias investigações têm comprovado a eficácia destes programas dinâmicos de

geometria. Como afirmam King e Schattschneider (1997), dinâmico, ao contrário de

estático, indica acção, energia e a geometria dinâmica é isso mesmo, uma geometria activa

e investigativa, “plena de energia e vibração”. Como referem Cuoco e Goldenberg (2003),

o software de geometria dinâmica pode ser muito mais do que “uma vitamina para a

geometria de Euclides, do que um interface de construção ou do que um meio de

experimentação” (p. 55). Estes programas podem ajudar os alunos a treinar o seu

pensamento, raciocinando, fazendo conjecturas, descobrindo e construindo, de forma

autónoma, uma “nova matemática”.

Os progressos que se têm verificado em termos de software permitem manipular as

31

representações externas de forma reconhecidamente dinâmica. Num AGD, segundo

Laborde (1993), o movimento e a modificação dos desenhos possibilitam uma mais fácil

visualização das propriedades e das relações geométricas, uma vez que é possível fazer

construções e manipulá-las, conservando invariantes as propriedades e relações

estabelecidas. Na opinião de Schwartz (citado em Coelho e Saraiva, 2002), os AGD

funcionam como “espelhos intelectuais” onde os alunos podem, devido ao feedback visual

devolvido pela manipulação dos desenhos no ecrã do computador, experimentar as suas

ideias através da manipulação das construções.

A estrutura que teve como principal objectivo a introdução dos computadores nas

escolas portuguesas foi o Projecto Minerva. Em 1986, Ponte dizia que quem não fosse

capaz de “utilizar e dominar minimamente os processos informáticos” correria “o risco de

estar tão desinserido na sociedade do futuro como um analfabeto está na sociedade de hoje”

(p. 5). Torna-se, portanto, indispensável e urgente que, numa sociedade em constante

desenvolvimento tecnológico, a escola proporcione aos seus alunos uma “alfabetização” no

que diz respeito ao conhecimento das grandes potencialidades das tecnologias informáticas.

Aliás, para Veloso (1998, p. 91), “não é admissível que, durante mais tempo, a educação

matemática em Portugal esteja privada da utilização de computadores e do software que

hoje existe dedicado ao ensino de tópicos importantes do currículo de Matemática”, uma

vez que estes “contribuem para tornar a aprendizagem dos programas fácil e intuitiva”, para

aumentar o tipo de aplicações educacionais e “para dar à sua utilização um carácter

dinâmico próprio, que os torna instrumentos poderosos na resolução de problemas e nas

actividades de exploração, investigação e descoberta em geometria e na matemática em

geral”.

Assim, professores e alunos dispõem hoje, para o ensino e aprendizagem da geometria,

dos chamados programas de geometria dinâmica, entre os quais, o GSP. “Rigor e

exuberância, no sentido de vigor, energia, robustez, vitalidade, grande animação,

superabundância e entusiasmo” são, segundo Loureiro (1999, p. 44), “boas palavras para

caracterizar estes programas”. Estes fornecem ferramentas para construções e medições

rigorosas e têm a capacidade de repetir uma construção. Trabalhamos com estes programas

do mesmo modo que trabalhamos com régua e compasso, só que de uma forma muito mais

32

dinâmica, activa e cativante.

A ideia principal dos ambientes geométricos dinâmicos é, através da manipulação, a

concretização da ideia de objectos variáveis, de um modo que nenhuma imagem estática

alguma vez o permite, pois quando se movem determinados objectos de uma construção

todos os outros se ajustam automaticamente, preservando todas as relações de dependência

e condições da construção inicial. Esta característica faz com que consideremos a

construção não como um desenho estático, mas como um conjunto de objectos ligados

pelas suas relações geométricas, que podem ser visualizadas como permanecendo

invariantes sob o arrastamento (Laborde, 1993), ou seja, “a procura de tudo o que

permanece constante, no meio de tudo o que varia” (Veloso, 1998, p. 58).

Pense-se, por exemplo, no problema em que se pede aos alunos para desenhar um

triângulo qualquer e sobre cada um dos seus lados construírem um triângulo equilátero

“voltado” para fora e, seguidamente, construírem o triângulo formado pelos circuncentros

desses triângulos equiláteros, como se pode observar na figura 1. Com a ajuda do novo

software de geometria dinâmica, os alunos podem, através do feedback dado pelo

arrastamento, observar e conjecturar acerca desse novo triângulo, verificar as suas

conjecturas, tentar demonstrá-las e fazer novas investigações e novas descobertas.

m∠HIG = 60,00°

m∠GHI = 60,00°

m∠IGH = 60,00°O

I

H

G

D

FE

C

B

A

Figura 1. Teorema de Napoleão (adaptada de De Villiers, 2003)

33

Esta curiosa construção foi atribuída ao Imperador francês Napoleão, grande apreciador

de matemática, tendo ficado conhecida pelo seu nome. Construções deste tipo, não sendo

tão usuais, podem fomentar o interesse pelas relações geométricas e ao achá-las

extraordinárias e surpreendentes podem motivar o aluno a “voltar atrás” para encontrar uma

explicação, uma demonstração.

As vantagens deste tipo de software são várias. Desde a sua fácil utilização à

possibilidade de permitirem uma abordagem dos conceitos assente na descoberta e na

exploração, desde o encorajamento à criatividade e ao processo de descoberta, onde os

alunos visualizam, analisam, fazem conjecturas e até demonstram, até ao aprofundamento

do conhecimento e do desenvolvimento do trabalho cooperativo e da resolução de

problemas. Enfim, este tipo de software permite trabalhar e compreender a matemática de

uma forma que não é possível com as tradicionais ferramentas, como o papel e o lápis. Os

mais conhecidos entre nós são: o Cinderella, o Cabri-Géomètre (Cabri) e o Geometer’s

Sketchpad (GSP).

O Cinderella é um programa de geometria dinâmica da autoria de J. Richter-Gebert e H.

Kurtenkamp. Os botões apresentam imagens sugestivas, o que permite que as suas funções

sejam facilmente intuídas. Para além das utilidades habituais, possui botões para criar

rectas, circunferências, polígono, cónicas, pontos médios, perpendiculares, paralelas, para

medir comprimentos, ângulos, áreas, para animar, para exportar para a WWW, para criar

exercícios interactivos, para usar o compasso, etc. A ajuda contém todo o manual, em

formato HTML, o que permite uma navegação cómoda e adequada às necessidades de cada

utilizador. Dispõe ainda da capacidade de abordar, além da geometria euclidiana habitual,

as geometrias hiperbólicas e esférica (Silva, 2002). Tem a desvantagem de não trabalhar as

transformações geométricas e não podermos aceder ao histórico das construções, como no

Cabri e no GSP.

O Cabri e o GSP, através da utilização de menus descendentes, podem, executar, a

nosso comando, rotinas da geometria euclidiana, como, por exemplo, traçado de rectas,

circunferências, perpendiculares, intersecções, efectuar transformações geométricas, como

translações, rotações, reflexões e homotetias; permitem o traçado de lugares geométricos;

efectuar e escrever no ecrã resultados de medições habituais em geometria, calcular e

34

escrever o resultado de operações elementares ou transcendentes. Permitem, também, a

construção e memorização de rotinas mais complexas que podem ser invocadas como

rotinas de base e nas últimas versões é possível fazer conexões com a álgebra.

O Cabri é um programa de geometria dinâmica que foi criado por Jean-Marie Laborde e

Franck llemain. Apresenta uma zona de desenho, um menu e uma barra de botões, que

permite aceder à maior parte dos comandos do Cabri. Estes botões estão agrupados do

seguinte modo: os botões de criação que permitem criar um conjunto de objectos

geométricos, tais como pontos, rectas, vectores, triângulos, circunferências, cónicas,

polígonos, etc.; os botões de construção que permitem a construção de rectas

perpendiculares ou paralelas, definir o ponto médio de um segmento de recta e a sua

mediatriz, definir a bissectriz de um ângulo, efectuar transformações geométricas, etc.; os

botões de medição que permitem determinar a medida de comprimentos, áreas e amplitudes

de ângulos, para além de uma calculadora que permite operar com estas medidas e uma

tabela para apresentação de resultados; e os botões de apresentação que permitem legendar,

escrever texto e valores numéricos, fazer animações de um ou mais objectos, mostrar e

esconder objectos, etc. Este software possui também um sistema de eixos que permite a sua

utilização no estudo da geometria analítica e os botões de construção permitem ainda

efectuar construções à custa de outras já existentes que podem ser gravadas e utilizadas

posteriormente (macros), por exemplo, para construção de pavimentações e fractais.

O GSP é um programa de geometria dinâmica que nasceu de um projecto muito amplo,

que incluiu professores e investigadores, o Visual Geometry, dirigido por Eugene klotz e

Doris Schattschneider, que tinha como objectivo propor uma visão renovada do ensino da

Geometria. Da autoria de Nick Jackiw, a versão 4.00, muito melhorada e ampliada

relativamente às anteriores, foi publicada em Outubro de 2001. Investigadores e

matemáticos mais entusiastas usam o GSP numa filosofia de “E se...?” para ajudar a provar

propriedades de construções e ajudar a descobrir novos resultados, bem como para criar

imagens de grande qualidade para usar em tarefas, relatórios ou publicações. A publicação

do livro Geometry turned on, em 1997, é o exemplo de uma publicação que nos oferece

vários exemplos de experiências bem sucedidas, dentro e fora da sala de aula, de

professores e alunos com o software de geometria dinâmica GSP.

35

Ambos os programas são “poderosas ferramentas” de construção e investigação que

permitem aos alunos explorar, analisar, conjecturar, argumentar, compreender e descobrir

conceitos matemáticos, não só da geometria, mas também da álgebra, da trigonometria, do

cálculo, entre outros. Pense-se, por exemplo, no problema em que podemos pedir aos

alunos para que de entre todos os rectângulos com o mesmo perímetro investiguem o que

tem maior área. O GSP pode assim ser visto como uma ponte entre a geometria euclidiana e

a análise, onde os alunos podem modelar as situações e observar a forma como se vão

alterando, pois os AGD são um instrumento onde a variação contínua é a principal

ferramenta de investigação (Cuoco e Goldenberg, 2003) e proporcionam um ambiente

favorável de trabalho que encoraja os alunos a trabalharem e a fazerem matemática no

computador. Com problemas deste género, os alunos podem também facilmente

compreender a noção de maximização e minimização e aplicá-la a situações do dia-a-dia.

Poder-se-á, então, colocar a questão Cinderella, Cabri ou GSP?

Veloso, Silva e Silveira (2002), consideram que os três programas podem ser usados em

qualquer nível de ensino. No entanto, tanto Silveira como Veloso apontam o Cinderella

para níveis mais avançados, designadamente para o ensino superior. Silveira considera

ainda que o Cabri é mais intuitivo para usar com os alunos mais pequenos e Veloso é de

opinião que o GSP pode ser utilizado perfeitamente a partir do 3º ciclo.

O Cabri e o GSP, nas suas últimas versões, são muito semelhantes entre si,

apresentando praticamente as mesmas potencialidades.

De acordo com Veloso (1998), os professores que têm experimentado os dois

programas consideram que o Cabri é mais intuitivo e ajuda mais os alunos, mas outros

consideram o contrário e entendem que é mau romper com a estratégia habitual de trabalho

com computadores, característica do GSP. Ao contrário de Silveira, Veloso considera a

utilização do Cabri menos intuitiva. Por exemplo, no Cabri se pedirmos ao aluno para

traçar uma recta perpendicular, depois de ter seleccionado no menu a opção perpendicular

line, o aluno pode por tentativas tentar perceber quais os objectos que devem ser

seleccionados de modo a que o seu comando inicial resulte. Ao contrário, no GSP enquanto

não tiver seleccionado os objectos para os quais tenha sentido pedir a construção de uma

recta perpendicular, a opção perpendicular line não fica acessível. Outra das características

36

do GSP é que este também “não sabe” o que é um triângulo ou um polígono regular, ou a

mediatriz de um segmento de recta, e se “não sabe” “não pode ensinar”, ao contrário do

Cabri onde, nos seus menus, é possível escolher a opção polígono ou mediatriz. No GSP os

alunos têm de perceber o que é a mediatriz para a poderem construir e pensar nos objectos

matemáticos para o fazer. A respeito destas diferenças, o autor do GSP, Nick Jackiw,

fundamenta a sua escolha da seguinte forma:

“A segunda razão [porque adoptamos este processo no Sketchpad] é mais simples, e prende-se mais directamente com o ensino da geometria e o uso de software na sala de aula. O meu objectivo em relação ao projecto do Sketchpad não é fornecer uma máquina que ensine geometria, mas em vez disso fornecer um ambiente em que cada um possa rapidamente explorar e, idealmente, atingir e ampliar os limites da sua própria compreensão e apreciação da geometria” (Veloso, 1998, p. 98).

Alguns dos estudos publicados em Portugal, nomeadamente a partir de 1995, vêm

confirmar as “grandes potencialidades educativas tanto de um ambiente computacional, (...)

como de um software dinâmico para o ensino da Geometria” (Ponte, Matos e Abrantes,

1998, p. 97).

Um estudo, relativamente recente, de Piteira (2000), vai de encontro a algumas das

potencialidades anteriormente referidas. Mas, a autora fala em Ambientes Dinâmicos de

Geometria Dinâmica (ADGD), e não em AGD, por considerar que este termo define

melhor o tipo de software utilizado, porque, se por um lado, cria acção entre a interface e o

utilizador, por outro, torna dinâmica a forma de abordar e trabalhar a geometria euclidiana.

O ambiente geométrico dinâmico utilizado no estudo foi o GSP. Neste ambiente, tal

como em outros, o feedback dado pela possibilidade de arrastamento permite, aos alunos,

rápida e vivamente explorar diferentes construções da mesma figura (Laborde, 1993). A

autora pôde observar que os próprios menus da construção obrigaram a que os alunos, em

determinadas situações, tivessem de pensar como construir novas figuras, avaliar o que

tinham construído e pensar sobre as conclusões a obter, o que os ajudou a trabalhar os

objectos geométricos até chegarem a conclusões sobre as propriedades e relações

geométricas.

A autora verificou ainda que, durante a resolução das propostas de trabalho, os alunos

37

sentiram necessidade de utilizar uma linguagem matemática mais rigorosa e envolviam-se

mais nas suas construções, quer em perceber as relações entre os objectos geométricos quer

em especificar essas relações na elaboração das conclusões e relatórios.

A elaboração dos relatórios fez com que eles também pensassem e reflectissem mais

sobre a sua acção, discutindo entre si o que escrever e tomando consciência dos passos

seguidos na construção das figuras e nas relações geométricas obtidas. Nestes relatórios

usavam a terminologia que observavam no ecrã ou a que fazia parte dos menus do GSP. Os

ADGD apresentam-se, assim, como contendo elementos de linguagem a partir dos quais os

alunos podem falar e reflectir (Noss e Hoyles, 1996), o que contribui, segundo os vários

estudos realizados nestes ambientes, para uma melhor compreensão matemática e

consequentemente para uma melhor aprendizagem. Ou seja, o GSP pode ser usado como

uma ferramenta para pensar e trabalhar em geometria (Noss e Hoyles, 1996).

Mais recentemente, o estudo de Freixo (2002) sobre a formulação de problemas para

uma aprendizagem da geometria com recurso às novas tecnologias, nomeadamente o

Cabri-Géomètre II, mostrou que a utilização desse AGD favoreceu a aprendizagem a

ritmos diferentes, não imposto pelo professor, em que os alunos tomaram o seu próprio

ritmo de trabalho. Houve mais união e debate entre os alunos, fomentando-se o espírito

crítico. Contribuiu ainda para o aumento do seu entusiasmo e para alterar a relação entre

professor e aluno, passando aquele a ser mais um companheiro de descoberta. Os alunos

tornaram-se também mais activos e criativos e forneciam muito mais feedback de que

quando sujeitos a um ensino mais tradicional. Concluiu ainda que esta ferramenta pode

contribuir para “ajudar a intuição dos alunos e para lhes proporcionar múltiplas

experiências concretas de investigação e reflexão” (p. 323).

Por outro lado, tratando-se de um estudo comparativo sobre a construção de

conhecimento em duas turmas de 8º ano de escolaridade, com uma das turmas sujeitas a um

ensino recorrendo ao Cabri-Géomètre II e a outra sujeita a um ensino dito tradicional, a

autora concluiu que a construção do conhecimento foi diferente nas duas turmas, tendo em

conta, as dificuldades, a aplicação e o desempenho nas fichas de avaliação, levando-a a

acreditar que “o facto de envolver os alunos nas descobertas, ao invés de “despejar a

informação, conduz a um conhecimento mais sólido” (p. 326). A atitude face à resolução de

38

problemas melhorou e a autora admite que esses alunos agora os possam ver como

sinónimo de investigação. Os alunos melhoram ainda a sua auto-estima e a confiança, pois

estavam “entregues a si próprios” (p. 334).

Já estudos anteriores aos de Piteira (2000) e Freixo (2002) tinham permitido chegar a

conclusões similares. Também as investigações de Junqueira (1995), Coelho (1996) e

Rodrigues (1997), citadas em Coelho e Saraiva (2002), realçaram a atitude positiva que o

trabalho em AGD pode criar nos alunos, quer no que diz respeito à matemática quer no que

diz respeito ao desenvolvimento de uma certa autonomia e apontaram o programa Cabri

como um “software amigável e fortemente interactivo que os alunos aprendem a dominar

facilmente, revelando o máximo das suas potencialidades educativas quando é utilizado

numa perspectiva dinâmica, e conduzindo à necessidade de demonstração” (p. 55).

2.3. A demonstração em Matemática

2.3.1. Os diferentes papéis da demonstração

Em Davis e Hersh (1995, p. 145) pode ler-se: “houve quem afirmasse que a

característica que distingue a matemática é algo a que se chama «demonstração»”. A

demonstração é, assim, considerada, por muitos educadores, como central na disciplina de

Matemática, sendo essencial para fazer, comunicar e recordar matemática (Schoenfeld,

1994; citado em Knuth, 2002a). Ora, estes atributos contribuíram para que, nos últimos

anos, tenha havido um crescente aumento de artigos publicados sobre o ensino e a

aprendizagem da demonstração, evidenciando o facto de esta continuar a ser um assunto

proeminente na Educação Matemática.

Não é portanto de admirar que as recentes reformas se tenham esforçado por apelar para

alterações substanciais na natureza e no papel da demonstração. Em contraste com

anteriores posições, a demonstração tem vindo a assumir um papel cada vez mais relevante.

No recente documento do NCTM de 2000, Principles and Standards for School

Mathematics, espera-se que esta venha a fazer parte da Educação Matemática de todos os

alunos e recomenda-se que se reconheça a argumentação e a demonstração como aspectos

39

fundamentais da matemática, que se desenvolva e avalie argumentos e demonstrações

matemáticas e se use os vários tipos de raciocínio e métodos de demonstração. Mas, a

demonstração não tem vindo apenas a ocupar um papel mais relevante, tem conjuntamente

vindo a assumir um papel diferente.

Segundo De Villiers (1999), o valor das demonstrações vai muito para além da mera

verificação de resultados. Para este autor, as demonstrações são extremamente valiosas

porque podem fornecer uma percepção mais clara das situações, conduzir a novas

descobertas ou ajudar na sistematização do conhecimento matemático, constituindo ainda

um desafio intelectual. Refere ainda que a linguagem do professor é crucial na introdução

da demonstração. Em vez de começarmos por dizer que não sabemos se o resultado é

verdadeiro e que vamos demonstrá-lo para ter a certeza, os alunos encontrarão mais

significado se dissermos que, uma vez que já sabemos que o resultado é verdadeiro, vamos

tentar encontrar uma explicação, recorrendo a outros resultados já conhecidos (De Villiers,

1996a). Pois com os AGD podemos observar um conjunto de casos para comparar a

veracidade de resultados que antes não eram óbvios a partir de algumas figuras estáticas,

precisando de outras motivações, além da mera verificação de resultados. Assim, os alunos

poderão deixar de ver a demonstração como algo sem interesse e utilidade, trabalhando

como verdadeiros matemáticos outras funções da demonstração.

De Villiers (1999, 2003) defende portanto um abandono radical dos métodos

tradicionais assentes essencialmente na verificação, pois considera que esta é, de longe, a

função menos importante da demonstração (1996b) e propõe um novo modelo, extensão de

um proposto originalmente por Bell em 1976, em que a demonstração não desempenha

apenas uma função de verificação do conhecimento, mas também outras funções como a

explicação, quando dá uma ideia de porque é um resultado verdadeiro; como descoberta,

quando se descobrem e inventam novos resultados; como meio de comunicação, quando se

usa para transmitir conhecimento matemático; como sistematização, quando se organizam

vários resultados num sistema de axiomas e teoremas; e finalmente, mas não menos

importante, como um desafio intelectual.

A demonstração como um meio de verificação, diz respeito à veracidade da afirmação,

ao convencimento da sua veracidade. A convicção é provavelmente e com mais frequência

40

um pré-requisito para a descoberta da demonstração e não o contrário, como muitos

professores ainda parecem acreditar. Podemos, por exemplo, pedir aos alunos para verificar

que se [ABCD] é um quadrilátero convexo e E, F, G e H são os pontos médios dos seus

lados, então o quadrilátero [EFGH] é um paralelogramo e a sua área é metade da do

quadrilátero original [ABCD] (ver figura 2).

Area EFGH = 23,9 cm2

H

E

F

G

F'

G'

H

E

F=E'

G=H'A

BC

D

D

CB

A

Figura 2. Quadrilátero de Varignon (adaptada de De Villiers, 2003).

Por translação obtém-se um paralelogramo geometricamente igual ao [EFGH], que

pode ser decomposto em quatro triângulos geometricamente iguais aos triângulos que

resultam da construção paralelogramo [EFGH] no quadrilátero [ABCD], donde o

paralelogramo [EFGH] tem a mesma área que esses quatro triângulos e, portanto, metade

da área do quadrilátero original. Este resultado, conhecido pelo teorema de Varignon, pode

ser demonstrado a partir de propriedades elementares dos triângulos. Pode-se ainda pedir

aos alunos que investiguem quando é que o quadrilátero de Varignon é um losango ou

quando é um quadrado e expliquem quando é que tal acontece e porquê.

A demonstração como meio de explicação elucida sobre a razão da veracidade

matemática. Este aspecto da demonstração é muito mais importante para um matemático do

que a simples verificação. Quando os resultados em questão são intuitivamente evidentes

ou apoiados em evidências quase empíricas, a função da demonstração não é a de

verificação mas sim a de explicação ou de descoberta.

Por exemplo, se pedirmos aos alunos para construírem um papagaio dinâmico e

explorarem as suas propriedades, estes podem explicá-las (prová-las) em função do

41

conceito de simetria. Podem, por exemplo, tentar explicar porque é que as diagonais do

papagaio são perpendiculares, porque é que têm sempre dois ângulos geometricamente

iguais. Podemos motivá-los propondo-lhes novos desafios, como por exemplo, tentarem

explicar porque é que a intersecção das medianas de um triângulo nos dá o seu centro de

gravidade ou ponto de equilíbrio (ver figura 3).

BG

GF = 2,00

CG

GE = 2,00

GA

DG = 2,00

Area AFG = 5,44 cm2

Area CDG = 5,44 cm2

Area CGF = 5,44 cm2

Area GDB = 5,44 cm2

Area EGB = 5,44 cm2

Area AGE = 5,44 cm2

BG = 5,61 cmGF = 2,80 cm

CG = 3,89 cmGE = 1,94 cm

DG = 3,50 cmGA = 7,00 cm

G

F

D

E

C

B

A

Figura 3. Centro de gravidade de um triângulo (adaptada de De Villiers, 2003).

Alguns de nós, enquanto estudantes, fizemos a experiência de suspender um triângulo

de cartão pelo seu baricentro e verificar que este ficava sempre em equilíbrio, ou muitos de

nós determinámos o baricentro de um triângulo qualquer e disseram-nos que esse era o seu

centro de gravidade, mas nunca nos preocupamos ou nunca nos levaram a questionar

porque é que isso acontecia. Com o GSP, os alunos podem facilmente chegar a uma

explicação plausível e satisfatória, envolvendo-se na construção da própria matemática e

não simplesmente aceitando que “É assim!”.

A demonstração como meio de descoberta leva à invenção de novos resultados. A

matemática é, aliás, uma área em constante desenvolvimento, onde constantemente se

fazem descobertas e a sua aplicação conduz a mais e novas descobertas, pois como

asseguram Zavala e Arceo (2001), a matemática não é uma ciência acabada.

A procura de invariantes e generalizações é uma fonte de novas descobertas. Muitas

dessas descobertas não acontecem indutivamente, mas por processos puramente dedutivos.

A demonstração deixa, nesse caso, de ser apenas um meio de verificação e explicação de

um resultado, constituindo também uma forma de explorar, analisar, descobrir e inventar

42

novos resultados. Como afirmava Lakatos em 1982, a matemática cresce através do

constante melhoramento das conjecturas, através de um processo crítico, pela lógica da

prova e da refutação.

Keyton (1997), num documento publicado no livro Geometry turned on – Dynamic

software in learning, teaching and research, elucida-nos como os seus alunos, ao trabalhar

com o GSP, andavam muito mais animados e produtivos e conseguiram chegar a um

número bastante significativo de conjecturas e novas ideias.

Os seus alunos investigaram vários quadriláteros e estabeleceram novas relações.

Fizeram conjecturas, procuraram contra-exemplos, construíram demonstrações e até deram

nomes às suas descobertas. Por exemplo, para o bissectogramo (bisectogram), um

quadrilátero formado pelas bissectrizes dos ângulos de um quadrilátero genérico (ver figura

4), os alunos demonstraram os seguintes teoremas: (1) Num quadrilátero, se uma diagonal

for a bissectriz de um dos ângulos, como é o caso do papagaio ou do losango, então não

tem bissectogramo; (2) Se o bissectogramo de um quadrilátero existe, então é cíclico, ou

seja, pode ser inscrito numa circunferência; (3) O bissectogramo de um paralelogramo é um

rectângulo; (4) O bissectogramo de um rectângulo é um quadrado; e (5) O bissectogramo

de um trapézio isósceles é um papagaio cíclico com exactamente dois ângulos rectos.

FG = 2 cmHF = 2 cmEH = 2 cmGE = 2 cm

m∠HFG = 90°m∠FGE = 90°m∠EHF = 90°m∠GEH = 90°

m∠DAB = 90°m∠CDA = 90°m∠BCD = 90°m∠ABC = 90°

HE

FG

E

H

FG

A

A C

B

B

C

D

D

Figura 4. Propriedades 2 e 3 do Bissectogramo [EFGH] do quadrilátero [ABCD].

43

Analogamente, estes alunos descobriram outras relações para os mediatrizogramos

(perpbisogram), quadrilátero definido pelas mediatrizes dos lados do quadrilátero, para os

altugramos (altagram), quadrilátero definido pelas alturas a partir dos vértices,

medvertigramo (midvexogram), quadrilátero definido pela intersecção das medianas e para

os tangentogramos (tangentogram), quadrilátero definido pelas rectas perpendiculares às

diagonais nos seus extremos.

Podemos pedir aos nossos alunos para fazer investigações análogas e trabalhar com eles

nessas investigações. Por exemplo, pedindo para explorarem o que acontece se unirmos os

pontos médios de um papagaio, os alunos podem conjecturar que se obtém sempre um

rectângulo e explicar porque é que tal acontece, descobrir que é verdade para qualquer

quadrilátero com as diagonais perpendiculares e generalizar para um quadrilátero genérico

(ver figura 5). Assim, ao terem de explicar como chegaram a essa descoberta e ao

enunciarem as propriedades descobertas, os alunos desenvolverão, com certeza, mais

profundamente o sentido de demonstração do que simplesmente apresentar-lhes a

propriedade e pedir-lhes para a demonstrar.

Area IMNJ( )

Area ABCD( ) = 0,50

Area ABCD = 21,25 cm2

Area IMNJ = 10,63 cm2

Area AMI( )

Area ABD'( ) = 0,25

Area ABD' = 10,63 cm2

Area AMI = 2,66 cm2

m MI = 3,73 cm

m JN = 3,73 cm

m NM = 2,85 cm

m IJ = 2,85 cm

m∠NMI = 90,00°

m∠JNM = 90,00°

m∠IJN = 90,00°

m∠MIJ = 90,00°

N

J

I

M

C

A

B

D

Figura 5. Caso particular do Quadrilátero de Varignon.

Keyton (1997) diz poder garantir que os alunos conseguem pensar, têm imaginação e

curiosidade e a que demonstração se torna significativa quando um resultado se põe em

questão, significando que eles se envolvem mais intimamente quando querem saber se as

44

suas descobertas são ou não de facto verdadeiras.

A demonstração como meio de comunicação pode ser vista como um meio único de

transmitir e negociar o conhecimento matemático entre matemáticos, entre professores e

alunos e entre os próprios alunos. Esta interacção permite o aperfeiçoamento da

demonstração e a identificação de erros, bem como a sua rejeição devido à descoberta de

contra-exemplos. As actividades geométricas são, segundo Abrantes et al. (1999), um

excelente meio para trocar ideias, negociar, ou seja, desenvolver a capacidade de

comunicação matemática. Quando os alunos descrevem os procedimentos que usaram

numa determinada tarefa, estão a fazer uso dessa capacidade. Um estudo de Vicent (1998)

permitiu concluir que a utilização do Cabri contribuiu para a compreensão e o uso correcto

da linguagem geométrica, em particular para os alunos que trabalham em pares onde podem

discutir as suas observações e estratégias de construção. Nesta função, a demonstração é

vista como um acto de comunicação, como uma forma de pensar e não como qualquer coisa

estática que “não serve para nada”!

A demonstração como meio de sistematização significa a organização dos vários

resultados num sistema dedutivo de axiomas, definições e teoremas.

Retomando o exemplo do papagaio, podemos pedir aos alunos que investiguem a razão

entre as áreas ou entre os perímetros dos dois quadriláteros e que tentem, por exemplo,

demonstrar, com base na exploração efectuada, que a área do rectângulo é sempre metade

da área do papagaio. Embora também estejam presentes alguns elementos de verificação e

explicação, o principal objectivo não é propriamente verificar se as afirmações são

realmente verdadeiras, mas sim, uma vez que já sabemos serem verdadeiras, organizá-las e

relacioná-las logicamente num todo unificado e coerente (De Villiers, 2003). Para

chegarem à demonstração, os alunos podem recorrer à decomposição em triângulos e a

algumas das suas propriedades.

Na demonstração como desafio intelectual está em jogo a realização pessoal e a

gratificação resultantes da construção de uma demonstração. De Villiers (1996b, 2002,

2003) compara o desafio e a satisfação na construção de uma demonstração com o desafio e

a satisfação em completar uma maratona ou um jogo de triatlo. Para Bennet (1997), a

“gratificação do ego” que advém do desafio e da satisfação em descobrir as demonstrações

45

constitui a motivação mais forte para se fazer uma demonstração.

De Villiers (2003), propõe, por exemplo, o teorema de Napoleão para desafiar os alunos

a investigar e a pensar. É uma construção e uma demonstração que envolve vários

conhecimentos, como ângulos numa circunferência, propriedades de congruência e

semelhança, razões trigonométricas e mediatriz de um segmento de recta e que pode ser

usada com diferentes propósitos, desde os vários conceitos geométricos envolvidos à sua

relação com a álgebra e o cálculo até à função de comunicação, através da organização e

consolidação do pensamento matemático, à justificação e demonstração, através da

investigação de conjecturas.

A importância da demonstração e algumas das suas funções, como a verificação, a

explicação, a descoberta e o desafio, estão subjacentes nesta pequena passagem de Davis e

Hersh (1995, pp. 149-150):

“A demonstração cumpre simultaneamente vários objectivos. Ao ser exposta ao escrutínio e à análise crítica de uma nova plateia, a demonstração passa por um processo constante de revalidação. A exposição incessante esclarece erros, ambiguidades e equívocos. A demonstração traz consigo respeitabilidade. A demonstração é a garantia de autoridade. No melhor das hipóteses, a demonstração aumenta o entendimento ao revelar o âmago da questão. A demonstração sugere nova matemática. O principiante aproxima-se da criação de nova matemática ao estudar demonstrações. A demonstração é energia matemática, a corrente eléctrica que dá vida aos enunciados estáticos dos teoremas. Finalmente a demonstração é um ritual e uma celebração da força da razão. Um tal exercício em confirmação pode tornar-se muito necessário, se considerarmos todas as confusões em que o raciocínio claro muitas vezes nos enreda”.

2.3.2. O ensino e a aprendizagem da demonstração

Outros educadores têm encontrado potencialidades no ensino da demonstração,

nomeadamente no campo da geometria. Loureiro e Bastos (2002) defendem que o

raciocínio plausível precede a demonstração e que o ensino da demonstração deve estar

presente em todos os níveis de ensino. Também Battista e Clements (1995) procuraram

uma melhor compreensão dos processos de aprendizagem relacionados com a

46

demonstração e a melhor altura para a trabalhar com os alunos. Estes autores atribuem a

Piaget a ideia de que a necessidade de validação deve-se ao confronto do nosso pensamento

com o dos outros, o que produz a dúvida e o desejo de demonstrar.

A questão da demonstração em geometria tem mudado ao longo dos tempos e percebida

de diferentes formas segundo as pessoas que a põem em questão. Para Hanna (2002), a

demonstração está “viva e recomenda-se” e continua a merecer um lugar de destaque no

currículo de Matemática. Durante muitos anos, a autora questionou-se acerca do papel que

esta poderia ter na Educação Matemática e ao olhar para a filosofia, história e pedagogia da

matemática e para as formas como as tecnologias podem ajudar a tornar a demonstração

como parte mais efectiva do currículo da Matemática, tornou-se claro para a autora que,

actualmente, a demonstração no ensino deve ser encarada como uma actividade matemática

escolar que serve para esclarecer e que vale a pena tornar conhecida dos alunos, para

promover a compreensão da matemática.

Mas, porque não se dá mais importância à questão da demonstração? As novas

orientações curriculares são incompatíveis com a questão da demonstração? Para Abrantes

et al. (1999), a resposta é seguramente que não:

“No fim do 3º ciclo, um aluno matematicamente competente deve ser sensível ao interesse de demonstrar conjecturas, compreender o raciocínio seguido em demonstrações simples e mesmo, nalguns casos, ser capaz de as fazer por si próprio” (p. 34).

As demonstrações podem (e devem) ser vistas como mais um recurso didáctico valioso

a utilizar na sala de aula para desenvolver nos alunos atitudes favoráveis, conhecimentos

mais sólidos e outras capacidades, pois permitem, aos alunos, regular o seu próprio

pensamento, permitem comunicar matematicamente e servem para convencimento dos

outros e de nós próprios, podendo ser vistas como um processo de negociação dentro da

sala de aula porque os alunos têm que argumentar, fundamentar, inferir, refutar, deduzir,

criticar, convencer os outros do que fizeram e como fizeram. Pode também contribuir para

o desenvolvimento da autonomia dos alunos, pois quando estão a demonstrar não estão

limitados apenas ao professor ou ao livro, são eles próprios que decidem acerca da própria

matemática, ou seja, a demonstração pode ter um papel crucial no currículo, caso contrário

47

estamos a privar os nossos alunos de um instrumento válido e crucial da matemática

(Hanna, 2000). Mas, apesar das tão mencionadas vantagens, é bem conhecido dos

professores o receio e a dificuldade que os alunos têm em compreender a necessidade da

demonstração. Talvez também porque as demonstrações matemáticas, quer nos livros, quer

nas aulas, são muitas vezes vistas como autoritárias (Davis e Hersh, 1995) e porque muitos

professores continuam a ensiná-las como as aprenderam enquanto alunos (Barbin, 1996).

Segundo estudos de Knuth (2002a, 2002b), o sucesso dos professores em dar resposta a

“esta chamada” depende largamente das suas próprias concepções acerca da demonstração,

as quais são, de algum modo, limitadas. Os professores tendem a ver a demonstração como

mais um tópico de estudo em vez de uma ferramenta para comunicar e estudar matemática.

Portanto, o sucesso dos alunos em aceitar a demonstração também passa pela mudança das

concepções dos professores. Estes, tal como os alunos, têm de experimentar a

demonstração como uma ferramenta significativa para estudar e aprender matemática. Um

passo em frente no sentido de alterar estas concepções seria, na opinião de Hanna,

reafirmada por Boavida (2001), dar mais importância à actividade de produzir a

demonstração e não enfatizar tanto o seu formato final:

“Uma boa demonstração é aquela que, para lá de convencer, explica e faz avançar na compreensão de uma ideia, problema ou resultado matemático, é aquela que clarifica porque é que uma relação funciona ou não. Mais importante do que o formato final de uma demonstração é a actividade de a produzir, é a sensibilidade ao seu interesse e necessidade, é a comunicação clara e correcta das ideias matemáticas que estão em jogo” (p. 11).

As autoras Loureiro e Bastos (2002) reforçam a ideia e afirmam ainda que essa

actividade deve partir dos alunos. Trata-se, portanto, de encarar a demonstração como parte

de uma actividade matemática onde existe a necessidade de experimentar e não considera-

la como produto acabado (De Villiers, 1997; Hanna, 2000; Loureiro e Bastos, 2002 e

Osório, 2001). A tecnologia informática poderá, ainda segundo as autoras, ter aqui um

papel importante, ideia também presente na maioria dos autores que se dedicaram a estes

estudos. Neste sentido, De Villiers (1996a) critica o ensino tradicional da geometria e

enfatiza a distinção entre processos e produtos da actividade, recorrendo à seguinte

48

metáfora:

“O ensino tradicional da geometria pode ser comparado a uma aula de culinária e pastelaria, em que o professor só mostra aos alunos os bolos (ou pior ainda, apenas as imagens dos bolos) sem lhes mostrar os ingredientes e como são feitos. Além disso, nem sequer são autorizados a experimentar a sua própria forma de cozinhar” (p. 17).

Também Cox (2004) propõe um ensino diferente da demonstração de modo a que os

alunos percebam como é que se faz matemática, de modo análogo a como os professores de

ciências ensinam como a ciência é feita. Enquanto tradicionalmente os alunos eram

confrontados com resultados que tinham para provar, o que realmente não era do seu

interesse, espera-se actualmente que eles trabalhem a demonstração à imagem dos

matemáticos, ou seja, onde a demonstração não é mais do que uma etapa no processo de

descoberta de nova matemática. Primeiro, fazem as suas próprias conjecturas que são

baseadas em observação, testam essas conjecturas e, por fim, trabalham na justificação das

conjecturas para chegar à demonstração. A autora fala ainda da vantagem de todo o

processo ser efectuado em grupo, pois os alunos beneficiam da discussão com os outros

alunos, tanto na fase de formulação de conjecturas como na fase de escrever a

demonstração. O papel do professor é o de facilitador e moderador do comportamento

esperado dos alunos, trabalhando com eles as conjecturas descobertas, ajudando-os na

produção da justificação (demonstração) e questionando-os para facilitar o surgimento de

ideias.

Indo, assim, de encontro às ideias descritas, em vez da demonstração que é apresentada

como um produto acabado, De Villiers (1997) e Mogetta (2000), tal como Boavida (2001),

propõem a demonstração como parte da actividade matemática que os alunos devem

experimentar, conjecturar e argumentar, e onde os programas de geometria dinâmica são

recursos adequados a essa actividade.

Para De Villiers (1997), os programas de geometria dinâmica são “poderosos como

meio de verificação de conjecturas verdadeiras e também muito valiosos na construção de

contra-exemplos para conjecturas falsas” (p. 23), o que encoraja e ajuda os alunos a

formularem problemas, facultando-lhes oportunidades para explorar, conjecturar, refutar,

49

reformular e explicar, abrindo-se, assim, caminho para funções fundamentais da

demonstração como a explicação e descoberta (De Villiers, 1997).

Bennet (1997), numa experiência pessoal com o GSP, onde se propôs demonstrar uma

proposição de 1953, que em 1993 matemáticos profissionais diziam ser ainda um problema

não resolvido, termina o seu artigo afirmando que “a geometria dinâmica não vai matar a

demonstração. Apenas a torna muito mais divertida” (p. 28).

O problema consistia em demonstrar que o quadrilátero Q2, obtido pela intersecção das

mediatrizes dos lados de um outro quadrilátero Q1, também obtido de igual modo de um

quadrilátero Q, eram semelhantes e descobrir qual a razão de semelhança (ver figura 6).

Q Q2

Q1CBIJ

⋅CBIJ

= 8,85CBIJ

= 2,97

IJ = 2,25 cmCB = 6,68 cm

CDJL

= 2,97

CD = 8,26 cm

ADLK

= 2,97ABKI

= 2,97

KI = 4,14 cmAB = 12,31 cm

JL = 2,78 cm

AD = 9,91 cmLK = 3,33 cm

KL

J

I

G

H

F

E

A

D

C

B

Figura 6. Um velho problema...

O autor refere-se à utilização do software de geometria dinâmica como tendo tido um

papel importante na exploração de um problema com mais de 40 anos, uma vez que duvida

que tivesse tido a paciência necessária para construir, com régua e compasso, um número

suficiente de figuras para estabelecer a plausibilidade da conjectura. Donde, a geometria

dinâmica, longe de lhe diminuir o interesse pelo problema, motivou-o pelo facto de

explorar dinamicamente aquela relação, tentar chegar a uma demonstração e a outros

resultados interessantes.

2.3.3. A demonstração em AGD

Tendo em conta as considerações até aqui referidas, é importante reflectir sobre a

50

verdadeira contribuição da tecnologia informática para o papel da demonstração.

Contrariamente ao que se poderia pensar, as novas ferramentas educacionais não vieram

tornar obsoletas as demonstrações, nem “matar a demonstração”. Pelo contrário, elas

continuam tão importantes como sempre o foram.

Para Chazan e Yerushalmy (citado em Knuth, 2002a) o papel da demonstração, como

criação de nova matemática, está a começar a ocupar um lugar de destaque nas aulas de

geometria, particularmente naquelas onde os alunos utilizam software de geometria

dinâmica.

Também de acordo com Loureiro e Bastos (2002), o computador proporciona ambientes

favoráveis à exploração matemática e à descoberta de novos resultados, o que traz novas

oportunidades e novas formas de encarar a demonstração na Educação Matemática. Esta é

uma opinião também partilhada por De Villiers (1997), ao referir a relação dos alunos com

a demonstração aquando da utilização dos AGD:

“Apesar da maioria dos alunos parecer não precisar de mais nada para ter convicções quando exploram conjecturas em ambientes geométricos dinâmicos como o Cabri ou o Sketchpad, não me é difícil estimular a sua curiosidade interrogando-os por que é que eles pensam que um determinado resultado é verdadeiro. Desafio-os a tentar explicá-lo. Os alunos rapidamente admitem que a verificação indutiva/experimental apenas confirma; não esclarece nem contribui para uma compreensão satisfatória. Eles parecem então querer procurar argumentos dedutivos como uma tentativa de explicação, mais do que uma verificação” (p. 23).

Hanna (2002) partilha da opinião de De Villiers ao fazer a distinção entre as

demonstrações que explicam e as demonstrações que só validam e ao considerar o software

dinâmico como tendo todo o potencial para encorajar tanto a exploração como a

demonstração. Para a autora torna-se muito mais fácil criar e testar conjecturas, dando-se

assim um novo significado à exploração matemática, que por sua vez contribui para renovar

o interesse pelo ensino da geometria.

Outros estudos, como os de Gardiner, Hudson e Povey (2000), Mariotti (1997), Knuth

(2002a) e Zavala e Arceo (2001), conduziram a conclusões similares. Os autores

concordam que os AGD estimulam e favorecem o desenvolvimento, nos alunos, da

compreensão e da construção da demonstração, ou seja, os AGD não demonstram mas

51

conduzem à necessidade de demonstração e, de acordo com Gardiner, Hudson e Povey

(2000), a função explicativa da demonstração pode ser usada pelo professor no sentido de

os motivar, dando-lhes a sensação de que são eles próprios os criadores do significado

matemático. De igual modo, consideram que o uso de programas como o Cabri, na

exploração de tarefas adequadas, podem levar a uma apreciação mais completa da natureza

e do propósito da demonstração, mas também reconhecem o difícil que é.

Numa experiência de Mogetta (2000) que envolveu o Cabri como ferramenta na

elaboração de justificações matemáticas, onde participaram 5 alunos de 17 anos, sem

experiência prévia neste software, verificou-se que os alunos encontraram muitas

dificuldades em justificar as suas conjecturas. E, ao mesmo tempo que Hoyles e Jones

(1998, citados em Loureiro e Bastos, 2002) apontam caminhos favoráveis, alertam para

possíveis “caminhos perversos” que o ensino possa tomar, pois já se tende a utilizar este

tipo de ferramentas numa abordagem orientada meramente para a recolha de dados, o que

poderá levar, se não se for cuidadoso, a que se passe “ao lado de todo um conteúdo

matemático importante que o domínio geométrico é capaz de oferecer. Em particular, o

caminho da demonstração como explicação ou verificação corre o risco de se tornar ainda

mais problemático” (p. 125).

Assim, apesar de todas as vantagens já mencionadas, Loureiro e Bastos (2002) também

alertam para o facto de nem sempre o uso de programas de geometria dinâmicos ser, de um

ponto de vista educativo, de grande ajuda para a demonstração, ou seja, existe o perigo de

os alunos face à evidência das imagens não sentirem a necessidade de demonstração, ou a

considerarem como a própria demonstração. As autoras exemplificam esta ideia com a

“demonstração” de que “a soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo é

sempre a mesma”, considerando que esta pode ser “estragada” pelo programa informático,

pois ao ser pedido ao aluno que calcule a medida da amplitude dos ângulos e as some, este

responderá sempre 180º, pelo que poderá parecer supérfluo tentar “outra” demonstração.

Aqui, temos que conseguir levar os alunos a sentirem a demonstração como mais do que

uma mera verificação e levá-los a procurar uma explicação, como, por exemplo, recorrer à

explicação patente na figura 7.

52

C'

A'

A

B

CA C

B

D

Figura 7. Soma das amplitudes dos ângulos internos de um triângulo [ABC] (adaptada de De Villiers, 2003).

O triângulo original [ABC] sofreu uma rotação de modo que a imagem do vértice B

coincidisse com o vértice C e a imagem do vértice C coincidisse com o vértice B, e uma

translação associada ao vector AC de modo que a imagem do vértice A coincidisse com o

vértice C, formando-se, assim, um ângulo raso em C, cuja amplitude é a soma das

amplitudes dos ângulos internos do triângulo [ABC].

Indo de encontro às orientações de De Villiers (1997, 1999, 2003), se os alunos virem a

demonstração apenas como um meio de verificação de algo que é obviamente verdadeiro,

nunca terão o incentivo de criar qualquer tipo de demonstração lógica. Temos de conseguir

levá-los a querer saber o porquê da verdade e levá-los a tentar encontrar uma explicação. E,

é esta explicação que pode, segundo De Villiers (1999), motivar os alunos a gerar uma

demonstração:

“Quando os alunos já investigaram cuidadosamente uma conjectura geométrica, a partir de uma variação contínua, com software dinâmico como o Sketchpad, eles têm pouca necessidade de mais convicção. Assim, a verificação não serve ou pouco serve de motivação para fazer uma demonstração. Contudo, constatei que é relativamente fácil suscitar a curiosidade questionando os alunos acerca da razão por que pensam que um determinado resultado é verdadeiro, ou seja, desafiá-los a que tentem explicá-lo.” (p. 8).

Também os AGD, nomeadamente o Cabri, se revelaram um auxílio precioso no estudo

dos níveis de pensamento de van Hiele.

Os níveis de pensamento geométrico de van Hiele surgiram, na década de 50, da

necessidade de encontrar resposta para as dificuldades sentidas pelos alunos na

53

aprendizagem da geometria e foram estabelecidos por dois professores holandeses do

ensino básico, Dina van Hiele-Geldof e Pierre van Hiele. Estes autores presumiram que tais

dificuldades poderiam advir do facto do ensino da geometria envolver níveis cognitivos

diferentes daqueles em que os alunos se encontravam. Para tal, recorreram a cinco níveis

para descrever o comportamento dos alunos face aos conceitos geométricos. Vários autores

estudaram a aplicação destes níveis como, por exemplo, Afonso (2002), Lima e Belchior

(1994) e Junqueira (1995). Descreve-se, de seguida, em que consiste, resumidamente, cada

um desses níveis.

Nível 1: visualização. Os alunos reconhecem as figuras geométricas pela sua aparência

global. São capazes de descrever, identificar e reproduzir figuras, como triângulos,

quadrados, paralelogramos, pela sua forma, depois de terem visualizado protótipos, mas

não se apercebem explicitamente das suas propriedades. Por exemplo, rectângulos,

quadrados e losangos não são paralelogramos porque não se parecem com um.

Nível 2: análise. Neste nível já reconhecem as figuras pelas suas propriedades e pelos

elementos que as constituem e podem descobrir e generalizar essas propriedades através da

experimentação. Estabelecem propriedades observando, medindo, desenhando, trabalhando

com modelos. Não conseguem, no entanto, estabelecer relações entre as figuras ou as

propriedades. Por exemplo, reconhecem que um paralelogramo tem quatro lados, ângulos

opostos geometricamente iguais, lados opostos paralelos, mas não reconhecem que um

rectângulo é um paralelogramo, que um quadrado é um rectângulo ou que um triângulo

equilátero tem todos os ângulos geometricamente iguais pelo facto de ter os lados

geometricamente iguais.

Nível 3: dedução ou classificação. Os alunos começam a inter-relacionar as figuras e as

suas propriedades e a fazer deduções informais, começando-se a desenvolver a capacidade

de raciocínio formal. Conseguem perceber e deduzir, por exemplo, que ângulos opostos

geometricamente iguais implicam lados geometricamente iguais ou que lados opostos

geometricamente iguais implicam lados paralelos. Já conseguem estabelecer que todo o

quadrado é um rectângulo ou que um quadrado é um losango, porque além de algumas

propriedades comuns têm mais outras. Contudo, ainda não constroem demonstrações nem

sentem a sua necessidade. Estas têm ainda um carácter informal, baseado na observação de

54

alguns casos particulares.

Nível 4: dedução formal. Os alunos já fazem conjecturas e começam a compreender o

significado de demonstrar. Compreendem e fazem raciocínios lógico-formais, em que a

demonstração tem um papel fundamental na verificação de propriedades. Por exemplo,

através das relações lógicas entre as propriedades explícitas dos rectângulos, conseguem

escrever uma demonstração para a igualdade das diagonais. O trabalho dos alunos não se

centra ainda na compreensão de sistemas axiomáticos nem nas suas relações.

Nível 5: rigor. Este nível traduz o nível máximo do rigor matemático, onde os alunos

analisam e comparam outros sistemas axiomáticos e desenvolvem a sua actividade

matemática.

O modelo dos níveis de van Hiele apresenta duas características específicas: é

sequencial e é hierárquico. A primeira característica implica que não se pode atingir um

determinado nível sem se ter passado pelos anteriores. Assim, se o professor apresentar a

matéria num nível superior ao do aluno, este pode não a compreender. A segunda

característica significa que os níveis são dependentes uns dos outros, isto é, para passar

para um determinado nível não podemos esquecer as capacidades de raciocínio do anterior.

Os três primeiros níveis têm sido os mais identificados nos alunos, principalmente nos

alunos dos 2º e 3º ciclos e são considerados essenciais por Abrantes et al. (1999),

“requerendo que se percorra uma fase inicial, prolongada de abordagem indutiva e

experimental do conhecimento do espaço e do desenvolvimento das formas mais

elementares de raciocínio geométrico, ligado ao conhecimento das propriedades

fundamentais das figuras e das relações básicas entre elas” (p. 70), pressupondo que os

alunos adquiram conceitos elementares de geometria e explorem as suas propriedades e

relações (Afonso, 2002), indo de encontro às orientações do NCTM:

“a geometria deve focar-se na investigação e utilização de ideias geométricas e de relações, em vez da memorização de definições e fórmulas (...) os alunos a quem é pedido para memorizar uma definição e um exercício ou dois de um livro é improvável que se lembrem desse termo da sua aplicação” (NCTM, 1991, pp.133-134).

Segundo van Hiele (citado em Afonso, 2002), a progressão através dos níveis pode ser

55

influenciada pelos métodos de ensino utilizados pelo professor, pois ela resulta das

experiências pessoais que permitem o desenvolvimento das capacidades de raciocínio

geométrico necessárias para atingir um nível superior. Sendo, portanto, imperativo que o

aluno tenha um papel activo na construção do seu conhecimento. Temos como exemplo

disso a experiência de Vicent (1998), com alunos entre os onze e os doze anos de idade.

Recorrendo ao AGD Cabri, para estudar a sua influência na progressão de um nível de van

Hiele para outro mais rapidamente, concluiu que tal é deveras possível recorrendo a esta

ferramenta. O Cabri possibilitou realmente uma progressão mais rápida através dos

diferentes níveis. O facto de os alunos serem “forçados” a pensar nas propriedades e nas

relações das suas construções geométricas facilitou a progressão do nível 1 para o nível 2 e

do nível 2 para o nível 3. O autor concluiu ainda que, com tarefas exploratórias, os alunos

são encorajados a experimentar, conjecturar, testar e provar as suas conjecturas, tarefas que

são eminentemente ajustadas ao ambiente do Cabri, o que desenvolverá nos alunos a

compreensão para além do terceiro nível. No entanto, é essencial que seja dado tempo

suficiente para consolidar o seu conhecimento em cada nível, antes de passar para o

seguinte.

No nível 4 as demonstrações têm ainda um carácter informal baseadas muitas vezes na

observação de vários casos particulares, ao passo que no nível 5, o nível da dedução formal,

os alunos já constroem demonstrações originais sem as memorizar. No entanto, poucos

alunos conseguem alcançar este nível.

Segundo De Villiers (2003), o desenvolvimento do pensamento dedutivo aparece

primeiro dentro do contexto da sistematização, nível 3 de van Hiele. Contudo, estudos

anteriores parecem apontar as funções explicação, descoberta e verificação como sendo

mais significativas para os estudantes fora do contexto de sistematização, ou seja, nos

níveis de van Hiele abaixo do 3, onde os argumentos são de natureza visual ou indutiva.

Considera, ainda, que um atraso prolongado nos níveis 1 ou 2, antes de introduzir a

demonstração, torna a sua introdução posterior muito mais difícil, no sentido dos alunos a

sentirem como uma actividade mais significativa. Para apresentar as funções da

demonstração como explicação e descoberta é necessário que os alunos sejam introduzidos,

o mais cedo possível, na arte de resolver problemas, conjecturar, refutar, reformular e

56

explicar. Então para quê adiar se, desde cedo, as crianças conseguem fazer raciocínios

lógicos, quer em situações reais quer em situações que tenham significado para elas (De

Villiers, 1999, 2003).

Para além dos estudos de Saraiva (1992), Junqueira (1995) e Rodrigues (1997), a

investigação sobre a demonstração no ensino da geometria, na comunidade portuguesa de

educadores matemáticos, é, segundo Loureiro e Bastos (2002), praticamente inexistente.

Um dos objectivos de Saraiva era levar os alunos a sentirem a necessidade e a utilidade

da demonstração. Neste estudo, o autor recorreu ao programa LOGO.GEOMETRIA, um

programa especialmente preparada para o estudo da geometria vectorial e analítica que,

segundo o autor, desempenhou um papel muito importante na elaboração de provas, mesmo

para os alunos mais fracos. Apesar de no início as imagens terem sido um obstáculo à

necessidade de demonstração, devido à força da evidência, o autor observou que, à medida

que as aulas foram decorrendo, os alunos começaram a interiorizar uma necessidade de

demonstrar as afirmações feitas, face ao desafio da descoberta de leis e relações

matemáticas e pelo pedido de explicação e justificação das propriedades matemáticas em

jogo. Concluiu, assim, que o que cativou os alunos não foi a verificação de resultados mas

“o desafio da descoberta”, “o pedido de explicação”, em consonância com as funções da

demonstração propostas por De Villiers (1999, 2003). Saraiva conclui ainda que perguntas,

como “então e isso é válido para todos os casos?”, “parecer, parece, mas será?”, que

surgiram com bastante frequência, ajudaram a que tal fosse possível.

No estudo de Junqueira (1995), que envolveu os alunos de uma turma do 9º ano de

escolaridade, num total de 24 aulas, a autora conclui que os AGD podem dar um contributo

importante ao processo de descoberta indutiva de teoremas, enquanto que o recurso a

ambientes tradicionais de papel e lápis apresenta inconvenientes para a produção de provas,

designadamente a morosidade na exploração de exemplos significativos, a menor precisão

nas medições e nos cálculos e o carácter estático das construções que apenas podem ser

tornadas flexíveis por imaginação mental.

Para Rodrigues (citado em Ponte, Matos e Abrantes, 1998), a visualização dos

invariantes no Cabri suscitou nos alunos a elaboração de conjecturas e a motivação para a

prova matemática, que está presente na pesquisa dos fundamentos teóricos da verdade e/ou

57

na discussão das diferentes ideias matemáticas. Contudo, de acordo com Coelho e Saraiva

(2002),

“O balanço positivo destes três trabalhos não só se ficará a dever às especificidades de um software que se revela particularmente dinâmico mas a todo um contexto de ensino/aprendizagem, com realce para as interacções estabelecidas entre professores, alunos e o próprio AGD (elemento mediador na construção do conhecimento matemático), aos modelos didácticos ensaiados e às características exploratórias das tarefas propostas”. (p. 56)

O estudo de Freixo (2002) veio também confirmar as vantagens do uso deste ambiente.

Neste estudo a autora propôs-se analisar o papel do AGD, Cabri-Géomètre II, no ensino da

geometria a 23 alunos do 8º ano de escolaridade com base na formulação de problemas e a

história da matemática, usando para termos de comparação outra turma de 8º ano, onde os

alunos não recorreram a esta ferramenta.

Segunda a autora o Cabri contribuiu que os alunos fizessem progressos significativos no

que se refere às suas capacidades para “realizar investigações, resolver problemas, modelar

situações, formular conjecturas, expressar por escrito as suas opiniões e ideias matemáticas,

expor e justificar raciocínios, entre outros”, ao contrário da turma de comparação onde

essas capacidades se mantiveram reduzidas. Já no que diz respeito à demonstração das

conjecturas formuladas, “os progressos não foram tão significativos como os registados na

formulação de conjecturas, contudo não podemos esquecer que estávamos perante alunos

do 8º ano, para além de que a demonstração é uma técnica que necessita ser muito

trabalhada. Já a capacidade para formular conjecturas evoluiu significativamente pois o

ambiente utilizado era facilitador dessa tarefa.” (Freixo, 2002, p. 337)

Com os vários estudos, podemos assim concluir que os ADG poderão vir a modificar

efectivamente tanto a concepção, como a forma de encarar e de fazer demonstração.

Devido à sua característica facilitadora da experimentação e da possibilidade de investigar

propriedades e relações a partir de invariantes aos arrastamentos, eles perspectivam-se,

segundo os vários autores como ambientes propícios à descoberta de propriedades e

relações geométricas, que favorecem a aprendizagem e a aquisição de conhecimentos,

incluindo a produção de provas.

58

C A P Í T U L O I I I

PLANO METODOLÓGICO

A escolha da metodologia a ser seguida numa investigação está estreitamente

relacionada com o problema em estudo. Este capítulo descreve pormenorizadamente as

opções metodológicas adoptadas, começando por fundamentar e caracterizar a opção por

uma metodologia de natureza predominantemente qualitativa. Continua com a

caracterização dos participantes no estudo, com a descrição dos materiais de ensino

utilizados e termina com a recolha e análise de dados.

3.1. Opções metodológicas do estudo

Este estudo procurou fazer uma análise do papel dos AGD, nomeadamente do GSP,

como ferramenta educativa no apoio ao ensino e aprendizagem da Geometria, com

particular enfoque para a exploração de construções geométricas, com vista à formulação,

validação e justificação de conjecturas.

Pretendeu-se, assim, observar, descrever e interpretar os processos desenvolvidos pelos

alunos, como aconteceram em tempo real e num ambiente natural de sala de aula e ainda

intervir nesse desenvolvimento.

A problemática em questão levou, neste caso, a optar por uma metodologia de natureza

qualitativa pois, tal como afirmam Bogdan e Biklen (1994), a pesquisa qualitativa envolve

a obtenção de dados descritivos, obtidos no contacto directo do investigador com a situação

onde os fenómenos ocorrem naturalmente e onde são influenciados pelo seu contexto.

Para estes autores, as cinco principais características da investigação qualitativa são: (1)

a recolha de dados em “ambiente natural”, sendo o investigador o “instrumento principal”

59

dessa recolha; (2) a natureza descritiva dos dados recolhidos; (3) a preferência pelos

processos, o “como”, em preterição dos resultados ou produtos; (4) a análise indutiva dos

dados e (5) a importância das perspectivas dos participantes é “vital” (Bogdan e Biklen,

1994, pp.47-51).

Na educação cada vez mais se recorre a este tipo de metodologia, pois torna-se cada vez

mais importante conhecer, descrever, explicar e interpretar a natureza dos fenómenos

educativos e foi nesse contexto que se optou por este tipo de metodologia. Também

segundo Costa (1986), o método qualitativo é particularmente adequado para uma descrição

quer dos aspectos em análise, quer das suas interligações, sendo, por isso, uma forma

escolhida com frequência para estudar as inovações educacionais, perspectiva em que se

pode englobar a utilização educativa dos AGD.

3.2. Participantes no estudo

3.2.1. Escolha da turma

No ano lectivo em que foi desenvolvido este estudo, 2003/2004, a investigadora não se

encontrava a leccionar, nem inserida no meio escolar, pelo que teve de recorrer a colegas

para encontrar alguém que se disponibilizasse a colaborar no estudo.

Como era nossa intenção que o estudo incidisse sobre o tema Circunferência e

Polígonos. Rotações, do 9º ano de escolaridade, na escolha da professora pesava, então, o

facto de estar a leccionar este nível de escolaridade e que estivesse previsto dar esta

unidade, uma vez que alguns dos professores contactados, pelas mais diversas razões, não

estavam a contar fazê-lo. Além disso, teria de ser uma pessoa interessada, dinâmica e sem

receio de experimentar metodologias de ensino diferentes. O facto da escola estar bem

equipada com material informático era também decisivo, ou seja, ter uma sala com

computadores disponíveis para a turma poder trabalhar, em grupo, durante o tempo previsto

para a experiência de ensino.

Apesar das dificuldades que se depararam, foi então encontrada a professora para

participar com os seus alunos neste estudo. Como só tinha uma turma de 9º ano, estava

60

automaticamente escolhida a turma de uma escola secundária, do distrito do Porto, para

participar neste estudo.

Por questões legais e éticas, foi solicitada autorização ao Conselho Executivo da Escola

para a realização da experiência e aos Encarregados de Educação dos alunos envolvidos no

estudo para serem objecto de recolha de dados (anexos I e II).

Houve também a preocupação de, antes do início da experiência, apresentar a proposta à

turma para termos conhecimento da sua reacção, pois, como refere Almeida (1995, p. 130),

“em investigação educacional a colaboração voluntária deve, na grande maioria dos casos,

ser conseguida”. A professora informou-os acerca dos objectivos e da metodologia de

trabalho a ser desenvolvida nas aulas e solicitou a participação destes. Os alunos ficaram

entusiasmadíssimos, embora houvesse uma minoria que evidenciou um pouco de receio

relativamente à utilização do computador.

3.2.2. A professora da turma

A investigadora conheceu a professora da turma por intermédio de uma colega do curso

de mestrado que leccionava naquela escola. Desde logo se mostrou uma pessoa

comunicativa, extremamente simpática e prestável. Começou a leccionar há 7 anos e estava

nesta escola há dois, embora se encontrasse efectiva numa escola do distrito de Lisboa.

Licenciada em Matemática, via ensino, por uma universidade, tem leccionado

essencialmente no 3º ciclo do ensino básico e este era o 4º ano que lecciona o 9º ano de

escolaridade.

Não é costume recorrer às novas tecnologias nas suas aulas, só o fez uma vez, no 10º

ano, em que utilizou um programa que permitiu aos alunos visualizar os sólidos em

perspectiva e as suas planificações. Relativamente ao GSP, já tinha ouvido falar, mas, até

então, não tinha tido nenhuma experiência com o programa.

3.2.3. Caracterização da turma/escola

Os participantes deste estudo foram os 27 alunos de uma turma do 9º ano,

61

maioritariamente constituída por raparigas e com idades compreendidas entre os 14 e 17

anos, sendo que a maioria tinha 14 anos de idade (ver tabela 1).

Tabela 1. Distribuição dos alunos que participaram no estudo por sexo e idade.

Idade (em anos) Sexo 14 15 16 17 Total Feminino Masculino Total

8 4

12

3 2 5

3 5 8

2 – 2

16 11 27

São alunos que aparentam ter bastantes dificuldades à disciplina de Matemática e esta

não é, de longe, a sua disciplina preferida. Apenas dois alunos se encontravam a repetir o 9º

ano de escolaridade, mas 66,7% dos alunos já teve nível negativo a Matemática e, destes,

48,1% foi no 8º ano.

Somente 25,9% considerou esta a sua disciplina preferida, sendo Educação-Física a

preferida, por 55,6% dos alunos. Grande parte dos alunos, 37%, apontou a disciplina de

Matemática como sendo aquela a que têm mais dificuldades, seguindo-se a disciplina de

Língua Portuguesa com 22,2%, o que talvez justifique as dificuldades na compreensão, na

interpretação e na expressão aquando da realização das tarefas.

As razões mais frequentemente apontadas para os níveis negativos foram, para além do

facto de não perceberem a matéria, a falta de estudo e atenção nas aulas, havendo mesmo

quem mencionasse “as brincadeiras nas aulas”.

Uma vez que a experiência iria recorrer a um ambiente geométrico dinâmico, o GSP,

interessava-nos saber se os alunos gostavam de geometria e o tipo de experiência que

tinham, ou não, com o computador e se, eventualmente, conheciam algum programa de

matemática. Apenas três alunos referiram ter como matéria preferida a geometria. A

maioria escolheu probabilidades e houve um aluno que mencionou gostar de quase todas as

matérias à excepção de geometria.

Felizmente, 2/3 dos alunos tinha computador em casa e, destes, a grande maioria,

77,8%, costumava utilizá-lo para a realização dos trabalhos da escola, o que, à partida, seria

um bom indício de que se sentiriam à vontade para mexer e descobrir sozinhos sem grandes

62

inibições. Usavam-nos, incluindo os que os utilizavam fora de casa, não só para efectuar

trabalhos da escola, 85,2%, mas, também, para jogar, 48,1%; para ouvir música e navegar

na Internet, 18,5%, entre outros fins.

Os alunos não conheciam, até à altura, nenhum programa de matemática, embora três

deles se tenham referido ao Excel como sendo um programa de matemática.

Em relação ao passado recente do aproveitamento escolar, como se pode apurar pela

tabela 2, os níveis obtidos pelos alunos no 1º período a Matemática concentraram-se no

nível 3.

Tabela 2. Classificação obtida no 1º período na disciplina de Matemática.

Classificação na disciplina de Matemática Sexo Nível 2 Nível 3 Nível 4 Nível 5 Total Feminino Masculino Total

5 3 8

5 8 13

6 0 6

– – –

16 11 27

De um modo geral, a professora considera esta turma, do ponto de vista de

comportamento, muito agitada e, acima de tudo, muito conversadora. Diz ser uma turma

muito unida e “cúmplice” que mantém um bom relacionamento com os professores, apesar

do seu comportamento, pois “apesar de falarem muito, são alunos simpáticos e bem-

educados”. Do que diz respeito ao aproveitamento, como já foi dito, a maioria dos alunos

apresenta muitas dificuldades. Segundo a professora, “muitos deles têm negativa a

matemática desde o 2º ciclo, mostram-se muito desmotivados e descrentes (...) acham que

já não vale a pena estudar porque nunca vão conseguir”, tendo sido muito complicado

incentivar e motivar estes alunos.

No que diz respeito à escola, a professora considera que é uma “escola bem organizada

e funciona bem, apesar de ser muito grande envolvendo um grande número de professores,

alunos e funcionários”. Em termos de ambiente escolar julga haver um bom ambiente pelo

que vê e ouve, pois não tem “real noção de tudo o que se passa”. Quanto às condições de

trabalho diz serem melhores do que a maioria das escolas. Por exemplo, quanto ao número

de computadores existentes na escola. Há uma sala disponível para os alunos, com dois

63

professores a apoiar, uma para as aulas de Informática e outra que pode ser requisitada por

qualquer professor, como foi o nosso caso. Nesta existem 12 computadores, por vezes nem

todos a funcionar, o que como salientou a professora, “obrigou a que os alunos

trabalhassem em grupos de 2 a 3 alunos, quando o ideal seria um computador por aluno”.

3.2.4. Intervenção didáctica

Na preparação para o início da experiência de ensino/aprendizagem foram mantidos

alguns contactos com a professora, por intermédio de uma colega do curso de mestrado que

leccionava na mesma escola ou pessoalmente, deslocando-se a investigadora à escola para

esse efeito. Inicialmente, para conhecer a escola e para dar a conhecer à professora, mais

especificamente, os objectivos da experiência. Discutiram-se os instrumentos de

investigação, principalmente as tarefas que estavam a ser planeadas para desenvolver com

os alunos e a altura em que iríamos começar, qual o papel de cada uma dentro da sala de

aula e o período de tempo em que iria decorrer. Posteriormente, para discutir melhor a

planificação da experiência e as tarefas para cada aula.

A experiência decorreu de 02/03/04 a 11/05/04, tendo ocorrido uma interrupção de

19/03/04 a 21/04/04 devido a estarmos no final do segundo período e haver actividades

extra-curriculares, avaliações e, por conseguinte, as férias da Páscoa.

O término da experiência estava previsto para o final do mês de Março, mas prolongou-

se até ao mês de Maio, consequência, não só da interrupção, mas também de alguns atrasos

na implementação da intervenção didáctica, devidos, por um lado, às dificuldades dos

alunos, e, por outro, à extensão e à exigência das tarefas pois, como a professora também

assentiu, esperávamos sempre muito mais dos alunos do que na realidade eles conseguiam.

Em consequência, esta decorreu durante esse período de tempo, em duas sessões semanais,

às quartas e sextas, perfazendo um total de onze sessões.

Podemos considerar que a intervenção didáctica decorreu em duas fases. Uma primeira

fase, de duas sessões, cujo principal objectivo foi familiarizar os alunos com a nova

metodologia de ensino, incluindo o trabalho de grupo, a utilização do computador e do GSP

e as tarefas de exploração e investigação. Uma segunda fase, de sete sessões, onde os

64

alunos trabalharam, com o apoio do GSP, os temas de geometria propostos e onde se

procedeu à recolha de dados sobre o produto e os processos seguidos na resolução das

tarefas, para dar resposta às questões de investigação e duas sessões de aulas onde os

alunos resolveram, com papel e lápis, exercícios práticos do manual adoptado.

Nas sessões com recurso ao GSP optou-se pela metodologia de trabalho de grupo, não

só pelas condicionantes do tempo, espaço e recursos informáticos, mas por ser apoiado por

diversos autores. Por exemplo, para Veloso (1993), “o trabalho de grupo deverá ocupar um

lugar de relevo na aprendizagem da matemática” pois “ajuda a desenvolver capacidades

fundamentais do ponto de vista da Educação Matemática, como por exemplo, de

argumentar, de construir uma justificação para os próprios pontos de vista, de criticar as

opiniões dos colegas, de ouvir, compreender e aproveitar as ideias dos outros, e de

organizar o trabalho” (p.11).

Também nas Normas do NCTM (1991) pode ler-se que devemos proporcionar aos

alunos mais oportunidades de trabalhar em pequenos ou grandes grupos. O trabalho de

grupo proporciona aos alunos a possibilidade de interagirem entre si, confrontando, sem

medos, as suas opiniões, reflectindo e partilhando entre si pontos de vista, desenvolvendo a

capacidade de trabalho em equipa, indispensável na sociedade de hoje em dia. Citando

Ponte et al. (1997, p.93),

“Trabalhar em pequenos grupos permite aos alunos expor as suas ideias, ouvir os seus colegas, colocar questões, discutir estratégias e soluções, argumentar e criticar outros argumentos. Em pequeno grupo, torna-se mais fácil arriscar os seus pontos de vista, avançar com as suas descobertas e exprimir o seu pensamento. Por isso destinar mais tempo ao trabalho em pequenos grupos nas aulas de Matemática é uma das orientações curriculares mais salientes”.

Quer para Abrantes (1997), quer para Junqueira e Valente (1998), grupos de dois ou três

alunos é a opção mais natural para trabalhar no computador e o trabalho em pares é para

Ponte (1997) mais vantajoso, pois a interacção entre os alunos facilita a aprendizagem.

Neste contexto, os alunos trabalharam em pequenos grupos de dois ou três alunos,

distribuídos por dez computadores, inicialmente onze, existentes na sala, com o ambiente

geométrico dinâmico, o GSP, utilizando-o para a descoberta e aplicação de novos conceitos

65

relacionados com o estudo da circunferência e com outros assuntos abordados.

A sala de computadores onde decorreram as sessões, disponível a qualquer professor

que previamente fizesse a sua requisição, estava equipada com doze computadores

distribuídos em mesas rectangulares à volta da sala, ao longo de três paredes, sendo que na

quarta se encontravam dois quadros, um preto e um branco, utilizados para pequenos

esclarecimentos para toda a turma.

No centro da sala estava disposto um grupo de mesas rectangulares vazias. Dos doze

computadores existentes na sala, só onze foram utilizados porque a um deles faltava-lhe o

drive de disquetes, tendo sido utilizada a versão 4.00 do GSP. Com o decorrer da

experiência um dos computadores deixou de estar funcional, pelo que passaram a estar

disponíveis apenas dez computadores e os alunos tiveram de ser distribuídos por outros

grupos.

Os conteúdos abordados na experiência foram: ângulos numa circunferência e suas

propriedades geométricas; polígonos inscritos numa circunferência e propriedades do

quadrilátero papagaio, sendo que este último não faz parte dos objectivos do programa

oficial do 3º ciclo do ensino básico, mas que consideramos importante na aquisição de

algumas capacidades como fazer construções, investigar, formular conjecturas, comunicar e

raciocinar matematicamente.

Na tabela 3, que se segue, encontra-se a sistematização dos assuntos abordados em cada

sessão e as respectivas propostas de trabalho.

66

Tabela 3. Sistematização das sessões da intervenção didáctica e os respectivos assuntos abordados.

Dia Assuntos abordados Proposta de trabalho 02/03/04 Circunferência; rectas, segmentos de recta e semi-

rectas; ângulos; polígonos. Manual do GSP

05/03/04 Polígonos; polígonos semelhantes e relações estabelecidas em polígonos semelhantes; mediatriz de um segmento de recta e as suas propriedades.

Fichas de revisão 2 e 4

10/03/04 Ângulos ao centro numa circunferência Ficha 1 12/03/04 Propriedades dos ângulos ao centro. Ficha 2 17/03/04 Ângulos inscritos numa circunferência e

propriedades dos ângulos inscritos. Ficha 3 e 4

19/03/04 Propriedades geométricas na circunferência: ângulos inscritos e cordas; recta tangente a uma circunferência.

Fichas 4, 5 e 9

24/03/04 Revisões para o teste de avaliação Exercícios do manual 21/04/04 Mediatriz de um segmento de recta; circuncentro;

propriedades das cordas; polígonos inscritos numa circunferência.

Fichas 5 e 6

23/04/04 Quadrilátero inscrito numa circunferência; ângulos inscritos numa circunferência e suas propriedades.

Ficha 8 Exercícios do manual

27/04/03 Resolução de exercícios de aplicação Exercícios do manual 11/05/04 Propriedades do papagaio; relações estabelecidas

no papagaio Ficha 10

Nota. O período de 19 de Março a 21 de Abril corresponde à interrupção das actividades lectivas. As fichas de revisão 1 e 3 não foram abordadas por opção da professora da turma e as fichas 11 e 12 por falta de tempo.

Nos dias 24/03/04 e 27/04/04 as aulas não decorreram na sala de computadores.

Tiveram lugar na sala habitual dos alunos onde resolveram, com papel e lápis, exercícios de

aplicação sobre os conteúdos abordados no computador. Este tipo de tarefas, na sala normal

de aulas, intercaladas com as aulas no computador estavam também previstas, com mais

67

regularidade, tal não foi possível devido aos constantes atrasos decorridos na planificação.

Na próxima subsecção será descrito com mais detalhe o decorrer da intervenção

didáctica.

3.2.5. Grupos de trabalho

Os 27 alunos da turma distribuíram-se, inicialmente, à sua vontade pelos computadores

disponíveis. Mas, na segunda sessão houve necessidade de um reajustamento para

equilibrar melhor as coisas, uma vez que a maioria dos alunos se tinha concentrado num

dos lados da sala, junto à janela, e tornava-se quase impossível, devido às mesas centrais,

nos movimentarmos pelos grupos, pelo que, no início da aula seguinte, a professora

distribuiu mais uniformemente a turma pelos computadores e pela sala.

Ficaram, assim, inicialmente, formados onze grupos, dos quais seis constituídos por

dois alunos e cinco por três alunos, que, devido a questões técnicas, passaram a ser dez

grupos, sete grupos constituídos por três alunos e três constituídos por dois alunos. Para

cada grupo foi criada uma pasta de trabalho no computador, onde tinham acesso a ficheiros

necessários para trabalharem as tarefas e onde gravavam os seus documentos. Foi também

entregue a cada grupo uma disquete, onde gravavam os seus trabalhos que, no final da aula,

entregavam à investigadora. Na sessão seguinte as disquetes eram devolvidas aos alunos.

Como inicialmente a investigadora não conhecia a turma, a professora sugeriu dois

grupos que na sua opinião seriam mais activos, para discutirem as tarefas entre eles, sem

serem, necessariamente, os melhores alunos. Na altura, a professora sugeriu o grupo GSP5

e o GSP3. O GSP5 era formado pela Inês, pela Flávia e pela Cátia e o GSP3 pela Mónica e

pela Joana. A Inês e a Mónica eram as melhores alunas da turma, a Flávia era aluna entre o

nível 3 e 4, muito boa na participação oral, mas na escrita “ia-se a baixo” e a Cátia era uma

aluna com muitas dificuldades, de nível 2.

Com o decorrer da primeira sessão a investigadora apercebeu-se que o grupo GSP7,

constituído pelo Diogo e pelo Daniel, era muito interessado e participativo, pelo que

comentou com a professora que, provavelmente seria um bom grupo a observar. A

professora referiu que eram alunos, em geral, pouco interessados nas aulas, mas, como na

68

segunda sessão a investigadora continuou com a mesma impressão e como o grupo GSP3

não era um grupo muito comunicativo, ficaram assim escolhidos os dois grupos que iriam

ser observados com mais atenção e que seriam alvo da recolha de dados, o GSP5 e o GSP7,

sem contudo menosprezar os restantes grupos.

A Inês, de 14 anos, era uma aluna muito sociável. Interessada e bastante perspicaz era

aluna de nível 5, mas um pouco inconstante no que dizia respeito às tarefas, talvez por não

gostar de geometria. Apesar disso, era ela quem melhor compreendia os objectivos das

mesmas.

A Flávia era uma ruiva muito simpática e sempre sorridente, que reclamava sempre que

as coisas não estavam do agrado dela, principalmente se havia confusão na aula. Era muito

interessada e aplicada, fazia sempre o que lhe pediam e estava continuamente a consultar o

caderno para procurar ajuda na resolução das tarefas. Veio já no 2º período, transferida de

outra escola. Era ela quem “liderava” o computador e explicava à Cátia o que se estava a

fazer. Era uma aluna muito boa oralmente, e em termos de participação, mas que nos testes

não conseguia ir além do nível 3 ou 4.

A Cátia era uma aluna com muitas dificuldades, de nível 2, passava despercebida, pois

era uma aluna muito tímida que só intervinha se lhe perguntássemos directamente alguma

coisa. Tinha 17 anos e encontrava-se a repetir o 9º ano. Recebia muito apoio por parte da

Flávia.

O Diogo tinha 14 anos e era o “galã lá do sítio”! Mostrou-se bastante empenhado nas

tarefas e estava sempre com o dedo no ar para participar. Segundo a professora, nas aulas

normais, era um “tagarela”, “graxista”, sempre distraído e que não se esforçava. Fazia as

coisas, mas nunca assumia as culpas, era sempre a vítima!

O Daniel foi uma agradável surpresa, no sentido em que surpreendeu muito pela

positiva. Aluno muito tímido e meigo, com grandes potencialidades, que poderia conseguir

muito mais e melhor, mas cujo “sonho” era acabar o 9º ano para ir trabalhar como o pai na

construção civil. Segundo a professora, era um aluno muito inteligente mas um “baldas”

que ficava sempre sentado no fundo da sala e ficava admirada como é que, com o que ele

fazia, conseguia tirar positiva e até razoáveis, algumas acima dos 60%.

69

3.3. Materiais de ensino utilizados

As Normas do NCTM (1991) defendem o abandono das práticas ditas tradicionais para

o ensino da matemática e sugerem várias modificações, não só no que é ensinado, mas

principalmente na forma como é feito esse ensino. Falam em desenvolver o “poder

matemático” (p.6) dos alunos, como objectivo do ensino da matemática, reforçando a ideia

de que o que eles aprendem está intimamente relacionado com o modo como o aprendem.

Nesta perspectiva, e ainda de acordo com o NCTM (1991), é necessário utilizar métodos de

ensino alternativos com vista a desenvolver nos alunos a capacidade de investigar, sustentar

conjecturas, entender novas situações e construir significados a partir delas.

Um dos métodos alternativos poderá ser a oportunidade de trabalhar em pequenos

grupos, onde os alunos se entre ajudam e discutem entre si, com os colegas e com o

professor ideias relativas às tarefas apresentadas. Neste contexto, os alunos trabalharam em

grupo, o que raramente acontecia na aula de Matemática destes alunos, as tarefas propostas

que tinham como objectivo principal encorajá-los a “explorar, formular e testar conjecturas,

provar generalizações e discutir e aplicar os resultados das suas investigações” (NCTM,

1991, p. 148), onde o papel do professor seria mais o de mediador e facilitador da

aprendizagem do que mero transmissor de conhecimento, possibilitando ao aluno assumir

um papel mais activo como “consumidor crítico e produtor criativo do saber” (Vieira, 1998,

p. 38) e tendo com vista o desenvolvimento da “capacidade de auto-aprendizagem”

(NCTM, 1991, p. 149).

De entre as várias abordagens à geometria, a experimentação vai de encontro aos

objectivos atrás referidos e permite contrariar uma aprendizagem assente na memorização,

causa, em parte, pela visão tão pobre que os alunos têm da matemática, o que leva à

desmotivação e consequente insucesso escolar nesta disciplina. Há que apresentar, então,

aos alunos uma nova visão da matemática e da geometria, em particular, que pode passar

pela utilização das novas tecnologias, nomeadamente o computador.

Cada vez mais se torna urgente recorrer a esta “poderosa ferramenta” pois, quer na

sociedade quer na própria matemática, a sua influência tem vindo a crescer, o que implica,

necessariamente, uma modificação no ensino e na aprendizagem da matemática. Como

70

referem os autores Ponte et al. (1997), não é só a matemática que tem contribuído para o

desenvolvimento das ciências da computação, também ela é:

“fortemente influenciada pela Informática, tanto no que respeita aos problemas que coloca como aos métodos que usa na sua investigação. Esta forte relação entre a Matemática e a Informática, que se processa nos dois sentidos, reforça a ideia da importância da utilização dos instrumentos computacionais no processo de ensino-aprendizagem” (pp. 67-68).

No processo de ensino/aprendizagem, computadores com programas específicos, como

é o caso dos programas de geometria dinâmica, “transformarão as aulas de matemática num

laboratório (...), onde os alunos utilizam a tecnologia para investigar, conjecturar e verificar

as suas descobertas” (NCTM, 1991, p. 149) e onde o professor encorajara a

experimentação. Por estas razões e pelas vantagens já mencionadas no capítulo anterior

acerca dos AGD, optou-se pela utilização do Geometer’s Sketchpad no apoio à resolução

das fichas de trabalho propostas neste estudo.

No início deste estudo tínhamos várias opções de escolha para o programa a usar no

estudo dos temas de geometria. Ponderou-se a utilização do Cinderella, por ser o mais

recente, mas as suas novas potencialidades não eram pertinentes para o estudo em causa,

sendo considerado, por alguns autores, como mais indicado para o ensino superior e, além

disso, considerámos que tinha uma ambiente de trabalho mais “assustador”, pelo que as

dúvidas recaíram, essencialmente, sobre o Cabri-Géomètre e o Geometer’s Sketchpad, uma

vez que são muito semelhantes em termos de potencialidades. Aliás, a APM lembra que

“não existe nada que conheçamos que não se possa fazer com um deles que não se possa,

com mais ou menos trabalho, fazer com o outro” (APM, 1998a, p. 23). Assim, apesar de

concordar com alguns autores que consideram o Cabri mais intuitivo (Junqueira, 1995 e

Silveira, 2002) e que o GSP tem algumas vantagens relativamente ao Cabri (Veloso, 2002 e

Freixo, 2002), estas também não eram significativas para o nosso estudo, pelo que a

escolha do GSP foi mais uma questão de gosto pessoal e também por já existirem, em

Portugal, vários estudos envolvendo tópicos de geometria com recurso ao Cabri e menos

referências ao GSP.

71

3.3.1. O Geometer’s Sketchpad, versão 4.00

O GSP é um programa especialmente concebido para o estudo da geometria, mas pode

ser utilizado em áreas como a álgebra e a trigonometria. Resultou do Visual Geometry

Project, cujo objectivo era a renovação do ensino da geometria. A primeira versão foi

publicada em 1991 e é considerado um “poderoso instrumento” a ser utilizado no ensino da

geometria, quer no ensino básico quer no ensino secundário, pois “permite a realização de

todas as construções tradicionalmente feitas com régua e compasso” (Ponte e Canavarro,

1997, p. 297). Mas, sobretudo, permite a manipulação interactiva das mesmas,

possibilitando, em tempo real, a experimentação, a percepção e a compreensão das

características que permanecem, ou não, invariantes. Em suma, permite investigar

propriedades geométricas devido à forte inter-actividade que mantém com o utilizador e à

sua fácil utilização.

A versão utilizada neste estudo foi a versão 4.00, onde o ambiente de trabalho é muito

semelhante ao da versão anterior. Mudaram apenas as opções de alguns menus e alguns

botões na barra de ferramentas, mas a sua utilização continua simples e intuitiva, com

menus descendentes, aos quais se pode aceder através do rato. As principais alterações têm

a ver com algumas das funcionalidades que foram bastante melhoradas e ampliadas.

No sentido de apoiar os alunos na compreensão do programa, e uma vez que este se

encontrava em Inglês, foi elaborado um pequeno manual (anexo III) onde se descreve

pormenorizadamente as funcionalidades do mesmo e que os alunos podiam (e deviam)

consultar durante as aulas, sempre que surgissem dúvidas ou achassem necessário.

Passaremos, de seguida, a expor algumas das principais diferenças relativamente à versão

anterior (Jackiw, 2001 e Veloso, 2002).

O tratamento de funções, em relação à versão anterior, foi muito melhorado e ampliado.

É possível definir novas funções e desenhar o seu gráfico, escrevendo a sua expressão, usá-

las em cálculos e noutras funções, iterá-las e derivá-las. Pode-se usar mais do que um

sistema de coordenadas e estes não têm que ser monométricos.

A iteração é uma das novidades desta versão, possibilitando, de forma conveniente, a

repetição e transformação de certas construções geométricas, podendo ser usadas, por

72

exemplo, para criar fractais.

É possível, agora, reunir num único documento vários sketchs referentes à mesma

investigação.

As animações têm mais potencialidades e a sua utilização é também mais simples.

Enquanto que na versão anterior apenas podíamos animar pontos, agora podemos animar

qualquer objecto geométrico e a velocidade de animação é agora regulável, independente

da velocidade do computador, e durante a animação continuam acessíveis os objectos do

sketch.

Os scripts da versão 3.0 foram substituídos por ferramentas usuais (custom tools) que

são mais fáceis de criar e usar. Podemos criar a nossa própria biblioteca de ferramentas para

diferentes propósitos, usá-las e modificá-las sempre que necessitarmos. Os scripts

recursivos foram substituídos pela iteração e estão disponíveis conjuntos de scripts que

permitem utilizar o GSP na exploração de geometrias não euclidianas e de números

complexos.

A edição de texto foi também muito melhorada e ampliada, podendo-se facilmente

alterar o estilo, o tamanho e a cor do texto seleccionado. A palette agora existente inclui

também símbolos matemáticos, em particular, para as notações geométricas.

Temos também mais opções de escolha para as cores, podendo colorir qualquer objecto,

alterar o fundo dos sketchs e importar figuras para o fundo que não sejam seleccionáveis

com a seta.

Pode-se traçar o lugar geométrico (trace) de qualquer objecto geométrico e este não

desaparece enquanto não solicitado.

A nova calculadora pode ser usada, não apenas para efectuar novos cálculos e criar

novas funções, mas também editar a expressão de cálculos ou funções já existentes.

Existe uma grande variedade de opções na criação de botões para a realização

automática de certas acções. Os botões de apresentação podem ser combinados com os de

animação, os de movimento e os de mostrar e esconder objectos. Foi acrescentado o botão

link para ir de página em página dentro do mesmo documento ou para aceder a um site da

Internet ou uma página Web.

O processo de selecção de objectos passou a ser mais simples, não sendo já necessário

73

usar a tecla Shift para seleccionar simultaneamente vários objectos. Também a opção

“guardar documento” se tornou mais fácil nesta versão. As versões anteriores só aceitavam

oito caracteres e o processo para indicar o caminho para o local onde guardar os ficheiros

era muito mais confuso. Agora, funciona como em qualquer aplicação do Office, como o

Word ou o Excel.

Outra pequena diferença é que um objecto é agora identificado (label) apenas quando

solicitado, seguindo a ordem alfabética, e não quando é criado. Mas, a grande novidade

desta versão é a possibilidade de guardar sketchs em formato HTML, de modo a poder

exportar para a Internet as construções, as animações e os exercícios interactivos de

geometria dinâmica, em qualquer página Web, com um simples clique do rato.

O GSP pode (e deve) ser utilizado individualmente ou em pequenos grupos, em

ambiente de sala de aula ou fora desta e em sessões de demonstração para toda a turma,

pois, como refere Junqueira (1995), “há fortes indícios de que os modernos ambientes

computacionais, que permitem fazer construções de figuras geométricas e explorá-las de

forma dinâmica, podem contribuir de forma decisiva para uma nova relação de professores

e alunos com a Geometria”. Mas, a autora também alerta para o facto de que “só por si,

esses instrumentos pouco fazem”, sendo essencial suportar a sua utilização com “materiais

devidamente testados, que motivem e rentabilizem o trabalho na sala de aula” (p. 3).

Neste sentido, os alunos trabalharam, em ambiente de sala de aula, temas de geometria

plana, em pequenos grupos, com recurso a tarefas que foram elaboradas com suporte na

revisão de literatura efectuada.

3.3.2. Fichas de trabalho

As tarefas propostas, pela investigadora, foram analisadas e discutidas com o orientador

e com a professora da turma participante no estudo. As suas sugestões fizeram repensar

alguns aspectos e contribuíram para a reformulação e até mesmo a supressão de algumas

delas. Foram eliminadas algumas tarefas com vista ao estudo de transformações

geométricas e foram feitas algumas alterações no sentido de as simplificar. Na sua

elaboração, houve a preocupação de ir ao encontro dos conteúdos e objectivos para o

74

capítulo em estudo, previstos no programa de Matemática do 9º ano de escolaridade, e

adaptá-las à utilização do GSP.

As tarefas foram organizadas e apresentadas, aos alunos, através de dezasseis fichas de

trabalho (anexo IV), estando inicialmente previstas dezanove fichas de trabalho e uma ficha

de avaliação. Pretendíamos que os alunos adquirissem vocabulário específico e definissem

alguns conceitos, exercitassem a formulação de conjecturas e realizassem algumas

demonstrações.

As quatro primeiras fichas de trabalho abordaram conceitos de anos anteriores que

seriam úteis para as tarefas seguintes, nove fichas abordaram o estudo da circunferência e

das suas propriedades geométricas e as três ultimas fichas trataram particularmente do

estudo das propriedades do papagaio.

Das quatro fichas de revisão, apenas se realizaram duas, uma vez que, em aulas

anteriores, a professora já tinha abordado, com o apoio de uma pequena ficha de trabalho

alguns dos conceitos que pretendíamos rever e não considerou relevante a sua realização.

Estavam previstas três fichas sobre a problemática das transformações geométricas,

mais concretamente sobre rotações e uma pequena introdução às pavimentações, mas não

chegaram a ser elaboradas, pois não estava previsto pelos professores da escola, aquando da

planificação da unidade, abordar esta parte da unidade. As nove fichas que incidiram sobre

o estudo da circunferência foram todas abordadas.

As tarefas relativas ao estudo do “papagaio”, embora também “fugissem” à planificação

do departamento de Matemática, a professora compreendeu a sua importância para o estudo

e concordou com a sua aplicação. Apesar disso, como na altura o tempo já escasseava, só

foi possível trabalhar a primeira ficha, o que ocorreu, em concordância com a maioria dos

alunos, fora da aula de Matemática. A segunda e a terceira ficha ficaram como proposta

para trabalho de casa tendo os alunos aproximadamente duas semanas para as trabalhar em

grupo e entregar à professora, o que não sucedeu.

Cada uma das fichas de trabalho era constituída por várias tarefas subordinadas ao

mesmo tema e propunham a construção e/ou a análise de uma figura, onde os alunos eram

“encorajados a explorar, a fazer tentativas (...); ler, escrever e discutir matemática, e ainda

conjecturar, testar e construir argumentos sobre a validade de uma conjectura” (NCTM,

75

1991, p.6).

As fichas encontravam-se numeradas para uma identificação mais rápida e também com

um título que reflectia de um modo geral os conteúdos abordados. Optou-se, muitas vezes,

por já dar a construção da figura ou tê-la de “reserva”, se necessário, por sabermos de

antemão das dificuldades dos alunos e que estas tomariam muito tempo, tentando

rentabilizar mais o tempo para a sua análise e exploração. Optou-se, também, por

simplificar em termos de linguagem e não sobrecarregar os enunciados com os

procedimentos necessários do GSP, por considerarmos que eram relativamente simples e,

caso surgissem dificuldades, os alunos podiam recorrer ao manual ou à nossa ajuda.

Em todos os grupos, a cada aluno foi distribuído um exemplar das fichas, um dos quais,

ficou encarregue de devolver à investigadora um exemplar preenchido, que era fotocopiado

e restituído posteriormente. As tarefas eram depois discutidas e corrigidas oralmente com a

professora na própria aula ou na aula seguinte, dependendo do tempo dispendido na

resolução. Com o decorrer da experiência, essa correcção em conjunto deixou de ser viável,

uma vez que os alunos trabalharam ao seu próprio ritmo e, naturalmente, diferente.

As tarefas pretendiam, acima de tudo, permitir a exploração de conteúdos da unidade de

geometria plana, do 9º ano, Circunferência e Polígonos. Rotações: ângulos ao centro,

ângulos inscritos, arcos e cordas, propriedades geométricas em circunferências e polígonos

inscritos numa circunferência.

Concordando que metodologias de ensino diferentes implicam também diferentes

formas de avaliação, estava previsto, neste estudo, uma avaliação diferente para esta

unidade. Vários autores, entre os quais, Varandas (2000), têm realçado a importância de

diversificar as formas de avaliação, mas o que tem acontecido é que “os professores vão-se

adaptando a novas metodologias de ensino, tais como o trabalho de grupo, e vão centrando

a aprendizagem no aluno, mas continuam a avaliar sobretudo através da realização de

testes, valorizando o trabalho de memorização de técnicas e procedimentos” (Varandas,

2000, p.6).

Assim, sendo a unidade didáctica dada basicamente com recurso ao GSP, não fazia,

então, muito sentido que a avaliação se resumisse a um teste escrito. Foi, então, proposto à

professora uma avaliação baseada num teste com recurso ao GSP, que poderia ser realizado

76

em grupo se as condições se propiciassem, como por exemplo a divisão da turma. Foi

também sugerido um trabalho de pesquisa sobre as aplicações da geometria no dia-a-dia,

onde os alunos poderiam abordar temas como “a geometria e arte” ou “a geometria e a

natureza”, entre outros, e recorrer, se desejassem, ao GSP.

A professora concordou inicialmente com a avaliação no computador, mas com o

decorrer da experiência, achou que tal não seria possível devido à falta de tempo e optou

pelo teste escrito.

Descreve-se, a seguir, mais pormenorizadamente as fichas que integraram este estudo.

Numa primeira fase do estudo pretendeu-se, essencialmente, que os alunos se

familiarizassem com o GSP, isto é, que, através de um primeiro contacto informal, se

apercebessem de um modo geral do seu funcionamento, trabalhando no seu próprio ritmo,

fazendo pequenas experiências e recorrendo à ajuda do manual, que foi distribuído na

primeira aula e explorado em conjunto com os alunos.

Pretendeu-se também rever alguns conceitos considerados importantes para a segunda

fase do estudo e também que os alunos se acostumassem ao tipo de tarefas e ao estilo de

trabalho, diferente do que estavam habituados, pois queríamos um trabalho mais

participativo e crítico por parte destes.

Considerou-se que ângulos, polígonos e mediatriz de um segmento de recta seriam

temas indicados para tratar nesta fase, porque muitos dos conceitos abordados e as suas

propriedades eram pré-requisitos necessários para uma melhor compreensão dos novos

conteúdos a ser estudados.

Era também desejável que, logo nesta fase, começassem a sentir algum gosto pela

geometria, se não fosse pelo tipo de tarefas, pelo menos pelo facto de estarem a trabalhar

num ambiente diferente de trabalho e pelas potencialidades do GSP.

Ficha de revisão 1: Ângulos

A elaboração desta ficha de trabalho teve por base algumas propostas de De Villiers

(1996a), Geddes et al. (2001) e Serrazina e Matos (1996), cujo objectivo era, a partir de

uma rede triangular, disponível em formato gsp, investigar o maior número possível de

relações geométricas entre os diferentes ângulos representados, recordando, assim, algumas

propriedades como, por exemplo, a relação entre ângulos de lados paralelos.

77

Ficha de revisão 2: Triângulos e outros polígonos

As tarefas propostas nesta ficha de trabalho foram adaptadas de Geddes et al. (2001) e

era sobretudo a noção de semelhança de figuras que estava em jogo. Esta seria necessária

para a justificação de determinados resultados em tarefas seguintes. Com estas tarefas, os

alunos tinham que, numa rede em formato gsp, identificar e desenhar diferentes tipos de

polígonos, incluindo polígonos semelhantes entre si. Nesta ficha os alunos eram iniciados

na observação de padrões e regularidades de modo a formularem conjecturas e

apresentarem pequenas justificações, como, por exemplo, justificarem porque é que o

segmento de recta que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao

terceiro lado e tem metade do seu comprimento.

Ficha de revisão 3: Quadriláteros – Propriedades

Nesta proposta de trabalho, adaptada de Geddes et al. (2001) e Serra (1997), pretendia-

se que, através da manipulação de diferentes quadriláteros construídos no GSP e de botões

que mostravam ou escondiam dados referentes às propriedades, os alunos investigassem e

indicassem as que correspondiam a cada um deles. Esta ficha seria importante para “abrir

caminho” para a descoberta das propriedades de um outro quadrilátero, não tão conhecido

dos alunos, o papagaio.

Ficha de revisão 4: Mediatriz

Nesta ficha de trabalho estava em causa o conceito de mediatriz de um segmento de

recta, a sua construção e as suas propriedades. Com esta ficha pretendeu-se também

introduzir os alunos num novo tipo de tarefa, que intuíssem o conceito de mediatriz. Esta

ficha foi adaptada de Junqueira e Valente (1998) e Lima, Ribeiro, Duarte, Felgueiras e

Salvador (2003) e seria bastante importante, pois iríamos recorrer com frequência à noção

de mediatriz de um segmento de recta, nomeadamente nas fichas de trabalho 5, 6, 7 e 8.

Após a introdução ao GSP e da revisão de alguns conceitos, nas aulas seguintes, de 90

minutos, os alunos trabalharam, com base nas fichas de trabalho e no GSP, o tema de

geometria Circunferência e Polígonos. Rotações.

Na elaboração destas fichas, teve-se a preocupação de, além dos objectivos da unidade,

seguir algumas das orientações de Coxford, Burks, Giamati, e Jonik (1993) no que

concerne ao ensino da geometria. Considerando que a geometria é “uma área primordial na

78

qual o raciocínio matemático, a justificação e a demonstração podem ser ensinados,

compreendidos e praticados” (p.70), sugere-se que a dedução em geometria se faça, por

exemplo, dando mais atenção às axiomáticas locais e do seguinte modo:

“começar por definir uma figura, e depois pedir aos alunos, em trabalho de grupo (...), que construam uma lista de conjecturas sobre propriedades da figura, que justifiquem cada conjectura informalmente ou com uma demonstração formal, que listem as proposições que é necessário admitir como pressupostos para justificar cada uma das conjecturas, e que apresentem, como produto final, uma lista organizada de axiomas, novas definições, sequências de teoremas, e justificações” (Coxford et al., 1993, p.72).

No caso particular do estudo da circunferência, das suas cordas e raios, Coxford et al.

(1993) apontam algumas das proposições que devem decorrer de uma investigação: (1) uma

corda e o centro da circunferência definem um triângulo isósceles; (2) uma recta que

contém o centro da circunferência e é perpendicular a uma corda contém o ponto médio

desta; (3) a mediatriz de uma corda contém o centro da circunferência; (4) o segmento

definido pelo centro da circunferência e pelo ponto médio de uma corda (que não seja um

diâmetro) é perpendicular a essa corda; (5) o ponto de intersecção das mediatrizes de duas

cordas de uma circunferência é o centro dessa circunferência e (6) circunferências com o

mesmo raio (diâmetro) são congruentes (Coxford et al., 1993, p.72).

Nas tarefas em que pretendíamos que os alunos apresentassem justificações ou até

mesmo pequenas demonstrações, mesmo que informalmente, tivemos ainda em conta

algumas das diversas funções e papeis que, de acordo com De Villiers (1996a, 1999, 2003),

estas podem assumir. Para este autor, a principal função da demonstração deixou de ser

apenas a verificação para passar a fazer parte de um grupo mais abrangente e mais

importante de funções como a explicação, a sistematização, a descoberta, a comunicação e,

por fim, o desafio intelectual. Esta última não foi trabalhada, bem como a descoberta, mas,

na perspectiva da investigadora, as tarefas, só por si, já implicavam descoberta e, por serem

diferentes das que estavam habituados, podiam ser vistas como um desafio intelectual,

embora não no sentido de De Villiers.

Fichas 1 e 2: Ângulos ao centro numa circunferência e propriedades

Estas fichas de trabalho foram elaboradas tendo em consideração alguns dos objectivos

79

para a unidade em estudo, nomeadamente desenhar ângulos ao centro numa circunferência,

relacionar a sua amplitude com a do arco correspondente e investigar algumas das

propriedades como, por exemplo, a cordas geometricamente iguais correspondem arcos e

ângulos ao centro geometricamente iguais. Na segunda ficha, pretendeu-se também iniciar

os alunos à necessidade de justificarem mais formalmente as suas conjecturas e nesse

sentido foi-lhes apresentado um pequeno esquema de demonstração adaptado de Serra

(1997), onde os alunos justificariam alguns passos.

Fichas 3 e 4: Ângulos inscritos numa circunferência e propriedades

Com estas fichas de trabalho pretendeu-se que os alunos desenhassem ângulos inscritos,

que relacionassem a sua amplitude com a do ângulo ao centro com o mesmo arco e que

descobrissem relações, com base na experimentação e que analisassem se seriam válidas

para todos os casos. Nesta proposta de trabalho aparece com mais nitidez o desejo de

centrar esforços em explicações lógicas que sustentem as suas conjecturas. Uma das tarefas

tinha como finalidade descobrir que qualquer ângulo inscrito numa semicircunferência é

recto e foi adaptada de Junqueira e Valente (1998).

Ficha 5: Cordas – Propriedades

Nesta proposta de trabalho teve-se em conta os objectivos para esta unidade e algumas

das sugestões de Coxford et al. (1993). Era nossa intenção que os alunos investigassem

propriedades das cordas, nomeadamente a relação entre arcos e cordas compreendias entre

cordas paralelas. Não lhes eram dadas indicações acerca das relações pretendidas.

Esperava-se que chegassem, por exemplo, à conclusão que a mediatriz de uma corda

contém o centro da circunferência. Teve-se, como em todas as fichas, a preocupação de

pedir que tentassem explicar porque é que achavam que as suas descobertas eram

verdadeiras.

Fichas 6 e 7: Construção do aeroporto

O intuito das tarefas indicadas nestas fichas de trabalho era, essencialmente, que os

alunos aplicassem as propriedades da mediatriz de um segmento de recta ou as

propriedades descobertas na ficha anterior sobre as propriedades das cordas e recordassem

um conceito já abordado no 8º ano de escolaridade, o circuncentro. A ficha 7 era,

basicamente, um prolongamento da ficha 6 e com estas duas fichas pretendeu-se também

80

“preparar caminho” para a ficha seguinte onde iriam investigar as propriedades de um

quadrilátero inscrito numa circunferência e tentar generalizar a outros polígonos. Estas

fichas foram baseadas em propostas de De Villiers (2003) e Junqueira e Valente (1998).

Ficha 8: Quadrilátero inscrito numa circunferência

O conceito em causa nesta ficha de trabalho é o de ângulo inscrito e a partir daí

descobrir que num quadrilátero inscrito numa circunferência os ângulos opostos são

suplementares e encontrar uma explicação para tal acontecer.

Ficha 9: Recta tangente a uma circunferência

O que estava em jogo nesta ficha não era a habitual descoberta de propriedades, mas

sim a aplicação da propriedade enunciada, ou seja, o facto da recta tangente a uma

circunferência ser perpendicular ao raio no ponto de tangencia. Os alunos tinham de

construir rectas tangentes à circunferência mediante determinadas condições. A segunda

tarefa foi adaptada de Junqueira e Valente (1998) e, para além da propriedade em causa, os

alunos tinham também que recorrer a outra propriedade já estudada, a dos ângulos inscritos

numa semicircunferência.

Fichas 10, 11 e 12: Papagaio – propriedades

Estas fichas de trabalho foram adaptadas de De Villiers (2003) e seguiram as

orientações de Coxford et al. (1993). Propôs-se a investigação de propriedades e relações

num novo quadrilátero, o papagaio. Na primeira ficha ambicionava-se a construção de uma

custom tool que lhes permitiria obter papagaios, definidos, como um quadrilátero com os

lados consecutivos geometricamente iguais dois a dois, e a investigação do maior número

de propriedades. Esta tarefa era de natureza mais aberta, não sendo dadas quaisquer

indicações acerca das propriedades que se esperava descobrir. A terceira tarefa da primeira

ficha é um caso particular do conhecido “Quadrilátero de Varignon”, abordado por diversos

autores, como De Villiers (2003), Geddes et al. (2001), Noss e Hoyles (1996) e Junqueira e

Valente (1998), mas aqui particularizado para o caso do papagaio. O desígnio desta tarefa

era de, através da experimentação, os alunos analisarem e descobrirem relações entre o

papagaio e o quadrilátero formado pela união dos pontos médios deste. Esta tarefa foi

estendida às fichas seguintes onde os alunos teriam de estabelecer, na ficha 11, novas

relações, designadamente a relação entre os seus perímetros e as suas áreas e tentar

81

justificar as suas conclusões. Na última ficha tomou-se a relação entre as áreas dos dois

quadriláteros e tentou-se encaminhar os alunos para uma demonstração mais formal, no

sentido da sistematização, orientando-os nos vários passos a seguir.

Ficha de avaliação

A avaliação dos alunos seria feita em ambiente semelhante ao decorrido ao longo da

experiência, ou seja, com a ajuda do GSP. As tarefas propostas eram também semelhantes

às realizadas ao longo das aulas.

A primeira tarefa foi adaptada de Serra (1997) e os alunos tinham de aplicar as

propriedades estudadas para a circunferência. A segunda tarefa era muito semelhante às

realizadas na aula sobre a construção do aeroporto, onde o contexto do problema foi

retirado de Junqueira e Valente (1998). A ideia das últimas tarefas era muito semelhante à

das tarefas sobre o papagaio. Os alunos tinham de estabelecer relações dentro de um

quadrilátero genérico. A tarefa 3 foi adaptada de King (1997) e a tarefa 4 de De Villiers

(2003) que, no fundo, era a generalização das relações estabelecidas no papagaio.

3.4. Métodos e instrumentos de recolha de dados

A recolha de dados foi efectuada nas aulas de Matemática, da turma de 9º ano, nas quais

os alunos trabalharam temas de geometria com recurso ao GSP.

Atendendo ao carácter qualitativo adoptado nesta investigação, a recolha de dados foi

essencialmente descritiva com vista a caracterizar o melhor possível a situação em estudo.

Neste sentido, com vista a obter um conjunto significativo de dados, válido e bem

fundamentado, optou-se por uma diversificação de métodos de recolha de dados (Bogdan e

Biklen, 1994 e Lessard-Hébert, Boutin e Goyette, 1994), tornando possível a confrontação

dos dados obtidos através das diferentes técnicas, ou seja, fazer aquilo a que os autores

denominam triangulação dos dados.

Nesta perspectiva, adoptou-se os métodos de recolha normalmente utilizados neste tipo

de investigação: observação, questionário e entrevista. A principal fonte de recolha de

dados foi a observação. Segundo Ludke e Andre (1986) e Vieira (1993), a observação tem

82

vindo a ocupar um lugar privilegiado nas novas abordagens da pesquisa educacional, que

usada como principal método de investigação ou associada a outros métodos de recolha

apresenta uma clara vantagem ao possibilitar um contacto pessoal e estreito do investigador

como fenómeno investigado.

A recolha de dados baseada na observação foi também complementada com os

documentos produzidos pelos alunos, com o objectivo de obter dados mais significativos

sobre a construção dos conhecimentos e detectar possíveis dificuldades na realização das

tarefas. Decorreu durante o horário normal da turma, nas aulas da disciplina de Matemática,

e efectuou-se durante a aplicação da unidade didáctica Circunferência e Polígonos.

Rotações, do 9º ano de escolaridade. A intervenção didáctica teve início na primeira

semana de Março, os alunos tiveram duas aulas por semana com a duração de 90 minutos

cada, perfazendo um total de onze aulas.

3.4.1. Observação

Na opinião de Vieira (1993, p.38), “a crescente valorização da sala de aula como foco

de atenção tem vindo a conferir à observação um papel de destaque como estratégia de

recolha de informação”, que pode, segundo Lessard-Hébert et al. (1994), “assumir uma

forma directa sistemática ou uma forma participante” (p.43).

A observação participante procura descrever os comportamentos dos seres vivos no seu

meio natural, sendo um instrumento útil e dos mais utilizados para obter dados sobre

qualquer realidade social de grupos humanos, onde o investigador se ocupa de observar,

acompanhar, compartilhar e participar, ainda que em menor medida, nas rotinas dos

participantes (Guash, 1997).

Nesta investigação, em particular, pretendeu-se acompanhar os alunos na sua actuação

dentro da sala de aula e desde logo, devido ao contacto estreito da investigadora com os

alunos, estes viram-na como mais uma professora dentro da sala de aula. Aliás, mesmo

depois da experiência terminar, os alunos pediram à investigadora para continuar a assistir

as aulas, pois, “dava jeito mais uma professora na sala de aula”! Os alunos foram assim,

desde logo, solicitando a ajuda da investigadora, discutindo com ela as suas dúvidas e

83

resoluções, permitindo observar melhor o seu comportamento perante a experiência, pelo

que foi predominante a observação participante, uma vez que a investigadora se integrou no

grupo e os acompanhou na sua actuação diária (Guash, 1997).

Vários autores, entre os quais Lessard-Hébert et al. (1994), distinguem entre observação

participante passiva e observação participante activa. “A observação passiva significa que o

observador não participa nos acontecimentos”, mas que “ a eles assiste do exterior” e vai

registando os seus dados durante esse período, a passo que, na observação participante

activa, “o observador está envolvido nos acontecimentos e que os regista após eles terem

tido lugar” (Lessard-Hébert et al., 1994, p. 156). Neste contexto, a observação participante

em causa foi a activa, dado o papel da investigadora na execução das tarefas e na sua

discussão com a professora e na relação com os alunos, observando o seu comportamento e

o seu trabalho, dialogando com eles, apoiando-os na resolução das tarefas e na superação

das dificuldades.

As observações eram, na maioria das vezes, efectuadas após alguma interacção com os

alunos, quando nos colocavam questões, quando dávamos alguma orientação ou quando os

apoiávamos nas suas dificuldades. Quanto à sua forma de registo, esta adquiriu,

meramente, uma vertente de registo escrito de notas por parte da investigadora.

Inicialmente estava previsto o registo áudio-vídeo, pois estes permitem a recolha de

informações mais reais e completas da dinâmica da sala de aula. Contudo, por

conhecimento de experiências de outros colegas, a câmara de vídeo foi logo excluída pois a

professora tinha comentado que a turma era bastante irrequieta e barulhenta e, assim, as

conversas entre os alunos e mesmo as próprias conversas com a professora e a

investigadora iriam interferir e limitar a recolha de dados através dos registos de vídeo.

Optamos, pelas gravações áudio de dois ou três grupos, mas tal também se revelou

impossível. As gravações ficaram imperceptíveis devido ao barulho “ensurdecedor” que

por vezes se fazia sentir nas aulas, que mesmo nós só nos apercebíamos dele quando

“parávamos”. Ficamos assim limitados ao registo escrito, tentando obter o máximo de

dados descritivos sobre o que aconteceu dentro da sala de aula que possibilitassem

responder, o melhor possível, às questões em estudo.

O registo de notas obrigou a investigadora a uma reorganização das observações que, de

84

outro modo, ficariam apenas na memória, arriscando-se, com o decorrer do tempo, a

perderem objectividade e até mesmo a serem esquecidas. Tentou-se então registar o que se

ia vendo e ouvindo como, por exemplo, perguntas feitas pelos alunos; processos de

resolução; dúvidas e dificuldades sentidas; esclarecimentos; progressos na resolução das

tarefas e manipulação do GSP; empenho; comportamento geral; dinâmica da aula e atitudes

dos alunos. Estes registos eram complementados com a discussão e reflexão que havia com

a professora antes e após as aulas. Dado que se pretendia que a presença da investigadora

fosse o mais natural possível, de modo a que os alunos procedessem à sua actividade

normal na sala de aula, esta não se fixou em nenhum grupo em especial. Circulou pelos

diferentes grupos sempre que solicitada, ficando, no entanto, combinado com a professora

que daria mais apoio e atenção aos grupos que inicialmente estavam previstos ser áudio-

gravados.

3.4.2. Documentos produzidos pelos alunos

Como já foi referido, os documentos produzidos pelos alunos são um meio para obter

dados mais significativos sobre a construção dos conhecimentos e sobre as suas

dificuldades. Em cada sessão, os alunos trabalharam, em grupo, e foi-lhes pedido para, no

final de cada sessão, um ficar responsável por entregar à investigadora um exemplar de

cada ficha preenchido, o qual era fotocopiado e devolvido na aula seguinte. Alguns alunos

optaram por responder às questões nos próprios sketchs, que eram gravados numa disquete

e, de igual modo, entregue no final de cada sessão. Os trabalhos gravados em disquete,

tinham a vantagem de se poder aceder ao seu historial, através dos scripts, das diversas

construções, pois permitia-nos visualizar os passos seguidos e ficar assim com uma ideia

mais clara dos processos de resolução com vista a dar resposta às questões colocadas no

presente estudo. Na figura 8 apresentamos um exemplo de resolução duma tarefa da ficha

de trabalho 9, com o respectivo script, onde se pretendia que os alunos construíssem as

rectas tangentes à circunferência com a mesma direcção de uma dada recta exterior.

85

Figura 8. Resolução de uma tarefa da ficha 9, Recta tangente à circunferência.

3.4.3. Questionários

Os questionários são instrumentos que nos permitem obter informação sobre aspectos

não observáveis e são indicados quando se pretende obter informação de um conjunto de

pessoas e as condicionantes de tempo inviabilizam o recurso à entrevista.

Com o intuito de ajudar a dar resposta às questões em estudo, foram desenvolvidos, pela

investigadora, dois questionários (anexos V e VI).

Para muitos dos nossos alunos, a matemática é vista como qualquer coisa “sem graça”,

desagradável e sem interesse, apesar de cada vez mais a competência em Matemática ser

necessária para uma grande parte das profissões. Muitos ainda “fogem” desta disciplina que

continua a ser a grande “vencedora” no que diz respeito às taxas de insucesso escolar, o que

está, com certeza, relacionado com a visão que os alunos têm da Matemática e da sua

aprendizagem.

Tendo consciência destes problemas e do facto de, além disso, a geometria ser o parente

“mal amado” da matemática e do seu ensino ser muitas vezes relegado para segundo plano,

que raramente ou mesmo nunca se fala em demonstração matemática e considerando que os

meios informáticos, nomeadamente os AGD, podem ter um papel importante na

86

aprendizagem, a investigadora propôs-se analisar as atitudes e concepções dos alunos face a

esta problemática.

Assim, foi elaborado um primeiro questionário (anexo V) com vista a analisar até que

ponto os alunos, participantes na experiência de ensino/aprendizagem, valorizavam a

geometria e estavam familiarizados com a demonstração e se a utilização dos AGD iriam

contribuir para uma mudança de opinião e em que sentido. Assim, o questionário foi

também passado no final da experiência para detectar possíveis alterações, pois no parecer

de Varandas (2000, p.46) “parece haver uma forte relação entre as experiências de

aprendizagem dos alunos e as suas atitudes e concepções” uma vez que “os alunos

habituados a trabalhar na aula de uma forma “tradicional” tendem a ter uma visão redutora

da Matemática e quando confrontados com outros contextos tendem a alterar positivamente

essa visão” (Spangler, 1992, citado em Varandas, 2000, p. 46).

O primeiro questionário apresentado aos alunos constava de três partes precedidas de

uma pequena introdução. Na sua construção houve a preocupação de incluir itens que

correspondessem a orientações expressas no programa de Matemática, relativamente ao

ensino da geometria, como objectivos e finalidades.

A primeira parte era constituída por 15 questões e com ela pretendeu-se obter

informação pessoal com vista a uma breve caracterização da turma, para ter uma ideia

genérica do tipo de alunos que participaria na experiência e ter conhecimento prévio da

experiência dos alunos com o computador e, eventualmente, com algum programa

informático para o estudo da Matemática.

A segunda parte, constituída por 17 questões, estava focalizada nas atitudes perante a

geometria e o seu ensino. As 13 primeiras questões, de natureza fechada, eram afirmações

acerca da geometria e os alunos tinham de indicar, com um X, o seu posicionamento numa

escala tipo Likert, traduzindo-se numericamente do seguinte modo: 1 – Discordo

totalmente; 2 – Discordo parcialmente; 3 – Não tenho opinião; 4 – Concordo parcialmente

e 5 – Concordo totalmente. Algumas destas questões, nomeadamente as questões 5, 7, 11,

12 e 13, foram adaptadas de um instrumento desenvolvido por Lima e Belchior (1994) que

pretendia analisar os níveis de conhecimento geométrico de futuros professores de

Matemática e identificar e descrever as suas atitudes face à geometria e ao seu ensino. As

87

três questões seguintes eram de natureza aberta, e na última questão, de escolha múltipla,

pretendeu-se que os alunos indicassem a sua preferência relativamente aos métodos mais

usuais para aprender geometria.

Finalmente, a terceira parte, formada por sete questões, centrada na questão da

demonstração teve como intuito verificar se os alunos já tinham tido algum contacto com

esta actividade. A intenção das cinco primeiras questões era conhecer quais as concepções

dos alunos acerca da demonstração. Destas, a quarta questão foi baseada nas diferentes

funções da demonstração referidas por De Villiers (1996b, 1999, 2003). A última centrava-

se numa tentativa de demonstração de uma propriedade, bastante simples, dos polígonos.

Com vista a ter noção do tempo que tomaria da aula, no preenchimento do mesmo e das

dificuldades que poderiam surgir, o questionário foi previamente passado a uma aluna, mas

do 8º ano de escolaridade. Esta, fê-lo calmamente, tendo demorado aproximadamente 30

minutos, o que nos levou a pensar que os alunos da turma seriam um pouco mais rápidos.

Não considerou que o questionário fosse grande nem encontrou dificuldades no seu

preenchimento. As questões que lhe suscitaram mais dúvidas foram no âmbito da

demonstração, mas, mesmo assim, tentou responder a todas as questões, à excepção da

última onde teria de construir uma pequena demonstração. Também não sabia o que era o

tangram e o geoplano, nem o que eram axiomas e teoremas, dúvidas que esperávamos

também encontrar a quando do preenchimento pelos alunos de 9º ano.

O segundo questionário (anexo VI), dividido também em três secções, precedidas de

uma pequena introdução, foi respondido pelos alunos no final da experiência e pretendeu

recolher dados relativos às suas opiniões sobre o trabalho desenvolvido e sobre a

experiência, em si, de modo a poder fazer uma global sobre a mesma. O que diriam acerca

das tarefas desenvolvidas? Da utilização do GSP? Do trabalho de grupo? Das dificuldades

sentidas?

A primeira parte, com cinco questões, destinou-se a pequenos dados pessoais, centrados

no aproveitamento escolar. A segunda parte, constituída por 11 questões abertas, pretendeu

obter informações específicas sobre o decorrer das aulas, particularmente sobre as

metodologias adoptadas, ou seja, centradas no trabalho de grupo, na utilização do

computador e do GSP e nas tarefas de exploração. Algumas destas questões,

88

nomeadamente as questões 2, 4 e 5, foram adaptadas de um questionário desenvolvido por

Afonso (2002), no âmbito de um projecto destinado a caracterizar as fases de aprendizagem

do modelo de van Hiele através da planificação e aplicação de actividades de ensino no

contexto da geometria do plano.

Na terceira parte considerou-se relevante obter informações específicas sobre as tarefas

propostas para a experiência. Esta era constituída por 10 questões, algumas delas com

várias alíneas. Nas primeiras oito questões, de natureza fechada, os alunos tinham de

indicar a sua opinião em relação a determinada afirmação, assinalando com um X o seu

grau de concordância, grau esse definido e traduzido de igual modo que no primeiro

questionário. Algumas destas questões, nomeadamente as questões 4.2, 4.4, 5.5, 5.6 e 5.7,

foram adaptadas de Vieira (1998, 1999).

Ambos os questionários eram anónimos e foram passados aos 27 alunos da turma, em

horário normal da disciplina de Matemática, durante o período de aulas. Infelizmente, os

questionários do final da experiência não foram passados imediatamente a seguir ao seu

término, mas só no último dia de aulas, por indisponibilidade da professora e dos alunos

devido à prova global. Dizemos infelizmente porque passou algum tempo e os alunos, por

ser o último dia de aulas, estavam ainda mais irrequietos que o normal, e ansiosos por sair,

pelo que não utilizaram os 90 minutos, da aula, que tinham disponíveis para o seu

preenchimento, tendo ocupado, aproximadamente, 60 minutos. Receamos, assim, que

alguns dos aspectos da experiência não tivessem tão presentes, que alguns alunos não se

tenham empenhado o suficiente no seu preenchimento e que os dados não sejam 100%

fidedignos. Queremos, contudo, acreditar que a maioria tenha sido, realmente, sincera e que

se tenha empenhado nas suas respostas.

3.4.4. Entrevista

A entrevista, tal como o questionário, é uma fonte rica de informação sobre aspectos

não observáveis, que permite obter conhecimento mais concreto das situações e das

perspectivas dos participantes na experiência.

No final da experiência foi feita, pela investigadora, uma entrevista à professora da

89

turma para clarificar alguns aspectos considerados relevantes acerca da experiência. A

entrevista, como instrumento de recolha de dados, não estava inicialmente prevista e por

essa razão, ao contrário do habitualmente recomendado, só foi realizada uma entrevista

final com vista a complementar a informação já recolhida.

A entrevista utilizada neste estudo foi semi-estruturada, isto é, embora obedecesse a um

guião (anexo VII) previamente preparado, de perguntas abertas, este era flexível,

permitindo assim uma recolha de dados sistemática num ambiente natural de conversa

(Bogdan e Biklen, 1994). A entrevista foi estruturada em quatro partes: A – Percurso

académico e profissional; B – turma e escola; C – ensino da geometria, nomeadamente do

tema Circunferências e Polígonos. Rotações; D – experiência de ensino e aprendizagem.

As três primeiras partes poderiam corresponder como que a uma entrevista inicial, pois

recolheram-se dados acerca da sua formação académica e percurso profissional,

designadamente os projectos em que já esteve inserida e experiências com as novas

tecnologias; pretendeu-se obter uma breve caracterização do ambiente escolar e da turma e,

principalmente, ter a sua visão acerca da problemática da geometria, do seu ensino e

aprendizagem. A última parte desta entrevista teve como finalidade promover uma reflexão

final acerca do contributo deste estudo quer para os alunos quer para a sua formação. Que

balanço faz a professora do trabalho desenvolvido? Houve melhorias? Quais? Na

motivação dos alunos? Na aquisição de alguma autonomia? Na capacidade de comunicar e

raciocinar matematicamente? Foram algumas das questões colocadas.

3.5. Análise de dados

Segundo Ludke e Andre (1986) analisar os dados qualitativos significa trabalhar todo o

material obtido na pesquisa. A análise dos dados centrou-se nos diferentes papéis dos

diferentes intervenientes do estudo, incluindo o GSP, tendo sempre consciência de que se

tratava de um processo complexo e multifacetado, pois envolveu “o trabalho com os dados,

a sua organização, divisão em unidades manipuláveis, síntese, procura de padrões,

descoberta dos aspectos importantes e do que deve aprendido e a decisão sobre o que vai

90

ser transmitido aos outros” (Bogdan e Biklen, 1994, p. 205).

Atendendo ao carácter qualitativo da metodologia adoptada, a análise dos dados foi

essencialmente descritiva e interpretativa com vista a obter uma caracterização o mais

completa possível das situações em estudo e uma melhor compreensão das mesmas, com o

objectivo de responder às questões propostas. Ou seja, caracterizar as atitudes e concepções

dos alunos perante a geometria e a demonstração e o seu desempenho matemático durante a

experiência. Os dados relativos às atitudes e concepções dos alunos foram obtidos através

de dois questionários que foram passado no início e no final da experiência. Para a

caracterização da experiência e do desempenho dos alunos utilizaram-se os registos escritos

de notas, os documentos produzidos pelos alunos, um questionário final sobre a experiência

e uma entrevista realizada à professora para complementar algumas informações.

Os registos escritos incidiram sobre os diálogos alunos/professora e

alunos/investigadora acerca dos processos de resolução e das dificuldades sentidas. Foram

complementados com comentários acerca do ambiente geral vivido na sala de aula, do

desempenho matemático dos alunos e das suas atitudes. Esses registos foram sujeitos a

várias leituras que visaram uma melhor análise e compreensão das situações de modo a

proceder ao registo de possíveis interpretações e destacar os aspectos mais relevantes.

91

C A P Í T U L O I V

IMPLEMENTAÇÃO DA EXPERIÊNCIA DE ENSINO

Neste capítulo descrevemos a implementação da experiência de ensino com vista a

fornecer uma ideia da dinâmica da sala de aula e de como foi vivida a experiência pelos

seus intervenientes. As duas primeiras sessões tiveram como intuito principal que os alunos

se ambientassem ao programa, ao tipo de tarefas e à presença da investigadora, o que se

verificou logo na primeira sessão de trabalho, pois os alunos começaram logo a

experimentar os menus e a solicitar a sua ajuda na resolução dos pequenos exemplos

trabalhados com o GSP.

As restantes sessões, num total de nove, tiveram o intuito de trabalhar os conceitos

abordados no capítulo Circunferência e Polígonos. Rotações, do 9º ano de escolaridade. As

sessões, com a duração de 90 minutos cada, tiveram lugar, à excepção da última, no horário

normal da disciplina de Matemática e decorreram no período de tempo de 2 de Março a 11

de Maio de 2004, com interrupção das actividades lectivas de 19 de Março a 21 de Abril.

4.1. Primeira sessão

Nesta primeira sessão de trabalho os alunos tiveram o seu primeiro contacto, informal,

com o programa. A entrada na sala de aula foi bastante atribulada, talvez por irem ter aulas

numa sala diferente e por irem trabalhar com os computadores, e, de um momento para o

outro, a sala ficou “cheia” e começamos a pensar “como é que vão todos trabalhar com o

computador? Cabem todos?!...”.

A professora apresentou a investigadora à turma, que aliás já a conhecia das vezes que

tinha estado na escola, e explicou, mais uma vez, qual a razão porque estávamos ali. Os

93

alunos mostraram-se muito entusiasmados com a exploração do programa começando logo

a perguntar como é que se faziam as coisas, impossibilitando-nos de seguir,

ordenadamente, os exemplos que tínhamos preparado para eles, pois a maioria percebeu

logo a lógica de funcionamento do programa e começou logo a avançar muito rapidamente.

Pensamos que isso foi possível devido à forma como o programa foi pensado, na mesma

lógica que todos os programas informáticos. Houve até quem tenha realizado animações

sem sequer termos apresentado algum exemplo para tal.

A versão 4.00 do GSP em termos de menus e ferramentas é basicamente igual à versão

anterior, mas em termos de funcionamento é muito mais simples. Por exemplo, para

seleccionar vários objectos ao mesmo tempo não é necessário recorrer à tecla Shift, para

gravar os documentos o processo é o mesmo que usamos em qualquer programa do Office.

Na resolução dos exemplos surgiram dificuldades no cálculo do perímetro do triângulo.

Os alunos seleccionavam simultaneamente os 3 lados do triângulo, mas a opção para medir

o perímetro não ficava disponível. Facilmente resolveram a situação! Houve vários grupos

que sugeriram somar todos os lados e nem foi preciso explicar como o fazer, pois logo

abriram a calculadora e efectuaram a operação. Aqui, os alunos descobriram que para

calcular o perímetro tinham de primeiro construir o interior do triângulo.

Houve alguns momentos, mais agitados quando os alunos que já tinham acabado os

exemplos dispersavam mais, mas quando se chamavam à atenção para falar de coisas

importantes ficavam atentos. Foi o caso de explicar como esconder objectos, que ainda não

tinham descoberto. Um dos exemplos propostos no manual consistia em construir um

triângulo inscrito numa circunferência. Depois de terem construído esse triângulo, pedimos

aos alunos para deixarem ficar apenas o triângulo. É claro que o primeiro instinto deles foi

apagar a circunferência e ficaram muito admirados quando repararam que o triângulo

também tinha desaparecido. Mas, quando questionados acerca dos vértices do triângulo

logo perceberam a relação entre as duas figuras e que para fazer desaparecer apenas a

circunferência tinham que “escondê-la”. Foi assim introduzida a noção de “objectos pais” e

“objectos filhos”, pois achamos importante os alunos se aperceberem que o GSP não se

tratava de um programa de desenho normal. Ali estabeleciam relações que tinham de ser

mantidas.

94

No final da aula, em conversa com a professora da turma, partilhamos da mesma

opinião de que os alunos se mostraram muito interessados e activos. A turma mostrou-se

simpática e acessível, apesar de barulhenta. O que se tornou problemático foi o facto desta

ser bastante grande e a sala de informática não ser muito praticável, pois alguns dos

computadores não funcionavam e os alunos ficavam muito “uns em cima dos outros”.

Como era a primeira aula, os alunos dispuseram-se à sua vontade, traduzindo-se numa

situação um tanto desequilibrada.

4.2. Segunda sessão

Nesta segunda sessão a professora começou por distribuir mais uniformemente a turma

pelos computadores disponíveis e funcionais. Com esta sessão pretendeu-se apenas rever

alguns conceitos abordados em anos anteriores, que seriam importantes para as futuras

tarefas, e que os alunos se ambientassem ao trabalho com o programa. Foram trabalhadas

apenas as tarefas das fichas de revisão 2 e 4, uma vez que a professora já tinha revisto com

eles os conceitos presentes na ficha 1 e considerou que a ficha 3 não era relevante. Com

estas fichas pretendeu-se, além de rever alguns conceitos considerados importantes para as

tarefas posteriores, que os alunos se familiarizassem com o tipo de tarefas e com o estilo de

trabalho, mais participativo e mais crítico, distinto do que estavam habituados. Os conceitos

que estavam aqui em causa eram o de semelhança de figuras, algumas relações entre

figuras semelhantes e o conceito de mediatriz.

Os alunos gastaram algum tempo com a primeira tarefa, a construir os vários polígonos

com o GSP, a pintá-los e a fazer medições, e tiveram muitas dificuldades em perceber as

restantes questões, pois não se lembravam dos casos de semelhança de triângulos. Poucos

alunos chegaram às conclusões pretendidas e, mesmo assim, foi necessária alguma ajuda

nossa. O maior problema que os alunos revelaram foi a falta de autonomia e a dificuldade

em entender as questões, pois mal entregávamos as fichas já estavam a questionar o que era

para fazer e como, sem sequer se darem ao trabalho de tentar e, até mesmo, de ler as

tarefas. Poucos grupos começaram a ficha 4 e só o grupo GSP5 é que avançou mais e tirou

95

algumas conclusões.

O tempo passou a correr e não conseguimos fazer tudo o que estava previsto, pois eles

perderam-se um bocado nas construções e nas medições, não sendo muito sintéticos,

havendo daí a necessidade de, nas próximas aulas, impor limite de tempo e gerir melhor a

correcção das fichas. A professora concordou, o que foi óptimo, que quando tivéssemos

mais matéria dada, suficiente para resolver exercícios, separar a turma. Enquanto uns

ficavam na sala de aula com a professora a resolver exercícios os restantes ficavam a

avançar com a investigadora no computador, o que seria mais rentável tanto para uns como

para outros, mas principalmente para os do computador porque assim a sala não ficava tão

“lotada” e seria mais fácil gerir e apercebermo-nos das discussões acerca das tarefas.

4.3. Terceira sessão

Antes de iniciarmos esta sessão decidimos que, para promover nos alunos a autonomia,

não os ajudaríamos tanto e, portanto, foram avisados que sozinhos tinham de tentar resolver

as tarefas e só deveriam pedir a nossa ajuda quando tivessem esgotado, com os colegas,

todas as hipóteses possíveis de resolução.

A professora começou por corrigir as fichas 2 e 4, da aula anterior, e teve de chamar

várias vezes à atenção de alguns alunos para estarem atentos. Eles já numa sala de aula

normal eram muito barulhentos, então ali, todos “ao monte” e “de costas”, tornava-se ainda

mais difícil. Assim, a correcção demorou um pouco mais que o previsto. Depois de

corrigidas as fichas da aula anterior, entregamos a primeira ficha sobre o estudo da

circunferência, Ângulos ao centro numa circunferência.

Com esta ficha pretendeu-se que os alunos definissem e desenhassem ângulos ao centro

numa circunferência e relacionassem a sua amplitude com a do arco correspondente.

Escusado será dizer que começaram logo a chamar por nós, ou porque o computador não

estava a funcionar ou porque não conseguiam gravar ou porque a barra de ferramentas tinha

desaparecido ou porque a pasta de trabalho tinha desaparecido ou porque não conseguiam

construir o arco AB. Esta última dificuldade foi geral e, embora tenhamos dito para

96

consultarem o manual do GSP, acabámos por explicar, no quadro, os passos a seguir na sua

construção pois, apesar de existir uma opção que permite a construção de um arco sobre a

circunferência, não é intuitivo quais os objectos que devem ser seleccionados, tendo havido

tendência para inicialmente medirem o comprimento do segmento de recta [AB] ou o

comprimento do arco AB, confundindo, por vezes, comprimento do arco com amplitude do

arco.

Assim, apesar da função facilitadora do GSP, este também pode ser limitador na

procura de soluções se os alunos não dominarem a ferramenta GSP, destacando-se a

necessidade da construção de um manual de apoio e de alguma preparação prévia. Os

alunos devem conhecer minimamente as funções dos menus para “não perderem tempo”

com pormenores técnicos, que apesar de importantes, não devem deixar para segundo plano

a exploração, a análise e a discussão das relações geométricas.

Na construção do ângulo AOB e nas medições do mesmo e do arco correspondente não

houve dificuldades. Tiveram, sim, algumas dificuldades em observar invariâncias e em

exprimir as suas conclusões, referindo-se apenas ao que viam variar, aos ângulos ou aos

segmentos de recta que viam aumentar ou diminuir – “aumentando a sua amplitude, a

amplitude do arco aumenta proporcionalmente”.

Nesta primeira ficha, houve também alguma confusão nas conclusões porque, ao

arrastarem os pontos A ou B do ângulo, quando este passava dos 180º, o arco construído

passava a ser o arco correspondente ao ângulo côncavo e o GSP continuava a medir apenas

a amplitude do ângulo convexo, e portanto as amplitudes deixavam de ser as mesmas.

Nesta altura, a investigadora chamou a atenção para os ângulos que eles estavam a querer

medir e os ângulos que realmente o GSP media, tendo um dos grupos, o GSP4, justificado

esta situação da forma que se pode ver na figura 9.

97

B

m∠BCA = 171°

m BA = 88°

m BA = 189°

m∠AoB = 88°

3.

4.Aumentando a sua amplitude a amplitude do arco aumentaproporcionalmente.

5. Quando deixa de ser um ângulo agudoa amplitude do ângulo ao centroe a amplitude do arco correspondentedeixa de ser igual.Enquanto ângulo agudoas amplitudes são iguais.

o

C

A

B

A

Figura 9. Resolução da ficha de trabalho 1, pelo grupo GSP4.

Os alunos referiam-se ao ângulo agudo como sendo o ângulo convexo e ao ângulo não

agudo como sendo o ângulo côncavo.

Quando demos por ela a aula já tinha terminado e “ficamos em pânico”! O tempo

passou a correr e não fizemos metade do que estava previsto. Nesta sessão foi feita a

primeira tentativa para gravar as conversas dos grupos. O grupo não ficou nada inibido

como temíamos, pelo contrário, ficaram entusiasmadíssimos. Infelizmente não se

conseguiu perceber grande coisa devido ao barulho de fundo, que se fez sentir. Tendo

ficado, assim, impossibilitada a hipótese de gravar as interacções entre os grupos, as quais

se restringiram ao registo de notas.

O barulho que se fazia sentir não era de desinteresse ou falta de empenho, mas

resultante dos próprios alunos, mesmo de grupos diferentes, a discutir entre si, a comparar

as figuras e as suas resoluções.

Os alunos tiveram imensas dificuldades em descrever o que observavam. Ninguém

conseguiu definir ângulo ao centro. Embora alguns tenham conseguido ver que o centro da

circunferência era comum a todos, não o souberam identificar como vértice. Na figura 10,

temos algumas das respostas dadas pelos grupos.

98

É um ângulo comum a todos os s egmentos de recta que se encontram dentro da circunferência

São todos os ângulos ligados ao mesmo centro da circunferência.

É um ponto que divide a circunferência

É um ângulo que por mais pontos que haja fazem sempre ângulo no centro da circunferência.

É um ângulo comum a todos os ângulos que s e encontram na circunferência.

Figura 10. Definição de ângulo ao centro dada por alguns grupos.

Pelas respostas dadas pelos alunos podemos observar que os alunos não conseguem

definir ângulo ao centro porque não conseguem, em primeiro lugar, definir ângulo,

dificuldade destacada por Serrazina e Matos (1996). Apesar dessa dificuldade, construíram

correctamente o ângulo ao centro AOB e o arco correspondente.

Este tipo de actividade tem um papel muito importante na aprendizagem, pois os alunos

constroem o conhecimento através da análise de situações, da comparação, do

reconhecimento das propriedades comuns e de contra-exemplos.

No que diz respeito à conjectura acerca da relação entre a amplitude de um ângulo ao

centro da circunferência e a amplitude do arco correspondente, depois de verificarem

experimentalmente com o GSP, facilmente observaram e concluíram que a medida da

amplitude do ângulo ao centro e do arco correspondente era igual e passaram a discutir o

que iam escrever na conclusão. Mas, mais uma vez, tiveram dificuldade, em se exprimir,

confundindo, por exemplo, amplitude com ângulo ou com arco.

Na figura 11 podemos observar a resolução do grupo GSP5, onde são visíveis algumas

incoerências na linguagem: “o arco da circunferência é o ângulo ao centro da

circunferência”.

99

4: Tanto o ângulo como o arco da circunferência vão ter sempre valores iguais.

5: São geometricamente iguais, pois o arco da ci rcunferência é o ângulo do centro da circunferência.

m AB on OD = 51,52°3: m∠AOB = 51,52°

1:e 2:

Um ângulo ao centro é um ângulo comum a todos os segmentos que se encontram dentro da circunferência.

O

DA

B

Figura 11. Resolução da ficha de trabalho 1, pelo grupo GSP5.

Alguns grupos chegaram à conclusão que quando a medida da amplitude era superior a

180º as medidas do ângulo e do arco eram diferentes (ver figura 12). Isto advém do facto de

o arco AB da circunferência, que estava a ser construído, corresponder a um ângulo

côncavo e o GSP só medir ângulos convexos, que são aqueles que geralmente se estudam

no ensino básico.

m BA = 98,45°m BA = 214,63°

m∠AOB' = 145,28°m∠AOB = 98,45°

O O

A

B

B'

A

BB'

Figura 12. Para ângulos côncavos, o GSP continua a medir a amplitude do arco correspondente ao ângulo convexo.

Depois de arrastar o ponto B para a posição de B’, o GSP mede o ângulo convexo

AOB’ e continua a medir o arco anteriormente construído, ou seja, mede o arco maior

ABB’ e, portanto, as medidas das amplitudes são diferentes.

Em geral, o GSP facilitou a resolução das tarefas propostas pois, através da

possibilidade de arrastamento e do feedback devolvido pelo computador, os alunos

100

definiram, activa e rapidamente (Laborde, 1993), novos ângulos ao centro,

consecutivamente novos arcos correspondentes e novas medidas, levando-os, mais

facilmente, a observar invariâncias e a tirar conclusões. Apesar do seu papel facilitador, por

tudo o que já foi dito, o GSP podia ter tido aqui um papel limitador na procura de relações,

uma vez que quando passaram a ter ângulos côncavos o GSP não mantinha a relação de

igualdade. Mas, por outro lado, permitiu, mesmo que superficialmente, abordar um novo

conceito do qual os alunos não tinham conhecimento.

4.4. Quarta Sessão

No início desta sessão a professora pediu aos alunos para não ligarem os computadores,

pois iriam primeiro corrigir a ficha da aula anterior e fazer alguns exercícios de

consolidação.

Na correcção da ficha, a professora da turma, uma vez que tinha visto com a

investigadora as respostas dos alunos às questões, chamou à atenção para os erros

cometidos e para o facto de haver muitas respostas iguais de grupo para grupo. A

professora foi perguntando aos alunos e corrigindo as suas respostas e estes registaram, no

caderno, os resultados corrigidos.

A professora teve de chamar à atenção de alguns alunos que não paravam de conversar,

principalmente de alguns que não tinham levado o caderno nem a ficha para a aula.

Enquanto a professora ia corrigindo oralmente a ficha, a investigadora ia escrevendo no

quadro o exercício (ver figura 13), que iriam resolver a seguir para poderem aplicar as

conclusões a que tinham chegado na aula anterior. O exercício foi retirado do livro de

exercícios dos alunos (Neves e Faria, 2000).

101

As circunferências I e II são concêntricas de centro em A e a circunferência III tem

centro em B e é geometricamente igual à circunferência I.

IIIII

I

60º

60º

QP

A

B

S

R

MN

1. Indique três ângulos ao centro representados na figura e a amplitude de cada um.

2. Traduza em linguagem corrente a expressão 60ºMN = .

3. Qual a amplitude dos arcos PQ e RS?

4. O arco RS é geometricamente igual ao arco PQ? E os arcos PQ e MN? Justifique

a sua resposta.

5. Qual é a amplitude do arco maior PQ? Figura 13. Exercício de aplicação, resolvido pelos alunos com recurso às ferramentas tradicionais, papel e lápis.

Os alunos não manifestaram dificuldades na resolução do exercício e até o resolveram

com alguma rapidez. Apenas alguns alunos tiveram dúvidas na terceira questão, no

significado de “traduzir para linguagem corrente” e o Marco, inclusivamente, não sabia o

que queria dizer MN , pois referia-se ao arco e não à sua amplitude. Este aluno era bastante

interessado, apesar das suas dificuldades, muito tímido e inseguro, e chamava sempre para

confirmar o que era para fazer e as suas resoluções, ao contrário do seu colega de grupo que

não participava nada na resolução das tarefas. Outros alunos tiveram dificuldades na

questão 4. Esta questão foi importante porque conduziu a discussões sobre o que se entende

por arcos de igual amplitude, se podemos, ou não, falar em arcos geometricamente iguais.

Os alunos percebiam que os arcos RS e PQ não eram geometricamente iguais, mas

confundia-os o facto de terem a mesma amplitude. Aliás, quando a professora começou a

correcção do exercício, um dos alunos estava ansioso por chegar a esta questão pois não

percebia como é que tal era possível. Houve também algumas dificuldades na última

questão. Apesar da professora ter antes explicado o que era um arco maior, os alunos

102

tinham opiniões diferentes acerca da medida da amplitude do arco maior PQ, uns diziam

60º, outros 120º, outros 30º. Um dos alunos, o Daniel, concluiu e explicou para toda a

turma por que é que a medida da sua amplitude era 300º.

Notando que, ao longo da correcção da ficha 1 e do exercício, eram sempre os mesmos

alunos a querer responder, a professora chamou a atenção para esse facto e passou a

solicitar outros alunos para responder às questões.

Depois da correcção, foi entregue a segunda ficha, Ângulos ao centro – Propriedades,

onde se pretendeu que os alunos investigassem algumas das propriedades dos ângulos ao

centro como, por exemplo, que a cordas geometricamente iguais correspondem arcos e

ângulos ao centro geometricamente iguais. Como a construção, neste caso, já estava feita,

os alunos não demoraram muito a fazer as medições necessárias e a chegar às conclusões.

O que falhou mais uma vez foi a tentativa de escrita dessas mesmas conclusões.

Observaram que os ângulos eram geometricamente iguais, que as cordas eram

geometricamente iguais, mas não conseguiram escrever tudo isto na conclusão sem a nossa

ajuda. O mesmo aconteceu no esquema de demonstração, onde os alunos tinham de

justificar os vários passos na demonstração de que, numa circunferência, a cordas

geometricamente iguais correspondem ângulos ao centro geometricamente iguais. Só

alguns alunos conseguiram encontrar justificações adequadas.

Podemos observar na resolução do grupo GSP7 (Figura 14) que os alunos, apesar de

nos passos 3.2 e 3.5 se terem limitado a traduzir por palavras o que estava escrito em

linguagem matemática, conseguiram nos passos 3.3 e 3.4 apresentar justificações válidas.

2. Os ângulos <BOA e<DOC são geométricamente iguais Os arcos BA e DC sâo geométricamente iguais .Sâo verdadeiras porque o ângulo <BOA e <DOC têm a mesma amplitudee os arcos correspondentes têm a mesma distância.3.1. São geometricamente iguais3.3. São raios da circunferência3.4. Os lados do triângulos [AOB] e [COD] são geometricamente iguiais3.5. Os ângulos são geometricamente iguais.

DC = 2,73 cm

BA = 2,73 cm

m∠DOC = 57°

m∠BOA = 57°A

B

O

D

C Figura 14. Resolução da ficha 2, apresentada pelo grupo GSP7.

103

Com esta ficha foi introduzida, assim, a necessidade de os alunos justificarem as suas

conclusões, nomeadamente, porque é que numa circunferência, a cordas geometricamente

iguais correspondem ângulos ao centro geometricamente iguais. Muitos deles disseram que

“era assim”, porque tinham feito as medições e, portanto, segundo eles, não havia muito

mais a dizer, situação para a qual alertou Loureiro e Bastos (2002). Foram, então, alertados

para o facto de não se poderem basear apenas nas medições, porque isso, obviamente, já se

sabia. Queríamos era saber porquê, uma justificação para o facto de ser verdade e, portanto,

não bastava fazer as medições, tinham de procurar outras justificações, lembrando-se de

propriedades previamente estudadas.

4.5. Quinta Sessão

Nesta sessão de trabalho a professora da turma começou por marcar com os alunos a

nova data para o teste de avaliação, que ficou para o dia 26 de Março. Em virtude do teste,

na semana seguinte não haveria aulas no computador, mas sim exercícios de aplicação na

sala de aula habitual.

A professora da turma comentou, no início desta sessão, que, na aula de Estudo

Acompanhado, tinha aproveitado para perguntar aos alunos o que é que estavam a achar

das aulas, ao que responderam que estavam a gostar, mas que tinham receio do teste pois

não sabiam que tipo de perguntas podiam sair e como aplicar aquilo que estavam a

aprender, pelo que, a professora aproveitou essa aula para resolver alguns exercícios de

aplicação sobre a matéria abordada. Relativamente ao teste de avaliação, a investigadora

tinha proposto um modelo de avaliação diferente, também com recurso ao GSP, ao qual,

inicialmente, a professora se mostrou receptiva, mas face aos sucessivos atrasos na

resolução das tarefas, achou, por bem, não o fazer e optou pelo tradicional teste escrito.

Com a terceira ficha pretendeu-se que os alunos desenhassem ângulos inscritos, que

relacionassem a sua amplitude com a do ângulo ao centro com o mesmo arco, que

descobrissem relações e, com base na experimentação, analisassem se seriam válidas para

todos os casos possíveis.

104

Optámos por discutir, em conjunto, a primeira tarefa, uma vez que a experiência com a

primeira ficha nos revelou as grandes dificuldades dos alunos em tentarem encontrar uma

definição para ângulo ao centro. Para tal, a professora pediu que analisassem as figuras em

causa e que tentassem definir o que era um ângulo inscrito numa circunferência. Houve,

então, uma aluna, a Inês, que respondeu que um ângulo inscrito era um ângulo que “estava

dentro da circunferência”, opinião partilhada por vários alunos. Quando a professora pediu

para que a Inês fosse ao quadro desenhar um ângulo inscrito, a aluna desenhou um ângulo

com o vértice no “interior” da circunferência. De seguida, a professora voltou a confrontá-

la com os exemplos e os contra-exemplos apresentados na ficha e questionou se o ângulo

que tinha desenhado era, realmente, um ângulo inscrito. Alguns alunos corrigiram logo e

disseram que não porque “tinha de estar sobre a circunferência para ser inscrito”, talvez por

se lembrarem do exemplo do triângulo inscrito na circunferência, onde todos os vértices

estavam sobre a circunferência.

Outros alunos disseram que o vértice estava sobre a linha da circunferência, achando

que circunferência era tudo o que estava dentro. Pondo em confronto as várias tentativas, a

professora concluiu com eles que o vértice tinha de estar sobre a circunferência e

questionou-os, de seguida, quanto aos seus lados. A mesma aluna que tinha ido ao quadro

respondeu, de imediato, que se tratavam de cordas. A professora ditou para a turma a

definição final para registarem na ficha e pediu que continuassem a sua resolução no

computador.

Os alunos já não tiveram dificuldades em construir o ângulo inscrito AVB e em fazer as

medições necessárias para preencher a tabela. Apenas alguns grupos tiveram dificuldade

em encontrar o ficheiro a utilizar, que tinha sido construído por eles na primeira ficha. Não

tiveram dificuldade em, ao olhar para a tabela, afirmar que a amplitude do ângulo ao centro

era igual à amplitude do arco correspondente, tornando-se claro que era uma propriedade

que eles já tinham estudado. Quando pedimos para compararem as amplitudes do ângulo

inscrito e as do arco correspondente, prontamente conseguiram ver que eram, obviamente,

diferentes e alguns alunos chegaram mesmo a concluir que “era metade”. Depois pedimos

para compararem o ângulo inscrito com o ângulo ao centro e, facilmente, chegaram, à

mesma conclusão.

105

Em alguns grupos foi sugerido, para confirmarem o seu palpite, o cálculo da razão entre

as amplitudes e o arrastamento dos vértices do ângulo para poderem observar que,

realmente, a razão entre as medidas das amplitudes se mantinha. Na figura 15 podemos

observar a resolução do grupo GSP8.

c1

m∠AVB

m AB on c1

= 0,50

3-. As cunjunturas que t iramos foi que a amplitude do ânguloincrito AVB é igual a metande da amplitude do ângulo aocentro AOB com o mesmo arco AB.. A amplitude do ângulo incrito AVB é igual a metade daamplitude do arco AB correspondente.

AVB=AÔV:2 AVB=AB:2

m AB on c1 = 137,26°

m∠AOB = 137,26°m∠AVB = 68,63°

O

B

VA

Figura 15. Resolução da tarefa 3, da ficha 3, apresentada pelo grupo GSP8.

Surgiram muitas dificuldades na compreensão da quarta e quinta questão, onde os

alunos tinham de encontrar uma explicação lógica para as suas conjecturas. Como havia

sido combinado entre a professora da turma e a investigadora, explicamos o primeiro caso

no quadro e o segundo e o terceiro ficaram para trabalho de casa.

A investigadora desenhou a figura no quadro e, conjuntamente com os alunos, começou

a demonstração do primeiro caso, ou seja, explicar porque é que quando um dos lados do

ângulo inscrito contém o centro da circunferência a medida da amplitude do ângulo inscrito

é igual a metade da medida da amplitude do arco correspondente.

A investigadora questionou os alunos sobre o que eles podiam dizer acerca do ângulo

AOB. Não tiveram dificuldade em dizer que se tratava de um ângulo ao centro e que a

medida da sua amplitude era igual à do arco correspondente.

A investigadora perguntou ainda o que é que podiam dizer acerca dos segmentos de

recta [OV] e [OB]. Sem hesitar, disseram que eram geometricamente iguais, mas poucos

souberam justificar. Começaram por dizer que pelo desenho pareciam. A investigadora

voltou a enfatizar que não se podiam basear apenas na aparência e nas medições, tinham

que tentar encontrar outras justificações baseadas nas propriedades das figuras. Foi a Inês

que concluiu que eram raios da circunferência e, portanto, geometricamente iguais, talvez

lembrando-se da actividade anterior.

106

De seguida, a investigadora questionou-os acerca do triângulo [VBO] e dos ângulos

com vértices em V e em B. Não tiveram dificuldade em dizer que eram geometricamente

iguais, mas, mais uma vez, não souberam justificar.

A investigadora relembrou a propriedade: num triângulo, a lados geometricamente

iguais opõem-se ângulos geometricamente iguais e voltou a recorrer ao ângulo AOB para

iniciar a demonstração. Facilmente os alunos observaram que se tratava de um ângulo

externo do triângulo [OBV], mas não souberam dizer muito mais, à excepção de uma aluna

que se lembrou de dizer que esse ângulo e o VOB formavam um ângulo raso. A

investigadora concordou, perguntando o que mais se podia dizer acerca desse ângulo.

A investigadora relembrou aos alunos que a medida da amplitude de um ângulo externo

de um triângulo é igual à soma das medidas das amplitudes dos ângulos internos não

adjacentes desse triângulo e, portanto, podíamos escrever: AOB OVB OBV= + . A partir

daqui os passos seguintes decorreram facilmente, pois já tinham sido discutidos com os

alunos.

Nesta proposta de trabalho apareceu com mais nitidez o desejo de centrar esforços em

explicações lógicas para as suas conjecturas. Com esta pequena demonstração os alunos

tomaram contacto com a necessidade de justificar as coisas não só com base nas medições,

mas recorrendo a resultados já estudados, levando-os, raciocinando em conjunto, a recordar

e a comunicar matemática (Schoenfeld, 1994,citado em Knuth, 2002a), pois ao discutir

com os alunos este caso, levamo-los a rever alguns conceitos, a falarem sobre eles, a aplicá-

los e a seguir um encadeamento lógico, ou seja, tentamos ir ao encontro das funções da

demonstração apontadas por De Villiers (1996b, 1999, 2002, 2003).

O grupo GSP11 respondeu às questões 4 e 5, onde tinham de fazer o mesmo para os

outros os casos em que o ângulo inscrito continha, ou não, o centro da circunferência,

baseados apenas no arrastamento e nas medições, sem tentar encontrar uma justificação

lógica, como se pode ver pela figura 16.

107

4. Sim. Sim, pois quando arrastamos os pontos continuam com a mesma amplitude

5. A nossa conjectura é verdadeira porque sempre que arrastamos o ponto A ou B a amplitude do ângulo AOB e a amplitude do arco AB é sempre igual

Figura 16. Justificações apresentadas pelo grupo GSP11 para a conjectura estabelecida para os ângulos inscritos.

Podemos também observar alguns erros de linguagem, como na questão 4, quando os

alunos dizem que “os pontos continuam com a mesma amplitude”. No entanto, na questão

5 já formularam melhor a sua justificação, ainda que baseada apenas na verificação a partir

do arrastamento.

Alguns alunos, mais empenhados, que não terminaram as tarefas na aula tentaram

demonstrar os outros dois casos, com base no que tinha sido feito na aula. Nas figuras 17 e

18, podemos observar as resoluções da Flávia e da Joana.

Figura 17. Resolução da tarefa 5, da ficha 3, pela Flávia.

108

Figura 18. Resolução da tarefa 5, da ficha 3, pela Joana.

Comparando as duas resoluções podemos observar que a Flávia (figura 17) conseguiu

estabelecer um encadeamento lógico entre as diferentes asserções. Já a Joana (figura 18)

limitou-se a escrever a conclusão, com alguns erros de linguagem. E, embora, a ideia

subjacente no início esteja correcta, não conseguiu escrevê-la correctamente nem

desenvolvê-la.

Na ficha 4, Ângulos inscritos – Propriedades, pretendeu-se que os alunos verificassem

que ângulos inscritos que contenham o mesmo arco são geometricamente iguais e que

conjecturassem que qualquer ângulo inscrito numa semicircunferência é recto. Nesta última

tarefa voltámos a reforçar a necessidade de explicações lógicas. Os alunos não tiveram

dificuldade alguma em tirar as conclusões pretendidas, questionando apenas se tinham de

construir mais ângulos. A este propósito, foi-lhes recordado que podiam sempre arrastar os

vértices e, assim, obter muitos outros ângulos possíveis, uma das grandes vantagens destes

ambientes.

Nestas primeiras sessões houve, por vezes, a necessidade de alertar os alunos para

manipularem mais as suas construções, quer na procura de soluções, quer na validação das

109

suas conclusões, pois não se preocupavam em verificar mais casos para confirmar se as

relações se mantinham depois de manipular a figura. Tínhamos de os questionar: “Mas

verifica-se sempre?”, “Já experimentaram outros casos?”, “Então experimentem arrastar os

vértices! O que observam? A relação mantém-se?”. Com o decorrer da experiência já

recorriam espontaneamente ao arrastamento, inclusive para justificar as suas conclusões.

Na primeira tarefa, naturalmente concluíram que a amplitude dos ângulos inscritos era

sempre a mesma enquanto não variasse o arco e o Bruno adiantou logo que só variava a

amplitude se arrastasse o vértice A ou o B, porque o arco mudava.

Quanto à segunda tarefa, o grupo GSP5 facilmente chegou às conclusões e até

conseguiram explicá-las muito bem, com base em raciocínios lógicos. Mas, a construção

não estava bem, isto porque se arrastássemos o ponto A ou o ponto B, o segmento de recta

[AB] deixava de ser um diâmetro da circunferência, como se pode constatar pela figura 19.

c1

m∠BXA = 90°

B

A

X

c1

m∠BXA = 68°

B

A

X

Figura 19. Construção de um ângulo inscrito numa semi-circunferência, pelo grupo GSP5.

A investigadora pediu, então, que pensassem numa maneira de construir a

circunferência com diâmetro [AB] de modo que, se arrastássemos os pontos do diâmetro, A

ou B, continuasse a ser um seu diâmetro, ou seja, de modo que a figura não se

desmanchasse. A Inês percebeu logo o que era para fazer e começaram a construção.

Aproveitamos esta oportunidade para alertar os restantes grupos para que lessem com

atenção as instruções da ficha e que não começassem logo a fazer as coisas sem pensar. É

110

claro que a maioria não o fez!

Os alunos limitaram-se a usar as ferramentas mais básicas do GSP para aparentemente

recriar a figura pretendida, sem recorrer aos conhecimentos geométricos necessários. Foram

pelo caminho mais fácil e, influenciados pela percepção visual, construíram a

circunferência com recurso ao compasso da barra de ferramentas e os pontos na

circunferência sem obedecerem a nenhuma condição ou critério. Logo, se arrastássemos o

segmento de recta [AB] este deixava de ser um diâmetro da circunferência. Tivemos, então,

de explicar que tal não podia acontecer, que lessem com atenção as indicações da ficha e

que pensassem numa solução para a construção de modo a que esta não desmanchasse. Os

grupos começaram, então, a construir o segmento de recta [AB] e até chegaram, facilmente,

sem ajuda, à conclusão de que precisavam do ponto médio e construíram-no. Mas, depois,

para construir a circunferência, alguns grupos voltaram a usar o compasso e é claro que se

arrastássemos a circunferência o diâmetro ou ficava dentro ou fora desta, conforme

aumentava ou diminuía. O que fazer então?

A investigadora pediu aos alunos para olharem com atenção para as opções do menu

Construct, onde uma das opções possíveis para construir uma circunferência é circle by

center + point, e perguntou o que é que eles precisavam, então, de seleccionar, alertando-os

para a necessidade de pensar, perceber os menus e discutirem as opções antes de começar

logo a “fazer as coisas à toa”! Com esta orientação facilmente observaram que precisavam

de seleccionar o centro e um ponto para construir a circunferência. O próprio menu do GSP

levou a que os alunos pensassem como construir a figura, avaliando o que tinham

construído e como teriam de reformular a sua acção. Depois, por arrastamento, pensaram

sobre as conclusões a tirar. Foi a primeira tarefa em que surgiu a necessidade de que a

construção realizada pelos alunos não se desmanchasse, tendo, para isso, de pensar sobre os

objectos geométricos e sobre as suas propriedades.

Ficaram muito admirados por o ângulo ser sempre um ângulo recto, embora até

percebessem o porquê e o conseguissem explicar. Até o Ricardo, que era um dos alunos

com mais dificuldades, depois de alguma orientação por parte da investigadora, no sentido

de lhe mostrar que era um ângulo inscrito e fazê-lo recordar como se calculava a sua

amplitude, concluiu que tinha de ser metade de 180º, mesmo quando arrastávamos o vértice

111

X porque o arco era sempre o mesmo. O Marco é que ficou muito surpreendido e reticente

com o caso em que o vértice X coincidia com um dos vértices do diâmetro. Como era

possível aquele ângulo ser um ângulo recto? Trata-se do ângulo de um segmento como caso

limite do ângulo inscrito, e, portanto, a propriedade continua a ser válida, por mais estranho

que possa parecer aos alunos. Foi o único aluno que fez referência a esta situação.

Apesar das dificuldades sentidas em justificar as conjecturas, uma vez que não estavam

habituados a fazê-lo, neste momento estavam a conseguir chegar mais facilmente às

conclusões. Já estavam habituados ao estilo das tarefas e, sozinhos, já faziam medições,

comparavam e tentavam escrever as conclusões. Alguns grupos conseguiram mesmo

desenvolver raciocínios lógicos e chegar, sem a nossa ajuda, a pequenas justificações, ainda

que com algumas dificuldades no registo escrito.

Podemos observar na resolução apresentada pelo grupo GSP5 (figura 20) que as alunas

recorreram às propriedades já estudadas, quer na resolução da tarefa 6, quer na resolução da

tarefa 7.

c1

7. A amplitude é sempre 90º. É um ângulo recto porque um dos lados do triãngulo é o diâmetro da circunferência. A amplitude do arco é 180º. Seguindo o primeiro caso, metade de 180º é 90º, isto é a amplitude do ângulo AVB.

6. Não conseguimos encontrar porque todos os ângulos com o mesmo arco AB correspondente vão medir sempre o mesmo. Logo todos os ângulos vão medir metade do arco - Propriedade II.

m∠BXA = 90°

m∠ARB = 57°

a2 = 115°

m∠AQB = 57°

m∠APB = 57°

P

B

Q

A

R

B

A

X

Figura 20. Resolução da ficha 4, pelo grupo GSP5.

112

4.6. Sexta Sessão

Nesta sessão, houve uma troca de planos relativamente à ordem das fichas. Estava,

inicialmente, previsto dar a propriedade dos quadriláteros inscritos numa circunferência,

mas como eram fichas muito extensas cujo grau de dificuldade começava a aumentar, e o

teste era na semana seguinte, a professora sugeriu resolver primeiro a ficha 9, Recta

tangente à circunferência. Como a propriedade já era dada e eles só tinham de aplicá-la, era

de resolução mais rápida, e ficavam, assim, com mais uma propriedade importante para a

ficha de avaliação. Esta ficha consistiu na construção de rectas tangentes a uma

circunferência mediante determinadas condições, aplicando a propriedade em que qualquer

recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia.

A professora começou a aula corrigindo a ficha 4, da sessão anterior, onde não houve

dúvidas, e entregámos a ficha de trabalho 5, Cordas – Propriedades. Com esta ficha

pretendeu-se que os alunos investigassem propriedades das cordas, nomeadamente a

relação entre arcos e cordas compreendias entre cordas paralelas.

A investigadora ficou muito admirada quando foi tirar uma dúvida ao grupo GSP5 e

verificou que já tinham tudo feito. Foram extremamente rápidos e, o que é mais importante,

demonstraram autonomia na resolução das tarefas. Faltava-lhes apenas a conclusão para a

primeira questão. Já tinham construído as perpendiculares e estavam a tirar conclusões

acerca dos ângulos ao centro, que “eram ângulos verticalmente opostos dois a dois e

portanto geometricamente iguais”. Embora sendo verdade, pretendíamos que os alunos

tirassem mais conclusões, como, por exemplo, que a mediatriz de uma corda divide-a ao

meio ou que a mediatriz de uma corda contém o centro da circunferência. A investigadora

questionou então o grupo acerca do que podiam observar quando traçavam a perpendicular

relativamente à corda. Que relação existia, por exemplo, entre a recta perpendicular à corda

[AC] e a corda [AC]? A Inês disse logo que era a mediatriz.

(I) − Porque é que dizes que é a mediatriz? (A) − Porque é perpendicular à corda. (I) − E isso basta? (A) − Porque passa no ponto médio.

113

(I) − E como é que sabes que passa no ponto médio? (A) − Porque a perpendicular divide a meio a corda. (I) − Como é que sabes? Mediste? (A) − Não, mas parece! (I) − Mas não nos podemos basear no que parece!

A Flávia preparava-se já para medir, quando a investigadora lhes pediu para tentarem

encontrar uma explicação sem fazerem medições. Perguntou o que é que sabiam acerca da

mediatriz e rapidamente responderam que era a recta perpendicular que passava pelo ponto

médio.

(I) − Mas ainda não sabem se aquele é o ponto médio! O que é que sabem mais acerca da mediatriz? (A) − Todos os pontos estão à mesma distância dos extremos, respondeu a Flávia que estava sempre com o caderno pronto a consultar! (I) − E então? Isso verifica-se aí? Há algum ponto que esteja à mesma distância de A e de B? (A) − O centro, respondeu prontamente a Inês. (I) − Porquê? Porque é que a distância de O a A é igual à distância de O a B? (A) − Porque são raios da circunferência, respondeu mais uma vez a Inês. Observação que ela própria já tinha usado e concluído em situações anteriores. (I) − Então já sabem que os pontos que estão sobre a recta perpendicular estão à mesma distância de A e de C, logo o que é que podem concluir? (A) − Que é a mediatriz que divide a corda ao meio.

As alunas apresentaram, nas suas justificações, argumentos baseados na aparência da

construção, na observação de características que achavam importantes e em partes de

propriedades que tinham fixado: “Não, mas parece!”, “porque a perpendicular divide a

meio a corda”, “todos os pontos estão à mesma distância dos extremos”.

Todos os grupos concluíram rapidamente que a recta perpendicular bissectava a corda,

mas não sabiam explicar porquê. De um modo geral, os alunos usaram a potencialidade do

arrastamento e procederam à manipulação da figura, não só para verificar as suas

conjecturas, mas também para justificarem o facto das suas conjecturas serem verdadeiras.

Os grupos GSP7 e GSP8 concluíram que realmente se tratava da mediatriz, mas

também não souberam explicar porquê. O grupo GSP7 achou que as suas conjecturas eram

verdadeiras porque: “têm rectas paralelas que tornam a circunferência diferente das outras”!

114

Por esta afirmação, podemos observar que os alunos têm noção que o facto das rectas serem

paralelas tem um papel diferente e faz com que as relações se mantenham, mas não o

souberam expor e não têm consciência dos objectos geométricos, pois para os alunos a

circunferência passou a ser diferente!

Os diálogos estabelecidos foram muito importantes, pois permitiram esclarecer algumas

dúvidas, fomentar a reflexão nos grupos sobre as relações geométricas e favorecer uma

aprendizagem mais activa e mais efectiva. Todavia, pudemos constatar que, apesar de

discutirem connosco as justificações, não conseguiram transpô-las para os registos, tendo

muitas dificuldades em exprimir-se, como aconteceu, por exemplo, no grupo GSP5 (figura

21).

s

r

j

j'x

y

w

2. As perpendiculares são a mediatriz das cordas porque sabemos que O está à mesma distância de A e C ou de A e B. Podemos ainda dizer que x, y e w são raios da circunferência.

3. Que ambos têm a mesma amplitude.

4. Os extrmos das cordas pertencem as rectas r e s e têm as duas as mesmas medidas, sendo assim geometricamente iguais.

5. A arcos com a mesma amplitude correspondem cordas com o mesmo comprimento, pois se alterarmos um dos extremos de uma das cordas, os valores irão ser sempre iguais.

C

Do

B

A

Figura 21. Resolução da ficha 5, pelo grupo GSP5.

No início desta tarefa alguns grupos, como o GSP1 e o GSP2, tiveram dificuldades em

construir as rectas perpendiculares, o que não aconteceu, por exemplo, com o grupo GSP5,

porque já o tinham feito sozinhos na tarefa de revisões. A Flávia, elemento deste grupo que

115

comandava as operações no computador, explicou imediatamente para a turma como o

fazer. Assim, tentámos ajudar esses grupos com as construções, enquanto o grupo GSP5 já

trabalhava na ficha 9, onde o caminho a seguir era contrário ao normalmente utilizado até

aqui, o que dificultou a sua resolução.

Para apoiar os alunos na construção da perpendicular, da ficha 5, a investigadora

começou por pedir que lessem com atenção a pergunta e colocou a seguinte questão:

(I) − Se se pede para construir a perpendicular ao segmento de recta [AC] a passar pelo centro da circunferência, o que é que têm de seleccionar?

Em resposta, o Marco começou por seleccionar os três pontos A, C e O, só que

verificou que a opção para a construção da perpendicular não ficava disponível. Assim,

voltou a seleccionar os três pontos A, C e O e o segmento de recta [AC], só que ao

seleccionar a opção Perpendicular line, ficaram construídas três rectas perpendiculares a

[AC] e a investigadora perguntou-lhe se pretendia as três rectas. Apercebeu-se, então, que

devia seleccionar apenas a corda e centro da circunferência. Também o Diogo usou o

mesmo tipo de raciocínio do Marco, mas o Daniel ao ter ouvido a explicação inicial da

investigadora, que, no fundo, não era uma explicação, pois esta limitou-se a ler novamente

a questão e a enfatizar os elementos corda e o centro, corrigiu de imediato o Diogo.

Entretanto o grupo GSP5 já se encontrava a resolver a ficha 9 com as explicações da

professora acerca do que era pretendido. Passado pouco tempo, a Inês foi dizer que já

tinham feito, mas que não sabiam se estava bem. A investigadora dirigiu-se ao grupo e

questionou as alunas acerca do que acontecia se arrastassem as rectas.

(I) − As rectas continuam com a mesma direcção da recta exterior e tangente à circunferência?

A investigadora arrastou as rectas tangentes construídas e verificou que tal não

acontecia e, pediu-lhes, então, para pensar numa construção que não desmanchasse, ou seja,

em que o arrastamento das rectas conservasse as propriedades invariantes. Disseram logo

que não sabiam como se fazia, mas a investigadora pediu para não desistirem e sugeriu que

tentassem aplicar a propriedade que estavam a estudar, levando os alunos a repensar o seu

116

processo de construção.

A procura de soluções resistentes é uma actividade muito importante que, segundo

Junqueira (1995), desempenha dois papéis essenciais: o de controlador no sentido em que

permite aos alunos perceber a incorrecção das construções que não conservam as

características pretendidas e o de explorador ao permitir-lhes experimentar ideias para

descobrir processos de obter construções que não se desmanchem.

Passado pouco tempo voltaram a chamar a investigadora, e destes vez todas

entusiasmadas porque tinham conseguido! Quando a investigadora pegou no rato, para

verificar, a Flávia comentou, pessimista:

(A) − Vais ver que a professora vai descobrir alguma coisa que não funciona.

Pouco crentes, portanto, pois, a construção estava bem feita e a Inês explicou logo como

tinham feito:

(A) − Traçamos o diâmetro perpendicular à recta exterior e depois como qualquer recta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangencia. traçamos a recta tangente.

Acontece que as alunas só tinham uma recta tangente construída e a investigadora

questionou-as se só existia aquela recta tangente à circunferência, ao que de imediato

concluíram que existia outra do outro lado e apressadamente a construíram (ver figura 22).

m

l

k

Fizemos a circunferência, traçamos uma recta exterior e fizemos o diâmetro perpendicular a essa recta.Traçamos outra perpendicular ao diâmetro, mas esta é tangente.

C

D

A

B

Figura 22. Resolução da tarefa 2, da ficha 9, pelo grupo GSP5.

117

Podemos observar que as alunas tiveram a preocupação de nomear os objectos, dando à

sua construção um aspecto mais rigoroso. Contudo, na explicação do processo de

construção, acabaram por não usar formalmente a linguagem matemática, fazendo uma

descrição muito breve e um pouco confusa, sem recorrer à notação usada.

Na segunda construção pretendeu-se que os alunos, a partir de um ponto exterior a uma

circunferência traçassem duas rectas tangentes à circunferência e explicassem o processo de

resolução. A investigadora explicou que também tinham de fazer uma construção que não

se desmanchasse, que novamente tinham de utilizar a propriedade anterior e, como iam

mais avançadas que os outros grupos, tinham tempo para pensar.

No que diz respeito aos outros grupos, a primeira tendência foi construírem “a olho” a

recta tangente. Para tal, traçavam a recta exterior à circunferência e depois tentavam com a

respectiva ferramenta construir uma recta paralela à anterior e que fosse tangente à

circunferência. Não antecipavam o que acontecia se arrastassem a recta dada, que, nesse

caso, fazia com que as rectas construídas deixassem de ser tangentes à circunferência.

Apenas os grupos GSP3, GSP5, GSP6, GSP8 e GSP7 conseguiram fazer correctamente a

construção. Apesar disso, a propriedade foi entendida pela maioria dos alunos.

O grupo GSP5, que já ia na segunda construção, estava a “desesperar” porque não

conseguiam e pediram mais uma pista. Realmente esta construção exigia algo mais do que

simplesmente aplicar a propriedade, exigia que os alunos aplicassem também a propriedade

da tarefa 1 da ficha 4, o que não era visível e imediato. As alunas já tinham feito um esboço

e a investigadora alertou-as para o facto de não se esquecerem que o ângulo CQP tinha de

ser sempre recto. Finalmente, apresentaram a resolução, que se pode ver na figura 23.

A construção não se desmancha e poder-se-ia pensar que a construção foi feita

correctamente. No entanto, as alunas não conseguiram chegar ao pretendido e apresentaram

uma “falsa construção”. Talvez influenciadas pela figura da ficha de trabalho, as alunas

tentaram reproduzi-la, dando-lhe a mesma aparência e mantendo algumas relações.

Contudo, podemos observar pelo Script que o ponto exterior foi a última coisa que

construíram.

118

Figura 23. Resolução da tarefa 3, da ficha 9, pelo grupo GSP5.

Outros grupos tentaram chegar esta construção, mas não o conseguiram, como foi o

caso do grupo GSP7, que, aliás, é um grupo muito empenhado e trabalhador, apesar das

dificuldades à disciplina de Matemática. Estas aulas, segundo a professora da turma foram

uma motivação para eles, pois nas aulas normais costumavam ser uns “terroristas” e “não

queriam saber de nada!”. De um modo geral, conseguiram chegar às conclusões e quando a

investigadora se dirigia ao grupo explicavam as conclusões e como lá tinham chegado.

Durante as correcções das fichas estavam sempre prontos, com o dedo no ar, para

responder. O Daniel era um aluno que podia ir longe mas que não queria continuar a

estudar.

4.7. Sétima Sessão

Esta sessão não foi efectuada no computador, mas sim na sala normal de aula, onde

foram feitas revisões para a ficha de avaliação, e os alunos resolveram exercícios de

aplicação sobre as propriedades dadas e sobre a matéria de unidades anteriores.

Relativamente aos medos e dúvidas dos alunos face ao como aplicar o que aprenderam no

teste de avaliação, o ideal teria sido intercalar as aulas no computador com as aulas na sala

de aula normal.

119

4.8. Oitava Sessão

Esta sessão foi realizada no início do terceiro período, após as férias da Páscoa. Como a

professora pediu à investigadora para terminar o mais depressa possível, devido à

necessidade de preparar os alunos para a prova global que se aproximava, nem todas as

fichas foram resolvidas e, das que foram, não se fez a correcção para toda a turma. Apesar

de não terem sido trabalhadas as três fichas previstas e de, no início, os alunos precisarem

de um pequeno “empurrãozinho”, a sessão correu bastante bem e os alunos estavam muito

interessados e empenhados nas tarefas.

Nesta sessão foram resolvidas as fichas 6 e 7, cujo intuito das tarefas era,

essencialmente, aplicar as propriedades da mediatriz de um segmento de recta ou as

propriedades descobertas numa das fichas anteriores sobre as propriedades das cordas e

recordassem um conceito já abordado no 8º ano de escolaridade, o circuncentro.

Quando os alunos começaram a resolução da tarefa a Flávia começou logo por dizer que

tinham de “desenhar uns traços a partir dos vértices”, mas que não se lembrava o que era. A

aluna estava, provavelmente, a referir-se às bissectrizes dos ângulos. A investigadora

insistiu para que lessem com atenção o que era para fazer e perguntou aos alunos se o facto

de quererem 3 pontos à mesma distância de outro não lhes fazia lembrar nada.

Não tiveram dificuldades em concluir que precisavam de construir uma circunferência.

Inicialmente os grupos GSP5 e GSP7 falaram em construir um triângulo. A investigadora

respondeu que se unissem a localização das 3 cidades por segmentos de recta, realmente

obtinham um triângulo, mas depois queríamos descobrir um outro ponto que ficassem à

mesma distância desses 3 e que seria a localização do Aeroporto. “Isso não vos faz lembrar

outra figura geométrica?”, perguntou a investigadora, voltando a enfatizar o facto de

quererem os três pontos à mesma distância de outro, donde os alunos concluíram que esses

pontos estariam sobre uma circunferência e que o centro dessa circunferência seria a

localização do aeroporto. Os restantes grupos também começaram por traçar o triângulo a

passar pelas três cidades, mas não conseguiram, sozinhos, avançar mais. Assim, a

investigadora resolveu pegar nas conclusões já tiradas pelos outros grupos e expô-las para

toda a turma, recorrendo à ajuda dos grupos que já tinham concluído a tarefa para

120

explicarem aos restantes o que se pretendia que fizessem.

A investigadora explicou que, no fundo, se conseguissem desenhar uma circunferência

que passasse pelas três cidades conseguiam encontrar a localização do aeroporto que seria o

centro da circunferência. E aqui novas dificuldades surgiram. Como construir a

circunferência?

Os alunos começaram por tentativas, utilizando a ferramenta compasso do GSP, mas

não estavam a conseguir “acertar” e foi, então, que pedimos para pensarem noutro processo

que funcionasse para qualquer situação, mesmo que arrastássemos as cidades, de modo a

que o aeroporto ficasse sempre à mesma distância das três.

Demos algum tempo para os alunos tentarem resolver a situação, mas como estavam a

ter algumas dificuldades, acabamos por sugerir aos alunos que consultassem a ficha 5, onde

tinham estudado as propriedades das cordas e recordámos com eles essas propriedades.

Quando questionados sobre o que acontecia se traçassem uma perpendicular a passar pelo

meio da corda e se se lembravam de que recta era essa, prontamente responderam que se

tratava da mediatriz. Mas, não chegava dizer que era a mediatriz, pelo que, de seguida,

perguntámos se não se lembravam das propriedades e que mais é que podiam observar.

A Inês respondeu que a mediatriz passava pelo centro da circunferência e, face a isto,

pedimos aos alunos que experimentassem construir a mediatriz da corda que unia os

segmentos de recta representados pelas cidades Braga e Bragança. Demos tempo para os

alunos construírem a mediatriz dessa corda e para se aperceberem que não bastava para

encontrar o centro da circunferência, que teriam de traçar as restantes mediatrizes e que o

aeroporto iria estar na intersecção.

Pedimos ainda que fizessem as respectivas medições para verificarem que, mesmo

arrastando as cidades, o aeroporto se encontrava sempre à mesma distância destas. Todos

os grupos, uns mais organizados que outros, conseguiram realizar a tarefa. A resolução

apresentada pelo grupo GSP5 encontra-se na figura 24.

121

aeroportoBragança = 6,31 cm

aeroportoBraga = 6,31 cm

aeroportoVila Real = 6,31 cm

Tinhamos o esboço das cidades, começamos por medir a distânicia entreelas e tentar encontar um local queficasse à mesma distância de todas. Deseguida traça-mos um segmento derecta para unir cada cidade eobtivemos um triângulo, logo depoisencontrmos o ponto medio de cada umdesse segmentos e com eles traçamosmediatrizes e obtivemos na intersecçãoo centro da circunferência (localização do aeroporto) porque já tinhamos vistoque as mediatrizes passavam pelocentro da circunferência e por fimdesenhamos a circunferência para confirmar.

BragançaBraga = 12,56 cmBragaVila Real = 7,07 cm

BragançaVila Real = 9,76 cm

aeroportoBragança

Braga

Vila Real Figura 24. “Construção do aeroporto” pelo grupo GSP5.

Podemos observar que as alunas para explicar o procedimento referiram-se

correctamente aos objectos geométricos e recorreram à propriedade estudada para

fundamentar a sua justificação. Mas nem todos os alunos tiveram esse cuidado. Podemos

observar, por exemplo, na figura 25, que a descrição do procedimento pelo grupo GSP7 não

foi completa e foi pouco clara, sem justificações e com algumas incoerências de linguagem.

Figura 25. “Construção do aeroporto” pelo grupo GSP7.

Os alunos levaram algum tempo a escrever o procedimento para esta tarefa e a resolver

a tarefa 6, onde tinham de descobrir em que situações o circuncentro se encontrava dentro,

122

fora ou sobre os lados do triângulo. Perderam-se um pouco nas construções e portanto a

professora explicou oralmente as conclusões e resumiu os resultados no quadro. Apenas os

grupos GSP4, GSP5 e GSP6 chegaram sem dificuldade aos resultados, inclusive para o

triângulo rectângulo, apesar de não se lembrarem que a esse ponto dávamos o nome de

circuncentro. Quando a investigadora se dirigiu ao grupo GSP5, as alunas estavam a

analisar o caso do triângulo rectângulo e questionou-as acerca do que podiam concluir. As

alunas responderam que o ponto de intersecção das mediatrizes estava sempre sobre o lado

do triângulo.

(I) – E que nome se dá a esse lado do triângulo? (A) – Hipotenusa, respondeu a Flávia. (I) – Então a conclusão que podemos tirar é que, num triângulo rectângulo, o circuncentro está... (A) – ...sobre a hipotenusa. (I) – E os outros casos já analisaram? Expliquem-me lá a que conclusões chegaram!

Facilmente explicaram as conclusões, mas tiveram dificuldades em exprimi-las

correctamente pois, tal como os outros grupos, não se lembravam da classificação dos

triângulos. Os grupos GSP4 e GSP6, construíram um só triângulo e, por arrastamento dos

vértices, tentaram obter as três situações e formular as conjecturas, o que se tornou

complicado para o terceiro caso, uma vez que, por arrastamento dos vértices, tiveram

dificuldades em obter um ângulo de 90º, por não terem pensado numa construção que não

desmanchasse, ao contrário do grupo GSP5, que recorreu à recta perpendicular para o fazer.

A ficha 7 não era mais do que um prolongamento da ficha 6, donde os alunos não

tiveram dificuldades algumas em responder às questões pois começaram logo por seguir o

procedimento das tarefas anteriores, e, embora pensassem inicialmente que tal como no

exemplo anterior para as três cidades que era sempre possível encontrar um ponto

equidistante, com os exemplos, facilmente observaram que tal nem sempre era possível.

Tentamos generalizar esta propriedade para um qualquer número de cidades, questionando

os alunos sobre o que aconteceria se tivéssemos 5 cidades, 6 cidades ou mais cidades e, no

fundo, fazê-los ver que para podermos inscrever um polígono de n lados numa

123

circunferência, n-1 das mediatrizes têm de se intersectar num só ponto obrigatoriamente,

abrindo caminho para a ficha da próxima sessão, onde o conceito em causa era o de ângulo

inscrito e a partir daí descobrir e encontrar uma explicação para o facto de num quadrilátero

inscrito numa circunferência os ângulos opostos serem suplementares.

4.9. Nona Sessão

Nesta sessão os alunos estavam muito irrequietos, inclusive a Inês, e tiveram de ser

chamados várias vezes à atenção.

Estava previsto para esta sessão o desenvolvimento da ficha 8 e da ficha 10, mas, em

vez da ficha 10 ficou decidido fazermos primeiro alguns exercícios de consolidação o que

ocupou a maior parte do tempo da aula, por terem surgido, em alguns grupos, dificuldades

na sua resolução. Mas, esta não foi a única razão do atraso. Pensávamos que a ficha 8 seria

de resolução rápida, uma vez que os alunos já dispunham da construção e das medições das

amplitudes dos ângulos, pelo que só tinham de fazer os cálculos necessários, arrastar os

vértices e verificar que a soma das amplitudes dos ângulos opostos num quadrilátero

inscrito numa circunferência era sempre 180º e escrever correctamente a conclusão. A

maioria dos grupos começou por somar todos os ângulos e observar que dava 360º. No

grupo GSP5, a investigadora questionou os alunos se sabiam explicar porquê. Foi a Flávia

que justificou.

(A) − Porque temos dois triângulos. (I) − E porque é que isso justifica? (A) − Porque a soma dos ângulos é 180º. (I) − Sim, é isso! Podemos sempre dividir um quadrilátero em dois triângulos e como em cada um, a soma das amplitudes dos ângulos internos é 180º, no quadrilátero a soma das amplitudes dos ângulos internos vai ser 360º. Mas, não é isso que a tarefa pede! Ora leiam de novo!

Pelos vistos, ninguém sabia o que eram ângulos opostos, adjacentes e suplementares e a

professora teve de explicar no quadro para toda a turma. Não tiveram dificuldades em

verificar que a soma das amplitudes dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa

124

circunferência era sempre 180º, mas, estranhamente, tiveram dificuldades em escrever a

propriedade. O grupo GSP7 só com alguma ajuda é que conseguiu escrever a conclusão.

(I) − Então o que é que estiveram a calcular? (A) − A soma dos ângulos opostos. (I) − Mas, de quê? (A) − Do quadrilátero. (I) − Qual quadrilátero, de um qualquer? (A) − Não, do quadrilátero inscrito na circunferência. (I) − Então, qual é a conclusão? (A) − Não percebo! (I) − Então, não estiveram a calcular a soma das amplitudes dos ângulos opostos de um quadrilátero inscrito numa circunferência? O que obtiveram? (A) − 180º. (I) − Em qualquer quadrilátero? E se arrastarem os vértices? (A) − É sempre 180º! (I) − Então?! O que concluem?...

O grupo GSP5 observou ainda que quando os lados do quadrilátero se cruzavam a soma

dos ângulos opostos alterava-se e já não era 180º. Não foi dada grande importância a este

facto, no sentido de o expor aos restantes grupos, pois, provavelmente, só os iria confundir

mais e porque, nestes níveis, geralmente, não se trabalha com polígonos cruzados.

Novamente o GSP, além do papel facilitador, permitiu, devido à potencialidade do

arrastamento, abordar um novo conceito que as alunas passaram a conhecer, mas, também,

poderia ter sido limitador na procura de relações. Também o facto de os alunos não

conhecerem ou não se lembrarem de determinados conceitos foi limitador, no sentido de

progredirem e resolverem mais autonomamente e positivamente as tarefas.

Quando se tratou de encontrar uma explicação, o Diogo e o Daniel, como em tantas

justificações que já tinham dado, disseram que “era sempre verdade porque tinham medido

e dava sempre 180º”, mesmo que arrastassem os vértices. Embora não tentassem encontrar

uma justificação lógica, deixaram o “parece” ou o “vê-se logo” e já se preocupavam em

verificar para mais casos, que para os alunos parecia significar “todos” os possíveis ao

afirmarem que “era sempre verdade”.

(I) − Mas isso não explica porque é que realmente acontece e porque é que

125

mudando o quadrilátero a soma dos ângulos opostos continua a ser 180º. Tentem demonstrar porque é que isso acontece.

Para ajudar os alunos, a investigadora perguntou que tipo de ângulos eram os que

estavam a medir ao que responderam, sem dificuldade, que se tratavam de ângulos

inscritos.

(I) − Então, usem esse facto para tentar encontrar uma explicação. Lembrem-se das propriedades dos ângulos inscritos.

Demos algum tempo para eles tentarem, sozinhos, fazer alguma coisa, mas surgiram

dificuldades. Os alunos referiam-se a propriedades e relações geométricas que já tinham

estudado, mas sozinhos não conseguiram estabelecer um encadeamento lógico entre elas,

pelo que a professora fez um esboço no quadro para, conjuntamente com os alunos,

encontrar uma explicação. Perguntou quais os pares de ângulos opostos que tinham no

quadrilátero e o que se podia observar quanto à sua soma, mas alguns grupos ainda tiveram

dificuldade em identificar os pares de ângulos opostos e concluiu com os alunos que

e 180ºECG EBG+ = 180ºCEB CGB+ = .

A professora viu com eles o primeiro caso e sozinhos conseguiram demonstrar o

segundo.

(P) − De que ângulos se trata? (A) − Ângulos inscritos. (P) − E como se mede a amplitude de um ângulo inscrito? (A) − É metade do arco correspondente. (P) − Qual é o arco correspondente ao ângulo ECG? (A) − GBE (P) − E o arco correspondente ao ângulo EBG? (A) − ECG

(P) − Então podemos escrever 180º2 2

GBE ECG+ = . E agora?

Sem dificuldade, os grupos concluíram que aquela soma dava 2

360 , ou seja 180º,

porque, como afirmou o Daniel: “se somarmos esses dois arcos temos toda a circunferência

126

e como os ângulos são inscritos dividimos por dois”.

Estiveram novamente presentes as funções de verificação, comunicação, explicação e

sistematização da demonstração, pois os alunos, por arrastamento, verificaram as suas

conjecturas, depois, na tentativa de encontrar explicações, foram discutidas propriedades e

relações e, finalmente, sistematizadas num encadeamento lógico.

Para justificar o segundo caso, os alunos basearam-se neste e não tiveram dificuldade

alguma. Foram cuidadosos na apresentação da demonstração e rigorosos na linguagem

matemática utilizada.

4.10. Décima Sessão

Uma vez que a sala dos computadores estava requisitada por outro professor, os alunos

resolveram, na sala normal de aula, exercícios de aplicação, do manual adoptado, com

muita pena por parte de alguns grupos, principalmente do Daniel e do Diogo que queriam a

toda a força ir para a outra sala dos computadores, mas, essa sala, era pequena e já estava

ocupada por alguns alunos. Além do mais, a maioria dos computadores não tinha leitor de

CD e, portanto, não podíamos instalar o GSP.

4.11. Décima Primeira Sessão

Esta foi a última sessão e estava prevista para o dia 27 de Abril de 2004. Contudo, tal

não foi possível por a sala não estar disponível. Para não prejudicar mais as aulas da

professora e para que os alunos trabalhassem, pelo menos, mais uma ficha de trabalho, esta

sessão decorreu fora da aula de Matemática. O facto de bastantes grupos terem aceite este

desafio, num total de 10 grupos, aparecerem 6, foi bastante positivo, demonstrando que a

maioria dos alunos estava interessada e estava a gostar da experiência.

Para esta sessão estavam previstas as fichas 10 e 11 ficando a ficha 12 para trabalho de

casa, uma vez que não era necessária a utilização do GSP, relacionadas com algumas das

propriedades e relações que se podiam estabelecer para o papagaio. Nesta ficha os alunos

127

só tinham de encontrar uma demonstração a partir das conclusões tiradas nas fichas

anteriores.

A sessão começou por não correr muito bem! Quando chegamos à sala deparamo-nos

com um “cenário terrível”! Os computadores haviam sido formatados e o GSP estava por

instalar e perdeu-se, portanto, muito tempo a instalar de novo o programa. Se não fosse o

imprevisto inicial, tínhamos conseguido realizar também a ficha 11. Ainda assim, podemos

dizer que esta aula foi bastante produtiva e correu bastante bem, também pelo facto de

estarem menos alunos. Conseguimos acompanhá-los melhor e estes empenharam-se

bastante nas tarefas.

Com a primeira tarefa da ficha 10 pretendeu-se que os alunos criassem uma custom tool

que lhes permitisse obter papagaios. Mas, como já tínhamos perdido muito tempo e como

já prevíamos que os alunos manifestassem dificuldades com uma construção, que não

desmanchasse, a investigadora optou por dar a construção e se, no final, houvesse tempo,

então, pedia aos alunos para o tentarem fazer. Pretendeu-se, então, com esta ficha que os

alunos investigassem o maior número de propriedades, não sendo dadas quaisquer

indicações acerca das propriedades que se esperava descobrir. As dúvidas começaram logo

a surgir: “O que é para fazer na segunda pergunta?”, “Não percebo o que é para fazer!”, “O

que é que são propriedades?”. Como surgiram dúvidas em todos os grupos optamos por

explicar para todos os alunos o que se pretendia. Tomando, como exemplo, o caso do

quadrado, questionamos os alunos acerca do que eles poderiam dizer acerca deste.

Começaram logo por responder:

(A) − Tem 4 lados iguais. (I) − Sim, é verdade, mas só se verifica isso? (Ninguém respondeu mais nada) (I) − O que é que podem dizer acerca dos ângulos do quadrado (A) − São iguais, respondeu o Daniel. (I) − Mais especificamente? (A) − São todos rectos. (I) − Então podemos dizer que um quadrado tem os lados geometricamente iguais e os ângulos também geometricamente iguais. E mais? O que podem dizer, por exemplo, acerca das diagonais de um quadrado? (ninguém respondeu)

Como ninguém respondia, resolvemos perguntar o que eram diagonais ao que também

128

ninguém soube responder. Depois de explicar o que eram diagonais voltamos a perguntar,

então, o que é que podiam dizer acerca das diagonais de um quadrado. Como não

conseguiram responder explicamos que as diagonais eram perpendiculares e que se

bissectavam, explicando o que queria dizer bissectar. Perguntamos se o quadrado tinha

eixos de simetria e se alguém sabia o que eram eixos de simetria. A Flávia explicou que era

um eixo de modo a ter “a mesma figura de um lado e de outro” e “ se dobrássemos a figura

as duas partes eram iguais”.

(I) − Então quantos eixos de simetria tem o quadrado, de modo que isso aconteça?

A maioria dos alunos respondeu apenas 2, esquecendo-se dos eixos de simetria que

continham as diagonais.

(I) − Então, o que estivemos a fazer foi analisar o quadrado e estabelecer algumas das suas propriedades. Agora vão fazer o mesmo para o papagaio. Vão ver se tem eixos de simetria, se existe alguma relação entre os ângulos, entre as diagonais...

Muitos grupos começaram por dizer “tem quatro lados”.

(I) − Sim, é verdade, mas isso é óbvio, não é? Trata-se de um quadrilátero, mas, existe

alguma relação entre eles?

Essa relação era referida logo no início da ficha, numa das definições possíveis de

papagaio, mas como era habitual, poucos alunos a leram. Aliás, manifestaram,

continuamente, uma resistência em ler, com atenção, todos os dados das tarefas, começando

logo a resolver as coisas sem pensar muito, preocupados em responder o mais rápido

possível às questões, quando podiam investir mais na investigação e na procura de

justificações.

(I) − E não há mais nada de relevante a dizer acerca do papagaio? Os ângulos? Existe alguma relação entre eles?

Ficamos surpreendidos quando nos dirigimos ao grupo GSP5 e a Inês, que geralmente

era a aluna mais perspicaz, nos disse que as propriedades eram “4 pontos”, “4 lados” e “4

ângulos”, mesmo depois da explicação dada anteriormente.

Depois de explicarmos novamente o que se pretendia, o grupo conseguiu chegar a

129

alguns resultados. Foi-lhes explicado que o que estavam a dizer se via de imediato,

interessava descobrir e justificar a existência de relações entre os seus lados e os seus

ângulos.

Assim, todos os grupos começaram por medir os ângulos, sem pensar muito bem no que

pretendia e sem alguma conjectura prévia, porque mediam, por exemplo, aleatoriamente, os

ângulos formados pelas diagonais e esqueciam-se dos ângulos internos do papagaio, um

deles importante para as conclusões, outros também adicionaram os ângulos opostos, talvez

por se lembrarem da ficha do quadrilátero inscrito na circunferência, mas não tiraram

conclusão alguma. Depois pedimos para traçarem as diagonais e investigarem se existia

alguma relação entre elas. O Daniel e o Diogo começaram por dizer que eram sempre

diferentes que havia uma sempre maior que a outra. Pedimos, então, no sentido de

aumentarem a sua convicção, para medirem as diagonais e para arrastarem os vértices, já a

pensar na última questão. Quanto aos eixos de simetria, facilmente viram que a diagonal

[BD] não era eixo de simetria, pois as figuras de um lado e de outro eram diferentes.

Quanto à diagonal [AC] facilmente viram que se tratava de um eixo de simetria, mas

quando questionados se tinham a certeza, disseram apenas que “parecia”, resposta habitual

do Diogo. Estes alunos baseavam muito as suas justificações na aparência visual. Tínhamos

de encorajá-los a ir mais longe, pondo em causa as suas afirmações, questionando-os,

desafiando-os.

(I) − Sim, realmente parece! Se eu pudesse dobrar a figura segundo essa diagonal dá a ideia que as duas partes coincidem, mas como é que sei? Porque é que isso acontece?

A Inês foi um pouco mais longe e disse que era porque AC era a mediatriz de [BD].

(I) − E como sabes que é a mediatriz? (A) − Porque passa no ponto médio (intersecção das diagonais). (I) − Tens a certeza que é o ponto médio? (A) − Sim, porque a distância daqui aqui é igual à distância daqui a aqui, apontando para a distância dos vértices B e D ao ponto de intersecção das duas diagonais. (I) − E sabes isso olhando só para lá? Não podemos tirar assim conclusões, só porque parece. Temos que verificar e tentar encontrar uma explicação.

130

Na sequência, mediu as distâncias e verificou que estas eram realmente iguais, mesmo

arrastando os vértices da figura, mas a investigadora insistiu,

(I) − Mas, só porque passa no ponto médio é que é a mediatriz? (A) − É também perpendicular...

Esta tarefa, de natureza mais aberta, suscitou-lhes alguma insegurança. Não estavam

habituados a este tipo de tarefas e só depois do diálogo estabelecido e de tomaram

consciência do tipo de conclusões que podiam obter é que se envolveram mais activamente

na sua resolução. Na figura 26, temos algumas das propriedades apontadas pelos grupos

GSP7 e GSP6, respectivamente.

Figura 26. Resolução da tarefa 2, da ficha 10, pelos grupos GSP7 e GSP6.

As propriedades apresentadas pelos alunos andaram à volta daquilo que tínhamos

discutido com eles aquando do exemplo do quadrado, não se aventurando mais nas usas

investigações. Podemos observar que o GSP7 apresentou as usas conclusões de uma forma

um pouco confusa, ao passo que o GSP6, apesar de só ter indicado uma propriedade, tentou

fundamentar a sua escolha.

Quanto à tarefa 3, onde tinham de tirar conclusões acerca do quadrilátero obtido a partir

dos pontos médios do papagaio, não tiveram dificuldade em concluir que era um

rectângulo. Na figura 27 podemos ver a resolução das tarefas, pelo grupo GSP7.

131

j

k

lm

l = 5,23 cm m∠BLC = 90°

BL = 4,24 cm

DL = 4,24 cm

m∠DAB = 66°m∠CBA = 93°

m = 5,23 cmk = 7,78 cmj = 7,78 cm

m∠CDA = 93°m∠BCD = 108°

2 triângulos4 lados4 pontos

o segmentoAC é eixo desimetria dafigura

AC é perpendicular aBD pois mexendotodos os pontosverifica-se sempre que

AC é mediatriz deBD.

O ponto L é oponto médio dosegmento BD pois

[IMJK] é um rectângulo.

L

B

D

A

C

Figura 27. Resolução da ficha 10, pelo grupo GSP7.

Quando questionados porque é que achavam que era um rectângulo, o caso mudou de

figura! A justificação que todos deram no início é que tinham os lados iguais dois a dois. O

Daniel e o Diogo disseram que era um rectângulo porque “este lado é igual a este e este é

igual a este...”, referindo-se aos lados opostos do mesmo.

(I) − E isso permite-vos concluir que é um rectângulo? (A) − Sim, respondeu o Diogo. (I) − Então imaginem um paralelogramo obliquângulo...

A investigadora fez-lhes ver que esse argumento também era válido para justificar que

era um paralelogramo obliquângulo. Para tal, desenhou um paralelogramo obliquângulo e

fê-los observar que também tinha os lados geometricamente iguais dois a dois e, no

entanto, não se tratava de um rectângulo.

(I) − Portanto não chega ter esses lados geometricamente iguais! O que mais caracteriza um rectângulo? (A) − Tem os ângulos também iguais, respondeu o Daniel. (I) − Sim, mas sabes dizer quanto medem esses ângulos, não sabes?! (A) − São rectos. (I) − E então? Esses são rectos?

A investigadora deixou os alunos nas suas verificações e foi ter com o grupo da Inês.

132

Estavam a concluir que não era possível obter um quadrado e foi então que a investigadora

pediu que explicassem porquê. As alunas disseram que já tinham tentado de todas as

maneiras, mas que não conseguiam. A investigadora pegou no rato e tendo o conhecimento

prévio de que as diagonais do papagaio tinham de ser geometricamente iguais, tentou, sem

lhes revelar o “segredo” chegar ao quadrado.

(I) − Vêm como é possível! Então tentem lá vocês e depois expliquem quando é que tal acontece. É que geralmente temos um rectângulo, não é?! Mas, um quadrado é um caso especial... (A) − É quando o de fora também é um quadrado! Respondeu prontamente a Flávia. (I) − Será? Não sei! Verifiquem lá...

Entretanto, o Diogo, ainda intrigado, chamou a investigadora para voltar a falar

relativamente à questão que tinha ficado pendente.

(A) − Então se tivermos os lados iguais não podemos concluir nada, mas se tivermos os ângulos rectos já podemos concluir que é um rectângulo...

A observação do Diogo foi pertinente, pois o aluno reconheceu que as figuras se

distinguem pelas suas propriedades. Depois o Daniel mostrou a construção com o quadrado

para me mostrar que já tinham conseguido obtê-lo, mas que não conseguiam explicar

quando é que isso acontecia.

A investigadora arrastou os vértices de modo a obter de novo um rectângulo e depois de

novo o quadrado, perguntando-lhes o que é que achavam que acontecia quando arrastava os

vértices, tentando arrastar de modo a que só a diagonal [AC] variasse: aumentasse ou

ficasse geometricamente igual a [BD] para observarem que o facto de ser um rectângulo ou

um quadrado dependia ou estava relacionado com as diagonais do papagaio.

A investigadora foi ter com o outro grupo enquanto eles ficaram a “pensar no assunto”.

Observou que as alunas do grupo GSP5, depois de terem “perdido” a resolução da tarefa,

tinham voltado a responder a todas as questões, mas que faltavam as justificações. Então a

investigadora começou a questionar as alunas acerca das suas respostas pois sabia que com

este grupo podia ir um pouco mais longe e com um pouco de ajuda elas conseguiam lá

133

chegar.

Quando a investigadora lhes perguntou como é que tinham concluído que se tratava de

um rectângulo deram a mesma justificação que os outros grupos e a investigadora voltou a

explicar que tal justificação não bastava e deu novamente o exemplo do paralelogramo

obliquângulo. Foi então que disseram que era porque tinham os ângulos rectos.

(I) − E porque é que são ângulos rectos? (A) − Porque tem os lados paralelos. (I) − E como sabes se os lados são paralelos? (A) − Porque é formado pelos pontos médios?! (I) − O que é que é formado pelos pontos médios? (A) − Esses lados...,respondeu, apontando para os lados do rectângulo. (I) − E isso faz com que os lados sejam paralelos?

A aluna ficou pensativa e a investigadora resolveu relembrar a ficha de revisões de

triângulos.

(I) − Lembram-se da tarefa que resolvemos logo no inicio da aulas sobre triângulos semelhantes? Vimos um exemplo de dois triângulos, um dos quais se obtinha a partir do outro unindo os pontos médios de dois lados... O que concluíram na altura? Lembram-se? (A) − Que os triângulos eram semelhantes. (I) − Então reparem aqui na figura, temos ou não triângulos semelhantes? Por exemplo, o triângulo [CAD] é semelhante ao triângulo [GHD]. O que mais é que vimos na altura? (A) − Que os lados eram paralelos e metade um do outro, respondeu a Flávia que já tinha ido buscar a ficha de trabalho para verificar.

A investigadora voltou a explicar porque é que os triângulos eram semelhantes e porque

é que podíamos tirar aquelas conclusões e voltou a perguntar porque é que podíamos então

concluir que [GH] // [EF].

A Inês conseguiu explicar porque é que os lados eram paralelos com a semelhança de

triângulos, mas isso ainda não comprovava que estávamos perante um rectângulo e a

investigadora confrontou-as novamente com essa questão ao que a aluna respondeu:

(A) − Porque os ângulos são rectos. (I) − Agora têm de tentar comprovar que realmente são rectos.

134

(A) − Porque os lados são perpendiculares. (I) − E como sabem que são perpendiculares? (A) − Temos que explicar tudo? (I) − Sim! Não podemos dizer que as coisas são verdadeiras só porque parecem!... (A) − Mas, essa é a parte mais difícil, conseguir explicar... é muita coisa... Como é que depois vamos escrever isso tudo?

Nesta altura, a investigadora e as alunas tiveram uma conversa informal sobre as aulas e

sobre a matéria, tendo as alunas confessado que nunca gostaram de geometria e que,

embora as aulas assim fossem mais interessantes, achavam que se tornava mais difícil, não

sabiam o que haviam de estudar para o teste e as aulas seriam melhores se a turma não

fosse tão barulhenta e se alguns alunos se soubessem comportar!

Os diálogos estabelecidos entre investigadora/alunos ou professora/alunos acerca das

tarefas foram muito importantes. Geraram-se, assim, discussões facilitadoras da

organização do seu próprio raciocínio e estava-se, no fundo, a “construir uma

demonstração”, que, embora orientada, foi a forma de conseguirem chegar a algumas

conclusões; estando implícita, como em situações anteriores, a função de comunicação da

demonstração, ao discutirem as ideias e ao tentarem explicar o porquê das coisas, e a

função de explicação.

Este tipo de intervenção, quer por parte da professora, quer por parte da investigadora,

tal como afirma Piteira (2002), ajuda os alunos a progredir no seu raciocínio e a reflectir de

forma mais consciente sobre a sua acção, para chegarem às conclusões, encorajando-os a

continuar a investigar e a aprofundar as suas descobertas.

Quando a investigadora regressou ao grupo GSP7, os alunos já tinham conseguido obter

o quadrado, mas não tinham encontrado nenhuma justificação. Então a investigadora

resolveu perguntar o que é que acontecia às diagonais? Mas os alunos, pelos vistos, já

tinham medido as diagonais e davam valores diferentes, o que não era suposto. Todos os

lados do quadrilátero interior mediam 7 cm, mas as diagonais, uma media 12 cm e outra 13

cm. Tal tinha a ver com definições do GSP e com as aproximações para as medidas, uma

vez que estava seleccionado o arredondamento às unidades. Quando a investigadora alterou

o arredondamento para as décimas, verificou-se que, na realidade, os lados do quadrado não

mediam 7 cm, mas sim 6,7 cm e 7,1 cm, ou seja, tratava-se de um rectângulo e daí as

135

medidas das diagonais também serem diferentes. A investigadora pediu então que

tentassem novamente de modo a verificar que as diagonais eram sempre geometricamente

iguais.

Este aspecto do GSP levou a que os alunos tivessem dificuldades na interpretação da

construção e na obtenção das conclusões pretendidas. O GSP foi facilitador na resolução

das tarefas, mas em parte foi limitador, pois o facto de terem ocorrido algumas

imperfeições nas medições foi um obstáculo na procura de relações geométricas. Este

aspecto foi mencionado por alguns alunos, nomeadamente pelo grupo GSP5, como se pode

constatar pela figura 28, onde só depois de alteradas as definições do GSP as alunas

concluíram que as diagonais teriam de ser geometricamente iguais.

w

BD = 10,6 cmAC = 10,6 cm

HE = 5,3 cmGH = 5,3 cmFG = 5,3 cmEF = 5,3 cm

m∠HEF = 90,0°m∠GHE = 90,0°m∠FGH = 90,0°m∠EFG = 90,0°

m∠ABC = 89,9°m∠DAB = 87,4°m∠CDA = 89,9°m∠BCD = 92,8°

AB = 7,7 cmDA = 7,7 cmCD = 7,3 cmBC = 7,3 cm 2. Podemos concluir que o ângulo ADC e

o ângulo ABC são geometricamenteiguais, pois estão divididos pelo eixo desimetria que é a diagonal AC e tudo oque está dum lado e de outro dadiagonal é geometricamente igual.Também podemos concluir que asdiagonais são sempre perpendiculares,pois formam sempre um ângulo de 90º.

3. o quadrilatero é um rectângulo poisos ãngulos do rectangulo formamangulos de 90º

4. sim pois por mais que arrastemos osvertices os angulos são sempre de 90º

5. podemos obter um quadrado seformos muito precisos nas medidas,sefor em milesimas não conseguimosobter mas se estiver em unidades haessa possibilidade. so quando asdiagonais tem o mesmo cumprimento éque obtemos um quadrado

AC=10,6

F

G

H

E

D

B

C

A

Figura 28. Resolução da ficha 10, pelo grupo GSP5.

Podemos observar que as alunas basearam as suas justificações no arrastamento, ou

seja, da relação que se mantinha através da manipulação, afirmando que “por mais que

arrastemos os vértices, os ângulos são sempre de 90º”. E, apesar de terem discutido com a

investigadora as justificações para esse facto, tiveram dificuldades em exprimi-las,

acabando por não proceder ao seu registo.

Entretanto, como alguns grupos estavam com dificuldades e não conseguiam chegar às

136

conclusões, foi-lhes pedida a construção do papagaio, inicialmente prevista, que talvez os

motivasse mais! É claro que, influenciados pela figura da ficha, começaram por marcar os 4

vértices, uniram-nos e arrastaram os vértices de modo a ter os lados consecutivos

geometricamente iguais. A investigadora fez ver aos alunos que, ao arrastar um dos

vértices, essa propriedade tinha de se manter e como eles estavam a fazer a construção isso

não acontecia. Assim, foi-lhes pedido que pensassem nas propriedades do papagaio e que

tentassem novamente. Mais uma vez não conseguiram e foi então que a investigadora

enfatizou que as propriedades que tínhamos analisado anteriormente tinham de continuar a

manter-se, como, por exemplo, o facto das diagonais serem perpendiculares, para ver se

lhes ocorria começar a construção pelas diagonais. Só um grupo é que conseguiu chegar a

uma possível construção, começando exactamente pelas diagonais.

Entretanto o grupo GSP7 estava a começar a ficha 11, mas como faltava pouco tempo

para acabar a aula foi-lhes pedido para justificarem melhor as suas opções pois esta ficha,

bem como a 12, iriam ser sugeridas para trabalho de casa.

Estas tarefas envolveram propriedades de triângulos semelhantes, das quais os alunos se

deviam lembrar, pois já tinham sido estudadas no 8º ano e recordadas numa das fichas de

revisão. O seu não reconhecimento dificultou a procura de justificações. Todavia, é de

salientar que, apesar das tarefas desta sessão serem consideradas mais difíceis, os alunos

mostraram-se entusiasmadíssimos e empenhados na sua resolução. O facto de tentar

descobrir mais qualquer coisa e fazer com que tudo batesse certo, agarrou-os ao

computador e ao desejo de quererem fazer mais, como foi o caso do grupo GSP7, que mal

acabou a ficha 10, quis logo outra para resolver.

137

C A P Í T U L O V

AVALIAÇÃO DA EXPERIÊNCIA

Neste capítulo vamos dar a conhecer como é que os alunos e a professora da turma

viveram e sentiram a experiência, recorrendo às suas opiniões expressas através de dois

inquéritos e uma entrevista.

Os dados relativos às atitudes dos alunos em relação à Geometria e às suas concepções

no que concerne à demonstração foram obtidos através das respostas a um questionário que

foi passado aos alunos no início e no final da experiência. Os dados relativos à apreciação

global da experiência foram obtidos a partir de um questionário que foi passado aos alunos

no final da experiência e de uma entrevista à professora da turma, também no final da

experiência.

5.1. Ideias e atitudes dos alunos acerca da Geometria e da demonstração.

O primeiro questionário era constituído por três partes, num total de 39 questões e foi

passado em dois momentos diferentes, no início e no final da experiência. A primeira parte

teve como principal finalidade a caracterização da turma e ter conhecimento da experiência

dos alunos com o computador e, eventualmente, com algum programa informático de

matemática. A segunda parte do questionário, parte B, constituída por 17 questões, teve

como propósito analisar as atitudes dos alunos face à Geometria e ao seu ensino.

A terceira parte do questionário, parte C, constituída por 7 questões de natureza aberta,

teve como objectivo verificar se os alunos já tinham tido algum contacto com a

demonstração e que ideias tinham acerca da mesma.

A análise dos questionários foi feita em termos percentuais. Nessa análise, a opção

139

140

“Concordo” surgiu da junção das opções “Concordo parcialmente” e “Concordo

totalmente”, bem como a opção “Discordo” surgiu da junção das opções “Discordo

parcialmente” e “Discordo totalmente”. A opção “Raramente” surgiu da junção das opções

“Raramente” e “Nunca” e a opção “Frequentemente” da junção das opções

“Frequentemente” e “Sempre”. Vão ser apenas apresentados os dados alusivos às partes B e

C, uma vez que a primeira parte diz respeito à caracterização da turma e foi apresentada no

capítulo da metodologia.

5.1.1. Atitudes face à Geometria

No que diz respeito à visão que os alunos têm da Geometria, podemos dizer que mais de

metade tem uma visão favorável acerca da mesma. Uma percentagem significativa de

alunos diz gostar de estudar geometria, mas essa percentagem desce drasticamente quando

se trata de resolver problemas no seu âmbito e no que concerne à sua importância nas suas

vidas actuais e futuras, opinião que se volta a manifestar nas questões que dizem respeito à

importância da geometria no mercado de trabalho, como se pode observar na tabela 4.

Apesar de não concordarem com a importância da geometria na sua formação,

reconhecem, principalmente no segundo momento, que esta lhes será útil, e que é

necessária para as situações do dia-a-dia, uma vez que a maioria, 55,6%, discorda com o

facto de a geometria que estudam não lhes vir a servir de nada e 51,9% dos alunos concorda

que as situações do dia-a-dia exigem conhecimentos de geometria. Esta mudança pode estar

relacionada com o tipo de tarefas realizadas e com o recurso ao computador, visto

considerarem-no “fundamental para o futuro”. No entanto, contradizem-se um pouco

quando confrontados com a necessidade da geometria na maioria dos empregos, onde, no

segundo momento, apenas 25,9% concorda com a afirmação.

Tabela 4. Atitudes dos alunos face à Geometria.

Frequência (%) 1.º Momento 2.º Momento

Questão D C SO D C SO1.Gosto de estudar geometria 2. Gosto de resolver problemas de geometria 3.Aprender geometria é muito importante para a minha formação 4. A geometria que estudo não me vai servir de nada 5. Como a arte e a música, a geometria é também criativa 6. A geometria ajuda a compreender o mundo em que vivemos 7. Todos os alunos podem aprender geometria desde que bem ensinada 8. A geometria é difícil 9. A geometria tem pouco interesse 10. As situações do dia-a-dia exigem conhecimentos de geometria 11. A maioria dos empregos não exige conhecimentos de geometria 12. A geometria proporciona uma visão diferente da matemática 13. Quando estudo geometria posso investigar, experimentar e explorar relações

18,544,425,944,47,4 –

7,4 18,529,611,125,911,111,1

63,033,337,022,277,866,788,933,337,044,437,051,951,9

18,522,237,033,314,833,33,7 48,133,344,437,037,037,0

29,644,437,055,614,87,4 –

18,540,711,114,814,811,1

59,329,618,522,255,659,374,155,629,651,925,951,963,0

11,125,944,422,229,633,325,925,929,637,059,333,325,9

D – Discordo, C – Concordo, SO – Sem Opinião.

É também de realçar que mais de metade considerou que a geometria, tal como a

música e a arte, é criativa e ajuda a compreender o mundo em que vivemos. Propicia, ainda,

outra visão da matemática onde podem investigar, experimentar e explorar relações.

No segundo momento os alunos passaram a ver a geometria como sendo mais difícil e

também mais difícil de aprender, mesmo que bem ensinada, devido, talvez, às muitas

dificuldades que sentiram ao longo da experiência. Mas, apesar das muitas dificuldades

sentidas e de um aluno ter passado a gostar menos de geometria e de resolver problemas de

geometria, pudemos constatar que a maioria dos alunos continuou a gostar de geometria.

Inclusive, na resposta ao segundo questionário, um dos alunos confessou ter começado a

gostar mais de matemática, e a percentagem de alunos que discorda com o facto da

geometria ter pouco interesse subiu de 29,6% para 40,7%, o que nos leva a crer que a

experiência se traduziu em alguma melhoria de atitudes.

A maioria dos alunos também reconhece a sua importância no mundo em que vivemos e

que, a nível de sala de aula, pode proporcionar actividades tão importantes e tão ricas como

a investigação, a experimentação e a exploração.

No que diz respeito à questão 14, a maioria dos alunos, quer no primeiro momento quer

no segundo, 59,3% e 66,7%, respectivamente, dizem conhecer situações do dia-a-dia onde

a geometria é necessária, sendo as mais mencionadas a construção civil e a arquitectura,

como se pode ver na tabela 5, talvez influenciados pelas tarefas das fichas 6 e 7,

Construção do aeroporto I e II.

É de salientar um dos alunos que, no segundo momento, respondeu que a geometria é

necessária “em tudo o que vemos”. Pendurar um quadro, conduzir um carro, na geografia,

na astronomia, vedar um terreno ou uma casa, foram algumas das outras situações a que os

alunos fizeram referência.

142

Tabela 5. Situações do dia-a-dia em que seja necessária a Geometria.

Frequência (%) Questão 14. Conheces alguma situação da vida real em que seja necessária a Geometria? Se sim, indica algumas.

1.º Momento 2.º Momento

Arquitectura Construção civil Docência Engenharia Cálculo de áreas Outras

11,1 14,8 7,4 7,4 11,1 14,8

22,2 37,0 7,4 3,7 –

14,8

Na questão 15 constatamos que os alunos não tinham tido experiências anteriores com o

computador na aula de Matemática. Apenas um dos alunos mencionou ter utilizado o

computador para fazer trabalhos, mas não sabemos se foi durante o decorrer da própria

aula.

Depois da experiência de ensino é de salientar uma percentagem assustadora de alunos,

26%, que afirmou nunca ter utilizado o computador na aula de Matemática. Não sabemos

se tal resposta foi devida à falta de empenho dos alunos em responder ao questionário, se

pelo facto de, para alguns, matemática e geometria serem coisas diferentes. Na aula de

revisões, o Diogo, achou que a investigadora não podia ajudar o colega Daniel, que tinha

solicitado a sua ajuda, na resolução de inequações, porque era professora de Geometria e

não de Matemática! Os restantes 74,1% referiram-se ao estudo da geometria, sendo que,

destes, 14,8% referiu-se especificamente ao estudo da circunferência, apesar de outros

assuntos terem sido abordados.

Na questão 16, quando questionados sobre se gostavam de utilizar o computador no

estudo de geometria, a percentagem de alunos favorável a esta situação diminuiu depois de

realizada a experiência, como se pode constatar pela tabela 6.

143

Tabela 6. Razões para a utilização do computador nas aulas de matemática.

Frequência (%) 1.º Momento 2.º Momento

Questão 16. Gostavas de, na aula de Matemática, utilizar o computador no estudo da geometria? Indica algumas razões. Sim Não Sim Não Utilização do computador na aula de Matemática Razões apontadas

Justificações relacionadas com a aprendizagem Justificações relacionadas com a utilização do

computador Outras justificações Não justificou

96,3

85,2

29,6 37,0 3,7

3,7 – – – –

66,7

37,0

14,8 –

22,2

33,3

11,1

3,7 –

18,5

Antes de começarmos a experiência, a grande maioria dos alunos, à excepção de um,

gostava de utilizar o computador, 96,3%, estando as principais razões centradas em redor

da aprendizagem e da utilização do mesmo. Os alunos referiram-se a uma melhor

aprendizagem, mais fácil, mais estimulante e mais interessante. Falaram ainda do trabalho

com o computador e da sua importância no dia-a-dia porque, como fizeram referência,

“estamos no século XXI” e “para o futuro é fundamental”.

Depois da experiência, alguns alunos mudaram de opinião devido, essencialmente, ao

facto de considerarem que com o computador a aprendizagem se tornou mais difícil e terem

tido mais dificuldades na compreensão da matéria, e também por terem baixado a nota,

como referiram alguns alunos: “baixei a minha nota e agora está a ser difícil levantá-la”.

Pensamos que esta última razão contribuiu significativamente para a sua visão menos

positiva relativamente à experiência, embora não consideremos que teve directamente a ver

com ela, pois, segundo a professora, geralmente quando se chega a esta unidade os alunos

sentem mais dificuldades e, uma vez que acham a geometria muito difícil, “a primeira

reacção nunca é boa, acham sempre que não vão conseguir”. Ainda assim, 66,7% dos

alunos gostaria de utilizar o computador na aula de Matemática.

Como podemos observar na tabela 7, os alunos são favoráveis ao uso de novas

metodologias de ensino, como a utilização do computador e a realização de trabalhos de

grupo.

144

Tabela 7. Metodologias preferidas para a aprendizagem da geometria.

Frequência (%) Questão 17. De entre os vários métodos para aprender geometria, indica, por ordem, os três que mais preferes. 1.º Momento 2.º Momento1. Exposição da matéria pelo professor 2. Resolução de problemas de situações reais 3. Utilização de materiais manipuláveis 4. Construções com régua e compasso 5. Resolução de exercícios do livro 6. Utilização do computador 7. Realização de trabalhos de grupo 8. Exploração de actividades de investigação 9. Organização de debates para discutir ideias 10. Realização de jogos didácticos 11. Outros

22,2 22,2 7,4 22,2

– 74,1 63,0 22,2 14,8 55,6

–

37,0 33,3 7,4 18,5 22,2 55,6 48,1 7,4 29,6 22,2

–

De entre os vários métodos exemplificados para aprender geometria, antes da

experiência, a grande maioria dos alunos escolheu a utilização do computador, 74,1%, a

realização de trabalhos de grupo, escolhida por 63% dos alunos, e a realização de jogos

didácticos, seleccionada por 55,6% dos alunos, talvez por serem métodos pouco utilizados

nas aulas habituais e sentirem algum interesse e curiosidade. No entanto, estas

percentagens, com o decorrer da experiência, alteraram-se e, apesar de os alunos

continuarem a preferir a utilização do computador, 55,6%, e a realização de trabalhos de

grupo, 48,1%, a exposição da matéria pelo professor e a resolução de exercícios do livro

para praticar práticas aumentou claramente, talvez por alguns alunos se sentirem inseguros

com a experiência e se sentirem mais à vontade com este tipo de abordagem mais

tradicional.

Ao longo da experiência, alguns alunos, confidenciaram estar com receio dos resultados

por não saber o que estudar para o teste de avaliação, havendo mesmo quem tivesse

mencionado que a utilização do computador não tinha facilitado a descoberta e a

compreensão dos conceitos porque “não conseguia decorar” e que “se fossem utilizadas as

metodologias usuais conseguiriam aprender melhor”.

145

5.1.2. Concepções acerca da demonstração

Nesta parte do questionário, começamos por perguntar aos alunos como é que sabiam se

resolviam bem um exercício de matemática. Como podemos comprovar pela tabela 8, os

alunos dependem muito de apoio exterior. Uma grande percentagem consulta a professora

ou os colegas, como disse uma aluna: “pergunto à Inês, que é a melhor aluna da turma”.

As outras respostas incidiram sobre a consulta das soluções e sobre a espera pela

correcção. Podemos ainda constatar que com a experiência essa consulta diminuiu, embora

continuassem a solicitar a nossa ajuda e a dos colegas, a “verificação” e a “lógica” subiram

um pouco. Esta subida, ainda que não muito elevada, neste nível de ensino e com as

dificuldades destes alunos, deve ser considerada em termos de mudança das suas

perspectivas acerca da demonstração.

Tabela 8. Formas de se certificar da correcta resolução de exercícios ou problemas.

Frequência (%) Questão 1. Quando resolves exercícios ou problemas de matemática como sabes que os resolveste bem?

1.º Momento 2.º Momento

Consulta alguém (professora/colegas) Consulta o livro/caderno Não sabe se está bem Consulta as soluções Espera pela correcção Verifica Se não tiver dificuldades a resolvê-lo Pela lógica Outras justificações

48,1 11,1 18,5 25,9 22,2 7,4 –

3,7 11,1

37,0 7,4 14,8 3,7 14,8 33,3 7,4 14,8 3,7

Relativamente à questão 2, pela tabela 9, podemos observar que muitos alunos não

sabem/não reponderam à questão.

146

Tabela 9. Como ter a certeza de que uma propriedade é verdadeira.

Frequência (%) Questão 2. Recorda a propriedade dos triângulos: Em qualquer triângulo, a soma das amplitudes dos seus ângulos internos é 180º. Como podes ter a certeza que esta propriedade é sempre verdadeira?

1.º Momento 2.º Momento

Não sabe/não respondeu Medindo/somando todos os ângulos É uma propriedade Verificando O conjunto dos ângulos forma um ângulo raso Nunca é verdadeira Não pode haver um triângulo com mais de 180º Outras respostas

37,0 3,7 – –

14,8 14,8 18,5 14,8

44,4 25,9 11,1 18,5

– – –

3,7

No primeiro momento os alunos deram respostas muito variadas, sendo a mais

frequente a simples repetição da propriedade: “os ângulos num triângulo não podem medir

mais de 180º”. Os alunos dizem poder ter a certeza de que a propriedade é verdadeira

voltando a resolver o problema ou porque foi ensinado assim ou porque o professor disse,

ou “esticando os ângulos”. Também houve quem tenha duvidado da veracidade da

afirmação e que tenha dito que a propriedade nunca era verdadeira!

É de salientar que, depois da experiência, a verificação faz parte das justificações e o

medir/somar todos os ângulos, que não é mais do que uma verificação, aumentou um

pouco. Alguns alunos também reconheceram que o facto de ser propriedade já é condição

para ser verdadeira, 11,1%. Mesmo tratando-se de uma pequena percentagem de alunos,

este resultado traduz alguma alteração positiva em relação ao momento anterior à

experiência.

No que diz respeito ao número de alunos que já ouviu falar em demonstração, questão

3, a percentagem aumentou, de 7,4% para 40,7%. Ainda assim, 59,3% dos alunos diz nunca

ter ouvido falar, talvez porque esta questão foi mais aprofundada nos grupos com menos

dificuldades e mais avançados nas tarefas.

Quanto às funções da demonstração, expressas na questão 4, podemos apurar, a partir

da tabela 10, que, no segundo momento, as percentagens aumentaram expressivamente,

147

principalmente no que diz respeito às funções que mais trabalharam na experiência: a

verificação, a explicação, a descoberta e a comunicação. Não foi feita ponderação, uma vez

que os alunos revelaram algumas dificuldades na resposta a esta questão, não tendo, a

maioria, hierarquizado as opções. Para alunos desta faixa etária, talvez tivesse sido mais

significativo ter solicitado apenas três opções, sem hierarquizar.

Tabela 10. Funções da demonstração.

Frequência (%) Questão 4. De entre as afirmações que se seguem, escolhe, por ordem de preferência, as que, na tua opinião, estão mais correctas?

1.º Momento 2.º Momento

1. A demonstração serve para verificar se uma afirmação matemática é verdadeira 2. A demonstração serve para explicar porque é que uma afirmação matemática é verdadeira. 3. A demonstração serve para descobrir e inventar novos resultados. 4. A demonstração serve para transmitir conhecimento matemático. 5. A demonstração serve como desafio intelectual, onde há uma gratificação resultante da construção de uma demonstração. 6. A demonstração serve para organizar os vários resultados num sistema de axiomas e teoremas.

51,8

59,3

59,3

77,8

59,3

44,4

81,5

88,9

85,2

85,2

63,0

44,4

Quando, na questão 5, foi pedido aos alunos para tentarem explicar por palavras suas o

que é demonstrar, a maioria dos alunos, como podemos contemplar na tabela 11, quer no

primeiro, quer no segundo momento, respondeu mostrar, expor ou dar a conhecer algo.

Contudo, é de realçar que, no segundo momento, as respostas foram mais variadas,

havendo referência a algumas funções da demonstração, como a verificação e a explicação,

tendo a explicação sido indicada por 37% dos alunos, o que é uma percentagem satisfatória

de alunos que consegue ver a demonstração como algo mais do que “mostrar” ou “dar a

conhecer”.

148

Tabela 11. Definição de demonstração.

Frequência (%) Questão 5. Explica por palavras tuas o que é demonstrar. 1.º Momento 2.º MomentoMostrar /expor/ dar a conhecer Explicar alguma coisa Verificar Provar Dar exemplo de alguma coisa Não sabe/não respondeu

55,6 7,4 –

3,7 –

37,0

40,7 37,0 18,5 11,1 3,7 18,5

Quando questionámos os alunos se gostariam de ser eles próprios a descobrir

propriedades e relações geométricas como um verdadeiro matemático, questão 6, quer no

primeiro quer no segundo momento, a maioria dos alunos respondeu que não gostaria,

55,6% e 59,3% respectivamente. No segundo momento, apenas um aluno não respondeu à

questão e os restantes 37% afirmaram que gostariam de o fazer. As principais razões

apontadas pelos alunos encontram-se discriminadas na tabela 12, havendo uma grande

percentagem de alunos que não justificou a sua opção.

Dos alunos que responderam sim, houve aqueles que falaram do “maravilhoso” e do

“fascinante” que é “descobrir algo novo”. Os alunos que responderam não, apoiaram-se no

facto de não gostarem de matemática ou não serem capazes.

No segundo momento, referiram-se à dificuldade em explicar os resultados: “não tenho

muito jeito para explicar como obtive o resultado”, estando aqui presente a descoberta

associada à explicação, actividades exploradas ao longo da experiência, onde os alunos

tiveram, muitas vezes, de explicar resultados e onde, realmente, sentiram muitas

dificuldades em o fazer. “Ser considerada uma pessoa inteligente” ou “ser admirada pelos

meus pais” ou “estar na posição de professor”ou “exercitar a mente”, foram algumas das

outras justificações que os alunos deram para gostar de serem eles próprios a descobrir

propriedades e relações geométricas como um verdadeiro matemático.

149

Tabela 12. Razões para trabalhar como um verdadeiro matemático.

Frequência (%) Questão 6. Gostavas de ser tu a descobrir propriedades e relações geométricas como um verdadeiro matemático? Indica algumas razões.

1.º Momento 2.º Momento

Razões apontadas para o sim Gostar de Matemática Ser mais interessante Haver muito por descobrir Descobrir algo novo Ajudar os outros Ser fascinante Outras justificações

Razões apontadas para o não Não gostar ou não se interessar por matemática Não perceber ou não ser capaz Não saber o que é demonstrar Não conseguir explicar os resultados

3,7 11,1

– 3,7 7,4 –

14,8

7,4 11,1 3,7 –

3,7 11,1 7,4 11,1

– 3,7 7,4

18,5 3,7 –

11,1

Com a questão 7, pretendíamos ir um pouco mais longe na questão na demonstração,

mas, como podemos aferir da tabela 13, os resultados não foram muito animadores,

principalmente no que diz respeito ao segundo momento.

Tabela 13. Demonstração de que a soma das amplitudes dos ângulos internos de um qualquer paralelogramo é 360º.

Frequência (%) Questão 7. Uma das propriedades dos paralelogramos é: A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer paralelogramo é 360º. Consegues mostrar porque é verdadeira?

1.º Momento

2.º Momento

Não respondeu Não consigo/não sei Somando todos os ângulos, obtém-se 360º. Um paralelogramo pode dividir-se em dois triângulos. Outras respostas

59,3 18,5 7,4 3,7 14,8

66,7 7,4 11,1 14,8

–

150

Esperávamos que, depois de terem trabalhado os temas de geometria e termos insistido

nas justificações, os alunos conseguissem dizer algo mais do que “não sei” ou “não

consigo”, ou, simplesmente, não tentaram por se tratar da última questão ou porque tinham

de pensar um bocadinho, e, como referiu a professora, isso “dava muito trabalho!”. E,

portanto, os 66,7% de alunos que não respondeu a esta questão demonstra falta de

empenho, pelo menos na resposta a esta questão.

As poucas respostas centraram-se à volta da verificação: “somando todos os ângulos

obtemos 360º”, sem tentarem, tal como ocorreu muitas vezes durante a experiência,

encontrar uma justificação lógica. Esteve também implícita uma das propriedades dos

quadriláteros, citando um dos alunos: “um paralelogramo dividido ao meio dá 2 triângulos.

Por isto, como um triângulo tem na soma dos seus ângulos 180º, a soma dos 2 vais dar

360º. ”. Demonstra um raciocínio correcto, mas o que se pretendia não era

uma justificação para a soma das amplitudes dos ângulos internos do paralelogramo, mas

sim dos seus ângulos externos.

180 2 360× =

Outro aluno justificou a propriedade da seguinte forma: “se juntarmos os ângulos a, b, c

e d dá-nos um ângulo giro, portanto um ângulo de 360º”. Embora esteja aqui subentendida

apenas a ideia de verificação, o esquema do aluno, (figura 29), leva-nos a crer que talvez

tenha percebido mais qualquer coisa. Leva-nos a crer que tenha percebido a relação de

igualdade entre os diferentes pares de ângulos, que, aliás, alguns alunos reconheceram e o

referiram nas suas justificações: “é verdade porque c a= e b d= ”, e que esteja também

subjacente a ideia de Fischbein (1990) sobre a abordagem intuitiva à soma dos ângulos

externos de um polígono.

Figura 29. Esquema de demonstração apresentado por um aluno.

151

Apesar das poucas respostas a esta questão, pôde verificar-se que, no segundo

momento, os alunos tentaram fundamentar melhor as suas respostas, ao passo que no

primeiro momento limitaram-se a dizer que não conseguiam ou a justificarem com base em

algumas observações como, por exemplo, que a e c eram ângulos agudos e que b e d eram

ângulos obtusos ou, até mesmo, que não era verdadeira. Este tipo de resposta não é tão

invulgar quanto isso, podendo resultar da falta de concentração ou de dificuldades de

compreensão ou interpretação.

5.2. Apreciação global sobre a experiência

Com o segundo instrumento pretendemos fazer uma apreciação global sobre o modo

como decorreu a experiência, a partir das opiniões dos alunos em relação aos vários

aspectos do ensino e aprendizagem dos assuntos abordados.

5.2.1. Apreciação sobre as aulas de Geometria

A maioria dos alunos fez um balanço positivo da experiência e concordou que a

metodologia adoptada estimulou a aprendizagem, 74,1%, mas essa percentagem não é tão

significativa no que concerne ao auxílio da mesma, 44,4%.

A grande maioria concordou que o trabalho de grupo contribuiu para a discussão de

ideias, 81,5%, que as aulas com recurso ao GSP foram mais motivadoras, 63%, e que

trouxe mais vantagens do que desvantagens, 63% contra 48,1%.

Na tabela 14 podemos observar os dados relativos às respostas dos alunos quanto ao

decorrer da experiência.

152

Tabela 14. Apreciação global sobre a experiência.

Frequência (%) Questão D C SO 1. A metodologia adoptada (trabalho de grupo, tarefas de investigação e exploração, utilização do computador e do GSP,...) estimulou a aprendizagem. 2. A metodologia adoptada (trabalho de grupo, tarefas de investigação e exploração, utilização do computador e do GSP,...) facilitou a aprendizagem. 3. A utilização do computador e do GSP facilitou a descoberta e a compreensão dos conceitos. 4. O trabalho de grupo contribuiu para a discussão de ideias. 5. Ao longo do trabalho das aulas surgiram muitas dificuldades. 6. As aulas de geometria, com recurso ao computador e ao GSP, foram motivadoras. 7. Trabalhar nas aulas com o computador e o GSP trouxe vantagens. 8. Trabalhar nas aulas com o computador e o GSP trouxe desvantagens.

7,4

29,6

14,8

11,1 11,1

18,5

14,8

22,2

74,1

44,4

40,7

81,5 77,8

63,0

63,0

48,1

18,5

25,9

44,4

7,4 11,1

18,5

22,2

29,6

D – Discordo, C – Concordo, SO – Sem Opinião.

Os alunos que discordaram das duas primeiras afirmações pronunciaram-se,

basicamente, acerca da falta de tempo para se adaptarem ao programa – “discordo

parcialmente, porque não tivemos tempo para nos adaptarmos ao programa”, de “alguma

brincadeira” por parte de alguns alunos e do barulho que daí adveio – “acho que foi um

bom método de aprendizagem, mas em algumas turmas, acho que o barulho não ajudou”, e

de ser uma turma grande e não haver um computador por aluno – “cada aluno devia ter um

computador”e “as aulas seriam mais produtivas com menos gente”.

Houve também quem tenha feito referência às desvantagens do trabalho de grupo –

“num grupo enquanto uns trabalham outros não fazem nada, por isso, prefiro o trabalho

individual”, opinião que contrasta com a maioria dos alunos que viram no trabalho de

grupo algo de muito positivo e vantajoso. A maioria viu o trabalho de grupo como sendo

153

propício à sua aprendizagem, pois podiam dar opiniões, discutir pontos de vista e esclarecer

dúvidas: “Concordo totalmente porque, o trabalho de grupo, ajudou-nos melhor a

compreender do que se estivéssemos sozinhos”.

Um dos problemas com que nos deparámos, ao longo da experiência, foi com a

dificuldade em apoiar adequadamente todos os alunos e a confusão instalada que daí

adveio, a qual foi também partilhada por um dos alunos que justificou a sua opinião

dizendo: “com o decorrer das aulas mudei de opinião em termos de facilitar, acho que com

menos gente era mais produtivo”.

Os que concordaram com estas duas primeiras afirmações referiram-se, essencialmente,

ao facto de aprender a trabalhar com o computador. A importância que hoje em dia se dá ao

computador e à diversidade de metodologias de ensino está patente na justificação do

seguinte aluno, quando diz que concorda com a afirmação porque “é uma maneira diferente

de aprender matemática, aprendendo também a manobrar o computador que para o futuro é

fundamental”. A “rejeição” do tradicional método expositivo lê-se na afirmação: “porque

eu acho que é muito mais interessante termos uma aula prática, ao invés de uma aula

teórica. Como tal acho que é um estímulo para a aprendizagem”. Houve também quem se

tenha referido ao facto de ter facilitado a aprendizagem, mas em menor número. Por

exemplo, um aluno, referindo-se às vantagens deste tipo de metodologias e à questão da

demonstração, afirmou que “é mais fácil compreender algo, o qual podemos “tocar” e não

como na teoria que tudo funciona como um plano, e sendo as demonstrações mais difíceis”,

indo de encontro à analogia de De Villiers (1996a) com a aula de culinária, onde o

importante não é o “produto acabado”, mas sim como chegamos a ele. Apesar da nossa

dificuldade em dar resposta a todas as solicitações, houve quem tenha concordado

totalmente que a metodologia adoptada tenha facilitado a aprendizagem porque “a ajuda era

muito maior”. Apesar da ajuda ser maior, também houve quem considerasse que este tipo

de metodologias lhes tenha permitido ser mais autónomos. Um dos alunos disse, ainda, que

concordava com as afirmações porque tinha aprendido “coisas que antes não sabia”.

Relativamente à terceira questão, muitos dos alunos não expressaram a sua opinião nem

a fundamentaram. Os alunos que não sentiram que o computador e o GSP tenham facilitado

a compreensão dos conceitos estiveram mais interessados no computador do que na matéria

154

e, curiosamente, houve quem tenha referido que “não conseguia decorar”, o que mostra a

sua dependência dos métodos tradicionais e a não ruptura com os mesmos. Alguns alunos

voltaram a fazer referência às dificuldades sentidas no computador.

A afirmação relativa ao trabalho de grupo recebeu a concordância da grande maioria

dos alunos, 81,5%. Os alunos mencionaram, essencialmente, a troca e discussão de ideias:

“concordo totalmente porque no grupo quase todas as pessoas tinham ideias diferentes e

então assim todas podíamos aprender e dar a nossa opinião”, “como se costuma dizer “duas

cabeças a pensar é melhor do que uma”. Para além disso, faz com que todos nós possamos

mostrar a nossa opinião e raciocínio”. Mencionaram também a inter-ajuda entre os colegas:

“sim, porque algumas eu não sabia e as outras colegas explicavam”.

Houve também quem se referisse à questão da autonomia, um dos nossos propósitos:

“houve sim discussão de ideias e isso é bom porque podemos reflectir sobre o tema sem

estar sempre a pedir ajuda ao professor”.

No que diz respeito às dificuldades, estas foram também sentidas por uma elevada

percentagem de alunos, 77,8%, referindo-se, essencialmente, ao facto de não saberem ou

não conseguirem resolver as tarefas, ao funcionamento do programa e ao pouco tempo

disponível para aprender.

Neste sentido, o GSP, em vez do papel facilitador e mediador que a maioria dos autores

lhe atribui, pode ser limitador no processo de aprendizagem pois o não domínio desta

ferramenta de trabalho ou o “não à vontade” pode fazer com que se sintam inseguros e que

o progresso não se faça sentir. Os alunos devem conhecer minimamente as funções do

programa para não se perderem com questões técnicas e para dedicarem mais tempo ao

estudo dos conteúdos. Alguns alunos referiram também o facto de “não saber como agir

perante o trabalho”, o que demonstra falta de autonomia e capacidade de decisão.

É verdade, principalmente no início da experiência, que mal entregávamos as fichas de

trabalho, já estavam a chamar por nós para saberem o que era para fazer e como, quando

alguns ainda nem sequer tinham lido o enunciado. Mas, também houve quem admitisse que

as dificuldades sentidas eram “naturais”, por se tratar de uma “experiência nova” e não se

poder “fazer tudo a primeiro momento”, enquanto outros se referiram ao facto de não se

terem adaptado à forma de dar as aulas. Dos poucos alunos que afirmaram não ter sentido

155

dificuldades, um deles assegurou que “com o GSP as dificuldades eram explicadas”,

estando aqui presente o papel facilitador do GSP na resolução das tarefas.

Também uma percentagem expressiva de alunos, 63%, achou que o recurso ao

computador e ao GSP motivou o funcionamento das aulas, referindo-se fundamentalmente

a uma maneira diferente de aprender. Um dos alunos disse ter ficado bastante surpreendido,

pois nunca pensou que seria assim, já outro considerou que as aulas com o professor no

quadro também são motivantes, mas reconhece que é “mais difícil prestar atenção aos

conceitos, porque nós só nos preocupamos em fazer os trabalhos e não a compreende-los”,

voltando a estar aqui subjacente a questão da memorização/compreensão e da participação

menos activa por parte dos alunos.

No que diz respeito às vantagens e desvantagens da utilização do computador e do GSP,

uma percentagem significativa de alunos considerou ter havido quer vantagens, quer

desvantagens, apesar dessa percentagem ter sido um pouco superior no que diz respeito às

vantagens, 63%.

As principais vantagens citadas pelos alunos foram o estímulo, a facilidade de

aprendizagem, o facto de trabalhar com o computador e a alusão à inegável realidade destes

serem essenciais para a futura integração na sociedade em que vivemos, o que está bem

patente, por exemplo, numa das respostas que apontou como vantagem o “conhecimento de

um novo programa informático e a aprendizagem do mesmo; o facto de trabalhar mais com

computador é bastante vantajoso pois os computadores são o futuro”.

Houve também quem se tenha referido a algumas das vantagens características deste

tipo de programas, o ser “mais fácil fazer experiências” e o facto de que “com o

computador foi tudo mais rápido”. O “aprender o sentido das coisas” e o “saber aplicar a

matemática” foram outras vantagens pedagógicas que pretendíamos com este tipo de ensino

e que também foram apontadas por alguns alunos. O “aprender o sentido das coisas” e o

“saber aplicar” é essencial num ensino que se pretende renovado e que vá ao encontro das

actuais orientações curriculares. Felizmente, alguém confessou ter começado a gostar mais

de matemática, e só por isso valeu a pena.

No que diz respeito às desvantagens, as principais indicadas foram o barulho e as

dificuldades sentidas, quer a nível de aprendizagem, quer a nível do trabalho com o

156

computador pelo que, alguns alunos atribuíram à geometria e à experiência o facto de terem

tirado notas mais baixas ou terem tido negativa. Estranhamente, um aluno mencionou que

com o computador e o GSP “não aprendíamos com os nossos erros, era só seguir as

instruções”. Dizemos estranhamente porque, apesar do GSP ter um papel facilitador e ser

um bom auxiliar na resolução das tarefas, este não as resolve por nós e temos de ser nós a

dar-lhe as instruções.

Em situações futuras, a grande maioria, 85,1%, dos alunos gostaria de voltar a utilizar o

computador, opinião expressa na questão 9, onde apenas um aluno não respondeu à

questão. Nenhum dos alunos concordou com “utilizar sempre o computador na sala de

aula”. Como diz o provérbio, e citado por um dos alunos, “nem 8, nem 80”. No entanto, já

houve um aluno que confessou que “gostaria de nunca mais utilizar o computador” porque

não tinha percebido a matéria. Dois alunos escolheram utilizar raramente o computador,

48,1% dos alunos gostava de o utilizar apenas algumas vezes e 37% dos alunos gostava de

o utilizar frequentemente.

Os alunos que gostavam de utilizar o computador com alguma frequência apontam a

sua importância para o futuro como principal razão. Alguns mencionaram o estímulo e a

facilidade de aprendizagem, mas em menor escala. Citando um dos alunos: “com o

computador penso que a aprendizagem se torna mais fácil, e também o uso do computador

faz parte do desenvolvimento do ensino”, o que vai ao encontro das actuais orientações. O

aluno tem consciência que a escola tem de se adaptar às novas exigências da sociedade e

apostar também nas novas tecnologias.

Os alunos que gostariam de, futuramente, utilizar com menos frequência o computador

justificaram-se, por exemplo, por não ser necessário para a sua profissão, mas referiram-se

sobretudo ao facto de sentirem mais dificuldades. Alguns alunos voltam a fazer referência

ao comportamento da turma e ao facto de não haver um computador para cada aluno,

acrescentando ainda a necessidade de alternância entre aulas no computador e aulas sem

computador: “acho que é bom para o aluno poder ter aulas diferentes, mas nem sempre no

computador (aulas práticas) nem sempre teóricas. Como tal acho que se devia alternar essas

idas aos computadores”.

No que diz respeito às principais diferenças observadas, comparativamente às aulas

157

normais, questão 10 do questionário, os alunos referiram-se às dificuldades sentidas e ao

seu empenho. Apesar das dificuldades sentidas, alguns alunos admitiram que as aulas assim

foram mais interessantes e alguns até se empenharam e trabalharam mais, 44,4% e 18,5%,

respectivamente – “consegui trabalhar e empenhar-me mais”, tendo havido mesmo quem

tenha dito que “é tudo muito mais empolgante”.

Alguns alunos, 18,5%, frisaram a maior irrequietude por parte da turma, o que culminou

numa maior desatenção. Dois alunos recordaram que, nestas aulas, primeiro tentavam

“descobrir as propriedades das matérias”, contrariamente às aulas normais onde

trabalharam “mais teoricamente”, como referiu outro aluno. Outro aluno notou ainda que

havia “menos apontamentos no caderno para mais tarde estudar”. Não sabemos se com um

sentido positivo ou não, mas este aspecto preocupou principalmente os alunos mais

aplicados. Reconheceram também que “é tudo muito rápido” e que “o tempo passa mais

rápido”, opiniões que vão de encontro aquilo que também sentimos.

Com a última questão desta parte do questionário, questão 11, pretendíamos que os

alunos deixassem um comentário acerca da experiência para termos uma ideia global de

como os alunos a viram. A maioria dos alunos fez comentários curtos como “decorreram

bem” ou “foram boas”. Apenas um aluno considerou que estas aulas tinham corrido mal,

pois “não tinham interesse nenhum”, contra 74,1% que considerou, pelo contrário, que

estas decorreram bem e foram boas.

A agitação por parte da turma voltou a ser referida por alguns alunos, 26%, que

consideraram que as aulas podiam ter corrido melhor se tivessem estado mais atentos e

fizessem menos barulho ou que correram bem ou razoavelmente bem à excepção de quando

a agitação começava. Dos restantes, um aluno disse terem decorrido normalmente e outro

comentou que foi uma forma diferente de aprendizagem e que gostaria de voltar a repeti-la.

Deixamos aqui alguns comentários de alunos acerca da forma como decorreram as aulas.

“Eu acho que as aulas não podiam ter corrido melhor, acho que isto ajudou imenso, por isso a única coisa que tenho a dizer é que as aulas é que deviam ser sempre assim”. “Por um lado as aulas decorreram bem, mas para mim não correram lá muito bem pois eu mantive uma certa dificuldade na aprendizagem da geometria com o programa”.

158

“As aulas correram bem, a turma por vezes é que não facilitava e fazia bastante barulho”. “Eu acho que foram umas aulas muito boas e estimulantes para nós em relação à matemática (geometria). Também tornou a aprendizagem mais fácil”. “Para mim as aulas correram bem, apesar dos contraditórios como, estar toda a turma dentro da sala e por conseguinte grupos maiores, o que levou a uma desorganização considerada grande”. “As aulas decorreram bem, pois sempre que havia dúvidas tínhamos sempre alguém para nos ajudar, e é uma nova forma de aprendermos”. “Com as aulas nos computadores aprendemos e poderíamos ter aprendido muito acerca de geometria. Na minha opinião acho que as aulas seriam mais produtivas com menos alunos. Mas, no geral as aulas foram boas e produtivas”.

5.2.2. Apreciação das tarefas de Geometria

Com esta parte do questionário pretendíamos saber a opinião dos alunos acerca dos

temas abordados nas fichas de trabalho e da sua realização. Como se pode observar pela

tabela 15, a maioria dos alunos considerou que os temas abordados nas fichas de trabalho

foram importantes e interessantes.

Tabela 15. Importância e interesse dos temas estudados.

Frequência (%) Questão D C SO1. O estudo dos temas geométricos abordados foi importante 2. O estudo dos temas abordados foi interessante

7,4 7,4

77,8 74,1

14,818,5

D – Discordo, C – Concordo, SO – Sem Opinião.

No que concerne às maiores dificuldades sentidas na execução das tarefas, questão 3,

pode-se observar que estas foram generalizadas e, como era de esperar, centradas na

compreensão das tarefas, na interpretação e na justificação dos resultados obtidos. As

dificuldades foram menores no que concerne ao trabalho com o GSP e à escrita das

conclusões, como se pode constatar pela tabela 16.

159

Tabela 16. Dificuldades sentidas pelos alunos.

Frequência (%)Questão 3. Ao resolver as tarefas, as maiores dificuldades que surgiram foram: D C SO3.1. Perceber os objectivos da tarefa 3.2. Trabalhar com o GSP 3.3. Interpretar os resultados e chegar às conclusões 3.4. Escrever correctamente as conclusões 3.5. Explicar o processo de resolução 3.6. Explicar/justificar os resultados 3.7. Outra. Qual?

40,7 59,3 22,2 37,0 44,4 25,9

–

51,9 33,3 55,6 44,4 44,4 66,7

–

7,4 7,4 22,218,511,17,4 –

D – Discordo, C – Concordo, SO – Sem Opinião.

As dificuldades em perceber os objectivos das tarefas e em chegar às conclusões

fizeram-se sentir mais no início da experiência, enquanto não se habituaram ao estilo das

tarefas e ao trabalho com o computador. Já o processo de explicação foi sempre muito

difícil para os alunos e só com a nossa ajuda é que alguns conseguiram realizar esta

actividade com algum sucesso.

No que diz respeito ao GSP, realmente, a maioria dos alunos raramente se mostrou

inibida ou insegura na sua utilização. No que diz respeito à escrita das conclusões, embora

a percentagem não seja tão elevada, uma vez que eles realmente escreviam as conclusões,

somos da opinião que uma grande parte teve dificuldades em se expressar e em usar

correctamente a linguagem matemática, apesar de também se ter verificado, com o decorrer

da experiência, alguns progressos.

Quanto à finalidade das tarefas, com a ajuda do computador e do GSP, podemos

verificar, pela tabela 17 que, de um modo geral, os alunos concordaram com as afirmações

expressas, principalmente no que diz respeito ao seu papel na aprendizagem. Puderam

utilizar estratégias variadas, ser criativos, reflectir, corrigir os próprios erros, organizar as

ideias, exprimi-las com clareza e experimentar novas abordagens. E, o que é muito

importante, permitiu-lhes assumir um papel mais activo, ser mais autónomos e ter uma

atitude mais positiva perante a aprendizagem. Os próprios alunos reconheceram, nas suas

afirmações, que podiam “reflectir... sem estar sempre a pedir ajuda ao professor”, que

podiam “descobrir mais sobre o tema”, que “aprenderam o sentido das coisas”, que

160

aprenderam a “aplicar a matemática”, que tentaram “descobrir as propriedades”, que lhes

permitiu “ser mais autónomos”.

Tabela 17. Finalidades das tarefas.

Frequência (%)Questão 4. A realização das tarefas, com ajuda do computador e do GSP, permitiu-te: D C SO4.1. Usar estratégias variadas de resolução 4.2. Organizar as ideias e exprimi-las com clareza 4.3. Usar a imaginação e ser criativo 4.4. Ter uma atitude positiva perante a aprendizagem 4.5. Tomar iniciativas 4.6. Gerir melhor o tempo 4.7. Reflectir sobre os objectivos das tarefas 4.8. Aprender mais facilmente 4.9. Ter um papel mais activo na aprendizagem 4.10. Ser mais autónomo e não depender tanto do professor 4.11. Experimentar novas abordagens 4.12. Corrigir os próprios erros 4.13. Ter uma impressão favorável da geometria 4.14. Outra. Qual?

7,4 25,9 18,5 22,2 18,5 25,9 18,5 33,3 18,5 22,2 14,8 14,8 33,3

–

77,8 55,6 63,0 66,7 48,1 44,4 51,9 48,1 74,1 63,0 66,7 59,3 40,7

–

14,818,518,511,133,329,629,618,57,4 14,818,525,925,9

– D – Discordo, C – Concordo, SO – Sem Opinião.

No que diz respeito à tomada de iniciativas, à melhor gestão do tempo, à facilidade de

aprendizagem e a uma impressão mais favorável da geometria, as percentagens não foram

tão significativas. Os alunos fizeram várias vezes alusão às suas dificuldades, o que se

traduziu nos apenas 48,1% que concordam que o computador e o GSP lhes tenha permitido

aprender mais facilmente e que apenas 40,7% tenha ficado com uma impressão favorável

da geometria.

No que concerne à organização e à expressão de ideias, os alunos, ao longo da

experiência, foram melhorando esse aspecto, não precisando tanto da nossa ajuda, a não

ser, eventualmente, para esclarecer alguma coisa ou simplesmente para confirmarem as

suas respostas.

O facto de os alunos trabalharem ao seu próprio ritmo tem as suas vantagens

161

pedagógicas, mas tornou a gestão do tempo mais complicada, mesmo para nós. Os alunos

“perdiam-se” nas construções, nas medições, na procura de relações, o que culminou,

principalmente no início, em sucessivos atrasos pois eram metodologias a que não estavam

habituados. O tempo, como eles próprios reconheceram, “passava mais rápido” e reinou,

por vezes, a sensação que as aulas rendiam pouco.

A aprendizagem para alguns não se tornou mais fácil, longe disso, como já pudemos

constatar. Muitos alunos sentiram dificuldades aos vários níveis e, apesar de com o decorrer

da experiência, começarem a ter menos dificuldades em fazer investigações e em

estabelecer as conjecturas, as dificuldades em estabelecer raciocínios lógicos e em

encontrar explicações para as suas asserções continuaram sempre, o que pode ter

contribuído para ficarem com uma visão menos favorável da geometria.

Como se pode ler em Matos (1992), as conclusões de alguns estudos apontam para a

ideia de que, geralmente, os alunos gostam de Matemática quando têm sucesso na

resolução das tarefas. Ora, o facto de não alcançarem esse sucesso fará, provavelmente, ter

uma reacção oposta, e o facto de os alunos terem tirado notas mais baixas ou terem tido

muitas dificuldades na resolução das tarefas, pode ter ajudado a que tenham tido essa visão

menos positiva perante a disciplina ou perante o tema em estudo, e, portanto, que apenas

40,7% dos alunos tenha concordado com esta afirmação.

Quando confrontados com a metodologia de trabalho de grupo, a grande maioria dos

alunos também concordou com as afirmações expressas, como se pode ver na tabela 18,

principalmente no que diz respeito à partilha, à expressão e ao respeito pelas opiniões.

162

Tabela 18. Finalidade do trabalho de grupo.

Frequência (%)Questão 5. A realização das tarefas, em grupo, permitiu-te: D C SO

5.1. Expressar as tuas opiniões 5.2. Partilhar impressões/ideias com os colegas 5.3. Tomar iniciativas ou decisões 5.4. Aprender mais facilmente 5.5. Corrigir os próprios erros 5.6. Desenvolver trabalho de equipa 5.7. Ser mais autónomo e não depender tanto do professor 5.8. Respeitar a opinião dos colegas 5.9. Ter uma impressão mais favorável do trabalho de grupo 5.10. Ter uma impressão mais favorável da geometria 5.11. Outra. Qual?

– –

7,4 22,2 14,8 7,4 7,4 – –

18,5 –

88,9 96,3 77,8 59,3 70,4 77,8 77,8 96,3 74,1 59,3

–

11,13,7 14,818,514,814,814,83,7 25,922,2

– D – Discordo, C – Concordo, SO – Sem Opinião.

O trabalho de grupo foi importante para os alunos discutirem entre si e expressarem as

suas opiniões, ainda que a um nível muito superficial. Seguiram instruções, ditaram

conclusões, fizeram comentários e sugestões, mas não aprofundaram muito as tarefas. Foi

importante na tomada de consciência das suas acções, no esclarecimento de dúvidas e na

clarificação de ideias. Fomentou o espírito crítico e contribuiu para um aumento de

entusiasmo. Notou-se, indubitavelmente, uma participação mais activa, uma maior

dinâmica de trabalho, discutiram processos de resolução e aprenderam uns com os outros.

A percentagem mais baixa referiu-se ao “ter uma impressão mais favorável da

geometria”, associada, talvez, à mesma percentagem no que diz respeito ao “aprender mais

facilmente”. Ainda assim, 59,3% é uma percentagem expressiva de alunos que ficou com

uma impressão positiva.

Com as questões 6, 7 e 8, cujos resultados se encontram expressos na tabela 19,

pretendemos indagar os alunos relativamente à ajuda necessária para a resolução das tarefas

e à sua autonomia na resolução das mesmas.

163

Tabela 19. Ajuda na formulação das conclusões, na explicação dos procedimentos e na explicação das conclusões.

Frequência (%) Questão R A F Questão 6. Conseguiste chegar aos resultados 6.1. Com ajuda da professora 6.2. Com ajuda dos colegas 6.3. Com ajuda do computador 6.4. Sozinho Questão 7. Conseguiste explicar o processo de resolução 7.1. Com ajuda da professora 7.2. Com ajuda dos colegas 7.3. Com ajuda do computador 7.4. Sozinho Questão 8. Conseguiste explicar/justificar os resultados 8.1. Com ajuda da professora 8.2. Com ajuda dos colegas 8.3. Com ajuda do computador 8.4. Sozinho

25,911,17,4 37,0

7,4 7,4 25,966,7

7,4 14,844,474,1

40,7 44,4 51,9 55,6

48,1 63,0 48,1 29,6

55,6 59,3 40,7 14,8

33,3 44,4 40,7 7,4

44,4 29,6 25,9 3,7

37,0 25,9 14,8 11,1

R – Raramente, A – Algumas vezes, F – Frequentemente.

Pela observação da tabela, podemos constatar que, na procura de relações para a

formulação de conjecturas, a maioria dos alunos conseguiu sozinha ou com ajuda do

computador realizar essa actividade. A percentagem de alunos que afirma ter conseguido,

autonomamente, chegar algumas vezes às conclusões é de 55,6% e com a ajuda do

computador é de 51,9%. Foram ainda bastantes os alunos que afirmaram ter conseguido,

frequentemente, chegar aos resultados com a ajuda do computador, 40,7%. Alguns

conseguiram-no também com a ajuda dos colegas e portanto não houve tanta necessidade

de recorrer à professora.

Pudemos, realmente, constatar que os alunos foram, gradualmente, deixando de solicitar

tanto a nossa ajuda nas investigações e na resolução de algumas tarefas, tornando-se,

progressivamente, mais autónomos, opinião também partilhada pela professora da turma,

quando reconhece que os alunos, entre outras capacidades, “desenvolveram um pouco a

164

autonomia deles, porque tinham que desenvolver as tarefas sozinhos”. Mas, essa autonomia

já não foi tão conseguida na procura de explicações. A maioria concorda que raramente

conseguiu sozinha explicar os processos de resolução, 66,7%, bem como explicar ou

justificar as conclusões obtidas, 74,1%, tendo necessitado, principalmente, da ajuda dos

colegas e da professora. A ajuda do computador também foi considerada importante,

principalmente na explicação dos processos de resolução, mas em menor escala.

Pudemos, assim, constatar que, com o passar da experiência, os alunos continuaram a

depender, particularmente, da ajuda da professora, ainda que os colegas, bem como o

computador, tenham sido um bom apoio. Esta dependência da professora verificou-se

principalmente em relação à necessidade de explicar os processos de resolução e os

resultados obtidos, pois tratava-se de uma turma com bastantes dificuldades. Foram poucos

os alunos que, mesmo assim, conseguiram acompanhar a nossa ajuda. Mas, podemos

afiançar que, de um modo geral, os alunos evoluíram progressivamente e alcançaram

alguma autonomia.

As tarefas apontadas como favoritas, pelos alunos, na questão 9, foram as que

constavam das fichas de trabalho Mediatriz, Ângulos ao centro numa circunferência,

Ângulos inscritos numa circunferência e Recta tangente à circunferência, talvez porque

foram as que mais aplicaram nos exercícios práticos e que melhor perceberam, por serem

relativamente mais acessíveis. Aliás, a maioria justificou a sua escolha precisamente por

serem mais fáceis. Os alunos que escolheram tarefas “menos eleitas”, como as presentes

nas fichas: Construção do aeroporto I e II, Quadrilátero inscrito numa circunferência ou

Papagaio. Propriedades I, fizeram-no por terem sido as actividades que “deram mais luta”

e que “foram mais interessantes de realizar”.

As tarefas que suscitaram mais dificuldades, como era de esperar, foram exactamente as

acabadas de referir. Mas, pela discussão que se gerou à volta das mesmas, apesar de

difíceis, foram as que mais os cativou, pelo empenho e entusiasmo com que se dedicaram à

investigação e à procura de soluções. A construção da recta tangente à circunferência,

embora os alunos tenham percebido a propriedade e a conseguissem aplicar, muitos não

conseguiram resolver com sucesso as tarefas, pois tinham de fazer construções resistentes.

Mesmo assim, ficaram empolgados com a tarefa e, os que conseguiram, ficaram encantados

165

com a sua “pequena grande vitória”. Apenas um aluno mencionou ter tido dificuldades em

todas as tarefas e não ter gostado de nenhuma. Os alunos não fundamentaram as suas

justificações, limitando-se a dizer que eram difíceis ou que não tinham percebido o que era

para fazer.

Também as opiniões acerca das tarefas realizadas, expressas na questão 11, não foram

muito fundamentadas. Os que responderam, limitaram-se a referir que estas ou eram

interessantes, 44,4%, ou que algumas eram difíceis e tiveram dificuldades em perceber a

matéria, 51,9%, enquanto 14,8% dos alunos afirmaram não terem interesse. Apenas dois

alunos reconheceram que estas facilitaram a aprendizagem e um aluno referiu-se a uma

maior autonomia: “Gostei de todas as tarefas apresentadas pela professora uma vez que nos

permitiu ser mais autónomos. Como já referi anteriormente acho que foi uma aposta muito

produtiva”. O tempo disponível, como já foi referido, não era muito e não permitiu

aprofundar determinadas tarefas, tanto como desejaríamos, o que também foi sentido por

alguns alunos mais curiosos e interessados, que ficaram com a sensação de que “houve

coisas que ficaram por dizer”, o que demonstra que havia alunos que estavam interessados

e que queriam ir mais longe.

Não responderam a esta questão 26% dos alunos. Os restantes 7,4% referiram-se

também à falta de tempo para aprender: “as tarefas foram excelentes, o que eu não gostei

foi de ter pouco tempo para aprender”. Apesar da elevada percentagem que considerou as

tarefas difíceis ou que teve dificuldades em as perceber, muitos desses alunos também as

consideraram interessantes: “Foram um pouco difíceis, contudo foram interessantes.

Continuo a dizer que fiquei a conhecer muitas coisas que me fascinaram”.

5.3. Entrevista à professora da turma

No final da experiência foi realizada, pela investigadora, uma entrevista à professora da

turma com a finalidade de obter a sua apreciação e complementar a informação já

recolhida. Esta realizou-se, num ambiente informal, no início do mês de Julho, após a

conclusão das actividades lectivas na sua escola.

166

5.3.1. Ensino da Geometria: Circunferência e Polígonos

Relativamente ao ensino da geometria e, em particular desta unidade, a professora da

turma considera-o importante pois desenvolve o raciocínio lógico/abstracto dos alunos e

“fá-los pensar”. Concorda que geralmente o seu ensino é deixado para o fim do ano lectivo,

ficando muitas vezes por leccionar, essencialmente nos 7º e 8º anos de escolaridade. Pensa

que tal acontece porque “há outros capítulos que serão mais necessários nos anos seguintes,

ou simplesmente por ser costume... os professores nem se questionam”!

Segundo a professora, “é essencial que os alunos saibam o que é um ponto, uma recta,

uma semi-recta, um segmento de recta... distingam figuras planas de sólidos, saibam

calcular áreas e volumes... marquem pontos no plano e no espaço, conheçam a posição

relativa de rectas e planos... não me estou a lembrar de mais nada que julgo essencial”.

Crê que os alunos, de um modo geral, não gostam de geometria pois associam-na “a

desenho e a algo muito difícil” e, portanto, “a primeira reacção nunca é boa, acham sempre

que não vão conseguir”. Considera, ainda, curioso que os melhores alunos se mostrem mais

retraídos e geralmente desçam as notas, ao passo que os mais fracos até gostam e muitas

vezes até sobem as suas notas.

Nas suas aulas, para motivar os alunos, costuma, sempre que possível, recorrer a

“exemplos, modelos da vida real, para ser menos abstracto para os alunos e para que eles

melhor compreendam e mais se motivem”. Em termos de materiais didácticos, recorre aos

mais usuais, quadro, giz, manual, revistas, acetatos, régua, compasso e modelos físicos,

como sólidos geométricos. Apenas no 10º ano chegou a utilizar o computador para mostrar

aos alunos a planificação dos sólidos.

As dificuldades sentidas pelos alunos devem-se, segundo a professora, ao facto de estes

estarem “habituados a terem algoritmos, fórmulas para resolverem os exercícios de

matemática. Quando chegam à geometria... é-lhes exigido que pensem e isso eles não estão

muito habituados”. É de opinião que estas dificuldades surgem logo no 7º ano, quando se

aborda o tema Semelhanças de Triângulos – “É logo um problema, perceberem que igual é

diferente de semelhante, que a posição dos triângulos não faz diferença, são estas coisas

básicas que lhes faz mais confusão”, e que essas dificuldades são realmente sentidas

167

quando os alunos chegam ao 10º ano e estão quase dois períodos a dar geometria,

precisamente pelo facto desta, no 3º ciclo, ter sido relegada para segundo plano.

Considera ser muito difícil colmatar tais dificuldades, uma vez que o programa é

extenso e “não há muito tempo a perder”, o que julga ser uma opinião partilhada pela

generalidade dos professores. Considera importante o uso de mais modelos físicos ou

mesmo do computador para não ser tudo tão abstracto. Segundo a professora, o problema

não reside no currículo, mas no seu não cumprimento. Pensa que sendo a geometria uma

das áreas da matemática que mais desenvolve o raciocínio lógico/abstracto quanto mais

cedo for abordada melhor. Como já referiu, o uso do computador pode ser um meio de

motivar os alunos e acha muito interessante a utilização do GSP ou de outro tipo de

programa pois “permite aos alunos explorarem, serem eles próprios a descobrirem as

coisas, o que penso que os ajuda muito, pois funciona como uma grande motivação e

permite-lhes uma mais fácil aprendizagem”.

5.3.2. Experiência de ensino e aprendizagem

Com esta parte da entrevista pretendíamos uma apreciação global da experiência por

parte da professora da turma.

Não foi a primeira vez que a professora recorreu às novas tecnologias, mas foi a

primeira vez que recorreu ao GSP e envolveu os alunos mais activamente. Pensa voltar a

fazê-lo, sempre que possível e achar conveniente, pois considera que, apesar de alguns

contratempos, foi uma experiência positiva. No que respeita ao trabalho de grupo considera

que há turmas que trabalham bem e outras não, mas tenta sempre que os alunos realizem

pelo menos um trabalho de grupo. Encara as aulas com estas metodologias de ensino como

sendo mais motivadoras pois “sempre que as aulas fogem da rotina os alunos gostam”.

Além do mais, concorda com o facto de os alunos, hoje em dia, “adorarem os

computadores”, o que fez com que “ficassem mais empolgados” na medida em que

“gostam de ter um papel mais activo”.

Quando questionada se os alunos tinham aproveitado o facto de estar a trabalhar em

grupo, diz ser difícil, numa turma com tantos alunos, todos aproveitarem de igual modo,

168

mas considera que “alguns tiraram partido dessa situação, trocando ideias com os colegas e

aprendendo com eles... de um modo geral, penso que os grupos se entenderam e todos

colaboraram”.

Nestas aulas constatou que os alunos tiveram um papel mais activo do que nas aulas

normais, eram um pouco mais autónomos e tinham de trabalhar mais sozinhos o que

também contribuiu para que muitos se sentissem desorientados e para alguma irrequietude,

contribuindo ainda para que as aulas se tornassem mais barulhentas. Notou também que

“estavam um pouco ansiosos, com medo de não conseguirem acompanhar os outros” pois

“estão mais habituados a ouvirem o professor, a ter mais orientações, como se costuma

dizer, a terem a papinha feita”, e daí também a constante solicitação da nossa ajuda.

Apesar destes aspectos menos positivos, pensa que “se viveram momentos agradáveis

onde a maioria da turma se mostrou interessada e empenhada”.

Quanto aos aspectos mais marcantes desta experiência, a professora destacou a grande

vontade dos alunos em colaborar e ao mesmo tempo a grande insegurança e falta de

autonomia em relação a tudo o que faziam sem ter a nossa apreciação, apesar de, ao longo

da experiência, terem melhorado um pouco nesse aspecto.

Relativamente às tarefas propostas, a professora considerou que estas foram ao encontro

do programa, abordaram conceitos interessantes e importantes e possibilitaram aos alunos

serem eles próprios a descobrir as propriedades e a visualizarem as coisas, o que considera

importante, pois quando, em anos anteriores, abordava este tema os alunos sentiam muitas

dificuldades em perceber do que se estava a falar e tinha de estar constantemente à procura

de novos exemplos onde as propriedades se aplicassem. Através do GSP, eles próprios

puderam experimentar e averiguar o que ocorria, facilitando, assim, a descoberta e a

compreensão dos conceitos – “quando somos nós a fazer uma descoberta, sem ser ninguém

a dizer-nos, dificilmente esquecemos, quando nos é permitido visualizar, mexer,

experimentar, aprendemos muito melhor”. Muitos alunos mostraram interesse em continuar

com as investigações por conta própria, pois pediram o programa para instalar em casa e

poderem explorá-lo com mais calma.

De acordo com a professora, este tipo de tarefas e metodologias esbate as diferenças

entre os alunos. Diz que “os maus alunos geralmente são mais receptivos a este tipo de

169

actividades, enquanto que os bons alunos preferem as aulas normais onde aceitam o que

lhes é dito, estudam, praticam e aplicam”.

No que concerne às dificuldades dos alunos, a professora verificou que os alunos “se

sentiram um pouco perdidos”, principalmente em saber para o que é que servia o que

estavam a aprender, contrariamente ao que acontecia nas aulas normais em que os alunos

tinham dificuldade em assimilar as propriedades e muitas vezes não sabiam como as

aplicar.

Considerou estas aulas em tudo diferentes das restantes, a começar pelo espaço físico e

as metodologias usadas: “foi tudo uma novidade para os alunos” e por essa razão a

professora acha que foram motivadoras e muito importantes, também já a pensar no futuro,

“visto que a reforma do ensino secundário prevê que os alunos usem novas tecnologias ao

longo de todo o ano”. Considera que a experiência foi muito interessante e que funcionou

bem e, portanto, assegura, em anos futuros, voltar a usar o GSP, pois considera importante

serem os próprios alunos a tirar as conclusões e o facto de poderem ver e experimentar

através do GSP ajudou-os imenso nesse sentido. O que acha que “correu menos bem” foi a

planificação da nossa parte pois esperávamos sempre muito mais dos alunos do que na

realidade eles conseguiam, o que fez com que o tempo começasse a escassear e não

houvesse tantas oportunidades para resolver mais exercícios de aplicação e explorar mais e

melhor as tarefas, o que contribuiu para que os alunos sentissem as tais dificuldades em

perceber como iriam aplicar o que estavam a aprender, “causando-lhes alguma ansiedade”.

Portando, quando voltar a usar o GSP, tenciona, como inicialmente tínhamos previsto,

reduzir o número de tarefas e intercalar com mais exercícios de aplicação.

Quanto à opinião dos alunos, afirma não ter sido unânime, salientando que a maioria

gostou e sentiu que foi importante, até para os próximos anos, ao passo que os outros

acharam que com as metodologias usuais tinham conseguido aprender melhor.

No que diz respeito às vantagens e desvantagens apontadas pela professora, estas

centraram-se nos alunos, tendo destacado o contacto destes com as novas tecnologias e o

facto de o GSP lhes ter proporcionado momentos de descoberta a partir da experimentação

e da visualização e de os ter motivado. Inicialmente, teve dificuldades em encontrar

desvantagens, por encarar este tipo de experiências como sendo sempre enriquecedoras,

170

mas acabou por anotar, como desvantagem, apesar de considerar normal por se tratar de

algo novo, a maior dispersão da turma, mais barulho e menos concentração por parte de

alguns alunos que “aproveitaram o facto de estar a trabalhar em grupo para descansarem

enquanto os colegas trabalhavam” ou para “brincar com o computador”.

Quanto às capacidades desenvolvidas pelos alunos, apesar das tarefas serem orientadas

e da nossa ajuda constante, pensa que eles desenvolveram a capacidade de investigação e

alguma autonomia, pois “nas aulas normais não têm oportunidade de mexer, de

experimentar” e “tinham que desenvolver as tarefas sozinhos, o que também não estão

habituados”. O facto de estarem a trabalhar em grupo, segundo a professora, contribuiu

para desenvolver a capacidade de comunicação, uma vez que tinham de conversar sobre o

trabalho e tirar conclusões. Quanto à capacidade de demonstração, a professora admitiu que

“infelizmente não conseguimos desenvolver”, pois, isso, para os alunos, “dava muito

trabalho!”. Aliás, uma das melhores alunas e dos poucos que conseguiram acompanhar os

raciocínios, chegou mesmo a confessar que não gostava de geometria porque tinha de

explicar muita coisa.

A professora da turma falou acerca da experiência com muitos colegas, nomeadamente

na reunião de departamento, com os colegas de grupo. Realçou a questão da inovação, pois

nunca ninguém o tinha feito anteriormente naquela escola, o facto de estar a ser bem aceite

pelos alunos e a importância deste tipo de experiência para os motivar “para uma nova

realidade de ensino”. Relativamente aos aspectos menos positivos, focou o facto de “estar a

perder muito mais tempo que o previsto para leccionar esta unidade”. Pessoalmente, e

citando as suas palavras, considera que:

“Esta experiência foi importante na medida que aprendi a trabalhar com o GSP, conheci as potencialidades do programa. Para além disso, foi uma experiência nova... nunca tinha leccionado uma unidade recorrendo quase exclusivamente à informática. Por tudo isto estou muito satisfeita...penso que a experiência foi muito positiva, por tudo o que já mencionei... Como comentário final gostaria de começar por te agradecer o facto de ser a escolhida para fazer contigo esta experiência. Penso ser muito importante acordar os professores que já leccionam há algum tempo e se acomodam com as tradicionais aulas... adorei!”

171

C A P Í T U L O VI

CONCLUSÕES DO ESTUDO

Depois de um “longo caminho percorrido” há que “olhar para trás” com “os olhos

postos no futuro”, há que tirar elações, reconhecer limitações e apontar algumas

recomendações, quer ao nível das práticas educativas quer ao nível de futuras

investigações, que nos permitam reflectir sobre o ensino em geral, da Matemática e da

Geometria, em particular, sobre estratégias que contribuam para uma melhoria do processo

de ensino/aprendizagem da Geometria.

Neste capítulo começaremos por descrever muito sucintamente o nosso estudo que, de

um modo geral, procurou analisar as potencialidades educativas dos Ambientes

Geométricos Dinâmicos (AGD), nomeadamente do Geometer’s Sketchpad (GSP), para, a

seguir, destacarmos as principais conclusões e limitações e apresentarmos algumas

recomendações que consideramos pertinentes.

6.1. Descrição do estudo

A constante evolução da sociedade da informação obriga-nos a repensar algumas das

nossas crenças e atitudes. É inquestionável que os alunos de hoje são diferentes dos de

outros tempos e as exigências da sociedade também são outras. Consequentemente, a

escola e o professor têm, de igual modo, que assumir papéis diferentes.

As novas tecnologias, nomeadamente o computador, podem ser a “ponte” para essa

nova escola e para esse novo professor, indo de encontro às convicções de Azevedo (2002,

p. 157), para quem as novas tecnologias “são factores geradores de uma nova escola onde a

interdisciplinaridade e a criatividade podem optimizar a relação professor-aluno e estimular

173

o sucesso escolar”, permitindo ao aluno ter uma participação mais activa na construção da

sua aprendizagem.

No caso concreto da geometria, os Ambientes Geométricos Dinâmicos (AGD) são

frequentemente apontados como ambientes propícios e facilitadores de uma aprendizagem

significativa, servindo como motivação para o seu estudo. Estes ambientes permitem aos

alunos construir, observar e manipular, e, sobretudo, agir. Os alunos quase que são

“obrigados” a tomar algum tipo de acção, o que favorece a apreensão de conceitos e

relações geométricas, possibilitando e estimulando a comunicação, a criatividade e o

pensamento autónomo. Permitem, ainda, quando utilizados em trabalhos de grupo,

desenvolver sentimentos de cooperação, solidariedade e respeito pelos outros.

Os computadores também vieram dar uma nova visão à questão da demonstração

matemática, que, apesar de ter vindo a mudar ao longo dos tempos, continua a merecer um

lugar de destaque (Hanna, 2002) e é importante que os alunos sejam sensíveis a esta

questão e que, já no final do 3º ciclo, um aluno matematicamente competente demonstre

interesse pelas demonstrações e que compreenda o raciocínio seguido (Abrantes et al.,

1999) e que os professores as vejam como mais um recurso didáctico valioso de que se

podem servir, juntamente com a utilização dos AGD.

Os estudos realizados em Portugal, com o recurso aos AGD, mostraram que o trabalho

em AGD tende a criar uma atitude positiva nos alunos no que diz respeito à matemática e a

desenvolver neles uma certa autonomia. Mas, também chamam a atenção para o facto

destes ambientes poderem vir a ser limitadores no processo de ensino/aprendizagem, pois a

falta de domínio destes programas pode ser um obstáculo à resolução de problemas e ao

aprofundamento de determinadas questões.

Perfilhando da opinião de Neves (1988), embora as novas tecnologias sejam um “salto

qualitativo relativamente aos processos tradicionais” (p. 46), não as podemos ver como

uma “panaceia mágica que vem resolver todos os problemas” (p. 21). O computador

realmente pode ajudar de forma significativa a melhorar o processo de

ensino/aprendizagem, mas é um instrumento que, como qualquer outro, deverá ser utilizado

com “peso e medida”, caso contrário não será mais de que um “factor de estagnação”.

As tendências curriculares actuais apontam, assim, para uma aprendizagem baseada na

174

experiência, na manipulação e na utilização das novas tecnologias, onde os alunos possam

desenvolver a capacidade de explorar, conjecturar e raciocinar logicamente, argumentar e

comunicar, adoptando um papel mais activo e autónomo (DEB, 2001, NCTM, 1991) que

pode ser bastante desenvolvido com a Geometria através de investigações, de debates e da

resolução de problemas não rotineiros (Afonso, 2002, APM, 1988, Junqueira, 1995).

E foi com base nestas considerações que o nosso estudo foi desenvolvido, pretendendo-

se analisar as potencialidades dos AGD como mediadores no processo de

ensino/aprendizagem da Geometria e como é que estes podem aproximar os alunos da

prática da demonstração matemática. Pretendemos que os alunos investigassem

construções, procurassem relações invariantes ou não, formulassem conjecturas,

encontrassem explicações lógicas, discutissem resultados e opiniões, contribuindo, assim,

para o desenvolvimento de competências essências no domínio da compreensão, da

comunicação e do raciocínio. Pretendemos também incutir nos alunos algum gosto pela

geometria (ou matemática), hábitos de reflexão e desenvolvimento de um trabalho mais

activo e autónomo.

Estas considerações levaram a formular as seguintes questões de investigação:

- A utilização dos AGD contribui para o desenvolvimento de capacidades matemáticas,

tão importantes, como compreender e relacionar objectos geométricos, formular

conjecturas, estabelecer raciocínios lógicos, comunicar e usar correctamente a linguagem

matemática? Será que o recurso aos AGD leva os alunos a privilegiar a evidência como

forma de argumentação?

- Os AGD poderão contribuir para uma nova aprendizagem da geometria tornando os

alunos mais interessados e autónomos?

- Quais as concepções que os alunos têm acerca da geometria e da demonstração? É

possível mudá-las através da utilização dos AGD?

Dada a problemática do estudo, uma vez que estávamos perante uma situação particular,

com participantes e características específicas, num contexto natural de sala de aula,

optamos por uma metodologia de natureza predominantemente qualitativa, baseada numa

observação participante activa, uma vez que a investigadora se integrou no seio da turma e

acompanhou os alunos na sua actuação (Guash, 1997).

175

A recolha de dados foi efectuada nas aulas de Matemática, de uma turma de 9º ano, de

uma escola secundária do distrito do Porto, constituída por 27 alunos com idades

compreendidas entre os 14 e os 17 anos, onde trabalharam, num total de onze sessões, em

grupos de 2 a 3 alunos, o tema de Geometria, Circunferência e Polígonos. Rotação, com

tarefas adaptadas à utilização do GSP e em conformidade com as orientações curriculares.

A análise de dados centrou-se na descrição e interpretação dos dados recolhidos através

da observação de aulas, registo de notas da investigadora, documentos produzidos pelos

alunos, dois questionários aos alunos e uma entrevista à professora da turma.

As tarefas propostas aos alunos foram organizadas e apresentadas em dezasseis fichas

de trabalho, onde tiveram de explorar figuras e as suas relações, fazer construções, formular

conjecturas e realizar pequenas demonstrações, onde adquiriram vocabulário específico e

aplicaram conceitos aprendidos. Na sua preparação houve também a preocupação de ir ao

encontro dos programas e de serem progressivas, isto é, o nível de dificuldade foi

aumentando e recorriam ou tinham por base conceitos adquiridos em tarefas anteriores.

Indo de encontro à opinião de Varandas (2000), que realça a importância dos

professores diversificarem e adaptarem a sua forma de avaliação às novas metodologias

adoptadas, foi proposto um tipo de avaliação adaptado ao trabalho de grupo e ao GSP, mas

coube à professora da turma essa tomada de decisão que acabou por optar pelo usual teste

escrito.

A nível de gestão de sala de aula, a investigadora acabou por adoptar um papel mais

interveniente e foi mais uma professora na sala a apoiar no que era necessário, quer por

solicitação dos alunos, quer por solicitação da própria professora da turma.

Os alunos que participaram neste estudo, ao discutirem entre si, ao dialogarem com a

professora ou com a investigadora, ao recorrerem ao GSP e ao redigirem as suas conclusões

foram, tal como afirma Piteira (2000, p. 217), “levados a expor e clarificar os seus pontos

de vista, as suas compreensões, reavaliando ideias, numa perspectiva de partilha e

negociação de significados”. O GSP teve um papel fundamental e o facto de terem de

pensar e reflectir sobre as suas acções de modo a poder estabelecer e compreender relações

geométricas, foram levados a pensar e a trabalhar a geometria (Noss e Hoyles, 1996).

176

6.2. Principais conclusões

Além de pretender que os alunos recordassem, construíssem e trabalhassem objectos

geométricos, trabalhassem relações, manipulassem, explorassem, justificassem e

argumentassem, familiarizando-os com actividades tão importantes para o desenvolvimento

das suas capacidades matemáticas, pretendíamos também desenvolver atitudes e

capacidades favoráveis à sua sobrevivência numa sociedade competitiva como é a de hoje.

Reflectir criticamente, efectuar escolhas, tomar decisões, resolver problemas, ser autónomo

e criativo, são condições imprescindíveis na vida de cada um e acreditamos que contextos

de aprendizagem mais ricos, como os que estes alunos viveram, possam proporcionar o

desenvolvimento dessas capacidades e dessas atitudes.

6.2.1. Desenvolvimento de capacidades matemáticas

As actuais orientações curriculares defendem que os alunos sejam capazes de explorar,

investigar propriedades e relações geométricas, conjecturar e validar, raciocinar

logicamente, resolver problemas, comunicar matematicamente, construir e compreender

conceitos e pequenas demonstrações. Foi no sentido de seguir estas orientações que

propusemos aos alunos a exploração de pequenas construções, a formulação e justificação

de algumas conjecturas e a realização de pequenas demonstrações, com objectivo de

conseguir que fossem capazes de descrever e justificar essas construções, relacionando

propriedades e estabelecendo relações geométricas e que fossem capazes de apresentar

argumentos válidos para a justificação de conjecturas, o que não foi uma actividade fácil

para os alunos e pouco conseguida. Apenas alguns o conseguiram com bastante apoio e

orientação da nossa parte.

Para alcançar esses objectivos os alunos trabalharam, com recurso ao AGD, GSP,

propostas de trabalho sobre objectos geométricos como a circunferência, triângulos,

quadriláteros, rectas, pontos, segmentos de recta. Construíram objectos, relacionaram-nos,

fizeram medições, estabeleceram razões e, através do arrastamento, observaram padrões e

invariâncias. Deduziram propriedades e relações geométricas, estabeleceram, discutiram e

177

registaram resultados. Contactaram com conceitos não obrigatórios do programa,

desenvolveram vocabulário específico, aprenderam conceitos novos, e, em tudo isto, o GSP

teve um papel fundamental, pois “serviu de um artefacto mediador” (Piteira, 2000, p. 211) e

funcionou como uma janela de mediação para a aprendizagem (Noss e Hoyles, 1996).

Os alunos trabalharam num ambiente diferente, com tarefas diferentes e objectivos

diferentes. Nunca tinham tido contacto com o GSP, nem com tarefas de investigação ou

exploração e raramente trabalhavam em grupo, o que lhes proporcionou um ambiente de

aprendizagem mais motivador e dinâmico. Os alunos trabalharam tarefas, como as das

fichas 6, 7, 9 e 10, que com as ferramentas tradicionais, lápis, papel, régua e compasso, se

tornariam mais difíceis e morosas, quer ao nível de resolução, quer ao nível da

compreensão. Mas, o facto de “tudo ser diferente”, de se tratar de uma turma com bastantes

dificuldades e agitada por natureza, contribuiu para que a promoção dessas actividades e o

desenvolvimento dessas capacidades não fosse, inicialmente, uma tarefa fácil, dificultando

os nossos propósitos.

Em praticamente todas as fichas de trabalho, os alunos tinham de explorar uma

determinada construção e, através da manipulação, procurar estabelecer relações e

propriedades geométricas, o que, inicialmente, não aconteceu espontaneamente e foi

preciso orientá-los nesse sentido e no sentido de reflectirem sobre as variações ou

invariâncias observadas, sobre o porquê dessas variações ou invariâncias, de modo a

desenvolverem uma atitude investigativa e crítica. Todos os alunos gostaram de o fazer,

gostaram de manipular as figuras, de as pintar, de as fazer aumentar e diminuir ao máximo,

“esticando-as” e “encolhendo-as”! Ficaram encantados! Mas, precisamente por esse

encantamento, por ver esse “crescer” e “encolher” que os atraía, que a atenção deles ficava

presa no que viam variar, nos objectos que viam modificar-se, o que lhes dificultou, a

principio, a procura de relações invariantes e a formulação de conclusões, tendo de ser

orientados nesse sentido.

Acabaram por sozinhos, e sem dificuldade, fazer essa manipulação para investigar, e

validar, propriedades e relações, conseguindo desenvolver uma visualização crítica e

reflexiva sobre o que variava e sobre o que se conservava invariante.

No que diz respeito ainda às construções, quando os alunos tiveram de explorar

178

construções construídas por si, contactaram com a necessidade destas conservarem,

aquando da sua manipulação, as suas características, ou seja, que não desmanchassem. Esta

necessidade só surgiu na ficha de trabalho 4, embora alguns alunos se tenham apercebido

dela ao tentar construir o símbolo da Mercedes proposto no manual do GSP. Este tipo de

propostas que lhe despertam a curiosidade e os cativam pode ser aproveitado para abordar

aspectos importantes da geometria.

Surgiram como é natural dificuldades nesse aspecto, pois tratava-se de “mais uma

novidade” para os alunos, mas foi uma actividade importante pois tiveram de olhar para a

figura e para os menus e conseguir inferir que objectos precisavam de seleccionar, a partir

das opções disponíveis, do nome do menu e das suas opções.

O facto de poderem manipular dinamicamente as figuras e as suas relações

permanecerem invariantes ao arrastamento, e a visualização imediata das alterações

produzidas, facilitou a descoberta das propriedades e das relações geométricas. Apesar de,

inicialmente, se “esquecerem” desta potencialidade, limitando-se a olhar para as figuras

sem saber o que fazer ou dizer, ajudou os alunos a explorar, a descobrir e a construir

conceitos, a fazer conjecturas e a raciocinar, treinando, assim, o seu pensamento de uma

forma mais activa e autónoma. Por essa razão, tivemos de relembrar, algumas vezes,

principalmente no início, que podiam sempre manipular as figuras e obter várias

representações que podiam explorar, de uma forma mais “viva” e eficaz, ajudando-os a

pensar melhor nas relações geométricas e a tirar conclusões a partir do feedback recebido

do computador. Este aspecto torna-se evidente nos registos das conclusões dos alunos,

quando afirmam, por exemplo, que “por mais que arrastemos os vértices os ângulos são

sempre 90º” ou “sempre que arrastamos o ponto A ou B a amplitude do ângulo AOB e a

amplitude do arco AB é sempre igual”.

Tentou-se também que os alunos procurassem justificações para as suas conjecturas,

alertando-os para determinados aspectos da figura e afastando-os da evidência das imagens,

o que só foi conseguido com alguns alunos e com a nossa ajuda.

Apesar de termos tentado reduzir a nossa intervenção ao máximo, a insistência dos

alunos, em solicitar a nossa presença junto deles, foi mais forte. Procurámos atender às suas

solicitações sem, no entanto, responder exactamente ao que pretendiam, sem dar respostas

179

definitivas, confrontando-os com as suas observações e afirmações, pondo sempre em

questão as nossas e as soluções deles, dando sugestões, formulando questões. Orientámos

no sentido de não os deixar bloqueados e desanimados ou mais inseguros, mas no sentido

de os motivar e permitir que avançassem.

São vários os estudos que fazem referência à importância da orientação do professor e

este não foi excepção, pois a intervenção do professor é “decisiva no sentido de estimular

os alunos a expor, justificar, debater ideias ou resultados e a reflectir sobre o seu

pensamento, colocando questões” criando-se, desta forma, “um ambiente de interacção

valorativo do conhecimento e das produções dos alunos, bem como do envolvimento na sua

própria aprendizagem” (Afonso 2002, pp. 160-161).

A nossa orientação e apoio variaram, ao longo da experiência, de acordo com as

necessidades e dificuldades dos alunos, que também variaram e que também foram muitas!

Inicialmente necessitaram da nossa orientação para interpretar os enunciados e

compreender os objectivos das tarefas, para explorar as figuras e estabelecer conjecturas.

Quando já estavam familiarizados com este tipo de actividade e já o faziam mais

autonomamente e de forma mais eficiente, aplicando e relacionando conceitos já estudados,

o nossa orientação centrou-se na procura de explicações lógicas para as conjecturas

encontradas, tendo sido o diálogo uma estratégia importante e decisiva para os alunos

poderem ultrapassar as suas dificuldades, contribuindo para que consolidassem saberes e

reforçassem a compreensão dos conceitos. E, assim, verificou-se, durante as sessões, que,

além do GSP, quer a professora da turma quer a investigadora tiveram um papel importante

na orientação do raciocínio dos alunos, estimulando-os através de questões e sugestões.

Fomos mediadores da sua aprendizagem, permitindo-lhes reflectir melhor sobre o que

estava a acontecer, de modo a conseguirem interpretar a informação extraída do feedback

recebido do computador, trabalhando assim a geometria, pois “de nada serve aos alunos

olharem passivamente para o ecrã do computador. É quando analisam e reflectem que vêem

as relações geométricas e para essa análise é preciso a orientação do professor” (Piteira,

2000, p. 185).

Assim, com o decorrer da experiência, os alunos, com recurso ao GSP e com a nossa

orientação, foram-se adaptando-se ao tipo de tarefas e à actividade que pretendíamos e

180

conseguiram resolver, com sucesso e sozinhos, algumas tarefas. Estabeleceram conclusões,

que passou a ser uma actividade espontânea, e alguns conseguiram mesmo relacionar

conceitos anteriores e estabelecer pequenas demonstrações.

Nas propostas de trabalho insistiu-se bastante na formulação e testagem das conjecturas

e, ao longo da experiência, tentou-se que os alunos sentissem a necessidade de descrever e

justificar as suas construções e conjecturas, através da explicação de propriedades e

relações geométricas. A insistência nesta necessidade produziu, ainda que a uma escala

reduzida, os seus efeitos. Levou a que alguns alunos explicitassem os seus raciocínios e

relacionassem propriedades geométricas e deixassem, gradualmente, o “parece” para tentar

encontrar argumentos válidos, mesmo que superficialmente, mesmo que com a nossa ajuda

e a nossa orientação, uma vez que, tal como refere Freixo (2002), é difícil exigir a alunos

destes níveis de ensino que consigam reproduzir demonstrações cheias de rigor e

formalismo e, portanto, já ficamos contentes quando conseguimos estabelecer algum tipo

de raciocínio lógico com os alunos, tendo sido, para isso, importante, o constante

questionar da nossa parte. Perguntávamos sempre se concordavam, se tinham a certeza,

para nos explicarem por que é que determinada conjectura era verdadeira e para

manipularem a figura para verificar para mais casos, uma vez que a maioria contentava-se

em validar apenas para alguns, sem tentar construir uma explicação lógica ou uma

demonstração.

Para tentarmos levar os alunos a essa construção, foi importante, além das discussões

com a professora e a investigadora, a ajuda do computador, pois ajudou-os a pensar sobre o

que tinham estado a concluir, permitiu-lhes visualizar melhor as relações estabelecidas e,

consequentemente, construir alguns raciocínio lógicos.

Ao tentarmos levar os alunos a essa construção levámo-los a recordar, a comunicar e a

fazer matemática (Schoenfeld, 1994, citado em Knuth, 2000a). Tentamos seguir o conselho

de De Villiers (1996a) no sentido de tentar desafiar os alunos em encontrar explicações,

com base em resultados conhecidos, em vez de recorrer à tradicional afirmação “não

sabemos se é verdade, vamos demonstrar para ter a certeza”! Com o GSP tal afirmação

deixou de fazer sentido para os alunos, pois com a manipulação das figuras e com o

feedback recebido do computador podem facilmente “validar” as suas observações. Embora

181

as representações obtidas não constituam uma demonstração pois reduzem-se a um número

finito de situações, já são um bom apoio na construção de uma demonstração e, para os

alunos, o se verificar para muitos casos, para eles correspondia a “sempre” – “é sempre

verdade porque medimos e dava sempre 180, mesmo quando arrastávamos os vértices”, e

tornou-se mais importante e enriquecedor ir ao encontro de outras funções que, segundo De

Villiers (1996a, 1999, 2002, 2003), são mais importantes que a mera verificação, como a

descoberta, a comunicação, a sistematização, a explicação e o desafio intelectual.

Incentivando os alunos a recorrer a conceitos já conhecidos para aplicar e explicar o seu

papel na nova conjectura que descobriram, levámo-los a construir um encadeamento lógico

para o seu raciocínio e ao tentarem elucidar sobre a veracidade matemática das suas

conclusões, ao tentarem organizar de forma lógica os vários resultados, estavam a

desenvolver a demonstração como um meio de explicação e sistematização.

Ao terem de discutir com os colegas ou connosco esses mesmos conceitos, esse

encadeamento, e terem de o registar por escrito, estavam a transmitir e a negociar

conhecimento matemático, ou seja, estavam a desenvolver a demonstração como um meio

de comunicação.

Ao se sentirem motivados para continuar a pesquisar e ao ficarem fascinados com as

descobertas, ainda que não no sentido explícito de De Villiers, contribuiu um pouco para

fomentar o desafio, o desafio intelectual e o gosto pela descoberta, funções presentes na

demonstração no sentido de De Villiers, onde o GSP teve um papel importante, facilitador

e mediador, porque os alunos recorriam ao GSP para rapidamente nos confrontarem com as

suas afirmações ou para responderem às nossas questões. Mais facilmente visualizavam as

transformações obtidas, confirmavam ideias e verificavam relações para mais facilmente

poderem estabelecerem conjecturas e procederem à manipulação para as validarem e

explicarem.

Face a funções tão importantes que a demonstração pode desempenhar, esta devia ser,

vista como mais uma actividade a privilegiar nas nossas salas de aula, pois não se trata de

uma actividade especial que tenha de ser reservada para alturas especiais (NCTM, 2000),

permitindo aos alunos regular o seu pensamento, comunicar matematicamente, desenvolver

um processo de negociação e autonomia ao terem de argumentar, fundamentar, refutar,

182

inferir, criticar, convencer, tudo de uma forma muito dinâmica e activa.

As novas tecnologias vieram, assim, dar uma “lufada de ar fresco” ao ensino e, por

conseguinte, a esta questão. Principalmente no que diz respeito à Geometria, os AGD,

devido à sua característica facilitadora da experimentação e da possibilidade de

investigação de relações e propriedades geométricas a partir de (in)variâncias ao

arrastamento, são frequentemente apontados como poderosas ferramentas para o seu ensino

e aprendizagem, estimulantes e facilitadores, encorajadores do desenvolvimento da

compreensão e construção de conceitos. Aqui há lugar para a audácia, para a

experimentação, para a descoberta, para o desafio.

Apesar de o GSP ter tido um papel importante na elaboração de demonstrações, tal

como já tinham concluído Saraiva (1995) e Junqueira (1995), as justificações baseadas na

evidência foram predominantes, principalmente no início da experiência e em grupos com

mais dificuldades que dificilmente, ou mesmo nunca, abandonaram o “parece” ou o “vê-se

logo”, formulando as suas conjecturas e justificações com base nos poucos casos que

experimentavam. Por vezes misturavam a aparência com algumas relações ou propriedades

que já tinham estudado, mas sem conseguirem estabelecer um encadeamento lógico das

relações que observavam e discutiam connosco, o que os levou a optar pela evidência das

imagens como forma de justificação por ser o “caminho mais fácil”!

Acreditamos, no entanto, que tal não teve, necessariamente, a ver com o GSP e que,

provavelmente, com outras ferramentas e outras metodologias ocorreria o mesmo, por se

tratar de uma prática que costuma estar afastada das nossas aulas, com a qual os alunos não

têm contacto. Donde, esse primeiro contacto não é fácil e as dificuldades sentidas seriam

eventualmente até maiores, pois o GSP tem a potencial vantagem de os alunos poderem

activa e imediatamente observar as variâncias ou invariâncias, após a manipulação de uma

figura.

Com uma figura estática no papel os alunos podem dizer na mesma “parece”, não

podem é tão facilmente ir verificar. Como afirmou Bennet (1997), aquando da

demonstração de uma proposição de 1953, não teria tido paciência suficiente para construir

com régua e compasso um número suficiente de figuras para estabelecer a possibilidade da

conjectura! O que podemos assegurar é que “aqui” há lugar para a descoberta, para o

183

desafio, para questões audazes e pertinentes e é esse constante questionar, que tem um

papel fundamental nesta questão.

O facto de confrontarmos os alunos com as suas asserções e com as suas acções,

contribui para a tomada de consciência da sua aprendizagem e ajudamos a que,

gradualmente, abandonem a evidência como argumento principal para pensarem sobre o

processo de construção do seu conhecimento matemático. Não conseguimos, no entanto,

fazer compreender a importância desse processo e continuaram até ao fim a reclamar – “é

preciso explicar tudo!”. A demonstração foi assim sentida como dispensável, pelo que teve

de passar pelo professor, num processo de negociação professor/aluno.

Esse processo de negociação professor/aluno, através do questionamento, leva os alunos

a tentarem explicar como chegam às conclusões, ainda que superficialmente, ainda que com

alguns erros ou incoerências, ainda que com ajuda, estão, no fundo, a caminhar para a

construção de uma demonstração e ir ao encontro das funções de De Villiers (1996a, 1999,

2002, 2003), porque têm de falar sobre objectos matemáticos, sobre o que eles representam,

das relações entre eles, de propriedades. São desafiados a descobrir, a compreender, a

raciocinar, a argumentar, a sistematizar e a comunicar. E, portanto, essa ajuda é importante

para ultrapassar obstáculos e solidificar conhecimentos. Mas, será que sem ela desistem?

Será que se torna num obstáculo à autonomia? E o factor tempo? Acreditamos que essa

ajuda possa ser vista mais como um impulsionador, no sentido de “dar um empurrãozinho”,

do que como um obstáculo. Será um obstáculo se os alunos se “agarrarem” a essa ajuda e

continuarem sempre à espera, sempre dependentes dela para progredirem. Por outro lado,

há um programa a cumprir e não há muito tempo para os deixar mais tempo por sua conta,

com as suas tentativas.

Com essa ajuda, alguns alunos conseguiram estabelecer raciocínios lógicos e, apesar de

ser em número reduzido, leva-nos a crer que com mais tempo, com mais tarefas orientadas

nesse sentido, tal seja possível de alcançar. Temos de centrar esforços em metodologias

capazes de os cativar para este tipo de actividade, tão importante para o desenvolvimento

de competências tão essenciais como a compreensão, o raciocínio e a comunicação.

A comunicação em Matemática tem também vindo a ocupar um lugar de destaque nas

actuais orientações e torna-se importante conhecermos que contextos a podem valorizar e

184

em que sentido. Acreditamos que estes ambientes e estas metodologias são favoráveis ao

seu desenvolvimento, permitindo aos alunos comunicar mais Matemática.

Com a nossa experiência pudemos constatar que tal é possível, mas que os alunos

sentem muitas dificuldades em se exprimir, mesmo depois da nossa ajuda. Depois dos

diálogos que mantinham connosco tinham dificuldade em organizar sozinhos o seu

pensamento para poderem “escrever tudo direitinho” e diziam muitas vezes: “e agora como

é que vamos escrever isto tudo?”!

Conseguiam responder mais ao menos às nossas questões e com a nossa orientação iam

construindo um encadeamento lógico de raciocínio, mas depois era-lhes difícil organizar as

ideias logicamente para poderem registar uma justificação, uma conclusão ou um

procedimento. Não conseguiam transpor para o papel as discussões que mantinham com a

professora ou com a investigadora pois “perdiam-se”, o que se traduziu, por vezes, em

respostas pouco claras e incompletas, com poucas justificações e interpretações, com

alguns erros e incoerências, limitando-se a registar as soluções.

Transpareceu também a falta de hábito de escrita, dificuldades de expressão e

dificuldades ao nível da Língua Portuguesa. Mas, apesar da dificuldade em exprimirem e

registarem as suas ideias e raciocínios, os alunos foram, pouco a pouco, ultrapassando

algumas dificuldades e foram melhorando e desenvolvendo esta capacidade, e, embora,

frequentemente, utilizassem uma linguagem informal e se verificasse alguma falta de rigor

na linguagem e algumas incoerências, houve progressos da maioria dos alunos na utilização

de uma linguagem geométrica mais correcta, nomeando os objectos correctamente e

referindo-se a eles e às suas relações de uma forma mais rigorosa.

O facto de os alunos terem de discutir entre si a resolução das tarefas, a tomada de

decisões, as conclusões obtidas e o seu registo, levou os alunos a participar mais

activamente e a clarificar as suas ideias, a tomar consciência das suas acções, a dar sentido

ao conhecimento matemático e a estruturarem o seu pensamento através da comunicação,

pois, tal como diz Freixo (2002, p. 111), “um caderno cheio de definições e propriedades,

seguidas de páginas de resolução de exercícios não garante a fluência desejável na

capacidade de expressão e raciocínio matemático”.

Também o facto de os alunos terem de registar as suas conclusões e tentarem explicá-

185

las levou a que tivessem de repensar e reflectir sobre as propriedades e relações

geométricas, tomando consciência delas, dos procedimentos usados, levando-os a

comunicar matematicamente. Neste aspecto o GSP teve um papel fundamental pois, tal

como concluiu Piteira e Matos (2002), os alunos ao recorrer aos menus e à barra de

ferramentas falavam e exploravam objectos geométricos que os ajudou a pensar, a

compreender e a comunicar.

De um modo geral, da análise da experiência, podemos constatar que a maior parte dos

alunos que participou neste estudo é capaz de identificar propriedades e algumas relações e,

a partir da experimentação, formular pequenas conjecturas. No entanto, quando se trata de

registar conclusões, justificações ou pequenas demonstrações, deparámo-nos, a princípio, e

na maioria dos alunos, com diversas falhas: a nível de conhecimentos, a nível da

comunicação matemática, onde se notou falta de rigor na linguagem, onde confundiam

termos e conceitos e usavam indiscriminadamente palavras sem pensar no seu significado,

e, sobretudo, a nível do desenvolvimento do raciocínio, dificuldades em aplicar, relacionar

e justificar propriedades, conclusões ou procedimentos, o que lhes dificultou tais

actividades.

Este é, talvez, o reflexo de uma tradição de uma aprendizagem estática, assente na

memorização e na mecanização, com que acreditamos ter conseguido romper, e, apesar de

todas essas dificuldades e limitações, estamos satisfeitos porque acreditamos ter

contribuído para desenvolver nos alunos um pouco dessas capacidades, contribuído para

ver a disciplina com outros olhos, por terem ganho o gosto pela investigação, por termos

conseguido desafiá-los e, nesse sentido, foram decisivos o computador e o GSP ao

motivarem e desafiarem os alunos. Acreditamos também que tenha facilitado a aquisição de

conceitos e os tenha responsabilizado mais pelo seu trabalho, pois “sozinhos” tinham de

chegar às conclusões. Mas, apesar de ser verdade, tal como afirma Saraiva (1995) e Freixo

(2002), tais recursos não foram substitutos nem do professor nem dos alunos, pelo

contrário, a nossa presença e o nosso papel foi fundamental. O GSP deixou espaço para

reflectir, mas os colegas de grupo e o professor foram determinantes na tomada de

consciência das suas acções e dessa reflexão.

O GSP, com a experimentação que proporciona, é um óptimo auxiliar na procura de

186

relações e invariâncias. O professor com o constante questionar, com as suas sugestões e

pistas é um óptimo auxiliar na formulação e justificação de conjecturas. Dois óptimos

aliados na construção de um saber que se quer, mais reflexivo, mais critico, mais

significativo e mais sólido.

O constante questionar por parte do professor – “É válido para todos os casos?”, “E o

que acontece se...?”, “Porque é que é assim?” –, tal como defendem vários autores (e. g.,

APM, 1988, De Villiers, 1997 e Saraiva, 1995), é importante no sentido que os desafia a

pensar, a comunicar, a encontrar justificações e a estabelecer raciocínios lógicos, para que

sintam a necessidade e a utilidade das demonstrações, pois, caso contrário, como alerta

Saraiva (1995, p. 250), corremos o risco que continuem a vê-las como qualquer coisa sem

sentido, “inútil e aborrecida”. Trata-se de um desafio, não só para alunos, mas também para

professores. Há que ter a coragem de mudar, pois “se a Matemática é mais do que “contas e

algoritmos”, será necessário mostrá-lo aos alunos, por eles e por ela” (Saraiva, 1995, p.

257).

6.2.2. Desenvolvimento de uma pedagogia para a autonomia

Cada vez mais, nos dias de hoje, face a uma sociedade cada vez mais complexa e

heterogénea, cada vez mais exigente e competitiva, a capacidade de nos tornarmos seres

autónomos, com um papel cada vez mais interveniente, é fundamental no sentido de

conseguirmos dar resposta, de forma crítica, aos desafios que se nos colocam. É nesse

sentido que temos de formar esses seres e de os preparar para essas exigências. Temos,

portanto, de repensar papéis e objectivos.

Assim, na construção de uma “pedagogia para a autonomia” em substituição de uma

“pedagogia para a dependência”, o aluno deve deixar de ser “sujeito passivo do saber” para

passar a ser “sujeito consumidor crítico e produtor criativo do saber”. O professor tem de

deixar de ser a “única fonte de saber, abandonando o papel de transmissor “para assumir o

papel de “mediador na relação aluno-saber, parceiro da negociação pedagógica”. O saber

deixa de ser “estático e absoluto” para passar a ser “dinâmico, transitório e diferenciado de

sujeito para sujeito”. O objectivo principal deixa de ser a “aquisição de conhecimentos” e o

187

“domínio de capacidades do tipo cognitivo” para:

“aproximar o aluno do saber e do processo de aprendizagem, ajudá-lo a aprender a aprender, a desenvolver a capacidade de gerir a própria aprendizagem, encorajar a responsabilidade e a assunção de uma postura pró-activa no processo de aprender, desenvolver uma perspectiva crítica da escola, do saber e da aprendizagem” (Vieira, 1998, p. 38).

Neste sentido, quer o GSP, quer o trabalho de grupo, quer as tarefas de

investigação/exploração, quer a nossa orientação, acreditamos terem tido um papel

decisivo, ao permitirem aos alunos participar mais activamente no seu processo de

aprendizagem, construindo o seu próprio conhecimento. Participaram na tomada de

decisões, conduziram investigações, fizeram descobertas, trabalharam cooperativamente e,

ao interagirem uns com os outros e ao trabalhar com o computador, tornaram-se mais

activos e enriqueceram a sua aprendizagem. Trabalharam ao seu próprio ritmo, salvo

aqueles que recearam, desde o início esta nova metodologia. Um dos alunos tinha “pânico”

destas aulas, o que destaca a necessidade de diversificar estratégias, uma vez que os alunos

não são todos iguais e não aprendem todos da mesma maneira.

Também na resolução de algumas tarefas foi evidente essa acção. Os alunos

envolveram-se activamente e entusiasmadamente, o que acreditamos ter contribuído para

uma aprendizagem mais estimulante e efectiva, para a construção de uns “bons alicerces”

para o futuro, pois tratou-se de uma abordagem diferente e estimulante da qual certamente

se vão lembrar.

No contexto em que hoje em dia vivemos, de uma aversão tão enraizada relativamente à

matemática, onde não é fácil conseguir um ambiente como o vivido nesta experiência, os

“fascínios da matemática” são ignorados porque os alunos continuam a contactar com

ambientes estáticos onde predomina a memorização e a mecanização. O aprender um sem

fim de conceitos que “não lhes dizem nada” e que não sabem o que fazer com eles não é

com certeza o caminho a seguir. Não foi fácil conseguir este ambiente. Inicialmente os

alunos sentiram-se um pouco desorientados, olhavam para o ecrã sem saber bem o que

fazer com as propostas que deixávamos ao seu critério e necessitavam desesperadamente da

nossa ajuda. Alguns mal liam o enunciado já estavam a perguntar o que era para fazer e

188

como. Com o decorrer da experiência foram ganhando confiança e, depois de se irem

adaptando ao novo estilo de tarefas, notou-se uma considerável evolução por parte de

muitos alunos quanto à forma de as encarar. Apesar de continuarem a solicitar a nossa

ajuda para confirmar resultados e esclarecer eventuais dúvidas, acabaram por tentar fazer as

suas investigações e elaborar as suas conclusões sozinhos e alguns alunos sentiram-se

mesmo desafiados com esta nova maneira de trabalhar.

Raramente assumimos um papel de transmissores de conhecimento e, através de

sugestões e questões levantadas, quer por nós, quer pelos alunos, tentámos levá-los a

conseguir construir esse mesmo conhecimento, num processo de mediação entre alunos,

professor e saber, indo de encontro a vários aspectos considerados importantes nas actuais

orientações, facultando aos alunos um papel mais activo na sua própria aprendizagem do

qual tomaram consciência.

Esta metodologia de ensino, onde está subjacente a construção do conhecimento pelos

alunos, ao invés da habitual transmissão pelo professor, contribuiu, no entanto, para atrasos

sucessivos e acentuou a pressão da necessidade de cumprir o extenso programa e de

preparar os alunos para a prova global, não havendo, assim, tempo suficiente para

aprofundar mais determinadas questões, principalmente no que diz respeito à

demonstração.

O factor tempo pode ser assim um obstáculo a este propósito, pois para termos sucesso

na promoção da autonomia é importante que os alunos tenham tempo e que nós também

tenhamos tempo para os familiarizar (e nos familiarizarmos) com este novo tipo de

metodologias e actividades.

Nesta experiência tentámos familiarizar os alunos com as novas tecnologias, com novos

métodos de trabalho, com novos conceitos, novas actividades. Tentámos que se tornassem

mais activos, mais críticos e mais autónomos. E, esse foi o “nosso prémio!”

A principal vantagem desta experiência, acreditamos sinceramente, ter sido a

contribuição para uma melhor aprendizagem, mais significativa e mais autónoma,

concordando com a opinião de diversos autores, entre os quais Freixo (2002, p. 326),

quando diz que “o facto de envolver os alunos nas descobertas, ao invés de “despejar” a

informação, conduz a um conhecimento mais sólido”. Os alunos exploraram, observaram,

189

reflectiram, discutiram, descobriram, demonstraram, pensaram, duvidaram, criticaram.

Muitos sentiram-se desafiados!

Talvez a experiência não tenha conduzido aos resultados imediatos que desejávamos,

talvez não seja logo “visível” e que este tipo de metodologia pareça não trazer a curto prazo

grandes evoluções, mas acreditamos, tal como refere Ponte (1997), que “os grandes efeitos

das inovações tecnológicas são muitas vezes apenas visíveis a longo prazo. No imediato, a

maioria das oportunidades não são compreendidas pelos seus potenciais utilizadores” (p.

20), pois não foi uma aprendizagem assente na memorização, tal como os alunos

reconheceram. Tiveram de investigar, de descobrir, de reflectir, de compreender, de aplicar.

Para dar resposta à nossa crença haveria a necessidade de dar continuidade ao estudo. É,

portanto, uma área de grande importância e que deve captar o interesse da investigação,

pois é urgente o “combate à passividade dos alunos” e “é um desafio a qualquer professor

que queira melhorar a qualidade do seu ensino” (Saraiva, 1995, p. 238). Nestas aulas como

que são “obrigados” a agir, a tomar algum tipo de acção, nem que seja para “não ficarem

para trás”!

6.2.3. Atitudes e concepções dos alunos acerca da geometria e da demonstração

Os conceitos de atitude e concepção não têm, de acordo com Matos (1992), um

significado consensual.

A atitude é, do ponto de vista de Saraiva (1995), encarada como uma intenção de

comportamento, que exprime uma orientação face a um objecto, sendo elaboradas a partir

da experiência e das predisposições que um indivíduo tem em relação a esse objecto, num

dado ambiente, e influenciam, de forma consciente, as respostas relativas ao objecto

(Matos, 1992). Quando nos referimos à organização da informação respeitante a esse

objecto estamos a referir-nos às suas concepções (Saraiva, 1995).

Como afirma Almeida (1992, p. 173), “reflectir sobre atitudes e concepções não é tarefa

fácil”! Tendo consciência dessa dificuldade e da sua subjectividade, vamos, com base nas

respostas dos alunos aos questionários, na entrevista realizada à professora e na apreciação

global que fizemos da experiência, sintetizar as ideias de como os alunos viram o ensino e a

190

aprendizagem da geometria e de como viveram a experiência.

Da análise dos dados, podemos constatar que os alunos, de um modo geral, têm uma

atitude bastante favorável da geometria. Vêem-na de uma forma dinâmica, criativa e útil,

onde podem investigar, experimentar e explorar, necessária para compreendermos melhor o

mundo em que vivemos. No entanto, sentem-se inseguros quando confrontados com a

resolução de problemas, com a formulação e justificação de conjecturas, tendo alguns

alunos manifestado a necessidade do tradicional método de escrever o que o professor

escreve, de resolver os exercícios que o professor propõe, de estudar o que têm no caderno.

Embora os alunos considerem que a maioria dos empregos não exige conhecimentos de

geometria e que esta não é muito importante na sua formação, reconhecem a sua

importância no dia-a-dia e apontam várias situações onde é necessária. Encaram o seu

ensino de uma forma dinâmica e inovadora, preferindo as novas metodologias de ensino,

como a utilização do computador e a realização de trabalhos de grupo, às práticas

tradicionais.

Com o decorrer da experiência, os alunos passaram a ver a geometria como sendo mais

difícil, o que pode ter contribuído para que alguns tenham ficado com uma opinião menos

favorável dela, pois segundo alguns autores, como Matos (1992) e Varandas (2000), as

concepções e atitudes dos alunos estão estritamente relacionadas com as suas experiências

de aprendizagem. Mas, apesar das dificuldades sentidas, constatamos que a maioria

continuou com uma opinião favorável da geometria, havendo mesmo quem tenha passado a

considerá-la mais interessante, o que traduz uma pequena melhoria em termos de atitudes.

No que diz respeito à demonstração, a quase totalidade dos alunos nunca tinha ouvido

falar e, nas actividades, dependiam quase exclusivamente da ajuda da professora. Com a

experiência, essa dependência, embora ainda se fizesse sentir, já não foi tão forte. Os alunos

passaram a trabalhar mais “sozinhos”, dependendo mais de si próprios e do trabalho em

conjunto com os seus colegas e com o computador e passaram a recorrer mais à verificação,

actividade a que se habituaram para confirmar as suas conjecturas.

Embora muitos alunos não tivessem ficado com uma ideia clara do que é demonstração

e da sua necessidade, uma percentagem satisfatória de alunos reconheceu a demonstração

como algo mais do que “mostrar” ou até mesmo “verificar”. Alguns alunos, 37%,

191

reconheceram outra função muito mais importante, apontada por De Villiers (1996a), a

explicação, que tanto tentámos trabalhar com eles ao longo das aulas. Dizemos satisfatória

para o nível de ensino destes alunos e para as suas dificuldades de aprendizagem.

A avaliação que os alunos fizeram da experiência foi bastante positiva, e o mesmo se

verificou com a professora da turma. A maioria dos alunos concordou que a metodologia

usada estimulou a aprendizagem, mas já não podemos afirmar o mesmo quando se trata de

a facilitar, onde apenas 44,4% dos alunos concordaram que a metodologia usada facilitou a

aprendizagem.

Os alunos referiram-se também à utilidade dos computadores nos dias de hoje e à

importância desta experiência nesse aspecto. Foram também unânimes em considerar que

as aulas com recurso ao computador e ao GSP foram mais motivadoras e mais vantajosas.

É verdade que o computador e o GSP se traduziu numa melhoria de empenho, mas

traduziu-se também em aulas mais barulhentas. Pensamos que tal se deveu ao facto de

trabalharem em grandes grupos, onde grupos distintos trabalhavam em conjunto, e não por

falta de interesse ou empenho, exceptuando, como é de esperar, um ou outro grupo que se

aproveitou da situação para “brincar um pouco”!

Apesar dos aspectos positivos referidos, também a maioria concordou que surgiram

muitas dificuldades, que foram variando ao longo da experiência. Por se tratar de uma

experiência completamente nova, tiveram, inicialmente, muitas dificuldades em perceber o

que se pretendia, necessitando muito da nossa orientação.

A necessidade de escreverem as conclusões e apresentarem justificações válidas tornou

as tarefas mais complexas e os alunos mostraram-se mais reticentes a este tipo de

actividade, face à sua dificuldade de expressão e de raciocínio para poder estabelecer e

justificar relações entre os diferentes objectos.

Com o decorrer da experiência deixaram de nos chamar para “pequenas coisas”. Já

faziam as suas experiências, formulavam as suas conjecturas e confirmavam a sua

veracidade. Mas, continuaram a confrontarem-nos com as suas respostas, com a

preocupação de as validarmos e, principalmente, na “difícil tarefa” de “explicar o porquê

das coisas”, de encontrar justificações válidas e estabelecer pequenas demonstrações.

Apesar desse “pequeno, grande” progresso, que foi a aquisição progressiva de autonomia,

192

principalmente no que diz respeito a algumas actividades, a maioria dos grupos,

principalmente os com mais dificuldades, mantiveram o hábito de nos chamar como uma

forma mais cómoda de ultrapassar qualquer obstáculo, qualquer dificuldade.

Já no que concerne à utilização do GSP, desde o início que a grande maioria dos alunos

o explorou sem dificuldade e com grande interesse, manipulando facilmente os menus e a

barra de ferramentas. Não tiveram receio nem dificuldade em começar logo a experimentar

as várias opções, mostrando muito entusiasmo e facilidade em recorrer às suas opções.

Alguns alunos mostraram, inicialmente, alguma dificuldade na gravação dos ficheiros, não

gravando no directório correcto e não se preocupando com o nome do ficheiro, o que se

traduziu depois em não saberem onde estava e qual o nome dado.

Os alunos manifestaram várias vezes o gosto pelo trabalho de grupo, referindo-se às

suas vantagens. Falaram da troca e discussão de ideias, da ajuda para ultrapassar

dificuldades, da oportunidade de serem mais activos e mais autónomos. Essa troca de ideias

verificou-se não só entre elementos do mesmo grupo, mas também entre grupos diferentes

que se apoiaram mutuamente, e, principalmente, com a professora e a investigadora, onde

foram levados a adoptar uma atitude mais crítica e mais reflexiva, onde tiveram de tomar

consciência das suas acções e clarificar o seu pensamento. Mas, nem todos o aproveitaram

da mesma forma. Verificou-se que em alguns grupos faltou a discussão de ideias, o que

pode ter a ver com o facto de não estarem habituados a fazê-lo ou pela própria maneira de

ser e de estar dos alunos. Outros mostraram-se dependentes do trabalho dos colegas ou

aproveitaram para “brincar um pouco”! Mas, quer alunos, quer professora concordaram

que, de um modo geral, superaram dificuldades, desenvolveram o espírito crítico, de

colaboração e inter-ajuda e, embora não estivessem todos ao mesmo nível de

conhecimentos, concordaram que estavam mais activos, a pensar e a discutir matemática.

Reconheceram-se num novo papel, mais activo, mais reflexivo e mais autónomo e portanto

numa aprendizagem mais estimulante e produtiva. Mas, também reconheceram algumas

limitações. Foram várias as vezes que se referirem às dificuldades sentidas, ao pouco tempo

disponível para aprender e ao barulho que se fazia sentir por serem muitos alunos.

No que diz respeito às tarefas, notaram-se algumas dificuldades relativamente à tomada

de iniciativas e à gestão do tempo, mas a maioria considerou-as importantes e interessantes,

193

sendo de um modo geral do seu agrado. Reconheceram que lhes permitiram “descobrir”,

“reflectir”, “aprender”, “aplicar”, “fazer experiências” e “ser mais autónomos”, ou seja, ter

um papel mais activo e uma atitude mais positiva perante a aprendizagem. Alguns alunos

acabaram mesmo por preferir as tarefas mais desafiantes, como as das fichas 6, 7 ,9 e 10,

que despertaram a sua curiosidade e criatividade, onde o facto de terem conseguido fazer

descobertas lhes deu uma pequena sensação de “vitória”.

No que concerne à experiência, os resultados obtidos permitem-nos constatar que, em

geral, quer os alunos, quer a professora da turma, mostraram-se contentes por participar e

satisfeitos com os resultados, tendo-a classificado como motivadora, positiva e

enriquecedora. Os alunos aderiram bem à experiência e sentiram que foram capazes de

realizar as tarefas propostas quer sozinhos, quer com o apoio dos colegas, do GSP e da

professora. Mostraram-se satisfeitos e realçaram a “boa prestação das professoras”!

Apesar de muitos terem declarado sentir muitas dificuldades e do receio da avaliação,

todos mostraram grande adesão e foi notório o muito entusiasmo e interesse, considerando

que as aulas foram mais motivadoras e que se empenharam mais do que nas aulas normais.

O ambiente de trabalho que se viveu ao longo da experiência foi bom, quer ao nível das

relações inter-pessoais, quer ao nível da aquisição de conhecimentos, e, portanto, acabaram

por preferir este tipo de ambiente de trabalho. Os alunos sentiram-se “livres” para

participar, houve confiança e respeito mútuo, houve oportunidades para fazerem

descobertas por si, de “aprenderem o sentido das coisas”, de se sentirem desafiados, de

serem mais activos e mais autónomos, de crescerem como alunos e como pessoas.

Os resultados desta experiência sugerem que o computador apoiado com software

adequado e com tarefas diferentes e adequadas, podem contribuir para um processo de

ensino/aprendizagem mais rico, devido ao seu poder motivador e às suas potencialidades

para o ensino da geometria, em que as actividades de iniciativa e de descoberta são

predominantes. Contribui para um bom ambiente de trabalho, motivador e activo,

interessante e estimulante, onde os alunos trabalham ao seu próprio ritmo, envolvem-se

mais activamente e deixam de ter um papel passivo e onde o computador e o professor são

seus “companheiros na descoberta”.

194

6.3. Limitações e recomendações

Reflectindo sobre as conclusões do estudo, pensamos poder fazer um balanço bastante

positivo da experiência realizada. No entanto, também sabemos que qualquer estudo está

condicionado por vários factores, quer internos, quer externos à investigação. Assim, apesar

de todos os aspectos positivos já mencionados, também nos deparamos com alguns factores

limitadores e temos consciência que algumas opções não foram as mais acertadas e que

hoje tomaríamos outras relativamente a determinados aspectos, como a forma como os

alunos trabalharam, a planificação das tarefas, aspectos do GSP que não foram explorados.

Uma das primeiras limitações com que nos deparámos foi encontrar alguém disponível

e sem receios de uma experiência nova, bem como a planificação das tarefas. Uma vez que

as tarefas tinham de ir ao encontro da planificação anual dos professores de Matemática da

escola, não foi possível abordar o tema de transformações geométricas, e foi com algumas

reticências que se realizaram algumas tarefas que “fugiam” um pouco a essa planificação.

Tivemos, também, de as reformular, no sentido de serem mais orientadas, face às

dificuldades dos alunos. Hoje temos consciência que estávamos a exigir demais dos alunos,

mais do que aquilo que podiam dar, e que teria sido desejável ter trabalhado menos tarefas

e ter aproveitado mais o tempo para aprofundar a sua exploração. Mesmo assim, é de

louvar o seu esforço em atender ao nosso pedido pois nunca disseram não e nunca

desistiram. Mesmo os alunos com mais dificuldades tentaram resolver as tarefas e não

desistiram. Alguns andavam cansados e preocupados com a avaliação, mas tentaram

sempre responder às nossas solicitações.

Esta tomada de consciência relativamente ao número de tarefas propostas, teve muito a

ver com outro factor limitativo, o factor tempo. O factor tempo foi um obstáculo a esse

mesmo aprofundamento do trabalho dos alunos, quer na exploração das tarefas, quer na

procura de conjecturas e justificações, quer na exploração do GSP, tendo sido preferível ter

menos tarefas e intercalá-las.

Dar toda uma unidade com recurso ao computador não foi, a nosso ver, viável. Os

alunos acabaram por se limitar a verificar alguns casos por arrastamento e chegar às

conclusões que se centraram em respostas simples e curtas às questões formuladas, não se

195

aventurando muito além daquilo que era pedido. Também a discussão em relação às

conclusões poderia ter sido mais aprofundada. Poucas foram as vezes que sentiram a

necessidade de procurar justificações, salvo quando eram confrontados com as nossas

questões ou púnhamos em causa as suas respostas, pois sentiam muitas dificuldades em

relacionar conceitos para formar justificações, quer por falta de conhecimentos quer por

falta de hábitos neste tipo de raciocínio, limitando-se muitas vezes a dizer “vê-se logo” ou

“parece” ou, por arrastamento, confrontavam-nos com a evidência de que aquela ou outro

tipo de relação se mantinha.

Não sabemos a que se deveu, mas a justificação baseada na evidência das imagens foi,

assim, predominante. Acreditamos, no entanto, que tal se iria verificar noutras situações

face ao nível destes alunos, à falta de hábitos de raciocínio e à falta de hábito em trabalhar

com este tipo de tarefas. A procura de justificações, a experimentação e a realização de

demonstrações não são actividades habituais nas nossas salas de aula e não são e não foram

fáceis para os alunos.

As aulas de Matemática, ainda, e infelizmente, se pautam por uma tradição de ouvir e

escrever o que o professor diz e de resolver 1001 exercícios sobre uma determinada

matéria. Necessitam, pois, de mais contacto com este tipo de actividade, pois, apesar de

termos conseguido alguns progressos com alguns alunos, não foi uma actividade fácil para

a generalidade e não conseguimos incutir nos alunos a necessidade da demonstração. Quais

serão as tarefas mais indicadas para promover com mais sucesso esta actividade? Que tipo

de metodologias? Como é que os alunos podem transformar as suas justificações baseadas

na evidência das figuras em justificações mais formalizadas? Como o fazem? São questões

que nos colocamos e que podem servir de base a futuras investigações.

Pesou também a necessidade de cumprir o programa. Tivemos pouco tempo para

familiarizar os alunos com este tipo de aulas, não tirando assim mais partido das suas

potencialidades. Quando os alunos começaram a encarar as tarefas de uma outra forma,

tornando-se mais empenhados e activos, foi quando a experiência teve de terminar. É

preciso mais tempo, quer para alunos quer para professores, para se relacionarem

harmoniosamente com este tipo de tarefas e metodologias.

Ferramentas como o GSP são facilitadoras e mediadoras, mas é com a nossa mente que

196

fazemos Matemática, é pensando logicamente, construindo e testando conjecturas,

formando e manipulando conceitos, construindo e testando argumentos, inventando

procedimentos, e, para tudo isto, é necessário tempo, tempo para que os alunos se

acostumem a participar nesta cultura de sala de aula e se sintam confortáveis com ela

(Battista, 2003), pois o desenvolvimento de capacidades matemáticas e de atitudes

favoráveis ocorrem de aluno para aluno de formas diferentes e a ritmos diferentes, o que

exige o seu tempo. Tal ter-se-ia traduzido numa recolha de dados mais rica e poder-se-ia ter

optado por tarefas de natureza mais aberta, também mais ricas.

No que diz respeito ainda às tarefas, o facto de não termos indicado os comandos nas

fichas de trabalho pode também ter contribuído para algumas dificuldades e para os atrasos

na resolução das mesmas. Mas, teve, no nosso entender, a vantagem de os fazer pensar

mais um pouco, pois tinham de ler as tarefas com atenção, interpretar quais os menus

necessários a utilizar e, principalmente, com que objectos geométricos trabalhar e como,

pensando sobre o que tinham e o que queriam.

Também as figuras auxiliares nas fichas podem ser, a nosso ver, limitadoras. Algumas

vezes induziram em “erro” os alunos, que começavam logo a construir uma figura

semelhante, sem ler primeiro o que era para fazer. O facto da figura estar presente facilita a

sua actividade, mas limita o seu raciocínio. Se as fichas não tiverem figuras de orientação

força-os a pensar mais sobre os objectos matemáticos a trabalhar e a como os trabalhar.

Outra das limitações com que nos deparamos, logo no início da experiência, prende-se

com o facto de serem muitos alunos a trabalhar em grupos de 2 a 3 alunos, numa sala de

reduzidas dimensões, com apenas 10 computadores funcionais, muito próximos uns dos

outros, o que dificultou o registo de notas e favoreceu alguma agitação por parte dos alunos

menos empenhados, que acabaram por se aproveitar da situação. Principalmente, porque as

relações inter-pessoais entre os alunos eram óptimas, e acabaram por trabalhar em “grandes

grupos”, comparando construções e conclusões, ajudando-se uns aos outros, o que, por um

lado, também foi muito positivo.

A inter-ajuda pode ser útil, quer para os bons alunos quer para os alunos com mais

dificuldades. Aos melhores alunos permiti-lhes “observar processos conhecidos e reflectir

sobre eles... a ajuda pode também beneficiar alunos com dificuldades desde que estes

197

reconheçam a sua necessidade e tenham oportunidade de usar de facto as explicações

recebidas” (Matos e Serrazina, 1996, p. 149). Este tipo de relação verificou-se em alguns

grupos mais activos e cooperantes.

Foi sugerida a divisão da turma, mas tal não foi possível, o que teria sido muito

favorável, pois teria sido mais rentável trabalhar com menos alunos, facto a que eles

próprios também fizeram referência. Estas condições dificultaram também o nosso apoio às

constantes solicitações dos alunos, que, apesar de terem diminuído, com o decorrer da

experiência, foi difícil, principalmente no início, dar resposta a todos, contribuindo para

sucessivos atrasos e para que ficássemos limitados em termos de tempo. Pelo que, seria

desejável que as turmas fossem constituídas por menos alunos ou que fosse possível o

desdobramento da mesma ou ter mais do que um professor na sala de aula. É também

importante que as escolas usufruam de melhores condições, apesar de estarem muito

melhor do que há alguns anos atrás. É necessária uma sala suficientemente espaçosa e com

computadores suficientes e em boas condições técnicas, para se poder trabalhar com o

mínimo de condições. Também se torna útil a existência de um Data show para fazer

exposições à turma, evitando-se ter de percorrer todos os grupos para explicar determinada

dúvida que é mais ou menos geral ou qualquer outra questão que achemos pertinente

partilhar e discutir com todos.

Há quem também defenda que os alunos possam estar a trabalhar na mesma sala tarefas

diferenciadas (Piteira, 2000, Saraiva, 1995). Este tipo de ensino, envolvendo uma “grande

ginástica” por parte do professor no sentido de orientar tarefas e metodologias tão

diferentes numa mesma aula, ainda hoje em dia é de difícil implementação, principalmente

se faltar aos alunos hábitos de trabalho, de autonomia e de responsabilidade.

Apesar de os alunos não terem manifestado grandes dificuldades na utilização do

computador e do GSP, para alguns alunos com menos contacto e à vontade com as novas

tecnologias, a falta de prática pode ser um factor limitativo, não permitindo aprofundar

mais as suas potencialidades.

O GSP desempenha um papel fundamental na compreensão dos conceitos, na

progressão dos alunos na realização de experiências, formulação de conjecturas, na

exposição de raciocínios e na discussão de ideias, mas, os alunos, tal como eles próprios

198

reconheceram, devem ter tempo para se adaptarem e para aprenderem a trabalhar com o

programa. É também importante que seja complementada com outro tipo de metodologias,

como tínhamos inicialmente previsto, a que os alunos também fizeram referência, pois não

nos podemos esquecer que “o processo de ensino/aprendizagem é algo de muito pessoal,

uma vez que o que funciona com um professor ou turma não tem necessariamente de

funcionar com outros” (Swetz, 1994, citado em Freixo, 2002, p. 338), e o que é aliciante e

acessível para uns não quer dizer que o seja para outros.

Portanto, tal como salientam Méndez, Estévez e del Sol (2003), apesar de todas as

vantagens das novas tecnologias, não quer dizer que estas venham substituir

completamente os meios tradicionais, devemos sim arranjar forma de combinarmos os

vários recursos de modo que se traduzam num ensino e aprendizagem de qualidade.

Outro factor que também pode ter sido limitador, foi o facto de a investigadora não se

ter limitado ao papel de observadora passiva, intervindo e acabando por adoptar um papel

de professora. Tal aspecto impossibilitou que se focasse apenas na observação e registo de

notas, no sentido permitir uma recolha e análise de dados mais completa. Mas, por outro

lado, permitiu ajudar os alunos, ter um contacto mais pessoal com eles, ganhar a sua

confiança e discutirem as tarefas em conjunto. Trabalhar com estes alunos foi muito

gratificante, pois mostraram-se muito cooperantes e empenhados e foi de uma forma

espontânea que os alunos começaram logo a solicitar ajuda e ganharam confiança para

colocar questões. Também foi limitador o facto de a investigadora não conhecer a turma,

não saber até que ponto poderia ir e ter outras expectativas, quer ao nível das propostas de

trabalho, quer ao nível da exploração.

A preocupação dos alunos com a avaliação foi também, a nosso ver, um dos factores

mais limitativos nesta experiência, pois os alunos, a partir de certa altura, e, à medida que o

momento de avaliação se aproximava, começaram a sentir-se inseguros. Alguns alunos

responsabilizaram a experiência pelo seu insucesso e referiram-se à necessidade de ter aulas

normais. É, portanto, indispensável discutir e até mesmo negociar com os alunos o seu

processo de avaliação para se sentirem mais seguros e mais intervenientes. Que tipo de

avaliação mais apropriada a este tipo de metodologias? É uma questão que pensamos ser

pertinente para também ser abordada em futuras investigações.

199

Parecem, à partida, muitas limitações para um estudo só, mas não nos podemos

esquecer da complexidade que está por trás de um estudo deste tipo, onde intervêm

diversos factores, onde estamos a lidar com seres humanos com os seus medos,

inseguranças e limitações. Pesa o tipo de turma, pesa a maturidade dos alunos, pesam os

seus conhecimentos e capacidades, pesa o contexto em que se insere, pesam os objectivos

que queremos alcançar e como.

Os resultados podem não ter sido os esperados ou desejados, mas foram com certeza

relevantes sobre o ensino e aprendizagem da geometria com recurso aos AGD. A realização

deste estudo e as limitações com que nos deparámos, leva-nos a reflectir e a repensar

muitos dos aspectos, as nossas opções, as nossas acções, de modo a poder olhar para

caminhos que foram favoráveis e outros que possam vir a ser melhorados, no que diz

respeito ao processo de ensino/aprendizagem e a futuras investigações, relativamente à

aprendizagem por descoberta, à utilização de novas metodologias de ensino, como são os

AGD, à questão da autonomia, à realização de novos modelos de tarefas.

Reforçando as ideias dos vários autores que serviram de base a este estudo, seria

interessante e relevante continuar a centrar os estudos nesta área, pois este estudo veio

reforçar a ideia das grandes potencialidades educativas da utilização dos AGD e, como tal,

devem ser promovidos com mais regularidade nas nossas salas de aula. Há, contudo, de ter

em consideração que nem todos aprendemos da mesma forma e que, contra todas as

vantagens apontadas a estes ambientes, há alunos que não se sentem à vontade e que

preferem outro tipo de metodologias, há ferramentas de trabalho que podem ser mais

adequadas para compreender melhor determinado tema do que outros, pois como afirma

(Laborde, 1993), é diferente aprender geometria recorrendo aos tradicionais papel, lápis,

régua e compasso do que recorrer aos AGD, que, por sua vez, é diferente de recorrer a

materiais manipuláveis.

Acreditamos ter contribuído para o desenvolvimento de algumas capacidades

consideradas importantes. Os alunos compreenderam conceitos, reconheceram e

relacionaram propriedades, estabeleceram conjecturas. No entanto, tiveram grandes

dificuldades em estabelecer raciocínios lógicos, o que os coloca, segundo De Villiers

(2003), num dos três primeiros níveis de pensamento geométrico de van Hiele. Será que

200

este tipo de ambientes favorece uma progressão mais rápida, uma vez que os alunos têm

um papel mais activo? Vicent (1998), num estudo exploratório, concluiu que o AGD,

Cabri, influenciou positivamente a progressão de um nível de van Hiele para outro.

Acreditamos também ter contribuído para que os alunos adoptassem uma atitude mais

dinâmica e autónoma. É importante que não se limitem a estudar os exercícios e a matéria

que sai para o teste, mas que ganhem o hábito e o gosto por aplicar e relacionar os

conceitos aprendidos, investiguem por si, debatam ideias, estabeleçam raciocínios lógicos,

de modo a conseguir uma melhor integração e consolidação dos saberes e para se tornarem

mais participativos e autónomos na sociedade de hoje. Temos, para isso, de proporcionar

aos alunos experiências de aprendizagem onde possam adquirir, além de competências

matemáticas como a compreensão, a comunicação e o raciocínio, a capacidade de reflexão

e autonomia.

O conceito de autonomia é um dos mais antigos, “tão antigo como as próprias

sociedades humanas” (Vieira, 1998, p. 21), mas é recente no contexto escolar, pelo menos

no que diz respeito aos alunos. Com tantas transformações, o modelo tradicional apresenta-

se cada vez mais desinteressante e desajustado para os nossos alunos, pelo que a escola tem

de cativar e proporcionar “oportunidades de aprender a aprender” (Vieira, 199, p. 23), no

sentido de dar resposta às necessidades dessa sociedade e de “sobreviverem” às suas

exigências. Daí, a importância ou o interesse de continuar a investigação nesta área.

Como já fizeram referência muitos autores, é verdade que tem havido muito interesse

por parte, quer de investigadores, quer de professores, por estes estudos. Mas, por muitos, e

por muito positivos, que sejam, não serão suficientes se não se derem a conhecer às escolas

e aos professores. É bom que não fiquem fechados numa gaveta lá de casa ou numa estante

de uma biblioteca!

Os professores, de um modo geral, falam pouco sobre as suas experiências na sala de

aula e colaboram pouco uns com os outros. Temos de os incentivar a fazer o mesmo com os

seus alunos. A professora participante neste estudo partilhou a nossa experiência nas

reuniões de departamento e com outros colegas, quer da área de Matemática, quer de outras

áreas, que se mostraram interessados e curiosos. Esta é também uma área interessante onde

os professores podem desenvolver trabalho colaborativo. Os professores podem trabalhar

201

colaborativamente e desenvolver experiências de ensino similares com recurso aos AGD,

da mesma área ou não.

Esta experiência alterou a rotina habitual das aulas de Matemática, quer para os alunos

quer para a professora, quer para a investigadora e, ao longo desta, surgiram surpresas

agradáveis, surgiram “contraditórios”, novas interacções, novos papéis, novas actividades,

novos empenhos, novos desafios. Surgiram reacções positivas e negativas, mas “surgiram”,

pois nada pode ser pior do que “nada” acontecer!

Os alunos revelaram atitudes variadas ao longo da experiência e, segundo a professora,

diferentes das aulas normais, opinião também partilhada pelos próprios alunos.

Demonstraram receio, insegurança, dificuldades, dependência. Mas, acima de tudo,

demonstraram maior interesse, maior empenho, maior autonomia, confiança e, muito

importante, gosto pela Matemática, o que acabou por se traduzir num balanço bastante

positivo, quer pela nossa parte, quer pela parte dos alunos, quer em relação à oportunidade

de trabalhar com o computador, quer em relação à aprendizagem.

Os alunos falaram da importância do trabalho com o computador por ser “fundamental

para o futuro” e “fazer parte do desenvolvimento do ensino”. Falaram de uma “maneira

diferente de aprender” e de “aprender o sentido das coisas”. Falaram de uma participação

mais activa, da facilidade em compreender algo que podem “tocar”, do maravilhoso” que é

“descobrir algo novo”, do “ser tudo muito mais empolgante” e “um estímulo para a

aprendizagem”.

É por tudo isto que acreditamos que valeu a pena! E é por tudo isto que podemos (e

devemos) reflectir sobre se queremos contribuir para toda esta “evolução”, para toda esta

“energia”ou se queremos continuar a “acomodarmo-nos” e a, como refere Freire (1997), a

“domesticar”!

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A N E X O S

219

ANEXO I – PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AO CONSELHO EXECUTIVO

Guimarães, 18 de Fevereiro de 2004

Ex.mo Senhor

Presidente do Conselho Executivo da

Escola Secundária de Felgueiras

Eu, Elsa Maria Barrigão Ferreira, aluna do Curso de Mestrado em Supervisão

Pedagógica em Ensino de Matemática, da Universidade do Minho, venho, por este

meio, solicitar a sua autorização para desenvolver, com a turma do 9º ..., em

colaboração com a Professora Carla ..., um projecto de ensino e aprendizagem do tema

Geometria do Plano, em Ambientes Geométricos Dinâmicos, nomeadamente com

recurso ao programa de geometria dinâmico: O Geometer’s Sketchpad.

Mais especificamente e de um modo muito sucinto, com este projecto pretendo

estudar as concepções e atitudes que os alunos, deste nível de escolaridade, têm perante

a geometria e a demonstração e de que modo esses ambientes favorecem o

desenvolvimento das capacidades de raciocínio e de argumentação.

O projecto insere-se no âmbito de uma investigação individual que culminará na

minha Dissertação de Mestrado.

Fico à inteira disposição de V. Ex.a para complementar toda a informação que

julgue oportuna.

Agradecendo desde já a sua colaboração, subscrevo-me com os melhores

cumprimentos,

Atenciosamente

_____________________________________

(Elsa Maria Barrigão Ferreira)

221

ANEXO II – PEDIDO DE AUTORIZAÇÃO AOS ENCARREGADOS DE EDUCAÇÃO

Felgueiras, 10 de Março de 2004 Ex.mo(a) Sr.(a)

Encarregado(a) de Educação do(a) aluno(a) ____________________________________________ N.º _____ da turma ... do 9º Ano da Escola Secundária de Felgueiras Vai ser desenvolvido com os alunos desta turma, em colaboração com a Dr.a Carla ...,

um projecto de ensino e aprendizagem do tema de Geometria do Plano com recurso a ferramentas computacionais, nomeadamente, o programa de geometria dinâmico, o Geometer’s Sketchpad.

O projecto insere-se no âmbito de uma investigação individual, que culminará na minha dissertação de Mestrado. Este tem como objectivo estudar as concepções e atitudes que os alunos, deste nível de ensino, têm perante a Geometria e a Demonstração e estudar o desenvolvimento das capacidades de raciocínio e argumentação.

Assim, solicito que autorize o seu educando a participar na recolha de dados. Utilizar-se-ão fotocópias dos trabalhos realizados pelos alunos, os trabalhos gravados em disquetes e gravações audio das aulas.

Em todas as aulas, a responsável pela turma continuará a ser a professora de Matemática.

É garantido, por mim, que os dados recolhidos apenas serão utilizados para os objectivos da investigação. Garante-se, igualmente, o anonimato do(a) aluno(a), se tal for solicitado.

Agradecendo, desde já, a colaboração prestada de V. Ex.a , solicito que assine a declaração em baixo, devendo depois destacá-la e devolvê-la.

Com os melhores cumprimentos,

______________________________ (Elsa Maria Barrigão Ferreira)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Declaro que autorizo o(a) meu(inha) educando(a) ______________________________ a participar na recolha de dados conduzida pela Dr.a Elsa Maria Barrigão Ferreira no âmbito da sua dissertação de Mestrado.

Solicito/Não solicito que seja mantido o anonimato do(a) meu(inha) edudando(a) no texto que for publicado (Riscar o que não interessa).

Felgueiras, _____ / _____ / __________

Assinatura ________________________________________

222

ANEXO III – MANUAL DE INICIAÇÃO AO GEOMETER’ S SKETCHPAD, VER. 4.00

Adaptado de The Geometer´s Sketchpad Guide 2001

223

O Geometer’s Sketchpad (GSP) é uma ferramenta que permite explorar determinados tópicos da geometria, leccionados no ensino básico e secundário.

Este permite construir e explorar uma variedade de figuras, como modelos do teorema de pitágoras, gráficos, curvas, fractais, etc, que podem ser manipuladas interactivamente sem que as relações matemáticas impostas na construção sejam alteradas.

Para uma melhor compreensão do GSP, neste pequeno documento, é-te apresentado um

guia de utilização com explicação dos menus e dos comandos mais utilizados, assim como alguns exemplos que podes experimentar.

Interface: Quando abres o programa e um novo sketch, este é o aspecto da tua janela de trabalho.

224

Barra de Ferramentas:

Selecciona e arrasta objectos. É também uma ferramenta para translações, rotações e homotetias*

Marca pontos Desenha circunferências Desenha segmentos de recta, rectas ou semi-rectas*

Legenda e cria caixas de texto Cria e trabalha com uma lista de ferramentas e comandos*

* • Para ter acesso a estas opções:

• Posiciona o cursor sobre a seta de selecção ou sobre a linha

recta. • Mantém o botão premido até aparecer toda a palete de

ferramentas. • Sem largar o botão do rato, arrasta para a direita até a tua

opção estar seleccionada e larga o botão.

Janela do Script:

Condições iniciais: objectos, necessários para a execução do script

o

225

Passos da construçã

Por exemplo, se precisares de construir vários papagaios, pode tornar-se tedioso repetir sempre os mesmos passos. Assim, podes criar uma ferramenta (Costum tool) que os construa, de modo que, depois de gravada, possas reproduzi-la sempre que desejares, noutros sketchs, bastando, para isso, seleccionares a tua construção com a seta de selecção ou no menu Edit a opção select all e no botão da barra de ferramentas escolhes a opção Creat New tool (criar nova ferramenta). Dás-lhe um nome e fica então disponível para as próximas construções, onde podes reproduzir a construção outras vezes noutros sketchs. Para ver os passos da construção seleccionas a opção show script view, também no botão na barra de ferramentas.

Comandos essenciais:

Seleccionar,Deseleccionar e arrastar objectos:

• Para escolher um só objecto basta, com a seta de selecção, , fazer um clique no objecto.

• Usando a seta de selecção, com o botão do rato prime num espaço vazio do

sketch e arrasta de modo a definir uma caixa de selecção à volta dos objectos pretendidos. Solta o botão do rato para seleccionar todos os objectos que estão, total ou parcialmente, dentro da caixa.

• Para deseleccionar objectos clica novamente no objecto seleccionado.

• Para deseleccionar todos os objectos basta fazer um clique sobre um espaço

vazio do sketch.

• Para arrastar objectos usa a seta de selecção para seleccionar os objectos a arrastar, mantém premido o botão do rato e arrasta o objecto para o novo local e aí liberta o botão do rato.

Menu File:

Ficheiro

Abre um novo documento sketch em branco Abre um documento sketch ou script previamente guardado

Grava as últimas alterações feitas num documento activo Guarda um documento activo num local específico com um novo nome Fecha a janela do documento que está activa Altera as configurações do documento Mostra uma previsão do documento impresso Imprime a actual página do documento activo Fecha todos os documentos abertos e sai do Sketchpad

226

Comandos essenciais:

Obter um écran limpo:

• No menu File selecciona a opção New Sketch. • No menu Edit selecciona a opção Select all e depois Clear ou Delete. • Faz Ctrl N.

Abrir um sketch já existente:

• No menu File selecciona a opção Open. Procura o directório onde se encontra e selecciona o documento pretendido.

Guardar um sketch:

• No menu File selecciona a opção Save As. Indica o directório onde vais guardar o ficheiro e o nome do documento. O nome do documento deverá ser representativo do teu trabalho para melhor o identificares e deverá ser guardado com a extensão gsp.

• Faz ctrl S.

Directório: Local do computador onde se guarda o documento

Nome do ficheiro Cancelar a gravação Aceitar a gravação

Experimenta 1: Abre um documento e grava-o com o nome exemplo.gsp na tua pasta de trabalho.

227

Menu Edit:

Editar Corrige as mais recentes acções efectuadas Refaz uma acção previamente corrigida

Remove Copia objectos seleccionados para outro sketch ou aplicação Introduz no sketch o conteúdo do clipboard Apaga objectos seleccionados juntamente com os que deles dependem Cria um ou mais botões de acção (movimento, animação; exibição)

Selecciona todos os objectos Selecciona apenas os objectos “pais” Seleccona apenas os objectos “filhos”

Altera a relação entre os objectos

Altera as propriedades dos objectos

Altera as configurações do Sketchpad (fontes, estilos, unidades de medida, tamanhos de texto, etc.)

Observação: Quando os comandos estão com uma cor mais clara, isso quer dizer que, por alguma razão, não estão disponíveis.

Observação: Para construir um objecto (filho) a partir de outros (pais) é necessário

seleccionar primeiro os pais, de modo a que os filhos fiquem perfeitamente definidos. Caso contrário, essa construção não aparece disponível no menu. Por exemplo, para construir uma recta é preciso ter seleccionado dois pontos. Comandos essenciais:

Corrigir uma acção:

• No menu Edit selecciona a opção Undo. • Faz Ctrl Z. • Selecciona o objecto que já não queres e no menu Edit escolhe a opção Cut. • Selecciona o objecto que já não queres e faz Delete.

Experimenta 2: Recorre à barra de ferramentas para desenhar vários objectos e experimenta cada uma

das opções.

228

Menu Construct:

Experimenta 3: Desenha um triângulo inscrito n

numa circunferência é um triângulo cu Podes, por exemplo, seguir os se

1. Com a ferramenta marca 2. Selecciona simultaneamente o

Circle By Center And Point

circunferência). Podias ter locircunferência.

3. Agora vais marcar os vértices

a circunferência e no menu Cprecisar de três pontos terá

ferramenta e marca os pon

4. Para obteres finalmente o triâtrês vértices e no menu Const

dois a dois e com a ferramenta

Construção

Ponto sobre um objecto Ponto médio Ponto de intersecção

Segmento de recta Semi-recta Recta Recta paralela Recta perpendicular Bissectriz de um ângulo

Circunferência dado o centro e um ponto Circunferência dado o centro e o raio Arco de circunferência Arco de circunferência a passar por três pontos Interior de um polígono ou de uma curva fechada Lugar geométrico

uma circunferência. Recorda que um triângulo inscrito jos vértices estão sobre a circunferência.

guintes passos:

dois pontos.

s dois pontos e no menu Construct escolhes a opção (o primeiro ponto a ser seleccionado será o centro da

go seleccionado a ferramenta para construir a

do triângulo sobre a circunferência. Para isso selecciona onstruct escolha a opção Point On Object (como vais

s de repetir esta operação três vezes), ou utiliza a

tos sobre a circunferência.

ngulo selecciona simultaneamente e ordenadamente os ruct escolhe a opção Segment (ou selecciona os pontos

constrói os segmentos de recta).

229

Menu Display:

Exposição Estilo da linha: grosso (thick), fino (thin) ou tracejado (dashed) Cor dos objectos Estilo, tamanho e fonte do texto

Esconde objectos Mostra tudo o que está escondido

Mostra/esconde legendas

Deixa o traçado dos objectos seleccionados Apaga o traçado dos objectos seleccionados Animação Aumenta a velocidade da animação Diminui a velocidade da animação Para a animação

Mostra a palete do texto Aumenta ou diminui a velocidade de animação Esconde a barra de ferramentas

Comandos essenciais:

Esconder objectos:

• Esta opção é usada quando não queres apagar algo, mas também não queres que se veja. Para isso, selecciona o objecto que queres esconder e no menu Display selecciona a opção Hide.

• Faz Ctrl H.

Legendar objectos:

• Se quiseres que o GSP legende por ti, no menu Display selecciona a opção Show Labels.

• Se só quiseres legendar alguns itens, com o rato selecciona a ferramenta . Arrasta a mão para o item que queres legendar e clica uma vez. O GSP legenda automaticamente.

• Se quiseres alterar a legenda, com faz duplo clique sobre essa legenda. Aparecerá uma caixa de texto e é só escreveres a nova legenda.

230

Podes ainda alterar o estilo da legenda (tamanho, cor, etc.) clicando no botão Style da caixa de texto.

• Se quiseres que a legenda desapareça clica uma vez com no item a que pertence.

• Se quiseres mover a legenda, com mantém premida a legenda com o botão do rato e arrasta-a para o novo local.

Experimenta 4:

X

Y

Z

Lembras-te do triângulo inscrito na circunferência? Esconde a circunferência e legenda os vértices do triângulo com X, Y e Z. Experimenta também colorir o triângulo. Para colorir o triângulo, selecciona simultaneamente e ordenadamente os vértices. No menu Construct escolhe a opção Polygon Interior e no menu Display a opção Color.

Agora tenta fazer um cone de gelado.

Para isso, precisas de construir o arco ZY, por exemplo. Assim, precisas de voltar a fazer aparecer a circunferência (no menu Display escolhe a opção Show all Hidden). Agora que já podes ver a circunferência já podes construir o arco (selecciona simultanemente, e por esta ordem, o ponto Y o arco de circunferência e o ponto Z, seguindo o sentido anti-horário. No menu Construct selecciona a opção Arc On Circle). Esconde o que já não interessa e pinta o gelado de acordo com o teu sabor preferido! Para pintar a parte do gelado selecciona o arco de circunferência e no menu Construct escolhe a opção Arc Sgment Interior

231

Menu Measure:

Medição

Comprimento de um ou mais segmentos de recta Distância entre dois pontos ou entre um ponto e um objecto Perímetro de polígonos, círculos e sectores circulares Circunferência Amplitude de ângulos Área de polígonos, círculos e sectores circulares Amplitude de um arco de circunferência Comprimento de um arco de circunferência

Razão entre os comprimentos de segmentos Abre a calculadora do Sketchpad

Experimenta 5:

Ainda relativamente ao triângulo anterior, experimenta fazer algumas medições e cálculos. Mede a amplitude dos ângulos internos, calcula o perímetro, a área e a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo [XYZ].

Area YZX = 15,09 cm2

Perimeter YZX = 17,74 cm

m ZX = 5,70 cm

m XY = 6,15 cm

m YZ = 5,89 cm

m∠YZX+m∠ZXY+m∠XYZ = 180,00°

m∠XYZ = 56,42°

m∠ZXY = 59,55°

m∠YZX = 64,04°

Z

X

Y

• Para medir a amplitude dos ângulos, precisas de seleccionar 3 pontos. O segundo

ponto a ser seleccionado será considerado como o vértice do ângulo. Depois, no menu Measure escolhe a opção Angle.

232

• Para medir o comprimento de um segmento de recta selecciona o segmento e no menu Measure escolhe a opção Lenght. Ou selecciona os pontos extremos desse segmento e no menu Measure escolhe a opção Distance. Se quiseres medir todos os segmentos ao mesmo tempo, basta selecciona-los todos e fazer o processo atrás descrito.

• Para calcular o perímetro ou a área tens de ter construído o interior do triângulo. Para

isso vais ao menu Construct. Depois de seleccionado, no menu Measure escolhe a opção Perimeter ou Area.

Também podes aceder a alguns destes comandos clicando com o botão direito do rato sobre os elementos que compõem a figura.

• Para calcular uma soma, como por exemplo a soma das amplitudes dos ângulos internos do triângulo, no menu Measure escolhe a opção Calculate. Esta opção fará aparecer uma calculadora onde podes inserir os dados. Neste caso, seleccionas as amplitudes dos ângulos previamente medidas e quando tiveres os dados introduzidos, basta fazer OK. No sketch aparecerá a expressão que construíste com o respectivo resultado.

233

Experimenta 6:

Calculadora No visor aparece a expressão a ser construída Aqui temos valores, como o de pi, algumas funções matemáticas, como a função seno e as unidades em que se está a trabalhar

Cancela ou viabiliza a operação com a calculadora

Teclado

• Experimenta usar a calculadora também para calcular o perímetro do triângulo. • Experimenta arrastar os vértices do triângulo. Que podes observar?

Menu Transform:

Transformação Marca o centro de rotação ou homotetia Marca o eixo de simetria Marca um ângulo ou amplitude para rotação Marca uma razão ou escala para homotetia Marca um vector para translação Marca uma distância para translação

Translação do objecto seleccionado Rotação do objecto seleccionado Homotetia do objecto seleccionado Simetria em relação a um eixo do objecto seleccionado

Constrói imagens iteradas ou um conjunto de objectos geométricos relacionados por uma regra de iteração

234

Experimenta 7:

Para poderes experimentar as opções deste menu vais construir um triângulo [ABC], em que , e . Segue os seguintes passos: º90ˆ =BAC º60ˆ =BCA º30ˆ =CBA

1. Começa por desenhar um segmento de recta (se quiseres que o segmento fique horizontal, carrega na tecla shift ao mesmo tempo que o vais desenhando).

2. Legenda os pontos como A e B. 3. Escolhe o ponto A para ser o centro de uma rotação (selecciona o ponto e no menu

Tranform escolhe a opção Mark Center ou então, com o rato, clica duas vezes no ponto)

4. Selecciona o outro ponto extremo do segmento de recta e no menu Transform escolhe

a opção Rotate e indica o ângulo de rotação (neste caso de 90º) 5. Une, através de uma recta, o ponto que ficou marcado com o centro de rotação

escolhendo no menu Construct a opção Line (não te esqueças que na barra de ferramentas tem que estar seleccionada a opção de recta e não a de segmento).

6. Repete o procedimento de 3, mas agora escolhendo o outro ponto para centro de

rotação. 7. Repete também os passos 4 e 5, mas tendo em atenção os dados do problema. 8. Constrói o ponto de intersecção das duas rectas (selecciona as duas rectas e no menu

Construct escolhe a opção Point At Intersection) e legenda-o de acordo com os dados do problema.

9. Esconde todos os objectos que estão a mais. 10. Acaba de construir o triângulo. 11. Confirma os valores dos ângulos recorrendo ao menu Measure. Arrasta os vértices e

vê o que acontece. 12. Pinta o triângulo e escreve a classificação do triângulo quanto aos ângulos.

Repara que para construir o triângulo [ABC] tiveste que seguir todos aqueles passos. Se

quiseres guardar a tua construção de modo a usá-la mais tarde, quando necessitares, podes construir uma nova ferramenta (Costum tool).

Com a tua construção já está feita, basta seleccionares a opção Create New Tool no botão da barra de ferramentas e dar-lhe um nome representativo que facilmente identifiques.

235

Outros menus:

Gráfico Este menu permite fazer a conexão entre a álgebra e a geometria.

Ajuda Este menu serve para consultar em caso de dúvidas (Ou, para mais esclarecimentos sobre qualquer comando dos menus, aponta com o rato para esse comando ou objecto e prime F1 )

Trabalho Este menu apresenta uma lista de todos os documentos abertos e visualiza-los em forma de cascata ou de modo a que pavimentem o écran.

236

Experimenta 8: Agora que já conheces o GSP, achas que consegues, sozinho, construir um quadrado? Parece simples, experimenta! C

D

A

B

Agora que já construíste o quadrado, arrasta os vértices. O que aconteceu?!...Se calhar não é assim tão fácil!... Provavelmente se arrastares os vértices do teu quadrado esse “desmanchou-se” e deixou de ser um quadrado, ou não? Se não, explica como procedeste. Se sim, a seguir apresentamos-te um script duma construção possível. Consegues perceber o que foi feito e construir um de novo? Experimenta.

237

Experimenta 9: Dá asas à tua imaginação e faz desenhos onde entrem várias figuras geométricas. Será que consegues fazer algum destes com o Sketchpad? (Atenção que quando arrastares os objectos do sketch as tuas construções não se podem desmanchar)

238

ANEXO IV – FICHAS DE TRABALHO PROPOSTAS

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha de revisão 1: Ângulos

A rede que se segue é formada por feixes de rectas paralelas:

e

r

gf

iq

nh

jk

p

b

a

c

m

o

d

Observa bem a rede da figura e responde às seguintes questões.

1. Que podes dizer acerca dos ângulos a, b , c e d?

2. Identifica na rede pares de ângulos de lados paralelos. O que podes dizer acerca desses

ângulos?

3. Que podes dizer acerca dos ângulos e e f e dos ângulos r e q?

4. Que podes dizer acerca dos ângulos f, i e j?

239

5. Supondo que a amplitude do ângulo a é 40º e que todos os triângulos da rede são

isósceles, determina, justificando, a amplitude de todos os ângulos representados na

figura.

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha de revisão 2: Triângulos e outros polígonos

Uma pavimentação é um arranjo de polígonos que cobre completamente a superfície, sem

haver sobreposição e sem deixar nenhuma parte a descoberto. A figura que se segue representa uma pavimentação constituída por triângulos regulares geometricamente iguais, produzida pelo triângulo mais pequeno, a sombreado.

B

CA

Y X

P

Z

Q

Abre o ficheiro poligono.gsp. Observa com atenção a pavimentação e responde às seguintes questões.

1. Que formas e ideias geométricas vês na pavimentação? Enumera-as. 2. Que tipo de polígonos consegues identificar? Assinala-os.

3. Consegues identificar triângulos semelhantes? Assinala dois pares de triângulos

semelhantes e justifica a tua escolha. Qual a razão entre os seus lados? Qual a razão entre as suas áreas?

Recorda que a razão de semelhança é dada pelo quociente:

original segmento do ocompriment domedida ado transformsegmento do ocompriment domedida

=sr

4. Se a razão entre os dois triângulos semelhantes for de 1:5, o que prevês para a razão

entre as áreas? Que conjectura podes fazer? 5. P e Q são os pontos médios de dois lados do triângulo [XYZ]. O que podes dizer

acerca da relação entre os segmentos de recta [XY] e [PQ]? Justifica a tua conclusão.

240

6. Identifica outras figuras semelhantes. As relações estabelecidas para os triângulos continuam a verificar-se?

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha de revisão 3: Quadriláteros - Propriedades

Na figura que se segue podes observar alguns exemplos de quadriláteros.

f

m

h

da

i

kg

n

Completa a seguinte tabela identificando os paralelogramos, os rectângulos, os losangos, os

quadrados e os trapézios, assim como as suas propriedades. No caso das propriedades, para cada quadrilátero, assinala com um V aquelas que se verificam e com um F aquelas que não se verificam. Se precisares de ajuda para confirmares as tuas conclusões, abre o ficheiro quadrilatero.gsp.

Quadriláteros

Paralelogramos Rectângulos

Losangos

Quadrados

Trapézios

Figura ........................ ..a;................ ............... ................. ..g;............. Propriedades

Tem um par de lados paralelos (//) Tem os lados opostos geometricamente iguais (≅)

Tem os ângulos opostos geometricamente iguais (≅)

Tem os ângulos adjacentes suplementares

Tem todos os ângulos rectos Tem dois pares de lados paralelos (//) As diagonais bissectam-se V As diagonais são geometricamente iguais (≅)

As diagonais são perpendiculares (⊥) F A soma das amplitudes dos ângulos internos é 360º

V

241

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha de revisão 4: Mediatriz

A

B

M

m

s

t

A

B

M

m

rn

A

B

M

As rectas s, t e m são perpendiculares a [AB], mas só a recta m passa no ponto médio.

As rectas r, m e n bissectam

M é o ponto médio de [AB], donde MBAM =

A recta m é a mediatriz do segmento de recta [AB]. Define media

recta._______________________________________________________

___________________________________________________________

Investiga:

A

1. Desenha um segmento de recta [AB] e a sua mediatriz. Grava nome mediatriz.gsp. Explica o procedimento que utilizaste na sua

2. Representa um ponto P, na mediatriz, exterior a [AB].

3. Que relação existe entre os segmentos de recta [AP] e

[BP]? Faz a tua conjectura.

4. Movimenta o ponto P. Confirmas a tua conjectura?

5. Que relação existe entre os triângulos [AMP] e [BMP]?

6. Considerando a relação anterior, enuncia uma

propriedade da mediatriz.

7. A recíproca da propriedade anterior será verdadeira? Investiga e justifica a tua conclusão.

242

[AB], mas só a recta m é perpendicular a [AB].

triz de um segmento de

__________________

__________________

m

B

M

P

a tua construção com o construção.

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 1: Ângulos ao centro numa circunferência

OP

D

A

C

BR S

Q

T

∠PQR, ∠PQS, ∠SRQ e ∠QST não são ângulos ao centro da circunferência de centro P.

∠AOB, ∠BOC, ∠BOD e ∠DOA são ângulos ao centro na circunferência de centro O de arcos correspondentes AB, BC, BD e DA.

Um ângulo ao centro é _________________________________________________________

___________________________________________________________________________

Investiga algumas propriedades dos ângulos ao centro.

1. Desenha uma circunferência de centro O.

2. Constrói um ângulo ao centro ∠AOB e o arco correspondente. Guarda a tua construção

com o nome AngulosCircunferencia.gsp.

3. Mede a amplitude do ângulo ∠AOB e do arco de circunferência AB.

=BOA ˆ __________ =AB __________

4. Arrasta um dos pontos A ou B, que definem o ângulo, de modo a poder fazer variar a

sua amplitude. O que observas?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5. Que conjectura podes fazer acerca da relação entre a amplitude de um ângulo ao centro

de uma circunferência e a amplitude do arco correspondente.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

243

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 2: Ângulos ao centro - Propriedades

O

D

A

C

B

1. Abre a construção AngulosCentroPropriedades.gsp. Na

circunferência, as duas cordas, [AB] e [CD], são geometricamente

iguais.

2. O que podes dizer acerca dos ângulos ∠BOA e ∠DOC? E dos arcos

BA e DC? Faz as tuas conjecturas e explica porque são verdadeiras.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Uma forma possível para explicares porque é que, numa circunferência, a cordas

geometricamente iguais correspondem ângulos ao centro geometricamente iguais, é seguir

o seguinte esquema de demonstração:

Experimenta fazê-lo para as outras conjecturas.

244

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 3: Ângulos inscritos numa circunferência

B

A

C

D

E

T

U

S

W

V

Q

P

R

X

Um ângulo inscrito é ________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Investiga algumas propriedades dos ângulos inscritos.

1. Na tua construção AngulosCircunferencia.gsp constrói um ponto V sobre a

circunferência e o ângulo inscrito ∠AVB.

2. Arrasta os pontos A e B de modo a fazer variar a amplitude do ângulo. Regista os

resultados obtidos na tabela que se segue.

BVA ˆ

BOA ˆ

AB

∠PQR, ∠STU e ∠VWX não são inscritos na circunferência.

∠ABC, ∠BCD e ∠CDE são ângulos inscritos na circunferência e intersectam os arcos CA, BD e CBE respectivamente.

245

3. Baseando-te nos dados da tabela que conjecturas podes fazer?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

A

V

B

AV

B

A

V

B4. Quando falamos em ângulos inscritos, temos três casos possíveis:

1º caso: Um dos lados do ângulo inscrito contém o centro da

circunferência.

2º caso: O ângulo inscrito contém o centro da circunferência.

3º caso: O ângulo inscrito não contém o centro da circunferência.

Tiveste em atenção estas três situações? As tuas conjecturas continuam verdadeiras?

___________________________________________________________________________

5. Repara que, mesmo assim, as tuas conjecturas foram baseadas em apenas alguns

exemplos. Tens a certeza que a tua conjectura é sempre verdadeira? Se acreditas que a

tua conjectura é sempre verdadeira apoia a tua conjectura com uma explicação lógica ou

com uma demonstração convincente. Se suspeitas que a tua conjectura é falsa tenta

encontrar contra-exemplos.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

246

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 4: Ângulos inscritos - Propriedades

A

Q

B

P

6. Abre o ficheiro AngulosInscritos.gsp. Os ângulos ∠AQB e

∠APB ambos intersectam o arco AB e ambos estão

inscritos no arco APB. Os ângulos ∠AQB e ∠APB

parecem geometricamente iguais. Consegues encontrar

ângulos inscritos no mesmo arco que não sejam

geometricamente iguais? Investiga e explica as conclusões a

que chegaste.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

7. Já sabes que podemos definir diâmetro de uma circunferência como toda a corda que

passa pelo centro de uma circunferência e que um diâmetro divide a circunferência em

duas semi-circunferências.

A

B

Xa. Constrói um segmento de recta [AB] e a circunferência que tem

esse segmento como diâmetro.

b. Constrói um ponto X sobre a circunferência e o ângulo de

vértice em X e cujos lados passam pelos extremos do

diâmetro.

c. Mede o ângulo anterior e desloca o ponto X sobre a

circunferência. Que conjecturas podes formular? Justifica.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

247

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 5: Cordas - Propriedades

r

sA

B

C

D

Recorda que uma corda é um segmento

de recta que une dois pontos da circunferência.

Investiga algumas propriedades das

cordas.

1. Abre o ficheiro Cordas.gsp. Podes

observar duas rectas, r e s, paralelas

que intersectam a circunferência. Ao

traçar as duas rectas, ficaram

definidos dois pares de cordas, [AB] e

[CD] e [AC] e [BD].

r // s

2. Constrói as perpendiculares às cordas [AB] e [AC] a partir do centro da circunferência. O

que podes concluir?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Compara as amplitudes dos arcos da circunferência AB e DC. Que observas?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. Que relação existe entre as cordas [AB] e [CD]?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5. Das questões anteriores que conjecturas podes fazer? Explica porque achas que são

verdadeiras.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

248

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 6: Construção do aeroporto I

O Governo Português está a planear construir um novo aeroporto no Norte do país, de modo a

servir de igual modo as cidades de Bragança, Vila Real e Braga.

Vila Real

Braga

Bragança

Onde deve ficar localizado o aeroporto de modo a que fique à mesma distância das três

cidades?

1. Abre o sketch aeroporto1.gsp, onde está feito um esboço da localização das três cidades.

Qual o teu palpite para a localização do aeroporto? Marca no mapa o ponto que vai de

encontro ao teu palpite e designa-o por Aeroporto.

2. Confirma se o teu palpite é verdadeiro. Se arrastares uma das cidades as distâncias

mantêm-se?

Faz uma construção que não desmanche, i.e., constrói o ponto de modo a que fique

equidistante das três cidades mesmo quando arrastadas. Explica o teu procedimento.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

249

3. Se o desenho estiver feito a uma escala de 1: 900 000, a que distância é que o aeroporto

vai ficar das cidades?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. É sempre possível encontrar um ponto equidistante de três vértices, independentemente do

tamanho do triângulo que eles definem? ________________________________________

5. Experimenta desenhar um triângulo qualquer. Constrói as mediatrizes dos lados do

triângulo. Guarda a tua construção com o nome cidade1.gsp.

6. Arrasta os vértices do triângulo. Ainda concordas com a tua resposta em 4? O que podes

concluir?

Que nome se dá ao ponto de intersecção das mediatrizes de um triângulo? Quando é que

esse ponto fica dentro, sobre os lados ou fora do triângulo?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

250

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 7: Construção do aeroporto II

1. Imagina, agora, que em vez de três cidades, o governo quer construir o aeroporto à mesma

distância de Bragança, Valença, Porto e Vila Nova de Foz Côa. Abre o ficheiro

aeroporto2.gsp. Onde achas que será a sua localização. Justifica.

Valença

Bragança

Viseu

Porto

Braga

Vila RealVila Nova de Foz Côa

2. Será que é sempre possível encontrar um ponto equidistante de 4 pontos dados?

Experimenta fazê-lo para as cidades de Bragança, Valença, Porto e Vila Real. O que

aconteceu? Guarda as tuas construções com o nome cidade2.gsp.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

7. A partir do esboço do mapa dado, dá outros exemplos de grupos de 4 cidades para as quais

seja ou não possível construir um aeroporto à mesma distância.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

251

8. Investiga porque é que nem sempre é possível encontrar um ponto equidistante de 4

pontos dados. Podes seguir os seguintes passos:

a) Constrói um quadrilátero [ABCD] e as mediatrizes correspondentes a quaisquer três

dos seus lados.

b) Constrói, a circunferência com centro na intersecção de duas das mediatrizes e que

passe por três vértices.

c) Arrasta um dos vértices do quadrilátero até que as três mediatrizes sejam

concorrentes no mesmo ponto. O que observas?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

d) Arrasta o quadrilátero de modo a que este modifique a forma e as mediatrizes sejam

novamente concorrentes. Constrói também a quarta mediatriz. O que observas?

Guarda a tua construção como cidades3.gsp.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

e) Escreve a conjectura acerca das tuas observações. Consegues explicar porque é

verdadeira? Podes generalizar a pentágonos, hexágonos e outros polígonos de n

lados? Discute com os teus colegas.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

252

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 8: Quadrilátero inscrito numa circunferência

B

C

E

G

Na investigação anterior chegaste à conclusão que num quadrilátero quando as mediatrizes se

intersectam num mesmo ponto, os vértices estão sobre a circunferência com centro no ponto de

intersecção das mediatrizes.

1. Abre o ficheiro QuadrilateroInscrito.gsp.

2. Usa a calculadora do Sketchpad para somar cada par

de ângulos opostos do quadrilátero inscrito.

3. Arrasta um vértice. O que podes dizer acerca dos dois

pares de ângulos opostos do quadrilátero inscrito?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. Escreve uma explicação para a conclusão obtida em 3. Consegues apresentar uma

demonstração?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5. A recíproca desta propriedade também é verdadeira. Enuncia-a e mostra porque é

verdadeira.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

253

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 9: Recta tangente à circunferência

Recta Tangente àCircunferência

Recta Secante àCircunferência

Recta Exterior àCircunferência

Recta tangente à circunferência é ______________________________________________

_________________________________________________________________________

t

C

T

Qualquer recta tangente a uma circunferência é

perpendicular ao raio no ponto de tangencia.

t ⊥ [CT]

1. Constrói uma circunferência de centro C e uma recta, r, exterior a essa circunferência.

2. Explica como procederias para construir as rectas tangentes à circunferência com a

mesma direcção da recta r.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

254

C

PR

Q3. A partir de um ponto exterior a uma circunferência é

possível traçar duas rectas tangentes à circunferência.

Como procederias nesta situação?

Grava as tuas construções com o nome tangente.gsp.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. O que podes dizer acerca dos ângulos ∠PQC e ∠PRC?

________________________________________________________________________

5. O que podes dizer acerca dos segmentos [PQ] e [PR]?

___________________________________________________________________________

6. Arrasta o ponto P. As tuas observações continuam válidas? Explica porquê.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

7. Como classificas o quadrilátero [CPQR]? Justifica.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

255

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 10: Papagaio – Propriedades I

Recorda que podemos definir papagaio como sendo um quadrilátero com dois lados

consecutivos geometricamente iguais.

1. Constrói uma nova ferramenta (Costum tool) que te permita obter papagaios genéricos.

Grava-a com o nome papagaio.

2. Investiga o maior número de propriedades.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

A

CD

B

E

H

G

F3. Constrói os pontos médios do papagaio e une-os de modo a obter um

quadrilátero [EFGH]. Guarda a tua construção com o nome

papagaio.gsp. Que tipo de quadrilátero pensas ser?

__________________________________________________________

4. Arrasta os vértices do papagaio. A tua suposição continua verdadeira? Encontra uma

explicação para esse facto.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

5. Alguma vez [EFGH] pode ser um quadrado? Se sim, quando?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

256

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 11: Papagaio – Propriedades II

C

mé

A

D

B

E

H

G

FNa investigação anterior descobriste que:

• O quadrilátero formado pelos pontos médios de um

papagaio é um rectângulo;

• O quadrilátero formado pelos pontos médios de um

papagaio é um quadrado apenas quando as

diagonais do papagaio são geometricamente iguais.

Os passos que se seguem vão ajudar-te a verificar que o quadrilátero formado pelos pontos

dios de um papagaio é realmente um rectângulo.

1. Abre a tua construção papagaio.gsp. e constrói as diagonais do papagaio.

2. Como é que [EF] e [HG] estão relacionados com [AC]? Porquê?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

3. Como é que [EH] e [FG] estão relacionados com [BD]? Porquê?

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

4. Usa as questões 2 e 3 para explicar porque é que [EFGH] é um rectângulo.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

257

5. Sem usar as opções de construção e medição do Sketchpad e recorrendo apenas a

conclusões anteriores e à figura como auxílio, descreve a relação entre o perímetro do

rectângulo inscrito [EFGH] e as diagonais do papagaio [ABCD].

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

6. Recorrendo agora ao Sketchpad faz as construções e as medições apropriadas para

confirmar a tua conclusão. Certifica-te que se verifica para qualquer papagaio.

___________________________________________________________________________

7. Explica como procederias para calcular a área do papagaio [ABCD].

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

A

C

D

B

E

H

G

F

8. Recorrendo ao Sketchpad, calcula a área dos dois quadriláteros.

[ ] =ABCDA ___________

=___________ [EFGHA ]

9. Arrasta um dos vértices e observa o que acontece às áreas. Descreve como é que as áreas

dos dois quadriláteros estão relacionadas. Para isso podes calcular a razão entre as áreas.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

10. Arrasta um dos vértices A, B, C ou D e observa as medidas das áreas. A razão também

varia?

___________________________________________________________________________

11. Sumaria os teus resultados para depois discutir com os teus colegas. Podes fazê-lo no

papel ou no computador e incluir alguns sketchs.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

258

Circunferência e Polígonos. Rotações - Ficha 12: Papagaio – Propriedades III

A

C

D

B

E

H

G

F

Area(Polygon BCDA) = 7,34 square cm

Area(Polygon FGHE) = 3,67 square cm

Area(Polygon FGHE)/Area(Polygon BCDA) = 0,50

Na investigação anterior provavelmente uma

das tuas conjecturas estabeleceu que a área do

rectângulo [EFGH] , formado pelos pontos médios

do papagaio [ABCD], é metade da área do papagaio

[ABCD].

1. Se acreditas que a tua conjectura é sempre verdadeira apoia a tua conjectura com uma

explicação lógica ou com uma demonstração convincente.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

259

2. Para uma possível explicação porque é que esta conjectura é verdadeira, podes, por

exemplo, trabalhar os seguintes passos:

2.1. Expressa a área de [EFGH] em função de [ABCD] e das áreas dos triângulos [AEG],

[CFG], [BEF] e [DHG].

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2.2. Exprime a área do triângulo [AEH] em função da área do triângulo [ABD].

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2.3. Analogamente, expressa as áreas dos triângulos [CFG], [BEF] e [DHG],

respectivamente, em função das áreas dos triângulos [CBD], [BAC] e [DAC] e

substitui no passo 2.1.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

2.4. Substitui os resultados de 2.2 e 2.3 em 2.1. Simplifica a equação e obtém o resultado

pretendido.

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

260

Circunferência e Polígonos. Rotações – Ficha de Avaliação

1. Numa escavação arqueológica foi descoberta uma peça de cerâmica que aparenta ser parte de um prato antigo. É conhecido dos arqueólogos que os pratos com aquele desenho particular, se tiverem 15cm de diâmetro poderá fazer parte de um prato Grego Clássico. Abre o ficheiro Prato.gsp onde está o esboço da fronteira exterior do prato. Explica como procederias para ajudar os arqueólogos a confirmar se realmente o prato é dessa época.

A

B

C

D

E F

G

H

2. Cinco amigos de Felgueiras resolveram ir acampar para Vila Nova de Mil Fontes. Já no acampamento resolveram colocar um fogão de modo que ficasse à mesma distância das suas cinco tendas. Será sempre possível? Investiga.

Sugestão: Cria 5 pontos, T1, T2, T3, T4 e T5, de modo a representar as tendas e tenta encontrar o local, F, onde deve ficar o Fogão. Grava a tua construção com o nome Campismo.gsp.

3. Abre a construção Quadrilateros.gsp. Os vértices do quadrilátero [EFGH] são os pontos de intersecção das bissectrizes dos ângulos internos do quadrilátero [ABCD]. É sempre possível obter o quadrilátero [EFGH]? Investiga.

4. Constrói um quadrilátero [ABCD] e os pontos médios de cada um dos lados.

Une os pontos médios de modo a obter o quadrilátero [EFGH].

Grava a tua construção com o nome Varignon.gsp. 4.1. Ao quadrilátero [EFGH], que se obteve unindo os pontos médios de um quadrilátero qualquer, damos o nome de Quadrilátero de Varignon. Que tipo de quadrilátero pensas ser? Explica porquê. 4.2. Investiga quando é que o Quadrilátero de Varignon é um quadrado, um losango ou um rectângulo.

4.3. Calcula as áreas dos dois quadriláteros. Que conjecturas pode estabelecer? Explica porque achas que é verdadeira.

261

ANEXO V – QUESTIONÁRIO SOBRE ATITUDES E CONCEPÇÕES DOS ALUNOS ACERCA DA GEOMETRIA E DA DEMONSTRAÇÃO

Este questionário, a que venho pedir-te que respondas, insere-se num projecto de

investigação individual, que culminará na minha Dissertação de Mestrado. Mais

especificamente, com este questionário pretende-se estudar algumas ideias e atitudes

que os alunos têm acerca da geometria e da demonstração.

Além disso, trata-se de um questionário anónimo, pelo que deves responder sem

qualquer tipo de receio e com a maior seriedade.

A tua colaboração para responder a todas as perguntas será uma grande ajuda, pelo

que agradeço, desde já, a tua cooperação.

Obrigada,

263

Parte A: Informação biográfica

1. Idade:___ 2. Sexo: Masculino:___ Feminino: ___

3. Profissão da mãe:__________________________________________________

4. Profissão do pai:___________________________________________________

5. Tens irmãos a estudar? Sim ___ Não ___ Em que anos? ___________________

6. Como ocupas os teus tempos livres? ___________________________________

7. Qual a tua disciplina preferida? _______________________________________

8. Qual a disciplina em que tens mais dificuldades? _________________________

9. É a primeira vez que frequentas o 9º ano de escolaridade? Sim _____ Não _____

10. Já tiveste nível negativo a Matemática? Sim ___ Não ___ Em que ano(s)?_____

11. Quais os motivos?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

12. Na disciplina de Matemática qual foi a matéria que mais gostaste? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

13. Tens computador em casa? Sim ___ Não ___ 14. Em que situações é que costumas utilizar o computador? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

15. Conheces programas de computador para matemática? Se sim, indica-os. ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

264

Parte B: Atitudes face à Geometria

As treze perguntas que se seguem expressam algumas ideias e atitudes acerca da geometria. Para cada afirmação, assinala com um X o grau de concordância que lhe atribuis, considerando que todas as opções de resposta utilizam a seguinte escala:

Discordo Totalmente

Discordo Parcialmente

Não tenho Opinião

Concordo Parcialmente

Concordo Totalmente

1 2 3 4 5 1. Gosto de estudar geometria

1 2 3 4 5

2. Gosto de resolver problemas de geometria.

1 2 3 4 5

3. Aprender geometria é muito importante para a minha formação.

1 2 3 4 5

4. A geometria que estudo não me vai servir de nada.

1 2 3 4 5

5. Como a arte e a música, a geometria também é criativa.

1 2 3 4 5

6. A geometria ajuda a compreender o mundo em que vivemos.

1 2 3 4 5

7. Todos os alunos podem aprender geometria desde que bem ensinada.

1 2 3 4 5

8. A geometria é difícil.

1 2 3 4 5

9. A geometria tem pouco interesse.

1 2 3 4 5

10. As situações do dia-a-dia exigem conhecimentos de geometria.

1 2 3 4 5

11. A maioria dos empregos não exige conhecimentos de geometria.

1 2 3 4 5

12. A geometria proporciona uma visão diferente da matemática.

1 2 3 4 5

13. Quando estudo geometria posso investigar, experimentar e explorar relações.

1 2 3 4 5

265

14. Conheces situações da vida real em que seja necessária a geometria? Se sim, indica algumas.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

15. Alguma vez utilizaste o computador na aula de Matemática? Se sim, em que

situações? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

16. Gostavas de, na aula de matemática, utilizar o computador no estudo da

geometria? Indica algumas razões. ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

17. De entre os vários métodos para aprender geometria, indica, por ordem, os três

que mais preferes.

___ Exposição da matéria pelo professor.

___ Resolução de problemas de situações reais.

___ Utilização de materiais manipulativos, como por exemplo o tangram e o

geoplano.

___ Construções com régua e compasso.

___ Resolução de exercícios do livro para praticar técnicas.

___ Utilização do computador.

___ Realização de trabalhos em grupo.

___ Exploração de actividades de investigação.

___ Organização de debates para discutir ideias.

___ Realização de jogos didácticos.

___ Outros. Quais? ________________________________________________

266

Parte C: Concepções acerca da demonstração

1. Quando resolves exercícios ou problemas de matemática como sabes que os resolveste bem?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2. Recorda a propriedade dos triângulos: Em qualquer triângulo, a soma das

amplitudes dos seus ângulos internos é 180º. Como podes ter a certeza que esta propriedade é sempre verdadeira?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

3. Alguma vez ouviste falar em demonstração ou prova matemática? Se sim, em

que situações? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4. De entre as afirmações que se seguem, escolhe, por ordem de preferência, as

que, na tua opinião, estão mais correctas. ___ A demonstração serve para verificar se uma afirmação matemática é verdadeira.

___ A demonstração serve para explicar porque é que um afirmação matemática é

verdadeira.

___ A demonstração serve para descobrir e inventar novos resultados.

___ A demonstração serve para transmitir conhecimento matemático.

___ A demonstração serve como desafio intelectual, onde há uma gratificação

resultante da construção de uma demonstração.

___ A demonstração serve para organizar os vários resultados num sistema de

axiomas e teoremas.

267

5. Explica por palavras tuas o que é demonstrar? ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

6. Gostavas de ser tu a descobrir e a demonstrar propriedades e relações

geométricas como um verdadeiro matemático? Indica algumas razões. ___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

7. Uma das propriedades dos paralelogramos é: A soma das amplitudes dos ângulos externos de qualquer paralelogramo é 360º. Consegues mostrar porquê é que é verdadeira?

d

c

b

aw

x y

z

Relembra que num ângulo externo, um dos lados contém um lado do polígono e o outro lado do ângulo contém o prolongamento do lado consecutivo do polígono. Na figura, os ângulos a, b, c e d são ângulos externos do paralelogramo.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

268

ANEXO VI – QUESTIONÁRIO SOBRE A EXPERIÊNCIA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA

Caro(a) estudante,

Este questionário, a que venho pedir-te que respondas, insere-se num projecto de

investigação individual, que culminará na minha Dissertação de Mestrado. Mais

especificamente, com este questionário pretende-se fazer uma apreciação global sobre o modo

como decorreu a experiência de ensino e aprendizagem da Geometria, em que foi usado o

programa Geometer’s Sketchpad (GSP).

As respostas dadas serão estudadas com o propósito de identificar e compreender as tuas

opiniões em relação a vários aspectos do ensino e da aprendizagem dos assuntos estudados, não

sendo usadas para a tua avaliação escolar. Além disso, trata-se de um questionário anónimo, pelo

que deves responder sem qualquer tipo de receio e com a maior seriedade e empenho.

A tua colaboração para responder a todas as perguntas será uma grande ajuda, pelo que

agradeço, desde já, a tua cooperação.

Obrigada,

269

Parte A: Dados pessoais

1. Idade:___ 2. Sexo: Masculino:___ Feminino: ___ 3. Classificação obtida no final do 8º ano: ____

4. Classificação obtida no final do 1º período do 9º ano: ____

5. Classificação obtida no final do 2º período do 9º ano: ____

Parte B: Apreciação sobre as aulas de geometria

As 8 questões que se seguem exprimem algumas opiniões sobre as aulas de geometria, com recurso ao computador. Para cada afirmação assinala com um X o grau de concordância que lhe atribuis, considerando que todas as opções de resposta utilizam a seguinte escala:

Discordo Totalmente

Discordo Parcialmente

Não tenho Opinião

Concordo Parcialmente

Concordo Totalmente

1 2 3 4 5

Fundamenta a tua opinião.

1. A metodologia de trabalho adoptada (trabalho de grupo,

tarefas de investigação e exploração, utilização do

computador e do GSP,...) estimulou a aprendizagem. 1 2 3 4 5

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

2. A metodologia de trabalho adoptada (trabalho de grupo,

tarefas de investigação e exploração, utilização do

computador e do GSP,...) facilitou a aprendizagem. 1 2 3 4 5

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

270

3. A utilização do computador e do GSP facilitou a descoberta

e a compreensão dos conceitos. 1 2 3 4 5

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

4. O trabalho de grupo contribuiu para a discussão de ideias.

1 2 3 4 5

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

5. Ao longo do trabalho das aulas surgiram muitas

dificuldades. 1 2 3 4 5

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

6. As aulas de geometria, com recurso ao computador e ao

GSP, foram motivadoras. 1 2 3 4 5

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

7. Trabalhar nas aulas com o computador e o GSP trouxe

vantagens. 1 2 3 4 5

Indica algumas.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

271

8. Trabalhar nas aulas com o computador e o GSP trouxe

desvantagens. 1 2 3 4 5

Indica algumas.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Na questão que se segue, escolhe, assinalando com um X, a opção, uma só, que

corresponde à tua opinião.

9. Para situações futuras gostavas de:

utilizar sempre o computador na sala de aula;

utilizar frequentemente o computador na sala de aula;

utilizar algumas vezes o computador na sala de aula;

raramente utilizar o computador na sala de aula;

nunca utilizar o computador na sala de aula.

Justifica a tua opinião.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

10. Quais as principais diferenças que observaste relativamente às aulas normais?

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

11. Deixa algum comentário acerca da forma como decorreram as aulas.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

272

Parte C: Apreciação sobre as tarefas de geometria

As perguntas que se seguem expressam algumas opiniões acerca das tarefas desenvolvidas na sala de aula com recurso ao Geometer’s Sketchpad (GSP). Para as primeiras 5 questões, assinala com um X o grau de concordância que lhe atribuis, considerando que todas as opções de resposta utilizam a seguinte escala:

Discordo Totalmente

Discordo Parcialmente

Não tenho Opinião

Concordo Parcialmente

Concordo Totalmente

1 2 3 4 5

1. O estudo dos temas geométricos abordados foi importante.

1 2 3 4 5

2. O estudo dos temas geométricos abordados foi interessante.

1 2 3 4 5

3. Ao resolver as tarefas, as maiores dificuldades que surgiram foram:

3.1. Perceber os objectivos das tarefas;

1 2 3 4 5

3.2. Trabalhar com o GSP;

1 2 3 4 5

3.3. Interpretar os resultados e chegar às conclusões;

1 2 3 4 5

3.4. Escrever correctamente as conclusões;

1 2 3 4 5

3.5. Explicar o processo de resolução;

1 2 3 4 5

3.6. Explicar/justificar os resultados;

1 2 3 4 5

3.7. Outra. Qual? ___________________________________

1 2 3 4 5

273

4. A realização das tarefas, com ajuda do computador e do GSP, permitiu-te:

4.1. Usar estratégias variadas de resolução;

1 2 3 4 5

4.2. Organizar as ideias e exprimi-las com clareza;

1 2 3 4 5

4.3. Usar a imaginação e ser criativo;

1 2 3 4 5

4.4.Ter uma atitude positiva perante a aprendizagem;

1 2 3 4 5

4.5. Tomar iniciativas ou decisões;

1 2 3 4 5

4.6. Gerir melhor o tempo;

1 2 3 4 5

4.7. Reflectir sobre os objectivos das tarefas; 1 2 3 4 5

4.8. Aprender mais facilmente;

1 2 3 4 5

4.9. Ter um papel mais activo na aprendizagem;

1 2 3 4 5

4.10. Ser mais autónomo e não depender tanto do professor;

1 2 3 4 5

4.11. Experimentar novas abordagens;

1 2 3 4 5

4.12. Corrigir os próprios erros;

1 2 3 4 5

4.13. Ter uma impressão favorável da geometria;

1 2 3 4 5

4.14. Outra. Qual? __________________________________

1 2 3 4 5

274

5. A realização das tarefas, em grupo, permitiu-te:

5.1. Expressar as tuas opiniões;

1 2 3 4 5

5.2. Partilhar impressões/ideias com os colegas;

1 2 3 4 5

5.3. Tomar iniciativas ou decisões;

1 2 3 4 5

5.4. Aprender mais facilmente;

1 2 3 4 5

5.5. Corrigir os próprios erros;

1 2 3 4 5

5.6. Desenvolver trabalho de equipa; 1 2 3 4 5

5.7. Ser mais autónomo e não depender tanto do professor;

1 2 3 4 5

5.8. Respeitar a opinião dos colegas; 1 2 3 4 5

5.9. Ter uma impressão favorável do trabalho de grupo;

1 2 3 4 5

5.10. Ter uma impressão favorável da geometria;

1 2 3 4 5

5.11. Outra. Qual? __________________________________

1 2 3 4 5

275

Para as questões 6, 7 e 8, assinala com um X o grau de frequência que lhe atribuis, considerando que todas as opções de resposta utilizam a seguinte escala:

Nunca Raramente Algumas vezes

Frequentemente Sempre

1 2 3 4 5

6. Conseguiste chegar aos resultados:

6.1. com ajuda da professora;

1 2 3 4 5

6.2. com ajuda dos colegas;

1 2 3 4 5

6.3. com ajuda do computador;

1 2 3 4 5

6.4. sozinho.

1 2 3 4 5

7. Conseguiste explicar o processo de resolução:

7.1. com ajuda da professora;

1 2 3 4 5

7.2. com ajuda dos colegas;

1 2 3 4 5

7.3. com ajuda do computador;

1 2 3 4 5

7.4. sozinho.

1 2 3 4 5

8. Conseguiste explicar/justificar os resultados:

8.1. com ajuda da professora;

1 2 3 4 5

8.2. com ajuda dos colegas;

1 2 3 4 5

8.3. com ajuda do computador;

1 2 3 4 5

8.4. sozinho.

1 2 3 4 5

276

Nas questões 9 e 10, escolhe, assinalando com um X, as opções que correspondem à tua opinião. 9. Das tarefas realizadas, as tuas preferidas foram:

Triângulos e outros polígonos; Mediatriz; Ângulos ao Centro numa circunferência; Ângulos ao Centro: Propriedades; Ângulos Inscritos numa circunferência; Ângulos Inscritos: Propriedades; Cordas: Propriedades; Construção do Aeroporto I; Construção do Aeroporto II; Quadriláteros inscritos numa circunferência; Recta tangente à circunferência; Papagaio: Propriedades I; Papagaio: Propriedades II; Papagaio: Propriedades III.

Indica algumas razões.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

10. Das tarefas realizadas, aquelas em que tiveste mais dificuldades foram:

Triângulos e outros polígonos; Mediatriz; Ângulos ao Centro numa circunferência; Ângulos ao Centro: Propriedades; Ângulos Inscritos numa circunferência; Ângulos Inscritos: Propriedades; Cordas: Propriedades; Construção do Aeroporto I; Construção do Aeroporto II; Quadriláteros inscritos numa circunferência; Recta tangente à circunferência; Papagaio: Propriedades I; Papagaio: Propriedades II; Papagaio: Propriedades III.

Indica algumas razões.

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

277

11. Deixa algum comentário acerca das tarefas realizadas. _____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

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_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

278

ANEXO VII – GUIÃO DE ENTREVISTA À PROFESSORA DA TURMA

A. Dados sobre o percurso académico e profissional Qual a tua formação académica? Em que instituição tiraste o curso? Há quantos anos leccionas? Quais os níveis de ensino que tens leccionado? Há quantos anos leccionas o 9º ano de escolaridade? Que tipo de experiência já tinhas com o Geometer’s Sketchpad ou outro tipo de

programa semelhante? Já participaste em algum projecto ou experiência inovadora?

B. Dados sobre a turma /escola De uma forma global, como caracterizas a turma? (número de alunos, comportamento,

aproveitamento, relacionamento entre os alunos, relação com o professor, ...) De uma forma global como caracterizas a escola? (relação entre alunos, professores e

funcionários, ambiente de trabalho, condições de trabalho, projectos, ...) Achas que na escola existem computadores em número suficiente para serem usados

por uma turma? C. Dados sobre o ensino da Geometria: Circunferência e Polígonos Consideras importante o ensino da Geometria? Porquê? Concordas que, de um modo geral, a Geometria tem sido relegada para segundo plano?

Se sim, porque achas que isso acontece? O que consideras essencial que os alunos aprendam em Geometria? Que opinião achas que os alunos têm da Geometria? Como costumas explorar este tema e a que meios recorres? ( novas tecnologias, quadro

e giz, Internet, manual, revistas, régua e compasso, ..) Como é que os alunos costumam reagir a este tema? Os alunos costumam revelar dificuldades neste tema? Quais? A que atribuis as dificuldades sentidas pelos alunos? Achas que os outros professores

pensam como tu? Como colmatar essas dificuldades? Achas que este tema está bem situado no currículo? E no que respeita ao

desenvolvimento dos alunos? Porquê? Qual achas que deve ser a melhor forma para abordar este tema? Achas interessante a utilização do Geometer’s Sketchpad (ou de outro programa do

género) no âmbito deste conteúdo? Porquê?

279

D. Dados sobre a experiência de ensino e aprendizagem

Aulas: Foi a primeira vez que recorreste ao computador na aula de Matemática? Se sim,

porque não o utilizaste antes? Tencionas um dia voltar a fazê-lo? Nas tuas aulas, os alunos costumam trabalhar em grupo? As aulas com recurso ao computador e ao GSP foram motivadoras? Achas que os alunos aproveitaram bem o facto de estarem a trabalhar em grupo? Como viste o papel dos alunos nestas aulas? Que diferenças encontraste relativamente às outras aulas? Qual foi o ambiente geral vivido nestas aulas? Quais foram os aspectos mais marcantes destas aulas?

Tarefas:

Consideras que o tipo de tarefas proposto poderá ajudar a colmatar as dificuldades

habituais, sentidas pelos alunos, neste tema? Achas que este tipo de tarefas e a utilização do GSP acentuam ou esbatem as

diferenças entre bons e maus alunos? Em que sentido? O estudo dos temas geométricos abordados foi importante e interessante? Das tarefas propostas, quais é que consideraste mais importantes? Até que ponto os alunos demonstraram interesse por continuar as investigações em

casa ou continuaram a falar delas nos dias seguintes? Achas que a utilização do GSP facilitou a descoberta e a compreensão dos conceitos?

Experiência em geral:

Consideras que os alunos sentiram dificuldades? Que tipo de dificuldades? As dificuldades foram diferentes das dos anos anteriores em que não foram usadas

estas metodologias? O que destacas das aulas com tarefas deste género comparativamente com as outras

aulas ao longo do ano? De um modo geral, o que achas que “funcionou” e “não funcionou” com esta

experiência? O que mudavas? Qual a tua opinião acerca da reacção dos alunos relativamente à metodologia usada? Achas que a metodologia de trabalho adoptada estimulou ou facilitou a aprendizagem? Que vantagens ou desvantagens destacas na utilização desta metodologia de trabalho? O que achas que esta metodologia de trabalho permitiu desenvolver nos alunos?

(autonomia, capacidade de comunicar, necessidade de demonstração, ...) Falaste a alguém desta experiência? O que salientaste? Que significado teve esta experiência para ti? Qual o teu grau de satisfação? De um modo geral, que balanço fazes da experiência? Deixa um comentário final acerca da experiência.

280