==========================================================================================================================================

ELEMENTOS DE TOPOLOGIA GERAL

Elon Lages Lima

TERCEIRA EDICAO (2009) - SBM

ERRATA, SUGESTOES, COMENTARIOS

RESOLUCOES DE EXERCICIOS

Jose Renato Ramos Barbosa2013

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA

CURITIBA - PARANA - BRASIL

jrrb@ufpr.br==========================================================================================================================================

1

==========================================================================================================================================1==========================================================================================================================================Errata, l. 11, p. 19

“... para todo a ∈ R.” deveria ser “... para todo α ∈ R.”=====================================================================EX. 12, p. 28

{d(x, y); x, y ∈ D(0; r)}

x′ = x+ a︸ ︷︷ ︸

= {d(x′, y′); x′, y′ ∈ D(a; r)}.=====================================================================EX. 16, p. 32|d(x, y)− d(x′, y)| ≤ d(x, x′) via Cor., p. 25.=====================================================================Errata, p. 32

Corrigir separacao de sılaba em correspondente .=====================================================================“... se xRx′ e yRy′ entao d(x, y) = d(x′, y′) ...” , l. -4 antes de EX. 18, p. 33

d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′) + d(y′, y) = d(x′, y′). Analogamente, d(x′, y′) ≤ d(x, y).=====================================================================Ex. 1, p. 34

0 = d(x, x)

desig. triang.︸ ︷︷ ︸

≤ 2d(x, y)

x 6= y︸ ︷︷ ︸

6= 0 ⇒ d(x, y) > 0.=====================================================================Ex. 16, p. 36|d(x, 0)− d(y, 0)| ≤ d(x, y) via Cor., p. 25.==========================================================================================================================================2==========================================================================================================================================“Nao havera perda de generalidade em supor ǫ < 1 ...” , l. -5, p. 40

Para ǫ′ ≥ 1, tome ǫ < 1. Daı |m(λ, x)−m(λ0, x0)| < ǫ < ǫ′.=====================================================================l. 9, p. 41

(x, y)

(p1, f ◦ p2)︸ ︷︷ ︸

→ (x, 1/y), para a f da Prop. 2 e as projecoes p1, p2 da p. 38.=====================================================================Obs., p. 41

Soaria melhor ... para espacos vetoriais e numeros complexos e para funcoes complexas, ... .=====================================================================EX. 2, pp. 42-3Por que [x0, x0 + δ] e nao [x0 − δ, x0 + δ] para x0 6= b?Pois pode ocorrer x0 − δ < a (e.g., x0 = a)!E se x0 = b?Tome δ tal que [x0 − δ, x0] ⊂ [a, b] (e.g., δ < b− a)!=====================================================================“... f : M → N, definida por f (x) = x, e contınua ...” , EX. 3, p. 43

Para a ∈ M e ǫ > 0, tome δ < 1. Daı f (B(a; δ)) = f ({a}) = { f (a)} = {a} ⊂ B(a, ǫ) = B( f (a); ǫ).

Vide Ex. 8, p. 53.=====================================================================EX. 7, p. 45

f−1 e uma isometria pois d(f−1(x), f−1(y)

)f uma isometria︸ ︷︷ ︸

= d(f(f−1(x)

), f

(f−1(y)

)).

2

mλ e contınua: Para ǫ > 0, tome δ = ǫ|λ|

. Daı |x− a| < δ implica | f (x)− f (a)| = |λ| · |x− a| < ǫ.=====================================================================EX. 8, p. 45x ∈ B(a; r) ⇒ |(x− a)− 0| < r ⇒ x− a ∈ B(0; r).x ∈ B(0; r) ⇒ |(1/r)x| < (1/r)r = 1 ⇒ m1/r(x) ∈ B(0; 1).=====================================================================EX. 10, p. 46

• Sao contınuas:

– as projecoes p = (p1, . . . , pn) : Rn+1 → Rn, pn+1 : R

n+1 → R (p(x) = x′, pn+1(x) = xn+1);

– as restricoes p, pn+1 = p, pn+1|Sn − {p};

– a translacao R ∋ xn+1 t−17→ xn+1 − 1 ∈ R (EX. 7, p. 45);

– a homotetia R ∋ xn+1 m−17→ −xn+1 ∈ R (EX. 7, p. 45);

– f da Prop. 2, p. 40;

– q = f ◦m−1 ◦ t−1 ◦ pn+1;

– ϕ = (q, p);

– m da Prop. 2, p. 40, com E = Rn;

– π = m ◦ ϕ.

• “... π(x) e o ponto de intersecao da semi-reta −→px com o hiperplano xn+1 = 0, ...” .

– De fato: p+ t(x′, xn+1 − 1) = (x′ ,0)1−xn+1 ⇔ t(x′, xn+1 − 1) = (x′,xn+1−1)

1−xn+1 ⇔ t = 11−xn+1 .

=====================================================================“... d torna M um espaco discreto, entao d e mais fina do que qualquer outra metrica em M.” , p. 48

• De fato, vide Ex. 8, p. 53.

• Por exemplo, no EX. 3, p. 43, d′ ≻ d mas d 6≻ d′.

=====================================================================EX. 12, p. 49Para ǫ > 0, nao existe B1(0; r) ⊂ B(0; ǫ): ϕn 6∈ B(0; ǫ) para n ≥ ǫ!=====================================================================EX. 13, p. 50Considere M = N = R, f (x) = x3 e d(x, y) = d1(x, y) = |x− y| na Proposicao 5.=====================================================================linhas 3-6, p. 51

• f : (M, d) → N e contınuad∼d′=⇒ f : (M, d′)

i→ (M, d)

f→ N e contınua;

• g : N → (M, d) e contınuad∼d′=⇒ g : N

g→ (M, d)

i→ (M, d′) e contınua.

=====================================================================EX. 14, p. 51

• i : (M, d) → (M, d′) e contınua:

– Para 0 < ǫ ≤ 1, tome δ = ǫ: d(x, a) < δ ≤ 1 ⇒ d′(i(x), i(a)) = d′(x, a) = d(x, a) < ǫ;

– Para ǫ > 1, tome δ ≤ 1: d(x, a) < δ ⇒ d′(i(x), i(a)) = d′(x, a) = d(x, a) < 1 < ǫ.

• i : (M, d′) → (M, d) e contınua:

– Para 0 < ǫ ≤ 1, tome δ = ǫ: d′(x, a) = inf. {1, d(x, a)} < δ ≤ 1 ⇒ d(i(x), i(a)) = d(x, a) = d′(x, a) < ǫ;

– Para ǫ > 1, tome δ ≤ 1: d′(x, a) = inf. {1, d(x, a)} < δ ⇒ d(i(x), i(a)) = d(x, a) = d′(x, a) < 1 < ǫ.

3

=====================================================================2) ⇒ 3), pp. 51-2

• Para ǫ = 1, tome δ > 0 e m > 0 tais que f (B(1/m))

1

m< δ

︸ ︷︷ ︸

⊂ f (B(δ))

2)︸︷︷︸

⊂ B′(ǫ);

• x ∈ B(r) ⇔ 1mr x ∈ B(1/m) ⇒ 1

mr f (x) = f(

1mr x

)

∈ B′(1) ⇔ f (x) ∈ B′(mr).

=====================================================================Errata, p. 52

Corrigir separacao de sılaba em descontınua .=====================================================================Ex. 6, p. 53

limx→0 f (x, x) = 12 6= f (0, 0).

=====================================================================Ex. 8, p. 53Para a ∈ M e ǫ > 0, tome δ = δ(a) tal que B(a; δ) = {a}. Daı f (B(a; δ)) = { f (a)} ⊂ B( f (a); ǫ).==========================================================================================================================================3==========================================================================================================================================EX. 1, p. 57

(a, b) =(a+b2 − b−a

2 , a+b2 + b−a

2

)

.=====================================================================EX. 2, p. 57

⇐ e obvia. Para ⇒, tome r > 0 tal que B(a; r)

a e isolado︸ ︷︷ ︸

⊂ {a}

ocorre para todo r︸ ︷︷ ︸

⊂ B(a; r).=====================================================================Obs. 1), p. 59∩ǫ>0B(x; ǫ) = {x}: ⊃ e obvia. Para ⊂, d(x, y) menor que todo ǫ acarreta d(x, y) = 0, i. e., x = y.=====================================================================“... g ◦ f : X → Z e contınua no ponto a.” , l. -6, p. 63

Sendo C aberto em Z com (g ◦ f )(a) ∈ C, por existir aberto B em Y com f (a) ∈ B e g(B) ⊂ C, existe abertoA em X com a ∈ A, f (A) ⊂ B e g( f (A)) ⊂ C.

=====================================================================EX. 6, p. 64Se (X, τ1) fosse metrizavel, uma bola aberta em X estaria em τ1!=====================================================================Linhas 2-6, p. 65Sejam τ e τ′ as topologias definidas por d e d′, respectivamente. Daı:

• d ≻ d′ ⇔ i : (M, d) → (M, d′) e contınua ⇔ i : (M, τ) → (M, τ′) e contınua ⇔ τ ⊃ τ′;

• d ∼ d′ ⇔ d ≻ d′, d′ ≻ d ⇔ τ ⊃ τ′, τ′ ⊃ τ ⇔ τ = τ′.

=====================================================================Linhas 9-10, p. 65Seja A aberto em X. Daı:

• para ⇒, f e contınua e, como f−1 tambem e contınua,(f−1

)−1(A)(= f (A)) e aberto em Y;

• para ⇐, como f e aberta, f (A)(=(f−1

)−1(A)) e aberto em Y. Daı f−1 tambem e contınua.

=====================================================================“Todo espaco topologico discreto ...” , final da p. 65

(X, τ) e discreto significa {x} ∈ τ para cada x ∈ X? Assim sendo,Y = ∪x∈Y {x} ∈ τ para cadaY ⊂ X! Daı (X, τ) e discreto ⇔ τ = τ0 !

4

=====================================================================“... X− {x} ... e um subconjunto aberto de X.” , final da p. 65

Como, para cada y ∈ X− {x}, existe aberto By em X tal que x 6∈ By,

X− {x} = ∪y∈X−{x}By

e aberto em X.=====================================================================EX. 8, pp. 65-6τ e uma topologia em X pois:

• ∅ ∈ τ e e finito. Daı X = X− ∅ ∈ τ;

• para qualquer ındice λ com Aλ ∈ τ, X− Aλ e finito. Daı:

– ∪λAλ = X− (∩λ(X− Aλ)) ∈ τ;

– ∩ni=1Ai = X−

(∪ni=1(X− Ai)

)∈ τ.

=====================================================================“... se x e isolado em M ... h(x) sera isolado em N.” , l. 17, p. 66

Como h e aberta (linhas 9 e 10, p. 65) e {x} e uma bola aberta em M, h ({x}) = {h(x)} e um aberto em Nque contem alguma bola aberta de centro h(x), que por sua vez contem {h(x)}.

=====================================================================

( f ◦ g)−1(A) = g−1( f−1(A)) , l. -16, p. 67

Se t ∈ T, t ∈ ( f ◦ g)−1(A) ⇔ f (g(t)) ∈ A ⇔ g(t) ∈ f−1(A) ⇔ t ∈ g−1( f−1(A)) .=====================================================================linhas 10-16, p. 68Confira p. 9. Em particular, ϕ[ϕ−1(T)] = T pois

q ∈ ϕ[ϕ−1(T)] ⇔ ∃x ∈ ϕ−1(T) tal que q = ϕ(x) ⇔ ∃x ∈ X tal que q = ϕ(x) ∈ T

ϕ sobre Q para ⇐︸ ︷︷ ︸

⇐⇒ q ∈ T.

Por outro lado, se ϕ−1[ϕ(S)] ⊂ S, ϕ(x) = ϕ(x′) e x ∈ S, entao x′ ∈ S pois

x′ /∈ S ⇒ x′ /∈ ϕ−1[ϕ(S)] ⇒6 ∃ϕ(x) ∈ ϕ(S) tal que ϕ(x) = ϕ(x′)!

=====================================================================“Daı ... A ⊂ X.” , linhas 19-21, p. 68

Se A e aberto em X e saturado relativamente a ϕ, A = ϕ−1[ϕ(A)] e aberto em X. Daı B = ϕ(A) e aberto emQ. Por outro lado, se B e aberto em Q, ϕ−1(B) e aberto em X. Mas ϕ[ϕ−1(B)] = B (sem perda de generalidade,suponha que ϕ(X) = Q) e ϕ−1

{ϕ[ϕ−1(B)]

}= ϕ−1(B). Logo, para A = ϕ−1(B), temos que:

• B = ϕ(A),

• A e aberto em X e saturado relativamente a ϕ.

=====================================================================Ultimo paragrafo, p. 68

• f esta bem definida pois, como ϕ(x) = {x′ ∈ X | x′Ex} (p. 14), se ϕ(x) = ϕ(x′), entao

f (ϕ(x)) = f (x) = f (x′) = f (ϕ(x′)).

• f e unica pois toda g : X/E → Y com g(ϕ(x)) = f (x) e tal que:

– f e g tem o mesmo domınio e o mesmo contra-domınio;

– f (ϕ(x)) = g(ϕ(x)).

5

• f e contınua pois, sendo B aberto em Y, f−1(B) ={

ϕ(x) ∈ X/E | f (ϕ(x)) ∈ B}e aberto em X/E (con-

siderando a topologia co-induzida pela ϕ) devido a

ϕ−1[

f−1(B)]

={

x ∈ X | ϕ(x) ∈ f−1(B)}

={x ∈ X | f (ϕ(x)) ∈ B

}= {x ∈ X | f (x) ∈ B} = f−1(B)

ser aberto em X.

=====================================================================Afirmacao anterior a Demonstracao, p. 69Quanto a afirmacao, conclui-se que, se τY e a topologia co-induzida emY pela f , entao (Y, τY) e (X/E, τX/E)

sao homeomorfos. Daı o caso particular τX/E e o mais geral possıvel (como afirmado no final do penultimoparagrafo da p. 68).

Quanto aDemonstracao:

• ϕ−1(C) = f−1[f (C)

]pois, sendo x ∈ X, isto e, ϕ(x) ∈ X/E, temos que

x ∈ ϕ−1(C) ⇔ ϕ(x) ∈ C ⇔ f (ϕ(x)) ∈ f (C)

f ◦ ϕ = f︸ ︷︷ ︸

⇐⇒ f (x) ∈ f (C) ⇔ x ∈ f−1[f (C)

].

• “A afirmacao feita decorre imediatamente.” . De fato, das linhas 9-10 da p. 65, f e um homeomorfismo

se, e somente se, e contınua e aberta. Daı basta provar que

f e aberta ⇔ a topologia de Y e co-induzida por f .

– Para ⇐, seja a topologia de Y co-induzida por f . Daı (e das implicacoes ⇒ das equivalencias dasduas ultimas linhas da Demonstracao) temos que f e aberta;

– Para ⇒, sendo f aberta, se C e aberto em X/E, entao f (C) e aberto na topologia τ, nao necessari-amente co-induzida por f , de Y. Como a topologia co-induzida τY e a mais fina em Y que tornaf contınua (final da p. 67), isto e, τ ⊂ τY, basta provar que τY ⊂ τ. Assim, sendo B ∈ τY, comof−1(B) = ϕ−1

[f−1(B)

]e aberto em X, f−1(B) e aberto em X/E. Daı, como f e sobre Y (l. 12, p. 9),

B = f[f−1(B)

]∈ τ.

=====================================================================Linhas -13 e -12, p. 69Primeiro note que, sendo U′ aberto em U, existe A aberto em X tal que U′ = U ∩ A. Daı, como U e aberto

em X,U′ e aberto em X. Analogamente, como f : U → V e aberta, existe B aberto em Y tal que f (U′) = V ∩ B.Daı, como V e aberto em Y, f (U′) e aberto em Y.

=====================================================================EX., pp. 70-1

• ϕ−1(ϕ(A)) = ∪n∈Z(A+n) pois, sendo x ∈ R, x ∈ ϕ−1(ϕ(A))⇔ ϕ(x) ∈ ϕ(A)⇔∃x′ ∈ A tal que ϕ(x) =ϕ(x′) ⇔ ∃x′ ∈ A tal que x− x′ ∈ Z ⇔ ∃x′ ∈ A e ∃n ∈ Z tais que x = x′ + n ⇔ ∃n ∈ Z tal que x ∈(A+ n) ⇔ x ∈ ∪n∈Z(A+ n);

• Na p. 69 vimos que todo homeomorfismo local e uma aplicacao aberta. Aqui, ϕ e uma aplicacao abertaque e um homeomorfismo local;

• ξ(t) = ξ(t′) ⇔ ∃n ∈ Z tal que 2πt = 2πt′ + 2πn;

• ξ e sobre S1, que e subespaco de R2, e contınua (pois suas coordenadas sao contınuas). Daı, pelo ultimoparagrafo da p. 68, ξ1 e contınua, biunıvoca e sobre S1.

=====================================================================ε > 0 ⇒ B(x; ε) =

⋃

r∈Q∩(0,ε) B(x; r), linhas -15 e -14, p. 72

⊃ e obvia. Para ⊂ use a densidade dos racionais em R: d(x′, x) < ε ⇒ ∃r ∈ Q ∩ (d(x′, x), ε).====================================================================={B(a; 1/n) | a ∈ M, n ∈ N} e base para M, duas ultimas linhas, p. 72Sendo A aberto em M e x ∈ A, existem a ∈ X e ε > 0 tais que x ∈ B(a; ε) ⊂ A. Daı, sendo δ = ε − d(x, a),

pela propriedade arquimediana, existe um inteiro positivo n tal que B(x; 1/n) ⊂ B(x; δ) ⊂ B(a; ε) ⊂ A.

6

=====================================================================Demonstracao da recıproca da Prop. 10, p. 73Existem abertos basicos Bλ tais que X = ∪Bλ. Daı temos 1). Sejam agora B1 e B2 abertos basicos e x ∈

B1 ∩ B2. Sendo A = B1 ∩ B2, como A e aberto em X e x ∈ A, 2) segue da Prop. 9 da p. 72.=====================================================================Topologia produto, p. 73Alem de satisfazer 2), Prop. 10, B tambem satisfaz 1) pois X = X1 × · · · × Xn ∈ B.=====================================================================ponto interior, p. 74Note que, sendo X metrizavel, como um aberto A de X e reuniao de bolas abertas (de X),

S ∋ x e ponto interior de S ⇔ existe uma bola aberta B de X tal que x ∈ B ⊂ S ⇔ ∃r > 0 tal que B(x; r) ⊂ S.

=====================================================================EX. 11, p. 75

• O interior de um subconjunto finito de Rn e finito. Sendo nao vazio, pelo Cor. , p. 59, contem algumabola aberta de Rn, que e homeomorfa ao espaco Rn (EX. 8, p. 45), daı infinita!

• int(Q) = int(R−Q) = ∅ pois Q e R−Q sao densos em R.

=====================================================================EX. 12, p. 75

• Pelo EX. 11, p. 75, podemos supor L 6= {0}. Daı, nenhuma bola aberta de E esta contida em L pois, sendoB uma tal bola, existem P0, P1 ∈ B tais que [P0, P1] = {P0 + t(P1 − P0) | t ∈ [0, 1]} ⊂ B mas [P0, P1] 6⊂ L.De fato, sejam P0 o centro de B e P1 − P0 um vetor de uma base de E que nao seja um vetor de L. (Existeum tal vetor pois, caso contrario, ser base de E significa ser base de L!)

• B(a; r) ⊂ int(D(a; r)) pois B(a; r) e um aberto contido em D(a; r);

• Para M discreto com d(x, y) = 1 se x 6= y, B(a; 1) = {a} e int(D(a; 1)) = int(M) = M;

• O penultimo exemplo ilustra que um ponto pode ser ou nao ser interior a uma bola, dependendo dametrica considerada (no caso, as metricas sao definidas pela norma do maximo e pela norma euclidiana).

=====================================================================EX. 15, p. 78

• Para verificacao direta, se x ∈ M− D(a; r), s = d(x, a)− r e y ∈ B(x; s), suponha d(y, a) ≤ r. Daı

d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a) < s+ r = d(x, a)!

• Para verificar que f e contınua, se ε > 0 e x ∈ M, tome δ < ε. Daı

y ∈ M, d(x, y) < δ ⇒ | f (x)− f (y)| = |d(x, a)− d(y, a)| ≤ d(x, y) < ε.

=====================================================================EX. 19, p. 79Seja f uma correspondencia biunivoca entre X e Y (p. 8). Como f ser um homeomorfismo equivale a ser

contınua e aberta (p. 65), basta mostrar, nesse caso, a equivalencia entre f ser aberta e f ser fechada. De fato,sendo F fechado em X, devido a X− F ser aberto em X e f ser biunivoca (p. 8), temos que

Y− f (F)

f e sobre Y︸ ︷︷ ︸

= f (X)− f (F) = f (X− F)

e aberto em Y. Logo f (F) e fechado em Y. Daı f aberta implica f fechada. Analogamente, prova-se que, ffechada implica f aberta.

=====================================================================Cor., p. 80

C f (X;M) = ∩a∈X

{

g ∈ B f (X;M) | g e contınua em a}

.=====================================================================

7

p. 81 (e p. 74)int(S) e S sao contrapartes uma da outra mas nao sao, necessariamente, aproximacoes inferior e superior,

respectivamente, de S.=====================================================================Dem., Prop. 20, p. 82Para F = G = ∅, use um argumento de vacuidade. Para F = ∅ e G 6= ∅, defina ϕ(x) = 1 para todo

x ∈ M, ou, para G = ∅ e F 6= ∅, defina ϕ(x) = 0 para todo x ∈ M, sendo que, em cada caso, deve-se usar umargumento de vacuidade. Caso ambos sejam nao vazios, note que, como ambos sao fechados disjuntos, temosF ∩ G = ∅, e daı, pela Prop. 19, d(x, F) = 0 ⇔ d(x,G) 6= 0.

=====================================================================Obs., p. 82

F e G sao fechados pois sao graficos de funcoes contınuas (EX. 20, p. 79) e limx→∞

= 1x

︷ ︸︸ ︷

d((x, 0), (x, 1/x))= 0.=====================================================================EX. 25, p. 83Se X e discreto e S ⊂ X, M− S e aberto em X simplesmente por ser um subconjunto de X (Veja EX. 6, p.

64).=====================================================================Ultimas quatro linhas, EX. 26, p. 84B = B ∪ f r(B) via EX. 29, p. 84.=====================================================================“Como X e um espaco de Hausdorff, o conjunto {s1, . . . , sn} e fechado ...” ,Dem., Prop. 22, p. 86

Cf. EX. 16, p. 78.=====================================================================Obs., p. 86Para um espaco T1 que nao e de Hausdorff, cf. EX. 16, p. 78.=====================================================================Linhas -2 e -1 da p. 87 e linhas 1 e 2 da p. 88Cf. EX. 13 da p. 75 e EX. 29 da p. 84.=====================================================================EX. 33, p. 90Sendo f , g ∈ B(X; S) e x ∈ X, como S e convexo, (1 − t) f (x) + tg(x) ∈ S para todo t ∈ [0, 1]. Daı

(1− t) f + tg ∈ B(X; S) para todo t ∈ [0, 1], isto e, B(X; S) e convexo.=====================================================================Dem., Prop. 28, p. 92A ∩ S 6= ∅ pois X = S, isto e, toda vizinhanca de todo ponto pertencente a X intercepta S (cf. p. 81) e A e

vizinhanca de algum ponto de X (pois e aberto nao-vazio de X).=====================================================================Ex. 39, p. 103Sendo ξS contınua em a ∈ X (cf. p. 63) e B um aberto em R tal que ξS(a) ∈ B ∩ {0, 1} e

({0, 1} − {ξS(a)}) ∩ B = ∅,

existe um aberto A em X tal que a ∈ A e ξS(A) ⊂ B. Supondo a ∈ f r.(S), A intercepta S e X− S. Daı

ξS(A) = {0, 1} ⊂ B

e isto e um absurdo. Logo f r.(S) e parte do conjunto dos pontos onde ξ e descontınua. Agora, para a 6∈ f r.(S),ou existe um aberto AS em X tal que a ∈ AS ⊂ S, ou existe um aberto AX−S em X tal que a ∈ AX−S ⊂ X − S.Daı, em qualquer caso, ξS e contınua em a pois as restricoes ξS|AS

e ξS|AX−Ssao contınuas (cf. Prop. 8, p. 63).1

Assim, o conjunto dos pontos onde ξ e descontınua e parte de f r.(S).=====================================================================Ex. 79, p. 107Para o segundo paragrafo do Exercıcio, cf. pp. 40-1.=====================================================================

1De fato, por exemplo, sendo a ∈ AS ⊂ S, como ξS|ASe contınua em a, para todo aberto B em R com ξS(a) ∈ B, existe um aberto A em

X tal que a ∈ A ∩ AS e ξS(A ∩ AS) ⊂ B. Entao ξS e contınua em a.

8