Elon Conj Nos Naturais
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Instituto Nacional de Matem´ atica Pura e Aplicada PAPMEM - Janeiro 2012 Conjuntos e N´ umeros Naturais Ex erc´ ıci os • 1. Mostre que a reuni˜ ao A ∪ B ∪ C de t rˆ es c onjunto s p ode se r expressa como A ∪ B ∪ C = X 1 ∪ X 2 ∪ X 3 ∪ X 4 ∪ X 5 ∪ X 6 ∪ X 7 de sete conjuntos dois a dois disjuntos (alguns dos quais podem ser vazios). Exprima cada um dos X i em termos dos conjuntos A,B,C e das opera¸c˜ oes do tipo X ∪ Y ,X ∩ Y , X − Y , onde X − Y = { x; x ∈ X e x / ∈ Y }. • 2. Use indu¸ c˜ ao para provar que 1 3 + 2 3 + ... + n 3 = (1 + 2 + ... + n) 2 . • 3 . Prove por indu¸ c˜ ao, que um conjunto com n elementos possui 2 n subconjuntos.
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Instituto Nacional de Matematica Pura e Aplicada
PAPMEM - Janeiro 2012
Conjuntos e Numeros Naturais
Exerccios
1. Mostre que a reuniao ABC de tres conjuntos pode ser expressacomo
A B C = X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7de sete conjuntos dois a dois disjuntos (alguns dos quais podem ser
vazios). Exprima cada um dos Xi em termos dos conjuntos A,B,C e
das operacoes do tipo X Y,X Y,X Y , onde X Y = {x;x Xe x / Y }.
2. Use inducao para provar que13 + 23 + ... + n3 = (1 + 2 + ... + n)2.
3. Prove por inducao, que um conjunto com n elementos possui 2nsubconjuntos.