Eletromagnetismo - Aula 24

7/18/2019 Eletromagnetismo - Aula 24

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24.1 – Transmissão de energia em uma onda plana

Considere uma onda eletromagnética plana se propagando na direção perpendicular a esta página(figura 24.1). Podemos considerar que esta onda é um arranjo de “células-de-campo”. Cada célulatendo largura e comprimento unitários, podemos escrever para a tensão V:

)V(E1EV (24.1)

Analogamente para a corrente I:

) A(H1HI (24.2)

Pela teoria de circuitos, a potência transmitida em uma célula é dada por:

)W(EHVIP (24.3)

Essa é a energia transmitida por unidade de área, indicada de forma vetorial por:

HEP

(24.4)

A equação (24.4) representa o vetor de Poynting (John Henry Poynting, 1852-1914), cuja deduçãomatemática mais detalhada será feita na seção a seguir.

Figura 24.1 – Onda eletromagnética plana se propagando perpendicularmente ao papel.

24 O VETOR DE POYNTING

E

V = E1

I = H1



24.2 – O Vetor de Poynting

Sejam as equações de Maxwell em rotacional:

t

BE

(24.5)

t

DJH

(24.6)

Multiplicando escalarmente (24.5) por H

e (24.6) por E

, vem respectivamente:

t

BHEH

(24.7)

t

DJEHE

(24.8)

Subtraindo (24.8) de (24.7):

t

DJE

t

BHHEEH

(24.9)

A partir de uma propriedade do cálculo vetorial, podemos escrever que:

HEHEEH

(24.10)

Portanto:

tDEJE

tBHHE

(24.11)

A equação (24.11) pode ser reescrita como:

t

EE

t

HHEHE 2

(24.12)

Onde foram utilizadas as relações:

EJ

HB

ED

Considerando que:

2Htt

HH

t

HHHH

t

(24.13)

e:

2Ett

EE

t

EEEE

t

(24.14)



A equação (24.12) fica:

222 E2

1

tH

2

1

tEHE

(24.15)

Integrando (24.15) em um volume v:

v

2

v

2

v

2

vdvE

2

1

tdvH

2

1

tdvEdvHE

(24.16)

Aplicando ao primeiro membro da equação (24.16) o teorema da divergência, e invertendo os sinais:

v

2

v

2

v

2

sdvE

2

1

tdvH

2

1

tdvEsdHE

(24.17)

A equação (24.17) recebe o nome de Teorema de Poynting. O produto vetorial HE

é o vetor dePoynting. O primeiro membro da equação (24.17) é o fluxo total de energia que entra em umasuperfície fechada S. No segundo membro, o primeiro termo representa a potencia dissipada porefeito Joule (perdas), o segundo termo representa a variação de energia armazenada no campomagnético e o terceiro termo representa a variação da energia armazenada no campo elétrico.

Exemplo 24.1

Um condutor cilíndrico de raio a metros é percorrido por uma corrente contínua i ampères num meio

de condutividade S/m. Conferir o teorema de Poynting para um volume correspondente a metros

de fio.

Solução

Figura 24.2 – fluxo de energia em um condutor com corrente i

No caso, os campos elétrico e magnético sãoestáticos e a equação (24.17) se reduz a:

dvEsdHEv

2

s

Magnitude do campo magnético:

a2

iH

Magnitude do campo elétrico:

2a

iJE

s 0

2

0 2sdad

a2

i

a

iEHdssdHE

2

2

2

sRi

a

isdHE

que é a energia dissipada por efeito Joule numresistor de geometria cilíndrica.

a

i

E

H

EH



24.3 – Valor médio do vetor de Poynting

O fluxo do vetor de Poynting sobre uma área representa a potência instantânea atravessando essaárea. O valor médio do vetor de Poynting é obtido integrando-se o vetor de Poynting em um período,e dividindo por um período (definição clássica do valor médio de uma função periódica ). Ele também

pode ser obtido numa notação complexa como:

2m m/WcosHE

2

1P (24.18)

Onde é o ângulo de defasagem entre E

e H

.

Exemplo 24.2

No espaço livre )ztcos(50)t,z(E V/m. Calcule a potência média que atravessa uma área

circular de 2,5 m de raio, pertencente a um plano z = cte.

Solução

ztcos120

50EH

ztcos133,0H

Não existe defasagem entre E

e H

. Portanto:

2m m/W325,3133,050

2

1P

W1,655,2325,3P 2total

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