Eletromagnetismo - Aula 20

ELETROMAGNETISMO II

UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Cludio Vara de Aquino

195

21.1 - Corrente de Conduo e Corrente de Deslocamento A corrente eltrica um fenmeno conhecido por todos e o seu comportamento j foi analisado a partir de conceitos e definies do eletromagnetismo no captulo 6. Naquela ocasio, definiu-se a corrente eltrica como o movimento de partculas eletricamente carregadas, sendo que esse movimento ocorre numa certa ordem, tambm caracterizado pela troca de eltrons em um condutor (corrente de conduo), ou pela migrao de cargas eltricas entre dois terminais (corrente de conveco). Tomando por base estas definies, vamos analisar o comportamento da configurao ilustrada na figura 21.1, onde uma tenso v(t) aplicada entre os terminais de duas placas condutoras paralelas de mesma rea, separadas por uma distancia muito menor do que as dimenses lineares que definem a sua rea, tendo o espao entre elas preenchido por um dieltrico perfeito, o que caracteriza uma interrupo ao caminho da corrente estabelecida por conduo.

Figura 21.1 Capacitor submetido a uma diferena de potencial v(t), percorrido por uma corrente i(t) Sabendo que vrias superfcies podem ser delimitadas pelo mesmo contorno, vamos aqui definir duas superfcies, S1 e S2, delimitadas pelo mesmo caminho fechado (contorno) . A lei de Ampre aplicada ao caminho delimitando a superfcie S1 fornece:

)t(idH)S( 1

,

pois efetivamente neste caso existe um movimento efetivo de eltrons entre os tomos do condutor que constituem a corrente (de conduo) enlaada pelas linhas do campo magntico.

Por outro lado, a lei de Ampre para o mesmo contorno s que agora definindo ou delimitando a superfcie aberta S2, que contm o dieltrico, informa que:

0dH)S( 2

Este resultado no deve causar indagao alguma, pois como j do nosso conhecimento, quando um campo eltrico for aplicado em um material dieltrico, ocorrer apenas um deslocamento virtual entre as cargas que compem as molculas do material isolante.

v (t)

S1

S2

i (t)

21 CORRENTE DE CONDUO, CORRENTE DE DESLOCAMENTO, EQUAES DE MAXWELL

ELETROMAGNETISMO II


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Obviamente isto um absurdo. O circuito apresentado na figura 21.1 nada mais do que um capacitor submetido a uma tenso varivel no tempo e de acordo com a teoria de circuitos, h, sim, uma corrente eltrica circulando por ele, o que inquestionvel. Essa corrente fluir pelo capacitor, e dever ser da mesma magnitude da corrente que flui pelo condutor, para no contrariar o princpio da continuidade de corrente. Este simples exemplo deixa claro que uma nova natureza de corrente eltrica deve ser apresentada neste ponto da discusso. A esta nova corrente daremos o nome de corrente de deslocamento, distinta da corrente de conduo j apresentada em captulo anterior. A corrente de deslocamento no o resultado do movimento de cargas eltricas e s existir quando a tenso entre as placas for varivel com o tempo. Se a tenso aplicada for constante, ela existir apenas em um instante transitrio, desaparecendo em seguida No exemplo em questo o mesmo dever ocorrer com a corrente de conduo, para satisfazer o princpio da continuidade da corrente. Finalmente, antes de prosseguirmos com a formulao do problema, podemos adiantar aqui que a corrente de deslocamento fruto do resultado da propagao da energia na forma de um campo eletromagntico estabelecido entre as placas. Seja agora um capacitor e um resistor ligados em paralelo, submetidos a uma tenso V, conforme a figura 21.2.

figura 21.2 Resistor e capacitor submetidos a tenso V

Da teoria de circuitos eltricos, sabemos que a corrente de conduo no resistor :

RVi R (21.1)

Enquanto que a corrente de deslocamento no capacitor :

dtdVCi C (21.2)

Vamos agora escrever essas relaes baseadas em relaes de campo, onde os elementos resistor e capacitor so representados na forma intensiva, conforme mostra a figura 21.3.

Figura 21.3 representao do capacitor e do resistor, baseada em grandezas de campo

Vamos admitir ainda que pela geometria apresentada, a intensidade de campo eltrico a mesma, tanto no resistor como no capacitor, e pode ser expressa como:

dVE (21.3)

iR iC

V

V E E

i

ELETROMAGNETISMO II


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Para o resistor podemos escrever:

AddE

RViR

(21.4)

Considerando cada linha de corrente ou a sua densidade superficial, podemos escrever que:

EJAi

RR (21.5)

O que traduz a lei de Ohm, j vista, na sua forma pontual. Da:

EJR

(21.6)

Para o capacitor, considerando-o como formado por placas planas e paralelas, desprezando os efeitos de borda ou o espraiamento das linhas de campo eltrico, a corrente capacitiva fica:

dtdV

dA

dtdVCi C

(21.7)

Para o campo eltrico uniforme e espaamento d constante

EdV (21.8)

dtdEd

dAi C (21.9)

dtdD

dtdEJ

Ai

cC (21.10)

onde:

dtDdJC

(21.11)

CJ

a densidade das linhas de corrente de deslocamento no capacitor representada por dJ

, enquanto

que RJ

a densidade de linhas de corrente de conduo no resistor que ser representada

simplesmente por J

. Vamos supor agora um meio com as duas caractersticas, ao invs de uma resistncia pura em paralelo com uma capacitncia pura, podendo ser considerado um mal condutor ou um dieltrico com perdas. Esta generalizao na lei de Ampre para esse meio permite escrever:

L S

SdtDJLdH

(21.12)

Aplicando o teorema de Stokes ao primeiro membro da equao acima, temos pontualmente:

tDJH

(21.13)

ou ainda:

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tEEH

(21.14)

O conceito de corrente de deslocamento foi introduzido por James Clerk Maxwell, para se levar em conta a possibilidade da propagao de ondas eletromagnticas no espao. Se o campo eltrico varia harmonicamente com o tempo, as correntes de deslocamento e de conduo esto defasadas de 90 graus e

tsenEE 0

(21.15)

tsenEJ 0

(21.16)

tcosEJ 0d

(21.17) Exemplo 21.1 Um material com condutividade = 5,0 S/m e permissividade relativa r = 1,0 submetido a uma intensidade de campo eltrico de 250 sen (1010 t) V/m. Calcular as densidades de corrente de conduo e de deslocamento. Em que frequncia elas tero a mesma amplitude? Soluo:

Figura 21.4 dieltrico com perdas

tsenEJc 1010250.5

)/(101250 210 mAtsenJc

tdtdEJd

10109

10cos250.1036

10

)/(10cos1,22 210 mAtJd

Para a mesma amplitude:

srad /1065,510

36.0,5 119

GHzf 5,892

Exemplo 21.2 Um capacitor coaxial com raio interno 5 mm, raio externo 6 mm e comprimento 500 mm tem um dieltrico onde r = 6,7. Se uma tenso de 250 sen (377t) V aplicada, determine a corrente de deslocamento e compare-a com a corrente de conduo. Soluo:

Figura 21.5 Capacitor co-axial

Neste exemplo, a corrente entre as placas do capacitor ser a de deslocamento e a corrente no condutor aquela de conduo. No tendo informaes da condutividade, podemos supor o dieltrico perfeito, ou seja, sem perdas.

Jc Jd E

V(t)

ic(t)

Id(t)

ELETROMAGNETISMO II


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Da teoria de circuitos sabemos que:

dtdVCi c

Onde, conforme j visto e deduzido

F1002,156ln365,0.10.7,6.2

rrln2C 9

9

ie

0r

Ento a corrente de conduo ser

t377cos250.377.10.02,1dtdVCi 9c

At377cos10.61.9i 5c

Da teoria eletromagntica temos que o potencial entre as placas obedece equao de Laplace. Em coordenadas cilndricas:

0drdVr

r0

drdVr

rr10V2

Integrando em relao a r vem:

rdrAdVA

drdVr

Integrando novamente em relao a r:

B)r(lnAV

Das condies de contorno vem que V = 0 para r = 6 mm. Da

B006.0lnA0 (1)

B005.0lnAt377sen250 (2)

Resolvendo (1) e (2) temos:

)6/5(ln

t377sen250A

)006.0(ln

)6/5(lnt377sen250B

)006.0(ln

)6/5(lnt377sen250rln

)6/5ln(t377sen250V

No caso V = V (r). Logo

rar1

)5/6(lnt377sen250EVE

r6

d

9

0rd

at377cosr10.6,30J

56lnt377cos250.377

r1

3610.7,6

dtEdJ

5,0

0

2

0rr

6

sdd adzdrat377cosr

10.6,30SdJi

A)t377(cos10.61,9i 5d

o que comprova a continuidade da corrente no circuito mostrando que a corrente de deslocamento, dentro do capacitor, igual corrente de conduo, no condutor externo.

21.2 - As Equaes de Maxwell para campos variveis no tempo. No captulo 17 estabelecemos as quatro equaes de Maxwell para campos eltricos e magnticos estticos (invariantes no tempo). Estas quatro equaes de Maxwell so enunciadas de modo geral considerando os campos variando no tempo, ficando os casos estticos como particularidades. O conjunto de equaes a seguir, mostrado tanto na forma integral como na diferencial justifica matematicamente as principais leis e princpios bsicos que regem a teoria da eletricidade. A lei circuital de Ampre prova a existncia das correntes de conduo e de deslocamento onde:

forma integral forma diferencial

S

L

SdtDJLdH

tDJH

(21.18)

A lei de Faraday aplicada a uma superfcie S fixa, justifica a tenso induzida de modo variacional:

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200


L S

SdtBLdE

tBE

(21.19)

No incio dos nossos estudos em eletromagnetismo vimos que as linhas de fora de um campo eltrico emanam de uma fonte de carga positiva ou se dirigem fonte de carga, caso esta seja negativa. Em outras palavras, a existncia das cargas eltricas fundamentada na lei de Gauss onde:


vS

dvSdD

D

(21.20)

Por outro lado, o mesmo conceito mostra a inexistncia de monopolos magnticos de forma que:

forma integral forma diferencial 0

S

SdB

0 B

(21.21)

Observe que o terceiro e quarto conjunto de equaes no mudam em relao aos campos estticos. Estas equaes de fluxos em superfcies fechadas na forma integral ou de divergentes na forma diferencial justificam o campo eltrico como conservativo e o magntico como solenoidal. 21.2.1 - Equaes de Maxwell no espao livre Quando Maxwell formulou as suas equaes, a sua maior preocupao era demonstrar a existncia das ondas eletromagnticas e que elas se propagavam mesmo na ausncia de meio material, ou seja, no espao livre. Como neste caso, no existe corrente de conduo ( 0J

), nem densidade de

cargas eltricas livres ( = 0), o conjunto das equaes (21.18) a (21.21) reformulado de forma simplificada resultando:


S

L

SdtDLdH

tDH

(21.22)

L S

SdtBLdE

tBE

(21.23)

0 S

SdD

0 D

(21.24)

0S

SdB

0 B

(21.25)

A partir das relaes constitutivas em que ED

e HB

e no espao livre na forma diferencial

temos:


S

L

SdtELdH

0

tEH

0 (21.26)

L S

SdtHLdE

0 t

HE

0 (21.27)

00 S

SdE

0 E

(21.28)

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201

00 S

SdH

0 H

(21.29)

Este conjunto particular de equaes demonstra a propagao das ondas eletromagnticas e esclarece como os campos magnticos so produzidos atravs dos campos eltricos e estes atravs dos magnticos no decorrer do tempo. 21.2.2 Equaes de Maxwell para campos variantes harmonicamente com o tempo Finalmente apresentamos as formulaes das equaes de Maxwell para campos eletromagnticos que variam harmonicamente no tempo (no necessariamente no espao livre). Considerando uma variao do tipo a = A ejt com derivada temporal jA ejt = j a, elas podem ser escritas como:

forma integral forma diferencial s s SdEjLd.H

EjH

(21.30)

l s SdHjLd.E

HjE

(21.31)

vs dVSd.D

0D.

(21.32)

s 0Sd.B

0B.

(21.33)

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202

EXERCCIOS 1)- Seja a densidade de corrente de conduo num dieltrico dissipativo Jc = 0,02 sen (109 t) (A/m2),

encontre a densidade de corrente de deslocamento se = 103 S/m e = 6,5 0. 1,15x10-6 cos (10-9 t) (A/m2) 2)- Um condutor de seo reta circular de 1,5 mm de raio suporta uma corrente ic = 5,5 sen (4.1010 t)

(A). Quanto vale a amplitude da densidade de corrente de deslocamento se a condutividade vale 35 MS/m e a permissividade relativa r = 1?

7,86x10-3 A/m2 3)- Descubra a freqncia para a qual as densidades de corrente de conduo e de deslocamento

so idnticas em: (a) gua destilada, onde = 2,010-4 S/m, r = 81; (b) gua salgada, onde = 4,0 S/m e r = 1.

(a) 4,44 x 104 Hz; (b) 7,20 x 1010 Hz 4)- Duas cascas esfricas condutoras concntricas com raios r1 = 0,5 mm e r2 = 1 mm, acham-se

separadas por um dieltrico de constante dieltrica r = 8,5. Encontre a capacitncia e calcule a corrente de conduo ic dada uma tenso aplicada v (t) = 150sen (5000t) V. Calcule a corrente de deslocamento iD e compare-a com ic.

IC = iD = 7,08 . 10-7 cos (5000t) A 5)- Duas placas condutoras planas e paralelas de rea 0,05 m2 acham-se separadas por 2 mm de um

dieltrico com perdas onde r= 8,3 e = 8,010-4S/m. Aplicada uma tenso v = 10 sen 107 t (V), calcule o valor rms da corrente total.

0,192 A rms 6)- Um capacitor de placas paralelas, separadas por 0,6 mm e com um dieltrico de r = 15,3 tem

uma tenso aplicada de 25 V rms na frequncia de 15 GHz. Calcule o rms da densidade de corrente de deslocamento. Despreze o espraiamento no campo eltrico.

5,31105 A/m2

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