eletromagnetismo

Universidade Federal do Recncavo da Bahia

Centro de Formao de Professores

Curso de Licenciatura em Fsica

Robenil dos Santos Almeida

Notas de Eletromagnetismo I

Amargosa22 de fevereiro de 2015

Robenil dos Santos Almeida

Notas de Eletromagnetismo I

Trabalho apresentado a disciplina de Eletro-magnetismo I como parte da avaliao doprimeiro semestre de 2015.Prof. digitar nome

Amargosa22 de fevereiro de 2015

Sumrio

1 ANLISE VETORIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1 lgebra vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Operao com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 lgebra vetorial: na forma de componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Produtos triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Vetores posio, deslocamento e separao . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Transformao de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Clculo diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1 Derivadas ordinrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.2 Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 O operador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.4 O divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 O rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.6 Regras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.7 Derivadas de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Clculo integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.1 Integrais de linha, superfcie e volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.2 Teorema fundamental do clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3 Teorema fundamental para gradientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.4 Teorema fundamental para divergentes (Teorema de Green) . . . . . . . . . 131.3.5 Teorema fundamental para rotacionais (Teorema de Stokes) . . . . . . . . 131.4 Coordenadas curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.1 Coordenadas polares esfricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Coordenadas cilndricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 Funo delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.1 O divergente de r/r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.2 A funo delta de Dirac unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5.3 A funo delta de Dirac tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6 A teoria dos campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.1 O teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.2 Potenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Referncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

41 ANLISE VETORIAL

1.1 lgebra vetorial

1.1.1 Operao com vetores

1. Soma de vetores. Coloque a extremidade inicial de ~B na ponta de ~A; a soma de~A+ ~B o vetor da extremidade inicial de ~A ponta de ~B. A soma comutativa:

~A+ ~B = ~B + ~A

Para subtrair um vetor, some seu oposto:

~A ~B = ~A+ ( ~B).

2. Multiplicao por um escalar. A multiplicao de um vetor por um escalarpositivo a multiplica a magnitude, mas deixa a direo inalterada. A multiplicaopor um escalar distributiva:

a( ~A+ ~B) = a ~A+ a ~B

3. Produto interno ou produto escalar de dois vetores. O produto interno dedois vetores definido por

~A ~B = AB cos onde o ngulo que eles formam quando so ligados por cada calda. O produtorescalar comutativo,

~A ~B = ~B ~Ae distributivo,

~A ( ~B + ~C) = ~A ~B + ~A ~C (1.1)

4. Produto externo ou produto vetorial de dois vetores.O produto externo dedois vetores definido por

~A ~B = AB sin nonde n um vetor unitrio apontando perpendicularmente para o plano de ~A e ~B.H duas direes perpendiculares a qualquer plano: entrando no plano e saindo do

Captulo 1. ANLISE VETORIAL 5

plano. A ambiguidade se resolve com a regra da mo direita: aponte seus dedosna direo do primeiro vetor e vire-os (pelo menor ngulo) em direo aosegundo; seu polegar indicar a direo de n. O produto vetorial distributivo,

~A ( ~B + ~C) = ( ~A ~B) + ( ~A ~C) (1.2)

mas no comutativo:( ~A ~B) = ( ~A ~B) (1.3)

1.1.2 lgebra vetorial: na forma de componentesUm vetor arbitrrio ~A pode ser expandido em termos de vetores bases:

~A = Axx+ Ayy + Az z

Os nmetos Ax, Ay, Az so os componentes de ~A. Com essa nova definio, asquatro operaes vetoriais podem ser reformuladas.

1. Regra: para somar vetores, some componentes semlhantes:

~A+ ~B = (Axx+Ayy+Az z)+(Bxx+Byy+Bz z) = (Ax+Bx)x+(Ay+By)y+(Az+Bz)z

2. Regra: para multiplicar por um escalar, multiplique cada componente.

a ~A = (aAx)x+ (aAy)y + (aAz)z

3. Regra: para calcular o produto escalar, multiplique componentes semelhantes e some.Em particular,

~A ~A = A2x + A2y + A2zento

A =A2x + A2y + A2z

4. Regra: para calcular o produto vetorial, forme o determinante cuja primeira linhaseja x, y, z, cuja segunda linha seja ~A (na forma de componentes) e cuja terceiralinha seja ~B.

~A ~B =

x y z

Ax Ay Az

Bx By Bz

= (AyBzAzBy)x+ (AzBxAxBz)y+ (AxByAyBx)z


1.1.3 Produtos triplos

Produto escalar triplo: ~A ( ~B ~C). Geometricamente, | ~A ( ~B ~C)| o volumedo paraleleppedo gerado pelos trs vetores, j que | ~B ~C| a rea da base e | ~A cos a altura. Evidentemente,

~A ( ~B ~C) = ~B (~C ~A) = ~C ( ~A ~B) =

Ax Ay Az

Bx By Bz

Cx Cy Cz

Produto vetorial triplo: ~A ( ~B ~C). O produto vetorial triplo pode ser simpli-

ficado pela regra ~B ~A~C ~C ~A~B:~A ( ~B ~C) = ~B( ~A ~C) ~C( ~A ~B)

Observe que

( ~A ~B) ~C = ~C ( ~A ~B) = ~A( ~B ~C) + ~B( ~A ~C) um vetor completamente diferente. A propsito, todos os produtos vetoriaissuperiores podem ser reduzidos, da mesma forma, com frequncia aplicando-serepedidamente a regra ~B ~A~C ~C ~A~B. Por exemplo:

( ~A ~B) (~C ~D) = ( ~A ~C)( ~B ~D) ( ~A ~D)( ~B ~C)~A ( ~B (~C ~D)) = ~B( ~A (~C ~D)) ( ~A ~B)(~C ~D)

1.1.4 Vetores posio, deslocamento e separaoO vetor posio definido como

~r = xx+ yy + zz (1.4)

A magnitude de ~r r =

x2 + y2 + z2 (1.5)

J o vetor unitrio que aponta radialmente para fora definido como:

r = ~rr

= xx+ yy + zzx2 + y2 + z2

(1.6)

O vetor deslocamento infinitesimal de (x, y, z) a (x+ dx, y + dy, z + dz),

d~l = dxx+ dyy + dz~z (1.7)

Em eletrodinmica, frequentemente encontramos problemas que envolvem doispontos tipicamente um ponto fonte, ~r, onde uma carga eltrica est localizada, e umponto de observao, ~r, no qual se est calculando o campo eltrico ou magntico.


Figura 1 Ponto fonte e ponto de observao

Vale a pena adotar, desde o incio, algum tipo de notao abreviada para o vetorseparao entre o ponto fonte e o ponto de observao:

~ = ~r ~r (1.8)

Sua magnitude = |~r ~r| (1.9)

e um vetor unitrio na direo de ~r a ~r

=~ =

~r ~r|~r ~r| (1.10)

Em coordenadas cartesianas,

~ = (x x)x+ (y y)y + (z z)z (1.11)

=

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2 (1.12)

= (x x)x+ (y y)y + (z z)z

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2(1.13)

1.1.5 Transformao de vetoresSuponha que o sistema x, y, z da Figura 2 sofre uma rotao de um ngulo , em

relao a x, y, z, em torno dos eixos comuns x = x.

Figura 2 Rotao do sistema x, y, z

A partir da figura, temos que

Ay = A cos , Az = A sin


tambm que

Ay = A cos = A cos ( ) = A(cos cos+ sin sin) = Ay cos+ Az sin

Az = A sin = A sin ( ) = A(sin cos cos sin) = Ay sin+ Az cos

Podemos expressar esse resultado em notao matricial: AyAz

= cos sin sin cos

AyAz

(1.14)Em sentido mais amplo, para uma rotao em torno de um eixo arbitrrio em trs

dimenses, a lei de transformao assume a formaAx

Ay

Az

=Rxx Rxy Rxz

Ryx Ryy Ryz

Rzx Rzy Rzz

Ax

Ay

Az

(1.15)ou, como forma compacta,

Ai =3j=1

RijAj (1.16)

Dessa forma, formalmente, um vetor qualquer conjunto de trs componentes quese transforma da mesma maneira que um deslocamento, quando se mudam as coordenadas.

1.2 Clculo diferencial

1.2.1 Derivadas ordinriasSuponha que exista uma funo de uma varivel f(x). A derivada df/dx nos diz

com que rapidez a funo f(x) varia quando muda-se o argumento x por uma quantidademinscula dx:

df =(df

dx

)dx (1.17)

Ou seja, se alterarmos x por uma quantidade dx, ento f ser alterada pelaquantidade df ; a derivada o fator de proporcionalidade. Geometricamente, a derivadadf/dx a inclinao do grfico f versus x.

1.2.2 GradienteSendo T uma funo de trs variveis, um teorema de derivadas parciais diz que


dT =(T

x

)dx+

(T

y

)dy +

(T

z

)dz (1.18)

Essa Eq.(1.18) decorrente de um produto escalar:

dT =(T

xx+ T

yy + T

zz

) (dxx+ dyy + dzz) = (T ) (d~l) (1.19)

onde o gradiente de T definido como

T = Tx

x+ Ty

y + Tz

z (1.20)

Como qualquer vetor, o gradiente tem magnitude, direo e sentido. Para determinarseu significado geomtrico, devemos reecrever a Eq.(1.19) como

dT = T d~l = |T ||d~l| cos (1.21)onde o ngulo entre T e d~l. Agora, se fixarmos a magnitude |d~l| e buscarmos emvrias direes (ou seja, variando ), a mudana mxima em T evidentemente ocorrerquando = 0 (j que cos = 1). Ou seja, para uma distncia fixa |d~l|, dT ser o maiorvalor possvel quando movermos na mesma direo que T . Portanto:

O gradiente T aponta na direo do aumento mximo da funo T .

A magnitude |T | fornece a inclinao (taxa de aumento) ao longo dessa direomaximizadora.

1.2.3 O operador O gradiente tem a aparncia formal de um vetor multiplicando por um escalar

T :T =

(

xx+

zz +

zz

)T (1.22)

O termo entre parnteses chama-se operador del:

= xx+

zz +

zz (1.23)

O operador pode atuar de trs maneiras:

1. Em um funo f : T (o gradiente);

2. Em uma funo vetorial ~v, atraves do produto escalar: ~v (o divergente);

3. Em uma funo vetorial ~v, atravs do produto vetorial: ~v (o rotacional).


1.2.4 O divergenteA definio do divergente a seguinte:

~v =(

xx+

zz +

zz

) (vxx+ vyy + vz z) = vx

x+ vyy

+ vzz

(1.24)

Ou seja, o divergente de uma funo vetorial ~v , em si, um escalar ~v. Geome-tricamente, ~v a medida de quanto o vetor ~v diverge do ponto em questo.

1.2.5 O rotacionalA partir da definio de , construmos o rotacional:

~v =

x y zx

y

z

vx vy vz

=(vzy vy

z

)x+

(vxz vzx

)y +

(vyx vx

y

)z (1.25)

Observe que o rotacional de uma funo vetorial ~v, como qualquer produto vetorial, um vetor. Geometricamente, ~v uma medida de quanto o vetor ~v gira em tornodo ponto em questo.

1.2.6 RegrasSendo f e g funes, as regras de derivadas so as seguintes:

1. Regra da soma:d

dx(f + g) = df

dx+ dgdx

2. Multiplicao por constante:d

dx(kf) = k df

dx

3. Regra do produto:d

dx(fg) = f dg

dx+ g df

dx

4. Regra do quociente:d

dx

(f

g

)=g dfdx f dg

dx

g2

Existem relaes semelhantes para as derivadas vetoriais:

(f + g) = f +g

( ~A+ ~B) = ( ~A) + ( ~B) ( ~A+ ~B) = ( ~A) + ( ~B)


(kf) = kf (k ~A) = k( ~A) (k ~A) = k( ~A)

Regra de produtos para gradientes:

(fg) = fg + gf

( ~A ~B) = ~A ( ~B) + ~B ( ~A) + ( ~A ) ~B + ( ~B ) ~A

Regra de produtos para divergentes

(f ~A) = f( ~A) + ~A (f)

( ~A ~B) = ~B ( ~A) ~A ( ~B)

Regra de produtos para rotacionais:

(f ~A) = f( ~A) ~A (f)

( ~A ~B) = ( ~B ) ~A ( ~A ) ~B + ~A( ~B) ~B( ~A)

Regras do quociente:(f

g

)= gf fg

g2

(~A

g

)= g(

~A) ~A (g)g2

(~A

g

)= g(

~A) + ~A (g)g2

1.2.7 Derivadas de segunda ordem

Divergente do gradiente:

(T ) =(

xx+

yy +

zz

)(T

xx+ T

yy + T

zz

)=

2T

x2+

2T

y2+

2T

z2

onde 2T o operador laplaciano de T . O laplaciano de um vetor 2~v

2~v = (2vx)x+ (2vy)y + (2vz)z

Rotacional do gradiente. O rotacional de um gradiente sempre zero:

(T ) = 0


Gradiente do divergente: ( ~v) 6= 2~v.

Divergente do rotacional: sempre nulo. ( ~v) = 0

Rotacional do rotacional: ( ~v) = ( ~v)2~v

1.3 Clculo integral

1.3.1 Integrais de linha, superfcie e volume

(i) Integrais de linha: ba C

~v d~londe ~v uma funo vetorial, d~l o vetor deslocamento infinitesimal e a integraodeve ser feita ao longo de um caminho definido C, entre o ponto a e o ponto b. Se ocaminho em questo fechado (ou seja, se b = a):

~v d~l

Existem funes vetoriais para as quais a integral de linha independente do caminhoe totalmente determinada pelos pontos extremos (um exemplo da fora chamadade fora conservativa.

(ii) Integrais de superfcie: S~v d~a

onde ~v uma funo vetorial e d~a um trecho infinitesimal da rea, com direoperpendicular superfcie. Se a superfcie fechada, ento a integral da forma

~v d~a

1.3.2 Teorema fundamental do clculoSuponha que f(x) seja uma funo de uma varivel. O teorema fundamental do

clculo diz que: ba

df

dxdx = f(b) f(a) (1.26)

ou de uma forma mais simples: baF (x)dx = f(b) f(a) (1.27)

onde df/dx = F (x). O teorema fundamental diz como integral F (x): voc cria uma funof(x) cuja derivada seja igual a F .


1.3.3 Teorema fundamental para gradientesSuponha que temos uma funo escalar com trs variveis T (x, y, z). Comeando

no ponto a, nos movemos a uma pequena distncia d~l1. A funo T ser alterada por umaquantidade

dT = (T ) d~l1Com um pequeno deslocamento adicional d~l2, o incremento em T ser (T ) d~l2

A alterao total de T num trajeto de a a b ao longo do caminho escolhido ba C

(T ) d~l = T (b) T (a) (1.28)

Geometricamente: suponha que voc queira determinar a altura da Torre Eiffel.Voc pode subir as escadas, usar uma rgua para medir a altura de cada degrau e somartudo (esse o lado esquerdo da Eq.(1.28)), ou voc pode colocar altmetros no topo ena base e fazer a diferena das duas leituras (esse o lado direito). A resposta, de umamaneira ou de outra, deve ser a mesma.

1.3.4 Teorema fundamental para divergentes (Teorema de Green)O teorema fundamental para divergentes diz o seguinte:

V( ~v)d =

S~v d~a (1.29)

ou seja, a integral de uma derivada (no caso o divergente) sobre uma regio (no casoum volume) igual ao valor da funo no contorno (neste caso a superfcie que limita ovolume).

Geometricamente, se ~v representa o fluxo de um fluido incompressvel, ento o fluxode ~v (o lado direito da equao) a quantidade total de lquido que passa pela superfciepor unidade de tempo. Agora, o divergente mede a disperso dos vetores a partir de umponto. Fazendo uma analogia com esta situao, o teorema pode ser representado dessaforma:

(torneiras dentro do volume) =

(fluxo que sai pela superfcie).

1.3.5 Teorema fundamental para rotacionais (Teorema de Stokes)A integral de uma derivada (no caso o rotacional) sobre uma regio (no caso um

trecho de superfcie) igual ao valor da funo no contorno (no caso o permetro do trechoconsiderado). Ou seja,

S( ~v) d~a =

P~v d~l (1.30)

Geometricamente, a integral do rotacional sobre uma superfcie (fluxo do rotacionalatravs da superfcie) representa a quantidade total de giro.


1.4 Coordenadas curvilneas

1.4.1 Coordenadas polares esfricasAs coordenadas polares esfricas se relacionam com as coordenadas cartesianas da

seguinte maneira:

x = r sin cos, y = r sin sin, z = r cos (1.31)

A Figura 3 mostra os trs vetores unitrios r, , que apontam na direo doaumento das coordenadas correspondentes.

Figura 3 Vetores unitrios

Ar, A, A so as componentes radial, polar e azimutal de ~A, que definido comosendo:

~A = Arr + A + A (1.32)

J os vetores unitrios so definidos como:

r = sin cosx+ sin siny + cos z

= cos cosx+ cos siny sin z = sinx+ cosy

Um deslocamento infinitesimal na direo r simplismente dr, da mesma formaque um elemento infinitesimal de comprimento na direo x dx:

dlr = dr

Por outro lado, um elemento infinitesimal de comprimento na direo , no apenas d (isso um ngulo, no tem as unidades corretas para comprimento), mas simrd:

dl = rd


Da mesma forma, um elemento infinitesimal de comprimento na direo r sin d:

dl = r sin d

Figura 4 Deslocamentos infinitesimais

Portanto, o deslocamento infinitesimal geral d~l

d~l = drr + rd + r sin d

Com isso, o elemento de volume infinitesimal d , nas coordenadas esfricas, oproduto dos trs deslocamentos infinitesimais:

d = dlrdldl = r2 sin drdd (1.33)

possvel adequar o que foi aprendido agora notao das derivadas vetoriais, empricpio, isso totalmente direto: no caso do gradiente,

T = Tx

x+ Ty

y + Tz

z

por exemplo, usa-se primeiro a regra da cadeia para expressar novamente as derivadasparciais:

T

x= Tr

(r

x

)+ T

(

x

)+ T

(

x

)

Basta apenas calcular as derivadas parciais de cada componente para chegar aosseguintes resultados:

Gradiente:T = T

rr + 1

r

T

+ 1

r sin T

(1.34)

Divergente:

~v = 1r2

r(r2vr) +

1r sin

(sin v) +

1r sin

v

(1.35)


Rotacional:

~v = 1r sin

[

(sin v)v

]r+1

r

[1

sin vr r

(rv)]+1

r

[

r(rv)vr

] (1.36)

Laplaciano:

2T = 1r2

r

[r2T

r

]+ 1r2 sin

[sin T

]+ 1r2 sin2

2T

2(1.37)

1.4.2 Coordenadas cilndricasAs coordenadas cilndricas possuem as seguintes relaes com as coordenadas

cartesianas:x = s cos, y = s sin, z = z (1.38)

Os vetores unitrios associados a essas coordenadas so definidos da seguinte forma:

s = cosx+ siny

= sinx+ cosyz = z

Os deslocamentos infinitesimais so

dls = ds, dl = sd, dlz = dz

portanto,d~l = dss+ sd+ dzz

e o elemento de volume d = sdsddz (1.39)

As derivadas vetoriais em coordenadas cilndricas so:

Gradiente:T = T

ss+ 1

s

T

+ T

zz

Divergente: ~v = 1

s

s(svs) +

1s

v

+ vzz

Rotacional:

~v =(

1s

vz v

z

)s+

(vsz vz

s

)+ 1

s

[

s(sv) vs

]z

Laplaciano:2T = 1

s

s

(sT

s

)+ 1s22T

2+

2T

z2


1.5 Funo delta de Dirac

1.5.1 O divergente de r/r2

Considere a funo vetorial~v = 1

r2r

Em cada localizao, ~v dirigido radialmente para fora; se existe uma funo quedeveria ter um grande divergente positivo, esta. No entanto, quando se calcula, de fato,o divergente,chega-se, precisamente, a zero:

~v = 1r2

r

(r2

1r2

)= 1r2

r(1) = 0 (1.40)

Suponha agora que queremos calcular a integral sobre uma esfera de raio R, centradana origem. A integral de superfcie

~v d~a =

( 1R2r

) (R2 sin ddr) =

( pi0

sin d)( 2pi

0d

)= 4pi (1.41)

Pelo teorema de Green: V

( ~v)d =S~v d~a

Com o que foi obtido, a integral do volume zero. No entanto, a origem do problema oponto r = 0, onde ~v explode. verdade que ~v = 0 em qualquer lugar, exceto na origem,mas bem na origem a situao mais complicada. Observe que a Eq.(1.41) independede R. Como o teorema do divergente verdadeiro, devemos obter

( ~v)d = 4pi para

qualquer esfera centrada na origem, no importa quo pequena seja. Evidentemente, todaa contribuio deve estar vindo do ponto r = 0. Assim, ~v tem a propriedade de anular-seem qualquer lugar, exceto em um ponto; e, mesmo assim, sua integral (sobre qualquervolume que contenha esse ponto) 4pi.

Com esse problema, necessrio a utilizao da funo delta de Dirac.

1.5.2 A funo delta de Dirac unidimensionalA funo delta de Dirac unidimensional, (x), pode ser ilustrada como um pico

infinitamente alto e infinitamente estreito, com rea 1. Ou seja:

(x) = 0, se x 6= 0, se x = 0

(1.42)e

(x)dx = 1. (1.43)


Tecnicamente, (x) no , de forma alguma, uma funo, j que seu valor no finito em x = 0. Ela , se voc preferir, o limite de uma sequncia de funes, tais comoretngulos Rn(x), de altura n e largura 1/n, ou tringulos issceles Tn(x), de altura n ebase 2/n.

Se f(x) for alguma funo ordinria(ou seja, que no outra funo delta), entoo produto f(x)(x) zero em qualquer lugar, exceto em x = 0. Segue-se que

f(x)(x) = f(0)(x) (1.44)

Como o produto zero de qualquer forma, exceto em x = 0, podemos muito bemsubstituir f(x) pelo valor que assume na origem. Em particular

f(x)(x)dx = f(0)

(x)dx = f(0) (1.45)

Ento, sob uma integral, a funo delta escolhe o valor de f(x) em x = 0.

Figura 5 Funo delta

claro que podemos mudar o pico de x = 0 para algum outro ponto , x = a:


Figura 6 Ponto x = a

(x a) = 0, se x 6= a, se x = a

(1.46)com

(x a)dx = 1

A Eq.(1.44) torna-se:

f(x)(x a) = f(a)(x a), (1.47)

e a Eq.(1.45) generaliza-se para

f(x)(x a)dx = f(a) (1.48)

Embora em si no seja uma funo legtima, integrais de so perfeitamenteaceitveis. De fato, melhor pensar na funo delta como algo sempre destinado a serusado dentro de uma integral. Em particular, duas expresses que envolvem funes delta(digamos D1(x) e D2(x)) so considerados iguais se

f(x)D1(x)dx =

f(x)D2(x)dx (1.49)

(Exemplo 1) Calcule a integral 30x3(x 2)dx

A funo delta escolhe o valor de x3 no ponto x = 2, portanto a integral 23 = 8.Observe, porm, que se o limite superior fosse 1 (em vez de 3), a resposta seria 0,porque o pico, nesse caso, ficaria fora do domnio de integrao.

(Exemplo 2)Mostre que(kx) = 1|k|(x),

onde k qualquer constante (diferente de zero). (Em particular, (x) = (x).)Para uma funo de teste arbitrria f(x), considere a integral

f(x)(kx)dx


Mudando as variveis, deixemos que y = kx, de forma que x = y/k e dx = 1/k. Sek for positivo, a integrao ainda ser de a , mas se k for negativo, entox = implica que y = e vice-versa, de forma que a ordem dos limites ficainvertida. A restaurao da ordem adequada custa um sinal de menos. Assim,

f(x)(kx)dx =

f(y/k)(y)dyk

= 1kf(0) = 1|k|f(0)

Dentro da integral, ento, (kx) serve ao mesmo propsito que

(1/|k|)(x)

ento

f(x)(kx)dx =

f(x)[

1|k|(x)

]dx

Segundo o critrio da eq.(1.47), portanto, (kx) e (1/|k|)(x) so iguais.

1.5.3 A funo delta de Dirac tridimensional fcil generalizar a funo delta para trs dimenses:

3(~r) = (x)(y)(z) (1.50)

Essa funo delta tridimensional zero em qualquer lugar, exceto em (0, 0, 0),onde ela explode. Sua integral de volume 1:

todo o espao3(~r)d =

(x)(y)(z)dxdydz = 1 (1.51)

E a generalizao todo o espao

3(~r ~a)d = f(~a) (1.52)

Como no caso unidimensional, a integrao com escolhe o valor da funo f nolocal do pico.

Constatamos que o divergente de r/r2 zero em todo lugar, exceto na origem e,mesmo assim, sua integral sobre qualquer volume contendo a origem uma constante(a saber:4pi). Essas so, precisamente, as condies que definem a funo delta de Dirac;evidentemente

(r

r2

)= 4pi3(~r) (1.53)

De forma mais geral,

(

2

)= 4pi3(~) (1.54)


onde, como sempre, ~ o vetor separao: ~ = ~r ~r. Observe que a diferenciao aqui com respeito a ~r, enquanto ~r permanece constante. propsito, como

(

1

)= 2 (1.55)

, segue-se que

2 1 = 4pi3(~) (1.56)

(Exemplo 1) Calcule a integral

J =V

(r2 + 2) ~rr2d,

onde V uma esfera de raio R centrada na origem.

Use a Eq.(1.53) para reescrever o divergente, e a Eq.(1.52) para fazer a integral

J =V

(r2 + 2)4pi3(~r)d = 4pi(0 + 2) = 8pi

1.6 A teoria dos campos vetoriais

1.6.1 O teorema de HelmholtzA formulao de Maxwell levanta uma importante questo matemtica: at que

ponto uma funo vetorial determinada pelo seu divergente e pelo seu rotacional? Emoutras palavras, se lhe dissermos que o divergente de ~F (que significa ~E ou ~B, conforme ocaso) uma funo (escalar) definida D,

~F = De que o rotacional de ~F uma funo (vetorial) definida ~C,

~F = ~C,(por coerncia, o divergente de ~C deve ser nulo,

~C = 0porque o divergente de um rotacional sempre zero), voc pode determinar a funo ~F?

Bem... no totalmente. Por exemplo, existem muitas funes cujo divergente erotacional so ambos zero em todo o espao. O caso mais trivial ~F = 0. Para resolveruma equao diferencial, voc precisa ter, tambm, as condies de contorno adequadas.Em eletrodinmica, normalmente pede-se que os campos anulem-se no infinito. Comessa informao extra, o teorema de Helmholtz garante que o campo seja univocamentedeterminado pelo divergente e pelo rotacional;


1.6.2 PotenciaisSe o rotacional de um campo vetorial (~F ) se anula (em toda parte), ento ~F pode

ser escrito como o gradiente de um potencial escalar V :

~F = 0 ~F = V (1.57)

(O sinal de menos puramente uma conveno.) Essa a sntese do seguinteteorema:

Teorema 1: Campos de rotacional nulo (ou irrotacionais). As seguintes condiesso equivalentes (ou seja, ~F satisfar uma se e somente se satisfazer todas as outras):

(a) ~F = 0 em todo o espao.

(b) ba ~F d~l independe do caminho, para quaisquer pontos extremos.(c) ~F d~l = 0 para qualquer caminho fechado.(d) ~F o gradiente de uma funo escalar, ~F = V .

O potencial escalar no unvoco qualquer constante pode ser acrescentada a Vimpunemente, j que isso no afetar seu gradiente.

Se o divergente de um campo vetorial (~F ) se anula (em toda parte), ento ~F podeser expresso como o rotacional de um potencial vetorial ( ~A):

~F = 0 ~F = ~A

Essa a principal concluso do seguinte teorema:

Teorema 2: Campo sem divergente (ou solenoidais). As seguintes condies soequivalentes :

(a) ~F = 0 em toda parte.

(b) ~F d~a independe de superfcie, para qualquer linha limite dada.(c) ~F d~a = 0 para qualquer superfcie fechada.(d) ~F o rotacional de algum vetor, ~F = ~A.

O potencial vetorial no unvoco o gradiente de qualquer funo escalar pode seradicional a ~A sem afetar o rotacional, j que o rotacional de um gradiente zero. Umcampo vetorial ~F pode ser escrito como o gradiente de um escalar somando ao rotacionalde um vetor:

~F = V + ~A (sempre). (1.58)

23

Referncias

HALLIDAY, David; RESNICK, Jearl Walker. Fundamentos da Fsica volume 3:Eletromagnetismo. 8a edio. Editora LTC: Rio de Janeiro, 2009.

NUSSENZVEIG, Moyses Herch. Curso de Fsica Bsica. Volume 3. 3a Edio. Editora:Edgar Blucher Ltda: So Paulo, 2002.

SumrioANLISE VETORIALlgebra vetorialOperao com vetoreslgebra vetorial: na forma de componentesProdutos triplosVetores posio, deslocamento e separaoTransformao de vetores

Clculo diferencialDerivadas `ordinrias'GradienteO operador O divergenteO rotacionalRegrasDerivadas de segunda ordem

Clculo integralIntegrais de linha, superfcie e volumeTeorema fundamental do clculoTeorema fundamental para gradientesTeorema fundamental para divergentes (Teorema de Green)Teorema fundamental para rotacionais (Teorema de Stokes)

Coordenadas curvilneasCoordenadas polares esfricasCoordenadas cilndricas

Funo delta de DiracO divergente de "705Er/r2A funo delta de Dirac unidimensionalA funo delta de Dirac tridimensional

A teoria dos campos vetoriaisO teorema de HelmholtzPotenciais

Referncias

eletromagnetismo

Documents

Transcript of eletromagnetismo