25.1 Profundidade Peli cular Meiosdissipativosapresentamcondutividadeemedidaqueumaondaeletromagnticanelese propaga, sua amplitude sofre uma atenuao, multiplicada pelo termo ze o (quando a propagao se d na direo z) manifestada na equao da onda. Em bons condutores, essa atenuao to forte que as ondas se anulam numa distncia (profundidade) muito pequena, dentro do condutor. Define-se profundidade pelicular o distncia para a qual a amplitude |E| decai a 36,8 % (e1. 100) de seu valor inicial, valor este na interface (z=0) entre os meios condutor e no condutor), ou: 10 0 o o = = e E e E E (25.1) Da: o t=o= of1 1 (25.2) Figura 25.1 profundidade pelicular Por questo de convenincia, toma-se x =5o como sendo o ponto onde a onda se anula (na verdade, nesse ponto ela 0,67 % de seu valor inicial). A tabela 25.1 apresenta alguns valores de o para alguns materiais, em certas frequncias. o (m) 1 MHz100 MHz10 GHz zinco12212,31,22 alumnio84,68,460,85 cobre66,16,610,66 prata64,56,450,65 25 PROFUNDIDADE PELICULAR, REFLEXO DE ONDAS, ONDAS ESTACIONRIAS o 0,368E0 E0 x E 25.2 Reflexo de ondas Atagorarestringimosnossasanlisesaondaseletromagnticaspropagando-seemummeio homogneo.Suponhaagoraquecertaregiodoespaosejapreenchidapordoismeios,com caractersticaseltricasemagnticasdiferentes.Umaondaqueestejasepropagandoatravsdo meio 1, dever encontrar o meio 2 e sofrer um processo de reflexo e transmisso, ou seja, parte da onda incidente refletida de volta no meio 1 enquanto que parte transmitida atravs do meio 2. Podemos visualizar isso na figura 25.2 quando de uma incidncia normal da onda eletromagntica na interface entre os meios. Figura 25.2 onda incidindo normalmente na interface entre dois meios, sendo parcialmente refletida e parcialmente transmitida. Suponhamos que para a situao acima tenhamos:

xt jzi ia e e E E10e = (25.3) xt jzr ra e e E E10e= (25.4) xt jzt ta e e E E20e = (25.5) Expresses semelhantes podem ser escritas paraH, segundo y, considerando que os vetoresE e Hincidemtangencialmentenainterface.Pelascontinuidadesdascomponentestangenciaisna fronteira ou interface, em z =0, podemos escrever que: t r iE E E = + (25.6) e t r iH H H = + (25.7) Sendo as impedncias intrnsecas relaes entre campos eltrico e magntico para um dado meio, podemos escrever que: Onda incidente Onda refletida Onda transmitida z x y 10000q = =rriiHEHE(25.8) 200q =ttHE(25.9) Na interface, em z =0, dividindo a equao (25.6) pela equao (25.7) em suas magnitudes : ttr ir iHEH HE E=++(25.10) ou: 2q =++r ir iH HE E(25.11) ( )r i r iH H E E + q = +2(25.12) Dividindo tudo por Ei: ||.|

\|+ q = +iriiirEHEHEE21 (25.13) 1221qq+ q = +irirEHEE(25.14) 1122qq+ q =irrrirEEEHEE(25.15) 11212qq+qq =irirEEEE(25.16) 2 11 2irEEq + qq q= (25.17) Atravs de desenvolvimentos algbricos semelhantes, podemos obter: 2 122q + q q=itEE (25.18) 2 12 1q + qq q=irHH (25.19) 2 112q + q q=itHH (25.20) Como podemos ver, as amplitudes e polaridades das ondas refletidas e transmitidas, dependero dos parmetros dos meios 1 e 2. Exemplo 25.1 Calcule as amplitudes deH e E , transmitida e refletida na interface indicada, sem V Ei/ 10 5 , 130 =para a regio 1, com cr1 =8.5, r1 =1.0, o1 =0. A regio2 o espao livre. sol uo Figura 25.3 Impedncia intrinseca do meio 1: O =c= q 1295 , 8001 Impedncia intrinseca do meio 2: O t =c= q 120002 io1 21 2 r0E Eq + qq q= m / V 10 35 , 7 10 5 , 1129 377129 377E4 3 r0 = += io1 22 t0E2Eq + q q= m / V 10 24 , 2 10 5 , 1129 377377 2E3 3 r0 = += m / A 10 16 , 112910 5 , 1 EH531i0 i0 ==q= i02 12 1 r0H Hq + qq q= 6 5 r010 69 , 5 10 16 . 1377 129377 129H = += i02 11 t0H2Hq + qq= m / A 10 91 , 5 10 16 , 1377 129129 2H6 5 t0= = += Observe que: t03 4 3 r0i0E 10 24 , 2 10 35 , 7 10 5 , 1 E E = = + = + e: t06 6 5 r0i0H 10 91 , 5 10 69 , 5 10 16 , 1 H H = = = + Exemplo 25.2 Umaondam V Ei/ 0 . 10 = incidenormalmentenumainterfaceentreespaolivreeguasalgada, tendo esta as seguintes caractersticas:m S er r/ 5 , 2 0 . 1 , 80 = o = = c . Para uma frequncia de 30 MHz, em que profundidade esse campo atingir a amplitude de 1mV/m ? Soluo O = t = q 377 1201 4212 600210 85 , 8 80 10 30 25 . 2180|.|

\| t+c= q Figura 25.4 figura do exemplo 25.2 Einc Eref Etrans Einc Eref Etrans z O = = q 73 , 933 , 415 , 422 733 , 181334 , 05 , 22 tg = = u 047 , 43 rad 7588 , 0 = = u 0 00i0t047 , 43 73 , 9 0 37747 , 43 73 , 9 2EEZ + ZZ = m / V 48 , 42 0507 , 0 E0 t0Z = A amplitude det0E 5.0710-2 V / m. Clculo da constante de atenuao: |||.|

\| |.|

\| t+ t t = o 110 85 , 8 10 30 25 , 21210 85 , 8 80 10 410 30 2212 612 76 m / Np 75 , 16 = o z 75 , 16 2 3e 10 07 . 5 10 0 . 1 = 02 . 0 ez 75 , 16= ) 02 , 0 ( ln ) e ln( z 75 , 16 = m 234 , 0 z =Exemplo 25.3 Uma onda propagando-se no espao livre a uma frequncia de 100 MHz, incide normalmente numa fronteiradeummeiocomcondutividadeo=2,5S/m,permissividaderelativa10,permeabilidade relativa 1.0, com uma amplitude E =1 V/m. Calcule a porcentagem da energia que refletida de volta ao espao livre, e a porcentagem de energia que absorvida por esse meio. Soluo Potencia incidente: i i iH E P21= poisnoexistedefasagementreEeHno espao livre. Potncia refletida: r r rH E P21= Potncia absorvida pelo meio condutor: u = cos21t t tH E P O = t = q 377 1201 42222221|.|

\|eco+c= q 420600210 10 100 25 , 2110||.|

\|c t+c= q O = q 778 , 172 ( ) 959 , 44 2 tg =eco= u 036 , 44 = u .i00rE377 36 , 44 778 , 17377 36 , 44 778 , 17E+ Z Z= i rE429 , 12 j 377 711 , 12429 , 12 j 377 711 , 12E+ ++ = i rE429 , 12 j 711 , 389429 , 12 j 289 , 364E++ = i00rE83 , 1 909 , 38905 , 178 5 , 364EZZ= i0rE 22 , 176 935 , 0 E Z = i00rH83 , 1 909 , 38936 , 44 778 , 17 377HZ Z = i0rH83 , 1 909 , 389429 , 12 j 711 , 12 377HZ = i00rH83 , 1 909 , 38995 , 1 5 , 364HZ Z= ( )i0rH 78 , 3 935 , 0 H Z = i00tE83 , 1 909 , 38936 , 44 778 , 17 2EZZ = i0tE 53 , 42 091 , 0 E Z = i0tH83 , 1 909 , 389377 2HZ= 0t83 , 1 934 , 1 H Z = A defasagem entre Er e Hr 180 0. 0i i r180 cos H 935 , 0 E 935 , 021P = i rP 874 , 0 P = A defasagem entre Et e Ht 44,36 0. 0i i t36 , 44 cos H 934 , 1 E 091 , 0 P = i tP 125 , 0 P =25.3 Ondas Estacionrias Quando uma onda caminhante em um dieltrico perfeito (o1 =0, o1 =0), incide sobre a superfcie de um condutor perfeito (o2 e q2 0), a combinao da onda incidente e da onda refletida produz uma onda estacionria. Em uma onda estacionria as oscilaes em todos os pontos separados pelo intervalo de meio comprimento de onda estaro em fase, no tempo. 0202 120=q + q q=i tE E (25.21) i i rE E E0 02 11 20 =q + qq q= (25.22) Suponha: ( )x ia z t E Ecos0| e =(25.23) Ento: ( )x ra z t E Ecos0| + e =(25.24) O efeito resultante ser ento: r iE E E + = (25.25) ( ) ( ) | |xa z t z t E Ecos cos0| + e | e =(25.26) xa t zsen sen E E. 20e | =(25.27) Consideremos agora a equao (25.27) para vrios instantes de tempo. (lembrando que e =2t/T) Instante 1t =0senet= 00 E =Instante 2t =T/8 707 , 08TT2sen =t z sen E 4 , 1 E0| =Instante 3t =T/4 0 , 14TT2sen =t z sen E 2 E0| =Instante 4t =3T/8 707 , 08T 3T2sen =t z sen E 4 , 1 E0| =Instante 5t =T/2 02TT2sen =t 0 E =Instante 6t =5T/8 707 , 08T 5T2sen =t z sen E 4 , 1 E0| =Instante 7t =6T/8 18T 6T2sen =t z sen E 2 E0| =Instante 8t =7T/8 707 , 08T 7T2sen =t z sen E 4 , 1 E0| =Instante 9t =T 0 TT2sen =t 0 E = Figura 25.5 ondas estacionrias Pela figura 25.5, podemos observar que no h caminhamento de ondas. As amplitudes mximas e mnimasocorremsemprenosmesmospontos.Ondasestacionriasestoassociadasa ressonadores, ou caixas ressonantes, por exemplo o forno de microondas. Instantes 1, 5 e 9 Instantes 2 e 4 Instante 3 Instantes 6 e 8 Instante 7 2E0 -2E0 EXERCCIOS 1) - Para a prata, o =3,0 MS/m. Em que frequncia sua profundidade pelicular o vale 2 mm ? 2) - Uma onda penetra num lquido comamplitude incidente de E =10,0 V/m. Os parmetros desse lquido so: r ==1; cr= 20 e o =1,50 S/m. Calcule a amplitude de E a uma distncia de 10 cm, dentro do meio para as frequncias de (a) 5 MHz, (b) 50 MHz, e (c) 500 MHz. 3) Um campom A H / 1 =, propagando-se no espao livre incide sobre uma folha de prata de 5 m de espessura, como indica a figura abaixo.Supondo o =67,1 MS/m,e uma frequncia de 200 MHz, calcule as amplitudes E1, E2, E3 e E4. E1 E2 E3 E4 5 m