Elementos de Matem´atica - uel.br · for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B...

Elementos de MatematicaTrigonometria Circular - 1a. parte

Roteiro no. 6 - Atividades didaticas de 2007Versao compilada no dia 23 de Maio de 2007.

Departamento de Matematica - UEL

Prof. Ulysses SodreE-mail: [email protected]

Matematica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas construıdas com materiais utilizados em nossasaulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam umroteiro para as aulas e nao espero que estas notas venham a substituirqualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livroscitados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Emportugues, ha pouco material de domınio publico, mas em ingles existemdiversos materiais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos queo leitor faca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Mensagem: ‘No princıpio era o Verbo, e o Verbo estava com Deus, e oVerbo era Deus. Ele estava no princıpio com Deus. Todas as coisas foramfeitas por intermedio dele, e sem ele nada do que foi feito se fez. Neleestava a vida, e a vida era a luz dos homens; a luz resplandece nas trevas, eas trevas nao prevaleceram contra ela. ... Estava ele no mundo, e o mundofoi feito por intermedio dele, e o mundo nao o conheceu. Veio para o queera seu, e os seus nao o receberam. Mas, a todos quantos o receberam,aos que creem no seu nome, deu-lhes o poder de se tornarem filhos deDeus; os quais nao nasceram do sangue, nem da vontade da carne, nem davontade do varao, mas de Deus. E o Verbo se fez carne, e habitou entrenos, cheio de graca e de verdade...’ A Bıblia Sagrada, Joao 1:1-5,10-14

http://www.mat.uel.br/matessencial/

CONTEUDO

1 Elementos gerais sobre Trigonometria 1

1.1 O papel da trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Ponto movel sobre uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Arcos da circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Medida de um arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.5 O numero pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.6 Unidades de medida de arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.7 Arcos de uma volta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.8 Mudanca de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 O cırculo trigonometrico 6

2.1 Cırculo Trigonometrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Arcos com mais de uma volta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Arcos congruos e Angulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Arcos simetricos em relacao ao eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.5 Arcos simetricos em relacao ao eixo OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Arcos simetricas em relacao a origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Seno, Cosseno e Tangente 12

3.1 Seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Elementos de Matematica - No. 6 - Ulysses Sodre - Matematica - UEL - 2007

CONTEUDO iii

3.2 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Angulos no segundo quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.4 Angulos no terceiro quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Angulos no quarto quadrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.6 Simetria em relacao ao eixo OX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.7 Simetria em relacao ao eixo OY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.8 Simetria em relacao a origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.9 Senos e cossenos de alguns angulos notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.10 Primeira relacao fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.11 Segunda relacao fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.12 Forma polar dos numeros complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.13 Seno, cosseno e tangente da soma e da diferenca . . . . . . . . . . . . . . . 21


CAPITULO 1

Elementos gerais sobre Trigonometria

1.1 O papel da trigonometria

Trigonometria e uma palavra formada por tres radicais gregos: tri (tres), gonos(angulos) e metron (medir). Daı vem seu significado mais amplo: Medida dosTriangulos, assim atraves do estudo da Trigonometria podemos calcular asmedidas dos elementos do triangulo (lados e angulos).

Com o uso de triangulos semelhantes podemos calcular distancias inacessıveis,como a altura de uma torre, a altura de uma piramide, distancia entre duasilhas, o raio da terra, largura de um rio, entre outras.

A Trigonometria e um instrumento potente de calculo, que alem de seu usona Matematica, tambem e usado no estudo de fenomenos fısicos, Eletricidade,Mecanica, Musica, Topografia, Engenharia entre outros.

1.2 Ponto movel sobre uma curva

Seja uma curva no plano cartesiano. Se um ponto P esta localizado sobreesta curva, simplesmente dizemos P pertence a curva e que P e um pontofixo na mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser deslocado sobre acurva, este ponto recebera o nome de ponto movel.


1.3. ARCOS DA CIRCUNFERENCIA 2

Um ponto movel localizado sobre uma circunferencia, partindo de um ponto A

pode percorrer esta circunferencia em dois sentidos opostos. Por convencao,o sentido anti-horario (contrario aos ponteiros de um relogio) e adotado comosentido positivo.

1.3 Arcos da circunferencia

Se um ponto movel em uma circunferencia partir de A e parar em M , eledescreve um arco AM . O ponto A e a origem do arco e M e a extremidadedo arco.

Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco e denominado arcoorientado e simplesmente pode ser denotado por AB se o sentido de percursofor de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.

Quando nao consideramos a orientacao dos arcos formados por dois pontos A

e B sobre uma circunferencia, temos dois arcos nao orientados sendo A e B

as suas extremidades.

1.4 Medida de um arco

A medida de um arco de circunferencia e feita por comparacao com um outroarco da mesma circunferencia tomado como a unidade de arco. Se u for umarco de comprimento unitario (igual a 1), a medida do arco AB, e o numerode vezes que o arco u cabe no arco AB.


1.5. O NUMERO PI 3

Na figura seguinte, a medida do arco AB e 5 vezes a medida do arco u.Denotando a medida do arco AB por m(AB) e a medida do arco u porm(u), temos m(AB) = 5 m(u).

A medida de um arco de circunferencia e a mesma em qualquer sentido, sendoque a medida algebrica de um arco AB desta circunferencia e o comprimentodeste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B e anti-horario, e negativo se o sentido e horario.

1.5 O numero pi

Em toda circunferencia, a razao entre o perımetro e o diametro e uma con-stante denotada pela letra grega π, que e um numero irracional, isto e, que naopode ser expresso como a divisao de dois numeros inteiros. Uma aproximacaopara o numero π e dada por:

π = 3, 1415926535897932384626433832795...

Mais informacoes sobre pi, podem ser obtidas na pagina Areas de regioescirculares: http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm

1.6 Unidades de medida de arcos

A unidade de medida de arco do Sistema Internacional (SI) e o radiano, masexistem outras medidas utilizadas por tecnicos como o grau e o grado. Esteultimo nao e muito comum.

Radiano: Medida de um arco cujo comprimento e o mesmo que o raio dacircunferencia que estamos medindo o arco. O arco usado como unidade temcomprimento igual ao comprimento do raio ou 1 radiano, denotado por 1 rad.


http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm

http://www.mat.uel.br/matessencial/geometria/areas/circ.htm

1.7. ARCOS DE UMA VOLTA 4

Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do arco completo dacircunferencia na qual estamos medindo o arco.

Grado: E a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circun-ferencia na qual estamos medindo o arco.

Exemplo 1. Para determinar a medida em radianos de um arco de compri-mento igual a 12 cm, em uma circunferencia de raio medindo 8 cm, tomamos:

m(AB) =comprimento do arco(AB)

comprimento do raio= 12/8 = 1, 5 rad

1.7 Arcos de uma volta

Se AB e o arco correspondente a volta completa de uma circunferencia, amedida do arco e igual a C = 2πr, entao:

m(AB) =comprimento do arco(AB)

comprimento do raio=

2πr

r= 2π

A medida em radianos de um arco de uma volta completa e 2π rad, isto e,2π rad = 360 graus.

Temos as seguintes situacoes usuais:

90 graus 180 graus 270 graus 360 graus

100 grados 200 grados 300 grados 400 grados

π/2 rad π rad 3π/2 rad 2π rad

Observacao: 0 graus = 0 grado = 0 radianos.


1.8. MUDANCA DE UNIDADES 5

1.8 Mudanca de unidades

Se um arco AB de medida R radianos, corresponde a G graus, a relacao entreestas medidas e obtida pela seguinte proporcao,

2π rad — 360 graus

R rad — G graus

Assim, temos a igualdadeR

2π=

G

360, ou seja,

R

π=

G

180

Exemplo 2. Para determinar a medida em radianos de um arco de medida60 graus, tomamos

R

π=

60

180

Assim, R =π

3ou seja 60 graus =

π

3rad

Exemplo 3. Para determinar a medida em graus de um arco de medida 1 rad,tomamos:

1

π=

G

180

Assim, 1 rad =180

πgraus.

Podemos obter mais informacoes sobre grau e radiano com algumas no-tas historicas, ilustracoes e curiosidades na pagina sobre Geometria Plana:Angulos: http://www.mat.uel.br/matessencial/fundam/geometria/angulos.htm


http://www.mat.uel.br/matessencial/fundam/geometria/angulos.htm

http://www.mat.uel.br/matessencial/fundam/geometria/angulos.htm

CAPITULO 2

O cırculo trigonometrico

2.1 Cırculo Trigonometrico

Seja uma circunferencia de raio unitario com centro na origem de um sistemacartesiano ortogonal e o ponto A = (1, 0). O ponto A sera tomado como aorigem dos arcos orientados nesta circunferencia e o sentido positivo consid-erado sera o anti-horario. A regiao contendo esta circunferencia e todos osseus pontos interiores, e denominada cırculo trigonometrico.

Em livros de lıngua inglesa, a palavra cırculo se refere a curva envolvente daregiao circular enquanto circunferencia de cırculo e a medida desta curva. NoBrasil, a circunferencia e a curva que envolve a regiao circular.

Os eixos OX e OY decompoem o cırculo trigonometrico em quatro quadrantesque sao enumerados como segue:


2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 7

Quadrante abscissa ordenada α

Primeiro positiva positiva 0o < α < 90o

Segundo negativa positiva 90o < α < 180o

Terceiro negativa negativa 180o < α < 270o

Quarto positiva negativa 270o < α < 360o

Os quadrantes sao usados para localizar pontos e caracterizar angulos para usoem trigonometria. Por convencao, os pontos sobre os eixos nao pertencem aqualquer um dos quadrantes.

2.2 Arcos com mais de uma volta

Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar arcos com medidassao maiores do que 360o. Por exemplo, se um ponto movel parte de um pontoA sobre uma circunferencia no sentido anti-horario e para em um ponto M ,ele descreve um arco AM . A medida deste arco (em graus) podera ser menorou igual a 360o ou ser maior do que 360o. Se esta medida for menor ou iguala 360o , dizemos que este arco esta em sua primeira determinacao.

Assim, o ponto movel podera percorrer a circunferencia uma ou mais vezesem um certo sentido, antes de parar no ponto M , determinando arcos maioresdo que 360o ou arcos com mais de uma volta. Existe uma infinidade de arcosmas com medidas diferentes, cuja origem e o ponto A e cuja extremidade e oponto M .


2.2. ARCOS COM MAIS DE UMA VOLTA 8

Se AM e um arco cuja primeira determinacao mede m, entao um ponto movelque parte de A e pare em M , pode ter varias medidas algebricas, dependendodo percurso.

Se o sentido for o anti-horario, o ponto M da circunferencia trigonometricasera a extremidade de uma infinidade de arcos positivos de medidas:

m, m + 2π, m + 4π, m + 6π, ...

Se o sentido for o horario, o ponto M sera extremidade de uma infinidade dearcos negativos de medidas algebricas:

m − 2π, m − 4π, m − 6π, ...

e assim temos uma colecao infinita de arcos com extremidade no ponto M .

Generalizando este conceito, se m e a medida da primeira determinacao posi-tiva do arco AM , podemos representar as medidas destes arcos por:

m(AM) = m + 2kπ

onde k e um numero inteiro, isto e, k ∈ Z = {...,−2,−3,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Famılia de arcos: Uma famılia de arcos {AM} e o conjunto de todos osarcos com ponto inicial em A e extremidade em M .

Exemplo 4. Se um arco de circunferencia tem origem em A e extremidade

em M , com a primeira determinacao positiva medindo2π

3, entao os arcos

desta famılia {AM}, medem:

Determinacoes positivas (sentido anti-horario)

k = 0 m(AM) = 2π3

k = 1 m(AM) = 2π3 + 2π = 8π

3k = 2 m(AM) = 2π

3 + 4π = 14π3

k = 3 m(AM) = 2π3 + 6π = 20π

3... ...

k = n m(AM) = 2π3 + 2nπ = (2 + 6n)π

3


2.3. ARCOS CONGRUOS E ANGULOS 9

Determinacoes negativas (sentido horario)

k = −1 m(AM) = 2π3 − 2π = −4π

3k = −2 m(AM) = 2π

3 − 4π = −6π3

k = −3 m(AM) = 2π3 − 6π = −16π

3k = −4 m(AM) = 2π

3 − 8π = −22π3

... ...

k = −n m(AM) = 2π3 − 2nπ = (2 − 6n)π

3

2.3 Arcos congruos e Angulos

Arcos congruos: Dois arcos sao congruos se a diferenca de suas medidas eum multiplo de 2π.

Exemplo 5. Arcos de uma mesma famılia sao congruos.

Angulos: As nocoes de orientacao e medida algebrica de arcos podem serestendidas para angulos, uma vez que a cada arco AM da circunferenciatrigonometrica corresponde a um angulo central determinado pelas semi-retasOA e OM .

Como no caso dos arcos, podemos considerar dois angulos orientados umpositivo (sentido anti-horario) com medida algebrica a correspondente ao arcoAM e outro negativo (sentido horario) com medida b = a−2π correspondenteao arco AM .

Tambem existem angulos com mais de uma volta e as mesmas nocoes apre-sentadas para arcos se aplicam a angulos.


2.4. ARCOS SIMETRICOS EM RELACAO AO EIXO OX 10

2.4 Arcos simetricos em relacao ao eixo OX

Sejam AM e AM ′ arcos na circunferencia trigonometrica, com A = (1, 0)e os pontos M e M ′ simetricos em relacao ao eixo horizontal OX. Se amedida do arco AM e igual a m, entao a medida do arco AM ’ e dada por:µ(AM ′) = 2π − m.

Os arcos da famılia {AM}, aqueles que tem origem em A e extremidades emM , tem medidas iguais a 2kπ + m, onde k e um numero inteiro e os arcos dafamılia {AM ′} tem medidas iguais a 2kπ − m, onde k e um numero inteiro.

2.5 Arcos simetricos em relacao ao eixo OY

Sejam AM e AM ′ arcos na circunferencia trigonometrica com A = (1, 0) eos pontos M e M ′ simetricos em relacao ao eixo vertical OY . Se a medida doarco AM for igual a m, entao a medida do arco AM ′ sera dada pela expressaoµ(AM ′) = π − m. Os arcos da famılia {AM ′}, isto e, aqueles com origem

em A e extremidade em M ′, medem (2k + 1)π − m onde k ∈ Z.


2.6. ARCOS SIMETRICAS EM RELACAO A ORIGEM 11

2.6 Arcos simetricas em relacao a origem

Sejam arcos AM e AM ′ na circunferencia trigonometrica com A = (1, 0) eos pontos M e M ′ simetricos em relacao a origem (0, 0).

Se o arco AM mede m, entao µ(AM ′) = π+m. Arcos genericos com origemem A e extremidade em M ′ medem m(AM ′) = (2k + 1)π + m.


CAPITULO 3

Seno, Cosseno e Tangente

3.1 Seno e cosseno

Dada uma circunferencia trigonometrica contendo o ponto A = (1, 0) e umnumero real x, sempre existe um arco orientado AM sobre esta circunferencia,cuja medida algebrica corresponde a x radianos.

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferencia trigonometrica,de centro em (0, 0) e raio unitario. Seja M = (x′, y′) um ponto desta cir-cunferencia, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arcoAM que corresponde ao angulo central a. A projecao ortogonal do ponto M

sobre o eixo OX determina um ponto C = (x′, 0) e a projecao ortogonal doponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B = (0, y′).

A medida do segmento OB coincide com a ordenada y′ do ponto M e edefinida como o seno do arco AM que corresponde ao angulo a, denotadopor sen(AM) ou sen(a).


3.2. TANGENTE 13

Como temos varias determinacoes para o mesmo angulo, escreveremos

sen(AM) = sen(a) = sen(a + 2kπ) = y′

Para simplificar os enunciados e definicoes seguintes, escreveremos sen(x) paradenotar o seno do arco de medida x radianos.

Cosseno: O cosseno do arco AM correspondente ao angulo a, denotado porcos(AM) ou cos(a), e a medida do segmento 0C, que coincide com a abscissax′ do ponto M .

Existem varias determinacoes para este angulo, razao pela qual, escrevemos

cos(AM) = cos(a) = cos(a + 2kπ) = x′

3.2 Tangente

Seja t a reta tangente a circunferencia trigonometrica no ponto A = (1, 0).Esta reta e perpendicular ao eixo OX. A reta que passa pelo ponto M epelo centro da circunferencia tem intersecao com a reta tangente t no pontoT = (1, t′). A ordenada deste ponto T , e definida como a tangente do arcoAM correspondente ao angulo a.


3.3. ANGULOS NO SEGUNDO QUADRANTE 14

Assim a tangente do angulo a e dada pelas suas varias determinacoes:

tan(AM) = tan(a) = tan(a + kπ) = µ(AT ) = t′

Podemos escrever M = (cos(a), sen(a)) e T = (1, tan(a)), para cada anguloa do primeiro quadrante. O seno, o cosseno e a tangente de angulos doprimeiro quadrante sao todos positivos.

Um caso especial e quando o ponto M esta no eixo horizontal OX, pois

cos(0) = 1, sen(0) = 0, tan(0) = 0

Ampliaremos estas nocoes para angulos nos outros quadrantes

3.3 Angulos no segundo quadrante

Se na circunferencia trigonometrica, tomamos o ponto M no segundo quad-rante, entao o angulo a entre o eixo OX e o segmento OM pertence ao

intervaloπ

2< a < π. Do mesmo modo que no primeiro quadrante, o cosseno

esta relacionado com a abscissa do ponto M e o seno com a ordenada desteponto. Como o ponto M = (x, y) possui abscissa negativa e ordenada posi-tiva, o sinal do seno do angulo a no segundo quadrante e positivo, o cossenodo angulo a e negativo e a tangente do angulo a e negativa.

Outro caso especial e quando o ponto M esta no eixo vertical OY e temosque:

cos(π

2) = 0, sen(

π

2) = 1

e a tangente nao esta definida, pois a reta OM nao intercepta a reta t, poiselas sao paralelas.


3.4. ANGULOS NO TERCEIRO QUADRANTE 15

3.4 Angulos no terceiro quadrante

O ponto M = (x, y) esta localizado no terceiro quadrante, o que significaque o angulo a ∈ [π, 3π/2]. Este ponto M = (x, y) e simetrico ao pontoM ′ = (−x,−y) do primeiro quadrante, em relacao a origem do sistema,indicando que tanto a sua abscissa como a sua ordenada sao negativos. O senoe o cosseno de um angulo no terceiro quadrante sao negativos e a tangente epositiva.

Em particular, se a = π rad, temos que

cos(π) = −1, sen(π) = 0, tan(π) = 0

3.5 Angulos no quarto quadrante

O ponto M esta no quarto quadrante, 3π/2 < a < 2π. O seno de angulos noquarto quadrante e negativo, o cosseno e positivo e a tangente e negativa.

Se o angulo mede 3π/2, a tangente nao esta definida pois a reta OP naointercepta a reta t, estas sao paralelas. Quando a = 3π/2, temos:

cos(3π

2) = 0, sin(

3π

2) = −1


3.6. SIMETRIA EM RELACAO AO EIXO OX 16

3.6 Simetria em relacao ao eixo OX

Em uma circunferencia trigonometrica, se M e um ponto no primeiro quad-rante e M ′ o simetrico de M em relacao ao eixo OX, estes pontos M e M ′

possuem a mesma abscissa e as ordenadas possuem sinais opostos.

Se A = (1, 0) e um ponto da circunferencia, a o angulo correspondente aoarco AM e b o angulo correspondente ao arco AM ’, entao

sen(a) = −sen(b), cos(a) = cos(b), tan(a) = −tan(b)

3.7 Simetria em relacao ao eixo OY

Seja M um ponto da circunferencia trigonometrica localizado no primeiroquadrante, e seja M ′ simetrico a M em relacao ao eixo OY , estes pontos M

e M ′ possuem a mesma ordenada e as abscissa sao simetricas.

Se A = (1, 0) e um ponto da circunferencia, a e o angulo correspondente aoarco AM e b e o angulo correspondente ao arco AM ′, entao

sen(a) = sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = − tan(b)


3.8. SIMETRIA EM RELACAO A ORIGEM 17

3.8 Simetria em relacao a origem

Se M e um ponto da circunferencia trigonometrica localizado no primeiroquadrante e se M ′ e o simetrico de M em relacao a origem, estes pontos M

e M ′ possuem ordenadas e abscissas simetricas.

Se A = (1, 0) e um ponto da circunferencia, a e o angulo correspondente aoarco AM e b e o angulo correspondente ao arco AM ′, entao

sen(a) = −sen(b), cos(a) = − cos(b), tan(a) = tan(b)

3.9 Senos e cossenos de alguns angulos notaveis

Um modo de obter os valores do seno e cosseno de alguns angulos que apare-cem com frequencia em exercıcios e aplicacoes, sem necessidade de memo-rizacao, e atraves de simples observacao no cırculo trigonometrico.


3.10. PRIMEIRA RELACAO FUNDAMENTAL 18

3.10 Primeira relacao fundamental

Uma identidade fundamental na trigonometria, que realiza um papel muitoimportante em todas as areas da Matematica e tambem das aplicacoes e:

sin2(a) + cos2(a) ≡ 1

que e verdadeira para todo angulo a ∈ R.

Necessitamos do conceito de distancia entre dois pontos no plano cartesiano,que nada mais e do que a relacao de Pitagoras. Consideremos dois pontos,A = (x1, y1) e B = (x2, y2).

Definimos a distancia entre A e B, denotando-a por d = d(A, B), como:

d(A, B) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Se M e um ponto da circunferencia trigonometrica, cujas coordenadas saoindicadas por (cos(a), sen(a)) e a distancia deste ponto ate a origem (0, 0) eigual a 1. Usando a formula da distancia, aplicada a estes pontos, segue que

d(M, 0) =√

(cos(a) − 0)2 + (sen(a) − 0)2

de onde segue que cos2(a) + sin2(a) = 1.


3.11. SEGUNDA RELACAO FUNDAMENTAL 19

3.11 Segunda relacao fundamental

Outra relacao fundamental na trigonometria, as vezes tomada como a definicaoda funcao tangente, e dada por:

tan(a) ≡ sen(a)

cos(a)

Este quociente somente fara sentido quando o denominador nao se anular.

Se a = 0, a = π ou a = 2π, segue que sen(a) = 0, implicando que tan(a) = 0,mas se a = π/2 ou a = 3π/2, segue que cos(a) = 0 e a divisao acima nao

tem sentido, assim a relacao tan(a) =sen(a)

cos(a)nao e verdadeira para estes

ultimos valores de a.

Para a 6= 0, a 6= π, a 6= 2π, a 6= π/2 e a 6= 3π/2, tome de novo acircunferencia trigonometrica na figura seguinte. Os triangulos OMN e OTA

sao semelhantes, logo:AT

MN=

OA

ONComo m(AT ) = | tan(a)|, m(MN) = |sen(a)|, OA = 1 e m(ON) =| cos(a)|, para todo angulo a ∈ (0, π) com a 6= π/2 e a 6= 3π/2 temosque

tan(a) =sen(a)

cos(a)

3.12 Forma polar dos numeros complexos

Um numero complexo nao nulo z = x + yi, pode ser representado pela suaforma polar:

z = r[cos(c) + i sen(c)]


3.12. FORMA POLAR DOS NUMEROS COMPLEXOS 20

onde r = |z| =√

x2 + y2, i2 = −1 e c e o argumento (angulo formado entreo segmento Oz e o eixo OX) do numero complexo z. A multiplicacao de dois

numeros complexos na forma polar:

A = |A|[cos(a) + i sen(a)], B = |B|[cos(b) + i sen(b)]

e dada pela Formula de De Moivre:

AB = |A||B|[cos(a + b) + i sen(a + b)]

Observamos que para multiplicar dois numeros complexos em suas formastrigonometricas, basta multiplicar seus modulos e somar seus argumentos.

Se os numeros complexos A e B sao unitarios entao |A| = 1 e |B| = 1, e:

A = cos(a) + i sen(a), B = cos(b) + i sen(b)

Multiplicando A e B, obtemos

AB = cos(a + b) + i sen(a + b)

Existe uma importante relacao matematica, atribuıda a Euler (le-se oiler),garantindo que para todo numero complexo z e para todo numero real z:

eiz = cos(z) + i sen(z)

Tal relacao e demonstrada em Calculo Diferencial. Esta relacao permite umaoutra forma para representar numeros complexos unitarios A e B, como:

A = eia = cos(a) + i sen(a)

B = eib = cos(b) + i sen(b)

onde a e o argumento de A e b e o argumento de B. Assim,

ei(a+b) = cos(a + b) + i sen(a + b)

Por outro lado

ei(a+b) = eia · eib = [cos(a) + i sen(a)][cos(b) + i sen(b)]


3.13. SENO, COSSENO E TANGENTE DA SOMA E DA DIFERENCA 21

e desse modo

ei(a+b) = [cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)] + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)]

Dois numeros complexos sao iguais se, e somente se, suas partes reais e ima-ginarias sao iguais, logo

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)

sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

Para a diferenca de arcos, substituımos b por −b nas formulas da soma

cos(a − b) = cos(a + (−b)) = cos(a) cos(−b) − sen(a)sen(−b)

= − cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

sen(a − b) = sen(a + (−b)) = cos(a)sen(−b) + cos(−b)sen(a)

= − cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)

3.13 Seno, cosseno e tangente da soma e da diferenca

Na circunferencia trigonometrica, se os angulos a e b satisfazem a 0 < a < 2πe 0 < b < 2π sendo a > b, entao;

sen(a + b) = sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)

cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)

Dividindo a expressao de cima pela de baixo, obtemos:

tan(a + b) =sen(a) cos(b) + cos(a)sen(b)

cos(a) cos(b) − sen(a)sen(b)

Dividindo todos os quatro termos da fracao por cos(a) cos(b), segue a formula:

tan(a + b) =tan(a) + tan(b)

1 − tan(a) tan(b)

Como

sen(a − b) = sen(a) cos(b) − cos(a)sen(b)

cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sen(a)sen(b)

podemos dividir a expressao de cima pela de baixo, para obter:

tan(a − b) =tan(a) − tan(b)

1 + tan(a) tan(b)


Elementos de Matem´atica - uel.br · for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B...

Documents

Transcript of Elementos de Matem´atica - uel.br · for de A para B e BA quando o sentido de percurso for de B...