Elementos de Estatística · vir de uma colaboração entre o pesquisador e um estatístico; Após...

Elementos de Estatística

Profa. Ângela

Resumo dos Dados

� A etapa de coleta de dados é de extrema importância;

� A estatística não faz milagres com dados provenientes de uma amostragem viesada ou não representativa, ou de um experimento mal planejado;

� Idealmente, o planejamento amostral ou experimental deve vir de uma colaboração entre o pesquisador e um estatístico;

� Após a coleta, deve-se organizar e resumir os dados;

� A utilização de tabelas de frequências e gráficos é extremamente útil no resumo e visualização de um conjunto de dados como um todo.

Exemplo

� Conjunto de dados obtido em entrevistas com 898 alunos da UFJF;

� Foram feitas diversas perguntas com o intuito de conhecer melhor o perfil dos alunos da UFJF, e saber como eles se sentem sobre o próprio corpo e se desejam se submeter a cirurgia plástica;

� As variáveis que serão utilizadas nesse exemplo são:� Área de Estudo;

� Idade;

� Índice de Massa Corporal (IMC);

� Nível de Depressão.

Dados Brutos (tabela parcial)Tabela 1: Informações obtidas de 42 dos 898 alunos entrevistados

Dados e Variáveis� Variável: pode representar qualquer característica que varie de

pessoa para pessoa, objeto para objeto, fenômeno para fenômeno...� Altura;� Cor;� Velocidade do vento;� ...

� Dados: valor ou nome resultante da observação de uma variável.� 1,5m; � Vermelho;� 25 km/h;� ...

Variável Qualitativa

Nominal Ordinal

Representa qualidades que não seguem uma ordem

específica

Dados e Variáveis

� Variável Qualitativa: � identifica uma qualidade não mensurável e é descrita por dados

nominais ou ordinais.

Representa qualidades que seguem determinada

ordem

Dados e Variáveis

Variável Qualitativa Ordinal

Variável Dados

Escolaridade Fundamental / Média / Superior

Faixa Etária Criança / Adolescente / ...

Tolerância a dor

Baixa / Razoável / Alta

Estágio da doença

Alzheimer 1,..,4

Variável Qualitativa Nominal

Variável Dados

Sexo Masculino / Feminino

Naturalidade Cidade em que nasceu

Cor da pele Branca / Negra / Parda / ...

Doença Diabetes / Hipertensão

Variável Quantitativa

Discreta Contínua

Forma um conjunto finito ou enumerável de números, resultam,

normalmente, de contagem.

Pertence a um intervalo de números reais e resulta

de mensuração.

Dados e Variáveis

� Variável Quantitativa: � identifica uma característica mensurável e é descrita por

dados discretos ou contínuos.

Dados e Variáveis

Variável Quantitativa Contínua

Variável Dados

Altura m

Peso kg

Temperatura corporal

⁰C

Pressão Arterial mmHg

Variável Quantitativa Discreta

Variável Dados

Número de Filhos 0,1,2,...

Doses de álcool / semana

0,1,2,...

Atividade física / semana

0,1,2,...

Fraturas sofridas 0,1,2,...

Passo 1: Identificação das Variáveis e Dados

� Área de Estudo: � Variável Qualitativa Nominal.

� Idade � Variável Quantitativa Discreta.

� IMC: � Variável Quantitativa Contínua.

� Nível de Depressão: � Variável Qualitativa Ordinal.

Frequências Absoluta, Relativa e Relativa Acumulada

� Absoluta: número de elementos da amostra contendo determinada característica ou pertencentes a determinada faixa de interesse;

� Relativa: proporção de elementos, com a mesma qualidade, iguais a determinado valor, ou pertencentes a determinada classe, com relação ao todo (geralmente na forma de porcentagem);

� Relativa Acumulada: proporção de elementos apresentando valor igual ou menor ao de determinada classe (somente quando as classes podem ser ordenadas, geralmente na forma de porcentagem).

Distribuição de Frequências –Dados Nominais

Tabela 2: Distribuição de frequências das áreas de estudo dos 898 alunos entrevistados. (%)

Área de Estudo Freq.Abs. �� Freq. Rel. (%)�� 100%�

Ciências da Saúde 358 39,87Ciências Exatas 265 29,51

Ciências Humanas 55 6,12Ciências Sociais Aplicadas 220 24,50

Total 898 100

Distribuição de Frequências –Dados Ordinais

Tabela 3: Distribuição de frequências dos graus de depressão dos 898 alunos entrevistados. (%)

Grau de Depressão Freq.Abs. ��Freq. Rel. (%)�� 100%�

Freq. Rel. Ac. (%) �� 100%�

Mínima 591 65,81 65,81Leve 186 20,71 86,53

Moderada 107 11,92 98,44Grave 14 1,56 100Total 898 100

Exercício 1� Os dados do quadro abaixo são referentes a uma experiência com 15

indivíduos, separados em três grupos. Ao primeiro grupo foi administrado a dieta A (hiperlipídica), ao segundo grupo a dieta B (hipocalórica), enquanto o terceiro grupo C (Controle) manteve seus hábitos alimentares. Consta também o sexo do indivíduo e sua escolaridade.

� Classifique as variáveis Sexo e Escolaridade e construa a tabelas de frequências adequadas para ambas.

Dieta A A A A A B B B B B C C C C C

Sexo F F F M F F F F M F M F F F M

Escolaridade M S F M F F S M M F F F S M F

Distribuição de FrequênciasVariáveis Quantitativas

� A construção de tabelas de frequências para variáveis quantitativas não é tão direta quanto para variáveis qualitativas;

� É necessário, sempre quando se trata de dados contínuos, e na maioria das vezes quando se trata de dados discretos, dividir o intervalo de observações em intervalos menores, não sobrepostos e de tamanhos iguais;

� Se forem criados um número pequeno de intervalos, muita informação poderá ser perdida, assim como se forem criados muitos intervalos o objetivo de resumir os dados ficará prejudicado;

� O usual é utilizarmos de 4 a 10 classes, dependendo da amplitude e quantidade dos dados observados.

Divisão dos dados observados em classes

� Primeiro passo: � Calcular a amplitude dos dados:

� Amplitude = valor máximo – valor mínimo;

� Segundo passo: � Decidir quantas classes devem ser utilizadas, com base na

amplitude e no número de dados (utilizar bom senso);

� Terceiro passo:� Calcular o tamanho das classes. Para tal, basta dividir a

Amplitude dos dados pelo número de classes.

Variável Quantitativa - Dados Discretos

� Idade Máxima = 54 anos

� Idade Mínima = 17 anos

� Amplitude = 54 -17 = 37 anos

� 898 indivíduos amostrados

� Número de classes?� Temos um conjunto de dados bastante grande, com 898 unidades

amostrais, o que costuma exigir um número maior de classes;

� Pode-se pensar no número máximo de classes, 10.

� Amplitude por classe = Amplitude/k = 37/10 = 3,7

� Pode-se utilizar 4 anos como a amplitude para cada classe.

� Serão feitas, então, 10 classes com amplitude de 4 anos cada.

Distribuição de Frequências – Dados Discretos

Tabela 4: Distribuição de frequências das idades dos 898 alunos entrevistados. (%)

Idade Freq.Abs. ��Freq. Rel. (%)�� 100%�

Freq. Rel. Ac. (%) �� 100%�

[15,5 ; 19,5) 366 40,76 40,76[19,5 ; 23,5) 424 47,22 87,97[23,5 ; 27,5) 83 9,24 97,22[27,5 ; 31,5) 14 1,56 98,78[31,5 ; 35,5) 2 0,22 99,00[35,5 ; 39,5) 2 0,22 99,22[39,5 ; 43,5) 3 0,33 99,55[43,5 ; 47,5) 2 0,22 99,78[47,5 ; 51,5) 1 0,11 99,89[51,5 ; 55,5) 1 0,11 100,00

Total 898 100

Variável Quantitativa - Dados Contínuos� IMC Mínimo = 15,78 kg/m²

� IMC Máximo = 37,58 kg/m²

� Amplitude = 37,58 – 15,78 = 21,8 kg/m²

� 898 indivíduos amostrados

� Número de classes?� Temos um conjunto de dados bastante grande, com 898 unidades amostrais, o

que costuma exigir um número maior de classes;

� Pode-se pensar no número máximo de classes, 10.

� Amplitude por classe = Amplitude/k = 21,8/10 = 2,18

� Pode-se utilizar 2,2 kg/m² como a amplitude para cada classe.

� Serão feitas, então, 10 classes com amplitude de 2,2 kg/m² cada.

Distribuição de Frequências –Dados Contínuos

Tabela 5: Distribuição de frequências dos IMCs dos 898 alunos entrevistados. (%)

IMC Freq.Abs. ��Freq. Rel. (%)�� 100%�

Freq. Rel. Ac. (%) �� 100%�

[15,68 ; 17,88) 41 4,57 4,57[17,88 ; 20,08) 231 25,72 30,29[20,08 ; 22,28) 299 33,30 63,59[22,28 ; 24,48) 178 19,82 83,41[24,48 ; 26,68) 93 10,36 93,76[26,68 ; 28,88) 28 3,12 96,88[28,88 ; 31,28) 12 1,34 98,22[31,28 ; 33,48) 11 1,22 99,44[33,48 ; 35,48) 2 0,22 99,67[35,48 ; 37,68) 3 0,33 100,00

Total 898 100,00


Tabela 6: significado dos valores de IMC

IMC Significado

menor que 17muito abaixo do peso (queda de cabelo, infertilidade, ausência menstrual)

[17 ; 18,5) abaixo do peso (fadiga, stress, ansiedade)[18,5 ; 25) peso normal (menor risco de doenças cardíacas e vasculares)[25 ; 30) acima do peso (fadiga, má circulação, varizes)[30 ; 35) obesidade grau 1 (diabetes, angina, infarto, aterosclerose)[35 ; 40) obesidade grau 2 (apneia do sono, falta de ar)

maior que 40obesidade grau 3 (refluxo, dificuldade para se mover, escaras, diabetes, infarto, avc)



IMC Freq. Abs. Freq. Rel. (%) Freq. Rel. Ac (%)menor que 17 13 1,45 1,45

[17 ; 18,5) 76 8,46 9,91[18,5 ; 25) 688 76,61 86,53[25 ; 30) 100 11,14 97,66[30 ; 35) 17 1,89 99,55[35 ; 40) 4 0,45 100,00

maior que 40 0 0,00 100,00Total 898 100

Distribuição de Frequências –Dados Contínuos (transformado em qualitativo ordinal)


IMC Freq. Abs. Freq. Rel. (%) Freq. Rel. Ac (%)Muito abaixo do peso 13 1,45 1,45

Abaixo do peso 76 8,46 9,91Peso normal 688 76,61 86,53

Acima do peso 100 11,14 97,66Obesidade grau 1 17 1,89 99,55Obesidade grau 2 4 0,45 100,00Obesidade grau 3 0 0,00 100,00

Total 898 100

Exercício 2� Os dados a seguir mostram os resultados de 30 exames

de composição química do sangue, referentes aos níveis de bilirrubina (total), obtidos pelo método de Van den Bergh em um grupo de pacientes normais, com icterícia e anemia ferropênica, expressos em miligramas por cada 100 mililitros de plasma:

� Construa uma tabela de frequências para a variável nível de bilirrubina (identifique a natureza da variável e dos dados a ela relativos).

0,4 0,5 0,5 0,7 0,2 0,5 0,6 0,3 0,8 0,4

0,6 0,5 0,1 0,5 1,2 0,5 0,6 0,7 0,4 0,2

0,3 0,4 0,7 0,6 1,1 0,3 0,6 0,9 1,0 0,7

Gráficos para variáveis Qualitativas

� Gráficos de Barras:� Permite a visualização da distribuição de frequência em forma

de retângulos paralelos uns aos outros.

� Gráfico de Pizza:� Utiliza um circulo (representando o todo – 100%) e o divide

em setores representando as qualidades e suas respectivas frequências relativas.

Exemplo

Tabela 2: Distribuição de frequências das áreas de estudo dos 898 alunos entrevistados. (%)

Área de Estudo Freq.Abs. ��Freq. Rel. (%)��

100%�Ciências da Saúde 358 39,87Ciências Exatas 265 29,51

Ciências Humanas 55 6,12Ciências Sociais Aplicadas 220 24,50

Total 898 100

Gráficos para a Variável Área de Estudo (Qualitativa/Nominal)

40%

30%

6%

24%

Gráfico de Pizza

Ciências da Saúde

Ciências Exatas

Ciências Humanas

Ciências Sociais Aplicadas

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Área de Estudo

Fre

qu

ên

cia

Ab

solu

ta (

nú

mero

de a

lun

os)

Gráfico de Barras

Ciências da Saúde

Ciências Exatas

Ciências Humanas

Ciências Sociais Aplicadas

Exemplo

Tabela 3: Distribuição de frequências dos graus de depressão dos 898 alunos entrevistados. (%)

Grau de Depressão Freq.Abs. ��Freq. Rel. (%)�� 100%�

Freq. Rel. Ac. (%) �� 100%�

Mínima 591 65,81 65,81Leve 186 20,71 86,53

Moderada 107 11,92 98,44Grave 14 1,56 100Total 898 100

Gráficos para a Variável Depressão (Qualitativa/Ordinal)

66%

21%

12%

1%

Gráfico de Pizza

Mínima

Leve

Moderada

Grave

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

Depressão

Fre

qu

ên

cia

Rela

tiva (

%)

Gráfico de Barras

Mínima

Leve

Moderada

Grave

Histogramas

� Muito úteis na exibição da distribuição de frequência de determinada variável;

� Apresenta a frequência de observações relativas a determinada faixa de valores;

� Válido apenas para dados discretos ou contínuos.

Exemplo

Tabela 4: Distribuição de frequências das idades dos 898 alunos entrevistados. (%)

Idade Freq.Abs. ��Freq. Rel. (%)�� 100%�

Freq. Rel. Ac. (%) �� 100%�

[15,5 ; 19,5) 366 40,76 40,76[19,5 ; 23,5) 424 47,22 87,97[23,5 ; 27,5) 83 9,24 97,22[27,5 ; 31,5) 14 1,56 98,78[31,5 ; 35,5) 2 0,22 99,00[35,5 ; 39,5) 2 0,22 99,22[39,5 ; 43,5) 3 0,33 99,55[43,5 ; 47,5) 2 0,22 99,78[47,5 ; 51,5) 1 0,11 99,89[51,5 ; 55,5) 1 0,11 100,00

Total 898 100

Histograma para a Variável Idade (Quantitativa/Discreta)

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

40,00%

45,00%

50,00%

1

Fre

q. R

el. (

%)

Idades (anos)

Histograma das idades dos alunos

15,5 19,5 23,5 27,5 31,5 35,5 39,5 43,5 55,547,5 51,5

Exemplo


IMC Freq. Abs. Freq. Rel. (%) Freq. Rel. Ac (%)menor que 17 13 1,45 1,45

[17 ; 18,5) 76 8,46 9,91[18,5 ; 25) 688 76,61 86,53[25 ; 30) 100 11,14 97,66[30 ; 35) 17 1,89 99,55[35 ; 40) 4 0,45 100,00

maior que 40 0 0,00 100,00Total 898 100

Histograma para a Variável Notas (Quantitativa/Contínua)

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

1

Fre

q. R

el. (

%)

IMC

Histograma dos IMCs dos alunos

3 4 5 6 71 2

1 – abaixo de 172 – de 17 à 18,53 – de 18,5 à 254 – de 25 à 305 – de 30 à 356 – de 35 à 407 – acima de 40

Exemplo


IMC Freq.Abs. ��Freq. Rel. (%)�� 100%�

Freq. Rel. Ac. (%) �� 100%�

[15,68 ; 17,88) 41 4,57 4,57[17,88 ; 20,08) 231 25,72 30,29[20,08 ; 22,28) 299 33,30 63,59[22,28 ; 24,48) 178 19,82 83,41[24,48 ; 26,68) 93 10,36 93,76[26,68 ; 28,88) 28 3,12 96,88[28,88 ; 31,08) 12 1,34 98,22[31,08 ; 33,28) 11 1,22 99,44[33,28 ; 35,48) 2 0,22 99,67[35,48 ; 37,68) 3 0,33 100,00

Total 898 100,00

Histograma para a Variável Notas (Quantitativa/Contínua)

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

20,00%

25,00%

30,00%

35,00%

1

Fre

q. R

el. (

%)

IMC

Histograma dos IMCs dos alunos

20,08 22,28 24,48 26,68 28,88 31,08 33,28 35,48 37,6815,68 17,88

Exercício 3

� Construa gráficos de barras para a variável sexo (exercício 1), pizza para a variável escolaridade (exercício 1) e histograma para a variável nível de bilirrubina (exercício 2).

Gráficos de Dispersão Bidimensional� Utiliza-se quando se deseja visualizar a relação entre duas

variáveis;� Considerando o exemplo dado, poderíamos ter o

interesse em ver se o valor do IMC dos alunos está relacionado com a idade dos mesmos;

� Para montar esse tipo de gráfico deve-se colocar uma das variáveis no eixo vertical e a outra no eixo horizontal;

� Quero ver se IMC está relacionado à idade, logo IMC deverá estar no eixo vertical e idade no eixo horizontal;

� O IMC de determinado aluno deverá estar relacionado com a Idade dele mesmo, deve-se respeitar a individualidade de cada observação.

ExemploTabela 12: Informações obtidas de 42 dos 898 alunos entrevistados

Deve-se relacionar a idade de um aluno com o IMC desse mesmo aluno

Exemplo

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 10 20 30 40 50 60

IMC

Idade

Gráfico de dispersão IMC x Idade

Exemplo

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 20 40 60 80 100 120 140

IMC

Peso

Gráfico de Dispersão IMC x Peso

Cuidados que devem ser tomados

� Para a visualização dos cuidados que devem ser utilizados ao se construir gráficos, utilizei as imagens apresentadas no trabalho:

� “O ensino de gráficos estatísticos no contexto da Educação Crítica” apresentado por:� Campos, C. R.; Jacobini, O. R.; Ferreira, D. H. L.; e Lorenzetti, M.

L.

� Na XIV Conferência Interamericana de Educação Matemática, ocorrida de 3 a 7 de maio de 2015 e


Escala errada, leva a interpretação errada


Ordem cronológica invertida e escala utilizada levam a achar que houve um grande aumento na inflação, quando na verdade houve uma queda de 0,23%.


Escala utilizada leva a acreditar que a diferença no gráfico da esquerda (11,8) é inferior à do gráfico da direita (0,8) – o que leva a erros de interpretação quando vistos rapidamente.


Mais uma vez a escala escolhida faz uma diferença pequena (1,59%), que dependendo do erro assumido pela pesquisa pode nem ser significativa, pareça enorme.


Soma das fatias do gráfico é igual à 193%, fazendo com que não seja possível fazer uma interpretação correta do mesmo.

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