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Módulo Didático de apoio à atividade docente para o CRV

Disciplina Matemática − Ensino Fundamental

Título: Porcentagem e Juros

5. Porcentagem 5.1. Interpretar e utilizar o símbolo % . 5.2. Resolver problemas que envolvam o cálculo de porcentagem.

6. Juros

6.1. Calcular descontos, lucros e prejuízos. 6.2. Resolver problemas que envolvam o cálculo de prestações em financiamentos com poucas prestações. 6.3. Comparar preços à vista e a prazo.

Introdução

O termo porcentagem é freqüentemente veiculado na mídia, em anúncios e noticias tais como: “Promoção! Tudo com 20% de desconto”, “À vista com 5% de desconto”, “Houve um aumento de 8% no salário mínimo”, “Houve um aumento de 2% na conta de energia elétrica”, “A população da região Nordeste cresce 2% ao ano”, etc.

É desejável que um cidadão saiba ler e avaliar o impacto dessas notícias na sua vida. Avaliar esse impacto permite ao cidadão autonomia, por exemplo, na negociação para a aquisição de um bem ou na decisão de investir em determinada aplicação financeira.

No ensino fundamental, o estudo do tópico “porcentagem”, dentro do tema grandezas proporcionais, introduz um pouco da terminologia e algumas ferramentas básicas utilizadas no mercado, que sem dúvida auxiliam na tomada de decisões. A teoria utilizada aqui servirá, também, de base para sua extensão e aprofundamento no ensino médio, tornando possíveis outras aplicações.

Neste módulo abordaremos o significado e o cálculo de porcentagens, o cálculo de descontos, receitas, lucros, prejuízos, juros simples e compostos e o cálculo de prestações em financiamento com dois pagamentos, incluído vários exemplos, situações e exercícios.

Porcentagem

A palavra por cento significa por cem. O símbolo para por cento é %.

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Uma porcentagem pode ser escrita como uma fração de denominador 100 ou como

uma decimal.

Observação: Os termos porcentagem e percentagem são utilizados freqüentemente

e têm o mesmo significado.

Exemplos:

a) Um por cento 010100

11 ,% === b) === %, 8080

100

8oito por cento

c) Trinta e cinco por cento 350100

3535 ,% ===

d) Expressar 35,8% em forma de fração e também na forma de decimal.

Basta escrever: 35801000

358

100

835835 ,

,%, === .

e) Expressar 1,3% em forma de fração e também na forma de decimal.

Basta escrever: 01301000

13

100

3131 ,

,%, === .

f) Escrever 3 na forma de fração e de porcentagem.

Basta escrever: %300100

3003 == .

g) Escrever 0,025 na forma de fração e de porcentagem.

Basta escrever: %,,

, 52100

52

1000

250250 === .

Cálculo de porcentagens

Exemplo1. Calcular 30% de 400.

Vamos apresentar três modos de resolver este problema. Você pode escolher aquele que preferir.

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Modo 1: Utilizar uma regra de três simples em que o valor total, 400, corresponda a 100%. Então, representando os 30% de 400 por x , podemos escrever

%

%

30

100400

→

→

x, o que fornece 120

100

40030=

×=x .

Modo 2: Escrever 30% na forma decimal e multiplicar o resultado por 400. Dessa

forma, obtemos 30100

30,= e o resultado desejado é 12040030 =×, .

Modo 3: Primeiramente, calcular 1% de 400, que pode ser obtido efetuando-se 100

400,

que é igual a 4. Conseqüentemente para obter 30% de 400 basta multiplicar )%( 400de130× , ou seja, 120430 =×

Exemplo 2. Calcular 15,3% de 200.

Vamos apresentar duas maneiras de resolver este problema.

Primeira: Vamos escrever 15,3% na forma decimal e multiplicar o resultado por 200.

Assim, obtemos 6302001530200100

315,,

,=×=× .

Segunda 2: Vamos calcular 1% de 200 e multiplicar este resultado por 15,3. Temos

que 1% de 200 é igual a 2100

200= . Assim temos que 5,3% de 200 é igual a

)%(, 200de1315 × , ou seja, 6302315 ,, =× .

Terceira: Vamos utilizar uma regra de três simples em que o valor total, 200, corresponda a 100%. Então, representando os 15,3% de 200 por x , podemos escrever

Excluído: .

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%,

%

315

100200

→

→

x, o que fornece 630

100

200315,

,=

×=x .

Exemplo 3. Quantos por cento 40 é de 800?

Apresentamos duas maneiras de resolver este problema.

Primeira: Utilizar uma regra de três simples em que o valor total, 800, corresponda a 100%. Então, representando por x a porcentagem que 40 corresponde de 800,

podemos escrever x→

→

40

100800 %. O que fornece 5

800

10040=

×=x . Portanto, 40

corresponde a 5% de 800.

Segunda: Comparando o valor 40 com 800 através da razão 800

40, obtemos a

decimal 0,05 = 5%. Isso nos leva a concluir que 40 corresponde a 5% de 800.

Exemplo 4. Em uma pesquisa, 40 pessoas foram consultadas para saber qual esporte entre futebol, vôlei, basquete, atletismo e handebol ela mais gostava.

Cada pessoa apontou somente um dos esportes listados e o resultado foi o seguinte: 12 pessoas disseram gostar mais de futebol; 10 disseram gostar mais de vôlei; 6 de basquete; 8 de atletismo; e 4 de handebol.

Escreva os resultados como percentuais. Qual é a soma das cinco porcentagens?

Solução:

Esporte Percentual de pessoas que gostam mais desse esporte

Futebol %, 3030

40

12==

Vôlei %, 25250

40

10==

5

Basquete %, 15210

40

6==

Atletismo %, 2020

40

8==

Handebol %, 1010

40

4==

A soma das cinco porcentagens é: 30% + 25% + 15% + 20% + 10% = 100%. O que era esperado, pois o total de pessoas consultadas corresponde a 100%.

Exemplo 5. O salário mensal de um empregado de uma determinada firma era de R$800,00. Ele recebeu um aumento de 2,5%. Qual é o seu novo salário?

Solução: Vamos calcular o valor do aumento e somá-lo a R$800,00. Cálculo do valor do aumento: 2,5% de R$800,00 é igual a 0,025×800 = 20. Assim o valor do aumento foi de R$20,00.

O valor do novo salário é R$800,00 + R$20,00 = R$820,00.

Exemplo 6. O pacote de um determinado tipo de arroz passou de R$6,40 para R$7,00. Qual foi o percentual de aumento no preço do pacote?

Solução: O preço original era de R$6,40 e passou para R$8,00. Isso mostra que houve um aumento de 8 − 6,40 = 1,60 (sessenta centavos) em relação ao preço original. Agora, devemos calcular que porcentagem 1,60 representa de 6,40.

Uma maneira de calcular essa porcentagem é utilizando uma regra de três, em que 6,40 correspondem a 100%. Representado a porcentagem que 1,60 correspondem de 6,40, podemos escrever:

x→

→

601

100406

,

%, e daí obtemos =x 25%.

Concluímos que o aumento no preço foi de 25%.

Exemplo 7. Escreva uma fórmula que expresse %a de um valor b .

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Solução: Como 100

aa =% , temos que a % de b é dado por b

a×

100.

Exemplo 8. Escreva uma fórmula para expressar %a de %b um valor c .

Solução: Primeiramente vamos calcular %b do valor c e depois %a deste

resultado.

Pelo resultado do exemplo 7, temos que %b do valor c é dado por cb

×100

e que

%a de cb

×100

é dado por cba

cba

×=

××

10000100100.

Exemplo 9. O preço de um determinado está anunciado por R$1000,00. Pagando à vista, isto é no ato da compra, a loja dá 5% de desconto. Qual é o preço à vista desse computador?

Vamos resolver este problema de duas maneiras diferentes.

Primeira: O valor à vista é igual ao valor anunciado do computador menos o valor do desconto, ou seja, R$1000,00 menos 5% de 1000. Como 5% é 1000 é 50 (certo?), o valor à vista desse computador é 1000 − 50 = 950, isto é, R$950,00.

Segunda: Pode-se também raciocinar da seguinte maneira: o valor anunciado corresponde a 100%. Como o valor à vista tem um desconto de 5% sobre o valor anunciado, o valor à vista será igual a %%% 955100 =− do valor anunciado.

Temos que 95% do valor anunciado é igual a 9501000100

95=× . Assim o valor à

vista do referido computador é R$950,00.

Exemplo 10. Uma loja anuncia aparelho por R$850,00, mas dá 8% de desconto no pagamento à vista.

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Com base no problema acima, complete cada uma das frases a seguir com “do desconto” ou “à vista”.

a) 8% de R$850,00 é o valor ___________________________________________

b) 92% de R$850,00 é o valor __________________________________________

c) 0,08×R$850,00 é o valor ____________________________________________

d) 0,92×R$850,00 é o valor ____________________________________________

e) R$850,00 − 8% de R$850,00 é o valor _________________________________

Solução:

a) De acordo com o enunciado 8% do valor anunciado é o valor do desconto. A frase em a) deve ser preenchida com do desconto.

b) O valor anunciado corresponde a 100% e o desconto a 8% deste. Assim o valor à vista é igual a 100% − 8% = 92% do valor anunciado, ou seja, 92% de R$850,00. A frase em b) deve ser preenchida com à vista.

c) De acordo com o enunciado 8% do valor anunciado é o valor do desconto.

Como 080100

88 ,% = , o valor do desconto é igual a 0,08×R$850,00. A frase

em c) deve ser preenchida com do desconto.

d) O valor anunciado corresponde a 100% e o desconto a 8% deste. Assim o valor à vista é igual a 100% − 8% = 92% do valor anunciado, ou seja, 92% de

R$850,00, que pode ser calculado da seguinte maneira: 850100

92× , ou ainda,

0,92×R$850. A frase em d) deve ser preenchida com à vista.

e) Esta alternativa apresenta o valor anunciado (R$850,00) menos o valor do desconto (8% de R$850,00). Portanto, a frase em e) deve ser preenchida com à vista.

Exemplo 11. Uma pessoa comprou um liquidificador à vista por R$45,00. A loja deu 10% de desconto sobre o preço anunciado para aquele que comprasse à vista. Qual era o preço anunciado desse liquidificador?

Apresentamos duas formas de resolver esse problema.

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Primeira: Devemos encontrar nesse problema o valor anunciado, que representaremos por x . Se a pessoa pagou o liquidificador à vista, ele obteve 10% de desconto. Então o valor pago à vista corresponde a 100% − 10% =90% do valor anunciado, isto é, 90% de x , que pode ser escrito na forma x×90, . Como o

problema diz que o valor à vista foi de R$45,00, concluímos que 4590 =× x, . Daí

5090

45==

,x . Portanto, o valor anunciado era de R$50,00.

Segunda: Devemos encontrar nesse problema o valor anunciado, que representaremos por x . Se a pessoa pagou o liquidificador à vista, ele obteve 10% de desconto. Então o valor pago à vista corresponde a 100% − 10% =90% do valor anunciado, isto é, 90% de x , Podemos utilizar o esquema de uma regra de três, da seguinte forma:

%

%

100

9045

→

→

x.

Daí obtemos 5090

10045=

×=x , isto é o preço anunciado era de R$50,00.

Exemplo 12. Uma análise dos dados coletados ao longo de vários anos sugere que a população de uma determinada região aumenta 3% ao ano. A população dessa região hoje é de 100 000 habitantes, quanto será daqui a 2 anos?

Solução: Quando se escreve “a população de uma determinada região aumenta 3% ao ano“, entende-se que a cada ano a população aumenta 3% em relação à população do ano anterior.

Assim, ao final do primeiro ano a população dessa região será de 000103000100de3000100 =+ % habitantes. Agora, este número será utilizado

para calcular o número de habitantes do ano seguinte. Então, ano ao final do ano segundo ano a população dessa região será de 090106000103de3000103 =+ %

habitantes.

Observações:

• O percentual de aumento em um período também recebe o nome de taxa de aumento no período.

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• O percentual de decrescimento em um período também recebe o nome de taxa de decrescimento no período.

• É usual utilizar os termos taxa de decrescimento ou taxa de redução. E taxa de crescimento ou taxa de aumento.

Exemplo 1: “A porcentagem de aumento é de 6% ao mês” pode também ser escrito “aumenta a uma taxa de 6% ao mês”.

Exemplo 2: “A porcentagem de aumento é de 6% ao mês” pode também ser escrito “aumenta a uma taxa de 6% ao mês”.

Dessa forma, o enunciado do problema anterior poderia ser também redigido da seguinte maneira:

Uma análise dos dados coletados ao longo de vários anos sugere que a população de uma determinada região aumenta a uma taxa de 3% ao ano. A população dessa região hoje é de 100 000 habitantes, quanto será daqui a 2 anos?

Grupo 1 de atividades.

1) Analise cada situação a seguir e responda.

Como você representaria o número de quadradinhos sombreados em relação ao total de quadradinho, na figura abaixo, utilizando o símbolo de porcentagem?

Como você representaria o número de quadradinhos sombreados em relação ao total de quadradinho, na figura abaixo, utilizando uma fração?

Como você representaria o número de quadradinhos sombreados em relação ao total de quadradinho, na figura abaixo, utilizando uma decimal?

Resposta: ___________ Resposta: ___________ Resposta: ___________

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2) Represente na forma decimal: a) 7% b) 30% c) 50% d) 87%

3) Escreva cada decimal na forma de fração com denominador 100 e na forma percentual:

a) 0,35 b) 0,04 c) 0,005 d) 0,7

4) Utilize o símbolo de porcentagem para representar:

a) 25

9 b)

8

17 c)

5

4

5) Somente um número da lista: 100

56

25

16560

50

2856 ;;,;%; não tem o mesmo

significado que os demais. Qual é esse número? Justifique sua resposta.

6) Quanto é 132% de R$234,00?

7) Calcule 10% de 30% de 600.

8) Calcule 30% de 10% de 600.

9) Compare os resultados dos exercícios 7 e 8.

11) Escreva uma fórmula para expressar %b de %a um valor c .

12) Compare os resultado do exercícios 10 com o resultado do exemplo 8.

13) Elabore um problema cuja resposta seja 0,94×R$900,00.

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14) Elabore um problema cuja resposta seja 0,06×R$400,00.

15) Uma camisa custa R$30,00. Ao pagá-la à vista obtém-se um desconto de 5%. Qual é o valor à vista dessa camisa?

16) Uma pessoa comprou um fogão à vista por R$380,00. A loja deu 5% de desconto sobre o preço anunciado para aquele que comprasse à vista. Qual era o preço anunciado desse fogão?

17) João e seu colega de trabalho, Paulo, complementam a cesta básica que recebem da empresa comprando mensalmente os seguintes itens:

Item João Paulo

Arroz 2 kg 3 kg

Feijão 1 kg 1 kg

Açúcar 8 5

Suponha que os preços desses itens e as variações nos preços de um mês para o outro sejam as representadas no quadro a seguir:

Quantidade/item Mês anterior Mês atual

1 kg de arroz R$ 2,00 Aumentou de 10%

1 kg de feijão R$ 4,00 Diminuiu de 5%

1 kg de açúcar R$1,00 Diminui 4%

Determine a porcentagem de aumento do mês atual para João e para José.

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18) O salário mínio em março de 2008 era de R$415,00 e em março de 2009 era de R$465,00. Qual foi o aumento percentual de março de 2008 para março de 2009?

19) Responda se faz sentido ou não sentido cada situação a seguir e justifique cada resposta: a) pedir 140% de desconto no preço de um objeto?

b) aumentar o preço de um objeto em 200%?

Lucro e Prejuízo.

Situação 1.

João comprou um DVD por R$5,00 e o vendeu por R$5,60. Qual foi o lucro obtido por João?

Solução: Como o valor da venda foi maior que o valor da compra, João obteve lucro. O lucro que ele obteve foi de R$5,60 – R$5,00 = R$0,60.

Observação: Em situações como a anterior é muito comum dá-se a seguinte resposta: João obteve 12% de lucro. Isso porque R$0,60 é 12% de R$5,00.

Situação 2.

Pedro comprou um DVD por R$5,00 e o vendeu por R$4,50. Qual foi o prejuízo de Pedro?

Solução: Como o valor da venda foi menor que o valor da compra, Pedro teve prejuízo. O prejuízo de Pedro foi de R$5,60 – R$5,00 = R$0,60.

Observação: Em situações como a anterior é muito comum dá-se a seguinte resposta: quem vendeu teve 12% de prejuízo.

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Situação 3: Um aparelho de som custou para uma loja R$140,00. Por quanto a loja deve vender esse aparelho para obter um lucro de R$70,00? Nesse caso qual seria a porcentagem de lucro dessa loja?

Solução: A loja deve vender o parelho de som por R$140,00 + R$70,00 = R$210,00 para obter o lucro de R$70,00.

A porcentagem de lucro seria, então, igual a %505,0140

70== .

Situação 4: O preço de custo para uma determinada empresa fabricar uma tipo de peça é de R$1,20. Ela consegue vender cada peça por R$2,00. Se essa empresa fabricou e vendeu 1000 dessas peças, determine: a receita, o lucro e o custo dessa empresa, supondo que ela fabrica e vende as 1000 peças.

Solução: A receita, isto é, o total arrecadado pela venda das 1000 peças é igual a 00,2000$00,2$1000 RR =× .

O custo é igual a 00,1200$20,1$1000 RR =× .

O lucro é igual a diferença entre a receita e o custo. Assim o lucro é igual a 00,800$00,1200$00,2000$ RRR =− .

Juros

É a quantia que se paga a mais ou a quantia que se cobra a mais pelo empréstimo de uma quantia por um determinado período de tempo.

Observação: Vale destacar que os juros são cobrados sobre uma dívida por um período de tempo.

Exemplo. Uma pessoa pede um empréstimo de R$1000,00 para pagar após um mês a quantia de R$1050,00. Neste caso dizemos que essa pessoa pagou

0050001000001050 ,$,$,$ RRR =− de juros em um mês.

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Taxa de juros

É a porcentagem que os juros correspondem da quantia emprestada ou devida.

Exemplo 1. Uma pessoa pede um empréstimo de R$1000,00 para pagar após um mês a quantia de R$1050,00. Neste caso dizemos que essa pessoa pagou

%, 50501000

50== de juros ao mês.

Exemplo 2. Uma quantia de R$600,00 foi emprestada à taxa de 4,5% ao mês.

Neste exemplo, a taxa de juros é de 4,5% ao mês e o valor dos juros cobrados nesse mês foi de 4,5% de R$600,00, isto é, de R$27,00 ao mês.

Exemplo 3. Em uma loja, o preço à vista de uma blusa é R$50,00. Uma pessoa compra essa blusa dando R$20,00 de entrada e mais uma parcela de R$36,00, apo um mês. Qual é a taxa de juros cobrada pela loja?

Solução: Ao pagar R$20,00 no ato da compra a pessoa ficou devendo 302050 =− reais. É sobre este valor devido R$30,00 que os juros devem ser calculados.

Como a pessoa pagou R$36,00 para quitar a dívida de R$30,00 no mês anterior, os juros cobrados foram de R$36,00 − R$30,00 = R$6,00 no mês. Assim a taxa mensal

de juros é igual a %, 202030

6== .

Observação: Antes de passar para as situações 5, 6 e 7 seguintes, ressaltamos que o valor à vista de um bem é que serve de referência para cálculos de prestações ou de outros valores. Para ilustrar o que foi dito, considere o exemplo seguinte.

Exemplo. Uma máquina de lavar roupas está anunciada por R$600,00 e à vista custa R$500,00. Ora, se você tiver os R$500,00 você compra a máquina, independentemente de ela estar anunciada por R$600,00 ou R$800,00 ou R$1000,00. Portanto, R$500,00 é que é o valor real e não o anunciado.

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Situação 5: Uma loja vende computadores e oferece os seguintes planos de pagamento:

I) à vista por R$1200,00; ou

II) de duas vezes, sendo R$200,00 de entrada e o restante, após um mês, cobrando juros de 5% ao mês.

Antônio comprou um terno nessa loja e vai pagar de acordo com o plano de pagamento II. Qual é o valor da segunda parcela que Antônio deverá pagar?

Solução: Ao pagar R$200,00, no ato da compra, Antônio ficou devendo à loja:

R$160,00 − R$50,00 = R$110,00. Como os juros devem ser cobrados sobre a dívida, de acordo com plano de pagamento II, ele deverá pagar à loja, após um mês, a quantia de R$1000,00 + 5% de R$1000,00 = R$1050,00. Dessa forma, o valor da segunda parcela será R$1050,00.

Situação 6: Um loja vende um aparelho de ar condicionado segundo as seguintes condições:

I) à vista por R$1600,00; ou

II) em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda após um mês.

Qual seria o valor de cada parcela para o cliente que optasse pelo plano de pagamento II, se a loja cobra uma taxa de juros de 4% ao mês?

Solução: Como desconhecemos o valor de cada parcela, ele será a incógnita do problema. Vamos representar o valor das parcelas por x , já que as duas são iguais.

Para resolver esse problema vamos utilizar que o valor da primeira parcela é x e, de acordo com as condições da loja, obter o valor da segunda parcela, em função de x .

Dessa forma, encontraremos uma nova expressão para a segunda parcela. Como as duas parcelas devem ser iguais, igualando x com a nova expressão para a segunda parcela, encontraremos o valor de x .

Vamos agora executar o que foi planejado.

Pagando-se x no ato da compra a dívida passa a ser de 1600 − x , que deverá ser paga no mês seguinte. De acordo com o plano II, os juros devem ser cobrados sobre a dívida de )( x−1600 . O valor dos juros será igual a 4% de )( x−1600 , que é igual a

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)(, x−× 1600040 . Assim, após um mês, deverá ser paga a quantia de

04016001600 ,)()( ×−+− xx para quitar a dívida. Uma nova expressão para a

segunda parcela será 04016001600 ,)()( ×−+− xx . Desenvolvendo

04016001600 ,)()( ×−+− xx , obtemos a seguinte expressão para a segunda

parcela: x0411664 ,− .

Dessa forma conseguimos duas expressões para a segunda parcela: x e x0411664 ,− . Daí xx =− 0411664 , , o que fornece 68815,=x . Portanto, o valor de

cada parcela é R$815,68.

Observação: Um erro muito freqüente na resolução da situação 6 é o de aplicar os juros sobre o valor total e dividir o resultado por dois.

Na situação 6 seria calcular 1600 + 4% de 1600 e depois dividir este resultado por 2.

Assim o valor de cada pagamento seria: 8322

1600401600=

×+ , reais.

Há um erro nesse raciocínio, pois se os juros devem incidir sobre a dívida e no ato da compra foi dada a entrada de R$832,00, então a dívida passa a ser:

7688321600 =− e sobre este valor da dívida é que os juros devem ser calculados.

Observe que da primeira forma calculando-se os juros sobre 1600 e dividindo-se o resultado por 2 para obter 832 reais, pagou-se juros inclusive sobre a entrada, que obviamente não é dívida, pois já foi paga.

Situação 7. O que significa dizer uma quantia de R$2000,00 está aplicada a uma taxa de 30% ao ano?

Solução: Isso significa que após o primeiro ano a quantia aplicada passa do valor 2000 para 2000 + 30% de 2000 = 2600. Isto é, ao final do primeiro ano a quantia aplica será de R$2600,00.

Após o segundo mês a quantia aplicada passa de 2600 + 30% de 2600 = 3380. Isto é, ao final do segundo ano a quantia aplica será de R$3380,00.

Após o terceiro mês a quantia aplicada passa de 3380+ 3% de 3380 = 4394. Isto é, ao final do terceiro ano a quantia aplica será de R$4394,00.

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Grupo 2 de atividades

1. Uma imobiliária comprou um terreno por R$10000,00 e o vendeu por R$16000,00. Qual foi o percentual de lucro obtido pela imobiliária?

2. Uma pessoa acha que consegue vender um telefone celular por R$200,00. Por quanto ela deve comprar esse telefone para conseguir um lucro de 30%?

3. O preço de custo para uma determinada empresa para fabricar um tipo de peça é de R$3,80. Ela consegue vender cada peça por R$4,20. Qual é o número mínimo de peças que essa empresa deve fabricar e vender para que seu lucro seja de R$2400,00.

4. Uma loja anuncia uma impressora por R$500,00 e oferece as seguintes opções de pagamento:

I) à vista, com 10% de desconto; ou

II) em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda após um mês acrescida de 5%.

Qual seria o valor de cada parcela para o cliente que optasse pelo plano de pagamento II?

5. A Lei n.º 9.876/99 criou a modalidade de contribuinte individual ao INSS para aposentadoria. Os direitos aos serviços do INSS do trabalhador que se enquadra nessa modalidade são mais restritos. Porém esse trabalhador paga mensalmente 55% de 20% do salário mínimo para aposentar-se com um salário mínimo.

Hoje qual deve ser o valor da contribuição mensal de um trabalhador que opta por essa modalidade de aposentadoria?

Observação: Para maiores detalhes procure informar-se sobre a Lei n.º 9.876/99, que

dispõe sobre a contribuição previdenciária do contribuinte individual.

6. Uma loja anuncia uma geladeira por R$800,00 e oferece as seguintes opções de pagamento:

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I) à vista, com 10% de desconto;

II) em duas parcelas iguais, sendo a primeira paga no ato da compra e a segunda após um mês acrescida de 8%.

a) Qual seriam os valores das parcelas para o cliente que optasse pelo plano de pagamento II?

b) Qual é a taxa de juros cobrada pela loja?

7. A quantia de R$10000,00 está aplicada a uma taxa de juros de 3% ao mês. Suponha que não houveram depósitos e nem retiradas calcule o valor da quantia aplicada ao final do segundo ano.

Observação:

I) A quantia inicialmente aplicada chama-se capital. Na situação 7 o capital inicial é a quantia R$2000,00. E no exercício 7 o capital inicial é a quantia R$10000,00.

II) Os juros calculados como na situação 7, incidindo em cada período sempre sobre o valor imediatamente anterior, chama-se juros compostos.

III) O capital adicionado aos juros calculados no período chama-se montante. Na situação 6 o montante ao final do segundo mês foi de R$3380,00 e na ao final do terceiro mês o montante foi de R$4394,00.

8. Orlando tem R$800,00 aplicados. Essa quantia lhe rende juros de 4% ao mês. Ele deseja comprar um televisor anunciado por R$1000,00 em uma loja que oferece as seguintes opções de pagamento:

I) à vista com 5% de desconto; ou

II) em dois pagamentos de R$500,00 cada um, sendo o primeiro no ato da compra e o segundo no mês seguinte.

Qual é a melhor opção de compra para Orlando?

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Juros simples

Quando os juros incidem sempre em cada período sobre o capital inicial ele chama-se juros simples.

Neste caso os valores em cada período não incidem sobre o valor imediatamente anterior, incidem sempre sobre o capital inicial.

Exemplo 1: Vamos atualizar durante três meses a quantia de R$10000,00 aplicando juros simples de 3% ao mês.

Solução: Ao final do primeiro mês a quantia de 1000 passará para 1000 + 3% de 1000 = 1030.

Ao final do segundo mês a quantia de 1030 passará para 1030 + 3% de 1000 = 1060.

Ao final do terceiro mês a quantia de 1060 passará para 1060 + 3% de 1000 = 1090.

Juros de Mora

Apresenta uma forma de cobrar pelo atraso no pagamento de uma dívida. Para calcular os juros de mora utiliza-se os juros simples aplicados da seguinte forma:

a) Conta-se do primeiro dia de atraso até o dia em que o pagamento foi efetuado. Esse número de dias será utilizado para o cálculo dos juros de mora.

b) Em seguida, faz-se uma proporção em que 30 dias correspondem aos juros de mora declarados, por exemplo, no boleto ou no contrato da dívida, e calcula-se a que porcentagem o número de dias obtido no item a) correspondem de 30.

Observação: Apresentaremos no exemplo 2 uma situação em que se usa os juros de mora. Ressaltamos que os dados no exemplo 2 sejam fictícios.

Exemplo 2: Uma conta no valor de R$100,00, que vencia em 28 de janeiro foi paga no dia 1º do mês seguinte. No boleto constava que os juros de mora eram de 6% ao mês, cobrados pelo atraso no pagamento.

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Solução: Os juros de mora são aplicados da seguinte forma:

a) Cálculo do número de dias em atraso. O primeiro dia em atraso foi 29 de janeiro, já que a conta vencia em 28 de janeiro. A conta foi paga no dia 10 do mês seguinte. Então são 13 dias em atraso.

b) Para calcular a taxa de juros nesse período divide-se 6% por 30, o que dá 0,2% ao dia. Agora basta efetuar 13×0,2% = 2,6% no período de treze dias. Os juros de mora serão iguais a 2,6% de 100, isto é, serão R$2,60.

Observações

1. Em operações financeiras a utilização de juros compostos é mais freqüente.

2. Os juros simples ou compostos quando aplicados em um único período surtem o mesmo efeito. A diferença surge quando se aplica a mais de um período.

Exercício

1. Identifique no exemplo anterior:

a) o capital inicial;

b) a taxa mensal de juros;

c) o montante ao final do primeiro mês;

d) o montante ao final do terceiro mês.

2. I) Aplica-se o capital R$4000,00 a juros compostos de 6% ao mês durante dois meses.

II) Aplica-se o capital R$4000,00 a juros simples de 6% ao mês durante dois meses.

Em qual das aplicações I ou II o montante ao final dos dois meses será maior?

Observação: Neste módulo não justificamos o porquê de os juros compostos serem mais utilizados para correção de quantias de que os juros simples.

Assim o exercício anterior sugere simplesmente que se faça uma comparação entre a aplicação desses dois tipos de juros na situação apresentada.

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3. Uma conta no valor de R$250,00, que vencia em 26 de março foi paga no dia 8 do mês seguinte. No boleto constava que os juros de mora eram de 3% ao mês, cobrados pelo atraso no pagamento. Calcule os juros de mora pelo atraso desse pagamento.

Observação: Aqui vimos algumas definições e ferramentas que são utilizadas no mercado. Elas são utilizadas pelos órgãos financiadores. A utilização dessas ferramentas pelo comprador poderá fazer com que ele tire vantagens nas negociações.

Vale ressaltar que a leitura do contrato de financiamento e uma avaliação dos planos de pagamento são importantes para fazer uma avaliação real de suas condições de pagamento e avaliar se você estará pagando a muito a mais ou não pela compra efetuada.

Bibliografia

1. Orientação Pedagógica referente ao tópico 4, do ensino fundamental.

2. Orientação Pedagógica referente ao tópico 5, do ensino fundamental.

3. Orientação Pedagógica referente ao tópico 6, do ensino fundamental.

4. Augusto Cesar Morgado e outros − Progressões e Matemática

Financeira − SBM – Sociedade Brasileira de Matemática.