EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd...
-
Upload
trinhnguyet -
Category
Documents
-
view
227 -
download
4
Transcript of EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd...
![Page 1: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/1.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Revisão de Conhecimentosde Sistemas Lineares2
![Page 2: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/2.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
2. Revisão de Sistemas Lineares
![Page 3: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/3.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Sistemas Lineares
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 94
2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
![Page 4: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/4.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2.1. Classificação de Sistemas
Algumas distinções (somente o que vai interessar neste curso)
Sistemas Lineares x Não-LinearesSistemas Invariantes no Tempo x Variantes no TempoSistemas Causais x Não-Causais (Antecipativos)
Sistemas considerados neste curso: Lineares , Invariantes no Tempo e Causais !
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 95
![Page 5: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/5.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2.1. Classificação de Sistemas
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 96
![Page 6: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/6.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2.1. Classificação de Sistemas
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 97
![Page 7: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/7.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2.1. Classificação de Sistemas
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 98
![Page 8: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/8.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2.1. Classificação de Sistemas
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 99
![Page 9: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/9.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Sistemas Lineares2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 100
![Page 10: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/10.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2.2. Transformada de Laplace
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 101
Ideia da Transformada de Laplace:Transformar uma equação diferencial ordinária linear no domínio do tempo t do tipo
em uma equação algébrica polinomial no domínio da variável complexa s, dada por
![Page 11: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/11.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Resolução de uma Equação Diferencial Ordinária por Laplace:1. Transformar a equação diferencial ordinária em uma equação algébrica (equação subsidiária).2. Resolver a equação subsidiária mediante manipulações puramente algébricas.
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 102
3. Aplicar a transformada inversa na solução da equação subsidiáriapara obter a solução da equação diferencial original.
2.2. Transformada de Laplace
![Page 12: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/12.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 103
Definição da Transformada:A transformada de Laplace de uma função é definida como:
onde:uma função do tempo tal que para uma variável complexa tal que a transformada de Laplace de
2.2. Transformada de Laplace
![Page 13: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/13.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 104
Exemplo 1:
Exemplo 2:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 14: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/14.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 105
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 15: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/15.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 106
Propriedade 1: Linearidade
Prova:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 16: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/16.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 107
TEOREMA DE EULER:cos sin ⇒ cos
sinExemplo 3:
Exemplo 4:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 17: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/17.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 108
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 18: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/18.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 109
Propriedade 2: Derivada no Tempo
Prova:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 19: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/19.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 110
Propriedade 2: Derivada no Tempo2.2. Transformada de Laplace
![Page 20: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/20.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 111
Exemplo 5:
Exemplo 6:
Exemplo 7:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 21: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/21.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 112
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 22: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/22.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 113
Propriedade 3: Translação na Frequência
Prova:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 23: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/23.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 114
TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA: ⟺ Exemplo 8:
Exemplo 9:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 24: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/24.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 115
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 25: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/25.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 116
Exemplo 10:
Exemplo 11:
Exemplo 12:
TRANSLAÇÃO NA FREQUÊNCIA: ⟺
2.2. Transformada de Laplace
![Page 26: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/26.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 117
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 27: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/27.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 118
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 28: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/28.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 119
Propriedade 4: Translação no Tempo
Prova: ·
2.2. Transformada de Laplace
![Page 29: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/29.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 120
Exemplo 13: Pulso Unitário
Exemplo 14: Impulso Unitário →
→ →
→ →
TRANSLAÇÃO NO TEMPO: ⇕
2.2. Transformada de Laplace
![Page 30: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/30.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 121
Propriedade 5: Derivada na Frequência
Prova:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 31: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/31.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 122
Propriedade 5: Derivada na Frequência2.2. Transformada de Laplace
![Page 32: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/32.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 123
DERIVADA NA FREQUÊNCIA:· Exemplo 15:
Exemplo 16:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 33: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/33.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 124
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 34: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/34.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 125
Transformadas das funções básicas que compõemas respostas naturais dos sistemas dinâmicos lineares:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 35: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/35.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 126
2.2. Transformada de Laplace
![Page 36: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/36.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 127
Resumo das Propriedades da Transformada de LaplaceHomogeneidade: Aditividade:
Derivada no tempo:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 37: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/37.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 128
Resumo das Propriedades da Transformada de LaplaceDerivada na frequência:
Translação na frequência:Translação no tempo:Escala no tempo:Convolução:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 38: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/38.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Alguns pares de Transformada de Laplace:
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 129
2.2. Transformada de Laplace
![Page 39: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/39.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 130
Quando f(t) é multiplicada por e–t, substituir s por s+a :2.2. Transformada de Laplace
![Page 40: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/40.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Quando f(t) é multiplicada por e–t, substituir s por s+a :
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 131
2.2. Transformada de Laplace
![Page 41: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/41.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 132
Exemplo 17:
2.2. Transformada de Laplace
![Page 42: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/42.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 133
Conferindo no MATLAB :2.2. Transformada de Laplace
![Page 43: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/43.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Quando f(t) é multiplicada por t, derivar F(s) e trocar o sinal :
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 134
2.2. Transformada de Laplace
![Page 44: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/44.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 135
2.2. Transformada de Laplace
![Page 45: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/45.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Sistemas Lineares
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 136
2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
![Page 46: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/46.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
A transformada inversa de Laplace é dada por: 1( 0) ( )2
stf t F s e dsj
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 137
Porém, um método bem mais fácil é:1. Expandir F(s) em uma soma de frações parciais2. Obter a transformada de Laplace de cada fração parcial isoladamente
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 47: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/47.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Na resolução por frações parciais podem ocorrer:
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 138
1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 48: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/48.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 139
1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 49: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/49.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 140
Caso 1 – Polos reais distintos2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 50: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/50.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 141
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 51: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/51.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 142
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 52: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/52.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 143
Exemplo 18:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 53: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/53.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 144
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 54: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/54.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 145
Exemplo 19:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 55: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/55.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função:22 1( ) 3 2sF s s s
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 146
Exemplo 20:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 56: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/56.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Solução:22 1( ) 3 2sF s s s
22 1 2 1( ) 3 2 (s 1)( 2)s sF s s s s 1 2
1 2r r
s s
22
2 1( 2) ( 1)(s 2 s
sr s s
2 1 2( 2) 1 3( 1) (( 2) 1)ss
11
2 1( 1) ( 1)(s 2) s
sr s s
2 1 2( 1) 1 1( 2) (( 1) 2)ss
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 147
Exemplo 20:Obtenha a Transformada inversa de Laplace da seguinte função:
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 57: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/57.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Portanto:1 3( ) ( 1) (s 2)F s s
Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace:
2( ) 3t tf t e e 0t para
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 148
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 58: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/58.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 149
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 59: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/59.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Dada a função F(s). Determine f(t): 5 3( ) ( 1)( 2)( 3)sF s s s s
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 150
Exemplo 21:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 60: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/60.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
Dada a função F(s). Determine f(t): 5 3( ) ( 1)( 2)( 3)sF s s s s
Solução:31 25 3( ) ( 1)( 2)( 3) ( 1) ( 2) ( 3)rr rsF s s s s s s s
1
1
5 3( 1) ( 1)( 2)( 3) s
sr s s s s 1
1
5 3( 2)( 3) s
sr s s
5( 1) 3 1(( 1) 2)(( 1) 3)
22
5 3 5( 2) 3 7(s 1)( 3) (( 2) 1)(( 2) 3)s
sr s 2
2
5 3( 2) (s 1)( 2)( 3) s
sr s s s
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 151
Exemplo 21:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 61: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/61.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
33
5 3( 3) (s 1)( 2)( 3) s
sr s s s 3
3
5 3(s 1)( 2) s
sr s
5( 3) 3 6(( 3) 1)(( 3) 2)
1 7 6( ) 1 2 3F s s s s Então:
Utilizando-se as tabelas de transformada inversa de Laplace:
2 3( ) 7 6t t tf t e e e para 0t
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 152
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 62: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/62.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 153
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 63: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/63.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 154
1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 64: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/64.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 155
Para Polos complexos conjugados, temos 2 métodos: por Euler
Frações parciais de primeira ordem distintas para cadapólo complexo
por “arranjo matemático” Frações parciais de segunda ordem para cada par de
Polos complexos conjugados.
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 65: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/65.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 156
Exemplo 22:i) Resolução por Euler:
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 66: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/66.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 157
i) Resolução por Euler (continuação):
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 67: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/67.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 158
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 68: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/68.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 159
i) Resolução por Euler (continuação):
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 69: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/69.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 160
ii) Resolução por Arranjo Matemático:
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 70: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/70.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 161
ii) Resolução por Arranjo Matemático:
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 71: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/71.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 162
Observação:
Logo,
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 72: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/72.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 163
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 73: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/73.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 164
Exemplo 23:i) Resolução por Euler:
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 74: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/74.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 165
i) Resolução por Euler (continuação) :
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 75: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/75.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 166
ii) Resolução por Arranjo Matemático :
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 76: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/76.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 167
ii) Resolução por Arranjo Matemático ( continuação ) :
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 77: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/77.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 168
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 78: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/78.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 169
Exemplo 24:2.2. Transformada de Laplace
![Page 79: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/79.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 170
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 80: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/80.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 171
1 – Polos reais e distintos2 – Polos complexos3 – Polos repetidos
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 81: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/81.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 172
Exemplo 25:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 82: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/82.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 173
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 83: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/83.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 174
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 84: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/84.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 175
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 85: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/85.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 176
Exemplo 26:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 86: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/86.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 177
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 87: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/87.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 178
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 88: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/88.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 179
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 89: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/89.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 180
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 90: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/90.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 181
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 91: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/91.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 182
2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 92: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/92.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 183
Conferindo no MATLAB :2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 93: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/93.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 184
Fórmula Geral para pólo de multiplicidade n:2.3. Transformada Inversa de Laplace
![Page 94: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/94.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Sistemas Lineares
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 185
2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
![Page 95: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/95.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 186
2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace
![Page 96: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/96.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 187
2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace
![Page 97: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/97.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 188
2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace
![Page 98: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/98.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 189
2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace
![Page 99: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/99.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 190
2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace
![Page 100: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/100.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Sistemas Lineares
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 191
2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
![Page 101: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/101.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 192
2.5. Função de Transferência
SistemaDinâmicoLinear
![Page 102: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/102.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 193
2.5. Função de Transferência
função de transferência estritamente própriafunção de transferência própriafunção de transferência imprópria (sistema não-causal)
![Page 103: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/103.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Sistemas Lineares
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 194
2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
![Page 104: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/104.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 195
2.6. Polos e Zeros
Zeros pontos onde é nula
Polos pontos onde ou suas derivadas tendem ao infinito
![Page 105: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/105.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 196
2.6. Polos e Zeros Exemplo 27:
![Page 106: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/106.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Sistemas Lineares
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 197
2.1. Sistemas Lineares Invariantes no Tempo2.2. Transformada de Laplace2.3. Transformada Inversa de Laplace2.4. Resolução de E.D.O.’s Lineares por Laplace2.5. Função de Transferência2.6. Polos e Zeros2.7. Exercícios
![Page 107: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/107.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 198
2.7. Exercícios 1) Determine a transformada de Laplace
a) f)b) g)c) h)d) i)e) j)
![Page 108: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/108.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 199
2.7. Exercícios 2) Determine a transformada inversa de Laplace
a) g)b) h)c) i)d) j)e) k)f) l)
![Page 109: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/109.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 200
2.7. Exercícios
![Page 110: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/110.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 201
2.7. Exercícios 4) Determine a transformada inversa de Laplace
![Page 111: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/111.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 202
2.7. Exercícios 5) Encontre a solução usando a transformada de Laplace
![Page 112: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/112.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 203
2.7. Exercícios 6) Encontre a solução usando a transformada de Laplace
![Page 113: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/113.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 204
2.7. Exercícios 7) Encontre a solução usando a transformada de Laplace
![Page 114: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/114.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 205
2.7. Exercícios 8) Encontre a solução usando a transformada de Laplace
![Page 115: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/115.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 206
2.7. Exercícios 8) … continuação …
![Page 116: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/116.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 207
2.7. Exercícios 8) … continuação …
![Page 117: EEL660 Controle Linear I - del.ufrj.br · ((/ ±&rqwuroh /lqhdu 3uri +hudogr / 6 $ophlgd &odvvlilfdomr gh 6lvwhpdv $ojxpdvglvwlqo}hv vrphqwhr txh ydllqwhuhvvduqhvwhfxuvr 6lvwhpdv/lqhduhv[](https://reader031.fdocumentos.tips/reader031/viewer/2022021722/5c126f4c09d3f2557b8b6613/html5/thumbnails/117.jpg)
EEL660 – Controle Linear 1Prof. Heraldo L. S. Almeida
2. Revisão de Conhecimentos de Sistemas Lineares 208
2.7. Exercícios 8) … continuação …