O conhecimento como característica da humanidade Apostila 2, cap. 4 e 5.
EEL001-Apostila Cap 2.pdf
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EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS ENGENHARIA DA COMPUTAO
CAPTULO 2 CIRCUITOS DE CORRENTE CONTNUA
1 FONTES DE TENSO E FONTES DE CORRENTE
Fontes de Tenso
E
Ri
REAL
(b)
SIMBOLOGIA
(USUAL)
IDEAL
CONVENO PARA FONTE CC
+-
E
(a)
v(t) =E
IDEAL Ri 0
Fig. 1 -
Fontes de Corrente
REAL
i(t) = I
IDEAL
(a)
R i
(b)
I
v(t)
i(t)
t
(c)
(d)
IDEAL Ri 00
Fig. 2
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Corrente i dq Ci(t) Adt S
= = [1]
Coulomb carga agregada 6,24 * 1018 eltrons. 1 eltron carga de 1,6021 x 10-19 [C]
q carga [C]
t tempo [s]
i convencionado como correspondente ao movimento de cargas positivas.
Tenso v
+
-vAB
I
E
vB
vA
Fora Contra Eletromotiz (FCEM)
Receptor
N'o A
N'o B
(b)
+-
vABI
E
vB
vA
Fora Eletromotiz (FEM)Fonte
N'o A
N'o B
(a)
Fig. 3 -
Da Fig. 3, obtm-se que a diferena de potencial entre os ns A e B dada por,
AB A BV V V E [V]= = [2]
Na Fig. 4 a corrente sai pelo maior potencial
de tenso e retorna pelo menor potencial de
tenso.
+-
A
B
vAB = E 1
I I
R
(a) I
50[V]
100[V] + 100 [V]
- 50[V]
+
+-
-
(b)
I
I
Fig. 4
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
2 LEI DE OHM
I
+-E
15[V]
V1
V2
R1K+
-
V12
I
Fig. 5 -
No circuito da Fig. 5 tem-se que,
I.RVV 21 = [3]
A Eq. 3 conhecida como Lei de Ohm.
Da Fig. 5 nota-se que,
21 VV > A corrente flui do maior para o menor potencial.
EVV 21 = [4.1] 21 VV > [4.2]
Da Eq. 3 e da Eq. 4.1,
RE
RV- V I 21 == [5]
Para valores mostrados na Fig. 5,
[mA] 1510 x 1
15 I 3 ==
i(t)
I1
(d)
v(t)
E
(c)
(a)
R
I
VR
+
-
Sentido
Polaridade
V 1
V 2
V12
I[A](b)
V12 +V R
Fig. 6 -
Para o circuito da Fig. 6.a, considerando-se
as formas de ondas da Fig. 6.c e da Fig.
6.d, tem-se que:
Valor Eficaz
Como os sinais so contnuos,
EVV AVRMS == [6]
Valor Mdio
Analogamente,
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
1AVRMS III == [7]
Potncia Entregue pela fonte (tenso e corrente na fonte no mesmo sentido)
I.EPPS == [8]
Potncia consumida pela fonte (tenso e corrente na fonte em sentidos opostos. Este
caso no se aplica ao circuito da Fig. 5.
I.EPrec = [9]
Potncia consumida pela carga
2R I.RP = [10]
Logo, pelo balano de potncia, de acordo
com a Eq. 8 e a Eq. 10,
Rs PP =
Portanto, 2I.RI.E =
2I.RI*)I.(R = 22 I.RI.R = Esta ltima equao comprova o balano de
potncia.
3 OPERAO SRIE LEI DAS TENSES DE KIRCHOFF
Exemplo 1
O somatrio das tenses em uma malha fechada igual a zero. A Eq. 11 sistematiza este enunciado que conhecido
como Lei das Tenses de Kirchoff (KVL Kirchoff Voltage Law)
0 VN
1ii
== [11]
+
+
+
-
-
-
100[V]
50[V]
100[V]
E1
E2
E3
I
I I
+-
-
+
-+
VR2
V R3
V R1
R 1
R 2
R 3
10
10
5
sentido depercorrer a malha
Fi
Fig. 7 -
Aplicando a Eq. 11 no circuito da Fig. 7,
obtm-se que,
0VVVEEE R3R2R1123 =++ [12]
Substituindo valores,
0Ix10 -Ix5 - Ix10-10050 100 =++
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
[A]1025
250 I ==
Deste modo,
[V] 100 10 . 10 V[V] 50 10 . 5 V[V] 100 10 . 10 V
R3
R2
R1
======
Tambm,
[V] 250EEE 321 =++ [V]250VVV R3R2R1 =++
Pelo balano de potncia,
[W] 2500 .1010) 5 (10 P P P
[W] 2500 10 x 100)50(100 P P P2
R3R2R1
E3E2E1
=++=++=++=++
Logo,
= 0i P P [13.1]
ou ainda,
= RECEBIDAENT P P [13.2]
Exemplo 2
+
++
-
-
-
100[V]
50[V]
100[V]
E1
E2
E3
I
I I
+-
-
+
-+
VR2
VR3
VR1
R 1
R 2
R 3
10
10
5
Fig. 8 -
Aplicando-se a Eq. 11 na Fig. 8 vem que,
0VVVEEE R3R2R1123 =+ [14]
Logo,
321
321
RRREE-E I ++
+=
Substituindo-se os valores,
[A]625
15010510100 50 - 100 I ==++
+=
Portanto, em cada resistor, a
correspondente tenso ser dada por,
[V]606.10VR1 == [V]306.5VR2 == [V]066.10VR3 ==
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Logo,
[V]1506030 60VVV R3R2R1 =++=++
Para se comprovar a Eq. 14 da Fig. 8 vem
que,
[V]15010050100EE-E 321 =+=+
O balano de potncia fornecida pelas
fontes E1 e E3 igual a:
[W]12006*100)(100PP E3E1 =+=+
Potncia recebida pela fonte E2:
[W]3006*50PE2 ==
Potncia consumida (dissipada) pelas
cargas:
[W]9006x10)5(10PPP 2R3R2R1 =++=++
Logo,
][300][900][1200PPP ERREf
WWW +=+=
4 DIVISOR DE TENSO
II
+
+
+
-
-
-VR3
V R2
VR1
15[V]
10
10
10
E
Terra/Referncia(Ground Potential)
Fig. 9 -
Da Fig. 9, atravs da Eq. 11, obtm-se que,
321 RRRE I ++=
A correspondente tenso em cada resistor
dada por,
E.RRR
RI.R V321
33R3 ++== [15]
E.RRR
RI.R V321
22R2 ++== [16]
E.RRR
RI.R V321
11R1 ++== [17]
Substituindo valores, a tenso na
resistncia R3, por exemplo, ser igual a,
[V]515.101010
10 VR3 =++=
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
5 MEDIDAS DE TENSES
Exemplo 3
II A B
VR2
+
-
R 240
VAB =V R1
R 110
VA VB
+ -
100V E
Fig. 10 -
Aplicando a Eq.11 na Fig. 10, obtm-se a
corrente I de acordo com,
[A]24010
100 I =+=
A tenso na resistncia R2 dada por,
[V]80 2.40 I.RV 2R2 ===
A tenso do n B para o potencial do terra
obtido como,
[V]80 V VV R2BB1 === [18]
Analogamente para o n A, o potencial em
relao ao terra e dado por,
[V]100 E VV AA1 === [19]
A diferena de potencial entre os ns A e B
igual a,
[V]2008100 VV V-VV BAB1A1AB ==== [20]
A diferena de potencial entre os ns A e B
tambm pode ser calculada por,
[V]20210 I.RV 1AB ===
Exemplo 4
II
VR2
R 25
V R1
R 1
100V E1
A
VA
B
VB
5E2 50V
+ +- -
Fig. 11 -
Aplicando a Eq. 11 na Fig. 11 vem que,
[A]510
50575
50100RREE I
21
21 ===+=
A corrente I tambm poderia ser obtida pela
DDP (Diferena de Potencial) entre os ns
A e B em relao ao potencial do terra.
Deste modo se obtm que,
[A]55550100
RRV - V
I21
BA =+=+=
Os potenciais dos ns A e B em relao ao
potencial do terra so calculados como:
[V]100 E VV 1A1A === e [V]50 E VV 2B1B ===
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB 6 FONTE COM RESISTNCIA INTERNA
ILI
R L
5Ri
120VE VL
25
FONTE CARGA
Referncia Terra(a)
R.I
V L [V]
120
0 V L
Caractersticade Regulao
4IL(b)
Fig. 12 -
Aplicando a Eq. 11 na Fig. 12 vem que,
[A]4255
120RR
E ILi
L =+=+=
A tenso na carga dada por,
[V]1004.52I.R V LLL ===
A tenso na carga obtida tambm do
seguinte modo,
[V]100I.RE V LiL ==
Balano de Potncia
O balano de potncia obtido do seguinte
modo:
[W]4004.52I.R P 22LLL ===
[W]4004x5-4.120I.RI.EP 22LiLS ===
Logo,
SL P P =
7 OPERAO PARALELA LEI DAS CORRENTES DE KIRCHOFF
R 3R 2R 1
I1 I2 I
10 1020E
0[V]
Req
It
(a)
R3R2R 1
I3
I2
I1
I t
E
(b)
Fig. 13 -
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
A segunda lei de Kirchoff, conhecida como
Lei das Correntes (KCL Kirchoff Current Law) sistematizada pela Eq. 21, ou seja,
I entra no n = [21]
I sai no n
A resistncia equivalente obtida da Fig. 13.a
igual a,
] [4Req205
202
201
202
101
201
101
Req1
==++=++=
Logo, da Fig. 13.a a corrente It tambm
pode ser calculada por:
[A]254
100ReqEI t === [22.1]
A corrente em cada ramo calculada como,
[A]1010100
RE I
[A]520
100RE I
[A]1010100
RE I
33
22
11
===
===
===
No n da Fig. 13.b, que o prprio circuito
da Fig. 13.a re-arranjado, aplicando-se a
Eq. 21 obtm-se que:
321t IIII ++= [22.2]
Substituindo-se os valores vem que,
[A]2510510I t =++=
Portanto a Eq. 22.2 comprovada pela
Eq. 21.1.
Exemplo 5
a) Calcular as correntes e tenses indicadas
nos circuitos abaixo;
b) Fazer o balano de potncia.
5.1:
1010[A] 20[V]
I2I1
2
V21
1
Fig. 14 -
Da Fig. 14 vem que,
a) [A]21020 I1 ==
2KCL/N[A]8210 I2 ==
Portanto a corrente possui o sentido do n 2
para o n 1.
Logo,
[V] 20 V21 =
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
b) Potncia recebida
tensodefonte[W]1608x20 =
Potncia dissipada
aresistnci[W]402x10 2 =
Potncia fornecida
correntedefonte[W]20020x10 =
Portanto o total de potncia fornecida
igual ao total da potncia recebida mais o
total da potncia dissipada.
5.2:
10[A]
2
1020[V]
I2I1
V21
1
Fig. 15 -
Da Fig. 15, vem que,
a)
[A]21020I1 ==
2 N / KCL [A]21210I2 =+= Observa-se que a corrente possui o sentido
do n 1 para o n 2.
[V]20V21 =
b) Potncia recebida
correntedefonte[W]20020x10 =
Potncia dissipada
aresistnci[W]042x10 2 =
Potncia fornecida
tensodefonte [W]24012x20 =
Logo o total da potncia fornecida igual ao
total da potncia recebida mais o total da
potncia dissipada.
8 DIVISOR DE CORRENTE
A
B
R 1 R 2
I1
I I
ReqVAB VAB
A
B
I2
(a) (b)
Fig. 16 -
Da Fig. 16.a vem que,
21 III += e
2211AB I .R I . RV ==
A Fig. 16.b mostra o respectivo circuito
equivalente no qual obtm-se que,
I.ReqVAB = e
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
21
21
RRR.R
Req +=
Logo, igualando os potenciais no circuito da
Fig. 16.a obtm-se:
I.R
ReqR
VI
11
AB1 == [23]
I.RReq
RV
I22
AB2 == [24]
Genericamente:
I.RReqI
XX = [25]
I corrente total;
IX corrente no ramo X;
RX resistncia do ramo X.
Exemplo 6
VA I
6[A]
E20V
R 1
R 2
2
1
I1
I2 6[A]
6[A]
Fig. 17 -
Da Eq. 25:
[A]26.3x2
26.2
1)1/(22I.R
ReqI1
1 ==+==
e
[A]46.1/32I.
RReqI
22 ===
Logo,
6426III 21 =+=+=
O potencial do n A em relao ao potencial
do terra (GND Ground) dado por,
[V]242*220
I.REI.REV 2211A=+=
+=+=
Balano de Potncia
- Fonte de corrente
[W]1446.24I.VP AI ===
- Fonte de tenso
[W]1206.20I.EPV ===
- Resistncias:
[W]244 x1 2 x2P 22R
=+=
Logo,
+= RVI PPP
ou seja,
[W]24120144 +=
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
9 CONVERSO ENTRE FONTES
A
CARGA
ISVAB2 RL
2RS2
A
B
IL2
RL2
IL1
RS2
VAB1
B
+
-Es
100[v]
(a)
(b)
Fig. 18 -
Da Fig. 18.a,
LS
S1L RR
EI += [26]
SLS
2L1LAB1 E.RR
RI.RV +== [27]
Da Fig. 18.b,
+== SLSLS
L2LAB2 I.RRR.R
I.RV [28.1]
Portanto,
SLS
SL2 I.RR
RI += [28.2]
Igualando a Eq. 26 com a Eq. 28.2,
LS
SS
LS
S
RRE
I.RR
R+=+
Logo,
S
SS R
EI = [29]
A Eq. 29 define a forma como a fonte de
tenso deve ser transformada em uma fonte
de corrente.
Da Fig. 28.1 obtm-se o novo potencial
entre os ns A e B na Fig. 18.b.
Logo,
SLS
SLAB2 I.RR
R.RV += [30]
Como a carga permaneceu inalterada, os
potenciais de VAB1 definido pela Eq. 27 e
VAB2 definido pela Eq. 30 devem ser iguais
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Tambm as correntes IL1 (Eq. 26) e IL2 (Eq.
28.2) devem ser iguais.
Substituindo-se os valores numricos:
Na Eq. 26:
[A]2522
100IL1 =+=
Na Eq. 27:
[V]50100.22
2VAB1 =+=
Na Eq. 29:
[A]502
100IS ==
Da Eq. 28.2,
[A]2550.22
2IL2 =+=
Da Eq. 28.1,
[V]5025.2R.RV L2LAB2 ===
Logo:
[A]25II[V]50VV
L2L1
AB2AB1
====
Exemplo 7
5[A] 8/3[]
(c)
I1-I2 ReqR1.R2R1+R2
(b)
I1
5[A]
R14
I210[A]
R28
(a)
Fig. 19 -
A Fig. 19 auto-explicativa em relao aos
clculos desenvolvidos para a obteno da
fonte de corrente equivalente.
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 8:
R1I26[A]
R2824
RL6
ILIR2
IE1E1
32[V]
2
1
(a)
Carga
I1+I2
10[A]
Req6[] RL
IL
6[]
2
1
(c)
R1 I2 R2I1
RL
(b)
Fig. 20
Aplicando a Eq. 29 para transformar a fonte
de tenso da Fig. 20.a para a fonte de
corrente da Fig. 20.b vem que,
[A]4832I1 ==
Da Fig. 20.b obtm-se o circuito com a fonte
de corrente equivalente,
[A] 1064II 21 =+=+
A resistncia equivalente na Fig. 20.c
igual a,
] [ 63224.8
RRR.RReq
21
21 ==+=
Pelo balano de potencial entre os ns 1 e 2
na Fig. 20.c vem que,
( )L
L21LL RReq
R .Req.IIR.I ++=
Logo,
[A]566
6 . 6)(4 IL =++=
Portanto, o potencial entre os ns 1 e 2
dado por,
[V]305*6I.RV LL21 ===
Retornando a Fig. 20.a com o potencial de
V21 vem que no ramo R2,
[A]1.252430
RV
I2
21R2 ===
Tambm no ramo de E1 e R1,
21E111 VI.RE =
Logo, substituindo valores,
[A].2508
30- 32IE1 ==
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Aplicando KCL no n 2 da Fig. 20.a, vem
que:
LR22E1 IIII +=+
Substituindo-se os valores obtidos
anteriormente obtm-se que,
[A]6.256.2551.2560.25
=+=+
Exemplo 9
2[A]
R224
(c)
R18I1-I2
I'R2
4[A]
R224I1
(b)
I'R2
R18
I22[A]
IR2
4[A]
R18 R224I1
2
1
(a)
IR2
VR2
+
-
E2
48[V]
2
1
2
1
Fig. 21
Das Figs. 21.a e 21.b, a nova fonte de
corrente I2 calculada baseada na Eq. 29,
[A]22448 I2 ==
Na Fig. 21.c:
[A]224I I 21 ==
3224*8.224*I'R2 =
Logo,
[A]0.5I 'R2 =
Aplicando KCL na Fig. 29.b considerando-
se o valor de 'R2I calculado anteriormente,
[A]2.50.52II I R22R2 =+=+=
Da Fig. 21.a, no ramo 4 de E2, vem que,
[V]122.5*2448I.RE V R22221 ===
A corrente no ramo da resistncia R1 dada
por,
[A]1.58
12RV I
1
21R1 ===
Logo, o sentido real da corrente IR1 o do
n 1 para o n 2.
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Aplicando-se KCL no n 2 da Fig. 21.a vem
que, considerando-se que os sentidos reais
das correntes,
[A]441.52.54III R1R21
=+=+=
Exemplo 10
[A]
R 18 24I1
2
1
(a)
IR2E 2
48[V]R 2
+
-IR1
R 224
(b)
IR2
R 18
ES1+
-VR
E2
48[V]
+
-
32V
Fig. 22 -
Transformando-se o circuito da fonte de
corrente da Fig. 22.a para o circuito da fonte
de tenso da Fig. 22.b vem que,
[V]324.8I.RE 11S1 ===
Substituindo o valor de ES1 na Fig. 22.b, e
aplicando KVL na Fig. 22.b, obtm-se que,
[A]2.53280
2484832
RREEI
21
2S1R2 ==+
+=++=
Retornando ao circuito da Fig. 22.a com o
valor de IR2, obtm-se a DDP (diferena de
potencial) entre os ns 1 e 2 atravs do
ramo de E2 e R2,
[V]125.2*2448 V21 ==
Aplicando-se KCL no n 2 da Fig. 22.a
obtm-se que,
R11R2 II I +=
Logo,
[A]1.542.5 IR1 ==
Isto significa que o sentido real da corrente
IR1 do n 1 para o n 2.
A corrente IR1 poderia tambm ser calculada
na Fig. 22.a por,
[A] 1.5 8
12RV
I1
21R1 ===
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
10 MTODO DAS MALHAS
O mtodo das malhas consiste na obteno
dos valores das correntes e tenses em um
circuito eltrico atravs das correntes de
malhas. Define-se genericamente que o
circuito tenha b ramos e n ns. Como em
cada ramo existe uma tenso e uma
corrente desconhecidas, tem-se um total de
2b incgnitas.
Existe uma relao direta entre a corrente e a respectiva tenso no ramo
dada por,
ib.Rbvb =
Deste modo so equacionadas b incgnitas.
As restantes outras b incgnitas so obtidas ao se estabelecer (b n+1),
equaes independentes baseadas na
da 1a Lei de Kirchoff (1). Para n ns
pode-se aplicar (n-1) vezes a 2a Lei de
Kirchoff (Lei das correntes).
Estas equaes so suficientes para se determinar as b incgnitas.
Seqncia para Aplicar o Mtodo:
P1 Definir as correntes nas diferentes
malhas. Defina estes sentidos de acordo
com as fontes de tenses nos diferentes
ramos.
P2 Indicar as polaridades das tenses em
cada resitor;
P3 Aplicar a 1a Lei de Kirchoff ao longo
das malhas estabelecidas. Calcular as
correntes de malhas.
P4 Aplicar a 2a Lei de Kirchoff para (n 1)
ns, para calcular as correntes dos ramos.
Aplicar o P4 somente aps P3.
Exemplo 11
I1
(a)
E2
+
-
R 14
R 34
+
-
-+ 24[V]
VR24R 2
I'2
0
I' 3+
-
E1I'1
12V
1
1 2
I2
Referncia
(b)
+
-
4 4+
-
-+ 24[V]
4+
-
I' 1
1
16[V]
12[V]+-
4[A]
1[A]4[V]
0
4[V]
20[V]
-
+
5[A]
4[V]
-
+
I1
4[A] 5[A]
I2
Fig. 23 -
Seja o circuito da Fig. 23.a que possui:
n = 2 ns
b = 3 ramos
Logo pode-se calcular o nmero de
equaes de malhas, nas quais deve-se
aplicar KVL:
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
21231nb =+=+
Por sua vez o nmero de equaes com
KCL ser igual a:
1121n ==
A seguir aplica-se P1 e P2 como indicados na Fig. 23.a para duas malhas
escolhidas, obtendo-se a Fig. 23.b.
A seguir aplicar P3 e obter as duas equaes (KVL) de malhas.
Malha 1:
0)I(IRI.RE 213111 = [31]
Malha 2:
0)I(IRI.RE 213222 =+ [32]
21 I,I correntes das malhas.
Aplicar P4 e obter a equao que relaciona
as correntes (KCL) no n 1.
3
2
1 III += [33.1]
321 I,I,I correntes nos ramos.
Deve-se observar da Fig. 23.a que,
22
11
II
II
==
[33.2]
Logo da Eq. 33.1 e da Eq. 33.2,
213 III = [33.3]
A seguir deve-se substituir os valores nas Eqs. 31 e 32 de modo que,
0)I4(II.4 12 211 = 0)I4(II.424 212 =+ [34]
Agrupando-se convenientemente as
equaes de [34] obtm-se que,
12I.4I.8 21 = 24I.8I.4 21 =
A correspondente matriz est indicada na
Eq. 35.
=
2412
II
8448
2
1 [35]
Logo, a corrente de malha I2 dada por,
[A]416649696
8448
824412
I1 =+=
=
E por sua vez a corrente de malha I2
obtida como,
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
[A]5166448192
8448
244128
I2 =+=
=
A seguir deve-se retornar ao circuito original da Fig. 23.a e modific-lo de
acordo com a Fig. 23.b, de modo a se
determinar as b-1 (3-1=2) correntes de
ramos (vide Eq. 33.2):
[A] 4II 11 ==
[A] 5II 22 ==
Ainda no circuito da Fig. 23.b, no n 1, calcular a corrente
'3I (vide Eq. 33.3):
[A] 1I
54III3
213
===
A Fig. 24 ilustra a situao final do circuito da Fig. 23.a com as tenses e
correntes indicadas.
16[V]
I'1=4[A]
+
-+
--+
24[V]
+
-1
12[V]+
0-
R1 R3I'2=5[A]
R2I2I1
4 4 1I'3=-1[A]
20V
-
+
-
+
4V
Fig. 24 -
Aps o clculo das correntes de ramos 3
2
1 IeI,I , calcular a DDP entre os ns 1
e 0.
0110 VVV =
No ramo 1,
[V]44.412VV124.4V
10
01
===+
Retornar ao circuito original aps calcular as
correntes dos ramos e obter o balano de
potncia:
[W]168120485*244x12Ptotforn =+=+=
[W]168541*44x4P 222totreceb =++= x
Exemplo 12
+
-+
-
1
0
R 3
R 2
R 11[ ] VR1
E 1
3[ ]VR3+
-
V R2+ -
2[ ]
I' 6
I' 1
I' 2
I' 3
I' 5
2 3
1 2
i1-i 3
I1 I2
R 55[ ]
R 5
R 44[ ]
VR4+ -
I' 4
i2-i 3
56[V]i1-i 2
R 6 10[ ]+ -
VR6
I33
Fig. 25 -
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Da Fig. 24,
n 4 ns b 6 ramos
Nmero Eq. KVL 6 4 + 1 = 3 (3 equaes e 3 incgnitas, i1, i2, i3).
Nmero Eq. KCL 41 = 3 (ns 1, 2, 3)
Aplicar P1 e P2 (vide Fig. 25).
Obter as equaes (KVL) de malha (P3).
Malha 1
0)I(IR)I(IRI.RE 213312111 = [36.1]
Malha 2
0)(IR)I(IR - )II(R 25324213 = [37.1]
Malha 3
)I-(IRI. R - )II(R 32436312 + [38.1]
Reagrupando-se:
132231321 EI.RI.RI.)RR(R =++ [36.2]
0I.R)RR(RII.R 34543213 =+++ [37.2]
0)RR(RI-R.II.R 64234212 =++ [38.2]
Substituindo-se valores obtm-se que,
1321 E2I3I6I = [36.3] 0I4I123I 321 =+ [37.3] 0I16I42I 321 = [38.3]
A correspondente matriz ser dada por,
=
00E
III
16424123236 1
3
2
1
[39]
O determinante igual a,
( )816721681056
2412)(2()2.416.3)(3)(1()4.416.12616424123236
==++=
=
=
A seguir calculam-se as correntes de
malhas,
[A]12.0956.816176
81616)(12.16E
1640412023E
I 1
1
1
==
==
=
[A]3.8456.81656
8168)-(48E-
16024032E6
I 1
1
2 ===
=
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
[A]2.4781686.56
81624)(12E
0420123E36
I 1
1
3 ==+=
=
Retorna-se ao circuito original e indicam-se os valores das correntes de ramos
que so iguais as respectivas correntes
de malhas.
[A]12.09II 11 ==
[A]2.47II 36 ==
[A].843II 25 ==
Aplicar a 2a Lei de Kirchoff (KCL nos ns 1, 2 e 3)
N 1:
[A] 62.947.209.12I III 26
2
1 ==+=
N 2:
[A] 05.837.162.9I III 34
3
2 ==+=
N 3:
[A] 37.143.289.3I III 45
6
4 ===+
Conferindo pelas correntes das malhas:
[A] 62.947.209.12III 312 ===
[A] 37.147.284.3III 324 ===
[A] 25.884.309.12III 213 ===
Adotando o potencial do n 0 como referncia (0LV), calcula-se o potencial
de cada n atravs das tenses nos
respectivos ramos.
Ramo 1:
[V]43.9112.09x156V1 ==
Ramo 3:
[V]75.248.25x3V2 ==
Para os ns 1 e 2 no Ramo 2,
[V]43.9919.2424.75 9.62 x 2VV 21 =+=+= O que confere com o valor calculado
anteriormente.
Ramo 5:
[V]2.1984.3x5V3 ==
Para os ns 1 e 3 no Ramo 6,
[V]43.902.47x1019.2 I.RVV '6631 =+=+= Tambm este valor calculado confere com o
valor de V1 calculado inicialmente.
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 13
2[] 21
0
24[V] 12[V]48[V]
2I2
2[] 4[]8[]
4[]
V20V10
I'1 I'2
I'3
I'4
10[A]
(a)
+
+ +
+
-
- -
-
21
0
24[V] 12[V] 80[V] 48[V]
2.I1 4(I1-I2) 8(I2+I3) 4.I3
I1 I2I3
2I2
2[]
2[]
4[] 8[] 4[]
V20V10
(b)
Fig. 26 -
A Fig. 26.a ilustra o circuito original que
possui uma fonte de corrente no ramo entre
os ns 2 e 0. Utilizando-se a tcnica de
converso de fonte de corrente para fonte
de tenso obtm-se o novo ramo como
mostrado na Fig. 26.b.
As equaes para a obteno das correntes
e tenses, segundo a sistemtica j
apresentada, sero obtidos do novo circuito
da Fig. 26.b.
Nmero de equaes de malhas KVL31351nb =+=+
Nmero de equaes de ns KCL213 =
Obteno das equaes de malhas
Malha 1 012)I(I4I.224 211 = [40]
Malha 2 0)I(I8.I2)I(I41280 32221 =+++ [41]
Malha 3 0)I(I8I.44880 323 =+ [42]
Operando algebricamente:
0I4I6-12 21 =+ 0)8(I8)-2-(-4II492 321 =+++
0I12-I8-32 32 =
Logo,
12I 0I4I6 321 =+ 92I8-I14I4 321 = [43]
32 I12I8I0 321 =++
Portanto,
4321280
8144046
=
=
As correspondentes correntes de malhas
sero dadas por,
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
[A]10.744324640
43212832
814920412
I1 ==
=
[A]13.11432
5564432
1232089240126
I2 ==
=
[A]07.6432
2624432
3280921441246
I3 ==
=
Como a corrente de malha I3 resultou
negativa, o sentido real oposto ao adotado
originalmente na Fig. 26.b.
A seguir com base no circuito original da
Fig. 26.a deve-se obter o circuito da Fig. 27,
calculando-se as respectivas correntes de
ramos de acordo com a sequncia abaixo.
21
0
24[V] 12[V] 48[V]
2[ ]
2[ ] 4[ ]8[ ]
4[ ]
I' 1 I' 2
I' 3
I' 4
10[A]
I' 12I'' 4
+
-
+
- +
-
Fig. 27 -
Correntes nos ramos independentes:
[A] 074.6II
[A] 10.74II
[A] 13.11II
33
11
212
======
Aplicando KCL nos respectivos ns,
N 1: [A]37.210.74- 13.11III 112
2 ===
N 2: [A]7.0313.116.074III 12 '3
4 =+=+=
No ramo entre os ns 2 e 0,
[A]2.977.0310I"4 ==
Atravs do ramo da fonte de 24 [V] pode-se
calcular o potencial de V1. Logo,
[V]2.5210.74*224V10 ==
Analogamente pelo ramo da fonte de 12 [V],
[V]2.522.37*412V10 ==
Atravs do ramo da fonte de 48 [V] calcula-
se o potencial do n 2,
[V]23.706.074*448V20 =+=
A tenso entre os ns 1 e 2 dada por,
23,70)(2.52VVV 201012 == [V]26,22V12 =
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Exemplo 14 2o Mtodo de Clculo para o
circuito da fig. 34.a.
malhas de correntesI,I,I 321 21
0
24[V]12[V]
48[V]
2[]
2[] 4[]8[]
4[]
I4
10[A]
I'4
+
- +
- +
-
I1
I2+ -
I3
+
-
(a)
I2 I3
I4
8[]10[A]
I4I2 I3
I'2+I'3-10=I'
(b)
2[] 2
I''4
Fig. 28 (a) e (b)
No n 2 por KCL, '432 I10II +=+ [44]
324 II10I ++= [45]
Malha 1 por KVL,
012)I(I4I2 - 24 211 = [46]
Malha 2 por KVL,
0)II8(-10-I2.)II4( 12 32221 =+++ [47]
Malha 3 por KVL,
0I4.)II(-108 48 332 =++++ [48]
Com base nas Eqs. 46, 47 e 48 vem que,
0I4I6- 12 21 =+ 0.(-8)I8)-2-.(-4I.(4)I80 12 321 =+++
0I.128.I 80-48 32 =++
Portanto, reagrupando convenientemente:
120.II4I6 321 =+ 928.I-14.I-I4. 321 = [49]
32 12.I8.I0.I 321 =+=+
Logo a Eq. 49 idntica a Eq. 43.
Equao Adicional
2NI10I "44 +=
Deixa-se como exerccio resolver este
exerccio de modo que os valores finais, de
correntes e tenses, sejam as mesmas do
Exerccio 13.
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
11 MTODO DOS NS
Define este mtodo n-1 equaes para
aplicao da 2a Lei de Kirchoff (KCL), de
modo a se calcular os potenciais dos (n-1)
ns. Adota-se sempre um dos ns como
tendo o potencial do terra (Ground) que
admitido igual a 0 [V].
Exemplo 15:
1 2 3
0
I1
IR1 IR2 IR3
IR4 IR5
4[ ] 4[ ] 4[ ]R 1 R 2 R 310[A] 20[A]
R 4 R 5
2 2
I2
Fig. 29 -
n = 4 ns
4 - 1 = 3 equaes para a 2a Lei de Kirchoff.
No aplicar equao no n do ground.
Logo nos respectivos ns vem que,
N 1
14
21
1
1R4R11 IR
VVRVIII =++= [50]
N 2
2
2
5
23
4
21R2R5R4 R
VR
VVR
VVIII =+=+ [51]
N 3
25
23
3
32R5R3 IR
VVRV
III =+=+ [52]
As equaes 50, 51 e 52 representam trs
equaes a trs incgnitas V1, V2, V3.
Operando nas Equaes 50, 51 e 52, vem
que:
1211 4I2V-2VV =+ 22321 V2V2V2V2V =+
2233 4I2V-2VV =+
Reagrupando de modo que em cada
equao apaream as incgnitas V1, V2 e
V3, vem que:
40V02V3V 321 =+ 02V5V2V 321 =+ 803VV20V 321 =+
A correspondente matriz definida pela
Eq. 53,
=
08040
VVV
320252023
3
2
1
[53]
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
[V]36.19
21160)1)(2)((4)15(40
32025202332802500240
V1
=
=++=
=
21)06)(1)(2()415(3 =++=
[V]34,2821
40(6)-160)(321
3800 2020403
V2
==
=
=
[V]52,4921
50(240)-80)160(2-21
8020 0520423
V3
==
+=
=
Retornando ao circuito principal, calcula-se
as correntes dos ramos de acordo com:
N 1
[A]9.054
39.19RV
I1
1R1 ===
Ns 1 e 2
[A]0.955 2
34.28-36.19R
VVI4
21R4 ===
Para conferir estes resultados basta apenas
aplicar KCL no n 1, ou seja,
(cqd)I[A]100.9559.05II 1R4R1 =+=+
N 3
[A]12.384
49.52RV
I3
3R3 ===
N 2 e 3
[A]7.622
34.28-49.52R
VVI
5
23R5 ===
Aplicando KCL no n 3,
(cqd)IA][2062.738.12II 2R5R3 =+=+
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
N 2
[A]8.574
34.28RV
I2
2R2 ===
Aplicando KCL no n 2,
[A]8.577.620,955III R2R5R4 =+==+
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
ANEXO 1
Determinante
=
333231
232221
131211
aaa
aaaaaa
)..()..()..(
)..()1(
)..()1(
)..()1(
2231322113
33213123123223332211
2231322131
13
3123332121
12
3223332211
11
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaa
+++=
=++++=
+
+
+
tedeterminan.Ca.Ca.CacofatoresA.1)(C
131312121111
ijji
ij
++== +
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
ANEXO 2
Resistncia
Simbologia / Construo
S
Simbologia R
Fig. II.1 -
S.R A= [1]
Onde:
R resistncia [] resistividade [.m] A comprimento [m] S rea reta [m2]
R1G = [S Siemens] [2]
Onde:
G condutncia
Materiais
Cobre 36 10*3,9310*1.723 =
Alumnio 36 10*3,9310*825.2 =
Nquel 610*81123.7 =
Ferro 336 10*5,510*3,9310*12.299 =
Carbono 610*3.500 =
Efeito da temperatura
T).(1S
R += A [3]
Onde:
coeficiente de variao da temperatura [/oC]
25(oC) C)25(TT o0 = T0 temperatura de operao
-
EEL-001 CIRCUITOS ELTRICOS 2009 UNIFEI,VFS, Rev. BDB
Resistores Variveis
Ro
RbR
Fig. II.2 -
Potncia
2rmsI*RP = [4]
ba R RR += [5]
Cdigo de cores
1/8 [W] a 2[W]F1 F2 F3 F5F4
Resistor deCarbono
Fig. II.3 -
PLPGERADORSINCRONO
f
PCH'S
Pmec
n1 n2
Cargas
Fig. II.4 -
Estufa T L [oC]
t
Histerese
TLM
TLM [oC]
Fig. II.5 -