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EEA-02: Análise de Circuitos ElétricosAula 14

1o Ten Eng Nicholas YUKIO Menezes Sugimoto

Instituto Tecnológico de Aeronáutica

Tópicos desta aula

Quadripolos:DefiniçãoMatriz ImpedânciaMatriz AdmitânciaMatriz Híbrida HMatriz Híbrida GMatriz Transmissão TMatriz Transmissão InversaSimétricosRecíprocosObservaçõesQuadripolos Não LinearesAplicações

1o Ten YUKIO (ITA) EEA-02: Análise de Circuitos Elétricos 2 / 34

Definição

Um bipolo contém dois polos, entre os quais existe uma tensão V e pelosquais passa uma corrente I e é completamente caracterizado por algumparâmetro que relaciona a tensão com a corrente. No caso de um bipololinear, essa relação é dada por uma impedância ou admitância.

Figura: Símbolo utilizado para um bipolo.


Definição

O quadripolo, por sua vez, contém quatro polos e representa um estruturade dois acessos. Costuma-se chamar um dos acessos de entrada e o outrode saída. A ideia de quadripolo visa a estender a de bipolo. Enquanto obipolo tem uma tensão e uma corrente no total, o quadripolo tem umatensão e uma corrente associada a cada um dos dois acessos.

Figura: Símbolo utilizado para um quadripolo.


Definição

Por meio de quadripolos, podemos representar muitos dispositivos práticose equipamentos. Um amplificador de áudio tem uma entrada, onde se podeligar um microfone ou outra fonte de sinal sonoro, e uma saída, onde sepode ligar um auto-falante. Em um transformador o primário atua comoentrada, sendo ligado à rede elétrica, e o secundário atua como saída,sendo conectado a um equipamento elétrico. Esses dois equipamentosexemplificam a aplicação do conceito de quadripolos.


Matriz Impedância

Uma forma de representar um quadripolo é através da matriz impedância(Z ). Neste caso, as tensões V1 e V2 são dadas em função das correntes I1e I2. [

V1V2

]=

[z11 z12z21 z22

] [I1I2

](1)

Podemos perceber que:z11 =

[V1I1

]I2=0

(Impedância de entrada com saída em aberto)

z12 =[V1I2

]I1=0

(Transimpedância da porta 1 para 2 com entrada em

aberto)z21 =

[V2I1

]I2=0

(Transimpedância da porta 2 para 1 com saída em aberto)

z22 =[V2I2

]I1=0

(Impedância de saída com entrada em aberto)


Matriz Admitância

Outra representação é dada pela matriz admitância (Y ). Neste caso, ascorrentes I1 e I2 são dadas em função das tensões V1 e V2.[

I1I2

]=

[y11 y12y21 y22

] [V1V2

](2)

Podemos perceber que:y11 =

[I1V1

]V2=0

(Admitância de entrada com saída em curto)

y12 =[

I1V2

]V1=0

(Transadmitância da porta 1 para 2 com entrada em curto)

y21 =[

I2V1

]V2=0

(Transadmitância da porta 2 para 1 com saída em curto)

y22 =[

I2V2

]V1=0

(Admitância de saída com entrada em curto)


Relação entre matrizes impedância e admitância

Como a matriz impedância Z e a matriz admitância Y são tais que, sendoV = [V1 V2]T e I = [I1 I2]T

V = ZI

e

I = YV

temos

Y = Z−1 (3)

Essa última relação só é válida se a matriz Z for inversível.Há quadripolos que só podem ser representados por uma das duas matrizes(Z e Y ), que é o caso da matriz em questão não ser inversível.


Exemplo 1

Determinar as matrizes impedância (Z ) e admitância (Y ) para oquadripolo abaixo, em que R1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω.

Para representação mais clara, vamos colocar fontes de tensão nos doisacessos do quadripolo (entrada e saída):


Exemplo 1

Podemos escrever as equações:

V1 = R1Ia (4)V1 = R2Ib + V2 (5)

I1 = Ia + Ib (6)V2 = R1(Ib + I2) (7)


Exemplo 1

Usando essas equações e substituindo os valores de R1 e R2, obtemos

Z =

34

Ω14

Ω

14

Ω34

Ω

(8)

Podemos proceder de forma análoga para a determinação da matrizadmitância Y . Alternativamente, podemos fazer

Y = Z−1 =

32S −1

2S

−12S

32S

(9)


Exemplo 1

Alternativamente, os parâmetros Y (ou Z ) podem ser determinados aocolocar um dos acessos em curto ou em aberto.

Lembrando que [I1I2

]=

[y11 y12y21 y22

] [V1V2

]percebemos que para calcular os elementos da matriz Y , podemos fazer:


Exemplo 1

Parâmetros y11 e y21: saída em curtoParâmetros y12 e y22: entrada em curto

Saída em curto (V2 = 0):

Assim, temos y11 = I1V1

= 32 S (admitância equivalente vista na entrada,

excluindo o resistor indicado) e y21 = I2V1

= −12 S (através de relação entre

e I1 e I2 e com y11).


Exemplo 1

Entrada em curto (V1 = 0):

Assim, temos y22 = I2V2

= 32 S (admitância equivalente vista na saída,

excluindo o resistor indicado) e y12 = I1V2

= −12 S (através de relação entre

e I1 e I2 e com y22).


Exemplo 1

Desta forma, obtemos novamente,

Y =

32S −1

2S

−12S

32S

Os parâmetros Z podem ser obtidos de forma análoga, lidandoseparadamente com os casos saída em aberto (I2 = 0) e entrada em aberto(I1 = 0).


Matriz Híbrida H

A matriz H permite escrever a tensão de entrada V1 e a corrente de saídaI2 em função da tensão de saída V2 e da corrente de entrada I1.O fato de os parâmetros h não representarem todos as mesmas grandezas(adimensional, impedância e admitância) justifica o nome híbrida para amatriz H. [

V1I2

]=

[h11 h12h21 h22

] [I1V2

](10)

Podemos perceber que:h11 =

[V1I1

]V2=0

(Impedância de entrada com saída em curto)

h12 =[V1V2

]I1=0

(Ganho inverso de tensão com entrada em aberto)

h21 =[I2I1

]V2=0

(Ganho direto de corrente com saída em curto)

h22 =[

I2V2

]I1=0

(Admitância de saída com entrada em aberto)


Matriz Híbrida G

A matriz G permite escrever a tensão de saída V2 e a corrente de entradaI1 em função da tensão de entrada V1 e da corrente de saída I2.[

I1V2

]=

[g11 g12g21 g22

] [V1I2

](11)

Podemos perceber que:g11 =

[I1V1

]I2=0

(Admitância de entrada com saída em aberto)

g12 =[I1I2

]V1=0

(Ganho inverso de corrente com entrada em curto)

g21 =[V2V1

]I2=0

(Ganho direto de tensão com saída em aberto)

g22 =[V2I2

]V1=0

(Impedância de saída com entrada em curto)


Exemplo 2

Determinar os parâmetros híbridos h e g para o quadripolo, em queR1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω:

Lembrando que [V1I2

]=

[h11 h12h21 h22

] [I1V2

]Façamos:


Exemplo 2


Assim, temos h11 = V1I1

= 23 Ω (impedância equivalente vista na entrada,

excluindo o resistor indicado) e h21 = I2I1

= −13 .


Exemplo 2

Entrada em aberto (I1 = 0):

Assim, temos h12 = V1V2

= 13 e I2

V2= 4

3 S (admitância equivalente vista nasaída).


Exemplo 2

Desta forma, obtemos

H =

23

Ω13

−13

43S

Os parâmetros da matriz G podem ser obtidos de forma análoga ou atravésde:

G = H−1 =

43S −1

3

13

23

Ω


Matriz Transmissão T

Os parâmetros transmissão (ou ABCD) relacionam as variáveis da entrada(V1 e I1) com as da saída (V2 e I2).[

V1I1

]=

[A BC D

] [V2−I2

](12)

Podemos perceber que:A =

[V1V2

]I2=0

(Ganho inverso de tensão com saída em aberto)

B =[−V1

I2

]V2=0

(Transimpedância negativa da porta 1 para 2 com saída

em curto)C =

[I1V2

]I2=0

(Transadmitância negativa da porta 1 para 2 com saída em

aberto)D =

[− I1

I2

]V2=0

(Ganho inverso negativo de corrente com saída em curto)


Matriz Transmissão Inversa

Os parâmetros da matriz de transmissão inversa relacionam as variáveis dasaída (V2 e I2) com as da entrada (V1 e I1).[

V2I2

]=

[A′ B ′

C ′ D ′

] [V1−I1

](13)

Podemos perceber que:A′ =

[V2V1

]I1=0

(Ganho de tensão com entrada em aberto)

B ′ =[−V2

I1

]V1=0

(Transimpedância da porta 2 para 1 com entrada em

curto)C ′ =

[I2V1

]I1=0

(Transadmitância negativa da porta 2 para 1 com entrada

em aberto)D ′ =

[− I2

I1

]V1=0

(Ganho negativo de corrente com entrada em curto)


Exemplo 3

Determinar os parâmetros de transmissão para o quadripolo, em queR1 = 1 Ω e R2 = 2 Ω:

Lembrando que [V1I1

]=

[A BC D

] [V2−I2

]Façamos:


Exemplo 3

Saída em aberto (I2 = 0):

Assim, temos A = V1V2

= 3 e C = I1V2

= 4 S .


Exemplo 3


Assim, temos B = −V1I2

= 2 Ω e D = − I1I2

= 3.


Exemplo 3

Desta forma, obtemos

T =

[3 24 3

]Os parâmetros da matriz de transmissão inversa podem ser obtidos deforma análoga.Observe que, com a definição apresentada, a matriz de transmissão inversanão é a inversa da matriz de transmissão.


Quadripolos simétricos

Considere o seguinte quadripolo e suas equações da matriz impedância:

[V1V2

]=

[z11 z12z21 z22

] [I1I2

]Quando z22 = z11, o quadripolo é dito simétrico. Isto significa que oquadripolo pode ser dividido em duas partes iguais.


Quadripolos recíprocos

Considere o seguinte quadripolo e suas equações da matriz impedância:

[V1V2

]=

[z11 z12z21 z22

] [I1I2

]Quando o quadripolo é linear e não tem fontes vinculadas, z12 = z21 e ele édito recíproco. Isto significa que colocando uma fonte de tensão ideal emuma das portas de acesso e medindo a corrente na outra com umamperímetro ideal, a medida é a mesma que no caso de os dois acessosserem trocados.


Observações

Um quadripolo pode ter representação através de uma das matrizesapresentadas e não ter representação em outras.Por exemplo, um transformador ideal pode ser representado por

comV1 =

1nV2

eI1 = −nI2


Observações

Como não existem equações relacionando os fasores das tensões com os dacorrente, não existem matrizes impedância (Z ) nem admitância (Y ). Noentanto, o transformador ideal dispõe de matrizes híbridas H e G e dematriz de transmissão:[

V1I2

]=

[0 1

n−n 0

] [I1V2

]⇒ H =

[0 1

n−n 0

]e [

I1V2

]=

[0 − 1

nn 0

] [V1I2

]⇒ G =

[0 − 1

nn 0

]e [

V1I1

]=

[A BC D

] [V2−I2

]⇒ T =

[ 1n 00 n

]


Quadripolos Não Lineares - Observação

Toda a teoria apresentada até então foi voltada para os quadripoloslineares, em que é possível escrever duas das variáveis como combinaçãolinear das outras duas.Na formulação apresentada, as variáveis V1, V2, I1 e I2 podem representartanto tensões e correntes no domínio do tempo (quadripolos resistivos),quanto fasores ou transformadas de Fourier de tensões ou correntes(quadripolos com resistores e elementos reativos).No entanto, no caso de, por exemplo, as tensões V1 e V2 serem funçõesnão lineares das correntes I1 e I2, diz-se que o quadripolo é não linear, comtensões dadas por

V1 = f1(I1, I2)

eV2 = f2(I1, I2)

sendo f1 e f2 funções não lineares das correntes I1 e I2.


Aplicações

A representação de um circuito linear de dois acessos nas formasapresentadas é útil porque permite:

Condensar toda a estrutura do circuito em um modelo de quatroparâmetros;Servir de modelo de pequenos sinais para circuitos não lineares;Facilitar a análise de quadripolos maiores compostos por associaçõesde quadripolos mais simples;Prover mais informação sobre a resposta de um circuito, emcomparação com a situação em que se dispõe apenas de uma funçãode transferência;Facilitar a síntese de um circuito um circuito que implemente umaresposta pré-determinada.


Bibliografia

Burian, Y. & Lyra, A.C.C., Circuitos elétricos, Prentice-Hall Brasil,2006;Alexander, C., M. Sadiku, and M. Sadiku. "Fundamentals of ElectricCircuits, 2000."(Capítulo 19).


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