EE-240/2009 Modelamento. EE-240/2009 Modelagem Caixa Transparente Caixa Opaca Leis Físicas Dados...
60
EE-240/2009 EE-240/2009 Modelamento
Transcript of EE-240/2009 Modelamento. EE-240/2009 Modelagem Caixa Transparente Caixa Opaca Leis Físicas Dados...
EE-240/2009
EE-240/2009Modelamento
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas Dados Experimentais
Identificação
EE-240/2009
Caixa Transparente(Branca)
EE-240/2009
C
R
C
C
pl
PQ
L
S
p
Rc
QA
aw
Pao
PA
Ppl
C
R
C
C
pl
PQ
LS
pRc
QA
QS
awPao PA
Ppl
EE-240/2009
AAeq
SawS
QPdt
dC
QPdt
dC
Aawp
A
Aawp
awaoC
AawaoC
S
PPR
1Q
PPR
1PP
R
1QPP
R
1Q
Aawp
Aeq
aoC
AawpC
awawS
PPR
1P
dt
dC
PR
1PP
R
1
R
PP
dt
dC
peq
A
peq
awA
aoCSpS
Aaw
pCS
Cpaw
RC
P
RC
PP
dt
d
PRC
1
RC
PP
RRC
RRP
dt
d
A22aw21A
ao1A12aw11aw
PaPaP
PbPaPaP
BuAxx
Ceq
C
R
C
C
pl
PQ
LS
pRc
QA
QS
awPao PA
Ppl
EE-240/2009
BuAxx
x1 = Airway Pressurex2 = Alveolar Pressureu = Oral Apperture Pressure
Se a variável de interesse éa ventilação alveolar QA:
Aawp
A PPR
1Q
y = Cx
EE-240/2009
Qs
Pao Q
QA
Paw
du/dt
dPaw/dt
Volume vs time
Ventilator
respm2.mat
To File
Sum3
Sum2
Sum1
Sum
0.5
Rp
Q vs time
Pao vs time
Mux
Mux
Memory
1/s
Integrator1
1/s
Integrator
0.005
Cs
1
1/Rc
1/0.2
1/Cw
1/0.2
1/CL
EE-240/2009
Caixa Opaca(Preta)
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas ParamétricaNão-Paramétrica
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas ParamétricaNão-Paramétrica
EE-240/2009
Planta V
EE-240/2009
Planta
-20dB/dec
-20dB/dec
100s10s
1000)s(G
EE-240/2009
Planta V H
EE-240/2009
hk
uk yk
k
0iiikk uhy
k
0iuuik
k
0iijik
k
0iiikj
kjuy
)i,j(Rh
]uu[Eh
uhuE
]yu[E)k,j(R
ijuu )i,j(R
k
0ijkijikuy hh)k,j(R
EE-240/2009
hk
uk yk
*
E (.)
hi
iq
EE-240/2009
0 5 10 15 20 25 30-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350Resposta Impulso
k
h(k) 786.0z646.1z
0674.0z073.0)z(G 2
4.0
2
4s2.1s
4)s(G
n
2
EE-240/2009
x2
x1
x3
x4
x5
x6
x7
y
y = f (x1,...,x7,W)
EE-240/2009
y(k)
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),W)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
EE-240/2009
y(k)
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),W)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
RNA
W
EE-240/2009
y(k)
y(k) = f (u(k),u(k-1),u(k-2),u(k-3),y(k-1),y(k-2),y(k-3),,Regras)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
Regras
EE-240/2009
y(k)
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
z-1
u(k)
EE-240/2009
Modelagem
CaixaTransparente
CaixaOpaca
Leis Físicas ParamétricaNão-Paramétrica
EE-240/2009
Identificação Paramétrica
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
kkk wCxfx ,1
kkk vGxHy
kw
EE-240/2009
Estimação Pontual
Dados: qy Rp ,,
Taentecorrespondy
Obter: um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T
1. Estimador:
1,yp 2,yp
y
Exemplo:
a
ayse
ayseyg
2
1)(
EE-240/2009
LSE
2. Estimador Não-Polarizado: dpgygE yR,)(
Exemplo: Seja ),0(~ INe
eAy
mínimosejaAyquetalyg2ˆ)(ˆ Obter
yAAA
yAAA
AAAyyyd
d
AyAyd
d
Ayd
d
TT
TT
TTTT
T
1
ˆ
2
ˆ
022
02
0
0
EE-240/2009
eAAAEAAAAE
eAAAAAAAE
eAAAAE
yAAAEygE
poispolarizadonãoéyAAA
TTTT
TTTT
TT
TT
TT
11
11
1
1
1
)()(
)()(
)()(
)()(
,ˆ
EE-240/2009
3. Teorema de Gauss-Markov:
LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados
covˆcov,EquetalBy
EE-240/2009
Matriz deInformação
de Fisher
4. Limitante Inferior de Cramér-Rao: 1)(cov Myg
onde
),(log),(log ypypEm y
jy
iij
5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se 1)(cov Myg
6. Teorema: eficienteéyAAAyg TT 1ˆ
7. Propriedades do LSE:
eficienteéyAAAyg TT 1ˆ e não polarizado
EE-240/2009
Y = A + E
8. Identificação de Modelos ARMAX:
kmkmknknkk euuyyy 1111
kmkmknknkk euuyyy 1111
N
n
n
n
m
n
mNNnNN
mnnn
mnnn
mnnn
N
n
n
n
e
e
e
e
uuyy
uuyy
uuyy
uuyy
y
y
y
y
2
1
1
1
11
2121
11
101
2
1
yAAA TT1
ˆ
EE-240/2009
9. Lema de Inversão de Matrizes:
1111111 AbcAbAcAbcA TTT
10. Estimação Recursiva:
1111
N
NTN
N
N
N
e
E
a
A
y
YmedidasN
11
1
111
ˆN
NT
TN
NTN
NT
TN
NN y
Y
a
A
a
A
a
A
11
1
111
ˆN
NN
TNT
N
NN
TNN y
YaA
a
AaA
111
111ˆ
NNNTN
TNNN
TNN yaYAaaAA
NTNN
TNNNNN YAAAondeAYmedidasN 1)(ˆˆ,,
EE-240/2009
1 NTNN AAP
T
N
NN a
AA
11
111
1
11
1111
T
NNNTNT
N
NT
TN
NN
TNN aaAA
a
A
a
AAAP
1111111 AbcAbAcAbcA TTT
1111
111
TNNN
TNNN
TNN aaPaaAAP
NTNNNNN
TNN PaaPaPaP 11
1111
111
11
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNN PaKIP 111
EE-240/2009
111
111ˆ
NNNTN
TNNN
TNN yaYAaaAA
1111ˆ
NNNTNNN yaYAP
NTNNNNN
TNNN PaaPaPaPP 11
1111 1
1111
11111
111
111
1
1ˆ
NNNTNNNNN
TNNNN
NTNN
TNNNNN
TNN
TNNN
yaPaaPaPayaP
YAPaaPaPaYAP
NTNNN YAP̂ 1
1111
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNNNN ayK ˆˆˆ1111
EE-240/2009
NTNNNNN ayK ˆˆˆ1111
111
11
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNN PaKIP 111
mNNnNNTN uuyya 111
NmNmNnNnNN euuyyy 1111
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
ke
Tmn 11
EE-240/200913 set 2006
kkk
kkk1k
vx100y
w
1
1
1
u
0
0
1
x
5.110
74.001
12.000
x
Exemplo:
k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y
EE-240/2009
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
kkk wCxfx ,1
kkk vGxHy
kw
Identificação Paramétrica
EE-240/2009
Dados: qy Rp ,,
Taentecorrespondy
Obter: um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T
1. Estimador:
1,yp 2,yp
y
Exemplo:
a
ayse
ayseyg
2
1)(
Identificação Paramétrica
EE-240/2009
LSE
2. Estimador Não - Polarizado:
dpgygE yR,)(
Exemplo: Seja ),0(~ INe
eAy
mínimosejaAyquetalyg2ˆ)(ˆ Obter
yAAA
yAAA
AAAyyyd
d
AyAyd
d
Ayd
d
TT
TT
TTTT
T
1
ˆ
2
ˆ
022
02
0
0
EE-240/2009
eAAAEAAAAE
eAAAAAAAE
eAAAAE
yAAAEygE
poispolarizadonãoéyAAA
TTTT
TTTT
TT
TT
TT
11
11
1
1
1
)()(
)()(
)()(
)()(
,ˆ
3. Teorema de Gauss-Markov:
LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados
covˆcov,EquetalBy
EE-240/2009
covˆcov,EquetalBy
T
TT
T
T
T
BB
BBeeE
EeABEeABE
EByEByE
EEE
IBA
BAE
BeEBAE
eABE
ByE
E
))()()((
))((
))((cov
)(
EE-240/2009
covˆcov,EquetalBy
1
11
11
11
1
1
1
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)(
ˆ]ˆ[ˆ
AA
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AAAeeEAAA
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EEE
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yAAA
E
T
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TTTT
TTTT
T
TT
TT
TT
EE-240/2009
covˆcov,EquetalBy
TT BBAA
covˆcov1
ˆcov~~
)(~~
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)()(~~~
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)(~
cov
1
1111
11
T
TT
TTTTTTTT
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T
BB
AABB
AAAAAABAAAAAABBB
AAABAAAB
BB
0~
,
~
1
1
AAAABAAB
IBAComo
AAABBSeja
TT
TT
0
EE-240/2009
Matriz deInformação
de Fisher
4. Limitante Inferior de Cramér-Rao: 1)(cov Myg
onde
),(log),(log ypypEm y
jy
iij
dpg
ouygE
polarizadonãoégComo
yRm ),()(
)(
,(.)
iyR
idpgm ),()(
ijse
ijse
1
0
EE-240/2009
IpgE
Idppg
Idpg
y
yyR
yR
m
m
),(log)(
),(),(log)(
),()(
0),(log
0),(),(log
0),(
1),(
y
yR y
R y
R y
pE
dpp
dp
dp
m
m
m
Por outro lado,
EE-240/2009
Ty
T
y
pg
p
g
E ),(log
),(log
cov
),(log yp
g
Se então,
1
1
11
cov
0cov
0cov
0cov
cov
Mg
Mg
M
I
MI
IgMI
MI
Ig
EE-240/2009
5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se 1)(cov Myg
6. Teorema: eficienteéyAAAyg TT 1ˆ
1ˆcov
AAT
AyAyp T
my 2
1exp
2
1),(
2/
AyAym
p Ty 2
12log
2),(log
AAAeeAEM
eAyAAAp
TTT
TTTy
),(log
1ˆcov M
EE-240/2009
7. Propriedades do LSE:
eficienteéyAAAyg TT 1ˆ e não polarizado
8. Identificação de Modelos ARMAX:
kmkmknknkk euuyyy 1111
N
n
n
n
m
n
mNNnNN
mnnn
mnnn
mnnn
N
n
n
n
e
e
e
e
uuyy
uuyy
uuyy
uuyy
y
y
y
y
2
1
1
1
11
2121
11
101
2
1
y = A + e
EE-240/2009
1. Lema de Inversão de Matrizes:
1111111 AbcAbAcAbcA TTT
2. Estimação Recursiva:
1111
N
NTN
N
N
N
e
E
a
A
y
YmedidasN
11
1
111
ˆN
NT
TN
NTN
NT
TN
NN y
Y
a
A
a
A
a
A
11
1
111
ˆN
NN
TNT
N
NN
TNN y
YaA
a
AaA
111
111ˆ
NNNTN
TNNN
TNN yaYAaaAA
NTNN
TNNNNN YAAAondeAYmedidasN 1)(ˆˆ,,
Identificação Paramétrica Recursiva
EE-240/2009
1 NTNN AAP
T
N
NN a
AA
11
111
1
11
1111
T
NNNTNT
N
NT
TN
NN
TNN aaAA
a
A
a
AAAP
1111111 AbcAbAcAbcA TTT
1111
111
TNNN
TNNN
TNN aaPaaAAP
NTNNNNN
TNN PaaPaPaP 11
1111
111
11
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNN PaKIP 111
EE-240/2009
111
111ˆ
NNNTN
TNNN
TNN yaYAaaAA
1111ˆ
NNNTNNN yaYAP
NTNNNNN
TNNN PaaPaPaPP 11
1111 1
1111
11111
111
111
1
1ˆ
NNNTNNNNN
TNNNN
NTNN
TNNNNN
TNN
TNNN
yaPaaPaPayaP
YAPaaPaPaYAP
NTNNN YAP̂ 1
1111
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNNNN ayK ˆˆˆ1111
EE-240/2009
NTNNNNN ayK ˆˆˆ1111
111
11
1
NN
NNTN
N aPaPa
K
NTNNN PaKIP 111
mNNnNNTN uuyya 111
NmNmNnNnNN euuyyy 1111
Identificador
kk UYE ,ˆ
SistemaParcialmenteConhecido
ku ky
ke
Tmn 11
3. Identificação de Modelos ARX:
EE-240/2009
kkk
kkk1k
vx100y
w
1
1
1
u
0
0
1
x
5.110
74.001
12.000
x
Exemplo:
k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y
EE-240/200913 set 2006
EE-240/2009
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Tempo
Par
amet
ros
Est
imad
os
k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y
EE-240/2009
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Tempo
P[i,
j]
Matriz P
EE-240/2009
4. Região de Confiança quando e ~ N(0 , 2 I ) e é conhecido:
iiii pN 2,~ˆ
12 )(,~ˆ AAN T
1,0~ˆ
Npii
ii
)1,0(2/ Ndexpercentilx
xconfiançacompp iixiiixii 1ˆ,ˆ
EE-240/2009
5. Região de Confiança quando e ~ N(0 , 2 I ) e é desconhecido:
qN ReRY
ˆ1ˆ 2 AY
qN
qNt
pii
ii
~ˆ
ˆ
xconfiançacompp iixiiixii 1ˆˆ,ˆˆ
)(2/ qNtdexpercentilx
EE-240/2009
6. Teste de Hipóteses:
eAY
N
kk
N
kk eSeS
1
2
1
2ˆˆ
qNS
pSS
tesindependensãoSSeS
22
22
~ˆ
~ˆ
ˆˆ
é verdadeiro, então011 pqqqSe
0
ˆ
11
pqqqimpondoLSE
LSE
=
EE-240/2009
qNS
pSS
22
22
~ˆ
~ˆ
rv
pu2
2
~
~
),(~
/
/qpF
rv
pu
qNpF
qN
S
p
SS
,~1ˆ
1ˆ
2
2
pp
qNpF 21,
Se N - q é grande
ppp
qN
S
SS 21~
ˆ
ˆ
EE-240/2009
Para p =1, (p) possui valor crítico de 4 para significância 95%2
Portanto, é rejeitado se 0q
qNS
SS
4
ˆ
ˆ parâmetrosr
parâmetrosr
1ˆ
Sr
r
qNS
SS
r
rr
4
1
1Se
Então a ordem é r
EE-240/2009
Muito Obrigado!
