EDP

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

(Mestrado)

ADEMIR BENTEUS PAMPU

Existencia e nao Existencia de Solucao Global

para uma Classe de Equacoes de Ondas nao

Lineares de Sexta Ordem

Maringa-PR

2014

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGA

CENTRO DE CIENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE POS-GRADUACAO EM MATEMATICA

Existencia e nao existencia de

solucao global para uma classe de

equacoes de ondas nao lineares de

sexta ordem

Ademir Benteus Pampu

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

Graduacao em Matematica do Departamento de Ma-

tematica, Centro de Ciencias Exatas da Universidade

Estadual de Maringa, como requisito para obtencao

do ttulo de Mestre em Matematica.

Area de concentracao: Analise.

Orientador: Prof. Dr. Juan Amadeo Soriano Palo-

mino.

Maringa-PR, 26 de outubro de 2014

RESUMO

Neste trabalho estudaremos o problema de existencia e unicidade de solucao local e global

do seguinte problema de Cauchy para uma classe de equacoes de onda nao lineares de

sexta ordem

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = |ux|pxu(0) = u0, ut(0) = u1

onde consideramos os dados iniciais em espacos de Sobolev de ordem fracionaria. De-

terminamos a existencia e unicidade de solucao local aplicando o metodo do ponto fixo.

Alem disso, estudamos o problema de existencia e nao existencia de solucao global fazendo

uso do metodo do poco potencial.

PALAVRAS-CHAVE: Equacao da onda nao linear de sexta ordem, Existencia de

solucao global, Poco potencial.

ABSTRACT

In this work we study the problem of existence and uniqueness of local and global solution

of the following Cauchy problem for a class of nonlinear wave equations of sixth order

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = |ux|pxu(0) = u0, ut(0) = u1

where we take the initial data in Sobolev spaces of fractional order. We stipulate the

existence and uniqueness of local solution by applying the contraction mapping principle.

Moreover, we study the problem of existence and nonexistence of global solutions making

use of the pottential well method.

KEYWORDS: Nonlinear wave equation of sixth order, Existence of global solution,

Pottential well.

Sumario

Introducao 6

1 RESULTADOS PRELIMINARES 9

1.1 Espacos de funcoes Lebesgue integraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Distribuicoes e derivada distribucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3 Transformada de Fourier e Espaco de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Distribuicoes temperadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5 Espacos de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6 Espacos de Sobolev de ordem fracionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.7 Os Espacos Lp(0, T ;X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.8 O problema de Cauchy abstrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 EXISTENCIA DE SOLUCAO LOCAL 33

2.1 O problema linear associado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 Estimativas para o termo nao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Existencia de solucao local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 EXISTENCIA E NAO EXISTENCIA DE SOLUCAO GLOBAL 51

3.1 Funcional de energia e o poco potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.2 O caso E(0) d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.3 O caso E(0) > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

SUMARIO 6

A APENDICE 81

A.1 Espacos de Sobolev e Algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

INTRODUCAO

Neste trabalho apresentaremos os resultados de [30] e [27] acerca do problema de existencia

e unicidade de solucao local e global do seguinte problema de Cauchy:

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = |ux|px ()

u(0) = u0, ut(0) = u1 ()

cujo os dados iniciais em (**) tomamos nos espacos de Sobolev de ordem fracionaria

Hs(R).

A equacao (*) foi introduzida por P. Rosenau em [22] e possui muitas propriedades

semelhantes a equacao de Boussinesq que pode ser apresentadas, em duas formas basicas,

como

utt + uxxxx uxx = (u2)xx

e

utt uxxtt uxx = (u2)xx.

Como referencias ao estudo das equacoes de Boussinesq podemos citar, por exemplo, [31],

[21], [16] e [24]. Os trabalhos [28] e [32] estudaram a seguinte variacao da equacao (*)

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = (f(u))xx

sendo, em [28], f(u) = |u|p, para > 0. Em [32] prova-se a existencia e nao existenciade solucao global para f(u) = |u|pu, > 0.

Abordamos o problema de existencia e unicidade de solucao local fazendo uso do

metodo do ponto fixo, tal abordagem e inspirada no trabalho [18].

A existencia e nao existencia de solucao global e abordada por meio do metodo do poco

potencial (potential wells), que foi introduzido por Sattinger em [25] e Payne-Sattinger em

[26]. Este problema foi estudado em [30] no caso em que a energia inicial E(0) associado

ao problema e suficientemente pequeno. No caso em que garante-se que nao existe solucao

global u do problema (*) e (**) prova-se, ainda, que existe T1 > 0, tal que,

limtT1

u(t)Hs =

dizemos assim que a solucao do problema de Cauchy (*) e (**) explode (tem blows-up) em

tempo finito. A contribuicao ao estudo do problema (*) e (**), dada em [27], consiste em

introduzir um novo conjunto estavel (um novo poco potencial) o que possibilita estipular

um resultado que garante, sob as hipoteses adequadas, a existencia e unicidade de solucao

global para este problema de Cauchy quando E(0) > 0.

Esta dissertacao esta organizada da seguinte maneira: No captulo 1 apresentamos

os principais resultados e notacoes a serem utilizados no estudo de nosso problema. No

captulo 2 estudamos o problema de existencia e unicidade de solucao local para o pro-

blema de Cauchy (*) e (**), provando neste captulo as estimativas necessarias para a

aplicacao do metodo do ponto fixo e que tambem apresentam grande utilidade no es-

tudo do problema de existencia de solucao global. No captulo 3 introduzimos o poco

potencial e fazemos o estudo do problema de existencia e nao existencia de solucao glo-

bal. Por fim, no apendice, apresentamos a demonstracao de que Hs(R) L(R), s > 0e uma algebra, provando ainda uma util estimativa para a norma do produto uv, para

u, v Hs(R) L(R).

Captulo 1

RESULTADOS PRELIMINARES

Com o intuito de tornar o texto o mais autossuficiente possvel apresentaremos neste

captulo os principais resultados e notacoes a serem utilizadas ao longo deste trabalho.

1.1 Espacos de funcoes Lebesgue integraveis

Seja Rn um conjunto aberto, denotamos por Lp(), 1 p < , o conjunto dasfuncoes mensuraveis de em K (onde K denota o corpo dos numeros reais ou complexos)

tais que,

fp :=(

|f(x)|pdx) 1

p

1.1 Espacos de funcoes Lebesgue integraveis 10

Em geral, .p nao define uma norma em Lp() pois pode-se ter fp = 0 com f 6= 0.Introduzimos, assim, uma relacao de equivalencia dizendo que duas funcoes f, g : Ksao equivalentes se f = g quase sempre, denotando por [f ] tal classe de equivalencia

obtemos o espaco quociente

Lp() = {[f ]; f Lp()} .

Alem disso, definindo

[f ]Lp := fp

temos que (Lp(), .Lp) e um espaco normado. Do mesmo modo, definimos L() comoo espaco vetorial das (classes de) funcoes limitadas quase sempre e munimos tal espaco

com a norma

[f ]L = supess{|f(x)|;x }.

Note que, neste caso, a desigualdade de Holder 1.1.1 pode ser reescrita dizendo que, dados

f L() e g L1(), fg L1() e

fgL1 =

|f(x)g(x)|dx

fL

|g(x)|dx = fLgL1 .

Por simplicidade de notacao, denotaremos as classes de funcoes [f ] dos espacos Lp(),

1 p , simplesmente por f .

Teorema 1.1.3. Dados 1 p e Rn um conjunto aberto, os espacos (Lp(), .Lp)sao espacos de Banach, em particular, L2() e um espaco de Hilbert, onde, dados

u, v L2(),(u, v)L2 =

u(x)v(x)dx.

Alem disso,

(i) Se 1 < p < os espacos Lp() sao reflexivos e separaveis com (Lp()) = Lq(),onde 1

p+ 1

q= 1 e, dado (Lp()), existe um unico f Lq() tal que, para todo

1.1 Espacos de funcoes Lebesgue integraveis 11

g Lp(),(g) =

f(x)g(x)dx

e (Lp()) = fLq .

(ii) O espaco L1() e separavel, no entanto nao e reflexivo e L() nao e reflexivo

nem separavel. Temos ainda que (L1()) = L() e, dado (L1()), existeum unico f L() tal que, para todo g L1(),

(g) =

f(x)g(x)dx.

e (L1()) = fL.

Demonstracao: Ver [2], captulo 4.

Sejam f L1(Rn) e g Lp(Rn) com 1 p , definimos a convolucao de f por gcomo f g : Rn R onde

(f g)(x) =Rnf(x y)g(y)dy.

Proposicao 1.1.4 (Desigualdade de Young). Sejam f L1(Rn) e g Lp(Rn) com1 p , entao f g Lp(Rn) e

f gLp fL1gLp .

Demonstracao: Ver [2].

Proposicao 1.1.5 (Lema de Lions). Seja (um) uma sequencia em Lq(), Rn um

conjunto aberto, com 1 < q

1.2 Distribuicoes e derivada distribucional 12

Proposicao 1.1.6 (Desigualdade de Gronwall). Sejam z L(0, T ) e f L1(0, T ) taisque z(t) 0, f(t) 0 e seja c uma constante nao negativa. Se

f(t) c+ t

0

z(s)f(s)ds,

para todo t [0, T ], entao,f(t) ce

t0 z(s)ds

para todo t [0, T ].


Denotaremos por Lploc(), 1 p < , o espaco das (classes de) funcoes f : Ktais que |f |p e integravel no sentido de Lebesgue sobre cada compacto K . Dado umasequencia (fn)nN em L

ploc() e f Lploc() diremos que

fn f em Lploc()

se, e somente se, para cada compacto K , tem-se

pK(fn f) =(

K

|fn(x) f(x)|pdx) 1

p

0.

1.2 Distribuicoes e derivada distribucional

A Teoria das Distribuicoes, formulada rigorosamente por L. Schwartz por volta de 1945,

nos fornece uma teoria geral e simples para tratarmos de problemas que envolvem equacoes

diferenciais parciais. Apresentaremos, a seguir, uma breve introducao a tal teoria, com

enfase no conceito de derivada distribucional.

Dado = (1, ..., n) N vamos denotar por || = 1 + ... + n, assim a derivadaparcial de ordem || sera denotada por

D =||

x11 ...xnn

.

Note que D0, onde 0 = (0, 0, ..., 0), representa o operador identidade.


Considerando Rn um conjunto aberto, denotamos por C0 () o conjunto dasfuncoes u : K infinitamente diferenciaveis, tais que o suporte de u, definido por

supp(u) = {x ; u(x) 6= 0}

e um conjunto compacto de Rn. Diremos que, dado uma sequencia (m)mN tem-se

m 0 em C0 () (1.2.1)

se, e somente se,

Existe um conjunto compacto K tal que, para todo m N, supp(m) K.

Para todo = (1, ..., n) Nn, Dm 0 uniformemente sobre K.

Definimos o espaco de funcoes teste D() como o conjunto C0 () munido da nocaode convergencia dada em (1.2.1).

Proposicao 1.2.1. C0 () e denso em Lp(), para 1 p

Considere a distribuicao T sobre Rn e Nn. A derivada de ordem || de T edefinida por:

DT, = (1)|| T,D .

Temos que DT D(), alem disso a aplicacao

D : D() D()T 7 DT

e linear e sequencialmente contnua.

Exemplo 1.2.3. (i) Vamos considerar Rn um conjunto aberto e u L1loc().Definindo Tu : D() K tal que, para cada D(),

Tu, =

u(x)(x)dx

temos que Tu e uma distribuicao sobre . Mais precisamente, prova-se que

L1loc() D(), onde denota que L1loc() tem imersao contnua em D().

(ii) Defina, para cada x0 , x0 : D() K tal que, para cada D(),

x0 , = (x0).

Prova-se que x0 e uma distribuicao sobre e, alem disso, nao existe u L1loc()tal que x0 = Tu.

(iii) Dado u Ck(Rn) temos que as derivadas distribucionais e derivadas no sentidoclassico coincidem, isto e, DTu = TDu, para todo || k. Por outro lado,considerando a funcao de Heaviside u : R R tal que,

u(x) =

1 , se x 0.0 , se x < 0.apesar de u nao ser derivavel, no sentido classico, em x = 0 prova-se que u admite

derivada distribucional e ddxTu = 0. Observe que nao existe v L1loc(R) tal que

ddxTu = Tv.

1.3 Transformada de Fourier e Espaco de Schwartz 15

1.3 Transformada de Fourier e Espaco de Schwartz

Dado f L1(Rn) definimos a transformada de Fourier de f como

F [f ]() = (2pi)n2Rneif(y)dy

onde, dados = (1, ..., n), y = (y1, ..., yn) Rn, < , y >=ni=1

yii.

Teorema 1.3.1. A transformada de Fourier de f L1(Rn) e uma funcao contnua,limitada e satisfaz a desigualdade

F [f ]L (2pi)n2 fL1 . (1.3.2)

Em particular, a aplicacao f 7 F [f ] e um operador linear e contnuo de L1(Rn) emL(Rn). Mais ainda,

lim

F [f ]() = 0. (1.3.3)


Proposicao 1.3.2. Sejam f, g L1(Rn), entao F [f g] L1(Rn) e, para todo Rn,

F [f g]() = (2pi)n2F [f ]()F [g]() (1.3.4)

Prova: Ver [13].

O Espaco de Schwartz, ou espaco das funcoes rapidamente decrescentes, que denota-

mos por S(Rn) e o subespaco vetorial de C(Rn) formado pelas funcoes C(Rn) taisque

limx

xkD(x) = 0

quaisquer que sejam k N0 e Nn0 , onde N0 = N {0}.

Note que C0 (Rn) S(Rn), isto e, toda funcao teste e uma funcao de decrescimentorapido.

Proposicao 1.3.3. Uma funcao C(Rn) pertence a S(Rn) se, e somente se, xkD

e limitado em Rn, quaisquer que sejam k N0 e Nn0 .

Prova: Ver [5].

Proposicao 1.3.4. Seja S(Rn) e q = (q1, ..., qn) Nn, entao xq S(Rn), ondedado x = (x1, ..., xn) Rn denotamos xq = xq11 xq22 ...xqnn .

Prova: Ver [5].

Uma seminorma em um espaco vetorial X e uma aplicacao p : X R que satisfaz aspropriedades:

(i) p(x) 0, para todo x X;

(ii) p(x) = ||p(x), para todo K e todo x X;

(iii) p(x+ y) p(x) + p(y) para quaisquer x, y X.

Note que uma seminorma difere de uma norma por p(x) = 0 nao necessariamente ser

equivalente a x = 0.

Vamos considerar P uma famlia de seminormas no espaco vetorial X. Dados x0 X,n N, > 0 e p1, p2, ..., pn P defina

V (x0, p1, ..., pn; ) = {x X; pi(x x0) < , i = 1, 2..., n.}.

Para cada x X chamamos de Vx a colecao de todos os subconjuntos de X da formaV (x, p1, ..., pn; ), com n N, p1, ..., pn P e > 0.

Teorema 1.3.5. Seja P uma famlia de seminormas no espaco vetorial X. Entao:

(i) Existe uma topologia P que, cada x X, admite Vx como base de vizinhancas, istoe,

P = {G X; para cada x G existe U Vx tal que U G}.

(ii) (E, P) e um espaco vetorial topologico localmente convexo, ou seja, toda vizinhanca

da origem contem um aberto convexo contendo a origem.


(iii) (E, P) e um espaco de Hausdorff se, e somente se, para cada 0 6= x X existiruma seminorma p P tal que p(x) 6= 0.


Introduzimos, em S(Rn), a topologia P dando a seguinte famlia enumeravel de se-minormas

P = {pm,k : S(Rn) R; pm,k() = sup||m

supxRn

(1 + x2)k|D(x)|}.

Proposicao 1.3.6. (i) S(Rn) tem imersao contnua em Lp(Rn), 1 p , sendo talimersao densa se 1 p

1.4 Distribuicoes temperadas 18


Teorema 1.3.9. Seja f S(Rn). Entao,

f(x) = (2pi)n2

Rnei,xF [f ]()d.


Pelo Teorema 1.3.9, podemos introduzir a Transformada de Fourier Inversa pela formula,

F1[f ](x) = (2pi)n2Rnf()ei,xd

para toda f S(Rn).

Proposicao 1.3.10. Para , S(Rn), tem-se

(2pi)n2F [] = F [] F [].

Prova: Ver [17].

Teorema 1.3.11. A transformada de Fourier

F : L2(Rn) L2(Rn)

definida como a unica extensao da transformada de Fourier F de S(Rn) a L2(Rn) e umoperador unitario.


1.4 Distribuicoes temperadas

Definicao 1.4.1. Definimos como uma distribuicao temperada todo funcional linear contnuo

T S (Rn), onde S (Rn) e o dual topologico de S(Rn).

A proposicao 1.3.6-(ii) nos permite identificar S (Rn) com um subespaco de D(Rn).

1.4 Distribuicoes temperadas 19

Dada T S (Rn), podemos definir a transformada de Fourier F [T ] como

F [T ], = T,F [] para toda S(Rn).

Do mesmo modo, a transformada de Fourier inversa de uma distribuicao temperada

T S (Rn) e dada por

F1[T ], = T,F1[] para toda S(Rn).Tanto a transformada de Fourier, quanto a transformada de Fourier inversa, de uma

distribuicao temperada T sao distribuicoes temperadas e

F [F1[T ]] = F1[F [T ]] = T.

Dizemos que uma funcao C(Rn) e de crescimento lento se, para todo Nn,existirem > 0, C() > 0 e um inteiro N() > 0 tais que

|D(x)| C()(1 + x2)N()

para todo x Rn com x > . Denotamos o conjunto das funcoes de crescimento lentocomo Q(Rn).

Proposicao 1.4.2. Seja T S (Rn), Q(Rn) e Nn,

(i) O funcional linear T definido por

T, = T,

e um elemento de S (Rn), chamado produto da distribuicao temperada T com afuncao .

(ii) (i)||F [DT ] = F [T ], onde o produto F [T ] e definido como no item (i).

(iii) DF [T ] = (i)||F [xT ].


1.5 Espacos de Sobolev 20

1.5 Espacos de Sobolev

Assim como vimos no exemplo (1.2.3)(iii) nem sempre a derivada distribucional de umafuncao u L1loc(), Rn aberto, e ainda uma distribuicao definida por uma funcaolocalmente integravel, tal fato nos motiva introduzir o conceito de Espaco de Sobolev.

Definicao 1.5.1. Seja Rn um conjunto aberto, 1 p e m N defini-mos o Espaco de Sobolev Wm,p() como o espaco vetorial de toda u Lp(), tal queDu Lp(), para todo || m, e munimos tal espaco com a norma

uWm,p =||m

DupLp 1p , se 1 p

1.6 Espacos de Sobolev de ordem fracionaria 21

Teorema 1.5.5. Seja T uma distribuicao sobre , entao T Wm,p() se, e somentese, existem funcoes g Lq(), || m, tais que

T =||m

Du.


1.6 Espacos de Sobolev de ordem fracionaria

Proposicao 1.6.1. Para todo m N temos

Hm(Rn) = {u S (Rn); (1 + 2)m2 F [u] L2(Rn)}.

Alem disso,

u =(

Rn(1 + 2)m|F [u]()|2d

) 12

define uma norma em Hm(Rn), que e equivalente a .Hm.


Motivados pela proposicao acima definiremos os espacos de Sobolev de ordem fra-

cionaria Hs(Rn).

Definicao 1.6.2. Seja s R, definimos os espacos de Sobolev de ordem fracionariaHs(Rn) como o espaco vetorial

Hs(Rn) = {u S (Rn); (1 + 2) s2F [u] L2(Rn)}

e consideramos este espaco munido do produto interno

(f, g)Hs =

Rn

(1 + 2)sF [f ]()F [g]()d

para todo f, g Hs(Rn).

Prova-se que, munido de tal produto interno, os espacos Hs(Rn), s R, sao espacos

de Hilbert.

Proposicao 1.6.3. Dados s, s R,

(i) Hs(Rn) Hs(Rn) se s s. Alem disso, esta inclusao e contnua e densa.

(ii) O dual topologio de Hs(Rn) e isometricamente isomorfo a Hs(Rn).

Demonstracao: Ver [13], pagina 304.

Observacao 1.6.4. Segue da proposicao (1.6.3) que, se s 0, Hs(Rn) esta imersocontinuamente em L2(Rn), note que isto e falso, em geral, se s < 0. Por exemplo,

0 Hs(Rn) para todo s > n2 .

Proposicao 1.6.5. Dado s R, s 0, segue que,

(i) S(Rn) tem imersao contnua e densa em Hs(Rn).

(ii) D(Rn) tem imersao contnua e densa em Hs(Rn).


Teorema 1.6.6. Sejam k N e s R. Se s > n2

+ k, entao Hs(Rn) esta continuamente

imerso em Ck(Rn) L(Rn), assim,

||kDuL CuHs . (1.6.5)


Corolario 1.6.7. Para todo s > 12

e p > 1, Hs(R) esta continuamente imerso em

Lp+1(R).

Prova: Veja que, por p > 1, podemos escrever p + 1 = q + 2, com q > 0, e como s > 12

temos pelo teorema 1.6.6 que Hs(R) L(R) alem disso Hs(R) L2(R), pois s > 0,sendo assim, para todo u Hs(R),

R|u(x)|p+1dx =

R|u(x)|q+2dx

uqLR|u(x)|2dx

CuqH2u2Hs = Cup+1Hs


Provando que Hs(R) esta continuamente imerso em Lp+1(R).

Proposicao 1.6.8. Considere s > n2

e f Hs(Rn), entao F [f ] L1(Rn) com

F [f ]L1 CfHs .

Prova: Observe que,

Rn|F [f ]()|d =

Rn

(1 + 2) s2 (1 + 2) s2 |F [f ]()|d

(

Rn(1 + 2)sd

) 12(

Rn(1 + 2)s|F [f ]()|2d

) 12

onde, nesta ultima desigualdade, usamos a desigualdade de Holder pois, sendo s > n2,

c =

Rn

(1 + 2)sd


Alem disso, existe C > 0 tal que

uH2 C(u2L2 +

ni=1

2ux2i2L2

) 12

. (1.6.6)

Prova: Denotando por

X =

{u L2(Rn); u =

(2u

x21, ...,

2u

x2n

) (L2(Rn))n

}

da definicao dos Espacos de Sobolev, H2(Rn) X, devemos entao provar queX H2(Rn). Como L2(Rn) S (Rn), dado u X, pela proposicao 1.4.2,

F[2u

x2i

]= 2iF [u]

assim, do Teorema 1.3.11 segue que,2ux2iL2

=

F [2ux2i]

L2= 2iF [u]L2 .

Dado Nn, caso || = 1 temos que = (0, ..., 1, 0, ..., 0), neste caso, pelo Teorema1.3.11, se provarmos que iiF [u] = F [Du] L2(Rn) teremos que Du L2(Rn).Temos que,

Rn|iF [u]()|2d

Rn

(1 + 2i ) (1+2i )2

|F [u]()|2d

Rn

(|F [u]()|+ 2i |F [u]()|)2 (a+b)22a2+2b2,a,bR

d

2Rn|F [u]()|2d + 2

Rn

(2i |F [u]()|)2d


Observando que, por hipotese, u (L2(Rn))n temos que,Rn|ijF [u]()|2d

Rn

((2i + 2j )|F [u]()|)2d

2Rn|2iF [u]()|2d + 2

Rn|2jF [u]()|2d

porem, sendo o operador derivacao contnuo em D(Rn),

2umx2i

2u

x2iem D(Rn)

pela unicidade do limite em D(Rn), 2ux2i

= ui para todo i = 1, ..., n. Portanto u X e

un u em X

logo X e um Espaco de Banach. Assim, como ja observamos, pelo Teorema da Aplicacao

Aberta existe C > 0 tal que, para todo u H2(Rn),

uH2 C(u2L2 +

ni=1

2ux2i2L2

) 12

.

De modo alternativo a definicao 1.6.2, podemos definir, para s (0, 1) e 1 p < ,os espacos de Sobolev de ordem fracionaria W s,p(Rn) como

W s,p(Rn) ={u Lp(Rn);

Rn

Rn

|u(x) u(y)|p|x y|n+sp dxdy

1.7 Os Espacos Lp(0, T ;X) 27

1.7 Os Espacos Lp(0, T ;X)

Definiremos, nesta secao, os espacos Lp(0, T ;X), a construcao de tais espacos esta ba-

seada na teoria de integracao vetorial, a qual e tratada, de forma resumida em [4]. Um

tratamento mais detalhado das propriedades dos espacos Lp(0, T ;X) pode ser encontrado

em [29].

Teorema 1.7.1. Seja X um espaco de Banach. Uma funcao f : [0, T ] X fortementemensuravel e integravel (a` Bochner) se, e somente se, t f(t)X e Lebesgue-integravel.Neste caso, T

0

f(t)dt

X

T

0

f(t)Xdt

e,

,

T0

f(t)dt

X,X

=

T0

, f(t)X,X dt

para cada X .


Definicao 1.7.2. Seja X um espaco de Banach e 0 T

1.7 Os Espacos Lp(0, T ;X) 28

(iii) O espaco L(0, T ;X) consiste de todas as (classes de) funcoes fortemente men-

suraveis u :]0, T [ X essencialmente limitadas em ]0, T [, isto e, funcoes tais queexiste um numero real B > 0 e tem-se

u(t)X B quase sempre em ]0, T [.

Munimos este espaco com a norma

uL(0,T ;X) = inf{B; u(t)X B, quase sempre em ]0, T [}= sup

0tTessu(t)X . (1.7.11)

Proposicao 1.7.3. Dado X um espaco de Banach, m N e 1 p temos que,

(i) Os espacos Cm([0, T ];X) e Lp(0, T ;X) munidos das normas .Cm([0,T ];X) e .Lp(0,T ;X),respectivamente, sao espacos de Banach.

(ii) Se 1 p

1.8 O problema de Cauchy abstrato 29

um unico v L(0, T ;X ) tal que

v, u = T

0

v(t), u(t)X,Xdt,

para todo u L1(0, T ;X) e v(L1(0,T ;X)) = vL(0,T ;X).

Veja que, da discussao acima, dada uma sequencia limitada (un) em

L(0, T ;X ) = (L1(0, T ;X)), por L1(0, T ;X) ser separavel, temos que existe uma sub-

sequencia (uni) que converge fraco-*, isto e, para todo u L1(0, T ;X), T0

vni(t), u(t)dt T

0

v(t), u(t)dt, quando ni .

1.8 O problema de Cauchy abstrato

Nesta secao abordaremos o problema de determinar a existencia e unicidade de solucao

u : [0, T ] X, X um espaco de Banach, para o problema de Cauchy

u(t) = Au(t) + f(t) (1.8.12)

u(0) = u0 (1.8.13)

u0 X, A : D(A) X X, onde D(A) e o domnio do operador linear A, ef : [0, T [ X. Note que, quando X = Rn e A : Rn Rn o problema (1.8.12)-(1.8.13) eum sistema de equacoes diferenciais ordinarias e o teorema de existencia e unicidade de

solucao e bem conhecido.

Definicao 1.8.1. Seja X um espaco de Banach e L(X) a algebra dos operadores line-ares contnuos de X. Dizemos que uma aplicacao S : R+ L(X) e um semigrupo deoperadores lineares contnuos de X se:

(i) S(0) = I, onde I e o operador identidade de L(X);

(ii) S(t+ s) = S(t)S(s), para todo t, s R+.

Dizemos que o semigrupo S e de classe C0 se

(iii) limt0+(S(t) I)uX = 0, para todo u X.


Denominamos o gerador infinitesimal do semigrupo S como o operador

A : D(A) X X, onde

D(A) =

{x X; lim

h0+S(h) I

hx existe

}Ax = lim

h0+S(h) I

hx, para todo x D(A).

Pode-se provar (veja [8]) que, D(A) e um subespaco vetorial de X e A e um operador

linear.

Proposicao 1.8.2. (i) O gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 e um

operador linear fechado e seu domnio e denso em X.

(ii) Um operador linear A, fechado e com domnio denso em X, e o gerador infinitesimal

de, no maximo, um semigrupo de classe C0.


Dado um semigrupo de operadores lineares S : R+ L(X), dizemos que S e uni-formemente contnuo se, alem de serem validos os itens (i) e (ii) da definicao (1.8.1) for

valido que

limt0+S(t) IL(x) = 0. (1.8.14)

Note que como a condicao (1.8.14) implica que a condicao (iii) da definicao 1.8.1 seja

valida, todo semigrupo uniformemente contnuo e de classe C0.

Teorema 1.8.3. Dado X um espaco de Banach, um operador A : X X e o geradorinfinitesimal de um semigrupo uniformemente contnuo se, e somente se, A e um operador

linear contnuo.


Dado um espaco de Banach X, x X e A um operador linear de X entendemos por

solucao do problema de Cauchy abstrato homogeneo

du

dt(t) = Au(t), t > 0 (1.8.15)

u(0) = x (1.8.16)

toda funcao u : R+ X, contnua para t 0, continuamente diferenciavel para t > 0,tal que, para todo t 0 satisfaz a equacao (1.8.15) e verifica a condicao inicial (1.8.16).

Teorema 1.8.4. Se A e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0 entao,

para cada x D(A), o problema de Cauchy (1.8.15), (1.8.16) tem uma unica solucao,continuamente diferenciavel em todo t 0.


Vamos considerar o problema de Cauchy nao homogeneo

du

dt(t) = Au(t) + f(t) (1.8.17)

u(0) = x (1.8.18)

onde f : [0, T [ X e A e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S.

Definicao 1.8.5. Uma funcao u : [0, T [ X e dita solucao (classica) do problema deCauchy (1.8.17), (1.8.18) sobre [0, T [ se u e contnua sobre [0, T [, continuamente dife-

renciavel sobre ]0, T [, u(t) D(A) para 0 < t < T e (1.8.17), (1.8.18) e satisfeito sobre[0, T [.

Definicao 1.8.6. Seja A o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S. Dado

x X e f L1(0, T ;X). A funcao u C([0, T ];X) dada por

u(t) = S(t)x+

t0

S(t s)f(s)ds, 0 t T (1.8.19)

e denominada solucao generalizada (solucao mild) do problema (1.8.17) e (1.8.18).

Proposicao 1.8.7. Dado X um espaco de Banach se f L1(0, T ;X) entao, para todox X, o problema de Cauchy (1.8.17), (1.8.18) tem, no maximo, uma solucao (classica).Se tem solucao, esta solucao e dada por (1.8.19).

Em oposicao a proposicao 1.8.7 nem toda solucao mild e uma solucao no sentido

classico do problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18), no entanto, temos o seguinte Teorema.

Teorema 1.8.8. Seja f L1(0, T ;X), X um espaco de Banach. Se u e a solucao milddo problema de Cauchy (1.8.17) e (1.8.18) sobre [0, T ], entao, para todo T < T , u e o

limite uniforme, sobre [0, T ], de solucoes (classicas) de (1.8.17) e (1.8.18).

Captulo 2

EXISTENCIA DE SOLUCAO

LOCAL

Neste captulo vamos investigar a existencia e unicidade de solucao local para o seguinte

problema de Cauchy,

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = (ux)x (2.0.1)u(0) = u0, ut(0) = u1 (2.0.2)

onde consideramos a > 0, (x) = |x|p com 6= 0 e p > 1 inteiro. Alem disso conside-ramos os dados iniciais pertencentes aos espacos de Sobolev de ordem fracionaria Hs(R).

Procederemos da seguinte maneira, associado ao problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2)

consideraremos o seguinte problema linear

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = fu(0) = u0, ut(0) = u1

ao qual provaremos a existencia e unicidade de solucao aplicando resultados da teoria

de semigrupos. Uma vez obtida a solucao do problema linear associado, aplicaremos o

metodo do ponto fixo para obtermos a existencia e unicidade de solucao para o problema

de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) sobre um intervalo de tempo maximal.

2.1 O problema linear associado 34

2.1 O problema linear associado

Lema 2.1.1. Os operadores L = (I + 4x)1 : Hs2(R) Hs(R) e A1 = (I + 4x)1(a2x

4x) : Hs(R) Hs(R), onde

L(u) = F1 [(1 + 4)1F [u]] , u Hs2(R)A1(v) = F1

[(a2 41 + 4

)F [v]

], v Hs(R)

sao lineares e contnuos.

Demonstracao: Defina g : R R tal que,

g(x) =(1 + x2)2

(1 + x4)2=

1 + 2x2 + x4

1 + 2x4 + x8

temos que g e contnua e

limx

g(x) = limx

g(x) = 0

sendo assim g e limitada. Deste modo, para todo u Hs2(R),R

(1 + ||2)s|F [Lu]()|2d =R

(1 + 2)s2(1 + 2)2

(1 + 4)2|F [u]()|2d

supR

g()u2Hs2 (2.1.3)

ou seja, L esta bem definido, e linear, pelo fato dos operadores F e F1 serem lineares, epor (2.1.3) existe C > 0 tal que,

L(u)Hs CuHs2 .

Do mesmo modo, considerando h : R R tal que,

h(x) =(ax2 + x4)2

(1 + x4)2=a2x4 + 2ax6 + x8

1 + 2x4 + x8

temos que h e contnua, limitada, pois

limx

h(x) = limx

h(x) = 1


e assim, para todo u Hs(R),R

(1 + ||2)s|F [A1(u)]()|2d =R

(1 + ||2)s(a2 + 4

1 + 4

)2|F [u]()|2d

supR

h()u2Hs (2.1.4)

ou seja, A1 esta bem definido, por F e F1 serem lineares, A1 e linear e por (2.1.4) A1 econtnuo.

Lema 2.1.2. Seja s R. Para qualquer T > 0, suponha u0, u1 Hs(R) ef L1([0, T ];Hs2(R)). Entao o problema de Cauchy

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = f em L1(0, T ;Hs4(R)) (2.1.5)u(0) = u0, ut(0) = u1, (2.1.6)

possui uma unica solucao mild u C1([0, T ];Hs(R)). Alem disso, a solucao u satisfaz aestimativa:

u(t)Hs + ut(t)Hs C2(1 + T )(u0Hs + u1Hs +

t0

L(f)()Hsd). (2.1.7)

Demonstracao: Provaremos que existe uma unica solucao mild u C1([0, T ];Hs(R))do problema de Cauchy:

utt = A1u+ Lf em L1(0, T ;Hs(R))

u(0) = u0, ut(0) = u1(2.1.8)

onde A1 e L sao definidos como no lema 2.1.1. Assim aplicando o operador linear

I + 4x : Hs(R) Hs4(R), onde, dado u Hs(R),

(I + 4x)(u) = u+ 4xu = F1[(1 + 4)F [u]],


teremos que

(I + 4x)utt = (I + 4x)A1u+ (I +

4x)Lf em L

1(0, T ;Hs4(R))

entretanto,

(I + 4x)(A1u) = F1[(1 + 4)F [A1u]]= F1[(a2 4)F [u]] = auxx uxxxx

e

(I + 4x)(Lf) = F1[(1 + 4)F [Lf ]] = f

obtemos assim que existe u C1([0, T ];Hs(R)) tal que

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = f em L1(0, T ;Hs4(R))

e u satisfazendo as condicoes iniciais (2.1.6) resolvendo assim o problema de Cauchy

(2.1.5), (2.1.6). Vamos entao resolver o problema (2.1.8), para isso denotando por v = ut

temos,

vt = A1u+ Lf

assim fazendo U =

uv

podemos reescrever o problema (2.1.8) como,ddtU = AU + F

U(0) = U0(2.1.9)

onde A : Hs(R)Hs(R) Hs(R)Hs(R) e dado por

AU =

0 IA1 0

uv

= (v,A1u)


e considerando sobre Hs(R)Hs(R) a norma

(u, v)HsHs =(u2Hs + v2Hs) 12

temos que

AUHsHs =(v2Hs + A1u2Hs) 12

(v2Hs +K21u2Hs) 12 K2UHsHsK2 =

max{1, K21}, isto e, A e um operador linear e contnuo definido em Hs(R)Hs(R).

Temos, portanto, que A e o gerador infinitesimal de um semigrupo de classe C0, S, sobre

Hs(R)Hs(R). Alem disso,

F (x, t) =

0Lf(x, t)

e, pelo Lema 2.1.1, temos que F L1([0, T ];Hs(R)Hs(R)), posto que f L1([0, T ];Hs2(R)).

Do exposto acima segue que, existe uma unica solucao mild U C([0, T ];Hs(R) Hs(R)) do problema (2.1.9) na forma

U(t) =

u(t)ut(t)

= S(t)U0 + t0

S(t s)F (s)ds

donde segue que o problema de Cauchy (2.1.8) tem uma unica solucao u C1([0, T ], Hs(R)).

Vamos provar agora a seguinte estimativa:


t0

L(f)()Hsd).

Considerando, entao, u C1([0, T ];Hs(R)) e tomando a transformada de Fourier em(2.1.5) e (2.1.6) temos,

F [u]tt + a2F [u] + 4F [u]tt + 4F [u] = F [f ](t)F [u](0) = F [u0], F [u]t(0) = F [u1]


resolvendo a equacao acima, em relacao a t, obtemos

F [u](, t) = cos(()t)F [u0]() + sen(()t)()

F [u1]() + t

0

sen(()(t ))()

F [f ](, )1 + 4

d

onde () =

a2+4

1+4. Assim, aplicando a desigualdade de Minkowski e a expressao acima,

u(t)Hs (

R(1 + 2)s|cos(()t)|2|F [u0]()|2d

) 12

+(R

(1 + 2)s(

sen(()t)

()

)|F [u1]()|2d

) 12

+ t0

sen((.)(t ))(.)

(1 + .2)s/2F [f ](., )

1 + .4d

L2

Note que, para todo R e todo t [0, T ],

sen(()t)

() ()t

()= t e | cos(()t)| 1

assim, para todo t [0, T ],

u(t)Hs u0Hs + tu1Hs + t

0

(t )Lf()Hsd

u0Hs + Tu1Hs + T t

0

L(f)()Hsd.

Uma vez que,

F [u]t(, t) = ()sen(()t)F [u0]() + cos(()t)F [u1]() ++

t0

cos(()(t ))F [f ](, t)1 + 4

d

obtemos, de modo analogo ao que fizemos acima, que

ut(t)Hs Cu0Hs + u1Hs + C t

0

L(f)()Hsd

assim, tomando C2 suficientemente grande,

2.2 Estimativas para o termo nao linear 39


t0

L(f)()Hsd).

2.2 Estimativas para o termo nao linear

Lema 2.2.1. Dado s > 0 temos que

Se 0 < s < 1 , Hs(R) L(R) e uma algebra com

uvHs C(uLvHs + uHsvL).

Se 12< s 1, 0 < s 0 tal que

|u|pHs Cup1L uHs . (2.2.10)


Lema 2.2.3. Sejam p N, p > 1 e s R onde 32< s 0 fixo, entao temos

|ux|p |vx|pHs2 CpRp1u vHs . (2.2.11)

Demonstracao: Denotando por f(z) = |z|p, temos

|ux|p |vx|p = 1

0

f ((1 )ux vx)(ux vx)d

onde,

f (z) =

pzp1 , z 0p(z)p1 , z < 0 = p|z|p1 , z 0p|z|p1 , z < 0

ou seja,

|ux|p |vx|pHs2 1

0

p|(1 )ux vx|p1(ux vx)Hs2d. (2.2.12)

Como 32< s < p+ 1, temos 1

2< s 2 12 , do Lema 1.6.6,Hs1(R) L(R), assim,

|vx(x) + (1 )ux(x)|2(p1) |(1 )uxL + vxL|2(p1)

C|(1 )uxHs1 + vxHs1 |2(p1) CR2(p1)

observe que, esta ultima desigualdade segue pois uxHs1 uHs R, por hipotese.Do mesmo modo, vxHs1 R. Do exposto acima,

|(1 )ux vx|p1(ux vx)Hs2 CRp1ux vxL2 CRp1u vHs .

Caso 0 < s 2 < 1.

Suponha p = 2, assim 0 < s 2 < 1 = p 1 eR

R

||(1 )ux vx|(x) |(1 )ux vx|(y)|2|x y|1+2(s2) dxdy

R

R

|(1 )ux(x) vx(x) (1 )ux(y) + vx(y)|2|x y|1+2(s2) dxdy

=

R

R

|(1 )(ux(x) ux(y)) (vx(y) vx(x))|2|x y|1+2(s2) dxdy

2R

R

(1 )2|ux(x) ux(y)|2 + 2|vx(x) vx(y))|2|x y|1+2(s2) dxdy 2 entao p 1 > 1 e s 2 < p 1, pelo Lema 2.2.2 temos que|(1 )ux vx|p1 Hs2 e

|(1 )ux vx|p1Hs2 C(1 )ux vxp2L (1 )ux vxHs2

2.3 Existencia de solucao local 43

Caso s 2 1.

Note que, por 1 s2 < p1 e ux, vx Hs2(R) L(R) temos, pelo Lema 2.2.2,|(1 )ux + vx|p1 Hs2(R) e

|(1 )ux + vx|p1Hs2 C(1 )ux + vxp2L (1 )ux + vxHs2 CRp2(1 )ux + vxHs1 CRp1

assim, aplicando o Lema 2.2.1,

|(1 )ux + vx|p1(ux vx)Hs2 C|(1 )ux + vx|p1Hs2ux vxHs2 CRp1u vHs .

Em qualquer caso, obtemos de (2.2.12),

|ux|p |vx|pHs2 CpRp1u vHs .

2.3 Existencia de solucao local

Uma vez provada a existencia e unicidade de solucao para o problema linear associado,

passamos agora ao problema de provar a existencia e unicidade de solucao local para o

problema (2.0.1), (2.0.2) para isto faremos uso do seguinte Teorema de Ponto Fixo.

Lema 2.3.1 (Teorema de ponto fixo de Banach). Seja (M,d) um espaco metrico completo

e : M M uma contracao, isto e, existe 0 c < 1 tal que, para todo x, y M tem-se

d((x),(y)) cd(x, y).

Entao existe um unico ponto x0 M tal que (x0) = x0.

Teorema 2.3.2. Suponha que 32< s 0 e p > 1 e inteiro, admite uma unica solucao local u = u(x, t) definidasobre um intervalo de tempo maximal [0, T0) com u C1([0, T0);Hs(R)).

Demonstracao: Considere

B(R, T) ={u C1([0, T];Hs(R)); uC1([0,T];Hs(R)) R

}onde R, T serao convenientemente definidos, munido da metrica d induzida quando con-

siderado como subconjunto do espaco de Banach C1([0, T];Hs(R)), sendo assim, como

B(R, T) e fechado em C1([0, T];Hs(R)), (B(R, T), d) e um espaco metrico completo.

Dado u B(R, T) temos que |ux|px L1(0, T;Hs2(R)). Com efeito,ux Hs1(R) L(R), pois, por hipotese, 12 < s 1 < p e assim, do lema 2.2.2,|ux|p(t) Hs1(R), donde segue que |ux|px(t) Hs2(R). Alem disso,

|ux|px(t)2Hs2 =R

(1 + ||2)s2|F [|ux|px](, t)|2d

R

(1 + ||2)s1 2

1 + 2|F [|ux|p](, t)|2d

CR

(1 + ||2)s1|F [|ux|p](, t)|2d = C|ux|p(t)2Hs1

C1ux(t)2(p1)L ux(t)2Hs1

onde na ultima desigualdade fizemos uso do lema 2.2.2. Note que, do lema 1.6.6,

uxL CuHs , e

ux(t)2Hs1 =R

(1 + ||2)s1|F [ux](, t)|2d

=

R

(1 + ||2)s 2

1 + 2|F [u](, t)|2d Cu(t)2Hs CR2


obtemos assim que,

|ux|px(t)Hs Cu(t)pHs CRp (2.3.18)

portanto |ux|px L1(0, T;Hs2(R)), para todo T (u0Hs + u1Hs)C2 + 1, (2.3.19)

onde C2 e a constante dada no lema 2.1.2. Assim vamos definir o operador

S : B(R, T) B(R, T)

tal que, para cada u B(R, T), associamos S(u) = v solucao do problema linear

vtt avxx + vxxxx + vxxxxtt = |ux|px em L1(0, T;Hs4(R))v(0) = u0, vt(0) = u1.

Por |ux|px L1(0, T;Hs2(R)) do lema 2.1.2, para todo u B(R, T), existe uma unicav = S(u) solucao do problema linear acima. Alem disso, para todo t [0, T], do lema2.1.2 e por (2.1.7), (2.3.18),

v(t)Hs + vt(t)Hs C2(1 + T)(u0Hs + u1Hs + ||

t0

L(|ux|px)()Hsd)

C2(1 + T)(u0Hs + u1Hs + ||C

t0

|ux|px()Hs2d)

C2(1 + T) (u0Hs + u1Hs + ||CRpT) .

Definindo f : [0,) R tal que, f(t) = C2(1 + t)(u0Hs + u1Hs + C||Rpt) temosf(0) = C2(u0Hs + u1Hs) e

f (t) = C2(1 + t)(C||Rp) + C2(u0Hs + u1Hs + C||Rpt)> 0


logo f e estritamente crescente. Como R > f(0), existe T1 [0,) tal que

f(T1) = C2(1 + T1)(u0Hs + u1Hs + C||RpT1) = R (2.3.20)

alem disso, como f e estritamente crescente, para todo T 1 T1 temos que

vC1([0,T 1];Hs) = supt[0,T 1]

{v(t)Hs + vt(t)Hs} R.

Vamos provar agora que, escolhendo R, T adequadamente S e uma contracao. Para isto,

considere u, u B(R, T) e v1 = S(u), v = S(u) assim, denotando por v = v1 v, v esolucao do problema de Cauchy,

vtt avxx + vxxxx + vxxxxtt = |ux|px |ux|pxv(0) = 0 vt(0) = 0.

por (2.1.7),

v(t)Hs + vt(t)Hs ||C t

0

L(|ux|px |ux|px)()Hsd. (2.3.21)

como,

L(|ux|px |ux|px)()2Hs =R

(1 + 2)s|F [L(|ux|px |ux|px)](, )|2d

=

R

(1 + 2)s2(1 + 2)24

(1 + 4)2|F [|ux|p |ux|p](, )|2d

C|ux|p() |ux|p()2Hs2

assim por (2.2.11),

L(|ux|px |ux|px)()2Hs CRp1u uHs

deste modo, podemos reescrever (2.3.21) como

S(u)(t) S(u)(t)Hs + S(u)t(t) S(u)t(t)Hs = v(t)Hs + vt(t)Hs ||C(1 + T)T

t0

Rp1u() u()Hsd ||C(1 + T)TRp1d(u, u)

donde segue que,

d(S(u), S(u)) ||C(1 + T)TRp1d(u, u)

definindo g : [0,) R tal que g(t) = C(1 + t)tRp1 temos que g e crescente e g(0) = 0,como lim

tg(t) =, existe T2 tal que,

g(T2) = C(1 + T2)T2Rp1 = k (2.3.22)

onde 0 < k < 1. Assim, tomando T = min{T1, T2} > 0 e R > (u0Hs + u1Hs)C2 + 1temos que S esta bem definido e e uma contracao. Portanto, pelo Teorema do Ponto

Fixo de Banach, S admite um unico ponto fixo em B(R, T), ou seja, existe um unico

u B(R, T) C1([0, T];Hs(R)) tal que

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = |ux|px em L1(0, T;Hs4(R))u(0) = u0, ut(0) = u1.

O Teorema do Ponto Fixo de Banach nos garante a unicidade de solucao em B(R, T),

no entanto almejamos provar a existencia de uma unica solucao em C1([0, T];Hs(R)).

Para isto considere u, v1 C1([0, T];Hs(R)) solucoes do problema de Cauchy (2.3.17),assim v = u v1 satisfaz

vtt avxx + vxxxx + vxxxxtt = |ux|px |v1x|pxv(0) = 0, vt(0) = 0


logo, por (2.1.7),

u(t) v1(t)Hs + ut(t) v1t(t)Hs C2(1 + T)( t

0

L(|ux|px |v1x|px)()Hsd)

C(1 + T)|| t

0

|ux|p() |v1x|p()Hs2d

C(1 + T)|| t

0

u() v1()Hsd

sendo assim, pela Desigualdade de Gronwall, u = v1, provando assim a unicidade de

solucao.

Obtemos ate aqui que existe uma unica solucao u C1([0, T];Hs(R)) para o problemade Cauchy (2.3.17), agora nosso objetivo sera estender a solucao a um intervalo de tempo

maximal [0, T0). Uma vez que u C1([0, T];Hs(R)) temos u(T), ut(T) Hs(R), assimao considerarmos o problema de Cauchy

vtt avxx + vxxxx + vxxxxtt = |vx|px (2.3.23)v(0) = u(T) vt(0) = ut(T) (2.3.24)

provamos, via metodo do ponto fixo, que existe T1 > 0 e v C1([0, T1];Hs(R)) solucaodo problema (2.3.23) e (2.3.24), assim definindo

u(x, t) =

u(x, t); 0 t Tv(x, t T); T t T + T1obtemos u C1([0, T + T1];Hs(R)) e u e solucao do problema (2.3.17) sobre o intervalo[0, T + T1]. Aplicando o mesmo raciocnio usado para provar a unicidade de solucao em

C1([0, T];Hs(R)) provamos a unicidade de solucao em C1([0, T + T1];Hs(R)). Podemos

assim encontrar uma famlia de intervalos [0, Ti], i I, I um conjunto de ndices arbitrario,e solucoes ui C1([0, Ti];Hs(R)) que estendem a solucao u do problema de Cauchy(2.3.17), donde segue que, existe T0 > 0 maximo tal que

[0, T0) =iI

[0, Ti]


e u C1([0, T0);Hs(R)) e solucao do problema de Cauchy (2.3.17).

Corolario 2.3.3. Sob as hipoteses do Teorema 2.3.2 temos que se

supt[0,T0)

(u(t)Hs + ut(t)Hs)

para algum 0 < k < 1. Deste modo, por (2.3.25) podemos tomar R, T 1 que verifiquem,

R > ( supt[0,T0)

(u(t)Hs + ut(t)Hs))C2 + 1

R = C2(1 + T1)( sup

t[0,T0)(u(t)Hs + ut(t)Hs) + C||RpT 1)

k = C(1 + T 1)T1R

p1

assim, considerando este T 1, para qualquer T [0, T0) o problema de Cauchy (2.3.27)tem solucao v B(R, T 1) C1([0, T 1];Hs(R)). Em particular, para T 2 = T0 T

1

2vamos

considerar v a solucao do problema de Cauchy

vtt avxx + vxxxx + vxxxxtt = |vx|pxv(0) = u(T 2) vt(0) = ut(T

2)

definindo, entao, u :[0, T0 +

T 12

] R por

u(x, t) =

u(x, t); 0 t T 2v(x, t T 2); T 2 t T0 + T 12teremos que u e solucao do problema de Cauchy (2.3.17) e u C1

([0, T0 +

T 12

];Hs(R)

),

contrariando a maximalidade de T0. Portanto T0 =.

Captulo 3

EXISTENCIA E NAO

EXISTENCIA DE SOLUCAO

GLOBAL

Assim como vimos no Teorema 2.3.2, o problema de Cauchy

utt auxx + uxxxx + uxxxxtt = (ux)x (2.0.1)

u(0) = u0, ut(0) = u1 (2.0.2)

onde (z) = |z|p, 6= 0 e p > 1 inteiro, admite uma unica solucao u C1([0, T0);Hs(R))quando consideramos u0, u1 Hs(R) e 32 < s < p + 1. Neste captulo abordaremoso problema de existencia e nao existencia de solucao global, ou seja, estudaremos os

casos onde se pode garantir que existe solucao u C1([0,);Hs(R)) ou nao. Para talproposito faremos uso do metodo do poco potencial, seguindo as ideias de [30] na secao

3.2. E interessante observar que, na secao 3.2, obtemos, sob as hipoteses adequadas, que

a solucao u C1([0, T0);Hs(R)) explode (tem blows-up) em tempo finito, isto e, existeT1 0.

3.1 Funcional de energia e o poco potencial 52

3.1 Funcional de energia e o poco potencial

Teorema 3.1.1. Suponha que 2 s < p+1, u0, u1 Hs(R) e [0, T0) o intervalo maximalde existencia da solucao u C1([0, T0);Hs(R)) do problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2).Defina

E(t) =1

2

(ut(t)2L2 + aux(t)2L2 + uxx(t)2L2 + uxxt(t)2L2)+ p+ 1R|ux(t)|pux(t)dx

entao, vale que E(t) = E(0), para todo t (0, T0), onde,

E(0) =1

2

(u12L2 + au0x2L2 + u0xx2L2 + u1xx2L2)+ p+ 1R|u0x|pu0xdx.

Demonstracao: Temos que, dado u Hs(R), s 2, u H2, pois Hs(R) H2(R).Alem disso,

d

dtE(t) = (ut(t), utt(t))L2 + a(ux(t), uxt(t))L2 + (uxx(t), uxxt(t))L2 +

+(uxxt(t), uxxtt(t))L2 +

R|ux(t)|puxt(t)dx

= (ut(t), utt(t))L2 + (aux(t), uxt(t))L2 + (uxx(t), uxxt(t))L2 +

+(uxxt(t), uxxtt(t))L2 + ((ux(t)), uxt(t))L2

onde (ux(t)) = |ux(t)|p observe que,

uxxxx =d2

dx2

(d2

dx2u

)e

d2

dx2

(d2

dx2utt

)

onde uxx, uxxtt L2(R), pois u H2(R) e

utt = A1u+ Lf H2(R)

sendo assim, por ut H2(R),

uxxxx, utH2,H2 =R

d2u

dx2d2utdx2

dx = (uxx, uxxt)L2

uxxxxtt, utH2,H2 =R

d2uttdx2

d2utdx2

dx = (uxxtt, uxxt)L2


do mesmo modo, como utt, ux, (ux) L2(R),

utt, utH2,H2 = (utt, ut)L2(ux)x, utH2,H2 = ((ux), uxt)L2auxx, utH2,H2 = a(ux, uxt)L2

logo,

d

dtE(t) = (utt auxx + uxxxx + uxxxxtt (ux)x)(t), ut(t)H2,H2

e, por (2.0.1),d

dtE(t) = 0

portanto, integrando a expressao acima de 0 a t, t (0, T0),

E(t) = E(0).

No que segue, vamos considerar o funcional J (energia potencial) definido por,

J(u(t)) =1

2

(aux(t)2L2 + uxx(t)2L2

)+

p+ 1

R|ux(t)|pux(t)dx.

Deste modo, para todo t [0, T0),

J(u(t)) E(t) = E(0),

alem disso, como p > 1, o corolario 1.6.7 garante que, para todo u H2(R),

ux(t)Lp+1 K(ux(t)2L2 + uxx(t)2L2) 12

K1(aux(t)2L2 + uxx(t)2L2

) 12


vamos, entao, denotar por

C0 = sup06=uH2(R)

ux(t)Lp+1(aux(t)2L2 + uxx(t)2L2

) 12

onde C0 e uma constante que independe de t.

Afirmamos que,

1

2


) ||p+ 1

Cp+10(aux(t)2L2 + uxx(t)2L2

) p+12 J(u(t)).

Com efeito,

p+ 1

R|ux(t)|pux(t)dx ||

p+ 1

R|ux(t)|p+1dx

||p+ 1


) p+12

assim,

||p+ 1


) p+12

p+ 1

R|ux(t)|pux(t)dx

logo,

1

2


) ||p+ 1


) p+12

12


)+

p+ 1

R|ux(t)|pux(t)dx = J(u(t)).

Defina a funcao g : [0,) R

g(y) =1

2y ||

p+ 1Cp+10 y

p+12

e note que

g(y) =1

2 ||C

p+10

2yp12

assim g(y) = 0 se, e so se,

y = y0 = ||2p1C

2(p+1)p1

0

alem disso, g(y) > 0 se y [0, y0) e g(y) < 0 se y (y0,) , donde segue que g eestritamente crescente em [0, y0) e g e estritamente decrescente em (y0,). Portanto,

d = maxy[0,)

g(y) = g(y0)

onde,

g(y0) =p 1

2(p+ 1)|| 2p1C

2(p+1)p1

0

observe tambem que,

y0 =2(p+ 1)

p 1 d.

Para uma melhor compreensao do comportamento da funcao g, apresentamos abaixo o

seu grafico quando p = 4 e = 35C50

.

Figura 3.1: Grafico da funcao g

Definimos os conjuntos estavel (poco potencial) e instavel como

W =

{u(t) H2(R); aux(t)2L2 + uxx(t)2L2

2(p+ 1)

p 1 d}.

Lema 3.1.2. Suponha que u0, u1 H2(R) e u C1([0, T0);H2(R)) e a unica solucaodo problema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2), onde T0 e o tempo maximo de existencia da

solucao. Assuma que E(0) < d. Entao, para todo t [0, T0),

(i) u(t) W , se u0 = u(0) W .

(ii) u(t) V , se u0 = u(0) V .

Prova: Em primeiro lugar observe que, para todo t [0, T0),

J(u(t)) E(t) = E(0) < d

isto e, J(u(t)) < d. Suponha entao que u0 = u(0) W , deste modo,

aux(0)2L2 + uxx(0)2L2

2(p+ 1)

p 1 d

3.2 O caso E(0) d 59

segue entao que,

(t) > (p 1)2(p+ 1)p 1 d+ (p+ 3)

(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2) 2(p+ 1)d= (p+ 3)

(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2) 0portanto, (t) > 0, para todo t [0, t0). Assim, e estritamente crescente em [0, t0) e,uma vez que,

(0) = 2(u0, u1)L2 + (u0xx, u1xx)L2 0

temos que (t0) > 0, absurdo!

3.2 O caso E(0) d

Teorema 3.2.1. Suponha que 32< s 0 e uma constante, entao T0 =.

Demonstracao: Vamos supor T0

3.2 O caso E(0) d 60

Por outro lado, observe que,

d

dtu(t)2Hs +

d

dtut(t)2Hs = 2((I 2x)

s2u(t), (I 2x)

s2ut(t))L2

+ 2((I 2x)s2utt(t), (I 2x)

s2ut(t))L2

2u(t) + utt(t)Hsut(t)Hs (3.2.3)

onde, por (3.2.2)

u(t) + utt(t)2Hs =R

(1 + 2)s|F [u+ utt](, t)|2d

R

(1 + 2)s

(1 + 4)2(|F [u](, t)|+ |a2F [u](, t)|+ |F [(ux)x](, t)|)2d

=

R

((1 + 2)

s2

1 + 4(|F [u](, t)|+ |a2F [u](, t)|+ |F [x(ux)](, t)|))2d

assim, pela desigualdade triangular em L2(R),

u(t) + ut(t)Hs (

R

1

(1 + 4)2(1 + 2)s|F [u](, t)|2d

) 12

+

(R

a24

(1 + 4)2(1 + 2)s|F [u](, t)|2d

) 12

+

(R

2(1 + 2)

(1 + 4)2(1 + 2)s1|F [|ux|p](, t)|2d

) 12

K (u(t)Hs + au(t)Hs + |||ux|p(t)Hs1) (3.2.4)

para algum K > max{K1, K2, K3}, onde

K1 = supR

(1

(1 + 4)2

)

3.2 O caso E(0) d 61

k1 e contnua com lim

k1() = lim

k1() = 0, logo k1 e uma funcao limitada e

K1 = supR

k1(). Por argumento analogo justifica-se que K2, K3 < . Aplicando oLema 2.2.2 em (3.2.4),

u(t) + ut(t)Hs K(u(t)Hs + au(t)Hs + C||ux(t)p1L ux(t)Hs1)

K (1 + a+ ||Mp11 C) u(t)Hssubstituindo esta ultima desigualdade em (3.2.3) e denotandoK = K

(1 + a+ ||Mp11 C

)obtemos,

d

dtu(t)2Hs +

d

dtut(t)2Hs K 2u(t)Hsut(t)Hs

2aba2+b2,a,bR K

(u(t)2Hs + ut(t)2Hs)assim, pela desigualdade de Gronwall, temos

u(t)2Hs + ut(t)2Hs (u02Hs + u12Hs)eKt (u02Hs + u12Hs)eKT0

3.2 O caso E(0) d 62

da solucao. Segue do Lema 3.1.2 que, para todo t (0, T0), u(t) W , isto e,

aux(t)2L2 + uxx(t)2L2 0tal que para qualquer t [t1,), (t) > 0, portanto (t) nunca se anula sobre [t1,). No

3.2 O caso E(0) d 74

caso E(0) < d, temos que, para t1 suficientemente grande, (0)+2(p+1)(dE(0))t > 0,

para t [t1,), pois d E(0) > 0. Por outro lado, de (3.2.30) e (3.2.32) temos

(t)(t)(

1 +p 1

4

)((t))2 > (t)

(2(p+ 1)d+ (p+ 3)(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2)

2(p+ 1)E(0) (p+ 3)(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2))

= (t)2(p+ 1)(d E(0)) 0

ou seja, para todo t [t1,),

(t)(t)(

1 +p 1

4

)((t))2 > 0. (3.2.34)

Considere (t) = ((t))p14 . Entao,

(t) = (p 1

4

)((t))

p+34 (t)

(t) = (p 1

4

)((t))

p+74

((t)(t)

(1 +

p 14

)((t))2

)< 0

para todo t [t1,), alem disso (t1) > 0 e (t1) < 0. Assim, definindo,

(t) = (t) (t1) (t t1)(t1)

temos (t) = (t) (t1) e (t) = (t) < 0, para todo t [t1,). Uma vez que(t1) = 0, (t) 0 para todo t [t1,), do mesmo modo, por (t1) = 0, (t) 0 paratodo t [t1,) deste modo, para todo t [t1,)

(t) (t1) + (t t1)(t1)

geometricamente a desigualdade acima nos diz que o traco do grafico da funcao esta

sempre abaixo de uma reta com inclinacao (coeficiente angular) negativo, uma vez que,

para t = t1 +4(t1)

(p1)(t1) [t1,),

(t1) + (t1 +4(t1)

(p 1)(t1) t1)(t1) = 0

3.3 O caso E(0) > 0 75

segue que existe T1 (t1, t1 +

4(t1)(p1)(t1)

)tal que

limtT1

(t) = 0

assim, pela definicao de ,

limtT1

(t) = (3.2.35)

o que contradiz T0 =. Observe que, pelo Teorema 1.6.10, podemos reescrever (3.2.35)como

limtT1

u(t)H2 =.

Por esta razao, dizemos que u explode (tem blows up) em tempo finito.

3.3 O caso E(0) > 0

Assuma que 2 s < p + 1 e vamos introduzir o seguinte funcional (de Nehari)I : H2(R) R tal que,

I(t) = I(u(t)) = aux(t)2L2 + uxx(t)2L2 + R|ux|pux(t)dx.

Sendo assim podemos definir um novo conjunto estavel,

W = {u(t) H2(R); I(u(t)) > ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2} . (3.3.36)Lema 3.3.1. Sejam u0, u1 H2(R) e u C1([0, T0);Hs(R)) a solucao do problema deCauchy (2.0.1) e (2.0.2). Assuma que E(0) > 0 e

u02L2 + u0xx2L2 + 2(u0, u1)L2 + 2(u0xx, u1xx)L2 +2(p+ 1)

p+ 3E(0) < 0. (3.3.37)

Entao a aplicacao t 7 u(t)2L2 +uxx(t)2L2 e estritamente decrescente quando u(t) W.

3.3 O caso E(0) > 0 76

Demonstracao: Em primeiro lugar observe que, o conjunto A dos pontos t [0, T0)tais que u(t) W e aberto em [0, T0), isto e, A e um intervalo, ou a uniao de intervalosna reta. Com efeito, definindo I1 : H

2(R) R tal que

I1(u(t)) = I(u(t)) ut(t)2L2 uxxt(t)2L2

pela continuidade da aplicacao norma, I1 e uma aplicacao contnua e como

W = I11 ((0,))

W e aberto em H2(R) e, por u C1([0, T0);H2(R)), a aplicacao

I2 : [0, T0) H2(R)t 7 u(t)

e contnua, logo A = I12 (W) e aberto em [0, T0), ou seja, A [0, T0) e aberto em R.Definindo : A R por

(t) = u(t)2L2 + uxx(t)2L2

teremos,

(t) = 2(u(t), ut(t))L2 + 2(uxx(t), uxxt(t))L2

e

(t) = 2(u(t), utt(t))L2 + 2(uxx(t), uxxtt(t))L2 + 2ut(t)2L2 + 2uxxt(t)2L2 (3.3.38)

Compondo a equacao (2.0.1) com u obtemos que,

(utt(t), u(t))L2 + uxxxxtt(t), u(t)H2,H2 + aux(t)2L2 + uxx(t)2L2 = (|ux|p(t), ux(t))L2

3.3 O caso E(0) > 0 77

para todo t A, isto e,

(utt(t), u(t))L2 + (uxx(t), uxxtt(t))L2 = aux(t)2L2 uxx(t)2L2 R|ux|p(t)ux(t)dx

= I(t)

entao, (3.3.38) pode ser reescrito como

(t) = 2ut(t)2L2 + 2uxxt(t)2L2 2I(t)< 0 sempre que u(t) W

assim e decrescente em A, por (3.3.37) e sendo E(0) > 0, por hipotese,

2(u0, u1)L2 + 2(u0xx, u1xx)L2 < u02L2 u0xx2L2 2(p+ 1)

p+ 3E(0)

< 0

isto e,

(0) = 2(u0, u1)L2 + 2(u0xx, u1xx)L2 < 0

logo e estritamente decrescente quando u(t) W .

Lema 3.3.2. Seja u0, u1 H2(R) e u C1([0, T0);Hs(R)) a solucao do problemade Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) com intervalo de existencia maximal [0, T0). Suponha que

E(0) > 0 e


p+ 3E(0) < 0. (3.3.37)

Entao, se u(0) = u0 W temos que u(t) W para todo t [0, T0).

Demonstracao: Supondo o resultado falso, existiria t1 (0, T0) tal que u(t1) / W , istoe,

I(t1) ut(t1)2L2 + uxxt(t1)2L2

3.3 O caso E(0) > 0 78

entao, considere o primeiro t0 (0, T0) tal que,

I(t0) = ut(t0)2L2 + uxxt(t0)2L2 (3.3.39)

mais especificadamente, para todo t [0, t0)

I(t) > ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2 .

Vamos considerar : [0, t0) R, definida por,

(t) = u(t)2L2 + uxx(t)2L2

pelo lema 3.3.1 e sao funcoes estritamente decrescente em [0, t0), assim,

(t0) = limtt0

(t) < (0) = u02L2 + u0xx2L2

e, por (3.3.37),

(t0) < u02L2 + u0xx2L2< 2(u0, u1)L2 2(u0xx, u1xx)L2 2(p+ 1)

p+ 3E(0). (3.3.40)

Por outro lado,

E(0) = E(t0) =1

2

(ut(t0)2L2 + uxxt(t0)2L2)+ 12 (aux(t0)2L2 + uxx(t0)2L2)+

p+ 1

R|ux|p(t0)ux(t0)dx+ 1

p+ 1

(aux(t0)2L2 + uxx(t0)2L2

) 1

p+ 1

(aux(t0)2L2 + uxx(t0)2L2

)=

1

2

(ut(t0)2L2 + uxxt(t0)2L2)+ 1p+ 1I(t0)+

(1

2 1p+ 1

)(aux(t0)2L2 + uxx(t0)2L2

)

3.3 O caso E(0) > 0 79

no entanto, por (3.3.39),

E(0) >

(1

2+

1

p+ 1

)(ut(t0)2L2 + uxxt(t0)2L2)+ p 12(p+ 1) (aux(t0)2L2 + uxx(t0)2L2) p+ 3

2(p+ 1)

(ut(t0)2L2 + uxxt(t0)2L2) . (3.3.41)Note que,

ut(t0)2L2 = (ut(t0) + u(t0) u(t0), ut(t0) + u(t0) u(t0))L2= ut(t0) + u(t0)2L2 u(t0)2L2 2(u(t0), ut(t0))L2

do mesmo modo,

uxxt(t0)2L2 = uxxt(t0) + uxx(t0)2L2 uxx(t0)2L2 2(uxx(t0), uxxt(t0))L2

assim, podemos escrever (3.3.41) como,

E(0) p+ 32(p+ 1)

(ut(t0) + u(t0)2L2 u(t0)2L2 2(u(t0), ut(t0))L2 + uxxt(t0) + uxx(t0)2L2 uxx(t0)2L2 2(uxx(t0), uxxt(t0))L2

) p+ 3

2(p+ 1)

(u(t0)2L2 uxx(t0)2L2) =(t0)

p+ 3p+ 1

((u(t0), ut(t0))L2 + 2(uxx(t0), uxxt(t0))L2) .

Sendo assim,

(t0) = u(t0)2L2 + uxx(t0)2L2 2(p+ 1)

p+ 3E(0) 2(u(t0), ut(t0))L2 2(uxx(t0), uxxt(t0))L2

uma contradicao com (3.3.40).

Teorema 3.3.3. Seja 2 s < p+ 1, u0, u1 H2(R) tais que


p+ 3E(0) < 0. (3.3.37)

3.3 O caso E(0) > 0 80

Entao o intervalo de tempo maximal de existencia da solucao u C1([0, T0);Hs(R)) doproblema de Cauchy (2.0.1) e (2.0.2) e infinito.

Demonstracao: Ja sabemos, pelo Teorema 2.3.2, que o problema de Cauchy (2.0.1)

e (2.0.2) admite uma unica solucao u C1([0, T0);Hs(R)). Pelo Lema 3.3.2, u(t) Wpara todo t [0, T0), isto e, para todo t [0, T0)

I(t) > ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2

portanto,

E(0) = E(t) =1

2

(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2)+

p 12(p+ 1)


)+

1

p+ 1I(t)

>1

2

(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2)+ p 12(p+ 1) (aux(t)2L2+ uxx(t)2L2

)+

1

p+ 1

(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2)=

p+ 3

2(p+ 1)

(ut(t)2L2 + uxxt(t)2L2)+ p 12(p+ 1) (aux(t)2L2 + uxx(t)2L2) .Desta forma, como H1(R) L(R),

ux(t)L Cux(t)H1 C(ux(t)2L2 + uxx(t)2L2) 12

C (aux(t)2L2 + uxx(t)2L2) 12< C

(2(p+ 1)

p 1 E(0)) 1

2

logo,

supt[0,T0)

ux(t)L C(

2(p+ 1)

p 1 E(0)) 1

2

e, do Teorema 3.2.1, temos que T0 =.

Apendice A

APENDICE

A.1 Espacos de Sobolev e Algebras de Banach

Uma algebra A sobre um corpo K e um espaco vetorial, sobre K, tal que para cada

par ordenado x, y A podemos definir um unico produto xy A com as seguintespropriedades:

(i) (xy)z = x(yz),

(ii) x(y + z) = xy + xz,

(iii) (x + y)z = xz + yz,

(iv) (xy) = (x)y = x(y).

para todo x, y, z A e para todo escalar K.

Uma algebra normada e um espaco normado A que e uma algebra tal que para todo

x, y A,

xy xy. (1.1.1)

Uma algebra de Banach e uma algebra normada que e completa, quando considerada

como espaco normado. Uma algebra que e completa, quando considerada como espaco

normado e que verifica

xy Cxy

para alguma constante C > 0, e dita uma algebra de Banach generalizada.

A.1 Espacos de Sobolev e Algebras de Banach 82

Lema A.1.1. Dado s > 0 temos que

Se 0 < s < 1 , Hs(R) L(R) e uma algebra com

uvHs C(uLvHs + uHsvL) (1.1.2)

para todo u, v Hs(R) L(R).

Se 12< s 0, temos Hs(R) L2(R),assim dados u, v Hs(R), definiremos u.v como o produto correspondente ao produtoem L2(R). Provemos que uv Hs(R), deste modo, uma vez que os itens (i), (ii), (iii) e(iv) decorrem das propriedades do produto entre duas funcoes, Hs(R)L(R) sera umaalgebra, para qualquer s > 0, e, em particular para s > 1

2, sera uma algebra de Banach

generalizada.

Supondo que 0 < s < 1, pelo Teorema 1.6.12, temos, para qualquer w Hs(R),

wHs C(w2L2 +

R

R

|w(x) w(y)|2|x y|1+2s dxdy

) 12

e, como para quaisquer u, v Hs(R) L(R)

uv2L2 =R|u(x)v(x)|2dx

12

(u2Lv2L2 + u2L2v2L) (1.1.4)e, para quaisquer x, y R,

|u(x)v(x) u(y)v(y)|2 = |u(x)v(x) u(x)v(y) + u(x)v(y) u(y)v(y)|2

2|u(x)|2|v(x) v(y)|2 + 2|v(y)|2|u(x) u(y)|2


logo,

R

R

|uv(x) uv(y)|2|x y|1+2s dxdy 2

R

R

|v(y)|2|u(x) u(y)|2|x y|1+2s dxdy

+ 2

R

R

|u(x)|2|v(x) v(y)|2|x y|1+2s dxdy

2(v2L

R

R

|u(x) u(y)|2|x y|1+2s dxdy

+ u2LR

R

|v(x) v(y)|2|x y|1+2s dxdy

) 12, temos, pela Proposicao (1.6.5)-(ii), que C0 (R) tem imersao contnua

e densa em Hs(R), assim dados u, v Hs(R) existem (n), (n) sequencias em C0 (R)tais que

n u em Hs(R) (1.1.6)n v em Hs(R). (1.1.7)

Para cada n N segue que nn Hs(R) e

nnHs CnHsnHs .

Com efeito, dados n, n C0 (R) S(R) temos, pela Proposicao 1.3.10, que

|(1 + x2) s2F [nn](x)| (2pi) 12R

(1 + x2)s2 |F [n](x y)F [n](y)|dy

CR

((1 + |x y|2) s2 + (1 + y2) s2 ) |F [n](x y)F [](y)|dy

= C((1 + |.|2) s2F [n]) |F [n]

)(x)

+ C(|F [n]| (1 + |.|2) s2 |F [n]) (x)


donde segue que,

R

(1 + x2)s|F [nn]|2(x)dx C((1 + |.|2) s2 |F [n]| |F [n]|L2

+ |F [n]| (1 + |.|2)|F [n]|L2)

C ((1 + |.|2) s2F [n]2L2F [n]2L1+ F [n]2L1(1 + |.|2)

s2 |F [n]2L2

)onde, nesta ultima desigualdade, aplicamos a Proposicao 1.1.4. Pela proposicao 1.6.8

segue que,

F [n]L1 CnHs e F [n]L1 CnHs

donde,

nnHs CnHsnHs

para todo n N.

Resta entao provar que nn uv em Hs(R). Para isto, observe primeiro que

nn mmHs n(n m)Hs + m(n m)Hs C(nHsn mHs + mHsn mHs)

e o lado direito da desigualdade acima tende a zero, posto que (nHs), (nHs) saolimitadas em R. Assim (nn) e uma sequencia de Cauchy no espaco de Banach Hs(R),

portanto existe w Hs(R) tal que

nn w em Hs(R). (1.1.8)

Afirmamos que w = u.v. De fato, como Hs(R) L2(R),

nn w em L2(R).


Alem disso, note que, dado n N,R|n(x)n(x) u(x)v(x)|2dx

R|n(x)n(x) n(x)v(x) + n(x)v(x) uv(x)|2dx

R

2(|n(x)|2|n(x) v(x)|2 + |v(x)|2|n(x) u(x)|2)dx

Uma vez que s > 12, Hs(R) L(R), deste modo, v L(R) e

n2L Cn2Hs C

para todo n N. Assim,R|n(x)n(x) u(x)v(x)|2dx 2Cn v2L2 + 2v2Ln u2L2

No entanto, note que uv verificando a primeira destas duas desigualdades, pela imersao

Hs(R) L(R) temos que a segunda desigualdade e verificada. De fato, dadosu, v Hs(R) temos,

uL < CuHs e vL < CvHs

deste modo,

uvHs C(uLvHs + uHsvL) C(uHsvHs + uHsvHs) CuHsvHs .

No caso onde n > 1 podemos facilmente adaptar as demonstracoes acima para provar

que Hs(Rn)L(Rn) e uma algebra se s (0, 1) ou se s > n2, nos demais casos o resultado

continua valido, assim como mostra o proximo teorema.

Teorema A.1.2. Seja u, v Hs(Rn) L(Rn), onde s > 0, entao Hs(Rn) L(Rn) euma algebra, com

uvHs C(uLvHs + vLuHs).

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