8/19/2019 Ecuacion de Energia Relativista y Limite No Relativista de KG

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Cuantica Avanzada

Jose SandovalMarch 8, 2016

Deducci´ on de la ecuaci on de energ´ ıa relativista.

Partiremos de la ecuaci on de momentum relativista y energ´ ıa relativista las cualesson:

P = γmυ (1)

E = γmc2 (2)

Dondeγ =

1

1 − υ2

c2

EntoncesP = mυ 1 −

υ2

c2

(3)

E = mc2

1 − υ2

c2

(4)

De la ecuaci on (3) despejaremos υ2

c2 .

P 2 = m2υ2

1 − υ2

c2

P 2 −P 2υ2

c2 = m2υ2

P 2 = m2υ2 + P 2υ2

c2

P 2c2 = m2c2υ2 + P 2υ2

υ2

c2 = P 2P 2 + m2c2 (5)

Ahora reemplazando (5) en (4)tenemos.

1

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E = mc2

1 − P 2

P 2 + m2c2

E 2 = m2

c4

1 − P 2

P 2 + m2c2

E 2 = m2c4

P 2 + m2c2 −P 2

P 2 + m2c2

E 2 = m2c4

m2

c2

P 2 + m2c2

E 2 = (P 2 + m2c2)m2c4

m2c2

E 2 = ( p2 + m2c2)c2

E 2 = c2 p2 + m2c4 ∴

Por otra parte de la ecuaci´on (4) consideraremos υc 1 por lo tanto podemos la expansi on

binomial (1 −x2)− 12 ≈1 + 1

2 x2 + ..., para x 1. en este caso x = υc

de modo que.

1

1 − υ2

c2

= (1 − υ2

c2 )− 1

2 = 1 + 12

υ2

c2 + ...

Entonces la ecuaci on (4) toma la forma siguiente.

E = mc2(1 + 12

υ2

c2 + ...)

Despreciando los terminos de segundo orden nalmente llegamos a la ecuaci´on de energıa quedeseabamos demostrar.

E = mc2∴

Ecuaci´on de Klein-Gordon para el limite no relativistaEn el lımite v c⇔ |k|

mc . En dicho lımite la relaci on de dispersion relativista se puede

desarrollar en serie de potencias como

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E (k) = ω (k) = ck0 = c m2c2

2 + k2

= mc2 1 + 2k2

m2c2

Considerando |k| mc

tenemos que

E (k) ≈mc2 1 + 12

2k2

m2c2 + ...

≈mc2 + 2k2

2m + ...,

i.e. la energıa se puede escribir como la energıa en reposo mc2, mas la energıa no relativistap 2/ 2m, mas correcciones de orden superior en v/c .

Para obtener una expansi´ on similar de la funcion de onda Ψ(x) empezaremos con la soluciongeneral de la ecuacion libre

Ψ (x) = √ c d3k

(2π)3 2k0a (k) e− ik · x + b(k)∗ eik · x (6)

Es importante notar que la ecuaci´on (6) tiene como soluciones particulares las dos ondasplanas liberalmente independientes e± ik · x . Consideremos un ansatz para la ecuaci´on (6) de laforma

Ψ (x , t ) = e− i mc2 t Ψ− (x , t ) + ei mc

2 t Ψ+ (x , t )

= e− i mc2 t Ψ− (x , t ) + ei 2 mc

2 t Ψ+ (x , t )

Notese que el factor de fase global de la segunda lınea tiene la forma que corresponderıa a laevolucion temporal de una soluci on estacionaria con energıa mc2; es decir, estamos intentando

aislar la contribuci on de la energıa en reposo y que los coecientes Ψ±

(x , t ) contengan ladependencia no trivial. Introduciendo el Ansatz en

ˆ 2 −k2 = 0

1c2 ∂ 2t −∇2 +

m2c2

2Ψ = 0 (7)

y multiplicando ambos miembros de la ecuaci´on por 2

2mei mc

2 t , se tiene

−i ∂ t Ψ− − 2∇

2

2m Ψ−

( I )

+ 2

2m∂ 2t Ψ−

( II )

+ ei 2 mc 2 t i ∂ t Ψ+ + 2

∇2

2m Ψ+ + 2

2m∂ 2t Ψ+

( III )

= 0

3

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Los tres terminos son(I) una ecuacion de Schrodinger libre (si es igualado a cero) para Ψ − ,

(II) un termino de segunda derivada temporal de Ψ − que se puede interpretar como unacorreccion relativista a la ecuaci on de Schrodinger, y

(III) una estructura identica para Ψ − , multiplicada por una fase de oscilaci on temporal confrecuencia 2mc2/ .

El factor de fase relativo entre las partes - y + es el mismo que aparece en el Ansatz. Siconsideramos la evolucion del sistema a lo largo de tiempos ∆ t 2mc2/ el factor de faseglobal en (III) se promediar a a cero, ya que da lugar a cambios de signo muy r apidos de esemiembro de la ecuacion; notese que si m es la masa del electron 2mc2/ (6, 45 ×10− 22s)− 1,de manera que a la escala at omica esto ocurrir a de manera muy eciente.

La imagen resultante es que Ψ − puede ser considerado el lımite no relativista de la ecuaci´on KG,e incluso sabemos como introducir correcciones (anadiendo el termino con ∂ 2t en la ecuacionde Schrodinger). El termino con Ψ + se hace relevante solo para tiempos muy pequen˜os, y esconvencionalmente llamado de Zitterbewegung (movimiento r apido). La interpretaci on deΨ− como funcion de onda no relativista est´a reforzada por el hecho de que si despreciamos laparte Ψ + del Ansatz.

∂ t Ψ = e− i mc2

−imc2

Ψ

ρ = i

2mc2 {Ψ∗∂ t Ψ −Ψ∂ t Ψ∗

} ≈ |Ψ− |2 (8)

AsıS 4 = icρ

S 4 = ic|Ψ− |2

Tiene precisamente la forma que conocemos para el caso no relativista.

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