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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Calcule a derivada de cada função abaixo:
2. Aplicação. Uma partícula se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem (em
metros) é dada, em função do tempo, pela equação: . Calcule S’ e S’’ e interprete o
resultado.
3. Aplicação. As vendas mensais M de um modelo Iphone recém-lançado são modeladas por
em que t é o número de meses desde o lançamento.
a) Determine M’(t).
b) Determine M(3) e M’(3) e interprete os resultados.
c) Determine M(24) e M’(24) e interprete os resultados.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1. Calcule a derivada de cada função abaixo:
2. Aplicação. O consumo mensal de cimento C (em toneladas) numa obra em construção é modelado
por C(t) = em que t é o número de meses desde o começo da obra.
a) Determine C’(t). b) Determine C(3) e C’(3) e interprete os resultados. c) Determine C(10) e C’(10) e interprete os resultados.
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3. Aplicação. A quantidade de ligação feitas por celulares ao longo do dia é modelada pela função
onde h é a hora da ligação ao longo do dia e Q é a quantidade total de pessoas
fazendo ligação no país (em milhões).
a) Determine Q’(h).
b) Determine Q(3) e Q’(3) e interprete os resultados.
c) Determine Q’(11), Q’(12) , Q’(13) e Q’(20) e faça uma análise da situação.
4. Aplicação. Um robô se desloca em linha reta, de tal forma que sua distância à origem (em metros) é
dada, em função do tempo, pela equação:
a) Calcular a sua velocidade no instante t =1s. b) Calcular a aceleração da partícula.
5. Controle de qualidade. A porcentagem P de peças defeituosas produzidas por um funcionário novo
t dias após ele ter começado a trabalhar pode ser modelada por
Determine as taxas de variação de P quando a) t= 1 e b) t = 10.
6. Aplicações. Qual é a derivada da função f(x) = 2x2 em x = 3? Invente um contexto “real” para esta
situação e interprete a derivada encontrada.
7. Aplicações. Qual é a derivada da função f(x) = (x + 2)/(x2+2) em x = 1? Invente um contexto “real”
para esta situação e interprete a derivada encontrada.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.a) 4x+1
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
2.a)
b) C(3)= =15,8 (Interpretação: Após três meses o início da obra o consumo mensal de cimento
é de 15,8 toneladas).
C’(3)= = + 0,28 (Interpretação: No terceiro mês de obra foi consumido 0,28 tonelada
de cimento a mais do que no mês anterior).
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1750
t
tP
c) C(10)= 9,1 (Interpretação: Após dez meses o início da obra o consumo mensal de cimento é de 9,1
toneladas).
C’(10)= = – 0,74 (Interpretação: No décimo mês de obra foi consumido 0,74
tonelada de cimento a menos do que no mês anterior).
3.a) Q’(h) = –2h + 24
b) Q(3) = –32 + 24.3 = 63 (Interpretação: Às 3h da manhã a quantidade de ligações feitas por celulares é
de 63 milhões)
Q’(3) = –2.3 + 24 = 18 (Interpretação: Houve um aumento de 18 milhões de ligações às 3 da manhã em
relação à hora anterior. Às 3h da manhã ouve 18 milhões de ligações a mais do que às 2h).
c) Q’(11) = –2.11 + 24 = +2
Q’(12) =–2.12 + 24 = 0
Q(13) =–2.13 + 24 = –2
Q(20) =–2.20 + 24 = –16
Análise: As derivadas indicam que até há aumento no número de ligações antes do meio dia, momento
em que é atingida a quantidade máxima de ligações no dia. Após este horário, o número de ligações
começa a diminuir.
Curiosidade: A afirmação anterior pode ser confirmada pelo gráfico a seguir.
Q(h)
4) a)
v(1) = 4 + 12.1 = 16 m/s
b) m/s2
5) P’(t) =
a) P’(1) = = -3,9 b) P’(10) = = -0,24
Os itens a e b indicam que a porcentagem de erros cometidos pelo funcionário cai à medida que o
tempo passa.
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dva
OUTRAS DERIVADAS
8. Calcule f´(x):
Respostas do Exercício 8
b) 5x.ln 5 c) πx.ln π e)
h) cos2x – sen2x = cos (2x)
i) j)
k) l) m)
n)
o) x + 2.ex + 2x.ln x
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