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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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rom

agne

tism

o

11.1 O que produz campos magnéticos?11.2 Não existem monopolos magnéticos11.3 A Lei de Ampère11.4 Campos elétricos variando com o tempo produzem campos magnéticos11.5 A Lei de Ampère-Maxwell11.6 A magnetostática11.7 O uso de simetrias na Lei de Ampère

11.7.1 Campo produzido por um fio grosso e infinito11.7.2 Campo produzido por um solenóide infinito11.7.3 O toróide

Gil da Costa Marques

DUAS LEIS DO ELETROMAGNETISMO11

261

Eletromagnetismo

Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 2

11.1 O que produz campos magnéticos?Neste tópico apresentaremos duas leis do eletromagnetismo. A primeira delas estipula que os

campos magnéticos não resultam da existência de cargas magnéticas (que seriam, se existissem, um

atributo análogo à carga elétrica). Ela expressa o fato de que as partículas que constituem a matéria

não são dotadas do atributo carga magnética. Não existem portanto, monopolos magnéticos.

Não existindo tal atributo, cabe a pergunta: Como são gerados os campos magnéticos?

A segunda lei que será apresentada foi formulada por Maxwell

e ela responde a essa questão. Essa lei estabelece uma relação entre

a taxa de variação de um campo magnético e os dois campos que

podem lhe dar origem: um campo elétrico variando com o tempo,

a uma dada taxa instantânea, e o campo densidade de corrente.

O fato é que dois fenômenos distintos dão origem a campos mag-

néticos: cargas em movimento (fenômeno já discutido no tópico

anterior) e campos elétricos variando com o tempo. Temos assim,

duas formas de gerar campos magnéticos. Nenhuma delas faz refe-

rência ao conceito de monopolos magnéticos.

Neste tópico abordaremos as leis que descrevem os dois fenômenos acima, e que dão origem

ao campo magnético. Trata-se de duas leis que, como bem entendeu Maxwell, podem ser

condensadas em uma só.

Inicialmente, procuraremos apresentar uma formulação mais geral da lei de Biot-Savart para

estabelecer uma relação entre as causas (cargas em movimento) e os efeitos (geração do campo

magnético). Nesse caso procura-se estabelecer uma relação entre taxas de variação do campo

magnético e a densidade de corrente. A essa lei damos o nome de Lei de Ampère. Ou seja, ela

estabelece que cargas em movimento geram um campo magnético cujas taxas de variação se

relacionam de uma forma simples (linear) com a densidade de corrente.

Campos elétricos variam com o tempo, por outro lado, podem dar origem a um campo

magnético. Essa foi a maior contribuição de Maxwell para o eletromagnetismo, pois ela levou à

Figura 11.1: James Clerk Maxwell (1831-1879).

262

11 Duas Leis do Eletromagnetismo


previsão das ondas eletromagnéticas e propiciou, numa segunda etapa, tratar a Ótica como um

ramo da ciência do eletromagnetismo.

Campos magnéticos são produzidos por meio de cargas em movimento ou campos elétricos

variando com o tempo.

11.2 Não existem monopolos magnéticosLembramos, primeiramente, que de acordo com a lei de Gauss, uma carga elétrica dá origem

a um campo elétrico. A carga elétrica é um atributo que gera um campo elétrico no espaço.

Esse campo, por outro lado, é tal que a soma das taxas de variação pontual do mesmo se rela-

cionam com a distribuição de cargas de tal forma que:

11.1

onde ρE é a densidade de cargas elétricas.

Sempre nos perguntamos se as partículas elementares não teriam um outro atributo ao qual

denominamos de carga magnéticas. Ou seja, se as partículas se comportam como monopolos

magnéticos. Se tal ocorresse, escreveríamos:

11.2

Onde agora, em analogia com 11.1, ρM representaria a densidade de monopolos magnéticos

(ou cargas magnéticas). Ocorre que até hoje não observamos a existência desse atributo em

qualquer um dos objetos analisados. Portanto, a conclusão é que:

Não existem cargas magnéticas

Fato esse que podemos expressar como:

11.3

0

yx z EEE E Ex y z

∂∂ ∂ ρ+ + ≡ ∇ =

∂ ∂ ∂ ε

0

yx z MBB B Bx y z

∂∂ ∂ ρ+ + ≡ ∇ =

∂ ∂ ∂ ε

0B∇ =

263

Eletromagnetismo


Essa é uma das quatro leis fundamentais do

eletromagnetismo. Ela expressa o fato que o

atributo carga magnética não existe.

Como resultado da lei resumida em 11.3,

as linhas de força do campo magnético são

sempre fechadas (veja Figura 11.2).

11.3 A Lei de AmpèreGrosso modo, esta lei estabelece que a existência de uma densidade de corrente dá origem a

um campo magnético. Existem duas formas de enunciar essa lei. Começaremos pela formulação

que faz uso do conceito de circulação de um vetor. Trata-se de uma formulação que leva em

conta aspectos globais do campo (em detrimento do campo analisado ponto a ponto).

A partir de uma sólida formação matemática Ampère elaborou, utilizando um formalismo

matemático que hoje denominamos cálculo avançado, a lei que rege os fenômenos observados por

Oersted e por ele mesmo. Com isso estabeleceu os fundamentos para uma formulação da teoria do

eletromagnetismo. Ou seja, que trata os fenômenos elétricos e magnéticos como sendo interligados.

A ideia básica é a de que a passagem de uma corrente leva à criação de um campo mag-

nético. A relação entre a corrente elétrica num fio e o campo magnético gerado por ele

não é tão simples, pois envolve o conceito de circulação do campo B ao longo do fio. A lei

de Ampère estabelece uma relação linear entre a circulação do campo magnético ao longo

de um caminho fechado e a corrente elétrica que passa por uma superfície imaginária que

contenha esse caminho.

Figura 11.2: As linhas de força do campo magnético sempre se fecham.

Tal lei tem, contudo, uma limitação. Ela é válida para correntes estacionárias, algo que será interpretado a seguir como correntes que não variam com o tempo. O caso geral será tratado ao final deste tópico.

264



Ou seja,

11.4

onde μ0 é uma constante denominada permeabilidade do vácuo e cujo valor é:

11.5

a formulação matemática mais precisa da lei de Ampère é:

11.6

Assim, a lei de Ampère (11.6) estabelece uma relação não local

entre o campo magnético e a corrente elétrica que o gera. Estabelece

assim uma relação entre um fenômeno elétrico (cargas elétricas em

movimento) e o elemento essencial dos fenômenos magnéticos

(o campo magnético). Estabelece, ademais, que a origem dos fenô-

menos magnéticos tem relação com fenômenos elétricos, ou seja

cargas elétricas em movimento.

Cerca de quarenta anos depois, Maxwell formulou a mesma lei (a lei de Ampère) em termos

de uma relação entre taxas de variação do campo magnético e a densidade de corrente.

Na formulação da lei de Ampère proposta por Maxwell, temos uma formulação mais geral

do que aquela que envolve uma corrente passando num fio. Nessa formulação Maxwell estabe-

lece uma relação linear entre uma densidade de corrente e a taxa de variação do campo que ela

gera. Para densidades de corrente que não dependem do tempo, escrevemos:

11.7

onde ( )J r

é o vetor densidade de corrente.

O vetor densidade de corrente, de acordo com a expressão 11.7, atua como uma fonte

do campo magnético. Observe-se que agora temos uma relação entre campos calculados no

mesmo ponto do espaço.

0 circulação do campo magnético i= µ

70 4 10 Henry/metro−µ = π

Figura 11.3: Visão em corte da seção transversal de um fio de área A e do fluxo da densidade de corrente e o caminho fechado sobre o qual se calcula a circulação do campo B.

0B dl iΓ

⋅ = µ∫

( ) ( )0B r J r∇× = µ

265

Eletromagnetismo


Observe que, nessa formulação, uma grandeza típica dos fenômenos elétricos (a corrente)

tem relação direta com uma grandeza que dá origem aos fenômenos magnéticos. Esse é o

aspecto essencial em relação à unificação da eletricidade com o magnetismo.

Consideremos agora o fluxo dos campos da expressão 11.7 numa superfície arbitrária, porem

aberta cujo contorno é uma curva aqui designada por Γ. Obtemos, portanto, a relação entre fluxos:

11.8

De acordo com o teorema de Stokes, o fluxo do rotacional de um vetor é igual à circulação

do mesmo ao longo da curva fechada que estabelece o seu contorno. Ou seja:

11.9

Lembrando a relação entre o fluxo da densidade de corrente e a corrente elétrica,

11.10

Assim, constatamos que podemos expressar a lei 11.7, formulada em termos dos campos

locais, em termos de grandezas não locais, pois a expressão 11.10 envolve integrais.

11.4 Campos elétricos variando com o tempo produzem campos magnéticos

Maxwell deu uma contribuição fundamental ao eletromagnetismo ao propor, com argu-

mentos que analisaremos depois, que a mera variação de um campo elétrico com o tempo é

suficiente para gerar um campo magnético. Ou seja, é possível gerá-lo mesmo numa região na

qual não existam cargas elétricas em movimento, como ocorre no espaço livre entre o Sol e a

Terra, condição essa expressa com densidade de corrente nula:

11.11

( ) ( )0A A

B r dS J r dS∇× = µ∫∫ ∫∫

( ) ( )A

B r dS B r dlΓ

∇× =∫∫ ∫

( )A

J r dS i=∫∫

( ), 0J r t =

266



Na ausência de uma densidade de corrente é possível o surgimento de um campo magnético

desde que exista nessa região um campo elétrico variável com o tempo. De acordo com Maxwell,

essa lei se escreve como:

11.12

onde c é a velocidade da luz no vácuo. Essa lei expressa o fato de que uma taxa de variação

instantânea do campo eletrico é capaz de produzir um campo magnético. Ela estabelece uma

relação simples, linear, entre as taxas de variação instantâneas das componentes do campo

elétrico e as taxas de variação pontual dos campos magnéticos.

A expressão 11.12 implica, por outro lado, noutra relação bastante simples e direta entre os

fenômenos elétricos e magnéticos.

Um fato curioso a respeito da lei 11.12, é que os campos magnéticos gerados pela variação

do campo elétrico são de intensidade menor do que aqueles gerados por cargas elétricas.

Isso se deve ao fator 1/c2 multiplicando a taxa de variação do campo elétrico na expressão

11.12. Por essa razão esse fenômeno não fôra observado até a época de Maxwell. A evidência

experimental para tal fato veio com a descoberta das ondas eletromagnéticas.

11.5 A Lei de Ampère-MaxwellAs duas leis 11.7 e 11.12, dando conta de que tanto cargas em movimento quanto a variação

do campo elétrico levam à produção de um campo magnético, leva-nos à lei de Ampère-Maxwell,

a qual é escrita como:

11.13

Essa lei, sob a forma 11.13, é válida desde que fora de uma região que contem meios

materiais. Isto é, ela é válida no vácuo.

Claramente essa lei é valida nos casos descritos por 11.11 e 11.12.

( ) ( )2

,1,E r t

B r tc t

∂∇× = −

∂

( ) ( ) ( )0 2

,1, ,E r t

B r t J r tc t

∂∇× = µ +

∂

267

Eletromagnetismo


Ademais, se pode verificar que ela é consistente com a conservação da carga elétrica. Isso se

pode verificar tomando o divergente de ambos os termos da equação 11.13. Lembrando que o

divergente do lado esquerdo é nulo, obtemos que divergente do lado direito é nulo:

11.14

Valendo-nos agora da lei de Gauss (5.30), obtemos a lei da conservação da carga elétrica:

11.15

11.6 A magnetostáticaDenominamos magnetostática ao estudo das consequências das leis do eletromagnetismo

nos casos em que podemos desprezar a variação do campo elétrico na expressão 11.13. Como se vê,

ela pode ser entendida como uma aproximação da situação real.

Na formulação de Maxwell, a magnetostática é regida por suas leis. A saber:

11.16

11.17

Da equação acima, e de 11.15, fica evidente que ela é válida apenas para fenômenos tais que

a densidade de carga elétrica não varia com o tempo. Isto é:

11.18

Se substituirmos a solução da equação 11.16, que em última análise correspode a escrever

o campo magnético como o rotacional de uma função vetorial, denominada potencial vetor:

11.19

( )( )( )

0

,, 0

E r tJ r t

t∂ ∇

∇ + ε =∂

( ) ( ),, 0

r tJ r t

t∂ρ

∇ + =∂

( ) 0B r∇⋅ =

( ) ( )0B r J r∇× = µ

( ),0

r tt

∂ρ=

∂

( ) ( )B r A r= ∇×

268



Obtemos a seguinte identidade:

11.20

Tendo em vista que podemos sempre tomar o divergente do potencial vetor igual a zero:

11.21

Concluimos que o campo potencial vetor satisfaz à equação:

11.22

Pode-se provar que a solução da equação 11.22 é:

11.23

Calculando o rotacional do potencial vetor ( )A r

dado em 11.23, obtemos a lei de Biot-

Savart (10.13). Assim, a lei de Biot-Savart pode ser deduzida da lei de Ampère quando formu-

lada em termos de operadores de campo, como em 11.17 e 11.19.

11.7 O uso de simetrias na Lei de AmpèreNa magnetostática, temos duas alternativas para determinar o campo magnético uma vez

conhecidas as correntes. A primeira envolve efetuar integrais como aquelas das expressões 11.23

ou, equivalentemente, 10.13. A segunda alternativa envolve o calculo da circulação de vetores,

fazendo uso da expressão 11.10.

A lei de Ampère, quando expressa em termos da circulação do campo não é muito útil, em

geral, para se determinar o campo magnético. Isso ocorre porque o cálculo da circulação pressupõe

o conhecimento do campo. No entanto, como no caso da lei de Gauss, podemos fazer uso de

argumentos de simetria para a determinação do campo magnético produzido por uma corrente

elétrica a partir da lei de Ampère quando escrita em termos da circulação do campo. Quando

lançamos mão de tais argumentos, isso simplifica enormemente o cálculo do campo magnético.

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )0A r A r A r J r∇× ∇× = ∇ ∇ −∇ ∇ = µ

( ) 0A r∇ =

( ) ( ) ( )2 2 2

202 2 2A r A r J r

x y z ∂ ∂ ∂

∇ = + + = −µ ∂ ∂ ∂

( ) ( )0

4′µ ′=′π −∫∫∫

J rA r dV

r r

269

Eletromagnetismo


Os argumentos de simetria aludidos acima dizem respeito à simetria da distribuição de

correntes e, a partir desses argumentos de simetria, podemos fazer inferência sobre a dependência

dos campos bem como sobre a direção desses campos.

Consideremos o caso de uma densidade de corrente que tenha uma simetria cilíndrica.

Isso quer dizer que a densidade de corrente tem apenas a componente z e que ela depende

apenas da coordenada ρ. Explicitamente, escrevemos:

11.24

Tomando uma superfície de raio r e perpendicular ao cilindro,

podemos escrever para um elemento dessa superfície:

11.25

ao passo que para o elemento de comprimento, para a superfície da

Figura 11.4, temos:

11.26

Por argumentos de simetria espera-se que, no caso da densidade de corrente com as propriedades

acima descritas, o campo magnético seja tal que

11.27

O argumento de simetria aludido acima não é nada trivial. Na rea-

lidade, ele advém da lei de Ampère na formulação local (11.7). Grosso

modo, podemos sempre fazer uso da regra da mão direita. Por essa regra,

podemos especificar a direção do campo magnético utilizando os dedos

da mão direita. De acordo com essa regra, se utilizarmos o polegar para

indicar a direção da corrente, os demais dedos darão a direção e o sentido

do campo magnético em cada ponto.

Figura 11.4: Direção e sentido do campo magnético produzido por um fio retilíneo.

( ) ( )zJ J kρ = ρ

dS d d k= ρ ρ ϕ

Figura 11.5: Regra da mão direita para determinar o sentido do campo magnético.

dl reϕ=

( ) ( )B B eϕρ = ρ

270



11.7.1 Campo produzido por um fio grosso e infinito

Consideremos, a título de ilustração, o caso de um fio

infinito percorrido por uma corrente de intensidade

total i. Admitamos que o fio seja grosso, ou seja, ele é

caracterizado por um raio R. Por argumentos de simetria,

admitiremos agora as expressões gerais já consideradas.

No caso de um fio infinito tomando um caminho circular de

raio r em torno do fio e utilizando a expressão 11.27, obtemos que

a circulação do campo B ao longo desse caminho será dada por:

11.28

A integral da densidade de corrente sobre a superfície plana contendo o círculo de raio r e

para o caminho escolhido (veja Figura 11.7) nos leva ao resultado:

11.29

onde i(r) é a corrente no interior da superfície de raio r. Consequentemente, a lei de Ampère

nos permite prever, para a componente azimutal do campo elétrico, a seguinte expressão:

11.30

Apesar da escolha da superfície plana contendo o círculo, o resultado 11.30 vale para

qualquer superfície que o contenha.

Para os pontos externos ao fio, isto é, para pontos tais que:

11.31

Figura 11.6: Fio percorrido por uma corrente.

Figura 11.7: Caminho circular em torno do fio.

( ) ( )2

0

2B dl B r rd rB rπ

Γ

⋅ = ϕ = π∫ ∫

( ) ( )2

0

r

o

i r d d Jπ

= ϕ ρρ ρ∫ ∫

( ) ( )0

2i r

B rr

µ=

π

>r R

271

Eletromagnetismo


o campo magnético é dado por:

11.32

onde, agora, a corrente i é a corrente total fluindo através do fio.

A expressão 11.32 nos dá o módulo da corrente. Para obtermos a informação completa

sobre o campo magnético (inclusive a direção e o sentido), devemos recorrer à expressão veto-

rial. Utilizando 11.32 e 11.27 escrevemos:

11.33

11.7.2 Campo produzido por um solenóide infinito

O solenóide é um arranjo de espiras circulares pelas quais passa

uma corrente i. As espiras são dispostas paralelamente umas às

outras e com a máxima aproximação possível. Na medida em que

com esse arranjo podemos obter campos magnéticos praticamente

uniformes e intensos, o solenóide é um dispositivo bastante útil.

Um dos maiores solenóides já construidos está instalado num dos

maiores laboratórios do mundo (o CERN) (veja Figura 11.8).

A utilização da regra da mão direita aludida anteriormente nos leva a concluir que, para um

solenóide infinito, o campo magnético nos pontos externos ao solenóide se anula;

11.34

enquanto que, para os pontos internos ao solenóide, o campo magné-

tico é uniforme e é dado pela expressão vetorial:

11.35

onde k

é um versor na direção do eixo do solenóide (veja Figura 11.9).

( ) 0

2iB rr

µ=

π

( ) 0

2IB eϕ

µρ =

πρ

Figura 11.8: Solenóide do ATLAS. / Fonte: ATLAS.

Figura 11.9: Direção do campo magnético interior do solenóide.

fora 0B =

dentro0B B k=

http://atlas.kek.jp/sub/photos/Solenoid/SolenoidFabrication/solenoid.jpg

272



A razão para a simplicidade das expressões 11.34 e 11.35 advém

do fato de que a superposição do campo magnético das várias espiras

terá um efeito destrutivo fora do arranjo de espiras e terá um efeito

de superposição construtiva para os pontos no interior das mesmas.

No caso de um solenóide finito, essas expressões valem apenas

como uma boa aproximação (veja Figura 11.10). Quanto maior o

tamanho do solenóide tanto melhor é a aproximação no que tange

à validade das expressões 11.34 e 11.35.

Considerando um caminho fechado como o da Figura 11.11,

concluiremos que a circulação será igual à integral de caminho ao

longo de 4 caminhos distintos. Nos caminhos 2, 3

e 4, a circulação é nula. No caminho 3, ela se anula

porque o campo magnético é igual a zero fora do

solenóide. Nos caminhos 2 e 4, a circulação se anula

porque o campo magnético é perpendicular à direção

do caminho. A integral ao longo de um caminho de

comprimento L é dada por:

11.36

O lado direito da equação envolve a corrente total que passa no interior da superfície.

Nesse caso, temos que, se ao longo do percurso de comprimento L tivermos n espiras, a corrente

total i e escreve como:

11.37

A lei de Ampère implica, portanto, que o campo magnético será dado pela expressão:

11.38

Donde se infere que o campo magnético no interior do solenóide será dado por:

11.39

Figura 11.10: Direção do campo mag-nético nos extremos do solenóide.

Figura 11.11: Percurso utilizado na determinação do campo magnético.

0 00

L

B dl B dz B LΓ

⋅ = =∫ ∫

i ni≡

0 0B L ni= µ

0 0 = µ

nB iL

273

Eletromagnetismo


O campo magnético uniforme depende, assim, além da corrente que passa pelo fio, do

número de espiras por unidade de comprimento (a grandeza n / L em 11.39).

11.7.3 O toróide

O toróide é um outro arranjo bastante simples e muito útil de

espiras. Neste caso, as espiras são enroladas formando uma superfície de

revolução que pode ser pensada como a de um circulo que percorre

uma circunferência de raio R, o raio do toróide (veja Figura 11.12).

Levando em conta as considerações de simetria já enunciadas,

podemos prever, que, como no solenóide infinito, o campo magné-

tico nos pontos externos ao toróide se anula;

11.40

enquanto, para os pontos internos ao toróide, o campo magnético tem a direção azimutal e seu

módulo é constante. Na linguagem de vetores podemos escrever, para o campo magnético no

interior do toróide:

11.41

onde eφ é um versor na direção azimutal.

A validade das aproximações 11.40 e 11.41 depende de duas hipóteses. A primeira, é a de que

as espiras devem estar bem próximas umas das outras. A segunda é que o raio das espiras deve ser

muito pequeno (muito menor do que o raio do Toróide).

Considerando o caminho circular de raio R, o raio do toróide,

obtemos para o campo magnético dado pelas expressões 11.40 e 11.41,

o seguinte resultado:

11.42

Figura 11.12: Toróide.

fora 0B =

dentro0B B eϕ=

Figura 11.13: Percurso utilizado na determinação de um campo magnético de um toróide.

2

0 00

( ) 2B dl B Rd B Rπ

Γ

⋅ = ϕ = π∫ ∫

274



O lado direito da equação de Ampère sempre envolve a corrente

total que passa no interior da superfície. Considerando-se que, no

caminho circular de raio R, temos N espiras (onde N, agora, é o

número total de espiras), a corrente total i se escreve nesse caso como:

11.43

A lei de Ampère nos leva nesse caso à determinação do campo magnético. De fato, a partir

de 11.42 e 11.43 e da lei de Ampère, segue-se que o valor de B0 é dado por:

11.44

A expressão 11.44 tem uma forma bastante semelhante à do campo magnético de um sole-

nóide. A diferença está no fato de que, no caso do toróide, o campo magnético não é uniforme.

Nos dois casos, no entanto, os módulos do vetor campo magnético são constantes.

Figura 11.14: Corrente total levando-se em conta “N” espiras percorridas por uma corrente “i”.

i Ni≡

0 0 2 = µ π

NB iR

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