DONALD NEUMANN - 2020. 3. 10.آ  DONALD NEUMANN Sآ´INTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS H 2/Hâˆ‍...

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  • DONALD NEUMANN

    SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS H2/H∞ D−ESTÁVEIS VIA ALGORITMOS EVOLUTIVOS: UMA

    ABORDAGEM LMI

    CURITIBA

    2006

  • DONALD NEUMANN

    SÍNTESE DE CONTROLADORES ROBUSTOS H2/H∞ D−ESTÁVEIS VIA ALGORITMOS EVOLUTIVOS: UMA

    ABORDAGEM LMI

    Dissertação de mestrado apresentada ao Pro- grama de Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas da Pontif́ıcia Universi- dade Católica do Paraná como requisito par- cial para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em Engenharia de Produção e Sistemas.

    Orientador:

    Humberto Xavier de Araújo

    Pontif́ıcia Universidade Católica do Paraná - PUCPR

    CURITIBA

    2006

  • i

    ”Como podemos reconciliar nossa capacidade de refletir

    sobre o mundo e sobre nós mesmos com o fato de que nossas vidas

    são tão curtas, de que por mais que amemos e aprendamos,

    teremos sempre muito mais o que amar e aprender?”

    (Marcelo Gleiser)

  • ii

    Aos meus pais

    que possibilitaram este trabalho.

  • iii

    Agradecimentos

    Agradecer aos nossos pais não deixa de ser um clichê, mas nem por isso se faz menos

    importante. Agradeço a eles a possibilidade e o apoio concedidos por poucos pais a poucos

    filhos para a realização de um trabalho como este. Considero-me privilegiado. À minha

    Pátria amada e idolatrada Brasil, sou eternamente grato por, através da Coordenação

    de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CAPES), apoiar financeiramente este

    projeto, acreditar no meu potencial e me proporcionar alguns dos melhores anos da minha

    vida, indiscutivelmente. Ao meu orientador, professor Dr. Humberto Xavier Araújo

    agradeço a força, a confiança e a paciência com os estudos. Ao professor Dr. Leandro

    dos Santos Coelho, agradeço os valiośıssimos conselhos, idéias e ajuda. Aos professores

    Dr. Robert Carlisle Burnett, Sheila dos Santos Rheiner, Dr. Paulo Henrique Müller do

    Prado e Dr. Darli Rodrigues Vieira, agradeço o empenho em suas aulas, que despertou em

    mim o anseio pela pesquisa cient́ıfica e o amor pela academia. A todos os meus amigos,

    agradeço por entenderem minha ausência por conta dos estudos. E, finalmente, à Sarah

    agradeço pelo seu simples sorriso, uma inspiração para viver.

    Um sincero Muito Obrigado!

  • iv

    Sumário

    Lista de Publicações 1

    Lista de Figuras 2

    Lista de Tabelas 7

    Lista de Śımbolos 9

    Lista de Abreviaturas 11

    Resumo 12

    Abstract 13

    1 Introdução 14

    2 Considerações Preliminares 25

    2.1 Conjunto Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.2 Funcional Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    2.3 Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.3.1 Problema de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.3.2 Factibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    2.3.3 Vizinhança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.3.4 Ótimo Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.3.5 Ótimo Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.4 Função Anaĺıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  • Sumário v

    2.5 Espaços . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.5.1 Espaço de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2.5.2 Espaço L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.3 Espaço de Hardy H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.4 Espaço L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    2.5.5 Espaço de Hardy H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.6 Desigualdades Matriciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.6.2 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    2.6.3 Complemento de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    2.6.4 Bounded Real Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    2.6.5 Regiões LMI de Alocação de Pólos e D-estabilidade . . . . . . . . 33

    2.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3 Sistemas Incertos e Controle Robusto H2/H∞ 38

    3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

    3.2 Sistemas Incertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    3.3 Estabilidade Quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    3.4 Problema H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    3.5 Problema H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    3.6 Problema de Controle Robusto Misto H2/H∞ Sujeito à D−estabilidade . 59

    3.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    4 Algoritmos Evolutivos 65

    4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    4.2 Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    4.2.1 Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  • Sumário vi

    4.2.2 Função Objetivo e Função Aptidão . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    4.2.3 Seleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

    4.2.4 Probabilidades de Cruzamento e Mutação . . . . . . . . . . . . . 73

    4.2.5 Reinserção e Elitismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.3 Algoritmo de Michalewicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    4.3.1 Mutação Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3.2 Mutação de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3.3 Mutação Não-Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    4.3.4 Cruzamento Aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.3.5 Cruzamento Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    4.3.6 Cruzamento Heuŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    4.4 Evolução Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    4.5 Algoritmo de Salomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    4.6 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    5 Algoritmo Hı́brido 87

    5.1 Estrutura Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    5.2 Função Objetivo e Função Aptidão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    5.3 Seleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    5.4 Estratégia Elitista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    5.5 População Inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    5.6 Operadores de Recombinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    5.6.1 Grupo de Operadores de Recombinação I . . . . . . . . . . . . . . 92

    5.6.1.1 Cruzamento Aritmético . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5.6.1.2 Cruzamento Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    5.6.1.3 Cruzamento Heuŕıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

    5.6.2 Grupo de Operadores de Recombinação II . . . . . . . . . . . . . 94

  • Sumário vii

    5.6.2.1 Operador de Recombinação 1 . . . . . . . . . . . . . . . 94

    5.6.2.2 Operador de Recombinação 2 . . . . . . . . . . . . . . . 94

    5.6.2.3 Operador de Recombinação 3 . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.6.2.4 Operador de Recombinação 4 . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.6.3 Operador de Evolução Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.7 Operadores de Mutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

    5.7.1 Grupo de Operadores de Mutação I . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    5.7.1.1 Mutação Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    5.7.1.2 Mutação de Contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    5.7.1.3 Mutação Não-Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    5.7.2 Grupo de Operadores de Mutação II . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.7.2.1 Operador de Mutação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.7.2.2 Operador de Mutação 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.7.2.3 Operador de Mutação 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.7.2.4 Operador de Mutação 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.7.3 Operador de Salomon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.8 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    6 Resultados 103

    6.1 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105