DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS · DISTRIBUIÇÃO NORMAL Estatística Aplicada à...
Transcript of DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS · DISTRIBUIÇÃO NORMAL Estatística Aplicada à...
DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONJUNTAS
Estatística Aplicada à Engenharia
ROTEIRO
1. Distribuições conjuntas 2. Independência 3. Confiabilidade 4. Combinações lineares de variáveis
aleatórias 5. Referências
Estatística Aplicada à Engenharia
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Estatística Aplicada à Engenharia
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Estatística Aplicada à Engenharia
Definição: Diz-se que uma variável aleatória X tem distribuição Normal com média μ e variância σ2 (denota-se X ~ N(μ; σ2)) se sua função densidade de probabilidade f for escrita como
f(x)=1
2πσ 2exp −
1
2σ 2x −µ( )
2⎧⎨⎩
⎫⎬⎭,−∞ < x <∞.
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Estatística Aplicada à Engenharia x
f(x)
µ
• A média é um parâmetro de localização e a variância é um parâmetro de escala;
PROPRIEDADES DA NORMAL
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
N(−1, 1)N(0, 1)N(1, 1)
Estatística Aplicada à Engenharia 5
• A média é um parâmetro de localização e a variância é um parâmetro de escala;
PROPRIEDADES DA NORMAL
−4 −2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
x
f(x)
N(0, 1)N(0, 2)N(0, 3)
Estatística Aplicada à Engenharia 6
PROPRIEDADES DA NORMAL
• Pode-se obter uma normal padrão (média zero e variância um) a partir de qualquer variável aleatória X, que seja normal com média μ e variância σ2, utilizando a transformação
• Note que o denominador corresponde ao desvio
padrão, e não à variância
Estatística Aplicada à Engenharia
Z =X −µσ
σ = σ 2
PROPRIEDADES DA NORMAL
• Diferentes probabilidades referentes a X podem ser obtidas de tabelas normais padrão simplesmente padronizando
• A normal padrão é simétrica em torno de zero, facilitando vários cálculos. Por exemplo,
Estatística Aplicada à Engenharia
P X ≤ x( ) = P X −µσ
≤x −µσ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = P Z ≤
x −µµ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
P Z > z( ) = P Z < −z( )
EXEMPLOS
• Sejam X~N(0;1), Y~N(-2;4), V~N(6;9) e W~N(3;0,25). Calcule:
a)
b)
c)
d) Estatística Aplicada à Engenharia
P X ≤1,96( )
P Y > 0( )P 4,5 ≤V ≤ 6,5( )
P W ≤ 3,5( )
• Através da tabela, pode-se também obter pontos zp tais que
PROPRIEDADES DA NORMAL
P Z > zp( ) = p
0 zp
p
Estatística Aplicada à Engenharia 10
EXEMPLOS
• Sejam X~N(0;1), Y~N(-2;4), V~N(6;9) e W~N(3;0,25). Calcule x, y, v, e w que garantem as respectivas probabilidades:
a)
b)
c)
d)
Estatística Aplicada à Engenharia
P −x ≤ X ≤ x( ) = 0,95
P Y > y( ) = 0,025
P V ≤ v( ) = 0,975
P W ≤w( ) = 0,95
DISTRIBUIÇÕES CONJUNTAS
Estatística Aplicada à Engenharia
DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA
• Em muitos experimentos, mais de uma variável aleatória é observada;
• Exemplos:
• O diâmetro (X) e a espessura (Y) de um disco moldado por injeção;
• A espessura de um substrato (X), de uma camada ativa (Y) e de uma camada de revestimento (Z) de um produto químico;
Estatística Aplicada à Engenharia
DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA
• Suponha que estejamos interessados em analisar probabilidades conjuntas relacionadas às variáveis aleatórias X e Y. Por exemplo, a probabilidade de X pertencer ao intervalo [a,b] e Y pertencer ao intervalo [c,d]:
• Assim como no caso univariado, esse tipo de probabilidade será calculada de acordo com o tipo de variável aleatória;
P(a ≤ X ≤ b,c ≤ Y ≤ d)
Estatística Aplicada à Engenharia
DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA
• Caso contínuo:
em que corresponde à função densidade de probabilidade conjunta de X e Y; • Caso discreto: em que
P(a ≤ X ≤ b,c ≤ Y ≤ d)= f(x,y)dxdyc
d
∫a
b
∫ ,
f (x, y)
P(a ≤ X ≤ b,c ≤ Y ≤ d)= f(x,y)y=c
d
∑x=a
b
∑ ,
f(x,y)= P(X = x,Y = y).
Estatística Aplicada à Engenharia
Diâmetro
Espessura
f(x,y)
No caso do exemplo anterior, poderíamos i m a g i n a r q u e a distribuição conjunta entre Diâmetro e Espessura seria como na figura ao lado.
DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
• É possível simplificar os cálculos relacionados a probabilidades conjuntas, dependendo das suposições do modelo de probabilidade;
• Uma suposição bem frequente em várias situações corresponde ao caso de independência de variáveis aleatórias;
• De uma forma mais geral, podemos considerar não apenas duas variáveis (por exemplo, X e Y), mas
X1,X
2,…,X
n.
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Definição:
As variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn são independentes se, para quaisquer conjuntos E1, E2, ..., En, tivermos
P(X
1∈ E
1,X
2∈ E
2,…X
n∈ E
n)= P(X
1∈ E
1)P(X
2∈ E
2)…P(X
n∈ E
n).
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Exemplo 1: O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de um eixo selecionado ao acaso obedecer às especificações?
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Resolução: Denotemos por X o diâmetro do eixo. Portanto, temos que Logo,
X ~N(0,2508;0,00052).
P(0,2485 < X < 0,2515)= P0,2485−0,2508
0,0005< Z <
0,2515−0,25080,0005
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= P(−4,6 < Z <1,4)
= P(Z <1,4)−P(Z < −4,6)
= 0,9192−0,0000
= 0,9192Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Exemplo 1 (continuação): O diâmetro de um eixo de drives ópticos de armazenagem é normalmente distribuído com média de 0,2508 polegada e desvio padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 ± 0,0015. Qual a probabilidade de que todos os diâmetros dos 10 eixos obedeçam às especificações? Suponha que os diâmetros sejam independentes.
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Resolução: Denotemos por Xi o diâmetro do i-ésimo eixo,
Portanto, temos que Sob a suposição de que os diâmetros são independentes, a probabilidade de todos os eixos obedecerem às especificações será
i =1,2,…,10.Xi~N(0,2508;0,00052).
P(0,2485 < X1< 0,2515,0,2485 < X
2< 0,2515,…,0,2485 < X
10< 0,2515)
= P(0,2485 < X1< 0,2515)P(0,2485 < X
2< 0,2515)…P(0,2485 < X
10< 0,2515)
= 0,9192×0,9192×…×0,9192
= 0,919210 ≈ 0,4306
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Exemplo 2: Suponha que X1, X2 e X3 representem a espessura em micrômetros de um substrato, de uma camada ativa e de uma camada de revestimento de um produto químico, respectivamente. Supondo independência e que em que As especificações para a espessura do substrato, a camada ativa e a camada de revestimento são, respectivamente, 10.000±800, 1.000±50 e 80±5. Qual a proporção de produtos químicos que atende a todas as especificações? Qual tem a menor probabilidade de atender às especificações?
Xi~N(µ
i;σ
i2), i =1,2,3,
µ1=10.000,µ
2=1.000,µ
3= 80,σ
1= 250,σ
2= 20,σ
3= 4.
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Resolução: Usando a notação da definição de independência, temos que Como as variáveis aleatórias são independentes, Após a padronização, temos que
E1= (9200;10800),E
2= (950;1050) e E
3= (75;85).
P(9200 < X1<10800,950 < X
2<1050,75 < X
3< 85)
= P(X1∈ E
1,X
2∈ E
2,X
3∈ E
3)
= P(X1∈ E
1)P(X
2∈ E
2)P(X
3∈ E
3)
= P(9200 < X1<10800)P(950 < X
2<1050)P(75 < X
3< 85).
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Resolução (continuação): Lembrando que Além disso, a espessura da camada de revestimento apresenta a menor probabilidade de atender às especificações, sendo esta 0,7888.
P(9200 < X1<10800,950 < X
2<1050,75 < X
3< 85)
= P(−3,2 < Z < 3,2)P(−2,5 < Z < 2,5)P(−1,25 < Z <1,25)
= 0,9986×0,9876×0,7888 = 0,7779.
Z ~N(0,1).
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Exemplo 3: Considere um sistema com dois componentes em série. Esse sistema opera somente se ambos os c o m p o n e n t e s e s t i v e r e m f u n c i o n a n d o . A s probabi l idades do pr imeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os componentes operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema?
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Resolução: Denotemos por Ci o evento em que o componente i está funcionando, i=1, 2. Para o sistema operar, ambos os componentes devem estar funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será P(C
1∩C
2)= P(C
1C2)= P(C
1)P(C
2)= 0,9×0,95 = 0,855.
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Exemplo 4: E se os componentes estivessem em paralelo? Em outras palavras, o sistema estará operacional se pelo menos um dos componentes estiverem funcionando. A probabilidades do primeiro e do segundo componentes funcionarem são, respectivamente, 0,9 e 0,95. Supondo que os operem de forma independente, qual a probabilidade do sistema não apresentar problema?
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Resolução: Denotemos por Ci o evento em que o componente i está funcionando, i = 1, 2. Para o sistema operar, pelo m e n o s u m d o s c o m p o n e n t e s d e v e e s t a r funcionando. Assim, como os componentes funcionam de forma independente, a probabilidade do sistema funcionar será
P(C1∪C
2)= P(C
1)+P(C
2)−P(C
1C2)
= P(C1)+P(C
2)−P(C
1)P(C
2)
= 0,9+0,95−0,9×0,95 = 0,995.
Estatística Aplicada à Engenharia
INDEPENDÊNCIA
Resolução 2: Denotemos agora Ci’ como sendo o evento em que o componente i falha, i = 1, 2. Nesse caso, também podemos calcular a probabilidade do sistema funcionar fazendo Observe que, nesse exemplo, o sistema falha apenas se todos os componentes falharem.
P(C1∪C
2)=1−P(C
1'C
2')=1−P(C
1')P(C
2')
=1−0,1×0,05 = 0,995.
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Definição: Confiabilidade é o nome que se dá a probabilidade de um componente não falhar ao longo do tempo de sua missão;
• Suponha que ri denote a confiabilidade de um componente i em um sistema que consiste em k componentes, e que r denote a probabilidade do sistema não falhar ao longo do tempo da missão;
• r pode ser chamado de confiabilidade do sistema;
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
• A confiabil idade de um sistema em série corresponde a
• A confiabilidade de um sistema em paralelo
corresponde a
r = r1r2!r
k;
r =1−(1− r1)×(1− r
2)×!×(1− r
k).
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Exemplo 5: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione i n d e p e n d e n t e m e n t e d o s d e m a i s . Q u a l a probabilidade do sistema operar?
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Exemplo 5:
C3 0,95
C1 0,92
C2 0,90
C4 0,99
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Resolução: Denotemos por B o evento em que o subsistema de componentes em paralelo C2 e C3 esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C1, B e C4 estejam funcionando em série.
C3 0,95
C1 0,92
C2 0,90
C4 0,99
Bloco B Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Resolução: A probabilidade do subsistema B estar operacional é Portanto, como cada componente funciona de forma independente dos demais, a probabilidade do sistema funcionar será
P(C1∩B∩C
4)= P(C
1)×P(B)×P(C
4)
= 0,92×0,995×0,99 = 0,906246.
P(B)= P(C2∪C
3)=1−(1−P(C
2))×(1−P(C
3))
=1−0,1×0,05 = 0,995.
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Exemplo 6: O sistema mostrado na figura a seguir opera somente se houver um caminho de componentes funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada componente funcionar é mostrada na figura. Suponha que cada componente funcione i n d e p e n d e n t e m e n t e d o s d e m a i s . Q u a l a probabilidade do sistema operar?
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Exemplo 6:
C1 0,92
C3 0,80
C5 0,90
C7 0,99
C4 0,90
C2 0,90
C6 0,95
C8 0,98
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Resolução: Denotemos por Bi o evento em que o subsistema de componentes em paralelo do Bloco i esteja funcional. Assim, para o sistema operar, é necessário que C1, B1, B2, C7 e C8 estejam funcionando em série.
C1 0,92
C3 0,80
C5 0,90
C7 0,99
C4 0,90
C2 0,90
C6 0,95
C8 0,98
Bloco 1 Bloco 2 Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
• Pode ocorrer de se querer saber a respeito do tempo de vida de um sistema;
• Considere um sistema com k componentes, e que o tempo de vida do componente i seja denotado pela variável aleatória Xi, i = 1, 2, ..., k. Suponha independência entre as variáveis;
• O tempo de vida T de um sistema dependerá da forma como seus componentes estão dispostos;
Estatística Aplicada à Engenharia
• No caso em que o sistema for em série, a distribuição do tempo de vida do sistema será o mínimo dos tempos dos componentes:
• No caso em que o sistema for em paralelo, a distribuição do tempo de vida do sistema será o máximo dos tempos dos componentes
P(T ≤ t)=1−P(T > t)
=1−P(X1> t,!,X
k> t)
=1−P(X1> t)×!×P(X
k> t);
P(T ≤ t)= P(X1≤ t,!,X
k≤ t)
= P(X1≤ t)×!×P(X
k≤ t);
CONFIABILIDADE
Estatística Aplicada à Engenharia
CONFIABILIDADE
Exemplo 7: Considere um sistema com três componentes operando em série. Suponha que o tempo de vida (em dias) de cada componente seja exponencialmente distribuído com a mesma taxa de falha λ= 0,01. Assuma também q u e o s c o m p o n e n t e s f u n c i o n a m o u f a l h a m independentemente. a) Qual o tempo médio de vida de cada componente? b) Qual o tempo médio de vida do sistema? c) Qual a probabilidade do tempo de vida do sistema ser
superior a 400 dias? d) Responda os itens acima supondo que o sistema
funcione em paralelo.
Estatística Aplicada à Engenharia
COMBINAÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Estatística Aplicada à Engenharia
COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A.’S
• O estudo relacionado ao tempo de vida de sistemas (em série e/ou paralelo) é apenas um exemplo de transformações de variáveis aleatórias (independentes);
• Um outro tipo de transformação de variáveis aleatórias muito comum, e que será abordado com frequência, corresponde à combinação linear de variáveis aleatórias;
• A suposição de independência também será comum aqui;
Estatística Aplicada à Engenharia
COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A.’S
Definição: Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias com média
e variância Dizemos que, para c1, c2, ..., cn constantes, corresponde a uma combinação linear de variáveis aleatórias.
Y = c1X1+c
2X2+!+c
nXn
E(Xi)= µ
iV(X
i)=σ
i2, i =1,…,n.
Estatística Aplicada à Engenharia
COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A.’S
• A média de Y será
• Se X1, X2, ..., Xn forem independentes, a variância de Y será
• Se X1, X2, ..., Xn forem normais e independentes, então Y também terá distribuição normal;
E(Y)= c1µ1+c
2µ2+!+c
nµn;
V(Y)= c12σ 2
1+c
22σ 2
2+!+c
n2σ 2
n;
Estatística Aplicada à Engenharia
COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A.’S
Exemplo 8: Considere o estudo de uma peça fabricada em que as variáveis aleatórias X1 e X2 representam, respectivamente, o comprimento e a largura da p e ç a . S u p o n h a q u e a s v a r i á v e i s s e j a m independentes e normalmente distribuídas com E ( X 1 ) = 2 c m e V ( X 1 ) = 0 , 0 1 c m 2 , E ( X 2 ) = 5 c m e V(X2)=0,03cm2. Denote por Y o perímetro da peça. a) Qual a distribuição do perímetro? b) Qual a probabilidade do perímetro ser superior a
15 cm?
Estatística Aplicada à Engenharia
COMBINAÇÕES LINEARES DE V.A.’S
Exemplo 9: Uma montagem em cadeia consiste em quatro componentes em sequência. Sabe-se que os comprimentos (em polegadas) Xi dos componentes são X1 ~ N(2,0; 0,0004), X2 ~ N(4,5; 0,0009), X3 ~ N(3,0; 0,0004) e X4 ~ N(2,5; 0,0001). Suponha que os compr imentos dos componentes se jam independentes. As especificações do planejamento sobre o comprimento do sistema montado são 12,00 ± 0,10. Determine a fração de montagens conformes (montagens que se enquadram nesses limites de especificação).
Estatística Aplicada à Engenharia
REFERÊNCIAS
Estatística Aplicada à Engenharia