MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIADEEDUCAÇÃOPROFISSIONAL

ETECNOLÓGICAINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIA ETECNOLOGIADE RONDÔNIA

DAMYSSON HENRIQUE

DANIEL OSAWA

ELITON TRINDADE

LUCAS FERNANDES

3º A INFORMÁTICA

MATUTINO

DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR

Ji-Paraná, 2012.

Introdução

Os sistemas lineares tratam-se de uma relação entre duas ou mais equações que

possuem a mesma solução ou mesmo um conjunto de soluções que permitem a essas

equações receberem uma classificação. Porém vê-se a existências de algumas equações

que possuem coeficientes com parâmetros desconhecidos, indeterminados, que só

podem ser resolvidos através do método de discussão de um sistema linear. Este

trabalho tem por objetivo mostrar o que é e como se faz a discussão de um sistema

linear para que se consiga classificar os sistemas em SPD, SPI ou SI, mostrando

didáticas de diferentes autores sobre o assunto e apresentando alguns exemplos que

auxiliarão no melhor entendimento de todoconteúdo abordado.

Discussão de um Sistema Linear

A discussão de um sistema linearconsiste basicamente na análise das possíveis

soluções através de um conjunto de valores que são atribuídos a alguns parâmetros de

um sistema. Depois de escalonado é possível verificar quais são os valores dos

parâmetros e utilizá-los para assim definir a classificação do sistema, ou seja, verificar

para quais valores ele é SPD (Sistema Possível e Determinado) onde apresenta apenas

uma solução, SPI (Sistema Possível e Indeterminado) apresenta mais de uma solução ou

SI (Sistema Impossível) onde não há solução(YOUSSEF; SOARES; FERNANDEZ,

2011, p. 193).Podemos observar que a discussão do sistema linear é verificar os

coeficientes que constituem as equações,verificando quais os parâmetros que são

desconhecidos, para assim utilizando o método de discussão do sistema linear, analisar

os parâmetros e determinar para quais valores eles se adequarão a uma das três

classificações (SPD, SPI ou SI). Os autores trazem alguns exemplos que abrangem dois

problemas diferentes que podem ser resolvidos através da discussão de um sistema

linear com suas respectivas soluções, que nos auxiliam a entender na prática como se dá

o método de discussão e quais soluções ele nos apresenta. Veja abaixo os problemas e

suas respectivas soluções segundo (YOUSSEF; SOARES; FERNANDEZ, 2011, p.

193).

R10. Discuta, em função do parâmetro a, o sistema

Resolução:

Inicialmente escalonamos o sistema efetuando as transformações lineares

indicadas:

1) Se a-2 ≠ 0, então y= -2/(a-2) = 2 /(2-a) e substituindo na primeira equação,

achamos x (também em função de a):

x + y =4 x + 2 /(2-a) = 4 x = 4- 2/(2-a) (8-4ª-2) / (2-a)

x= (6-4a) / (2-a)

Então: Para cada a ≠ 2, o par ((6-4a)/(2-a) , 2/(2-a) ) é solução da equação. Note que

essa solução depende de a, mas para cada a fixado ela é única. Portanto, para a ≠ 2 o

sistema é Possível e Determinado.

X + y = 4

2x + ay = 6

X + y = 4

2x + ay = 6

X (-2)

X + y = 4

(a-2)y = -2

2) Se a – 2 = 0 (ou seja, a =2), temos, na segunda equação (a-2)y = -2, ou seja, 0.y=-2, o

que é impossível. Logo, para a=2, o sistema é Impossível (não existem valores de x e y

que satisfaçam simultaneamente às duas equações).

Resumindo, temos :

1) a ≠ 2 – Sistema Possível e Determinado com soluções x= (6-4a) / (2-a) e y=2 /(2-a).

2) a = 2 – Sistema Impossível.

R12. Determine m E R de modo a se admitir apenas a solução trivial para o sistema

homogêneo:

Resolução

Para que o sistema admita apenas uma solução trivial, ele deve ser Possível e

Determinado. Para isso:

2m + 2 ≠ 0 m ≠ -1

S = {m E R | m ≠ -1 }

“A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos

coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das

equações; e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções.”

(OLIVEIRA,A. Gabriel.Discussão e análise do sistema linear. Em:

<http://www.brasilescola.com/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm>. Acesso

em: 05 de julho de 2012.). Segundo o autor um sistema linear trata-se de uma relação

existente entre duas ou mais equações que compartilham a mesma solução, ou seja,

possuem uma solução ou mesmo um conjunto de soluções que satisfazem todas as

equações simultaneamente, e através destas soluções classifica-se a equação em SPD

3x – my = 0

6x + 2y = 0

3x – my = 0

6x + 2y = 0

X (-2)

3x – my = 0

(2m + 2)y = 0

(Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) ou SI

(Sistema Impossível). Mas segundo ele, algumas equações possuem coeficientes com

valores desconhecidos, indeterminados, e utilizamos a discussão de um sistema linear

para determinar para quais valores o sistema pode ser classificado em SPD, SOI ou SI.

A classificação do sistema linear é feita de acordo com seu determinante, ou

seja, classifica-se um sistema de acordo com o determinante dos coeficientes das

equações que o compõem. O autor apresenta um exemplo que nos auxiliará no melhor

entendimento.

Uma matriz 2x2.

Portanto, nossa análise será pautada no determinante da matriz dos coeficientes.

D =

De acordo com o determinante D, teremos as seguintes situações:

Se D ≠ 0, então Sistema Possível e Determinado.

Se D = 0, então Sistema Possível e Indeterminado.

Os coeficientes podem estar em forma de incógnitas, e através dessas incógnitas

poderemos determinar parâmetros para o determinante. Veja no exemplo.

1- Discuta o sistema, analisando quais são os valores m e k.

Teremos que analisar o valor do determinante D e analisar os parâmetros.

D = D ≠ 0 4m -24 ≠ 0 m ≠ 6 D = 0 m = 6

Concluindo assim que para obtermos um Sistema Possível e Determinado é necessário

que m tenha um valor diferente de 6. Porém se m = 0, teremos D = 0, então devemos

determinar a classificação desse sistema em SPI ou SI.

Substituindo o m por 6, teremos o seguinte:

ax + by = k

cx + dy = w

=

a b

c d

. x

y =

k

w

a b

c d

mx + 4y = 2

6x + 4y = k

a b

c d

6x + 4y = 2

6x + 4y = k

Escalonando o sistema, teremos:

Com a equação 1 obtemos duas possibilidades:

1 - O valor de k satisfaz a equação (1), ou seja: para k=2 teremos 0=0, e com isso o

sistema se reduz apenas à primeira equação, obtendo, assim, um Sistema Possível

Indeterminado (SPI).

2 - Caso o valor de k seja diferente de 2, teremos uma equação falsa, que nunca será

satisfeita, como por exemplo (0 =1), caracterizando então um Sistema Impossível.

Para concluir a discussão do autor, temos três possibilidades:

Se m ≠ 6, Sistema Possível e Determinado (SPD).

Se m = 6 e k = 2, Sistema Possível e Indeterminado (SPI).

Se m = 6 e k ≠ 2, Sistema Impossível (SI).

Discutir um sistema linear consiste basicamente em analisar as hipóteses para

que ele seja classificado em SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema

Possível e Indeterminado) ou SI (Sistema Impossível). Utilizando a Regra de Cramer

pode-se fazer a discussão somente de sistemas que sejam quadrados, de acordo com o

determinante da equação o sistema terá a sua classificação. Pois se o D ≠ 0 o sistema é

SPD, se o D = 0 o sistema poderá ser SPI ou SI. (TOMIO, C. Júlio. Sistemas de

Equações Lineares. Em: <

http://www.joinville.ifsc.edu.br/~julio.tomio/Outros%20Materiais/Mat%20Ensino%20-

%20Sistemas%20Lineares%202011-02-01.pdf>. Acesso em: 07 de julho de 2012.).O autor

nos apresenta outra forma de como se discutir um sistema linear, que trata-se do

métodode escalonamento. Ele afirma que discutir um sistema linear consiste em analisar

a e avaliar as hipóteses para que este seja classificado em SPD, SPI ou SI. No caso de

um sistema escalonado, tem-se geralmente na última equação apenas uma incógnita.

Observe no exemplo a seguir, onde temos a incógnita “z”.

Fazendo a análise da equação m.z=k temos:

Se m ≠ 0 e kE R, então o sistema é SPD (Sistema Possível e Determinado).

Exemplo: 2z = 8 z = 4.

Se m = 0 e k= 0, então o sistema é SPI (Sistema Possível e Determinado).

Exemplo: 0z = 0 z pode assumir qualquer valor real.

Se m = 0 e k≠ 0, então o sistema é SI (Sistema Impossível).

Exemplo: 0z = 7 não existe valor real paraz.

O autor trata também de um assunto especial que são os sistema lineares homogêneos,

que tratam-se dos sistema lineares compostos por equações homogêneas cujos termos

independentes são nulos. Ele demonstra a forma de como se fazer a discussão de um

sistema linear homogêneo através dos dois métodos mostrados anteriormente, o da

Regra de Cramer e o do Escalonamento.

Primeiramente veremos como se resolver através da Regra de Cramer:

Discutir um sistema linear homogêneo consiste em avaliar as hipóteses para que ele seja

SPD, SPI ou SI. Pela Regra de Cramer as soluções são dadas da seguinte forma:

D=Determinante

Se D ≠ 0, o sistema possui somente a solução trivial, s={(0,0,0)}. Então o sistema é

classificado como SPD.

Se D = 0, o sistema possui solução trivial, ainda infinitas soluções denominadas

“próprias”. Portanto o sistema é classificado como SPI.

Agora veremos como é feita através do Escalonamento:

Para um sistema escalonado teremos geralmente uma incógnita, neste caso utilizaremos

como exemplo a incógnita z. Analisaremos a equação do sistema escalonado m.z = 0.

Se m ≠ 0 , o sistema é SPD, possui uma única solução.

Exemplo: 3z = 0 z = 0.

Se m = 0, o sistema é SPI, pode assumir infinitas soluções.

Exemplo: 0z = 0 z pode assumir qualquer valor real.

Uma informação importante é que um sistema linear homogêneo jamais terá a

classificação SI (Sistema Impossível), pois ele sempre terá uma solução trivial.

Exemplos

1. Discuta, em função dos parâmetros a e b, o sistema:

Resolução:

Inicialmente, escalonamos o sistema efetuando as transformações lineares indicadas:

Se (a-2) ≠ 0, o sistema é Possível e Determinado.

Se (a-2) =0 e b – 4=0, a segunda equação reduz-se à identidade 0.y=0. O sistema é

Possível e Indeterminado.

Se (-a -2) =0 e b - 4 ≠ 0, o sistema é Impossível, pois a segunda equação reduz-se a

sentença falsa.

Resumindo:

a ≠ -2 sistema Possível e Determinado

a = -2 e b – 4 = 0 sistema Possível e Indeterminado

a = -2 e b – 4 ≠ 0 sistema Impossível

2. Discuta o sistema avaliando os valores de k.:

Vamos calcular o valor do determinante D.

D = 2k – 8.

Se D ≠ 0 2k – 8 ≠ 0

Se D = 0 2k – 8 = 0

D ≠ 0 2k – 8 ≠ 0 k ≠ 4.

2x + 2y =6

4x + ky = 4

X + ay = 4

x-2y = b

X (-1)

x + ay = 4

(-a-2)y = b - 4

X + ay = 4

x-2y = b

Através desta resolução observa-se que para qualquer valor de k ≠ 0, teremos um

sistema SPD (Sistema Possível e Determinado).

Já para descobrir os valores que geram SPI ou SI, deve-se substituir o resultado de k e

através deste analisar o sistema.

D = 0 2k – 8 = 0 k = 4.

Substituindo o sistema tem-se:

Divide-se a segunda equação por dois e faz-se a análise do sistema:

Ao analisar a equação observa-se que as equações são iguais, porém os resultados são

diferentes, ou seja, as equações não estão coerentes, não batem, sendo assim conclui-se

que o sistema é SI (Sistema Impossível).

A solução do sistema de acordo com o coeficiente k fica da seguinte forma:

Se m ≠ 4, o sistema é SPD (Sistema Possível e Determinado).

Se m = 4, o sistema é SI (Sistema Impossível).

2x + 2y =6

4x + 4y = 4

2x + 2y =6

4x + 4y = 4 / (2)

2x + 2y =6

2x + 2y = 2

Conclusão

Com este trabalho conclui-se que a discussão de um sistema linear trata-se de

um método eficiente e eficaz de extrema importância para os sistemas lineares, pois

auxilia na resolução de sistemas cujos coeficientes são desconhecidos, determinando

assim suas soluções. Observa-se também que cada autor utiliza uma didática diferente

da outra para a resolução dos exercícios, promovendo assim uma amplitude maior nas

formas de se resolverem os problemas relacionados a este conteúdo, auxiliando na

promoção de um maior entendimento por parte das pessoas, promovendo assim um

aumento do número pessoas inseridas no assunto, aumentando as chances de se criarem

novas didáticas e maneiras de se resolverem ao atuais problemas da discussão de um

sistema linear.

Referências

YOUSSEF, A.; SOARES, E.; FERNANDEZ,V.Matemática: Ensino Médio, 1. ed. São

Paulo: Ed. Scipione, 2011.

OLIVEIRA, A. Gabriel. Discussão e análise do sistema linear. Em:

<http://www.brasilescola.com/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm>. Acesso

em: 05 de julho de 2012 as 01:24:33.

TOMIO, C. Júlio. Sistemas de Equações Lineares. Em: <

http://www.joinville.ifsc.edu.br/~julio.tomio/Outros%20Materiais/Mat%20Ensino%20-

%20Sistemas%20Lineares%202011-02-01.pdf>. Acesso em: 07 de julho de 2012 as

11:30:52.

OLIVEIRA, A. Gabriel. Discussão de um sistema linear. Em:

<http://www.alunosonline.com.br/matematica/discussao-um-sistema-linear.html>. Acesso

em: 05 de julho de 2012 as 01:20:12.

Disponível em: <www.lo.unisal.br/sistemas/.../Sistemas%20Lineares%20Final.doc>.

Acesso em: 09 de Julho de 2012 as 01: 55: 28.