Discussão da equação de uma superfície

7/23/2019 Discusso da equao de uma superfcie

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Adriano Pedreira Cattai

[email protected]

Universidade Federal da Bahia UFBA, MAT A01, 2006.2

1. Discusso da equao de uma superfcie. Construo de uma superfcie

1.1 Introduo Definio de Superfcie

Existem dois problemas em Geometria Analtica, referentes Equao e Lugar Geomtrico, que

so chamados de Problemas Fundamentais da Geometria Analtica, a saber:

(i) Dada uma equao, determinar sua interpretao ou representao geomtrica;

(O Lugar Geomtrico de uma equao)

(ii) Dada uma figura ou condio geomtrica, determinar sua equao ou

representao analtica (A equao de um Lugar Geomtrico).

Claro que esses problemas so essencialmente inversos um do outro, que juntos constituem o

Problema Fundamental da Geometria Analtica.

No estudo de curvas, v-se que, dada uma equao em duas variveis x e y a qual podemos

escrever abreviadamente na forma ( , ) 0f x y = , em geral existe uma infinidade de pares de valores

reais para x e y que satisfazem esta equao. E tambm que dada uma figura ou condio

geomtrica possvel obter uma equao ou representao analtica do seu lugar geomtrico.

Assim, estenderemos ao espao tridimensional alguns conceitos dos conceitos fundamentais

considerados em conexo com a equao ( , ) 0f x y = , agora em equaes retangulares em trs

variveis x , y e z , a qual podemos escrever abreviadamente na forma ( , , ) 0F x y z = .

No estudo de Planos, tem-se que todo plano representado analiticamente por uma nica

equao linear da forma 0ax by cz d + + + = . Mais geralmente, se uma equao da forma

( , , ) 0F x y z = tem um lugar geomtrico, este uma superfcie e, inversamente, se uma superfcie

pode ser representada, analiticamente, tal representao uma nica equao da forma

( , , ) 0F x y z = . Assim, podemos estabelecer a seguinte definio:

Definio (Superfcie): O conjunto S de pontos cujas coordenadas retangulares

satisfazem a uma equao da forma ( , , ) 0F x y z = denominada superfcie, ou seja,

3{( , , ) ; ( , , ) 0}S x y z R F x y z= = .


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Por exemplo, a equao2 2 2 2

0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r + + =

representa uma esfera centrada no ponto 0 0 0 0( , , )P x y z= de raio 0r> .

De fato, a esfera o lugar geomtrico de todos os pontos do3

R que so

eqidistantes a um ponto fixo do3

R , assim se 0 0 0 0( , , )P x y z= o centro

da esfera e ( , , )P x y z= um ponto qualquer desta esfera,

ento 0( , )d P P r = , ou seja,2 2 2

0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r + + = e logo

temos2 2 2 2

0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z r + + = .

A definio que damos para Superfcie um pouco pretensiosa, visto que a relao

( , , ) 0F x y z = pode no representar uma superfcie. Por exemplo, a equao 2 2 2 1 0x y z+ + + =

no possui ponto no3

R que a satisfaa e, portanto no representa lugar geomtrico algum. J para

a equao 2 2 2 0x y z+ + = existe um ponto que satisfaz o ponto isolado a origem ( )0,0,0 . Essas

observaes nos dizem que no necessrio, obrigatoriamente, que toda equao da forma

( , , ) 0F x y z = represente uma superfcie, mas claramente que existe uma infinidade de equaes

sob esta forma que represente uma superfcie.

Enquanto a equao ( , , ) 0F x y z = envolve trs variveis, a equao de uma superfcie pode

conter somente uma ou duas variveis. Por exemplo, a equao z k= , onde k qualquer constante

real, representa um plano paralelo ao plano XY. Alm disso, veremos que uma equao da forma

2 2 1x y+ = quando considerada no espao, representa um cilindro circular reto e no uma

circunferncia. A fim de evitar tal ambigidade iremos referir a superfcie 2 2 1x y+ = ou a

superfcie cilndrica 2 2 1x y+ = .

Podemos obter superfcies no somente por meio de uma equao do tipo ( , , ) 0F x y z = ,

existem muitos procedimentos para a obteno de uma superfcie, como por exemplo:

(a) (Superfcie Cnica) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva passando por um

ponto fixo no pertencente a ela.

(b) (Superfcie Cilndrica) movendo-se uma linha reta (geratriz) por uma curva fixada (diretriz)

sempre paralelamente a uma outra linha reta fixa.

(c) (Superfcie de Revoluo) fazendo um giro de 360 de uma curva (geratriz) em torno de uma

linha reta fixada (eixo de revoluo).

Po

Pr

x y

z


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No entanto, podemos a partir destes procedimentos obter uma equao sob forma F(x,y,z)=0,

como refere o segundo problema fundamental da Geometria Analtica.

1.2 Discusso da equao de uma superfcie

Uma das importantes fases da Geometria Analtica, como vimos, a construo de figuras a

partir de suas equaes. Faremos uma discusso da equao de uma superfcie antes de constru-la

e em seguida, com o auxlio dessa discusso construiremos a referida superfcie, uma vez que essa

construo ser consideravelmente facilitada a partir da analise dos seguintes itens:

(1) Identificar as intersees sobre os eixos coordenados;

(2) Identificar os traos sobre os planos coordenados;

(3) Simetria em relao aos planos coordenados, aos eixos coordenados e origem;

(4) Sees por planos paralelos aos planos coordenados;

(5) Extenso da superfcie.

Para tanto, precisaremos de algumas consideraes e definies para cada item.

(1) A interseo de uma superfcie sobre um eixo coordenado a

correspondente coordenada do ponto de interseo da superfcie com

o eixo coordenado. Para obter tal coordenada, basta igualar as outras

duas a zeroe substituir em ( , , ) 0F x y z = . Na figura ao lado, o pontoA

a interseo da superfcie com o eixo coordenado Xe Bcom o eixo

coordenado Y.

Exemplo numrico: Seja2 2 24 9 9 36x y z+ + = a equao que represente uma dada superfcie. O(s)

ponto(s) de interseo com o eixo X so (3,0,0) e (-3,0,0), pois tomando y=z=0 na equao da superfcie,

ficamos com24 36x = e logo 3x= . Anlogo para os outros eixos.

Geratriz

Geratriz

Superfcie Cilndrica Superfcie de RevoluoSuperfcie Cnica

x y

z

A B


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(2) O trao de uma superfcie sobre um plano coordenado a

curva de interseo da superfcie com o plano coordenado. Para obter

uma curva num dos planos coordenados, basta considerar a

coordenada no medida neste plano como sendo igual a zero em

( , , ) 0F x y z = . Na figura ao lado, temos o trao da superfcie no

plano coordenado XZ.

Exemplo numrico: Ainda com2 2 24 9 9 36x y z+ + = , o trao da superfcie sobre o plano XY

2 24 9 36x y+ = , uma elipse, pois equivale a2 2

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x y+ = . Anlogo para os outros planos.

(3) (a) Dizemos que dois pontos distintos so simtricos em relao a um plano(coordenado) se, e

somente se, o segmento retilneo que une esses dois pontos dividido ao meio e normalmente peloreferido plano (coordenado). Esse plano chamado de plano de simetria. (b) Dizemos que dois

pontos distintos so simtricos em relao a uma reta(eixo coordenado) se, e somente se, o segmento

de reta que une esses dois pontos dividido ao meio e normalmente pela referida reta (eixo

coordenado). A reta em relao a qual os dois pontos so simtricos denominado eixo de simetria.

(c) Dizemos que dois pontos distintos so simtricos em relao a um ponto(origem) se, e somente se,

esse ponto (origem) for o ponto mdio do segmento de reta que une esses dois pontos. Esse ponto

denominado centro de simetria.

Dessa forma, dizemos que uma superfcie simtrica em relao a um ponto, reta ou plano, se para

cada ponto sobre a superfcie h um correspondente ponto tambm sobre a superfcie de tal modo

que esses dois so simtricos em relao ao ponto, reta ou ao plano, respectivamente.

Vejamos como isso se traduz na equao da superfcie, supondo sob a forma ( ), , 0F x y z = .

z

yx

x

y

z

x

y

z

x

y

z

Simetria relao ao plano XY Simetria relao ao eixo X Simetria relao origem


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A equao da superfcie no modificada quando

as variveis x, y e z so substitudas por

A superfcie simtrica

em relao ao

x, y, z Plano YZ

x, y, z Plano XZ

x, y, z Plano XY

x, y, z Eixo Z

x, y, z Eixo Y

x, y, z Eixo X

x, y, z origem Eixo

Podemos resumir os resultados nos seguintes teoremas:

Teorema1: Se a equao de uma superfcie no modificada quando trocado o sinal de

uma de suas variveis, ento a superfcie simtrica em relao ao plano coordenado a partir

do qual aquela varivel medida, e vice-versa.

Teorema 2: Se a equao de uma superfcie no modificada quando so trocados os

sinais de duas de suas variveis, ento a superfcie simtrica em relao ao eixo coordenado

ao longo do qual medida a varivel no modificada, e vice-versa.

Teorema 3: Se a equao de uma superfcie no modificada quando so trocados os

sinais das trs variveis, ento a superfcie simtrica em relao a origem, e vice-versa.

(4) Seja dada na forma ( , , ) 0F x y z = a equao de uma superfcie. Uma boa idia do aspecto

desta superfcie obtida a partir da natureza de suas sees planas. Tais sees podem ser

convenientemente determinadas por uma srie de planos secantes paralelos a um planocoordenado.

Por exemplo, planos paralelos ao plano XY pertencem famlia cuja

equao z k= , onde k uma constante arbitrria ou parmetro. Ento

a partir da equao da superfcie temos ( , , ) 0F x y z = , z k= , como as

equaes da curva de interseo para cada valor atribudo a k

correspondente a um definido plano secante, e essa curva encontra-se no

plano z k=

e sua natureza pode ser determinada pelos mtodos dageometria analtica plana.


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(5) Se a equao de uma superfcie dada na forma ( , , ) 0F x y z = tentamos resolv-la para

uma das variveis em funo da outra. Uma tal soluo para z em funo de x e y pode ser escrita

na forma explcita ( , )z F x y= . Essa ltima equao nos possibilita obter intervalos de valores reais

que as variveis podem assumir. Esta informao til na determinao da locao geral da

superfcie no espao coordenado; tambm indica se a superfcie fechada ou de extenso

indefinida.

1.3 Construo de uma superfcie: discusso via exemplos

De posse dos cinco itens estudados acima, veremos com alguns exemplos, a construo de uma

dada superfcie a partir de sua equao.

Exemplo 1. Discutir a superfcie dada pela equao ( )

Izyx 04

22 =+.

Soluo:

1. Intersees: As nicas intersees sobre os eixos coordenados so dadas pela origem;

2. Traos: Sobre o plano XY, ou seja, 0=z em ( )I o ponto isolado, a origem. Sobre o plano XZ, ou seja,

0=y em ( )I a parbola zx 42 = e finalmente no plano YZ, ou seja, 0=x em ( )I a parbola

zy 42 = .

3. Simetrias: A superfcie simtrica em relao aos planos XZ e YZ, pois a equao ( )I no se altera se

substituirmos y por y e x por x. Na substituio de z por z h alterao na equao.

4. Sees: Os planos kz= interceptam a superfcie nas curvas kyx 422 =+ e kz= , que uma famlia de

circunferncias para todos os valores de 0>k , j que 022 >+yx para todo x e y . Os planos ky=

interceptam a superfcie nas parbolas

=

44

22 k

zx e ky= , e os planos kx= interceptam a superfcie

nas parbolas

=

44

22 k

zy e kx= .

5. Extenso: Podemos escrever a equao ( )I na forma explcita kyx

=+

4

22

, mostrando que a varivel z

no pode assumir valores negativos j que 022 >+yx para todo x e y , logo, nenhuma poro da

superfcie aparece abaixo do plano XY.

Essa superfcie denominada comoparabolide elptico.

Veja sua ilustrao ao lado.


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Exemplo 3. Discutir a superfcie dada pela equao ( )2 2

9 4

x yz II= + .

Soluo:

1. Intersees: As nicas intersees sobre os eixos coordenados so dadas pela origem;

2. Traos: Sobre o plano XY so as retas 2 | | 3 | |x y= . Sobre o plano XZ a parbola 29z x= , e finalmente

no plano YZ a reta e24z x= .

3. Simetrias: A superfcie simtrica em relao aos planos XZ e YZ, pois a equao ( )II no se altera sesubstituirmos y por y e x por x .

4. Sees: A interseo do plano kz= com a superfcie dada por2 2

9 4

x yk + = , kz= , que representa

uma hiprbole se 0k , e um par de retas se 0k= .

Com o plano y k= , a interseo com a superfcie a parbola2 2

9 4

x kz= + , y k= , que tem concavidade

voltada para baixo.

Por ltimo, a interseo da superfcie com plano x k= a parbola2 2

9 4

k yz= + , x k= , que tem

concavidade voltada para cima.

5. Extenso: A equao ( )II no apresenta restries para as variveis x, y e z, logo a superfcie possui sua

extenso indefinida.

Essa superfcie denominada comoparabolide hiperblico.

E tambm chamado de sela. Veja sua ilustrao ao lado.

Exemplo 3. Discutir a superfcie dada pela equao ( )2 2 0x z III+ = .

Soluo:

1. Intersees: As intersees sobre o eixo X so 2 ; sobre o eixo Z 2 e no tem interseo sobre o eixo Y.

2. Traos: Sobre o plano XY so as retas 2=x e 0=z , e 2=x e 0=z . Sobre o plano XZ a parbola

22 += zx e 0=y , e finalmente no plano YZ a erta 2=z e 0=x .

3. Simetrias: A superfcie simtrica, somente, em relao ao plano YZ, pois trocando x por x em ( )III a

equao no se altera.

4. Sees: Os planos kz= interceptam a superfcie nas retas kx = 2 e kz= , desde que 2k . Os

planos ky= interceptam a superfcie nas parbolas 22 += zx e ky= , e os planos kx= interceptam a

superfcie nas retas22 kz = e kx= .


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5. Extenso: A equao b no apresenta restries para as variveis x e y, enquanto, pelo item 4, a varivel

z no pode assumir valores maiores do que 2, logo a superfcie se encontra inteiramente abaixo do ou no

plano 2=x e indefinida sua extenso.

1.4 Exerccios

1. Faa a discusso e a construo das superfcies a seguir:

(a) Elipside: 12

2

2

2

2

2

=++c

z

b

y

a

x

(b)Hiperbolide: 12

2

2

2

2

2

=+

c

z

b

y

a

x

(c) Parabolide

(i) Elptico:2

2

2

2

b

y

a

xcz +=

(ii) Hiperblico:2

2

2

2

b

y

a

xcz +=

(d)Cone Elptico:2

2

2

22

b

y

a

xz +=

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