DISCIPLINA Geometria Analítica e Números...

Cláudio Carlos Dias

Neuza Maria Dantas

Geometria Analítica e Números ComplexosD I S C I P L I N A

Planos no espaço tridimensional

Autores

aula

14

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Dias, Cláudio Carlos. Geometria analítica e números complexos / Cláudio Carlos Dias, Neuza Maria Dantas. – Natal, RN : EDUFRN, 2006.

320 p. : il

1. Geometria analítica plana. 2. Geometria analítica espacial. 3. Números complexos. I. Dantas, Neuza Maria. II. Título.

ISBN 978-85-7273-331-1 CDU 514.12RN/UF/BCZM 2006/88 CDD 516.3

Aula 14 Geometria Analítica e Números Complexos 1

Apresentação

Na aula anterior (aula 13 – Retas e esferas no espaço tridimensional), você estudou retas no espaço tridimensional e viu que qualquer reta pode ser representada por um terno de equações, ditas suas equações paramétricas.

Nesta aula, vamos fazer o mesmo para planos no espaço tridimensional. Veremos que qualquer plano pode também ser representado por uma equação, que vai nos permitir, como no caso de retas, usar métodos algébricos na solução de problemas geométricos.

Objetivos

Ao final desta aula, espera-se que você seja capaz de: saber encontrar a equação de um plano que satisfaz certas condições geométricas; descrever geometricamente e algebricamente a interseção entre dois planos; descrever geometricamente e algebricamente a interseção de um plano com uma esfera; resolver problemas envolvendo simultaneamente retas e planos, planos e esferas.

n

P

Aula 14 Geometria Analítica e Números Complexos2

Esses são os ingredientes fundamentais para estabelecer a equação do plano. Senão vejamos, suponha um vetor normal a um plano passando por .A condição necessária e suficiente para que um ponto esteja nesse plano é que n seja ortogonal ao vetor , conforme ilustrado na Figura 2. Isso significa que o produto escalar entre n e é nulo.

Na aula 12 (O mundo espacial entre planos perpendiculares e paralelos), de Geometria Plana e Espacial, você aprendeu que por três pontos não colineares no espaço ou, equivalentemente, por duas retas concorrentes, passa um único plano. Essas não são as únicas maneiras de caracterizar um plano. Veremos aqui que dado um ponto por onde o plano deve passar e dada uma direção perpendicular a toda reta desse plano, existe apenas esse plano satisfazendo essas condições. Em linguagem vetorial, isso significa que a direção perpendicular ao plano é dada por um vetor não nulo, dito o vetor normal aoplano, denotado por n, e que esse vetor é perpendicular a todo vetor do plano. Para uma melhor visualização geométrica, tomaremos todos os vetores com origem no ponto P por onde o plano deve passar. Veja a Figura 1.

A equação do plano

Figura 1 – Vetor normal a um plano

n

P

P


Sendo e , então resulta em

,

esta é chamada de equação normal do plano.

Efetuando os cálculos indicados nessas equações, obtém-se

,

ou ainda,

.

Fazendo

,

temos que

,

que é dita a equação geral do plano.

Analisemos agora a recíproca, isto é, supondo que sejam dados a, b, c ed e considerando o conjunto dos pontos P x,y,z do espaço que satisfaz a equação Escolhendo um ponto que satisfaz também essa equação, ou seja,

, e, subtraindo essa equação da anterior, ficamos com

o que dá

,

que é a equação normal do plano que passa por e tem comovetor normal.

Figura 2 – Um vetor n ortogonal a todo vetor no plano


Portanto, podemos concluir que qualquer plano pode ser representado por uma equação do tipo e reciprocamente qualquer equação desse tipo representa um plano. Em qualquer caso, o vetor normal ao plano é dado por , como verificamos na discussão anterior.

Exemplo 1Encontrar a equação geral do plano que passa por e tem

como vetor normal.

SoluçãoNesse exemplo, temos e .

Uma aplicação direta da fórmula normal de um plano fornece

,

ou ainda,

,

efetuando os cálculos, obtemos

,

ou seja,

,

que é a equação solicitada.

Observe que, se mudarmos o ponto P por onde o plano passa, por outro ponto Pno mesmo plano, o valor das coordenadas a, b, c do vetor normal não muda. O valor de dtambém não muda, ou seja, você obtém a mesma equação. Isso poderá ser conferido no exemplo 2 a seguir.

Exemplo 2Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos , e

.

SoluçãoUm vetor n normal a esse plano deve ser ortogonal aos vetores e . Você viu

na aula 12 desta disciplina (Produto vetorial e produto misto) que um vetor que satisfaz


a essa condição é . Como e , então, de acordo com a fórmula do produto vetorial presente naquela aula, n é dado por

Lembrando que está no plano, então a equação normal desse plano é:

.

Fazendo os cálculos, encontramos

,

que é sua equação geral.

Observe que qualquer dos pontos e , pertencentes ao plano, poderia ter sido tomado no lugar de P . Veremos a seguir que se isso for feito obteremos a mesma equação. Suponha primeiro que o ponto seja , então a equação do plano é

.

Efetuando os cálculos, obtemos

,

que é a mesma equação anterior. Se fosse no lugar de P , obteríamos a equação

.

Efetuando os cálculos, obtemos

,

que é a mesma que as equações anteriores. De modo análogo, se tomarmos no lugar de P , obtém-se a mesma equação.

Exemplo 3

Verifique que a reta de equações intercepta ortogonalmente o plano de equação . Encontre esse ponto de interseção.

Solução

Observemos que o vetor é um vetor na direção da reta e também normal ao plano. Isso indica que a reta intercepta o plano ortogonalmente.


O ponto de interseção é obtido achando o valor de t, para o qual o ponto sobre a reta satisfaça a equação do plano, ou seja,

,

ou ainda

Transpondo os termos do primeiro membro que não têm t para o segundo membro, e colocando, nos restantes, t em evidência, obtemos

ou seja,

Substituindo esse valor de t na equação da reta, temos que o ponto de interseção é

Exemplo 4Encontre as equações paramétricas da reta interseção dos planos de equações

e .

SoluçãoSeja r esta reta. Como ela está contida em cada plano, então os vetores normais e

a esses planos são perpendiculares a r. Isso significa que um vetor v na direção de r é tal que e , logo, . Como e , então

Resta encontrar um ponto P por onde a reta passa, isto é, um ponto na interseção dos planos, para isso substitua z nas equações dos planos para obter o sistema

e , cuja solução é e . Logo, um ponto por

onde a reta passa é , portanto, suas equações paramétricas são:


1

2

Exercícios

Determine a equação do plano que passa pelos pontos

Encontre a equação do plano que contém as retas paralelas de equações:

Encontre as equações do plano determinado pelas retas concorrentes de equações:

Determine a equação do plano que passa pelo ponto e é paralelo ao plano de equação .

Encontre a equação do plano que contém a reta de equações , , e é paralelo ao plano de

equação .

Dados os planos de equações ,determine as equações paramétricas da reta interseção desses planos.

Dada a reta de equação ache dois planos distintos cuja interseção é esta reta.

Determine a equação do plano tangente à esfera unitária no ponto .

3

4

5

6

7

8

e

e


Interseção e ânguloentre dois planos

No exemplo 4 anterior, você encontrou a equação da reta interseção entre dois planos dados. Veremos que o método usado lá se estende ao caso geral. Primeiramente, lembre-se de que você viu na aula 12 da disciplina Geometria Plana e Espacial

que dois planos distintos ou são paralelos ou se interceptam ao longo de uma reta. Como estamos estudando retas e planos a partir de suas equações, é natural perguntar qual é a equação da reta interseção de dois planos. Para tanto, analisemos essa situação do ponto de vista geométrico: desenhemos os vetores normais n e n a esses planos com mesma origem em um ponto escolhido na reta interseção dos mesmos. Como essa reta está em ambos os planos, então ela é perpendicular a n e n . Sabemos que um vetor perpendicular a dois vetores dados é obtido a partir do produto vetorial dos mesmos. Desse modo, um vetor na direção da reta é n n e, para encontrar sua equação basta encontrar um ponto P pertencentes à interseção dos dois planos por onde ela deve passar. Veja a Figura 3.

Exemplo 5Encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos planos dados pelas equações

e .

SoluçãoComo sabemos, o primeiro plano tem como vetor normal e o segundo,

. Efetuando os cálculos que você já conhece, obtemos .

Figura 3 – A reta interseção entre dois planos

r

s

t


Para encontrar um ponto na reta interseção, vamos, por medida de simplificação, atribuir z em ambas as equações para obter e .

Resolvendo esse sistema de equações, obtém-se e . Desse modo, a

reta interseção passa pelo ponto na direção do vetor .

Donde suas equações paramétricas são

.

Vamos agora definir o ângulo entre dois planos como sendo zero, caso os planos sejam paralelos. Do contrário, os planos se interceptam ao longo de uma reta r e, por um ponto P dessa reta, constrói-se um plano perpendicular a r. Esse plano intercepta um dos planos segundo uma reta t e o outro plano segundo uma reta s. O ângulo entre as retas s e t é definido como o ângulo entre os dois planos. Tal situação está representada na figura a seguir.

Figura 4 – O ângulo entre dois planos

Dada uma reta r, construa uma figura de dois planos e que se interceptam ao longo da reta r.

Por dois pontos distintos P e P' sobre a reta r, construa dois planos distintos e ' perpendiculares a r.

Atividade 3

2

1

n1n

P

r s

t


Desenhe as retas s e t resultantes da interseção de com os planos e e as retas r' e t' da interseção de ' com e .

Sejam o ângulo entre s e t, e ' o ângulo entre s' e t'. Conclua que '.

3

4

O que fizemos anteriormente foi definir o ângulo entre dois planos e sem uma preocupação de como calculá-lo. Mostraremos a seguir que esse ângulo é simplesmente o ângulo entre os vetores normais aos planos. Para tanto, observemos que o plano , que passa pelo ponto P da reta r interseção de com e lhe é perpendicular, contém os vetores normais n e n' a esses planos, posicionados com a origem no ponto P. Sendo assim, os vetores normais n e n', as retas s e t interseção do plano com os planos , estão nesse mesmo plano . Desse modo, é suficiente fazer uma figura plana, representada pelo plano , ilustrando tais fatos.

O que você fez na atividade 3 foi provar que o ângulo entre dois planos está bem definido, isto é, não depende de uma escolha particular do plano que é perpendicular à reta interseção dos dois planos.

Figura 5 – n r, n t, n' r, n' s com n, n', s e t no plano

Para a conclusão de que o ângulo entre n e n' e o ângulo entre s e t são iguais, consideramos a figura a seguir obtida da Figura 5 crescentando a reta que contém o vetor n e o ângulo entre essa reta e a reta s.

n'

t

s

n


Figura 6 – O ângulo entre dois planos é igual ao ângulo entre seus vetores normais

Exemplo 6Calcular os ângulos entre os planos dados pelas equações e

.

SoluçãoSabemos que os vetores normais a esses planos são, respectivamente,

e . Então, o ângulo entre os planos é o ângulo entre n e n'.Na aula 10 (Vetores no plano e no espaço tridimensional), mostramos que

.

Do fato de n ser perpendicular a t, segue-se que o; e do fato de n' serperpendicular a s, tem-se que o . Donde , ou seja, ,conforme queríamos provar.

Observação 1 – O que fizemos anteriormente foi demonstrar um fato corriqueiro de Geometria Plana que afirma que se dois ângulos têm os lados mutuamente perpendiculares, então, eles são iguais.


Aqui

Onde

.

Consultando uma tabela ou uma calculadora científica de cosenos, vemos que o

Calcule o ângulo entre os planos que são tangentes à esfera unitária,

respectivamente, nos pontos e .

Encontre a equação de dois planos que fazem entre si um ângulo de 60° e cuja interseção seja a reta de equações .

Dadas duas retas concorrentes r e s, tendo como o ângulo entre elas, mostre que o ângulo entre o plano que contém a reta r e o plano que contém a reta s, respectivamente, e são perpendiculares ao plano determinado por r e s , também é .

Continuando os exercícios

9

10

11


Distância de um ponto a um plano, distância entre planos paralelos

N

Observação 2 – Se . Pois como daí segue-se que .

Figura 7– onde em

a aula 2 (Estudando a reta no plano), você viu que a distância de um ponto a uma reta é a menor distância desse ponto aos pontos da reta. De modo análogo, dados um plano e um ponto P, a distância de a é o menor valor das

distâncias P aos pontos de . De modo semelhante ao que fizemos na aula 2 em relação às retas, veremos que a distância de P a é o comprimento do segmento PQ, onde Q é o ponto interseção do plano com a reta passando por P e perpendicular a . A Figura 7 nos permite concluir esse fato, uma vez que dado qualquer ponto R em , temos que R é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, donde .

Exemplo 7Calcular a distância do ponto P ao plano dado pela equação .

Solução

Conforme a discussão anterior, devemos encontrar a reta que passa por P e é perpendicular a esse plano. Em seguida, encontrar o ponto Q interseção dessa reta com o plano e calcular , que é a distância procurada. É o que faremos a seguir.


Como o vetor normal do plano é , então a reta passando por Pperpendicular ao plano tem a direção de n. Logo, suas equações paramétricas são

.

Para encontrar o ponto Q, substituímos esses valores na equação do plano, obtendo

ou ainda

,efetuando as somas, ficamos com

,

ou seja,

,

o que dá

.

Substituindo o valor de t nas equações da reta, obtém-se

,

ou seja,

Essas são as coordenadas do ponto Q. A distância procurada é

O exemplo anterior fornece um método para a dedução de um fórmula para a distância de um ponto P x ,y ,z a um plano de equação que descreveremos nos seguintes passos.

Passo 1 – Determina-se a equação da reta que passa por P e é perpendicular ao plano observando que ela deve ter a mesma direção do vetor normal ao plano que é .Suas equações paramétricas são


Passo 2 – Para determinar o ponto Q de interseção da reta anterior com o plano, impõe-se a condição de que o ponto sobre a reta deve também satisfazer a equação do plano para se obter o valor de t e com a conseqüente determinação de Q . Para tanto, devemos ter

efetuando as multiplicações envolvidas e trocando a ordem de algumas parcelas, ficamos com

o que dá

ou seja,

Como

obtemos

Isso diz que o ponto Q de interseção da reta com o plano tem coordenadas

,

em que

Mas,

logo

Lembrando que

,

então

Denotando por a distância do ponto P ao plano , temos


Exemplo 8Calcular a distância da origem ao plano de equação .

SoluçãoNesse caso, temos e , que, substituindo na

fórmula anterior, fica

O que dá

Suponha agora que temos dois planos paralelos e e duas retas r e s perpendiculares comuns a esses planos. Sejam P e Q os pontos onde r intercepta e , respectivamente; Re S os pontos onde s intercepta e , respectivamente. A condição de perpendicularismo diz que o quadrilátero PQRS é um retângulo, logo . Isso significa que para qualquer reta perpendicular aos planos e o comprimento do segmento de reta entre os dois planos é sempre o mesmo.

Essa discursão nos autoriza a definir a distância D entre dois planos paralelos e como sendo o comprimento do segmento PQ entre esses planos sobre uma reta perpendicular a ambos, veja a figura a seguir.

Figura 8 – onde em e em em e em


A fim de estabelecer uma fórmula para essa distância D entre dois planos paralelos, convém observar que a condição de paralelismo diz que os vetores normais a esses planos têm a mesma direção, isso significa que eles são múltiplos escalar um do outro, se esses vetores são n e n', então existe , tal que . Desse modo, as equações desses planos podem ser escritas como

e .

Essa segunda equação pode ser reescrita como . Fazendo fica

Em resumo, as equações de dois planos paralelos são do tipo

e

Observe que se d e esses planos coincidem. Fixando no primeiro plano, fica . A distância de P ao segundo plano é a distância D entre esses planos, uma vez que essa distância é dada pelo comprimento do segmento P Qperpendicular ao segundo plano em Q. Como os planos são paralelos, essa reta é também perpendicular ao primeiro plano em P . Portanto,

Como

,

fica

Exemplo 9Calcular a distância D entre os planos de equações e

.

SoluçãoDividindo a segunda por , ela fica , o que comprova que os dois

planos são paralelos, pois têm o mesmo vetor normal .

Nesse exemplo, temos . Logo,

,

.


Calcule a distância do ponto ao plano tangente à esfera unitária no ponto onde são os ângulos que o vetor faz com os eixos x y z respectivamente.

Encontre a distância entre o plano tangente à esfera com centro na origem e raio r num ponto e o plano que tangencia essa mesma esfera no ponto

Encontre a equação de uma esfera que é tangente aos planos paralelos

de equações .

Continuando os exercícios

12

13

14

ResumoNesta aula, você aprendeu a determinar a equação de um plano, conhecidos um ponto por onde ele deve passar e uma direção normal a esse plano. Aprendemos também que o ângulo entre dois planos é dado pelo ângulo entre suas normais. Deduzimos fórmulas para calcular a distância de um ponto a um plano, bem como para a distância entre dois planos paralelos. Aprendemos a encontrar, ainda, as equações da reta interseção de dois planos.

Donde

ou seja,D


Auto-avaliaçãoDescreva geometricamente e algebricamente a interseção do plano de equação

com a esfera unitária.

Dados os planos e , descreva geometricamente e algebricamente a interseção entre eles.

Se um plano intercepta os eixos coordenados x y z em a b c, respectivamente,

com , mostre que sua equação é .

Encontre dois planos cuja interseção é a reta de equações ,.

(Sugestão: observe que o vetor v é um vetor na direção da reta e ortogonal aos vetores normais dos planos, isso indica que há uma infinidade de escolha para os vetores normais aos planos.)

Sugestões para a resolução dos exercícios

1. Tome o ponto onde o plano deve passar e veja que é um vetor normal a esse plano.

2. Determine um ponto P na primeira reta, fazendo, por exemplo, t , e dois pontos distintos Q e R sobre a segunda reta, tomando, por exemplo, s e s O problema agora é semelhante ao anterior.

3. Encontre o ponto P de interseção das duas retas e dê valores particulares a t e s paraencontrar um ponto Q sobre a primeira reta e um ponto R sobre a segunda reta. O problema agora reduz-se ao problema 1 anterior.

4. O plano procurado tem o mesmo vetor normal que o plano de equação uma vez que devem ser paralelos.

5. Já que a reta e o plano são paralelos, basta determinar um ponto sobre essa reta fazendo, por exemplo t . Para facilitar o problema, reveja o problema anterior.

1

2

3

4


6. A reta interseção está contida em cada plano, logo, o vetor normal de cada plano é perpendicular a essa reta, donde um vetor na direção dela é o produto vetorial desses vetores normais. Para determinar um ponto comum aos planos, que é um ponto por onde a reta passa, faça x e obterá um sistema de equações em y e z. Resolva-o para encontrar as coordenadas do ponto.

7. Faça algumas figuras para confirmar que existe uma infinidade de par de planos com a propriedade requerida. Chame n um vetor normal a um dos planos e n um vetor normal ao outro plano. Observe que é um vetor na direção da reta dada. Para encontrar n e n basta achar as soluções para as equações e .

8. A condição de tangência diz que o vetor é normal ao plano, o qual deve passar pelo ponto .

9. Os vetores normais a esses planos são, respectivamente, e

.

10. O exercício 7 diz que os vetores normais n e n a esses planos são determinados

pelas equações e , onde é um vetor na direção

da reta. Para que o ângulo entre os planos seja de 60°, devemos ter, além disso,

o .

11. Aplicação direta da definição de ângulo entre dois planos.

12. Veja o exercício 8 para determinação da equação do plano, em seguida, aplique a fórmula da distância de um ponto a um plano.

13. Ache as equações dos planos aplicando a solução do exercício 8, em seguida, aplique a fórmula da distância entre dois planos.

14. Faça, por exemplo, z y no primeiro plano para obter x e, conseqüentemente, obterá o ponto P nesse plano. Siga os passos 1 e 2 estabelecidos após o exemplo 7, desta aula, para encontrar o ponto Q no segundo plano tal que é a distância entre os planos. Como a esfera solicitada deve ser tangente a ambos os

planos, então, seu centro é o ponto médio do segmento , conseqüentemente, e seu

raio é .


Referências

ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.

CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução a geometria espacial. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1983.

LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1998. v. 3.


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