Disciplina de Lógica Aplicada - GST0049 Cursos de Graduação em Publicidade e em Jornalismo Prof....

Disciplina de Lógica Aplicada - GST0049Cursos de Graduação em Publicidade e em Jornalismo

Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.Graduação em Administração - ESAG/UDESC

Doutorado e Mestrado em Engenharia de Produção - UFSC

www.estacio.br/leitorestacio

Material Didático da Estácio(Disponível no Leitor Estácio)

http://portal.estacio.br/

- SUMÁRIO -

Gráficos

Porcentagem

BibliografiaRegra de Três

Lógica Proposicional

Funções

Lógica Aplicada

Introdução à Lógica

Tabela Verdade

Prof. Hubert Chamone Gesser, Dr.

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Funções

5

FUNÇÕES

• Função é um dos conceitos mais importantes da matemática.

• Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas.

• Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x).

6

Função Afim: Exemplo: f(x) = 2x+5; f(x)= -x+4; f(x)= 3x.

O gráfico da função afim é uma reta.

Função Linear: É a função afim com b=o.

Exemplo: f(x) = 3x; f(x) ½ x; f(x) = -x.

O gráfico de uma função linear é uma reta passando pela origem.

Principais Tipos de Funções

Função Recíproca: representada por f(x)=1, com x ≠ 0. x

O gráfico da função recíproca é uma hipérbole eqüilátera.

Função Exponencial: é representada por:

Quando a>1, a função é crescente;Quando 0<a<1, a função é decrescente.

F(x) =ax, com a>0 e a≠1

Outros Tipos de Funções

Conceitos Iniciais

PAR ORDENADO - conceito primitivo

P(x,y) - ponto no plano cartesiano

Abscissa Ordenada

P(x,y)

P (x,0)

P (0,y)

x

y

O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo).

Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.

• Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, a abscissa e a ordenada respectivamente.

• Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

Plano Cartesiano

Considere o conjunto A = {2, 4} e B = {1, 3, 5}.

Enumerando seus elementos em um gráfico cartesiano.

A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)}

Relação binária h = {(x;y)| y < x}

xy

A B2

4

135

h: {(2;1), (4;1), (4,3)}

Relação binária g = {(x;y)| y= x + 3}

3xy

24

135

g: {(2;5)}

A x B = {(2;1), (2;3), (2;5), (4;1), (4;3), (4; 5)}

A B

DEFINIÇÃO: Denomina-se Relação Binária de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano de A x B.

OBSERVAÇÃO: Quando nesse subconjunto para todo elemento de A existir um único correspondente em B, teremos uma função f de A em B.

A relação binária f = {(x;y)| y = x + 1}

1xy

A B2

4

135

f: {(2;3), (4;5)}

f é uma função de A em B, pois todo elemento de A está associado a um único elemento em B

ELEMENTOS DE UMA FUNÇÃO: f: A B

DOMÍNIO: A = {2, 4} CONTRA DOMÍNIO: B = {1, 3, 5} CONJUNTO IMAGEM: Im (f) = {3, 5}

Considere a função f: A B definida por y = 3x + 2, pode-se afirmar que o conjunto imagem de f é:

23 xy

A B23 xy

521.3 y123

58111517

822.3 y1123.3 y

23)( xxf

5)1( f8)2( f

11)3( f

}11,8,5{)Im( f

1) Seja f(x) = ax + b uma função linear. Sabe-se que f(-1) = 4 e f(2) = 7. Dê o valor de f(8). (UFSC, 2013)

f(-1) = 4 f(2) = 7

(-1, 4)(2, 7)

y = ax + b4 = a(-1) + b7 = a(2) + b

7 b 2a4 b a -

a = 1 b = 5

f(x) = ax + bf(x) = 1.x + 5f(x) = x + 5

Logo:f(8) = 8 + 5

f(8) = 13

2) A semi-reta representada no gráfico seguinte expressa o custo de produção C, em reais, de n quilos de certo produto.

C (reais)

x (quilogramas)

0 20

80

180

Se o fabricante vender esse produto a R$ 102,00 o quilo, a sua porcentagem de lucro em cada venda será?

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,80)P2(20,180)

80 = a.0 + bb = 80

180 = a. 20 + 8020a = 100 a = 5

f(x) = a.x+ bf(x) = 5.x+ 80

f(1) = 5.1+ 80 f(1) = 85

R$ 85 100%R$102 xx = 120%LUCRO DE 20%

3) Em um termômetro de mercúrio, a temperatura é uma função afim (função do 1o grau) da altura do mercúrio. Sabendo que as temperaturas 0oC e 100oC correspondem, respectivamente, às alturas 20 ml e 270 ml do mercúrio, então a temperatura correspondente a 112,5 ml é:

Função do 1º grau:

f(x) = a.x+ b

P1(0,20)P2(100,270)

20 = a.0 + bb = 20

270 = a. 100 + 20100a = 250a = 2,5

f(x) = a.x+ bf(x) = 2,5.x+ 20

y = 2,5x + 20

112,5 = 2,5x + 20

92,5 = 2,5x37°C = x


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Gráficos

18

GRÁFICOS

Gráfico é a forma geométrica de apresentação dos dados e respectivos resultados de sua análise.

A escolha do modelo ideal de representação gráfica depende das preferências e do senso estético do elaborador.

Vantagens:

- Permitem a síntese dos resultados; - Auxiliam o pesquisador na análise dos dados e - Facilitam a compreensão das conclusões do autor.

EXPECTATIVA DE VIDA – Diferenças entre os países

RENDA PER CAPITA NO BRASIL (PNUD, 2000)

RENDA PER CAPITA EM SANTA CATARINA (PNUD, 2000)

ACESSO AO ENSINO SUPERIOR NO BRASIL (PNUD, 2000)

ACESSO AO ENSINO SUPERIOR EM SANTA CATARINA (PNUD, 2000)

GRÁFICO DE DISPERSÃO – RENDA x EDUCAÇÃO (PNUD, 2000)

NORMAS PARA A CONFECÇÃO DE GRÁFICOS

Deve facilitar a interpretação dos dados para um leigo; Não há a necessidade de se colocar título se estiver na mesma

página da tabela correspondente; Há a necessidade de se colocar o título se a tabela

correspondente não estiver na mesma página. O senso estético individual determina o espaço do gráfico (L x

A); As colunas, barras, linhas e áreas gráficas devem ser ordenadas

de modo crescente ou decrescente, mas a ordem cronológica prevalece.

ORIGEM DOS GRÁFICOS

O diagrama cartesiano é a figura geométrica que deu origem à técnica de construção de gráficos estatísticos. Utiliza-se o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenados cartesianos ortogonais.

1o Quadrante

Abscissas (eixo x)

Ordenadas (eixo y)

Eixo y Frequências

Eixo x Valores da Variável

GRÁFICO EM COLUNAS OU DE BARRAS

Figura 1: Gráfico em colunas do número de exames realizados em um determinado laboratório em 2015.

Tabela 1: Quantidade de exames realizados em um determinado laboratório em 2015.

Exames Quantidade

Hematologia 9824 Bioquímica 21534 Imunologia 15432 Parasitologia 4310

Fonte: Hipotética

0

5000

10000

15000

20000

25000

Hemat Bioq Imunol Parasit

GRÁFICO DE BARRAS HORIZONTAIS

Figura 2: Gráfico de Barras Horizontais do número de exames realizados em um determinado laboratório em 2015.


Exames Quantidade


Fonte: Hipotética

0 5000 10000 15000 20000 25000

Hemat

Bioq

Imunol

Parasit

GRÁFICO DE SETORES OU CIRCULAR

Hemat

Bioq

Imunol

Parasit

Figura 3: Gráfico circular do número de exames realizados em um determinado laboratório em 2015.


Exames Quantidade


Fonte: Hipotética

0

2

4

6

8

10

12

0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10

Figura 4: Histograma das notas dos alunosTabela 4: Notas dos alunos na disciplina de Estatística no curso de Administração (ano x)

Notas Frequência

0 2 2

2 4 7

4 6 11

6 8 10

8 10 5

Fonte: Dados Fictícios

HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA

5,7

20

31,428,6

14,3

0

5

10

15

20

25

30

35

0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10

Figura 5: Histograma dos percentuais das notas dos alunos• A área do histograma é

proporcional à soma das frequências;

• Para comparar duas distribuições, o ideal é utilizar números percentuais;

HISTOGRAMA DE FREQUÊNCIA PERCENTUAL

28,6

14,3

31,4

5,7

20

0

5

10

15

20

25

30

35

0 0 a 2 2 a 4 4 a 6 6 a 8 8 a 10 11

Figura 6: Polígono de Frequência percentual de das notas dos alunos

• É um Gráfico em Linha de uma distribuição de frequência;

• Para se obter um polígono (linha fechada), deve-se completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontos médios da classe anterior à primeira e posterior à última, da distribuição.

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA

Figura 7: Gráfico Stem-Leaf onde o primeiro dígito é o tronco e o segundo é a folha

13 14 15 1522 23 28 2933 35 36 37 39 3945 4753 57 58 58 5962 63 65 71 72

Conjunto de Dados

Tronco (Stem) Folha (Leaf) 1 3455 2 2389 3 356799 4 57 5 37889 6 235 7 12

GRÁFICO STEM AND LEAF (Tronco e Folhas)

Figura 8: Gráfico de barras com os valores médios e o desvio padrão das alturas de estudantes da faculdade x (valores fictícios).

1,551,6

1,651,7

1,751,8

1,851,9

1,95

Medicina Odontologia Farmacia Nutrição

GRÁFICO DE BARRAS COM DESVIO PADRÃO

É o gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas

GRÁFICO POLAR

Figura 9: Precipitação pluviométrica na cidade do Recife em 1993 (Ministério da Agricultura).

Cartograma é a representação sobre uma carta geográfica.

CARTOGRAMA

Figura 10: Distribuição populacional e densidade demográfica na Região Sul em 1994 (IBGE)

O pictograma constitui um dos processos gráficos que melhor fala ao público, pela sua forma ao mesmo tempo atraente e sugestiva. A

representação gráfica consta de figuras.

PICTOGRAMA

Nº de habitantes de 8 províncias de Andaluzia

PICTOGRAMA

Figura 11: Distribuição populacional na Andaluzia – Espanha.


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Porcentagem

40

PORCENTAGEM

• É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15%Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Avaí, 90% são craques.Significa que em cada 100 jogadores do Avaí, 90 são craques.

41

Significado: divida o número por 100

X% = X

100

SIMBOLOGIA (%)

Muito usada no ambiente publicitário, ela indica a razão centesimal de uma conta.

Supondo que em um exame um aluno tenha acertado 12 de 15 questões:

12:15 ou 12 = 0,8 x 100 = 80% 15

TAXA PERCENTUAL (%)

Vimos que:12 = 0,8 x 100 = 80%15

percentagem = taxa x 100 principal

Representado por: Principal: P; Percentagem: p; Taxa: r

ELEMENTOS DO CÁLCULO PERCENTUAL

TAXA

• É o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.

PERCENTAGEM

• É o valor que representa a quantidade tomada de outra, proporcionalmente a uma taxa.

PRINCIPAL

• É o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.

Vimos que a taxa percentual se refere a 100, ou seja: 25 = 25%

100

Porém é muito mais prático (e, as vezes, necessário) tomarmos como valor referencial a taxa unitária (simbolizada por um i):

25 = i i = 25 = 0,25 100 1 100

i = 0,25 = 25 = 25% 100

TAXA UNITÁRIA

46

Percentual Fracionária Decimal

3500%

30%

70% 5%

220%

30/100 0,30

70/100 0,70

5/100 0,05

220/100 2,20

3500/100 35

TAXA UNITÁRIA: Percentual, Fracionária ou Decimal

47

Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação

10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Fator de aumento = 1 + fator simples

PALAVRAS: INFLAÇÃO, ACRÉSCIMO, ÁGIO, REPOSIÇÃO, VALORIZAÇÃO.

48

Desconto Fator de Multiplicação

10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Fator de desconto = 1 – fator simples

PALAVRAS: DESCONTO, DECRÉSCIMO, DESÁGIO, DEFLAÇÃO, DESVALORIZAÇÃO, ABATIMENTO.

49

PROBLEMAS SIMPLES

PROBLEMAS COM AUMENTO

PROBLEMAS COM DESCONTO

Valor Inicial . Fator % = Valor Final

TIPOS DE QUESTÕES

50

12x6010020x

25xx1008020

Exemplos:

Quanto é 20% de 60?

20 é 80% de quanto?

12 é quanto por cento de 30?

%40x30100

x12

PROBLEMAS SIMPLES

51

PALAVRAS: INFLAÇÃO, ACRÉSCIMO, ÁGIO, REPOSIÇÃO, VALORIZAÇÃO.

Exemplos:Aumento de 30% sobre x 1,3∙xAumento de 80% sobre x 1,8∙x

Aumento de 7% sobre x 1,07∙x

Aumento de 320% sobre x 4,2∙x

Aumento de 1300% sobre x 14∙x

PROBLEMAS COM AUMENTO

52

PALAVRAS: DESCONTO, DECRÉSCIMO, DESÁGIO, DEFLAÇÃO, DESVALORIZAÇÃO, ABATIMENTO.

Exemplos:Desconto de 20% sobre x 0,80∙x

Desconto de 70% sobre x 0,30∙x



Desconto de 130% sobre x não existe

PROBLEMAS COM DESCONTO

53

MULTIPLICAR OS FATORES

MÊS INFLAÇÃO

MAIO 10%

JUNHO 20%

QUAL É A INFLAÇÃO ACUMULADA?

FATOR

1,1

1,2

ACUMULADA = 1,1 ∙ 1,2 = 1,32

32% DE INFLAÇÃO ACUMULADA

PORCENTAGENS CONSECUTIVAS

54

130% DE x

AUMENTO DE 30% SOBRE x

0,8∙x 80% DE x

DESCONTO DE 20% SOBRE x

1,3∙x

INTERPRETAÇÃO

55

Exemplo: Se a desvalorização de determinado imóvel foi, em maio de 10% e, em junho de 20%, qual a desvalorização acumulada dos dois meses?

Fator de desconto de maio = 0,9

Fator de desconto de junho = 0,8

0,9 ∙ 0,8 = 0,7228% DE

DESVALORIZAÇÃO ACUMULADA

PORCENTAGENS CONSECUTIVAS

56

Questão 1: Durante a crise do abastecimento de álcool um carro sofreu duas desvalorizações consecutivas de 10%. Que porcentagem do preço original passou a custar?

a) 90%b) 81%c) 80%d) 79%e) 0%

Fator de desconto 1a desvalorização = 0,9

Fator de desconto 2a desvalorização = 0,9

Porcentagem do preço inicial = 0,9 ∙ 0,9 = 0,81 = 81%

57

Questão 2: Um comerciante aumenta o preço original de uma mercadoria em 60%. Em seguida anuncia essa mercadoria com desconto de 50%, o que resulta em um preço de R$ 24,00. O desconto real sobre o preço original da mercadoria é:

a) 10%b) 20%c) 25%d) 40%e) 30%

FATOR DE AUMENTO DE 60% = 1,6

FATOR DE DESCONTO DE 50% = 0,5

1,6 ∙ 0,5 = 0,8


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Regra de Três

59

REGRA DE TRÊS

• Regra de três é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

• É chamado assim o problema nos quais figura uma grandeza que é direta ou inversamente proporcional a uma ou mais grandezas.

A relação entre duas grandezas estabelece a lei de variação dos valores de uma em relação a outra.

As grandezas proporcionais podem ser:- Diretamente proporcionais- Inversamente proporcionais

GRANDEZAS PROPORCIONAIS

Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores grandes de b.

a

b

Exemplos:

Peso x AlturaNível socioeconômico x Volume de vendasConsumo de Álcool x Preval. Cirrose Hepática

GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Quando valores pequenos da variável a tendem a estar relacionados com valores grandes de b, enquanto que valores grandes de a tendem a estar relacionados com valores pequenos de b.

a

b

Exemplos:

Renda Familiar x Número de FilhosEscolaridade x AbsenteísmoVolume de vendas x Passivo circulante

GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

- Regra de Três Simples: Trabalha com apenas duas grandezas

- Regra de Três Composta: Envolve mais de duas grandezas

TIPOS DE REGRA DE TRÊS

São dados dois valores de uma grandeza e um valor de outra, o qual corresponde a um dos valores da primeira grandeza.

Devemos obter o valor da segunda grandeza correspondente ao segundo valor da primeira.

REGRA DE TRÊS SIMPLES

Passos utilizados numa regra de três simples

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplo 1

Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Montando a tabela e identificando a relação:

Solução:

Área (m2) Energia (W/h)

1,2 400

1,5 x

1,2/1,5 = 400/x1,2 x = 1,5 . 400X = 600 / 1,2 = 500 W/h

Exemplo 2

Para construir uma casa 10 pedreiros levam 30 dias. Se passarmos a contar com 15 pedreiros em quantos dias a casa ficará pronta?


Solução:

Pedreiros Tempo (dias)

10 30

15 x

30/x = 15/1015 x = 10 . 30X = 300 / 15 = 20 dias

Ocorrem três ou mais grandezas relacionadas entre si. Nesse caso, para cada grandeza são dados dois valores com exceção de uma delas, que tem apenas um valor, relacionado com um dos valores de cada uma das outras grandezas.

REGRA DE TRÊS COMPOSTA

Exemplo 1

O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas dois dias, de quantos operários vai precisar?


Solução:

Operários Estantes Dias

50 10 5

x 10 2

50/x = 10/10 . 2/5x = 1 . 50 . 5 / 2X = 125 Operários

Exemplo 2

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125 m³?


Solução:

Areia (m³) Horas Caminhões

160 8 20

25 5 x

20/x = (5/8) . (160/125)x = 25 Caminhões

Exemplo 3

Se para imprimir 87.500 exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas iguais às primeiras, imprimirão 350.000 desses exemplares?


Solução:

Exemplares Rotativas Tempo (m)

87.500 5 56

350.000 7 x

56/x = (87.500/350.000) . (7/5)x = 160 minx = 2h40min

Exemplo 4

Quinze operários trabalhando 9 horas por dia, construíram 36 m de muro em 16 dias. Em quanto tempo 18 operários farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8 h por dia?


Solução:

Operários Jornadas (h) Comprimentos (m) Dias

15 9 36 16

18 8 60 x

16/x = (36/60) . (8/9) . (18/15)x = 25 dias


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Introdução à Lógica

74

A Lógica é um ramo da Filosofia e da Matemática e estuda os princípios e métodos de argumentação.

A Lógica tem por objetivo estudar os métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos;

A Lógica cuida das regras do bem pensar, se preocupa basicamente com a estrutura do raciocínio.

INTRODUÇÃO À LÓGICA

75

A História da Lógica teve início em 384–322 a.C., com o filósofo grego Aristóteles e já com a teoria dos silogismos (certa forma de argumento válido).

Os fundamentos da Álgebra da Lógica só foram publicados entre 1840 e 1910.

“Eu sustento que a descoberta da forma dos silogismos é uma das mais belas conquistas da mente humana. É uma espécie de matemática universal, cuja importância não é suficientemente conhecida“ (LEIBNIZ).

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

76

• Toda regra tem exceção. Isto é uma regra. Logo, deveria ter exceção. • Portanto, nem toda regra tem exceção.

• Deus é amor. O amor é cego. Steve Wonder é cego. • Logo, Steve Wonder é Deus.

SILOGISMO

77

- Chama-se PROPOSIÇÃO a todo o conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um pensamento completo.

- Tecnicamente, uma proposição é uma frase que pode ser apenas verdadeira ou falsa, são os chamados valores lógicos de uma proposição.

PROPOSIÇÕES E CONECTIVOS

78

Exemplos:1. Dez é menor que sete.2. Ela é muito talentosa!3. Existem formas de vida em outros planetas do universo.

• A frase 1 é uma proposição pois é falsa.• Na frase 2, “Ela” não está especificada, a frase não é

portanto nem verdadeira nem falsa, logo não temos uma proposição.

• A frase 3 é uma proposição, embora não saibamos se é verdadeira ou falsa, apenas uma das opções ocorre.

PROPOSIÇÕES: EXEMPLIFICANDO

79

Costuma-se usar a palavra “proposição” para designar o significado de uma sentença ou oração declarativa.

• Exemplo:

“João ama Maria” é o mesmo que “Maria é amada por João”.

PROPOSIÇÕES: EXEMPLIFICANDO

80

• Toda proposição é uma frase mas, nem toda frase é uma proposição);

• Uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois valores lógicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V).

Exemplos:• Frases que não são proposições

– Pare!– Quer uma xícara de café?

• Frases que são proposições– A lua é o único satélite do planeta terra (V)– Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)– O numero 712 é ímpar (F)– A raiz quadrada de dois é um número irracional (V)

PROPOSIÇÃO

81

PROPOSIÇÃO SIMPLES

É aquela que não possui nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma.Representadas pelas letras p,q,r,s,..., minúsculas.

p: 19 é número primo.q: O triângulo que tem 3 lados diferentes é isósceles.

PROPOSIÇÃO COMPOSTA

É aquela formada pela Combinação de duas ou mais proposições.Representadas pelas letras P,Q,R,S..., maiúsculas.

P: 4 é a raiz de 16 e 9 é o cubo de 2.Q: Mercúrio é um planeta e a lua é o Satélite da terra.

TIPOS DE PROPOSIÇÃO

82

CONECTIVOS LÓGICOS

Conectivos = Conectores

Símbolos:

Negação (não)

Conjunção (e)

Disjunção (ou)

Ou Exclusivo

Condicional

Equivalência

∨

∨

83

Proposição Composta Condicional Se então

Notação: p q (lê-se se p então q)O valor lógico de uma condicional será falso quando “p” for verdadeira e “q” for falsa, e Verdadeiro nos demais casos.

EXEMPLOS:

“Se tem fumaça então tem fogo.” “Se hoje é domingo então tem jogo na televisão.”

84

1. A primeira proposição (p) é chamada de antecedente, hipótese ou condição suficiente;2. A segunda proposição (q) é chamada de consequente ou condição necessária;

3. A proposição composta resultante da operação condicional de uma proposição em outra somente será falsa,se a proposição antecedente for verdadeira e a consequente for falsa. Em todos os outros casos, a proposição resultante será verdadeira.


85

“Se João passou de ano, então João passou em física”.

Atenção para algumas variações frequentes:

“João Passará em física, se João passar de ano”.“João passar de ano é condição suficiente para que João passe em física”.“João passar de ano é condição necessária para queJoão passe em física”.“João passará de ano somente se João passar em física”.


86

Vamos analisar outra situação:

p: João passou de ano.q: João passou em física.p q: Se João passou de ano, então João passou em física.

• Percebe-se nesta última proposição que, se João passou de ano, é porque também passou em física.

• E que há apenas um caso em que elas e torna falsa: João passou de ano, associado com João não passou em física.

A proposição composta resultante da operação condicional de uma proposição em outra somente será falsa, se a proposição antecedente for verdadeira e a consequente for falsa

87

Facilitando o entendimento:

“Se nasci em Florianópolis, então sou catarinense”.

Qual é a única maneira dessa proposição estar incorreta? Se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.

• Ou seja, se é verdade que eu nasci em Florianópolis, então necessariamente é verdade que eu sou catarinense.

• Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Florianópolis, e que é falso que eu sou catarinense, então este conjunto estará todo falso.

88

Percebe-se que o fato de eu ter nascido em Florianópolis é condição suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja catarinense. Mirem nessas palavras:

Suficiente e necessário Uma condição suficiente gera um resultado necessário.

Se alguém disser que:

“Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”,então pode-se reescrever essa sentença usando o formato da condicional:

“Se Pedro for rico, então Maria é médica”.

89

Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que:

“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma:

“Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”

é igual a:

“Se Pedro for rico, então Maria é médica”

90

A tradução das palavras suficiente e necessário para o formato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.

→ Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional "Se p então q" corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q).

p p C q

q

91

Outros Exemplos da Proposição Condicional

Exemplo1: Se 4 é maior que 2, então 10 é menor que 20. p: 4 é maior que 2 q: 10 é menor que 20 p q V V Resultado V

Exemplo2: Se o mês de Maio tem 31 dias, então a Terra é plana O mês de Maio tem 31dias: p A Terra é plana: q p q V F Resultado F


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Lógica Proposicional

93

LÓGICA PROPOSICIONAL

• As regras de lógica dão um significado preciso para sentenças matemáticas.

• Essas regras são usadas para distinguir argumentos matemáticos válidos e inválidos.

PROPOSIÇÃO

É uma sentença declarativa verdadeira ou falsa.

Toda sentença declarativa declara um fato.

94

• Sentenças declarativas:

1. Brasília é a capital do Brasil.

2. Toronto é a capital do Canadá.3. 1 + 1 = 2

4. 2 + 2 = 3

As proposições 1 e 3 são verdadeiras e 2 e 4 são falsas.

PROPOSIÇÕES

95

• Analise as seguintes sentenças:

1. Que horas são?

2. Leia isso cuidadosamente.

3. x + 1 = 2

4. x + y = z

As sentenças 1 e 2 não são proposições porque não são sentenças declarativas. As sentenças 3 e 4 não são nem verdadeira e nem falsas.

NÃO-PROPOSIÇÕES

96

• Ao se atribuir valores para as variáveis das sentenças 3 e 4 elas se tornam PROPOSIÇÕES:

3. x + 1 = 2

4. x + y = z

Se (x = 2) a sentença 3 ficaria: 3 + 1 = 2 (Falso).

Se (y = 3 e z = 5) a sentença 4 ficaria: 2 + 3 = 5 (Verdadeiro).

ATENÇÃO

97

Aristóteles

(em grego antigo: Ἀριστοτέλης, transl. Aristotélēs)

Estagira, 384 a.C. - Atenas, 322 a.C.

Foi um filósofo grego, aluno de Platão e professor de Alexandre, o Grande.

Seus escritos abrangem diversos assuntos, como a física, a metafísica, as leis da poesia e do drama, a música, a lógica, a retórica, o governo, a ética, a biologia e a zoologia.

Juntamente com Platão e Sócrates (professor de Platão), Aristóteles é visto como um dos fundadores da filosofia ocidental.

ARISTÓTELES

98

CONECTORES LÓGICOS

99

Seja p uma proposição. A negação de p é indicada por p é a sentença “não é o caso de p”.

Exemplo:

Proposição p:

“Hoje é sexta-feira”

A negação é: “Não é o caso de hoje ser sexta-feira”.

“Hoje não é sexta-feira”.

DEFINIÇÃO 1

100

Sejam p e q proposições. A conjunção de p e q, indicada por p ^ q, é a proposição p e q.

A preposição p ^ q é verdadeira quando ambas são verdadeiras e falsa caso contrário.

Exemplo:

Proposição p: Proposição q: “Hoje é sexta-feira” “Hoje está chovendo”

A proposição p ^ q é:

“Hoje não é sexta-feira e hoje está chovendo”.

DEFINIÇÃO 2

101

Sejam p e q proposições. A disjunção de p e q, indicada por p q, é a proposição p ou q.∨A disjunção p q é falsa quando ambas são falsas e verdadeira ∨em qualquer outro caso.

Exemplo:

Proposição p: Proposição q: “Hoje é sexta-feira” “Hoje está chovendo”

A proposição p q é: ∨“Hoje é sexta-feira ou hoje está chovendo”.

DEFINIÇÃO 3

102

Sejam p e q proposições.

A disjunção exclusiva (chamada ou exclusivo) de p e q, indicada por p q, é a proposição que é verdadeira quando exatamente uma das duas é verdadeira e falsa nos outros dois casos.

p q p qV V F

V F V

F V V

F F F

DEFINIÇÃO 4

103


A proposição condicional p q é a proposição “se p, então q”. P é chamada de hipótese (ou antecedente ou premissa) e q é a conclusão (ou consequência ou consequente)

p q p qV V V

V F F

F V V

F F V

DEFINIÇÃO 5

104

DEFINIÇÃO 5

Se eu for eleito, então eu vou diminuir os impostos.

Se você tirar 10 na prova, então terá conceito A.

Se Maria aprender matemática, então ela vai conseguir

um bom emprego.

Se hoje está ensolarado, então eu vou à praia.

Se hoje é sexta-feira, então 2 + 3 = 5.

Se está chovendo, então o time da casa ganha o jogo.

105


A proposição bicondicional p q é a proposição “p e somente se q”.

Bicondicionais são também chamadas de bi-implicações.

p q p qV V V

V F F

F V F

F F V

DEFINIÇÃO 6

106

DEFINIÇÃO 6

Você pode tomar o avião, se e somente se você comprou

uma passagem.

Você pode ir ao cinema, se e somente se você fizer os

deveres da escola.

João poderá dirigir, se e somente se ele não beber.

Maria poderá chegar cedo na escola, se e somente o

ônibus não atrasar.

107

CONECTORES LÓGICOS

CONECTIVO SÍMBOLO

Negação (não)

Conjunção (e)

Disjunção (ou)

Ou Exclusivo

Condicional (implicação)

Equivalência (bi-implicação)

∨

∨


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Tabela Verdade


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Bibliografia

BibliografiaCRESPO, Antonio Arnot. Matemática Financeira Fácil. 14.ed.. São Paulo: Saraiva, 2009.

ROSEN, Kenneth H.. Matemática Discreta e Suas Aplicações. 6.ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2010.

Disciplina de Lógica Aplicada - GST0049 Cursos de Graduação em Publicidade e em Jornalismo Prof....

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