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SOLUÇÃO ANALÍTICA PARA A VELOCIDADE DE ESCOAMENTO DE FLUÍDO NEWTONIANO ENTRE DOIS DISCOS PLANOS, IGUAIS, FIXOS, PARALELOS E COAXIAIS Dirceu Pereira Filho UTFPR – Universidade Federal Tecnológica do Paraná

Av. Sete de Setembro, 3165 – Rebouças CEP 80230-901 – Curitiba – PR - Brasil

dirceupfilho@hotmail.com

Resumo. O propósito deste artigo é demonstrar que para um escoamento permanente de fluído newtoniano incompressível e

viscoso, unidimensional na direção radial entre dois discos planos, paralelos, iguais, coaxiais e estáticos, separados entre si por

uma distância finita, é possível obter uma solução analítica para a velocidade de escoamento em função das direções cilíndricas r e

z, a partir das equações da conservação da massa e da quantidade de movimento (Navier-Stokes), quando tal escoamento for

admitido para números de Reynolds inferiores a 10. Espera-se que esta solução analítica possa reproduzir, qualitativamente, o

escoamento de Poiseuille. Para efeitos de simplificação, considera-se que o fluído ingressa radialmente na região entre os discos

com velocidade uniforme. A pressão de saída é a pressão atmosférica. Outras hipóteses simplificadores, apresentadas no texto, são

admitidas de forma a tornar possível a solução analítica.

Palavras chave: Escoamento de Poiseuille, Fluído newtoniano, Escoamento incompressível, Escoamento por escorregamento,

Escoamento entre discos planos.

1. Introdução

Apesar de serem consideradas importantes sob o ponto de vista da interpretação física do fenômeno do escoamento

de um fluído newtoniano, as equações de Navier-Stokes são, até os dias atuais, de difícil solução requerendo métodos

numéricos complexos e auxílio computacional avançado para estudo dos escoamentos bidimensionais ou

tridimensionais, em regime permanente ou transiente. Entretanto, para um bom número de casos envolvendo fluxo

permanente, unidimensional e plenamente desenvolvido de fluídos incompressíveis, a solução destas equações se torna

bastante simplificada sendo possível a obtenção de soluções analíticas aproximadas que permitem uma razoável análise

preliminar do fenômeno tornando possível inferir resultados para uma posterior avaliação comparativa e até mesmo,

para auxiliar no processo de geração do código-fonte nas avaliações computacionais. Isto é particularmente importante

quando se considera o tempo e custo necessários para obtenção de resultados computacionais satisfatórios.

O propósito deste artigo é demonstrar que para um escoamento permanente de fluído newtoniano incompressível e

viscoso, unidimensional na direção radial entre dois discos planos, paralelos, iguais, coaxiais e estáticos, separados

entre si por uma distância finita, é possível obter uma solução analítica para a velocidade de escoamento em função das

direções cilíndricas r e z, a partir das equações da conservação da massa e da quantidade de movimento (Navier-

Stokes), quando tal escoamento for admitido para números de Reynolds inferiores a 10. Espera-se que esta solução

analítica possa reproduzir, qualitativamente, o escoamento de Poiseuille. Para efeitos de simplificação, considera-se que

o fluído ingressa radialmente na região entre os discos com velocidade uniforme. A pressão de saída é a pressão

atmosférica. Outras hipóteses simplificadoras, apresentadas no texto, são admitidas de forma a tornar possível a solução

analítica.

2. Caracterização de Estudo

O presente estudo visa obter uma solução analítica para a velocidade de escoamento de um fluído newtoniano

viscoso entre dois discos planos estacionários, em função das coordenadas cilíndricas r e z. Os discos são posicionados

de forma coaxial e paralela, separados entre si por uma distância finita. Quer se demonstrar a viabilidade desta solução

analítica para números de Reynolds inferiores a 10. Para tanto, parte-se da equação da conservação da massa e das

equações de Navier-Stokes para coordenadas cilíndricas. A Fig. 1 representa esquematicamente o objeto de estudo.

Para esta análise, considera-se que o fluído escoa na vertical, na direção de z, adentrando nos discos através do furo

central destes, sob determinada pressão. A partir daí, passa a escoar de forma radial no espaço entre os discos,

assumindo-se que o escoamento se dá de forma radial e uniforme na entrada, para fins de simplificação da análise. Esta

hipótese é possível já que também é largamente considerada no projeto de rotores de bombas centrífugas e sistemas de

lubrificação. Após escoar radialmente no espaço entre os discos, o fluído escoa para o exterior dos mesmos sob pressão

atmosférica.

2.1. Simbologia

g = aceleração da gravidade.

h = distância do eixo coordenado r à superfície interna do disco, na direção de z.

p = pressão.

r = raio, coordenada cilíndrica.

R = raio dos discos.

2

QRe = número de Reynolds, dado em função da vazão.

t = tempo.

T = temperatura.

V = velocidade do escoamento.

V = velocidade média.

z = altura, coordenada cilíndrica.

ρ = massa específica.

θ =coordenada cilíndrica.

µ = viscosidade dinâmica (absoluta).

υ = viscosidade cinemática.

2.2. Subscritos

r = segundo a direção coordenada r.

θ = segundo a direção coordenada θ.

z = segundo a direção coordenada z.

e = entrada.

s = saída.

Figura 1. Representação esquemática do escoamento entre dois discos planos.

3. Hipóteses Simplificadoras

Para ser possível a obtenção de uma solução analítica para a velocidade de escoamento em função das coordenadas

cilíndricas r e z, a partir da equação da conservação da massa e das equações de Navier-Stokes, algumas hipóteses

simplificadoras precisam ser assumidas. Tais hipóteses são:

(1) O escoamento é laminar em regime permanente: tem-se que ( )

0t

=∂

∂.

(2) O escoamento é incompressível: tem-se que ( )

0=∂

∂ρ.

(3) O escoamento é unidimensional na direção da coordenada r: tem-se que 0VV z ==θ .

(4) O campo gravitacional é desprezível: tem-se que 0ggg zr === θ .

(5) O escoamento apresenta simetria na direção da coordenada θ: tem-se que ( )

0=∂

∂

θ

(6) O escoamento é isotérmico: tem-se que 0T =∇ e µ = constante.

4. Equações Governantes

Equação da conservação da massa:

( ) ( ) ( )0

z

VV

r

1

r

Vr

r

1

t

zr =∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ρ

θ

ρρρ θ

3

Equação de Navier-Stokes, na direção da coordenada cilíndrica r:

( )

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

∂

∂++

∂

∂−=

∂

∂+−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

r

2

22

r

2

2rrr

z

2

rrr

r

z

VV

r

2V

r

1rV

rr

1

rg

r

p

z

VV

r

VV

r

V

r

VV

t

V

θθµρ

θρ θθθ

Equação de Navier-Stokes, na direção da coordenada cilíndrica θ:

( )

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂++

∂

∂−=

∂

∂++

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

2

r

22

2

2zr

rz

VV

r

2V

r

1rV

rr

1

rg

p

r

1

z

VV

r

VVV

r

V

r

VV

t

V θθθθ

θθθθθθ

θθµρ

θθρ

Equação de Navier-Stokes, na direção da coordenada cilíndrica z:

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂++

∂

∂−=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2

z

2

2

z

2

2

zz

zz

zzr

z

z

VV

r

1

r

Vr

rr

1g

z

p

z

VV

V

r

V

r

VV

t

V

θµρ

θρ θ

5. Desenvolvimento da Solução Analítica

Aplicando as hipóteses simplificadoras nas equações governantes, obtém-se:

Conservação da massa: 2

rr

r

V

r

V−=

∂

∂ (1)

Navier-Stokes na direção r: ( )

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂−=

2

r

2

rz

VrV

rr

1

rr

p0 µ (2)

Navier-Stokes na direção θ: 0p

=∂

∂

θ (3)

Navier-Stokes na direção z: 0z

p=

∂

∂ (4)

Trabalhando-se os termos da Eq. 2, obtém-se:

0r

p1

r

V

z

V2

r

2

2

r

2

=∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

µ (5)

Substituindo a Eq. 1 na Eq. 5, vem:

4

2

r

2

r

2

r

V

r

p1

z

V−=

∂

∂−

∂

∂

µ (6)

Admitindo-se, para fins de simplificação, uma função do tipo rrV=ψ , a qual é função somente de z e

independente de r. Desta forma, o termo diferencial quadrático da Eq. 6 será função de r e z. Substituindo-se na Eq. 6 e

trabalhando os termos, tem-se:

6

2

2

2

rr

p

zr

1 ψµ

ψµ −=

∂

∂−

∂

∂ (7)

A Eq. 7, obtida das equações de Navier-Stokes por meio das hipóteses simplificadoras, não tem solução analítica.

Métodos numéricos devem ser aplicados para se tentar obter uma solução aproximada. Entretanto, para um número de

Reynolds inferior a 10, pode-se assumir que o escoamento se dá por escorregamento (creeping flow) e o termo não

linear do segundo membro da Eq. 7 pode ser desconsiderado. De fato:

ψυυ

==→= eeQee

Q RVReRV

Re

Tendo que a viscosidade cinemática υ para óleos mais viscosos se situa na faixa de 10-4

a 10-5

m²/s, o termo ψ2 se

torna muito próximo de zero.

4

Logo, a Eq. 7 pode ser escrita na forma:

0r

p

zr

12

2

=∂

∂−

∂

∂ ψµ (8)

Integrando-se a Eq. 8, vem:

( ) 0ppzR

Rln es2

2

e

s =−−∂

∂ ψµ (9)

A pressão de saída ps é inferior à pressão de entrada pe devido à perda de carga inerente e ao fato do escoamento

estar aberto à atmosfera. Fazendo-se se ppp −=∆ , a Eq. 9 fica:

0pzR

Rln

2

2

e

s =∆+∂

∂ ψµ (10)

Fazendo-se a dupla integração da Eq. 10 em relação à z, vem:

21

2

e

s

CzC2

z

R

Rln

p++

∆−=

µψ (11)

Considerando a condição de não-deslizamento do fluído nas paredes dos discos, tem-se que quando

0Vhz r =→±= e, consequentemente, 0=ψ . Logo, as constantes de integração C1 e C2 ficam:

0C1 =

2

h

R

Rln

pC

2

e

s2

µ

∆=

Substituindo-se as constantes C1 e C2 na Eq. 11 e trabalhando-se os termos, vem:

−

∆=

2

e

s

2

h

z1

R

Rln2

ph

µψ (12)

Substituindo rrV=ψ na Eq. 12, obtém-se a solução analítica para a velocidade )z,r(VV rr = :

−

∆=

2

e

s

2

rh

z1

R

Rlnr2

ph)z,r(V

µ

(13)

A Eq. 13 permite, em função do diferencial de pressão ∆p aplicado, obter-se uma distribuição da velocidade de

escoamento do fluído por entre os discos planos segundo a direção z, ao longo da direção r.

A Fig. 2 apresenta um gráfico das distribuições de velocidade de escoamento na direção da coordenada z, para

diferentes valores de raio dado por ekRr = , para um determinado diferencial de pressão ∆p.

Observa-se que na entrada dos discos há uma forte influência da pressão sobre o perfil de velocidades em z. Na

medida em que o escoamento ocorre para dentro dos discos, há uma variação no gradiente de pressão devido à perda de

carga e a velocidade do fluído diminui com o aumento do raio r (aumento da constante k). Tal comportamento é

característico do escoamento de Poiseuille. A geometria da curva de distribuição é conhecida como parabolóide de

Poiseuille, a qual é fortemente influenciada pela viscosidade dinâmica do fluído.

5

Figura 2. Distribuição de velocidade na direção de z para várias posições na direção de r e ∆p constante.

6. Conclusões

Da análise do gráfico da Fig.2, pode-se concluir que a solução analítica obtida a partir das equações da conservação

da massa e equações de Navier-Stokes, através das hipóteses simplificadoras, para a velocidade de escoamento em

função das coordenadas r e z para fluído newtoniano viscoso e incompressível entre dois discos planos e paralelos, para

um número de Reynolds inferior a 10, representada pela Eq. 13, consegue reproduzir qualitativamente o fenômeno do

escoamento de Poiseuille, o qual era esperado. Em termos quantitativos, para se verificar o grau de aderência dos

resultados obtidos através da solução analítica com resultados reais, é necessário reproduzir-se o fenômeno em

laboratório. Os dados experimentais obtidos poderão ser utilizados para se determinar um fator de correção a ser

aplicado na Eq. 13 de maneira a se ter um parâmetro confiável para predição do escoamento.

A partir da equação corrigida, poder-se-á, também, obter facilmente soluções analíticas para outras características

do escoamento tais como distribuição de pressão, vazão, velocidade média, velocidade máxima, distribuição de tensões

de cisalhamento, fator de atrito, entre outros.

7. Agradecimentos

O autor agradece ao Prof. Dr. Admilson Franco e ao Prof. Dr. Rigoberto Morales pelas valiosas orientações e

informações dispensadas, imprescindíveis para a realização deste trabalho.

8. Referências

Bird, R. B., Stewart, W. E. and Lightfoot, E. N., 2007, “Transport Phenomena”, Second Edition, New York, USA, John

Wiley & Sons, pp. 58-61 and pp. 108-109.

Fox, R. W., McDonald, A. T. e Pritchard, P. J., 2006, “Introdução à Mecânica dos Fluídos”, Sexta Edição, Rio de

Janeiro, Brasil, LTC – Livros Técnicos e Científicos, pp. 185-188, pp. 210-214 e apêndice B.

White, F. M., 1991, “Viscous Fluid Flow”, Second Edition, New York, USA, McGraw-Hill, pp. 59-69 e pp. 106-122.

ANALYTICAL SOLUTION FOR THE FLOW VELOCITY OF A NEWTONIAN FLUID BETWEEN TWO

PARALLEL FLAT DISC PLATES

Dirceu Pereira Filho

UTFPR – Universidade Federal Tecnológica do Paraná

Av. Sete de Setembro, 3165 – Rebouças CEP 80230-901 – Curitiba – PR – Brasil

dirceupfilho@hotmail.com

Abstract The aim of this article is to show that for a steady-state flow of a incompressible viscous newtonian fluid between

two static flat disc plates arranged in parallel and spaced each-other by a finite distance, it is possible to find an

analytical solution for the flow velocity as a function of the cylindrical coordinates r and z starting from the

continuity equation and Navier-Stokes equations admited for Reynolds numbers less than 10. It is expected that this

analytical solution can reproduce qualitatively the Poiseuille flow. In order to simplify the analysis, the assumption

of that the fluid ingress radialy in the space between the discs with a uniform velocity is taken. The outlet pressure

is admited as the atmosferic pressure. Other simplifying assumptions are taken along the text to become the

analytical solution feasible.

Keywords: Poiseuille flow, newtonian fluid, incompressible flow, creeping flow, flow between flat discs.