paradoxo da razão no caos. teoria do caos aplicada na das ...
Dinâmica Não Linear e Caos-Bifulcações
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DINÂMICA NÃO LINEAR E CAOS
Bifulcações
Edison Fabián Caballero Pérez 24/08/2010
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BIFURCAÇÕES
Muitos sistemas dinâmicos se podem modelar por um sistema de equaciones diferenciais da forma:
Onde é o vetor de estado, é o vetor de parâmetros y é um campo vetorial diferençável. Algumas variações nos valores de µ podem ocasionar câmbios importantes no comportamento dinâmico do sistema. Isto câmbios podem ser quantitativos o qualitativos; os últimos têm por nome bifurcações
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BIFURCAÇÕES LOCAIS
Uma bifurcação local acontece quando a mudança dum parâmetro gera um troco de comportamento na vizinhança do ponto de equilíbrio, para sistemas contínuos isso acontece quando os autovalores do sistema passam por zero
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BIFURCAÇÕES GLOBAIS
São bifurcações que representam mudanças qualitativas nos aspectos globais do sistema, podem ser pelo exemplo mudanças de órbitas estáveis do sistema, para trajetórias instáveis.
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BIFURCAÇÃO SELA-NÓ
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Sistema do tipo
Com pontos de fixos
Avaliando a estabilidade se tem
Se , , logo e um ponto instável.
Se , , logo e um ponto estável.
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O ponto (x, µ)= (0,0) é um ponto de bifurcação e µ=0 o valor da bifurcação. Este tipo de bifurcação tem que para valores de x<0 não existem pontos fixos; em x=0 se cria um ponto fixo e em x>0 se passa a ter dois pontos fixos é por isto que se diz que este tipo de bifurcação gera o destrói pontos fixos
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BIFURCAÇÃO TRANSCRÍTICA
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Sistema do tipo
Com pontos de fixos
Avaliando a estabilidade se tem
Comportamento do parâmetro
Ponto de equilíbrio
Características do autovalor
Comportamento
𝜇< 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Estável 𝑥ҧ= 𝜇 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ> 0 Instável 𝜇> 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Instável 𝑥ҧ= 𝜇 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ> 0 Estável
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Na imagem se vê que para μ <0, existem dois pontos fixos nos quais x = 0 é estável e x = μ é instável. Estes dois pontos fixos se unem μ = 0 e para μ> 0, x = 0 é instável e x = μ é estável. Assim, um troco de estabilidade ocorreu em μ = 0.
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BIFURCAÇÃO DE FORQUILHA
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Sistema do tipo
Com pontos de fixos
Avaliando a estabilidade se tem
Comportamento do parâmetro
Ponto de equilíbrio
Características do autovalor
Comportamento
𝜇< 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Estável 𝑥ҧ2 = 𝜇 Não existe
𝜇> 0 𝑥ҧ= 0 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ< 0 Instável 𝑥ҧ2 = 𝜇 𝐷ሾ𝑓ሺ𝑥ҧ,𝜇ሻሿ> 0
Estável para os dois pontos
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Para μ <0, há um ponto fixo, x = 0, que é estável. Para μ> 0, x = 0 é ainda um ponto fixo, mas dois novos pontos fixos foram criadas em μ = 0 e é dada por μ=x2. No processo, x = 0 tornou-se instável e para μ> 0 os outros dois pontos fixos estáveis
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BIFURCAÇÃO ANDRONOV-HOPF
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Considerando o sistema
E levando ele a coordenadas polares
Avaliando a estabilidade se tem
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Para μ <0, há um ponto fixo, x = 0, que é estável. Para μ> 0, x = 0 é ainda um ponto fixo, mas dois novos pontos fixos foram criadas em μ = 0 e é dada por μ=x2. No processo, x = 0 tornou-se instável e para μ> 0 os outros dois pontos fixos estáveis