ENILSON PALMEIRA CAVALCANTI

Universidade Federal da ParabaCentro de Cincias e Tecnologia

Departamento de Cincias Atmosfricas

Av. Aprgio Veloso, 882 Bodocong58.109.970 Campina Grande PB

Copyright 2001- Enilson Palmeira Cavalcanti

NOVEMBRO DE 2001

NOTAS DE DINMICA DE FLUIDOS

NOVEMBRO DE 2001

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Agradecimentos aos colegas Dr. Sukaran Ram Patel e Dra. Maria Regina da Silva Arago pelas sugestes apresentadas. Clia, Erika Renata, Edyla Raquel e Enilson Jos, dedico-lhes.

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NDICE Captulo I - Caractersticas Cinemticas do Escoamento de Fluidos I.1 Conceito de Fluido 01 I.2 O Contnuo 03 I.3 Descrio Lagrangeana e Euleriana 04 I.4 Derivada Substantiva ou Material 04 I.4.1 Derivada Substantiva como derivada total 04 I.4.2 Derivada Substantiva pela anlise integral 05 I.5 Equao da Continuidade de Massa 07 I.6 Divergncia Horizontal em Coordenadas Naturais 08 I.6.1 Interpretao da contribuio do termo para a Divergncia 09 V s I.6.2 Interpretao da contribuio do termo para a Divergncia 09 n I.7 Medidas de Rotao num Fluido 10 I.7.1 Vorticidade 10 I.7.1.1 Interpretao da contribuio do termo V para a vorticidade 11 R I.7.1.2 Interpretao da contribuio do termo para a vorticidade 12 V n I.7.2 Circulao 12 I.8 Potencial de Velocidade 14 I.9 Funo de Corrente 15 I.10 Exerccios 17 Captulo II - Princpios de Momentum, Calor e Massa II.1 Conservao da quantidade de movimento linear 19 II.1.1 Equao do movimento para um fluido ideal ou equao de Euler 19 II.1.1.1 Fora do gradiente de presso 19 II.1.1.2 Fora Gravitacional 20 II.1.2 Equao de Bernoulli 21

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II.2 Teorema da Circulao 22 II.3 Equao da Vorticidade 25 II.4 Equao de Navier-Stokes 26 II.5 Equao de transferncia de calor 28 II.6 Equao de transferncia de vapor 31 II.7 Exerccios 32 Captulo III - Processos na Camada Limite Superficial III.1 Experincia de Reynolds 34 III.2 O conceito de camada limite 35 III.2.1 Espessura da camada limite 35 III.2.2 Consideraes sobre a equao de Navier-Stokes dentro da camada limite laminar para um escoamento permanente 36 III.3 Camada limite trmica 38 III.4 Escoamento turbulento 39 III.4.1 A turbulncia medida em relao ao tempo 39 III.4.2 Equao de Reynolds 40 III.4.2.1 Teoria de comprimento de mistura de Prandtl 42 III.4.2.2 Perfil de velocidade num escoamento turbulento 43 III.4.3 Analogia de Reynolds para a temperatura 45 III.4.3.1 Equao de transferncia de calor para escoamento turbulento45 III.4.3.2 Fluxo de calor na camada limite trmica turbulenta 46 III.4.4 Analogia de Reynolds para o vapor III.4.4.1 Equao de transferncia de vapor na camada limite turbulenta 47 III.4.4.2 Fluxo de vapor na camada limite turbulenta 47 III.5 Exerccios 48 Captulo IV - Anlise Dimensional IV.1 Anlise Dimensional 50 IV.1.1 Teorema de Buchinghan 51

5

IV.2 Exerccios 53 Bibliografia e Apndices Bibliografia Consultada 54 A.1 Coordenadas Curvilneas 55 A.1.1 Coordenadas Cilndricas 56 A.1.2 Coordenadas Esfricas 57 Alfabeto Grego 59

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CAPTULO I

Caractersticas Cinemticas do Escoamento de Fluidos

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I.1 CONCEITO DE FLUIDO Um fluido uma substncia que se deforma continuamente quando submetido a uma tenso de cisalhamento, no importando o quo pequena possa ser essa tenso. Uma fora de cisalhamento a componente tangencial da fora que age sobre superfcie e quando dividida pela rea da superfcie d origem tenso de cisalhamento mdia sobre a rea. Tenso de cisalhamento num ponto o valor limite da relao entre a fora de cisalhamento e a rea, quando a rea tende a zero, ou seja:

= lim

AF

Ax

0 . (I.1)

Suponhamos uma substncia confinada entre duas placas paralelas bem prximas e grandes de modo que as perturbaes nas bordas possam ser desprezadas ( Figura I.1). A placa inferior fixa e uma fora F aplicada na placa superior, a qual exerce uma tenso de cisalhamento Fx na substncia, em que A a rea da placa superior. Se a fora Fx movimenta a placa superior com uma velocidade (no nula) constante no importando quo pequena seja a intensidade de Fx , pode-se concluir que a substncia entre as duas placas um fluido.

A

F

yFx

x

y

Figura I.1 - Placas paralelas contendo uma substncia que se deforma continuamente quando submetida a ao de uma tenso de cisalhamento.

PLACA FIXA (u = 0)

u = U

Foi observado experimentalmente que:

t

(I.2)

sendo , tem-se que s = y em que (Figura I.2). Portanto = s y x s x t y e uma vez que pode-se reescrever I.2 como: u x= t

uy

(I.3)

A Figura I.2 ilustra o resultado obtido, em que um delta de espao dado pelo produto de um delta de ngulo pelo raio (no caso o ). y Foi observado tambm que a constante de proporcionalidade uma propriedade inerente do fluido a qual chamou-se de VISCOSIDADE, simbolizada por: Viscosidade dinmica; Viscosidade cinemtica ( ).

8

Portanto, no limite tem-se

(I.4) = ddt

ou

. (I.5) = dudy

sx

y

Figura I.2 - Visualizao da propriedade trigonomtrica. A equao I.5 conhecida como Lei de Newton da Viscosidade. Em experincias posteriores, com outros fluidos, observou-se que estes no apresentavam uma relao linear entre a tenso de cisalhamento ( ) e a velocidade de deformao (d ou dt du ) e sim uma do tipo: dy

(I.6) = ( )dudy

n

em que n um nmero inteiro diferente de 1. Esses fluidos so classificados como no Newtonianos. Para melhor compreenso, vejamos a classificao mostrada atravs da Figura I.3 para fluidos e outras substncias. So exemplos de fluidos as substncias no estado lquido e gasoso. A viscosidade de um gs aumenta com a temperatura, mas a viscosidade de um lquido diminui. A variao com a temperatura pode ser explicada examinando-se o mecanismo da viscosidade. A resistncia de um fluido ao cisalhamento depende da coeso molecular e da velocidade de transferncia da quantidade de movimento molecular. Num lquido, cujas molculas esto mais prximas que num gs, existem foras de coeso muito maiores que nos gases. A coeso parece ser a causa predominante da viscosidade num lquido e como a coeso diminui com o aumento da temperatura a viscosidade segue o mesmo comportamento. Por outro lado, num gs existem foras de coeso muito pequenas, sua resistncia ao cisalhamento principalmente o resultado da quantidade de movimento molecular que aumenta com o aumento da temperatura com o conseqente aumento da viscosidade.

9

I.2 O CONTNUO Todos os materiais, evidentemente, so constitudos de tomos molculas. Assim, o estudo das propriedades de um fluido a partir do comportamento de suas molculas consiste no enfoque molecular. O estudo de um fluido a partir do enfoque molecular traz muitas complicaes para as equaes governantes tornando-as, quase sempre, incapazes de serem solucionadas. Por esta razo conveniente tratar o fluido que est-se lidando como um meio contnuo. A hiptese do contnuo consiste em abstrair-se da composio molecular e sua conseqente descontinuidade ou seja, por menor que venha a ser uma diviso do fluido, esta parte isolada dever apresentar as mesmas propriedades que a matria tratada como um todo. A esta pequena parte do fluido costuma-se chamar de Partcula ou Ponto Material. Com base na hiptese do contnuo, pode-se definir densidade de um fluido em um ponto como sendo o limite da razo entre (massa) e (volume) quando tende para um certo valor limite . Logo, m v v v*

=

lim*v v

mv

. (I.7)

Para gases e lquidos submetidos a condies normais, da ordem de 10 . Por exemplo: um volume de 10 de ar nas condies normais de temperatura e presso, contem aproximadamente

molculas de ar (nmero de Avogadro igual 6 molculas). Portanto, evidencia-se que um volume desta ordem de grandeza suficientemente pequeno para que em Meteorologia, Engenharia, etc., seja tomado como sendo uma Partcula ou Ponto Material enquanto que a quantidade de molculas existentes neste volume suficiente para caracterizar o fluido como um todo.

v*

1023

9 mm 339 mm

3 107. 023, .

No caso de gases rarefeitos, a hiptese do contnuo no pode ser assumida em virtude das molculas estarem dispersas de forma que um volume desta ordem de grandeza pode no conter molculas suficientes para caracterizar o gs. A hiptese do contnuo permite estudar as propriedades do fluido atravs do clculo diferencial e (ou) integral, uma vez que continuidade fundamental na teoria do clculo.

10

I.3 DESCRIO LAGRANGEANA E EULERIANA Estes dois tipos de descries permitem analisar problemas em mecnica de fluidos de duas formas diferentes: 1) Descrio Lagrangeana consiste em identificar certas partculas do fluido e a partir da observar variaes de propriedades tais como temperatura; velocidade; presso; etc. ao longo do tempo ou seja, necessita-se conhecer as propriedades das partculas a medida que estas se deslocam no espao com o passar do tempo. Isto dificulta consideravelmente o estudo de um escoamento. A outra forma, a Euleriana, apresenta vantagens por oferecer maior simplicidade com precises satisfatrias. 2) A Descrio Euleriana a mais apropriada para se estudar as propriedades do fluido em escoamento. Este mtodo consiste em fixar-se o tempo e observar-se propriedades do fluido em vrios pontos pr-estabelecidos podendo-se assim obter uma "viso" do comportamento do escoamento naquele instante. Repetindo-se estes procedimentos para instantes diferentes, pode-se ter um entendimento do comportamento do escoamento ao longo do tempo ou seja, a tendncia do comportamento do escoamento. Em Meteorologia, por exemplo, o escoamento do ar, em geral, estudado pelo mtodo Euleriano. As Estaes Meteorolgicas representam pontos pr-fixados do espao e para certos instantes determinados pela Organizao Meteorolgica Mundial (OMM) so feitas observaes de parmetros , tais como: temperatura; presso; vento; umidade do ar; etc. que iro descrever as caractersticas do escoamento atmosfrico. O conceito de trajetria est ligado Descrio Lagrangeana enquanto que o conceito de linhas de corrente est ligado Descrio Euleriana. Trajetria:

(I.8) dx udtdy vdtdz wdt

===

.

Linhas de corrente:

dxu

dyv

dzw

= = . (I.9) I.4 DERIVADA SUBSTANTIVA OU MATERIAL Vejamos aqui dois enfoques diferentes, um utilizando-se do clculo diferencial e o outro do clculo integral. I.4.1 A DERIVADA SUBSTANTIVA COMO DERIVADA TOTAL Considere a Descrio Euleriana f=f(x,y,z,t) que descreve o campo da propriedade f. O incremento infinitesimal df dado pela diferencial total como

df (I.10) fx

dx fy

dy fz

dz ft

d= + + +

t

em que os incrementos dt, dx, dy e dz so arbitrariamente independentes. Dividindo ambos os membros da equao I.10 por dt, tem-se

11

dfdt

ft

fx

dxdt

fy

dydt

fz

dzdt

= + + +

(I.11)

uma vez que u = dx/dt; v = dy/dt e w = dz/dt a equao I.11 pode ser reescrita como

dfdt

ft

u fx

v fy

w fz

= + + +

(I.12)

ou, de forma mais compacta, simplesmente por

dfdt

ft

V f= +

G. (I.13)

em que V u . Esta expresso conhecida como derivada substantiva ou material, em que i vj w = + +G G Gk

ddt t

wz

+u x v y= + +

simplesmente um operador.

O termo a taxa de variao local da propriedade f e o termo V a taxa de variao advectiva (adveco) da propriedade f. Portanto a taxa de variao substantiva dada pela soma da taxa de variao local e da adveco.

f t

t

))

Gf.

I.4.2 DERIVADA SUBSTANTIVA PELA ANLISE INTEGRAL Neste caso iremos utilizar um volume de controle qualquer para a formulao da taxa de variao total em termos de parmetros integrais. Seja N o valor de alguma grandeza associada ao sistema no instante t (massa, energia, quantidade de movimento, etc.) e n o valor desta grandeza por unidade de massa. Em t , (Figura I.4) o sistema constitui-se dos volumes II e III, enquanto no instante t ocupava os volumes I e II. A variao da grandeza N no sistema, no intervalo de tempo dado por:

+ t

N N n dv n dv n dv n dvsis t t sis t

II IIIt t

I IIt + ) ( ) ( ) ( (( ) ( = + + +

(I.14) rearranjando os termos e dividindo por , tem-se t

N N

t

n dv n dv

t

n dv

t

n dv

tsis t sis t II t t II t III t t I t( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t + +

+ =

+

.

(I.15) O primeiro membro a taxa mdia de variao do valor de N no sistema no intervalo de tempo . No limite, quando tende a zero, pode-se escrever dN/dt.

t t

12

Figura I.4 - Volume de controle e sistema para um escoamento em dois instantes

diferentes.

I

II

III

O limite da primeira parcela do segundo membro, relativo ao volume II, pela definio de derivada parcial escrita como

t n dvvc . (I.16)

A parcela seguinte, que o fluxo de sada de N do volume de controle, no limite pode ser escrita como

lim

.( )( )

t 0

=+

n dv

tn V ndAIII t t

A sada

G G (I.17)

Da mesma forma para o ltimo termo da equao, sendo que o valor negativo indica entrada do fluxo de N no volume de controle ( contrrio ao vetor unitrio n ). No limite tem-se G

lim

.( )( )

t

n dv

tn V ndAI t

A entrada=

0

G G . (I.18) Substituindo-se todos os termos na equao I.15 tem-se

dNdt t

n dv n V ndAvc sc

= + G G. (I.19)

portanto, dN/dt dado pela soma da taxa de variao de N no volume de controle mais o fluxo resultante de N atravs da superfcie de controle.

13

I.5 EQUAO DA CONTINUIDADE DE MASSA Partindo do princpio de conservao de massa, em que a massa conservada desde que no haja fonte nem sumidouro desta, tem-se

dmdt

= 0. (I.20) Para esse caso o N (massa) , logo m n N de em que se conclui que n . Conforme a expresso para derivada substantiva dm/dt dado por:

m= = 1

dmdt t

dv V ndAvc sc

= + G G. (I.21)

portanto, na forma integral temos que a equao da continuidade de massa dada como

t dv V ndAscvc

+ G G. = 0 (I.22) sendo o primeiro termo a taxa de variao da massa no volume de controle (taxa de variao local) e o segundo termo o fluxo de massa resultante que entra (negativo) ou sai (positivo) atravs da superfcie de controle e normal a esta. Aplicando o teorema da divergncia de Gauss no segundo termo da equao I.22, esta toma a seguinte forma:

t dv Vdvvc vc + =.

G0 (I.23)

ou

( . ) t V dvvc+ =G 0. (I.24)

A equao da continuidade de massa na forma diferencial obtida da equao I.24. Como essa integral zero quem deve ser zero o integrando. Logo, tem-se

t V+ =.

G0 (I.25)

que desmembrando o segundo termo assume a forma

t V V+ + =

G G. . 0 (I.26)

ou a forma

ddt

V + =. G 0 (I.27)

14

mediante o conceito de derivada substantiva. Para um fluido homogneo ( = ) e incompressvel ( 0 ) a equao I.26 ou I.27 assume a forma

t = 0 (I.28) =. GV 0 que em termos das componentes da velocidade, fica

ux

vy

wz

+ + = 0. (I.29) O termo chamado de divergncia e representado pelo smbolo . . GV I.6 DIVERGNCIA HORIZONTAL EM COORDENADAS NATURAIS A divergncia horizontal dada por

. (I.30) h

ux

vy

= +

x

y

sn

o

Figura I.5 - Eixos cartesianos x,y e naturais s,n rotacionadosde um ngulo e vetor velocidade associado.

Com base na Figura I.5 temos que u V , v V logo, u u e v v . Portanto as variaes de u com x e de v com y so dadas por:

= cos = sen V= ( , ) V= ( , )

ux

uV

Vx

ux

= + ; (I.31)

vy

vV

Vy

vy

= + . (I.32) Obtendo as derivadas correspondentes tem-se

ux

Vx

Vx

= cos sen ; (I.33)

15

vy

Vy

Vy

= +sen cos . (I.34) Observe que quando tende para zero ( ) tem-se x s e , logo 0 y n

(I.35) h

Vs

Vn

= +

.

I.6.1 INTERPRETAO DA CONTRIBUIO DO TERMO PARA A DIVERGNCIA V s Considere o escoamento da Figura I.6, onde a intensidade da velocidade (V) representada pelo tamanho da seta (quanto maior for o tamanho da seta maior ser o valor de V). No caso (a) e no caso (b)

V s > 0 contribuindo para divergncia e convergncia (divergncia < 0) respectivamente. V s < 0

DIVERGNCIA CONVERGNCIA

Figura I.6 - Contribuies para (a) divergncia (b) convergncia.

(a) (b)

I.6.2 INTERPRETAO DA CONTRIBUIO DO TERMO PARA A DIVERGNCIA n Considere o caso da Figura I.7 onde as linhas de corrente apresentam curvaturas diferentes. Na parte a) n < 0 e na parte (b) contribuindo para convergncia e divergncia respectivamente. n > 0

Figura I.7 - Parte (a): convergncia. Parte (b): divergncia.

I.7 MEDIDAS DE ROTAO NUM FLUIDO I.7.1 VORTICIDADE O rotacional de um campo vetorial qualquer dado pela aplicao do operador (nabla) ao campo vetorial sob forma de produto vetorial ou seja, G . No caso do campo vetorial ser um campo de velocidade F

16

em um escoamento, esta medida indica a rotao existente no escoamento e chamada de Vorticidade. A vorticidade duas vezes a velocidade de rotao, logo a Vorticidade dada por:

(I.36) =

G

G G G

V

i j k

x y zu v w

Resolvendo, tem-se

(I.37) = + + G G G GV wy

vz

i uz

wx

j vx

uy

k( ) ( ) (

)

que representa medidas de rotao num escoamento e cujos eixos de rotao so i j .

G G Gk, ,

A componente k do rotacional ou seja, a rotao no plano x,y de fundamental importncia no estudo da cinemtica de fluidos. Representada pelo smbolo (zeta) pode tambm ser expressa por

G

= G Gk .( )V (I.38) ou

=

vx

uy

(I.39)

portanto, a componente vertical da vorticidade uma medida de rotao para um ponto do plano ou seja uma medida "microscpica" da rotao num escoamento plano. Para uma melhor interpretao fsica da vorticidade ( , convm escrev-la em coordenadas naturais. Lembrando que u V e v V (Figura I.5) tem-se u u e v v e portanto

)= cos = sen V= ( , ) V= ( , )

vx

vV

Vx

vx

= + ; (I.40)

uy

uV

Vy

uy

= + . (I.41) Logo

vx

Vx

Vx

= +sen cos ; (I.42)

uy

Vy

Vy

= cos sen . (I.43) Quando tende a zero, e . Portanto, x s y n

vx

Vs

= e

uy

Vn

= . (I.44)

17

Considerando que em que R o raio de curvatura ver (Figura I.8) logo s R= , o que torna o termo

s R= 1 igual a v x V= s V (a curvatura K obtida por K=1/R). Dessa maneira, a

vorticidade toma a seguinte forma R

Figura I.8 - s = R

s

R

= VR

Vn

. (I.45)

I.7.1.1 INTERPRETAO DA CONTRIBUIO DO TERMO V PARA A VORTICIDADE R Considere dois casos de escoamentos com curvatura (Figura I.9). No caso (a) a curvatura est no mesmo sentido do vetor normal unitrio e portanto positiva, sendo V o mdulo da velocidade

GV a contribuio

oferecida para a vorticidade positiva. No caso (b) a curvatura est no sentido contrrio ao vetor normal unitrio e portanto negativa, oferecendo uma contribuio negativa para a vorticidade.

Figura I.9 - Contribuio do termo de curvatura no caso de: (a) vorticidade positivae b) vorticidade negativa.

I.7.1.2 INTERPRETAO DA CONTRIBUIO DO TERMO V n PARA A VORTICIDADE Considere um escoamento com cisalhamento conforme mostra a Figura I.10 ( ou K . No caso (a) o termo

R = = 0) contribui para vorticidade positiva (anti-horria), j no caso (b) o termo > V n 0

V n 0< contribui para vorticidade negativa (horria).

18

Figura I.10 - Contribuio do cisalhamento lateral para a vorticidade nocaso de: a) vorticidade positiva e b) vorticidade negativa.

Pode acontecer casos em que existam curvatura e cisalhamento lateral de forma que essas contribuies se compensem anulando a vorticidade ou se somem tornando-a mxima. A ttulo de informao adicional, em Meteorologia chama-se vorticidade ciclnica quando a rotao se d no mesmo sentido do movimento de rotao da terra e vorticidade anticiclnica caso contrrio. Logo: > Vorticidade Ciclnica no Hemisfrio Norte; 0 Vorticidade Anticiclnica no Hemisfrio Sul; < Vorticidade Anticiclnica no Hemisfrio Norte; 0 Vorticidade Ciclnica no Hemisfrio Sul. I.7.2 CIRCULAO Circulao uma medida "macroscpica" da rotao num fluido. definida como a integral de linha do vetor velocidade tangente em cada ponto a uma determinada curva fechada ( l ) (Figura I.11). Portanto, circulao mede a rotao numa rea. A expresso matemtica dada como: C V (I.46) d

l

= G G. l

Figura I.11 - Linhas de corrente e curva (linha) fechada para clculo da circulao.

Por conveno o sentido de integrao anti-horrio considerado positivo.

Uma relao entre a circulao e vorticidade pode ser obtida, para tal considere o caso da Figura I.12 que representa uma rea quadrada e infinitesimal de lados e . x y

19

Figura I.12 - Quadrado infinitesimal para definio da relaoentre circulao e vorticidade.

x

y

Calculando a circulao considerando a Figura I.12 tem-se C . (I.47) V dl udx vdy

l l

= = + G G.Considerando cada lado do contorno a equao I.47 fica

C u (I.48) dx v vx

dx dy u uy

dy dx vdyl ll l

= + + + 1 32 4

( ) ( )

rearranjando os termos e eliminando os termos iguais e de sinais contrrios, tem-se

C (I.49) vx

uy

dxdys

= ( ) ou da forma, uma vez que = v x u y

dA

, C . (I.50)

s

= Tomando a vorticidade mdia pode-se escrever a seguinte relao entre circulao e vorticidade

C A . (I.51) CA

= = Para o caso da vorticidade num ponto a relao existente

= lim

A ACA

. (I.52)

A relao mostrada anteriormente j assegurada pelo teorema de Stokes, que para o caso da circulao fica

G G G GV dl V kdA

l s

. ( )= . (I.53) como = ( )G GV k . , pode-se escrever I.53 como

20

G G

V dl dAsl

. = . (I.54) I.8 POTENCIAL DE VELOCIDADE Sendo V um campo de velocidade, tal que seja gerado de um campo escalar da forma V , ento diz-se que

GV um campo conservativo e o potencial de GV ou seja, o potencial de velocidade.

Dessa forma, o campo de velocidade que um campo vetorial , pode ser convertido num campo escalar.

G

G =

Um vez que V pode-se afirmar que este campo irrotacional, pois

G = , . (I.55) = =GV ( ) 0 A recproca tambm verdadeira, para que exista potencial de velocidade o campo de velocidade tem que ser irrotacional, ou seja

vx

uy

= ;

wy

vz

= ;

uz

wx

= . (I.56) Para o caso de um escoamento plano a condio de irrotacionalidade simplesmente , que tambm a condio para que udx seja uma diferencial exata ou total, digamos d , logo

v x u=

yvdy+

udx . (I.57) vdyx

dxy

dy+ =

O sinal negativo uma conveno que faz com que o valor de decresa no sentido da velocidade. Comparando os termos da equao I.57 tem-se

e = x

u . (I.58) = y

v

O que leva expresso V . (I.59)

G =

Isso prova a existncia de uma funo potencial tal que sua derivada em relao a qualquer direo a componente da velocidade nessa direo. A figura I.13 exemplifica a direo e sentido do vetor velocidade potencial num campo da funo potencial.

21

Figura I.13 - Potencial de velocidade e vetor velocidade (parte irrotacional). I.9 FUNO DE CORRENTE Da equao das linhas de corrente para um movimento horizontal,

dxu

dyv

= , (I.60) tem-se que vdx . Sendo udy = 0 uma funo de corrente, para = constante pode-se escrever

vdx udyx

dxy

dy = +

(I.61)

portanto, comparando os termos da equao I.61 conclui-se que

x

v= ; . (I.62) = y

u

Nesse caso ou seja, o escoamento no divergente. =. GV 0 Numa forma vetorial , pode-se escrever que o campo da velocidade no divergente dado por V k (I.63)

G G =

em que k o vetor unitrio na direo vertical.

G A figura I.14 exemplifica a direo e sentido do vetor velocidade num campo da funo de corrente

Figura I.14 - Funo de corrente e vetor velocidade (parte no divergente)

22

Equacionando as expresses correspondentes das velocidades envolvidas , a funo de corrente e o potencial de velocidade apresentam as seguintes relaes

y x

= ;

x y

= . (I.64) Portanto, se ou for conhecida, pelas relaes I.64 pode-se obter a outra funo. Um campo de velocidade V composto por

G V V (I.65)

G G GV= +

em que V e V so as partes no divergente e irrotacional respectivamente, tal que

GG

e (I.66) =. GV 0 =

GV 0

portanto, o campo de velocidade horizontal pode ser expresso em termos de suas componentes cartesianas como

u ; y x

=

v . (I.67) x y

=

Conseqentemente, a vorticidade e a divergncia tomam as formas

= = + =

v

xuy x y

( )2

2

2

22 ; (I.68)

. (I.69)

= + = + =

u

xvy x y

( )2

2

2

22

As linhas de potencial de velocidade e de funo de corrente formam um sistema ortogonal. Para verificar a relao de ortogonalidade, basta mostrar que as inclinaes das linhas de corrente e de potencial so recprocas negativas em qualquer interseo, ou seja

( ) (I.70) ( )dydx

dydxcte cte =

=

1

=

23

I.10 EXERCCIOS 1 - Uma tenso de cisalhamento de 4 causa num fluido Newtoniano uma velocidade de deformao angular de 1 rad/seg. Qual a viscosidade do fluido.

2dinas cm

2 - Analise quais as dimenses de viscosidade dinmica e viscosidade cinemtica. 3 - Calcule o nmero de molculas encontradas num volume de 10 de ar nas condies normais de temperatura e presso.

9 mm 3

.

4 - Dado o campo de velocidade por u = 2x e v = 2y, obter as equaes paramtricas da trajetria e a equao das linhas de corrente. Compare-as. 5 - Explique fisicamente o teorema de Gauss para o caso de G G GV n dA Vdv

sc vc

. .= 6 - Calcule a adveco de temperatura nos pontos A e B da figura abaixo.

7 - D o conceito de a) fluido compressvel e incompressvel; b)fluido ideal ou perfeito; c) escoamento permanente e escoamento variado. 8 - Calcule a densidade mdia da Terra. 9 - Classifique as substncias segundo a relao apresentada abaixo (a) 0 4 8 10 12 du/dy 0 2 4 5 6 (b) 0 2 3 4 5 du/dy 0 4 9 16 25 10 - Mostre que sendo V , em que t o vetor tangente unitrio, a acelerao em coordenadas naturais composta de uma acelerao tangencial e uma acelerao centrpeta da forma

G GVt= GG

dVdt

dVdt

t V KnG G= + 2

em que K a curvatura ( e n o vetor normal unitrio. ) GK R= 1 11 - Dado o campo de velocidade por u x e v x calcular a divergncia e a vorticidade no ponto x = 1 e y = 1.

y= +2 3 y= 2 12 - Verifique se o campo de velocidade horizontal dado por

24

u e yx y

= +2

2 2 v x

x y= +

22 2

satisfaz a equao da continuidade de massa para um fluido incompressvel. 13 - Os valores da divergncia horizontal para vrios nveis, obtidos com base nos dados de uma radiossondagem, so dados abaixo.

Presso (hPa) divergncia (10 ) 5 1 seg1000 0,9 850 0,6 700 0,3 500 0,0 300 -0,6 100 -1,0

Calcular a velocidade vertical para cada nvel, assumindo uma atmosfera isotrmica com T = 200 K e condio de contorno dada por W = 0 para 1000 hPa. 14 - Qual a circulao em torno de um quadrado de 1000 Km de aresta, para um escoamento que decresse em magnitude na direo positiva do eixo y razo de 10 . 5001m seg Km. / 15 - Escreva a divergncia e a vorticidade em coordenadas naturais e explique a contribuio de cada termo isoladamente. 16 - O potencial de velocidade de um escoamento plano = . Determine a funo de corrente desse escoamento.

+ +y x y cte2 2 17 - A funo de corrente de um escoamento plano = + +9 6 4 7x y xy. Determine o potencial de velocidade . 18 - Dada a funo de corrente por ( , ) cos( ) cos( )x y y x= +2 . Obter a vorticidade para o ponto x=0 e y=0.

2

19 - Obter o campo de ( , )x y e o campo de ( , )x y

y relacionados com a funo dada no problema anterior.

Considere os intervalos: 0 2 e 0 2 . x 20 - Mostre que as linhas de potencial de velocidade e de funo de corrente, formam um sistema ortogonal de coordenadas.

25

CAPTULO II

Princpios de Momentum, Calor e Massa

26

II.1 CONSERVAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR Desprezando-se as foras eletromagnticas e eletroquimicas, as principais foras que agem num fluido so: fora devido ao gradiente de presso (

G, fora gravitacional (

G e fora viscosa ( )

G. ) )Fp FG Fv

O princpio de conservao da quantidade de movimento linear diz que: a taxa de variao substantiva da quantidade de movimento igual ao somatrio das foras que agem num fluido, logo

dmV

dtF

G G= (II.1) em que, mV a quantidade de movimento linear e a fora resultante que age no fluido. Observe que essa expresso corresponde a segunda lei de Newton ( formulada na mecnica clssica.

G GFG = )

)

GF ma II.1.1 EQUAO DO MOVIMENTO PARA UM FLUIDO IDEAL OU EQUAO DE EULER Como se trata de um fluido ideal, a viscosidade nula ( logo, no existe fora viscosa atuando, existem somente as foras devido ao gradiente de presso e atrao gravitacional.

= 0 Para se obter a variao substantiva da quantidade de movimento linear tem-se que: N , como mV= Gn N m= conclui-se que n G . Substituindo-se na expresso que d a variao substantiva, expressa por V=

dNdt t

n dv nV n dAvc sc

= + G G. (II.2)

assume a forma

dmV

dt tVdv VV n dA

vc sc

G G G G G= + .

p dv

. (II.3)

Para se obter a equao em sua forma final, resta saber a expresso das foras devido ao gradiente de presso e atrao gravitacional. II.1.1.1 FORA DO GRADIENTE DE PRESSO Esta fora existe devido a diferena de presso entre pontos do fluido. Logo, expressa em termos do gradiente de presso tem a forma (II.4)

GFp

vc

= onde o sinal negativo indica que essa fora atua no sentido contrrio ao gradiente de presso . p

27

II.1.1.2 FORA GRAVITACIONAL Esta fora obtida do produto da massa pela acelerao da gravidade ( . Para um volume qualquer esta fora pode ser expressa como

)Gg , (II.5)

G GFGvc

= g dvk

.)

em que o vetor acelerao da gravidade e atua no sentido contrrio ao vetor unitrio k (vertical). G

Gg g= G

Retornando questo da equao II.1 e considerando o fluido incompressvel ( pode-se escrever a equao com a introduo das foras expressas anteriormente. Portanto,

= cte

t V dv VV n dA p dv g dvvc sc vc vcG G G G G + = +. (II.6)

ou

t V dv VV n dA p dv g dvvc sc vc vc

G G G G G + = +. 1 (II.7) que expressa a equao do movimento para um fluido ideal e incompressvel, chamada de equao de Euler do movimento. Aplicando o teorema da divergncia de Gauss ao segundo termo do lado esquerdo de II.7 e rearranjando os termos tem-se

t V dv V V dv p dv g dvvc vc vc vc

G G G G + + ( . ) 1 0 = (II.8) como a soma das integrais igual a integral da soma dos integrandos, tem-se

[ ( . ) ]

G G G GVt

V V p g dvvc

+ + =1 0 . (II.9) Para se obter a equao de Euler na forma diferencial, basta considerar que sendo esta integral de volume igual a zero ento quem deve ser nulo o integrando. Logo,

G G G GVt

V V p g+ + =( . ) 1 0 (II.10) ou apresentada numa forma mais usual, por

G G G GVt

V V p+ = +( . ) 1 g . (II.11)

28

Lembre-se que a taxa de variao local do vetor velocidade e ( . a taxa de variao advectiva, ambas tambm denominadas aceleraes inerciais. Os termos

GV t V)G GV e g so as foras do

gradiente de presso e gravitacional, ambas por unidade de massa. 1 p G

A equao II.11 uma equao vetorial e portanto pode ser decomposta em suas componentes cartesianas na forma

ut

V u px

+ = G. 1 ; (II.12)

vt

V v py

+ = G. 1 ; (II.13)

wt

V w pz

g+ = G. 1 ; (II.14) ou utilizando o conceito de derivada substantiva como

dudt

px

= 1

; (II.15)

dvdt

py

= 1

; (II.16)

dwdt

pz

g= 1

; (II.17)

em que ddt t

Vt

ux

vy

wz

= + = + + +

G.

z

um operador que d a variao substantiva.

Vale salientar que, quando suposto o fluido esttico ou seja, em repouso, no existem aceleraes em nenhuma das direes, e portanto, du/dt, dv/dt e dw/dt so nulos. Assim, as equaes II.15 a II.17 restringem-se a (II.18) p g= que a equao para o balano hidrosttico ou equao hidrosttica. II.1.2 EQUAO DE BERNOULLI A equao de Bernoulli uma caso particular da equao de Euler, ou seja, obtida pela integrao da equao de Euler ao longo de uma linha de corrente para o caso de um escoamento permanente e potencial G

. ( ) =V 0 Portanto, considerando a equao II.11 no caso de um escoamento permanente ( ) tem-se GV t = 0 ( . . (II.19) )

G G GV V p = + 1 g

29

Aplicando a seguinte proprie em que dade vetorial, ( . ) ( . ) ( )G G G G G

V V V V V V = 1 2 G que no caso de irrotacionalidade reduz-se a ( .

G G G, a equao II.19 toma a forma ) ( . )V V V V = 1 2 G

12

1 02 + =V p gG

. (II.20)

Integrando II.20 ao longo de uma linha de corrente ( na forma )l

12

1 02 + + = V dl p dl gk dll l l

. . .G G G G

l (II.21) ou

12

12d V dp gdz ctell l

( ) + + = . (II.22) Desta forma, tem-se que a equao de Bernoulli dada por

V p gz cte2

2

+ + = . (II.23) Em que: 12

2V energia cintica por unidade de massa; gz energia potencial por unidade de massa e 1 p energia de presso por unidade de massa.

A equao de Bernoulli expressa uma lei de conservao das energias cintica, potencial e de presso. II.2 TEOREMA DA CIRCULAO Seja a equao do movimento para um fluido incompressvel e no viscoso (equao de Euler) na forma

dVdt

p gG G= +1 . (II.24)

Uma vez que o campo gravitacional um campo conservativo, este admite funo potencial e pode ser escrito como em que o geopotencial ( ) , logo Gg = = gz

dVdt

pG

= 1 . (II.25) Tomando a integral de linha da equao II.25 em um circuito fechado, tem-se

dVdt

dl p dl dll l l

G G G = . .1 G

. . (II.26) Analisando o integrando do primeiro termo do lado esquerdo da equao II.26 verifica-se que

d V dl

dtdVdt

dl V d dldt

( . ) . . (G G G G G G= + ) . (II.27)

30

Por sua vez, o segundo termo do lado direito de II.27 G G

V d V. (= 12 2V d . Portanto, tem-se finalmente )

dVdt

dl d V dldt

d VG G G G

. ( . ) (= 12

2 ) , (II.28)

conseqentemente

dVdt

dl d V dldt

d Vll l

G G G G. ( . ) (= 12 2 ) . (II.29)

Reescrevendo a equao II.26 com a utilizao de II.29, ela toma a seguinte forma

ddt

V dl d V p dl dll ll l

G G G. ( ) . = 12 12

G. (II.30)

que apresentada em termos da diferencial exata fica

ddt

V dl d V dp dl l l

G G. ( ) = 12 12 l . (II.31)

Sendo a circulao definida como C V e sendo a integral de linha de uma diferencial exata

num circuito fechado igual a zero, a equao II.31 reduz-se a

dl

= G G. l

dCdt

dpl

= 1 . (II.32)

Portanto, a variao da circulao (absoluta) com o tempo se d devido a ao do termo , chamado de termo SOLENOIDAL. Essa equao expressa o teorema de Bjerknes da circulao.

1l dp Para melhor explicar a influncia do termo solenoidal para a variao da circulao com o tempo, vamos considerar um recipiente contendo um determinado fluido aquecido por uma fonte de calor, conforme mostra a Figura II.1. Pode-se observar que as superfcies de presso constante apresentam curvaturas para a parte superior do recipiente enquanto que as superfcies de volume especfico constante apresentam curvaturas no sentido oposto ou seja, para o lado da fonte de calor.

Figura II.1 - Corte no plano x,z mostrando linhas de interseo com superfcies de presso

31

Para que o termo solenoidal tenha uma forma conveniente anlise da Figura II.1, ele ser expresso de outra forma utilizando-se o teorema de Stokes. Logo

= . (II.33) 1 1 l Adp p jdA( ) .G

Fazendo uso das propriedades vetoriais e do fato de que pode-se escrever o termo solenoidal da seguinte forma

=p 0 . (II.34) ( ) p

A

. GjdA Observando a Figura II.2 pode-se verificar que: 1) na parte A, existe uma contribuio dos solenides com giro no sentido anti-horrio e, portanto, uma contribuio do termo solenoidal para a taxa de variao da circulao na regio A; 2) na parte B, o solenide nulo pois e so paralelos e, portanto, ; p =p 0 3) na parte C, tem-se a presena de solenides com giro no sentido horrio e, portanto, uma contribuio do termo solenoidal para uma taxa de variao da circulao na regio C. Em resumo tem-se, movimento ascendente no centro do recipiente e movimento descendente nas bordas do mesmo. Esse efeito, apesar de esperado, esclarece a contribuio do termo solenoidal. Um outro exemplo da importante contribuio do termo solenoidal pode ser verificado nos casos de brisa martima e brisa terrestre. Observe ainda que quando as superfcies de presso constante so paralelas s superfcies de volume especfico, densidade ou temperatura constantes o termo solenoidal nulo e dito que o fluido barotrpico

. Quando existem inclinaes entre estas, diz-se que o fluido baroclnico ou seja, a presso funo da densidade e da temperatura. p p= ( ) p p T= ( , ) Para um fluido barotrpico a expresso II.32 reduz-se a

Figura II.2 - Esquema da contribuio do termo solenoidal paradC/dt, nas regies A, B e C.

dCdt

= 0. (II.35) Portanto, ao integrar essa equao tem-se que C = cte. A equao II.35 expressa o teorema de Kelvin da Circulao: "em um fluido barotrpico a circulao (absoluta) se conserva com o tempo".

32

II.3 EQUAO DA VORTICIDADE Para se obter a equao da vorticidade para um escoamento no plano x, y em relao a um referencial absoluto, vamos tomar a equao de Euler para a direo x e derivar com relao a y, e tomar a equao de Euler para a direo y e derivar em relao a x. Portanto

y

ut

u ux

v uy

w uz

px

( + + + = 1 ); (II.36)

x

vt

u vx

v vy

w vz

py

( + + + = 1 ). (II.37) Procedendo as derivadas, subtraindo II.36 de II.37 e arranjando devidamente os termos obtm-se

t

ux

vy

wz

ux

vy

wx

vz

wy

uz

+ + + = + +( ) ( )

1

( )

x

py y

px

2 (II.38) ou

ddt

ux

vy

wx

vz

wy

uz x

py y

px

= + + ( ) ( ) (

12 )

(A) (B) (C) (II.39) em que os termos representam: A - termo da divergncia, B - termo de toro e C - termo solenoidal. II.4 EQUAO DE NAVIER-STOKES A equao de Navier-Stokes consiste basicamente da equao de Euler acrescida do termo devido ao efeito da viscosidade. Numa forma simples tem-se

dVdt

p g Fvis a

G G G= + + cos (II.40) Para estudar a fora viscosa, considera-se um volume de controle infinitesimal na forma apresentada na Figura II.3. Vejamos como se comportam as tenses em cada uma das faces do volume.

33

Por exemplo: xx significa que a tenso de cisalhamento atua na face normal ao eixo x e na direo do eixo x, j significa que a tenso de cisalhamento atua na face normal ao eixo x e na direo do eixo y, e assim por diante. Logo, o primeiro ndice est ligado ao eixo normal a face e o segundo ndice est ligado a direo da tenso em relao aos eixos coordenados.

xy

Passando agora a fazer o balano das foras viscosas para a direo y e por analogia obter para as direes dos eixos x e z. Portanto, na direo y agem as foras viscosas segundo mostra a Figura II.4.

Figura II.4 - Balano das foras viscosas na direo do eixo y. As foras viscosas numeradas de 1 a 6 na Figura II.4 correspondem a

1) ( ; 2) ; 3) ) yyyy

yy x z+

yy x z ( ) ;

zy

zy

zz x y+

4) ; 5) zy x y ( ) 6) . xy

xy

xx y z+

xy y z

Logo a fora viscosa resultante na direo do eixo y dada por

Fx y z

x y zvis a yxy yy zy

cos ( ) (= + +

) . (II.41)

Analogamente, tem-se para as direes x e z

Fx y z

x y zvis a x xxyx zx

cos ( ) (= + +

) ; (II.42)

Fx y z

x y zvis a z xzyz zz

cos ( ) (= + +

) . (II.43)

Substituindo estas foras viscosas por unidade de volume nas componentes cartesianas da expresso II.40 tem-se

dudt

px x y

xx yx zx= + + +

z

; (II.44)

dvdt

py x y

xy yy zy= + + +

z

; (II.45)

34

dwdt

pz

gx y z

xz yz zz= + + +

. (II.46)

Por outro lado, as tenses de cisalhamento que agem num fluido so dadas (genericamente) pela Lei de Stokes para a viscosidade, na forma

xxux

V= 2

.G

; (II.47)

yyvy

V= 2

.G

; (II.48)

zzwz

V= 2

.G ; (II.49)

xy yx

uy

vx

= = +

( ); (II.50)

xz zx

wx

uz

= = +

( ); (II.51)

yz zy

vz

wy

= = +

( ) ; (II.52)

em que chamado de segundo coeficiente de viscosidade. Substituindo-se os termos de II.47 a II.52 nas equaes de II.44 a II.46 tem-se

dudt

px

ux

uy

uz x

V= + + + +

( ) ( ).2

2

2

2

2

2

G( . ); (II.53)

dvdt

py

vx

vy

vz y

V= + + + +

( ) ( )2

2

2

2

2

2

G( . ); (II.54)

dwdt

pz

g wx

wy

wz z

V= + + + +

( ) ( )2

2

2

2

2

2

G( . ).(II.55)

Para o caso de um fluido incompressvel ou seja, para , as equaes acima reduzem-se a =. GV 0

dudt

px

u= +

2 ; (II.56)

dvdt

py

v= +

2 ; (II.57)

35

dwdt

pz

g= +

2w ; (II.58)

em que o operador Laplaciano e no deve-se esquecer tambm do operador da variao substantiva d/dt. 2 II.5 EQUAO DE TRANSFERNCIA DE CALOR A transferncia de calor por conduo dada pela primeira Lei de Fourier como

q . (II.59) Tz

' A Figura II.5 mostra um esquema para a transferncia de calor por conduo. Tomando o limite de II.59 quando tende a zero e chamando a constante de proporcionalidade de k (condutividade trmica), tem-se

z

Figura II.5 - Tranferncia de calor por conduo.

q k (II.60) Tz

' =

o sinal negativo devido ao sentido da transferncia de calor que se d dos altos valores de T para os mais baixos. Considerando as trs direes dos eixos cartesianos tem-se que q k . (II.61) G' = T O fluxo de calor por conduo pode tambm ser obtido da seguinte forma: considere o volume e a superfcie de controle segundo a Figura II.6.

Figura II.6 - Volume de controle para obteno do fluxo de calor por conduo.

36

Logo, o fluxo de calor ou quantidade de calor dado por (II.62) k T n dA

sc

. G

que, aplicando o teorema da divergncia de Gauss, fica . (II.63) k T d

vc

2 v A quantidade de calor (Q) em um sistema dada pela soma da energia interna (U) e do trabalho realizado (W), logo Q . (II.64) U W= + Pela primeira lei da termodinmica tem-se

dqdt

c dTdt

p ddtv

= + (II.65) ou

dqdt

c dTdt

dpdtp

= . (II.66) Essas expresses fornecem a taxa de variao de calor por unidade de massa. Portanto, o princpio de conservao de calor dado por

dqdt

k T dvc

= 2 v , (II.67) ou desprezando-se a parte do trabalho realizado (suposto processo isobrico), por

c (II.68) dTdt

k T dpvc

= 2 v conhecida como segunda Lei de Fourier para a transferncia de calor num fluido. Para o caso de um fluido em escoamento, aplicando-se o conceito da derivada substantiva expresso pela Equao I.19 fica

c (II.69) t

T dv VT n dA k T dvpvc sc vc

( . ) + =G G 2

ou

c (II.70) Tt

dv VT dv k T dvpvc vc vc

( . )

+ = G 2 ou ainda para o caso de um fluido incompressvel

37

Tt

dv V T dv K T dvvc vc vc

+ = G. 2 . (II.71) II.71 a equao de transferncia de calor para um fluido incompressvel, em que K k chamado de coeficiente de difusividade trmica.

cp= Essa equao pode ser obtida na forma diferencial considerando que

( . )

Tt

V T K T dvvc

+ =G 2 0 . (II.72) Portanto, para que essa integral seja nula o integrando que deve ser nulo. Logo

Tt

V T K T+ = G. 2 (II.73) tambm pode ser escrita sob a forma

Tt

u Tx

v Ty

w Tz

K Tx

Ty

Tz

+ + + = + +( )2

2

2

2

2

2 . (II.74)

II.6 EQUAO DE TRANSFERNCIA DE VAPOR A transferncia de vapor por conduo segue o mesmo raciocnio que o apresentado para a transferncia de calor. Portanto, chamaremos de q uma medida da quantidade de vapor (por exemplo: umidade especfica - q e p= 0,622 ( )e , em que e a presso parcial do vapor). Logo

f qzq

. (II.75) Quando da igualdade, e no limite quando tende para zero, tem-se z

f k qzq q

=

(II.76)

em que k um coeficiente de conduo de vapor. Numa forma genrica pode-se escrever q . (II.77)

Gf kq q= q

A notao em termos de um volume de controle qualquer fica . (II.78) f k q n dA k q dvq q

scq

vc

= = . G 2 O princpio de conservao de vapor dado por

dqdt

k q dvqvc

= + 2 (II.79) em que representa uma fonte ou sumidouro de vapor.

38

Desprezando-se fontes ou sumidouros de vapor e aplicando a derivada substantiva tem-se

qt

dv Vq n dA k q dvvc sc

qvc

+ = G G. 2 (II.80) ou

qt

dv Vq dv k q dvvc vc

qvc

+ = . G 2 (II.81) que, para o caso de um fluido incompressvel, toma a forma

qtdv V q dv K q dv

vc vcq

vc + = G. 2 . (II.82)

Neste caso K k um coeficiente de difusividade. q q= Para se obter essa equao na forma diferencial , toma-se

( . )

qt

V q K q dvvc

q+ =G

2 0 (II.83) logo

qt

V q Kq+ = G. 2q (II.84)

ou, ainda,

qt

u qx

v qy

w qz

K qx

qy

qzq

+ + + = + +(2

2

2

2

2

2 ). (II.85)

39

II.7 EXERCCIOS

1 - Dada a equao de Euler na forma dVdt

p gG G= +1 , obtenha as equaes cartesianas e comente a

aproximao hidrosttica. 2 - Mostre que a expresso da acelerao vertical de um parcela de fluido com presso ' , temperatura T ' e densidade ' em um fluido esttico com e dada por

pp T,

dwdt

g' ( ''

)= ou dwdt

g T TT

' ( ' )= . 3 - Escreva a equao de Euler em coordenadas naturais. 4 - Determine a velocidade de sada no bocal instalado na parede do reservatrio da figura abaixo. Determine tambm a vazo no bocal.

5 - Desprezando-se a resistncia do ar, determine a altura alcanada por um jato d'gua vertical, cuja velocidade inicial de 12,2 m/s. 6 - Mostre que para o caso dos gases, pode-se escrever

= dp R p T n ( ln ) . G dAem que n um vetor unitrio normal a rea A. G 7 - Mostre que se o fluido barotrpico , o termo solenoidal zero. p p= ( ) 8 - Calcule a taxa de variao da circulao para um quadrado no plano x, y com lados iguais a 1.000 Km cada se a temperatura aumenta na direo x a uma taxa de 2 e a presso aumenta na direo y a uma taxa de 2 . A presso na origem 1.000 hPa.

200DC Km200hPa Km/

9 - Obtenha a acelerao tangencial mdia para os dados fornecidos no problema anterior. 10 - Esquematize a contribuio do termo solenoidal, para os casos de brisa martima e brisa terrestre, com relao a taxa de variao da circulao. 11 - Obtenha a expresso para o perfil de velocidade em um escoamento laminar bidimensional (x, z) entre placas paralelas (fixa e mvel). Considere o escoamento permanente e que a variao da presso na direo do escoamento constante. 12 - Nas condies do problema anterior, obtenha o perfil de velocidade em um tubo cilndrico ou seja obtenha u=u(r) em que r o raio do tubo.

40

CAPTULO III

Processos na Camada Limite Superficial

41

III.1 EXPERINCIA DE REYNOLDS Examinaremos a clssica experincia de Reynolds relativa ao escoamento viscoso. gua escoa atravs de um tubo de vidro, como mostra a Figura III.1, tendo a velocidade controlada por uma vlvula.

vlvula no provoca perturbao). Na entrada do tubo, injeta-se tinta com o mesmo peso especfico que a gua. Quando a vlvula de descarga encontra-se ligeiramente aberta a tinta escoa pelo tubo de vidro sem ser perturbada, formando um fio. Entretanto, medida que se abre a vlvula, atinge-se uma condio em que a tinta adquire um movimento oscilatrio proporo que se desloca pelo tubo. Um grfico da velocidade versus tempo em dada posio do tubo do aparelho de Reynolds poderia aparecer como mostra a Figura III.2.

Figura III.2 Srie temporal da velocidade para escoamento: (a) laminar permanente,

O escoamento turbulento variado (no permanente) pode ser considerado como aquele em que o campo de velocidade mdia muda com o tempo. Reynolds verificou que o critrio para transio de laminar para turbulento dependia do dimetro do tubo, da velocidade e do tipo de fluido. Logo, criou um nmero admensional chamado de Nmero de Reynolds que, na verdade, a relao entre a fora inercial e a fora viscosa sob a forma

42

R u u xu x

U LU L

U Le =

2 2

2 1

2 = . (III.1) Sob condies experimentais cuidadosamente controladas, usando um tubo bem liso e permitindo que o fluido permanecesse tranqilo no tanque por longo tempo, verificou que o escoamento laminar pode ser mantido para nmero de Reynolds at cerca de 40.000. Todas as experincias at o momento indicaram que abaixo de 2.300 pode existir escoamento apenas laminar. Assim, acima de 2.300 pode ocorrer uma transio, dependendo da extenso das perturbaes locais. Chamamos a este valor (2.300) nmero de Reynolds crtico. Entretanto, deve-se lembrar que o crtico acima mencionado aplica-se apenas ao escoamento em tubos e que deve-se efetuar um estudo separado sobre condies de transio de escoamento laminar para turbulento na camada limite.

Re

III.2 O CONCEITO DE CAMADA LIMITE Considerando o escoamento sobre uma placa plana (Figura III.3), observe que uma regio laminar se forma na borda de ataque e cresce em espessura, como mostra o diagrama. Atinge-se em seguida uma regio de transio onde o escoamento muda de laminar para turbulento, com o conseqente aumento de espessura da camada limite. Na regio turbulenta veremos que, medida que nos aproximamos do contorno, a turbulncia diminui em tal extenso que predominam os efeitos laminares, conduzindo-nos ao conceito de uma subcamada laminar. Voc no deve ficar com a impresso de que essas vrias regies mostradas em nosso diagrama so demarcaes vivas dos diferentes escoamentos. H na realidade uma mudana gradativa das regies onde certos efeitos predominam para outras onde efeitos diferentes prevalecem. Ainda que a camada limite seja delgada, ela desempenha um papel importante na dinmica de fluidos.

Figura III.3 - Diagrama mostrando as camadas limites laminar e turbulenta. III.2.1 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE Falamos a cerca da espessura da camada limite de forma qualitativa, como a elevao acima do contorno que cobre uma regio do escoamento onde existe um grande gradiente de velocidade e, conseqentemente, efeitos viscosos no desprezveis. De forma bastante simples a espessura da camada limite dada quando

uU

0 99, (III.2) isso quer dizer que a espessura da camada limite aquela em que a velocidade u se aproxima da velocidade do escoamento livre U .

43

Uma outra forma de se obter uma expresso para a espessura da camada limite considerando que na interface entre a camada limite e o escoamento livre as foras de inrcia e viscosa se equilibram. Logo

u ux

uz

2

2 . (III.3)

Portanto, em termos das dimenses, tem-se

UL

U22 (III.4)

que, resolvendo para obter o valor de fica

= (III.5) LRe

ou genericamente como funo de x, sob a forma

. (III.6) ( )x xRe

= III.2.2 CONSIDERAES SOBRE A EQUAO DE NAVIER-STOKES DENTRO DA CAMADA LIMITE LAMINAR PARA UM ESCOAMENTO PERMANENTE. Considerando que tal tipo de escoamento se d no plano x, z, tem-se que a equao de Navier-Stokes (sem a presena de fora externa) se restringi s expresses para essas duas dimenses. Logo

u (III.7) ux

w uz

px

ux

uz

+ = + +12

2

2

2( )

u . (III.8) wx

w wz

pz

wx

wz

+ = + +12

2

2

2( )

Mas, antes de qualquer coisa, vamos analisar qual a dimenso de w. Para isso utilizaremos a equao da continuidade de massa para um fluido incompressvel que, para as condies estabelecidas, fica

ux

wz

+ = 0. (III.9) Portanto, integrando de 0 at para obter a dimenso de w, tem-se

W , (III.10) UL

z UL

0

ou, em termos do nmero de Reynolds, como

W . (III.11) URe

44

Agora pode-se retornar e analisar cada termo das equaes III.7 e III.8. Veja:

u ; (III.12) ux

UL

2

w ; (III.13) uz

UR

U ULe

=2

1 2

px

u ux

UL

; (III.14)

2

2 2

21ux

UL R

ULe

= (pequeno); (III.15)

2

2 2

2uz

U UL

= ; (III.16)

u (pequeno); (III.17) wx

UL

UR R

ULe e

= 12

w (pequeno); (III.18) wz

WR

ULe

=2 21

1 1 2

pz

u wx

w wz R

ULe

= (pequeno); (III.19)

2

2 2 3

21wx

WL R

UL

e

= (pequeno); (III.20)

2

2 2

21wz

WR

ULe

= (pequeno). (III.21) Aps essas consideraes, tem-se

u ; (III.22) ux

w uz

px

uz

+ = +12

2

ux

wz

+ = 0. (III.23) A equae III.22 juntamente com a equao da continuidade de massa III.23, formam um conjunto de equaes simplificadas para a camada limite laminar. So chamadas de equaes de Prandtl para a camada limite laminar.

45

III.3 CAMADA LIMITE TRMICA A camada limite trmica pode ser entendida por analogia camada limite discutida anteriormente. Corresponde a uma faixa do fluido que vai da superfcie de ataque a uma altura onde o transporte de calor por adveco se equipara ao transporte de calor por conduo ou seja,

u . (III.24) Tx

K Tz

2

2

Define-se o nmero de Piclet como sendo a razo entre u T e x K T x 2 2 . Logo

P u T xK T x

U LK L

U LKe

=

2 2 2

= . (III.25)

Define-se tambm o nmero de Prandtl como sendo a razo entre a viscosidade cinemtica ( ) e o coeficiente de difusividade trmica ( ). Logo K

PKr

= (III.26) e, conseqentemente, tem-se . (III.27) P R Pe e= r Podemos agora obter uma expresso para a espessura da camada limite trmica em funo desses nmeros admensionais j definidos. Sendo

u (III.28) Tx

K Tz

2

2

em termos das dimenses, tem-se

U

LK

T

2 , (III.29) portanto,

. (III.30) Te e

LP

LR P

= =r

Vejamos agora as simplificaes da equao de transferncia de calor para a camada limite trmica. Para o plano x, z a equao de transferncia de calor tem a forma

Tt

u Tx

w Tz

K Tx

Tz

+ + = +(2

2

2

2 ). (III.31)

Logo, as dimenses de cada um dos termos so:

Tt

UL

; (III.32)

46

u ; (III.33) Tx

UL

w ; (III.34) Tz

W P UL

ULT

r

=

K Tx

KL R P

ULe r

2

2 21 = (pequeno); (III.35)

K Tz

K ULT

2

2 2 . (III.36) Aps essas anlises, a equao simplificada para transferncia de calor na camada limite trmica simplesmente

Tt

u Tx

w Tz

K Tz

+ + =2

2 . (III.37)

III.4 ESCOAMENTO TURBULENTO Observou-se que uma soluo terica completa para o escoamento turbulento, anloga quela do escoamento laminar, impossvel devido a complexidade e natureza aparentemente aleatria das flutuaes de velocidade no escoamento turbulento. Todavia, a anlise semi terica, ajudada pelos dados experimentais, ser apresentada. Isso permitir formular um perfil de velocidade para escoamento com elevado nmero de Reynolds. III.4.1 A TURBULNCIA MEDIDA EM RELAO AO TEMPO Num escoamento turbulento, a mdia em relao ao tempo representa a parte bem ordenada do escoamento. Tais quantidades so as medidas por um observador munido de instrumentos padro. A parte flutuante do escoamento indicada pelos desvios em relao a mdia (Figura III.4).

Figura III.4 - Srie temporal da componente u da velocidade para escoamentoturbulento: parte mdia e desvios.

Para um determinado intervalo de tempo (pequeno), a mdia obtida por t

47

u . (III.38) t

u dtt

t

= 11

2

Dado u u u= + ' , sendo u parte mdia e u parte turbulenta. Assim, o campo de temperatura, presso velocidade, etc. pode ser representado por:

'

T T T

p p p

u u u

v v v

w w w

= += += += += +

'

'

'

'

'

(III.39)

Veja algumas propriedades da mdia. Sejam f e g escalares, ento f g f+ = + g ; af (a=cte.);

a f=fg f g= ; f g f g= . Veja o exemplo para o caso de se ter a mdia de u vezes v (uv )

u ' v u u v v uv uv vu u v uv uv vu u v= + + = + + + = + + +( ' )( ' ) ' ' ' ' ' ' ' finalmente tem-se que uv ' . uv u v= + ' Observe que a mdia dos desvios igual a zero enquanto que a mdia do produto dos desvios no nula. III.4.2 EQUAO DE REYNOLDS Tomemos a equao de Navier-Stokes para a direo do eixo x (escoamento laminar). Posteriormente, por analogia, obteremos as equaes para as direes y e z. Logo,

ut

u ux

v uy

w uz

px

ux

uy

uz

+ + + = + + +12

2

2

2

2

2( ), (III.40)

e sendo a equao da continuidade de massa para um fluido incompressvel igual a

ux

vy

wz

+ + = 0, (III.41) tem-se tambm que

( . (III.42) )

ux

vy

wz

u+ + = 0 Somar III.42 ao lado esquerdo de III.40 no provoca alteraes na igualdade uma vez que esta quantidade nula. Arranjando os termos devidamente tem-se

ut

uux

uvy

uwz

px

ux

uy

uz

+ + + = + + +12

2

2

2

2

2( ) . (III.43)

48

Agora, aplicando os conceitos de turbulncia na equao III.43 iremos obter

( ) ' ' ' ' . ' 'ut

uux

uvy

uwz

u ux

u vy

u wz

+ + + + + + =

+ . (III.44) + +

px

ux

uy

uz

( )2

2

2

2

2

2

Rearranjando os termos de III.44 tem-se

ut

u ux

v uy

w uz

px

ux

uy

uz

+ + + = + + +12

2

2

2

2

2( )

1

(

' ' ' ' ' ' )

u ux

u vy

u wz

+ + . (III.45) Analogamente, para as direes y e z

vt

u vx

v vy

w vz

py

vx

vy

vz

+ + + = + + +12

2

2

2

2

2( )

1

(

' ' ' ' ' ' )

v ux

v vy

v wz

+ + ; (III.46)

wt

u wx

v wy

w wz

pz

wx

wy

wz

+ + + = + + +12

2

2

2

2

2( )

g w ux

w vy

w wz

+ +1

(' ' ' ' ' ' )

. (III.47)

Observe que o estado mdio satisfaz a equao de Navier-Stokes e, portanto, o termo restante o responsvel pela turbulncia e chamado de tensor de cisalhamento de Reynolds ( . Desta forma, )

= (III.48)

=

u u u v u wv u v v v ww u w v w w

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '' ' ' ' ' '

em que ; ; . xy yx= xz zx= yz zy= Para avaliar os termos de tenso de cisalhamento de Reynolds num escoamento turbulento, Prandtl enunciou a teoria do comprimento de mistura discutida a seguir.

49

III.4.2.1 TEORIA DE COMPRIMENTO DE MISTURA DE PRANDTL Prandtl estabeleceu um modelo bastante simplificado de transferncia de quantidade de movimento para escoamento turbulento. Ele fez a hiptese de que em qualquer ponto z, tal como mostrado na Figura III.5, aparecem, em intervalos aleatrios, parcelas de fluido numa posio distante de l , o comprimento de mistura, acima e abaixo do ponto. Esse efeito provoca troca de quantidade de movimento que resulta na apario de uma componente de velocidade de flutuao. A amplitude dessa flutuao de velocidade depende da distribuio de velocidade mdia prximo a z e tambm do comprimento de mistura.

Os conceitos precedentes podem ser expressos matematicamente com a ajuda da Figura III.6. A diferena entre as velocidades mdias das parcelas de fluido provenientes de z e o fluido em z dada por l ; (III.49) u u z l u z1 = + ( ) ( ) . (III.50) u u z u z l2 = ( ) ( )

Figura III.6 - Velocidade mdia na camada limite turbulenta. Podemos exprimir u z e l( )+ u z por meio de uma srie de Taylor (aproximao linear) em torno do ponto z. Portanto, as expresses III.49 e III.50 ficam

l( )

; (III.51)

u u z uz

l u z1 = + ( ) ( )

. (III.52)

u u z u z uz

l2 = +( ) ( )

50

Eliminando-se os termos equivalentes e de sinal contrrio tem-se

; (III.53)

u l uz

1 =

. (III.54)

u l uz

2 = Portanto, a flutuao da velocidade na direo do escoamento na posio z pode ser considerada como a mdia das diferenas e u1 . Logo, u2

u u . (III.55) u )2' (= +12

1 Conseqentemente,

u l . (III.56) uz

'= Vale salientar que as flutuaes de velocidade na direo transversal so de magnitude comparvel isto ,

'. u v w' ' III.4.2.2 PERFIL DE VELOCIDADE NUM ESCOAMENTO TURBULENTO Prximo de um contorno deve haver um decrscimo no intercmbio de quantidade de movimento porque a turbulncia suprida quando se chega prximo de um contorno. Isso significa que o comprimento de mistura diminui ao se aproximar de um contorno. Prandtl fez a suposio de que l , em que c uma constante de proporcionalidade.

c= z Considerando a aplicao no plano x, z e sendo , a tenso de cisalhamento de interesse obtida da equao de Reynolds. Logo,

xz zx=

0 . (III.57) 1=

u wz' '

Integrando tem-se = u w' ' . (III.58) Substituindo u ' e w' pelos valores obtidos segundo a teoria de comprimento de mistura essa espresso assume a forma

= luz

2 ( )2. (III.59)

Tomando a raiz quadrada de ambos os termos de III.59 tem-se

= l

uz

. (III.60)

51

O termo tem dimenso de velocidade e chamado de velocidade de tenso de cisalhamento ou velocidade de frico e representado por u . Portanto, *

u ou * = u l . (III.61) uz

* =

Sendo l , em que c uma constante, tem-se c= z

uz

uc z

=*

(III.62)

onde se assumiu que l . Integrando a III.62 tem-se c= z

u . (III.63) uc

z cte= +*

ln

Usando-se a condio de contorno de que em z tem-se 0 u z . Portanto, pode-se reescrever a III.63 sob a forma

( )0 0=

u . (III.64) uc

zz=

*

ln( )0

Essa expresso conhecida como perfil de velocidade do escoamento na camada limite turbulenta. Para se determinar o valor de u aplica-se a equao III.64 para dois nveis com velocidades conhecidas tais que

*

u ; (III.65) uc

zz2

2

0=

*

ln( )

u . (III.66) uc

zz1

1

0=

*

ln( )

Fazendo u e organizando devidamente os termos tem-se u2 1

u . (III.67) c u uz z

* ( )ln( )

= 2 12 1

Voltando expresso em que = u w' ' , podemos escrever que

= l

uz

uz

2 . (III.68)

Considerando que K l um coeficiente de difusividade turbulenta, pode-se reescrever a III.68 como

um = 2 ( z )

52

= Kuzm

(III.69)

que se assemelha lei de Newton da viscosidade. Enquanto uma caracterstica do fluido, K uma caracterstica do escoamento turbulento.

m

III.4.3 ANALOGIA DE REYNOLDS PARA A TEMPERATURA III.4.3.1 EQUAO DE TRANSFERNCIA DE CALOR PARA ESCOAMENTO TURBULENTO Considere a equao original da forma

Tt

u Tx

v Ty

w Tz

K Tx

Ty

Tz

+ + + = + +(2

2

2

2

2

2 ) (III.70)

que para o caso de um fluido incompressvel , pode tambm ser expressa como

Tt

uTx

vTy

wTz

K Tx

Ty

Tz

+ + + = + +(2

2

2

2

2

2 ). (III.71)

Aplicando conceitos de turbulncia, em que T T ' , T= + u u ' , u= + v v e v= + ' w w ' .Aps manipulaes matemticas tem-se que

w= +

Tt

u Tx

v Ty

w Tz

K Tx

Ty

Tz

+ + + = + +( )2

2

2

2

2

2

1

cc u T

xc v T

yc w T

zpp p p(

' ' ' ' ' ')+ + . (III.72)

Pode-se observar que o estado mdio satisfaz a equao original. Portanto, para o escoamento turbulento o termo de maior importncia

+ (III.73) +1

cc u T

xc v T

yc w T

zpp p p(

' ' ' ' ' ')

que uma analogia ao cisalhamento turbulento de Reynolds. III.4.3.2 FLUXO DE CALOR NA CAMADA LIMITE TRMICA TURBULENTA Considere o plano x, z. Logo,

0 . (III.74) 1=

cc w T

zpp ' '

Integrando tem-se H c wp= 'T ' , (III.75)

53

em que H o fluxo de calor. Por analogia com a teoria de comprimento de mistura de Prandtl, T ' dado por T l em que l . Verifica-se que c . Portanto,

T zT' (= )z ccT T= T

H c l uz

l Tzp T

= (III.76)

ou

H c u l Tzp

= * (III.77)

em que l c . Integrando de z czT T= = = l T z a T( )1 1= T z , tem-se T( )2 2=

H c u c T Tz zp

= * ( )ln( )

2 1

2 1

(III.78)

ou, substituindo a expresso para u *

H c c u u T Tz zp

= 2 2 1 2 12 1

2( )(

[ln( )])

. (III.79)

III.4.4 ANALOGIA DE REYNOLDS PARA O VAPOR III.4.4.1 EQUAO DE TRANSFERNCIA DE VAPOR NA CAMADA LIMITE TURBULENTA Aplicando conceitos de turbulncia equao original da forma

qt

u qx

v qy

w qz

K qx

qy

qzq

+ + + = + +(2

2

2

2

2

2 ) (III.80)

e seguindo os mesmos procedimentos usados anteriormente tem-se

qt

u qx

v qy

w qz

K qx

qy

qzq

+ + + = + +( )2

2

2

2

2

2

1

(

' ' ' ' ' ' )

u qx

v qy

w qz

+ + . (III.81) Observe tambm que o estado mdio satisfaz a equao original e que o termo de maior importncia para o escoamento turbulento

+ . (III.82) +1

(' ' ' ' ' ' )

u qx

v qy

w qz

III.4.4.2 FLUXO DE VAPOR NA CAMADA LIMITE TURBULENTA

54

Considere o plano x, z . Logo,

0 . (III.83) 1=

w qz' '

Integrando tem-se E w= ' q' , (III.84) em que E o fluxo de vapor. Da mesma forma, por analogia com o conceito de comprimento de mistura de Prandtl, q l com l . Logo, q zq' (= ) lq

E l uz

qz

=

2 (III.85)

ou

E u l qz

= * (III.86)

uma vez que u l . u z* ( )= Integrando III.86 de q z a q( )1 1= q z , se obtm q( )2 2=

E u c q qz z

= * ( )ln( )

2 1

2 1

(III.87)

que substituindo u fica *

E c u u q qz z

= 2 2 1 2 12 1

2

( )([ln( )]

). (III.88)

55

III.5 EXERCCIOS 1 D o conceito de Camada Limite Laminar e Camada Limite Turbulenta. 2 Obtenha as equaes simplificadas de Prandtl para a camada limite laminar. 3 D o conceito de comprimento de mistura de Prandtl. 4 Determine para os dados de velocidade do vento, medidos em vrios nveis segundo a tabela abaixo, a expresso do perfil de velocidade correspondente [ ( . )]u u z=

Velocidade do vento (m/s) e altura (m)

0,20 m 0,40 m 0,60 m 0,80 m 1,00 m 1,50 m 1,75 m 2,00 m 2,25 m 2,50 m 2,75 m 0,32 0,21 0,49 1,09 2,03 2,60 3,12 3,38 3,63 3,87 4,09 0,35 0,19 0,43 0,83 1,48 2,29 2,72 2,97 3,19 3,41 3,59 0,25 0,20 0,40 0,82 1,75 2,18 2,67 2,90 3,05 3,32 3,42 0,26 0,19 0,36 0,64 1,57 1,85 2,20 2,39 2,54 2,74 2,88 0,26 0,15 0,38 0,72 1,52 2,54 3,06 2,32 3,31 3,79 3,93 0,20 0,20 0,39 0,78 1,46 2,16 2,55 2,81 2,93 3,16 3,32 0,31 0,23 0,35 0,69 1,46 2,25 2,73 2,96 3,13 3,38 3,54

Utilize c = 0,4. 5 Determine para os dados de temperatura, medidos em vrios nveis segundo tabela abaixo e usando tambm os dados fornecidos no problema anterior, o fluxo de calor para as vrias camadas.

Temperatura (C) e altura (m)

0,20 m 0,40 m 0,60 m 0,80 m 1,00 m 1,50 m 1,75 m 2,00 m 2,25 m 2,50 m 2,75 m 18,64 18,44 18,49 18,59 18,64 18,76 18,57 18,47 18,41 18,39 18,37 18,98 19,33 19,50 19,71 19,77 19,92 19,55 19,45 19,36 19,29 19,20 19,38 20,02 20,26 20,51 20,40 20,41 20,32 20,18 20,08 19,99 19,89 19,67 20,14 20,39 20,65 20,48 20,42 20,38 20,25 20,18 20,10 20,03 19,97 20,60 20,80 21,18 20,95 20,91 20,92 20,79 20,71 20,63 20,55 20,35 21,74 22,09 22,59 22,33 22,28 21,95 21,76 21,64 21,49 21,34 21,20 21,88 22,15 22,49 22,33 22,21 22,03 21,88 21,74 21,65 21,53

Use tambm c = 0,4.

56

CAPTULO IV

Anlise Dimensional

57

IV.1 ANLISE DIMENSIONAL Muitos dos parmetros adimensionais podem ser entendidos como a relao entre duas foras cujo valor indica a importncia relativa de uma delas face outra. Se algumas foras, num determinado escoamento, so muito maiores que outras, freqentemente possvel desprezar o efeito das foras menores e tratar o fenmeno como se ele fosse completamente determinado pelas foras mais intensas. Geralmente a soluo de problemas prticos de dinmica de fluidos requer tanto um desenvolvimento terico como resultados experimentais. Atravs de um agrupamento de grandezas significativas em parmetros adimensionais possvel reduzir o nmero de variveis presentes e tornar este resultado compacto (equaes ou grficos) aplicvel a todas as situaes semelhantes. As dimenses bsicas da dinmica so fora, massa, comprimento e tempo, relacionadas pela segunda lei de Newton (IV.1) F m= .a em que m M , a L . Logo F . T 2 MLT 2 Vejamos agora a Tabela IV.1 mostrando as dimenses de algumas grandezas freqentemente utilizadas.

Tabela IV.1 - Dimenses das grandezas fsicas usadas mais freqentemente

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- GRANDEZA SMBOLO DIMENSES (M,L,T)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- comprimento l L tempo t T massa m M temperatura T fora F MLT 2 velocidade V LT 1 acelerao a LT 2 rea A L2 volume v L3 vazo Q L T3 1

presso ou queda de presso p ML T 1 2 acelerao da gravidade g LT 2

densidade ML3 viscosidade dinmica ML T 1 1 viscosidade cinemtica L T2 1 tenso de cisalhamento ML T 1 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A segunda lei de Newton na forma dimensional , mostrando que trs dimenses so independentes. Um sistema de unidades comumente empregado na anlise dimensional o sistema .

F MLT= 2M L T, ,

Para entendermos os objetivos da analise dimensional, vejamos a seguinte questo: admite-se que a vazo atravs de um tubo capilar horizontal depende da queda de presso por unidade de comprimento, do dimetro do tubo e da viscosidade. Portanto, determinaremos a forma da equao que rege o fenmeno.

58

As grandezas e suas dimenses so as seguintes: vazo Q ; L T3 1

queda de presso por comprimento pl

; ML T 2 2

dimetro ; D L viscosidade . ML T 1 1 Logo, em termos de funo tem-se

Q Q . (IV.2) pl

D= ( , , ) Portanto, pode-se escrever que

Q . (IV.3) pl

D ( )

Substituindo-se as dimenses e tomando a igualdade, tem-se (IV.4) L T cte ML T L ML T3 1 2 2 1 1 = .( ) ( ) ( ) e, portanto, conclui-se que

(IV.5) LMT

3 201 2

= + = += +

.

Resolvendo esse sistema de equaes obtm-se que = ; = e = . Logo, 1 4 1

Q (IV.6) cte pDl

= . 4

do que se conclui que a anlise dimensional no fornece nenhuma informao sobre o valor numrico da constante adimensional. Experincias mostram que o valor da constante para esta expresso . 128 Quando se trabalha com vrias grandezas tem-se bastante problemas. Para facilitar essas questes vamos estudar uma metodologia mais criteriosa, o teorema ou teorema de Buckinghan. IV.1.1 TEOREMA DE BUCKINGHAN O teorema ou teorema de Buckinghan mostra que num problema fsico envolvendo n grandezas nas quais esto envolvidas m dimenses, as grandezas podem ser agrupadas em n parmetros adimensionais independentes.

m Sejam A A as grandezas envolvidas, tais como presso, viscosidade, velocidade, etc. Sabe-se que todas as grandezas so essenciais soluo devendo pois existir alguma relao funcional

A An1 2 3, , ,...,

. (IV.7) F A A A An( , , ,..., )1 2 3 0= Se etc. representam grupos adimensionais das grandezas , etc. com m dimenses envolvidas, ento existe uma equao do tipo

1 2 3, , , A A A1 2 3, ,

59

. (IV.8) f n m( , , ,..., ) 1 2 3 0 = O mtodo para determinao dos parmetros consiste em se escolher m das n grandezas , com dimenses diferentes, que contenham entre elas as m dimenses, e us-las como base juntamente com uma das outras grandezas para cada . Por exemplo, consideremos que e contem e T , no necessariamente em cada uma individualmente, mas em conjunto. Ento, o primeiro parmetro formado por

A

A A A1 , 2

4

5

)

3

A3 M L,

, (IV.9) 1 1 2 31 1 1= A A A Ax y z o segundo por , (IV.10) 2 1 2 32 2 2= A A A Ax y z e assim por diante . (IV.11) n m x y z nA A A An m n m n m = 1 2 3 Nestas equaes os expoentes devem ser determinados de tal forma que cada resulte em um nmero adimensional. As dimenses das grandezas so substitudas e os expoentes so todos igualados a zero. Isto conduz a trs equaes, a trs incgnitas para cada parmetro .

A M L, ,T

Se apenas duas dimenses esto envolvidas seleciona-se duas grandezas para formar a base e obtm-se duas equaes a duas incgnitas para cada . A O processo de clculo ser ilustrado pelo exemplo a seguir. Sabendo-se que existe uma relao entre

empuxo, densidade, acelerao da gravidade e v volume do lquido deslocado obter a relao para o empuxo. Logo, E g . (IV.12) F E g v( , , , ) = 0 Existem 4 parmetros (n ) e esto relacionadas 3 dimenses (m ). Logo existe 1 parmetro . Ento, = 4 = 3 (IV.13) f ( )1 0= e . (IV.14) 1 1 1 1= E g vx y z Substituindo as dimenses tem-se ( ) . (IV.15) ( ) ( ) ( ) (M L T MLT LT ML Lx y z0 0 0 2 2 3 31 1 1= Resolvendo para cada dimenso fica

(IV.16) MLT

= + = + + =

00 30 2 2

1 1

1 1 1

1 1

x zx y z

x y que forma um sistema de trs equaes a trs incgnitas. Resolvendo o sistema tem-se: x , e

. Portanto, 1 1= y1 1=

z1 1=

60

(IV.17) 1 1 1 1= E g vou

. (IV.18) 1 = g vE Obtendo o valor do empuxo ( E ) em funo das outras grandezas tem-se (IV.19) E cte g v= . onde para esse caso a experincia mostra que cte.= 1.

61

IV.2 EXERCCIOS 1 Formar parmetros adimensionais com os seguintes grupos de grandezas. a) b) c) . p V, , , , ,g V F , , ,F p t 2 Obter expresso para u sabendo-se que existe a relao funcional * , F u F AT( , , , )

* = 0em que F a fora de cisalhamento. T 3 Sabendo-se que a tenso de cisalhamento ( ) num escoamento unidimensional laminar depende da viscosidade e da velocidade de deformao (du ), determinar a forma da lei de Newton da viscosidade com base na anlise dimensional.

dy

4 Num fluido girando como um slido em torno de um eixo vertical com velocidade angular , o aumento de presso numa direo radial depende de , do raio r e da densidade . Obter a forma da equao para

. p

p

62

BIBLIOGRAFIA E

APNDICES

63

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA Bergeron, T. ; Bjerknes, R. and Bundgaard, R. C. Dinamic meteorology and weather forecasting. American Meteorology Society. 1957. 800p. Coimbra, Alberto Luiz. Mecnica dos meios contnuos. Ao Livro Tcnico S. A. 1967. 264p.

Eskinazi, Salamon. Fluid mechanics and thermodynamics of our environment. Academic Press. 1975. 421p.

Fox, Robert W. e McDonald, Alan T. Introduo mecnica dos fluidos.Guanabara Dois S.A. 1981. 562p.

Holton, James R. An introduction to dynamic meteorology. Academic Press. 1972. 319p. Shames, Irving Herman. Mecnica dos fluidos. Edgard Blcher. Volume 1. 1973. 192p. Shames, Irving Herman. Mecnica dos fluidos. Edgard Blcher. Volume 2. 1973. 533p. Streeter, Victor Lyle. Mecnica dos Fluidos. McGraw-Hill do Brasil. 1977. 736p. Sutton, O. G. Micrometeorology. McGraw-Hill Company. 1953. 333p. Vieira, Rui Carlos de Camargo. Atlas de mecnica dos fluidos, fluidodinmica. Edgard Blcher. 1971. 281p.

64

A.1 COORDENADAS CURVILNEAS Seja um ponto qualquer em que e x y podem ser escritas em termos de outros eixos, como r . Portanto

GP

G GP P x y z= ( , , ) z, ,

, ,

(A.1) x x ry y rz z r

===

( , , )( , , )( , , ).

Logo dP , (A.2) dxi dyj dzk

G G G G= + + tem-se

dx ; (A.3) xr

dr x d x d= + +

dy ; (A.4) yr

dr y d y d= + +

dz . (A.5) zr

dr z d z d= + +

e portanto em termos de dP , tem-se

G

dP xr

i yr

j zr

k dr x i y j z k dG G G G G G G= + + + + +( ) (

+)

( ) (A.6)

x i y j z k dG G G+ +

ou ento

dP . (A.7) Pr

dr P d P dG G G G= + +

Sendo e e e vetores unitrios nas direes r e dados por G Ger , G ,

G G G G GP

rPr

Pr

h er =

e ; (A.8) r r=

G G G G GP P P h e

=

e ; (A.9) =

G G G G GP P P h e

= =

e . (A.10)

65

Em que h h so chamados de mtricas e so dadas respectivamente por hr , , GP r , GP e

GP . Portanto dP . (A.11) h dr e h d e h d er r

G G G= + + G Os elementos de superfcie normais a r e so dados por (ver Figura A.1) , dS ; (A.12) h h d dr = dS ; (A.13) h h dr dr = dS . (A.14) h h dr dr =

Figura a.1 - Sistema de coordenadas curvilneas e os elementos desuperfcies.

Conseqentemente, um elemento de volume dado por dv . (A.15) h h h dr d dr= A.1.1 COORDENADAS CILNDRICAS A Figura A.2 mostra as coordenadas cilndricas, em que . As mtricas so dadas por

G GP P r z= ( , , )

h ; (A.16) r = +cos sen2 2 1 =

h r ; (A.17) r = +2 2 2 2cos sen r= h . (A.18) z = 1

66

Figura A.2 - Coordenadas cilndricas. O vetor posio fica dP . (A.19) dr e d e dz er

G G G= + + zG

r

Os elementos de rea so dS ; (A.20) r d dz S r hr r= = 2 dS ; (A.21) dr dz S r h = = 2 . (A.22) dS rdr d S rz z= = 2 Para o volume, tem-se dv . (A.23) r dr d dz v r h= = 2 A.1.2 COORDENADAS ESFRICAS A Figura A.3 mostra as coordenadas esfricas, em que P P . As mtricas neste caso so

G Gr= ( , , )

h ; (A.24) r = 1 h r ; (A.25) = cos h . (A.26) =

67

Figura A.3 - Coordenadas esfricas. De forma semelhante, pode-se obter os elementos de rea e volume conforme feito anteriormente. A.1.3 GRADIENTE, DIVERGNCIA E ROTACIONAL EM COORDENADAS CURVILNEAS GRADIENTE:

= . (A.27) + +fh

fr

eh

f eh

f er

r1 1 1

G G G

DIVERGNCIA:

= . (A.28) + +. [ ( ) ( ) (GVh h h r

V h h V h h V h hr

r r1

)]r

ROTACIONAL:

= + x

G GVh h

V h V h eh h

V hrr

r r1 1

[ ( ) ( )] [ ( )

r

V h eh h r

V h V h er

r r( )] [ ( ) ( )]G G+ 1 . (A.29)

68

ALFABETO GREGO:

AlfaBetaGamaDeltapslonZetaEtaTetaIotaKapaLambdaMuNuKsimicronPiRoSigmaTaupsilonFiChiPsimega

,

69