DIN-03

UERJ/FEN-MECAN: Dinmica Prof. Renato Rocha 1.1v.1.0 - 2012

III

Cintica de Partculas -

Princpio do Trabalho e Energia

-

Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento


Contedo

Introduo

Trabalho de uma fora

Princpios de trabalho e energia

Aplicao dos Princpios de trabalho e energia

Potncia e eficincia

Exemplos 13.1 a 13.5

Energia Potncial

Foras Conservativas

Conservao de energia

Movimento sob uma fora conservativa central

Exemplos

13.6 a 13.9

Princpio

de Impulso

e quantidade

de movimento

Movimento

Impulsivo

Exemplo

13.10 a 13.12

Impacto

Impacto

Central

Direto

Impacto

Oblquo

Direto

Problemas

envolvendo

energia

e quantidade

de movimento

Exemplo

13.14 a 13.17


Anteriormente, problemas envolvendo o movimento de partculas foram resolvidos atravs da equao fundamental do movimento. O captulo atual introduz dois mtodos adicionais de anlise.

Princpio do Trabalho e Energia: relaciona diretamente a fora, a massa, a velocidade e o deslocamento.

Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento: relaciona diretamente a fora, a massa, a velocidade e o tempo.

Introduo


A variao dr

do vetor r

representa o deslocamento da partcula.

O trabalho da fora F no deslocamento dr

:

O Trabalho

uma quantidade escalar, isto , possui magnitude e sinal, mas no possui direo.

Dimenses do trabalho: comprimento x fora

Unidades:

Trabalho de uma Fora

|dr| = ds


Trabalho da fora durante um deslocamento finito,

O trabalho

representado pela rea embaixo da curva Ft

x s.



Trabalho de uma fora constante em movimento retilneo,

Trabalho da fora peso:

O trabalho do peso

igual ao produto do peso W e o deslocamento vertical y.

O trabalho do peso

positivo quando y < 0, isto , quando a altura diminui.



A amplitude da fora exercida por uma mola

proporcional

deflexo,

Trabalho da fora exercida por uma mola,

O trabalho da fora exercida pela mola

positivo quando x2 < x1

, isto , quando a mola est

retornando

sua posio no deformada.

O trabalho da fora exercida pela mola

igual ao negativo da rea sob a curva de F traada em relao a x,




O trabalho de uma fora gravitacional F entre duas partculas, M e m, assumindo que M ocupe uma posio fixa O e m se desloque ao longo da trajetria indicada :



Foras que no realizam trabalho (ds

= 0 ou cos

= 0):

peso de um corpo quando seu centro de gravidade se move horizontalmente.

reao em um rolete em movimento ao longo de seu percurso, e

reao na superfcie sem atrito quando o corpo se move em contato ao longo da superfcie,

reao no pino sem atrito apoiando corpo em rotao,


Considere uma partcula de massa m sujeita a uma fora F,

Integrando de A1

a A2

,

O trabalho da fora F igual variao da energia cintica da partcula.

As unidades de trabalho e de energia cintica so as mesmas:

Energia Cintica da Partcula: Princpio do Trabalho e Energia


Determine a velocidade do pndulo em A2

. Considere trabalho e energia cintica.

A fora P

(trao no fio) atua normal

trajetria e no faz nenhum trabalho.

A velocidade

encontrada sem determinar uma expresso para acelerao e sem integrar.

Todas as quantidades so escalares e podem se adicionadas diretamente.

Foras que no realizam trabalho so desconsideradas no problema.

Aplicaes do Princpio de Trabalho e Energia


O princpio do trabalho e energia no pode ser aplicado para determinar diretamente a acelerao do pndulo.

Calcular a trao no cabo requer suplementar o mtodo de trabalho e energia com uma aplicao da Segunda Lei de Newton.

Quando o pndulo passa atravs de A2

,

Aplicaes do Princpio de Trabalho e Energia


potncia = taxa pela qual o trabalho

realizado no tempo.

As dimenses da potncia so trabalho/tempo ou fora x velocidade.

As unidades de potncia so:

Potncia e Rendimento


Exemplo 13.1

Um automvel pesando 18000 N

impulsionado por uma inclinao 5 graus a uma velocidade de 96 Km/h quando os freios so aplicados causando uma fora total de frenagem constante de 6750 N.

Determinar a distncia percorrida pelo automvel at

ele parar completamente.

SOLUO:

Avaliar a variao da energia cintica.

Determine a distncia necessria para que o trabalho igual a variao de energia cintica.


Exemplo 13.1


Exemplo 13.2

Dois blocos esto unidos por um cabo inextensvel como mostrado. Se o sistema

solto do repouso, determine a velocidade do bloco A depois de ter movido 2 m. Suponha que o coeficiente de atrito entre o bloco A eo plano

= 0,25 e que a polia

sem peso e sem atrito.

SOLUO:

Aplicar o princpio do trabalho e energia separadamente para os blocos A e B.

Quando as duas relaes so combinadas, o trabalho das foras do cabo cancela. Resolva para a velocidade


Ex. 13.2


Ex. 13.3: Uma mola usada para parar um pacote de 60 kg que est deslizando numa superfcie horizontal. A mola tem uma constante k = 20 kN/m e presa por cabos de modo que esteja inicialmente comprimida em 120 mm. O pacote tem uma velocidade de 2,5 m/s na posio mostrada e a deflexo mxima da mola 40 mm.Determine (a) o coeficiente de atrito cintico entre o pacote e a superfcie e (b) a velocidade do pacote quando este passa novamente pela posio mostrada,


Ex. 13.3


Exemplo 13.4

Um carro de 9000 N parte do repouso no ponto 1 e se move sem atrito na pista mostrada.

Determine:

-

a fora exercida pela pista sobre o carro no ponto 2, e

-

o valor mnimo de segurana do raio de curvatura no ponto 3.

SOLUO:

Aplicar o princpio de trabalho e energia para determinar a velocidade no ponto 2.

Aplicar a segunda lei de Newton para encontrar fora normal da pista no ponto 2.

Aplicar o princpio de trabalho e energia para determinar a velocidade no ponto 3.

Aplicar a segunda lei de Newton para encontrar raio mnimo de curvatura no ponto 3 de tal forma que uma fora positiva normal

exercida pela pista.


Exemplo 13.4


Exemplo 13.5

O elevador D e sua carga tm um peso combinado de 2700 N, enquanto o C contrapeso pesa 3600 N.

Determine a potncia entregue pelo motor eltrico M quando o aparador (a) est

subindo a uma velocidade constante de 2,4 m/ s e (b) tem uma velocidade instantnea de 2,4 m/ s e uma acelerao de 0,75 m/s2, ambas voltadas para cima.

SOLUO:

Fora exercida pelo cabo do motor tem

mesmo sentido que a velocidade do elevador. Potncia fornecida pelo motor

igual a FVD, VD = 2,4 m/ s.

No primeiro caso, os corpos esto em movimento uniforme. Determine fora exercida pelo cabo do motor a partir de condies para o equilbrio esttico.

No segundo caso, ambos os corpos esto se acelerando. Aplicar a segunda lei de Newton para cada corpo para determinar a fora motriz do cabo necessria.


Exemplo 13.5


Trabalho da fora peso W,

O trabalho

independente da trajetria percorrida; depende apenas dos valores iniciais e finais da quantidade Wy.

As unidades de trabalho e de energia potencial so as mesmas:

A escolha da referncia a partir da qual a elevao y

medida

arbitrria.

Energia Potencial (gravitacional):

energia potencial gravitacional da partcula


Energia Potencial

Expresso anterior para Energia Potencial de um corpo com relao

gravidade s

vlida quando o peso do corpo pode ser considerado constante.

Para um veculo espacial, a variao da fora da gravidade com a distncia do centro da terra deve ser considerada.

Trabalho de uma fora gravitacional,

Energia Potncial Vg

quando a variao da fora da gravidade no pode ser desprezada,


O trabalho da fora exercida por uma mola depende apenas das deflexes inicial e final da mola,

A energia potencial elstica da partcula:

Energia Potencial (elstica):


O conceito de energia potencial pode ser aplicado se o trabalho da fora

independente da trajetria seguida pelo seu ponto de aplicao.

Tais foras so descritas como foras conservativas.

Para qualquer fora conservativa aplicada em uma trajetria fechada,

Trabalho elementar correspondendo a um deslocamento entre dois pontos vizinhos,

Foras Conservativas


Trabalho de uma fora conservativa:

Conceito de trabalho e energia, para uma fora qualquer:

Segue que, para uma fora conservativa:

Logo, quando uma partcula se move sob a ao de foras conservativas, a energia mecnica total

constante.

Foras de atrito no so conservativas. A energia mecnica total de um sistema envolvendo atrito diminui.

A energia mecnica

dissipada pelo atrito em energia trmica.

Conservao de Energia


Movimento sob uma fora conservativa central

Quando uma partcula se move sob uma fora conservativa central, tanto o princpio da conservao da quantidade de movimento angular ,

e o princpio da conservao de energia

podem ser aplicados.

Dado r, as equaes podem ser resolvidas para v

e .

No mnimo e mximo de r,

= 90o. Dadas as condies de arremesso, as equaes podem ser resolvidas para rmin

, rmax

, vmin

, e vmax

.


Exemplo 13.6

Um colar de 90 N desliza sem atrito ao longo de uma haste vertical, como mostrado. A mola unida ao colar tem um comprimento indeformado de 10 cm e uma constante de 540 N/m.

Se o colar

solto do repouso na posio 1, determine a sua velocidade depois de ter movido 15 cm para a posio 2

SOLUO:

Aplicar o princpio da conservao de energia entre as posies 1 e 2.

As energias elstica e potencial gravitacional em 1 e 2 so avaliadas a partir da informao dada. A energia cintica inicial

zero.

Resolva para a energia cintica e velocidade em 2.


Exemplo 13.6


Exemplo 13.7

O bloco de 2,25 N

empurrado contra a mola e liberado do repouso em A. Desprezando atrito, determine a menor deflexo da mola para que o bloco d a volta em torno do fao ABCDE e permanea o tempo todo em contato com ele.

SOLUO:

Como o corpo deve permanecer em contato com o loop, a fora exercida sobre o corpo deve ser maior ou igual a zero. Definir a fora exercida pelo loop para zero, para resolver a velocidade mnima em D.

Aplicar o princpio da conservao de energia entre os pontos A e D. Resolva a deflexo da mola necessria para produzir a velocidade necessria e energia cintica em D.


Exemplo 13.7


Exemplo 13.9

Um satlite

lanado em uma direo paralela

superfcie da Terra com uma velocidade de 36.900 quilmetros por a hora de uma altitude de 500 km.

Determine (a) a altitude mxima atingida pelo satlite, e (b) O erro mximo permitido na direo do lanamento se o satlite no pode chegar a menos de 200 km da superfcie da terra

SOLUO:

Para o movimento sob uma fora conservativa central, os princpios da conservao de energia e conservao da quantidade de movimento angular podem ser aplicados simultaneamente.

Aplicar os princpios para os pontos de altitude mnima e mxima para determinar a altitude mxima.

Aplicar os princpios para o ponto de insero em rbita e o ponto de altitude mnima para determinar o erro mximo admissvel do angulo de insero em rbita.


Exemplo 13.9


A partir da Segunda Lei de Newton,

A quantidade de movimento final da partcula pode ser obtida adicionando vetorialmente sua quantidade de movimento inicial ao impulso da fora durante o intervalo de

tempo.

As dimenses do impulso de uma fora so

fora x tempo.

As unidades para o impulso de uma fora so

Princpio do Impulso e Quantidade de Movimento

mv

= quantidade de movimento linear


Uma fora agindo em uma partcula durante um intervalo muito curto de tempo, sendo grande o suficiente para causar uma mudana significativa na quantidade de movimento desta,

chamada fora impulsiva.

Quando foras impulsivas agem em uma partcula,

Quando uma bola de baseball

batida por um basto, o contato ocorre em um intervalo curto de tempo, mas a fora

grande o suficiente para mudar o sentido do movimento da bola.

Movimento Impulsivo

Foras no impulsivas so foras para as quais

pequeno e, portanto, podem ser desprezadas, como, por exemplo, o peso neste caso.


Exemplo 13.10

Um automvel pesando 18000 N

impulsionado por uma inclinao 5

a uma velocidade de 96 km/h quando os freios so aplicados, causando uma fora total de frenagem constante de 6750 N

Determinar o tempo necessrio para o automvel parar completamente

SOLUO:

Aplicar o princpio do impulso e quantidade de movimento. O impulso

igual ao produto das foras constantes pelo intervalo de tempo.


Exemplo 13.10


Exemplo 13.11

Uma bola de beisebol 1,12 N

lanada com uma velocidade de 36 m/s. Depois que a bola

golpeada pelo basto, ela passa a ter uma velocidade de 36 m/s na direo indicada. Se o basto e bola esto em contato por 0,015 s, determine a fora impulsiva mdia exercida na bola durante o impacto.

SOLUO:

Aplicar o princpio do impulso e quantidade de movimento em termos de equaes componente horizontal e vertical.


Exemplo 13.11

x

y


Ex. 13.12: Um pacote de 10 kg cai de uma rampa dentro de um carrinho de 25 kg com uma velocidade de 3 m/s. Sabendo que o carrinho est inicialmente em repouso e que pode rolar livremente, determine: (a) a velocidade final do carrinho, (b) o impulso exercido pelo carrinho sobre o pacote e (c) a frao da energia inicial perdida no impacto.


Ex. 13.12


Exemplo 13.12


Impacto: Coliso entre dois corpos que ocorre durante um intervalo pequeno de tempo e na qual os corpos exercem grandes foras entre si.

Linha de impacto: Normal comum s superfcies em contato durante o impacto.

Impacto Central: Impacto em que os centros de massa dos dois corpos se encontram na linha de impacto; se no for este o caso,

um impacto excntrico.

Impacto Central Direto

Impacto Central Direto: Impacto em que as velocidades dos dois corpos so direcionadas ao longo da linha de impacto.

Impacto Central Oblquo

Impacto Central Oblquo: Impacto em que um ou ambos os corpos se movem ao longo de uma linha que no

a linha de impacto.

Impacto ou Choque


Corpos se movendo na mesma linha reta, vA > vB .

Sob impacto, os corpos se submetem a um perodo de deformao, ao fim do qual, esto em contato e se movendo a uma velocidade comum.

Segue ento um perodo de restituio durante o qual os corpos retomam sua forma original ou permanecem deformados permanentemente.

Determinar as velocidades finais

dos dois corpos. A quantidade de movimento total do sistema (dois corpos)

preservada,

Uma segunda relao entre as velocidades finais

necessria.


mA

vA

+ mB

vB = mA

vA

+ mB

vB


Perodo de deformao:

Perodo de restituio:

Uma anlise similar da partcula B leva a:

Combinando estas relaes nos leva

segunda relao desejada entre as velocidades finais:

Impacto perfeitamente plstico, e = 0:

Impacto perfeitamente elstico, e = 1:

Energia total e quantidade de movimeto total conservados.


e



Velocidades finais so desconhecidos em mdulo e direo. Quatro equaes so necessrias.

No h

componente de impulso tangencial: a componente tangencial da fora de cada partcula

conservada.

Componente normal da quantidade de movimento linear total das duas partculas

conservada.

Componentes normais de velocidades relativas antes e depois do impacto esto relacionados pelo coeficiente de restituio.



Bloco restrito a se mover ao longo da superfcie horizontal.

Impulsos das foras internas ao longo do eixo n e de fora externa exercida pela superfcie horizontal e dirigida ao longo da vertical para a superfcie.

Velocidade final da bola desconhecida na direo e mdulo e mdulo final da velocidade do bloco desconhecida. Trs equaes necessrias.


Impacto Direto Oblquo

quantidade de movimento tangencial da bola

conservado.

quantidade de movimento horizontal total do bloco e bola

conservado.

Componentes normais da velocidade relativa do bloco e da bola so relacionadas por coeficiente de restituio.

Nota: Validade da ltima expresso no resulta da relao anterior para o coeficiente de restituio. Uma derivao semelhante, mas separada

necessria.


Dispomos, portanto, de trs mtodos para a anlise de problemas de dinmica:

- Aplicao direta da Segunda Lei de Newton

- Mtodo do trabalho e da energia

- Mtodo do impulso e Quantidade de movimento

Deve ser selecionado o mtodo mais adequado para o problema ou para parte de um problema em considerao.

Problemas Envolvendo Energia e Quantidade de Movimento


Exemplo 13.14

A bola

lanada contra uma parede vertical, sem atrito . Imediatamente antes de a bola bater na parede, sua velocidade tem uma mdulo e forma ngulo de 30

com a horizontal. Sabendo que e = 0,90, determinar a mdulo e a direo da velocidade da bola, quando ela rebate da parede

SOLUO:

Resolva a velocidade da bola em componentes normais e tangenciais

parede.

O impulso exercido pela parede

normal a ela. A componente de quantidade de movimento da bola tangente

parede

conservada.

Assuma que a parede tenha massa infinita, de forma que sua velocidade ser

zero antes e depois do impacto. Aplique a relao do coeficiente de restituio para encontrar a mudana na velocidade relativa entre bola e parede normal, ou seja, na velocidade da bola


Exemplo 13.14

n

t


Exemplo 13.15

A mdulo e a direo das velocidades de duas bolas idnticas sem atrito antes que eles atinjam uma a outra so mostradas. Assumindo e = 0,9, determinar a mdulo e a direo da velocidade de cada bola aps o impacto.

SOLUO:

Resolva as velocidades da bola em componentes normal e tangencial ao plano de contato.

A componente tangencial da quantidade de movimento para cada bola

conservada.

Componente normal total da quantidade de movimento do sistema de bola duas

conservada.

As velocidades normais relativas das bolas esto relacionadas pelo coeficiente de restituio.

Resolva as duas ltimas equaes simultaneamente para as velocidades normais das bolas aps o impacto.


Exemplo 13.15


Exemplo 13.15

t

n


Exemplo 13.16

Bola B

pendurada em um fio inextensvel. Uma bola idntica A

solta do repouso quando est

apenas tocando o cabo e adquire uma velocidade v0 antes de golpear a bola B. Supondo impacto perfeitamente elstico (e = 1) e sem atrito, determine a velocidade de cada bola imediatamente aps o impacto.

SOLUO:

Determinar a orientao da linha de impacto da ao.

A componente dinmica da bola A tangencial ao plano de contato

conservada.

a quantidade de movimento linear total horizontal (componente x) do sistema de duas bolas

conservado.

As velocidades relativas ao longo da linha de ao antes e aps o impacto esto relacionadas pelo coeficiente de restituio.

Resolva as duas ltimas expresses para a velocidade da bola A ao longo da linha de ao e velocidade da bola B, que

horizontal.


Exemplo 13.16


Ex. 13.17: Um bloco de 30 kg solto de uma altura de 2 m sobre o prato de 10 kg de uma balana de mola. Considerando que o impacto seja perfeitamente plstico, determine a mxima defexo do prato. A constante da mola k=20 KN/m.



Conservao da Quantidade de Movimento

Referncia para Vg =0

Ex. 13.17



Mola Indeformada

Ex. 13.17

Slide Number 1ContedoSlide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Trabalho de uma foraTrabalho de uma foraSlide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Exemplo 13.1Exemplo 13.1Exemplo 13.2Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Exemplo 13.4Exemplo 13.4Exemplo 13.4Exemplo 13.5Exemplo 13.5Exemplo 13.5Slide Number 27Energia PotencialSlide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Movimento sob uma fora conservativa centralExemplo 13.6Exemplo 13.6Exemplo 13.7Exemplo 13.7Exemplo 13.9Exemplo 13.9Exemplo 13.9Slide Number 40Slide Number 41Exemplo 13.10Exemplo 13.10Exemplo 13.11Exemplo 13.11Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Exemplo 13.12Slide Number 50Slide Number 51Slide Number 52Impacto Central OblquoImpacto Central OblquoImpacto Direto OblquoSlide Number 56Exemplo 13.14Exemplo 13.14Exemplo 13.15Exemplo 13.15Exemplo 13.15Exemplo 13.16Exemplo 13.16Exemplo 13.16Slide Number 65Slide Number 66Slide Number 67

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