Mecnica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura

SBMR 2014 Conferncia Especializada ISRM 09-13 Setembro 2014 CBMR/ABMS e ISRM, 2014

Dimensionamento timo de Realces Abertos e Pilares via

Programao Matemtica No-Linear

Fernanda de Brito Souza Duarte

TEC3 Geotecnia e Recursos Hdricos Ltda., Belo Horizonte, Brasil, fernanda_brito@ymail.com

Rodrigo Peluci de Figueiredo

Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, rpfigueiredo@yahoo.com.br

RESUMO: Ainda hoje o dimensionamento preliminar de vos e pilares em minas subterrneas

consiste em se definir, por tentativa e erro, um arranjo no qual a estabilidade dos pilares seja

garantida por um fator de segurana (FS) previamente arbitrado. Para um dado arranjo, por meio de

uma formulao aproximada (rea tributria) so calculadas as tenses mdias atuantes nos pilares,

bem como suas resistncias, por meio de expresses empricas. Verifica-se, ento, os FSs. A

recuperao decorrente , ento, determinada sendo to somente um resultado de se ter garantido a

estabilidade. Neste trabalho apresentada a aplicao de uma metodologia de dimensionamento

alternativa, na qual um problema padro de Programao Matemtica no linear formulado tendo

como objetivo a maximizao da recuperao respeitando-se as restries de segurana dos pilares

e os requisitos de estabilidade e tecnolgicos/operacionais dos vos. Utilizando-se frmulas

empricas de resistncia consagradas e uma generalizao da teoria da rea tributria para 3D,

realizaram-se estudos paramtricos, comparando os resultados obtidos pelas duas metodologias de

dimensionamento: a convencional e a otimizada, neste caso proposta para lavra por realces abertos.

Como validao, as geometrias resultantes tiveram suas estabilidades verificadas por meio de

modelos numricos tridimensionais de elementos de contorno, com o software Examine 3D, da

Rocscience. Os resultados obtidos deixaram clara a vantagem da utilizao do dimensionamento

timo, obtendo-se melhoria na recuperao, e diminuio significativa no tempo gasto nos clculos

de projeto, uma vez que necessrio pouco ou nenhum ajuste nas dimenses obtidas. Os resultados

possibilitaram tambm observar que o dimensionamento convencional, quando no ajustado por

meio de anlises numricas e revisado por tentativas e erros, apresentou-se extremamente

conservador, com FSs geralmente acima de 3, diferentemente do dimensionamento otimizado, cujas

dimenses foram significativamente reduzidas e forneceram FSs em torno de 1,3.

PALAVRAS-CHAVE: Realces Abertos, Programao Matemtica No-Linear, Otimizao.

1 INTRODUO

A escolha do mtodo de lavra um fator de

extrema importncia para a anlise econmica

de uma mina, onde uma opo inapropriada

pode ter efeitos negativos e at abortivos para o

projeto de explotao. Ela depende, em grande

parte, da localizao e forma do depsito

mineral, alm de outras condicionantes como

profundidade e tenses in situ atuantes no

macio. A estrutura da mina, independente do

mtodo de lavra empregado, distribuda

basicamente em realces, que so aberturas onde

as operaes de produo so conduzidas, e

pilares, os quais so remanescentes de minrio

deixados in loco cuja finalidade servir de

suporte para a estrutura global da mina. Este

abandono de minrio tem implicaes bvias

sobre a recuperao final do jazimento, ou seja,

no aproveitamento da jazida.

A lavra por Realces Abertos, tratada neste

trabalho, caracteriza-se por um mtodo de alta-

produo aplicado a grandes corpos de minrio

com alto ngulo de mergulho, sendo que esses,

e seus macios encaixantes, devam requerer

pouco ou nenhum suporte. Neste mtodo, os

vos (realces) so frequentemente grandes,

particularmente na direo vertical, e

encontram-se separados por pilares de suporte,

denominados rib pillars, quando verticais, e sill

pillars, quando horizontais.

Devido s restries em todo mundo,

principalmente no que tange a questes legais,

ambientais e de segurana, requerido um

rgido controle das condies geomecnicas do

macio e um efetivo planejamento de

dimenses seguras, tanto dos pilares quanto dos

realces. Isso impe, por outro lado, restries

mxima recuperao possvel do jazimento, que

comumente fica entre 50 e 60 % para o mtodo

de lavra por realces abertos, quando no h

recuperao posterior dos pilares.

Este trabalho apresenta alguns resultados

obtidos pela primeira autora (Souza, 2011) com

base na metodologia inicialmente proposta para

lavra por cmaras e pilares por Figueiredo e

Curi (2003, 2004) e estendida por Brando

(2005), a qual emprega tcnicas de

programao matemtica no-linear, de forma a

obter a mxima recuperao do jazimento,

satisfazendo-se, simultaneamente, as restries

impostas por condicionates geomecnicas,

tecnolgicas e/ou de segurana.

2 DIMENSIONAMENTO DE REALCES

E PILARES

2.1 Dimensionamento convencional

O dimensionamento de um arranjo geomtrico

de realces e pilares geralmente conduzido de

forma que, primeiramente, so determinadas as

dimenses dos vos. Caso os vos estabelecidos

sejam auto-sustentveis passa-se ao

dimensionamento dos pilares; do contrrio, ou

as dimenses so revistas alterando-se as

condies operacionais, ou prevista a

utilizao de algum tipo de suporte, conforme o

mais conveniente economicamente. As

dimenses dos pilares so calculadas de

maneira a satisfazer, com adequada margem de

segurana, a sua funo de suporte estrutural da

mina. Para tanto, deve-se estabelecer

previamente uma maneira de se calcular a carga

total ou tenso mdia atuante no pilar, sendo

geralmente utilizada na prtica da minerao, a

teoria da rea tributria; expresses empricas

que forneam a resistncia do pilar em funo

de suas dimenses, forma e caractersticas

geomecnicas do material do qual constitudo

(Brady e Brown, 2004) e um valor de FS

adequado, o qual vem a ser um critrio de

projeto.

Ao final do processo de dimensionamento do

arranjo de lavra, qualquer que sejam a

metodologia e critrios utilizados, a

recuperao resultante mera consequncia,

no sendo, via de regra, o objetivo principal

visado.

2.2 Proposta de dimensionamento otimizado

A metodologia proposta por Figueiredo e Curi,

(2003, 2004), diferente do usualmente utilizado,

emprega tcnicas de Programao Matemtica

no-linear (Arora, 1988; Bazaraa et al., 1993)

para maximizar a recuperao que passa a ser o

objetivo principal do dimensionamento. As

estabilidades de vos e pilares, satisfazendo os

fatores de segurana pr-estabelecidos, passam

a ser vistas como restries impostas por

condicionantes geomecnicos maximizao

da recuperao.

Nos referidos trabalhos, por meio de um

algoritmo iterativo de linearizaes locais

sucessivas e, empregando seqencialmente, o

algoritmo Simplex (Arora, 1988) em cada uma

delas, o problema padro solucionado.

A formulao geral do problema de

programao padro (Bazaraa et al., 1993)

apresentada a seguir:

Otimize: ( ) Sujeito a: ( )

( )

e

Onde { } o vetor de n-

dimenses das variveis de projeto; ( ) a funo objetivo a ser otimizada; ( ) so as m restries de desigualdade ; ( ) = 0 so as p restries de igualdade; so

as restries de domnios e so as restries das variveis (reais, inteiras etc.).

Na aplicao aqui visada, a recuperao, em

funo das dimenses dos vos e pilares, a

funo-objetivo a ser maximizada. As restries

so funes que tambm envolvem essas

mesmas dimenses e so estabelecidas a partir

das condies geomecnicas de segurana,

relacionadas resistncia dos pilares e a vos

adequados, alm de prescries operacionais

e/ou tecnolgicas, tais como rea mnima para

ventilao adequada, gabarito apropriado para

trfego dos equipamentos de carga, dentre

outros.

2.3 Mtodos de dimensionamento

Neste trabalho, foi utilizado, para determinao

dos vos mximos (dos realces), o mtodo

emprico de Mathews-Potvin; para a

determinao da carga total atuante no pilar, a

teoria da rea tributria (TAT) e, para a

determinao da resistncia dos pilares, a

expresso emprica de Mark e Chase (1997).

O mtodo de Mathews-Potvin baseia-se na

determinao de dois fatores (Nmero de

Estabilidade, N, e Fator de Forma, S) os quais,

em conjunto, permitem por meio grfico

delimitar zonas de vos estveis e instaveis,

conforme detalhado em Potvin et al. (1989).

Para a determinao das tenses mdias nos

pilares utilizou-se a teoria da rea tributria. Tal

mtodo, originalmente, baseia-se apenas no

equilbrio esttico segundo a direo vertical. A

tenso mdia resultante nos pilares para

arranjos uniformes de pilares dada por

(

) (1)

Onde a tenso in situ vertical, At a rea

total do jazimento (rea lavrada + rea do pilar)

e Ap a rea do pilar, ambas em planta.

Para realces abertos, devido s geometrias

3D envolvidas, a TAT foi adaptada de forma a

considerar os carregamentos em cada uma das

trs direes principais in situ. Para tanto, foi

imposta a condio de equilbrio de foras

nessas mesmas direes onde

( )( )

( ) (2)

( )( )

( ) (3)

( )( )

( ) (4)

Onde a tenso principal in situ segundo

a direo i (i = x, y ou z) e a tenso mdia no

pilar segundo essa mesma direo i. X, Wx, Y,

Wy, Z e Wz so as dimenses dos pilares e

realces, conforme mostrado na Figura 1.

Figura 1. Arranjo esquemtico de realces abertos e pilares

em 3D.

As tenses principais in situ das equaes

(2), (3) e (4), supostamente, atuam nas direes

x, y e z. Para a direo vertical y, o valor pela

hiptese litoesttica usual (Brady e Brown,

2004) conforme

(5)

Onde o peso especfico das rochas sobrejacentes e zp a profundidade.

Para as direes principais relativas ao plano

horizontal (x e z), o valor estimado como

(6)

(7)

Onde e so coeficientes de empuxo

lateral dados por expresses como as propostas,

por exemplo, por Sheorey (1994).

Para determinao da resistncia do pilar,

formulaes empricas geralmente em funo

da resistncia do prprio minrio, da sua forma

geomtrica (esbeltez) e volume, so utilizadas.

No caso deste trabalho, optou-se pela utilizao

da frmula de Mark e Chase (1997), a qual foi

deduzida analiticamente para pilares

retangulares (a partir de consideraes sobre o

efeito do acrscimo de confinamento que ocorre

no pilar devido ao aumento de uma de suas

dimenses). Essa expresso, baseia-se naquela

originalmente desenvolvida por Bieniawski

para pilares com uma seo resistente quadrada,

que pode ser encontrada em Souza (2011). A

equao final obtida dada por

[ (

) (

)] (8)

Onde a resistncia de um cubo de minrio de volume unitrio.

3 PROPOSIO DO PROBLEMA DE

OTIMIZAO APLICADO A REALCES

ABERTOS

3.1 Formulao

Cada arranjo de lavra tem uma funo-objetivo

de recuperao especfica, que depender da sua

geometria. A Figura 1, apresentada

anteriormente, mostra um arranjo esquemtico

de realces e pilares em 3D com as

nomenclaturas utilizadas nas formulaes

apresentadas a seguir, desenvolvidas

especificamente para o mtodo de lavra por

Realces Abertos.

As letras X, Y e Z representam,

respectivamente, a largura, altura e

comprimento dos realces. As letras Wx e Wy

representam as larguras, segundo x e y,

respectivamente, dos denominados rib pillars

(pilares verticais) e Wz representa a espessura

do pilar horizontal (sill pillar).

O problema padro, mencionado em 2.2, fica

ento dado por

Funo objetivo:

- Maximize: ( ) (9)

Sujeito a:

- Restries de resistncia dos pilares

( ) ( ) (10)

( ) ( ) (11)

( ) ( ) (12)

( ) ( (13)

( ) ( ) (14)

( ) ( ) (15)

- Restrio dos vos mximos dos realces (em

funo dos Raios Hidrulicos das faces)

( ) (16)

( ) (17)

( ) (18)

( ) (19)

( ) (20)

( ) (21)

Onde representa a resistncia do pilar

(segundo cada uma das direes i = x, y e z), FS

o fator de segurana previamente

determinado, a tenso mdia atuante no

pilar na direo i; e HRij corresponde ao raio

hidrulico das faces nos planos ij (xy, xz etc.),

os quais podem ser determinados com base no

baco N x HR do mtodo de Mathews-Potvin.

3.2 Consideraes sobre a recuperao na

lavra por Realces Abertos

A recuperao de um jazimento dada pela

razo entre volume lavrado (Vl), e volume total

(Vt) do corpo mineral. Considerando uma mina

lavrada por realces abertos e pilares, os volumes

lavrado e total so dados por:

( )( )( ) (22)

[( ) ][( )

][( ) ] (23)

Onde nx, ny e nz so os nmeros de pilares

nos sentidos transversal, vertical e longitudinal

(segundo a direo do corpo) respectivamente.

Dessa forma, a recuperao dada por:

( )( )( )

[( ) ][( ) ][( ) ]

(24)

Para o exemplo aqui apresentado, considerou-se

que a espessura do minrio seja integralmente

lavrada, no existindo, portanto, o rib pillar de

largura Wx. Neste caso, a recuperao fica

particularizada como

( )

( )

( )

( ) (25)

Onde (Al)yz a rea lavrada no plano yz e (At)yz

a rea total no mesmo plano. No caso, X a

altura tanto do volume lavrado, quanto do

volume total. Sendo assim, a recuperao fica

particularizada como

( )

( )

( )( )

[( ) ][( ) ] (26)

A seguir, um exemplo de aplicao da

metodologia anteriormente proposta ser

apresentado.

4 EXEMPLO DE APLICAO

O problema de programao no linear descrito

acima foi codificado para resoluo no software

Mathcad 15.0 de forma a maximizar a funo-

objetivo de recuperao. No exemplo

(ilustrativo) a metodologia de dimensionamento

convencional foi utulizada para, com os

resultados iniciais, ser aplicada a metodologia

de otimizao, ou seja, os dados iniciais obtidos

pela metologia convencional serviram como

dados de entrada para o processo de otimizao.

Cabe ressaltar, que na metodologia

convencional, os resultados obtidos seriam

analisados por mtodo numrico e suas

dimenses ajustadas, posteriormente, por

tentativa e erros, o que acarretaria em grande

aumento do tempo dispendido e,

consequentemente, em um aumento dos custos

efetivos do projeto/dimensionamento.

Neste estudo, considerou-se um depsito

tabular, subvertical, com espessura mdia entre

30 e 50 metros, a 250 metros de profundidade.

O fator de segurana (FS) mnimo exigido nos

resultados foi de 1,3. Foram consideradas

apenas condies auportantes para os realces. A

Figura 2 exemplifica a estrutura da mina

considerada.

Como pode ser observado, devido pequena

extenso do corpo segundo o eixo x, a espessura

do minrio ser integralmente lavrada, no

havendo, portanto, o rib pillar de largura Wx. A

Tabela 1 apresenta a dimenso mxima de

realces para espessura do minrio (X) de 30 e 50

metros.

Figura 2. Estrutura da mina considerada.

Tabela 1. Dimenses Y ou Z de realces para 250 metros de profundidade.

Espessura do vo 30 metros 50 metros

Dimenso Y ou Z 108,5 44,3

No dimensionamento dos pilares assumiu-se

para o conjunto de macios ocorrentes nos

mesmos o valor de Q (Barton, 1995 apud Brady e Brown, 2004) igual a 20. A resistncia

desse macio, determinada por meio do critrio

de resistncia emprico de Hoek e Brown (Hoek

et al. 2002), foi fornecida pelo software

RocLab, da RocScience. Para entrada de

dados neste software, o Q foi convertido para o

sistema GSI de Hoek e Brown pela expresso

(Hoek et al., 1995 apud Brady

e Brown, 2004), fornecendo valor de 71. O fator

de dano considerado foi de 0,8, correspondente

detonao de m qualidade. A resistncia

global do macico foi obtida pela equao

(27)

Onde c e so, respectivamente, a coeso e o

ngulo de atrito do macio rochoso,

equivalentes aos parmetros de Hoek e Brown

(Hoek et al. 2002). Dessa forma, valor

assumido como resistncia do macio nos

clculos foi de 25,665 MPa.

Considerou-se as tenses in situ dadas por

um campo gravitacional onde a componente

vertical (v) cresce lineramente com a profundidade z, segundo a equao

v = z (28)

sendo o peso especfico do macio (considerado para clculo como 0,027MN/m

3).

A razo das tenses in situ considerada foi de K

igual a 1.

A Tabela 2 apresenta as dimenses de

largura Y obtidas, considerando os

comprimentos dos realce pr-estabelecidos em

50 e 100 m.

Tabela 2. Largura dos rib pillars para a profundidade de

250 metros.

Espessura do

minrio

Altura do

realce Z = 50m Z = 100m

30

30 20,7 29,5

40 20,7 29,5

50 20,7 29,5

50

30 27,0 37,7

40 27,0 37,7

50 27,0 37,7

Para o calculo do sill pillar, utilizou-se a

TAT para determinao da tenso mdia no

pilar e a frmula de Mark e Chase (1997) para a

determinao da resistncia do mesmo. Os

resultados esto apresentados na Tabela 3.

Tabela 3. Espessura mnima de sill pillar.

Profundidade (m) Espessura mnima do sill pillar

Altura X = 30m X = 50

250

H = 50 20,7* 27

H = 70 24,5* 31,7

H = 90 28,0* 35,8

As dimenses obtidas no dimensionamento

acima apresentado foram avaliadas por meio de

anlises numricas por elementos de contorno

com modelos criados no software Examine 3D

(Rocscience) que mostram resultados em

termos de isofaixas de Fatores de Segurana. As

Figuras 3 e 4 apresentam os modelos para

espessura de minrio, X, de 30 e 50 metros,

respectivamente, onde foi analisada a

estabilidade tanto dos realces, quanto dos

pilares.

X

: 30,0

Wx

: 0,0

Recuperao

67%

Y

: 90,0

Wy

: 28,0

Z: 100,0 Wz: 29,5

Figura 3. Isofaixas de FS obtidas pelo dimensionamento convencional. Espessura de minrio de 30 metros.

X: 50,0 Wx: 0,0 Recuperao

56,7% Y: 44,0 Wy: 25,0

Z: 100,0 Wz: 37,7

Figura 4. Isofaixas de FS obtidas pelo dimensionamento convencional. Espessura de minrio de 50 metros.

4.1 Resultados do processo de otimizao

Como pode ser observado, principalmente

com relao s dimenses dos vos, os fatores

de segurana apresentaram-se extremamente

altos, atingindo valores superiores a 3,

especialmente nos realces menos profundos.

Utilizando-se como dados de entrada as

dimenses obtidas no dimensionamento

convencional, o problema de programao

matemtica no-linear foi codificado para

resoluo com o software Mathcad 15.0,

levando otimizao das dimenses dos realces

e pilares obtidas anteriormente. Os resultados

para espessura de minrio de 30m e 50 m esto

apresentados nas Tabelas 4 e 5,

respectivamente.

Tabela 4. Dimenses (em metros) e recuperao obtidas

pela metodologia de dimensionamento otimizado para

espessura de minrio de 30 metros.

Dados de entrada

(convencional) Otimizado

X 30

Y 90 30

Z 100 120

Wx 0 0

Wy 28 11,7

Wz 29 13,2

Recuperao 67% 75,5%

Tabela 5. Dimenses (em metros) e recuperao obtidas

pela metodologia de dimensionamento otimizado para

espessura de minrio de 30 metros.

Dados de entrada

(convencional) Otimizado

X 50

Y 44 46,2

Z 100 46,2

Wx 0 0

Wy 25 18,8

Wz 37,7 9

Recuperao 56,7% 69,6%

Como pode ser observado, houve um ganho

significativo na recuperao em ambos os

casos.

Assim como para o modelo convencional, as

dimenses obtidas pelo modelo otimizado

foram analisadas por mtodo numrico. Os

resultados encontram-se apresentados nas

Figuras 5 e 6.

X: 30,0 Wx: 0,0 Recuperao

75,5% Y: 30,0 Wy: 11,7

Z: 120,0 Wz: 13,2

Figura 5. Isofaixas de FS obtidas pelo dimensionamento otimizado. Espessura de minrio de 30 metros.

X: 50,0 Wx: 0,0 Recuperao

69,6% Y: 46,2 Wy: 18,8

Z: 46,2 Wz: 9,0

Figura 6. Isofaixas de FS obtidas pelo dimensionamento otimizado. Espessura de minrio de 50 metros.

Como pode ser observado, ambos os modelos

apresentaram, com as dimenses otimizadas,

FSs iguais ou prximos ao limite estabelecido

de 1,3.

5 CONCLUSES

O mtodo proposto uma ferramenta

preliminar para o dimensionamento de vos e

pilares que visa a obteno da mxima

recuperao possvel em cada situao

especfica de mina. Possibilita, ainda,

incorporar a influncia de quaisquer tipos de

restries, sejam geomecnicas, operacionais,

tecnolgicas e, caso desejado, inclusive

relativas a custos, de uma forma simples e

matematicamente consistente. Alm disso,

propicia a realizao de estudos paramtricos

expeditos, nos quais a influncia de

determinadas variveis, como profundidade,

espessura de minrio e at mesmo formulaes

distintas para determinao de carga no pilar,

resistncia, dentre outros, podem ser avaliadas

de maneira precisa e com grande facilidade.

Com base nos resultados obtidos, ficou clara

a vantagem da utilizao do dimensionamento

timo aqui proposto, obtendo-se um ganho

substancial na recuperao, com uma

diminuio significativa do tempo gasto no

dimensionamento, uma vez que necessrio

pouco ou nenhum ajuste nas dimenses obtidas

pela programao matemtica, o que pde ser

comprovado por meio das anlises numricas

por elementos de contorno aqui apresentadas, as

quais permitiram aferir que, para um FS de 1,3,

as dimenses obtidas pelo dimensionamento

proposto foram bastante prximas das

dimenses limtrofes de estabilidade, ou seja,

das dimenses timas permitidas para o macio

analisado.

importante ressaltar, entretanto, que a

resposta do dimensionamento timo depende

diretamente dos dados de entrada, incluindo as

dimenses iniciais a serem otimizadas, bem

como dos mtodos de clculo escolhidos,

sendo, dessa forma, necessria a escolha

cuidadosa dos mesmos, uma vez que cada um

possui suas especificidades e podem ser

aplicados a determinadas caractersticas de

macio e lavra.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho parte da dissertao de mestrado

da primeira autora e contou com o apoio da

FAPEMIG, do Ncleo de Geotecnia da UFOP e

da TEC3 Geotecnia & Recursos Hdricos.

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