Dimensionamento Elementos Esbeltos

8/3/2019 Dimensionamento Elementos Esbeltos

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INSTITUTO

SUPERIOR

TECNICO

I CIS TAv. Rovisco Pais

1049-001 LISBOA

Tel: 841 8245

BeraoArmado e Pre-Esforcado I

Dimensionamento de Elementos Comprimidos Esbeltos

J oao Vinagre Santos

- Dezembro de 1999 -

Relatorio ICIST

DTC n° 22/99

ISSN: 0871-7869



INDICE

1. Introducao 1

2. Conceitos basicos 2

3. Classificacao das estruturas 7

Exemplo 1 14

4. Importancia dos efeitos de 2" ordem 15

4.1. Criterios indirectos de afericao 15

4.1.1. Comprimento efectivo de encurvadura 15

Exemplo 2 22

4.1.2. Limites de Esbelteza 24

Exemplo 3 28

5. Metodos simplificados de avaliacao dos efeitos de 2" ordem 28

5.1. Pilar isolado 29

Exemplo 4 36

5.2. Pilares inseridos em estruturas 37

5.2.1. Estruturas com deslocamentos laterals desprezaveis 37

5.2.1.1. Pilares 37

5.2.1.2. Elementos de contraventamento 39

5.2.2. Pilares em estruturas lateralmente deformaveis 39

5.2.2.1. Metodo da excentricidade adicional. 41

Exemplo 5 43

5.2.2.2. Metodo do acrescimo de forcas horizontals 44

Exemplo 6 49

6. Outros efeitos nao contabilizados na analise 50

6.1. Imperfeicao geometrica 50

Exemplo 7 54

6.2. Fluencia 54

7. Conclus5es 55

Referencias 57

1



Dimensionamento de elementos comprimidos esbeltos

1. Introducao

o calculo dos esforcos de elementos comprimidos de betao armado e urn problema que

envolve imimeras variaveis de diffcil quantificacao e que, caso se pretenda rigor nos

resultados, exige a utilizacao de modelos sofisticados de analise (recurso a analises

ffsica e geometricamente nao lineares).

No entanto, a observacao eo estudo de estruturas correntes permite concluir que, de urnmodo geral, e resultado das baixas tensoes de compressao admissfveis para 0 betao, as

esbeltezas dos seus elementos comprimidos sao moderadas. Como consequencia, as

estruturas apresentam pequenas deformacoes, sendo tambem moderados os efeitos de

2a ordem, associados a existencia de esforcos axiais. Esta conclusao, em paralelo com as

dificuldades inerentes a execucao de analises nao lineares (demasiado morosas para a

utilizacao no projecto corrente de ediffcios), tern motivado a realizacao de estudos

conducentes ao desenvolvimento de metodos simplificados de calculo para a utilizacao

em projecto.

Com este documento pretende-se analisar0problema dos efeitos de 2a ordem em pilares

de betao armado, isolados ou inseridos em estruturas, e apresentar de uma forma

coerente os principais procedimentos adoptados na sua avaliacao.

Em primeiro lugar sao apresentados, sumariamente, os conceitos basicos relativos ao

comportamento de elementos eomprimidos esbeltos. Em seguida, e feito 0 levantamento

dos faetores que maior influencia apresentam no comportamento deste tipo de

elementos e, procurando respeitar a sequencia dos procedimentos usuais de calculo, sao

referidos os principais problemas a que se e conduzido e a forma como sao contornados

1




quando se recorre a metodos simplificados. Finalmente, sao apresentados e

fundamentados os metodos simplificados preconizados pelos principais regulamentos,

realcando e justificando os parametres envolvidos. Sao tambem referidos outros efeitos,

nao contabilizados nas analises lineares, que podem ser responsaveis pelo agravamento

dos esforcos: eventuais imperfeicoes geometricas e 0 efeito da fluencia do betao.

Procurando ajudar a compreender os conceitos e a ilustrar a sua aplicacao em projecto,

sao apresentados, ao longo do texto, alguns exemplos simples.

2. Conceitos basicos

Considere-se urn elemento linear encastrado na base, livre no topo e solicitado por uma

forca axial P (figura 1.a). Admita-se que 0 elemento e perfeitamente elastica e que as

tensoes nele instaladas nao excedem 0 limite de proporcionalidade do material. Se a

carga P e inferior a carga critica, 0 elemento permanece rectilineo ocorrendo unicamente

urn encurtamento axial. Esta forma recta de equilibrio elastico e estdvel pois, caso se

aplique uma forca horizontal que de origem a uma pequena deforrnacao lateral do

elemento, eia tende a desaparecer quando e removida a forca que a originou, voltando 0

elemento a forma inicial rectilfnea (linha 1a da figura l.b). Se a carga P e gradualmente

incrementada, atinge-se uma situacao na qual a forma rectilfnea de equilfbrio se torna

instdvel (linha Ic) e a aplicacao de uma pequena forca horizontal da origem a grandes

deformacoes que nao desaparecem quando a forca e retirada (traject6ria estavel de

p6s-encurvadura, Iinha Ib). A carga critica (ou carga de Euler) e entao definida como

sendo a carga axial associada a transicao entre aqueles estados de equilfbrio,

r< 5 i p

L

1y

y , ; , y

a) b)

Figura 1 • Instabilidade na compressao axial: traject6rias de equilfbrio,

2




A carga critica e as deformacoes laterais do elemento, para cargas superiores a critica,

podem ser ca1culadas com recurso a equacao diferencial da linha elastica, dada por:

r

d2y

dx2 p.y

[ l + ( : r r = + m(1)

1

em que lI r e a curvatura da seccao, EI a rigidez correspondente ao plano de flexao, P 0

esforco axial actuante, x e y a ordenada e ° deslocamento lateral de uma seccao

generica, respectivamente.

Se se admitir que as deformacoes sao suficientemente pequenas, de forma que0

termod2y/dx2 possa ser desprezado quando comparado com a unidade, a equacao exacta (1)

pode ser simplificada, dando lugar a equacao diferencial aproximada

d2yE-

2-=±P.y

dx(2)

cuja solucao e do tipo

y=A cos(kx)+ B sen(kx)(3)

em que A e B sao constantes de integracao e k = = .jP / EI . Embora fiquem indetermina-

das as flechas da configuracao deformada, esta equacao permite, com a introducao das

condicoes de fronteira, obter 0 valor da carga critica de urn elemento esbelto comprimi-

do, elastico perfeito (considerada a mais antiga formula de dimensionamento ronda hoje

em uso, Johnston [10]), dada por

( 4 )

Do recurso a equacao diferencial simplificada resulta urn problema de valores e vectores

proprios (caracterizado pelo facto de as solucoes nao nulas para a variavel dependente

existirem somente para valores discretos de alguns parametres). Os valores dos parame-

tros, para os quais existe solucao, sao denominados cargas criticas (valores proprios) e

as solucoes defonnadas de encurvadura (vectores proprios), sendo somente determina-

vel a forma do vector e nao a sua amplitude. A distancia entre os pontos de inflexao,

nesta deformada, e usualmente designada por comprimento efectivo de encurvadura, Z o .

3




No caso de 0 elemento linear ser submetido a urn momento flector, simultaneamente

com 0 esforco axial de compressao, ocorre uma deformacao lateral desde 0 infcio do

carregamento (curvas 2 e 3 da figura 1). Esta deformacao provoca urn afastamento do

eixo da peca em relacao a sua posicao indeformada dando origem a introducao de esfor-

cos, nas divers as seccoes do elemento, tanto maiores quanto maiores forem 0 esforco

axial e a deformacao. Se 0 elemento e constituido por urn material elastico perfeito, 0

acrescimo continuo de deslocamentos com a carga tended, assimptoticamente, para a

traject6ria fundamental de equilfbrio (curva 2 da figura l.b). Admitindo urn comporta-

mento elastoplastico perfeito (com patamar de cedencia), 0 aumento dos esforcos asso-

ciados ao acrescimo de deslocamentos e a Iimitacao da capacidade resistente do mate-

rial, conduz a que se atinja urn valor maximo adrnissfvel para a carga aplicavel ao

elemento, P~r (curva 3). Para cargas inferiores a P;r e deformacoes inferiores a Y;r' 0

estado de equilfbrio e ainda estavel. Ap6s atingir-se P;r (em que 0 equilfbrio edenominado de indiferente), 0 equilfbrio deixa de ser possivel para cargas superiores,

conduzindo 0 acrescimo de carga a rotura do elemento. 0 valor de P;r e usualmente

denominado por carga limite. A partir deste valor, 0 equilfbrio s6 e possfvel para

deformacoes superiores caso se reduza a carga aplicada (equilfbrio insuively. Dada a

variacao continua da curva de carga-deformacao e usual denominar esta situacao como

sendo urn problema de estabilidade sem bifurcacao de equilfbrio.

Para 0 ago e possivel admitir-se, com uma aproximacao razoavel, urn comportarnento

elastoplastico perfeito e adoptar, no dimensionamento, as regras obtidas de acordo com

a Teoria de 2a ordem (equilfbrio na posicao deform ada) e dos problemas de estabilidade.

o mesmo nao acontece com 0material betao armado cujo comportamento nao e simples

de ser descrito (a relacao constitutiva do betao nso e linear, apresenta comportarnentos

distintos a traccao e a compressao, as deformacoes variarn ao longo do tempo, etc.) e em

que 0 dimensionamento raramente conduz a uma situacao pura de encurvadura: a rotura

dos materiais ocorre a nfveis de tensao muito inferiores aos associados a encurvadura e

os materiais nao apresentam, efectivamente, urn comportamento elastico na rotura. No

entanto, tendo os denominados efeitos de 2a ordem origem num mecanismo semelhante

ao associado a encurvadura e natural que 0 seu estudo e quantificacao sejam efectuados

a partir da analise daquele fen6meno, em estruturas elasticas, procurando transpor as

metodologias assim obtidas para as estruturas de betao.

As analises de 1a ordem (equilfbrio efectuado na posicao indeformada da estrutura) nao

permitem ° calculo dos esforcos associados ao acrescimo de deformacao e a sua nao

contabilizacao, num processo de dimensionarnento, pode conduzir a uma solucao

estrutural com uma capacidade resistente inferior a pretendida no projecto. Em muitas

das situacoes praticas, verifica-se que tais acrescimos sao tao pequenos que podem ser

4



D im en sio na me nto d e e le me nto s c om pr im id os e sb elto s

desprezados. No entanto, e quando e necessario recorrer a utilizacao de elementos

estruturais esbeltos, sujeitos a elevados niveis de compressao, a reducao da capacidade

resistente pode ser muito significativa, tomando-se indispensavel a sua consideracao, A

quantificacao dos efeitos de 2a ordem e 0 estabelecimento de uma fronteira entre as

situacoes em que os efeitos resultantes da esbelteza dos elementos comprimidos sao, ou

nao, importantes e urn assunto que, desde ha varies anos, tern interessado diversos

investigadores e motivado imimeros estudos te6ricos e experimentais, Estes estudos

mostram que os principais parametres que afectam 0 comportamento dos elementos

comprimidos (usualmente designados por pilares ou colunas) de betao armado sao:

- a esbelteza do elemento;

- 0 nivel de esforco axial actuante;

- a excentricidade (relacao entre os momentos e 0 esforco axial) dos esforcos

actuantes nas diferentes seccoes :

- 0 tipo de solicitacao, duracao e magnitude das accoes com caracter de perma-

nencia;

- a forma do elemento;

- as condicoes de fronteira (nas ligacoes a outros elementos ou a fundacao):

- as propriedades e caracteristicas dos materiais (comportamento nao linear dos

materiais, fendilhacao, fluencia, etc.);

- a quantidade de armadura e forma da sua distribuicao na seccao e ao longo do

elemento (armadura constante ou variando de acordo com 0 diagrama demomentos).

Na figura 2 exemplifica-se, num diagrama de interaccao de esforcos resistentes para a

seccao critica de urn elemento comprimido, NRd-MRd, a variacao dos esforcos com a

solicitacao. Para pequenas deformacoes do elemento (pilares muito pouco esbeltos), 0

comportamento e praticamente linear ocorrendo a rotura quando se esgotam as capaci-

dades resistentes dos materiais - ponto A.

Para valores de esbelteza superiores (esbeltezas moderadas), os deslocamentos deixam

de ser desprezaveis, dando origem a acrescimos de esforcos, denominados de 2a ordem.

Estes serao responsaveis pela diminuicao da carga aplicavel a estrutura (NB < NA, na

figura 2), sendo a rotura ainda condicionada pelas capacidades resistentes dos materiais.

Para valores elevados da esbelteza, os acrescimos de deformacao tornam-se muito acen-

tuados (e, consequentemente, elevados os esforcos introduzidos pelo esforco axial) pelo

que 0 elemento se torna instavel para uma carga N c sem que os esforcos resistentes da

seccao sejam atingidos (denominada rotura por perda de estabilidade, ponto C da figu-

ra 2), A correcta avaliacao dos efeitos de 2a ordem associadosadeformacao da estrum-

5



D im en sio na me nto d e e lem en to s c om pr im id os es be lto s

N

(N,M)~NA ···-··· .. ·-·.A.

N B

2(N,M)kr

-- . . . . ------- -.-

. . . . . . . . . . ... (N,M)~

M

Figura 2 - Evolucao dos esforcos, na seccao critica de um elemento comprimido, para diferentes valores

da esbelteza.

ra, no dimensionamento de elementos comprimidos de berne armado exige, pois, 0 re-

curso a modelos sofisticados de calculo, que permitam 0 estabelecimento do equilfbrio

na posicao deformada, envolvendo variaveis de diffcil quantificacao. No entanto, e dado

que na grande maioria das estruturas correntes de betao armado as esbeltezas dos

elementos sao moderadas, bern como os efeitos de 2

a

ordem originados peladeformacao, diversos rnetodos simplificados de calculo tern sido desenvolvidos e

adoptados pelos regulamentos, visando uma maior uniformidade e simplicidade dos

procedimentos de calculo,

De urn modo geral, pode afirmar-se que as regras preconizadas pelos diversos regula-

mentos, para a quantificacao dos efeitos devidos a deformacao no dimensionamento de

elementos esbeltos, inc1uem tres passos fundamentais (figura 3):

1. classificacao das estruturas a partir do estabelecimento do modo de deformacao aque elas irao ficar sujeitas devido ao carregamento;

2. verificacao da necessidade, ou nao, de inclusao dos efeitos de 2a ordem no

dimensionamento (esta verificacao e , geralmente, efectuada por processos

indirectos definidos a partir da classificacao da estrutura, ou dos seus elementos,

e pressupoe a definicao de urn erro considerado aceitavel);

3. caso os efeitos de 2a ordem nao possam ser desprezados, torna-se necessario

proceder a sua avaliacao e inclusao no dimensionamento dos elementos (caso

6




contrario, 0 dimensionamento e efectuado com base nos esforcos obtidos numa

analise de 1a ordem).

Est rutura cons ideradan o s eu co n ju nto

1Cla ss ific ac ao da e s tr utu ra a te nde ndo

ao m o do d e d efo rm acao late ral

I

Ve ri fic ac ao da in flu e nc ia d o sd es lo camen to s d o s n 6s n o s e sfo rc os

(e fe ito s d e 2a ordem)

j

A va li acao , s e nec e ssar io ,

do s e fe ito s de 23

ordem

Figura 3 - Estrutura das regras regulamentares na analise do problema dos efeitos de 2a ordem em

estruturas de ediffcios.

Seguidamente, e procurando respeitar a ordem atras estabelecida, sao apresentados e

discutidos os pontos fundamentais que conduziram as propostas regulamentares para a

solucao do problema. Sao realcados e justificados, quando necessario, os principais

parametres envolvidos nos diversos criterios de decisao.

3. Classificacao das estruturas

Para compreender as regras estipuladas nos c6digos actualmente em vigor

(REBAP [13], Euroc6digo 2 [8], Model Code 90 [6]), e necessario ter uma ideia dos

principais modos de deformacao que os elementos estruturais comprimidos podem apre-

sentar. Genericamente, sao possiveis dois modos de deformacao: por deformacao dos

pilares, sem envolvimento da deformabilidade lateral da estrutura, ou por deslocamento

lateral de toda a estrutura (figura 4).

Estes dois modos de defonnabilidade dao origem a diagramas de momentos flectores

consideravelmente diferentes nos pilares da estrutura, bern como a efeitos de 2a ordem

distintos (em distribuicao e em intensidade). No entanto, a principal caracteristica que

os distingue e 0 facto de 0modo de deformabilidade lateral influenciar todos os pilares

de urn dado piso enquanto que, no segundo modo de deformacao arras deserito, 0 pro-

blema poder cireunscrever-se a urn unico elemento. as c6digos acima citados, tendo

como base 0modo de deformacao a considerar para a estrutura, classificam-nas comopossuidoras de deslocamentos laterais desprezaveis ou nao (sway ou non-sway na termi-

7




nologia inglesa, traduzida, na regulamentacao nacional, como de n6s fixos ou de nos

moveis, respectivamente) e como contraventadas ou nao contraventadas (braced ou

unbraced).

q N~q

t I t t l i I I ItH

a) b)

Figura 4 - Modos de deformacao de pilares inseridos em estruturas: a) estrutura com deslocamentos

laterais desprezaveis; b) na o desprezaveis,

Como se compreende, a total indeslocabilidade dos nos da estrutura nao passa de uma

mera hipotese de calculo, ja que ira sempre ocorrer alguma deformacao lateral. Por esta

razao a designacao adoptada no REBAP [13], art" 58°, tern sofrido alguma contestacao,

No presente texto, e para efeitos daquela classificacao, optou-se pela designacao acima

indicada (estruturas com deslocamentos laterais desprezaveis), quando os deslocamen-

tos, sendo pequenos, dao origem a efeitos de 2a ordem desprezaveis.

A distincao, entre aquelas duas categorias de estruturas, apresenta imimeras dificuldades

associadas a contabilizacao do impedimento ao deslocamento lateral que os elementos

verticais de contraventamento conferem e a quantificacao do que se entende por despre-

zavel. Urn conceito simples, e de consenso generalizado, e 0 de que se uma estrutura

porticada de betao armado possuir elementos de grande rigidez, estes poderao impedirque, apos a deformacao da estrutura devido ao carregamento, 0 deslocamento horizontal

relativo entre pisos (usualmente denorninado por inter-storey drift) seja significativo.

Alem disso, a estabilidade da estrutura e bastante melhorada pela introducao daqueles

elementos, passando a ser eles os responsaveis pela resistencia a totalidade (ou quase)

das solicitacoes horizontais: vento, sismo, etc. Nesta situacao, a hip6tese de indeforma-

bilidade lateral dos n6s extremos dos pilares pode facilmente ser admitida.

Surge, assim, a necessidade de diferenciar 0 comportamento das estruturas com ou sem

elementos de contraventamento (paredes resistentes, micleos rigidos, trelicas verticais,etc.) e estabelecer os seus criterios de verificacao da seguranca. No que respeita a uma

8




definicao, os diversos c6digos (§4.3.3.2 do EC2 [8], §6.6.3.1.2 do MC90 [6]), conside-

ram como elementos de contraventamento os elementos estruturais com uma elevada

rigidez a flexao e/ou ao esforco transverso, distribuidos de forma razoavelmente sime-

trica na estrutura e que estao total ou parcialmente encastrados ao nivel da fundacao,

Um elemento de contraventamento, ou urn sistema de elementos de contraventamento,

deve ser suficientemente rigido para receber e transmitir as fundacoes a quase totalidade

(90 a 100%) das forcas horizontais que actuam sobre a estrutura e para assegurar a esta-

bilidade do conjunto contraventado.

Quando submetidos as accoes horizontais, e resultado da sua elevada rigidez, estes

elementos apresentam urn comportamento global semelhante ao de uma consola (em

virtude de os restantes elementos verticais pouco ou nada contribufrem para a resistencia

da estrutura, figura 5) e asseguram a estabilidade do conjunto. As estruturas possuidorasdeste tipo de elementos sao classificadas de contraventadas.

F;;n\f,;,<~giJJ !-,t<--a--+

Diagramademomentos flectores

Figura 5 - Estrutura parede: comportamento global, devido a s solicitacoes, identico ao de urna consola.

Os eventuais efeitos de 2a

ordem a considerar no dimensionamento da estrutura iraodepender da grandeza dos deslocamentos laterais por ela sofridos. A existencia de

elementos de contraventamento, dadas as suas caracterfsticas, permite concluir que:

1. a grande diferenca de rigidez destes elementos face aos restantes, impede a OCOf-

rencia de grandes deslocamentos entre pisos podendo desprezar-se a

contribuicao da deformacao lateral da estrutura no acrescimo dos esforcos dos

pilares;

2. no caso de 0 deslocamento global do topo da estrutura nao poder ser consideradodesprezavel, dando origem a efeitos de 2a ordem relevantes, estes sao transmiti-

9




dos atraves dos elementos horizontais (vigas, lajes) para os elementos de contra-

ventamento. Na figura 6 ilustra-se este efeito num portico de urn piso. Os pilares,

por nao contribufrem para a resistencia horizontal, podem considerar-se rotula-

dos, originando a transmissao da totalidade dos efeitos de 2a ordem para 0

elemento de contraventamento.

H

- - -

a) b)

Figura 6 - Estrutura contraventada: a) modele de comportamento para as accoes horizontais; b) trans-

missao dos efeitos de 2" ordem para 0elemento de contraventamento.

Dada a grande rigidez dos elementos de contraventamento eles sao, regra geral, dimen-

sionados a partir dos esforcos obtidos numa analise linear de 1a

ordem. No entanto, equando a altura da construcao e elevada, a deformabilidade horizontal da estrutura au-

menta, podendo os efeitos de 2a ordem tomar-se significativos. 0 termo significativo e

normalmente definido, neste contexto, como a situacao em que os deslocamentos

laterais da estrutura originam urn incremento nos momentos maximos em mais de 10%

relativamente aos calculados numa analise de l" ordem (equilfbrio efectuado na posicao

indeformada da estrutura).

o criterio adoptado por diversos regulamentos, para aferir a importancia dos efeitos de

2a ordem em estruturas contraventadas, e 0 de limitar 0 denominado pararnetro de insta-

bilidade, a",a determinados valores. Este parametro e definido pela expressao

( 5 )

em que htot e a altura total da estrutura acima da fundacao (ou acima do 1° piso nao

deformavel), 'LEcm1c e a soma da rigidez de flexao, calculada em fase nao fendilhada,

de todos os elementos de contraventamento e "L ,Fv a soma de todas as accoes verticais,

nao majoradas, actuantes na estrutura (nos elementos de contraventamento enos

10




subconjuntos contraventados). A condicao limite, para a nao inclusao dos efeitos de

2a ordem no dimensionamento, e dada por

com

{

0.2 +Oiln se n : s ; 3

11=0.6 se n ~ 4

(6)

(7)

em que n eo mimero de pisos da estrutura. Os valores limite de C t k > variando entre 0.3 e

0.6, podem ser obtidos assemelhando 0 comportamento da estrutura ao de uma consola

com eargas na extremidade - para estruturas de urn piso - ou com eargas uniforme-

mente distribufdas - no easo de ediffcios altos (figura 7).

Consola sujeita acargas concentradas

Estruturacontraventada

Consola sujeita acargasClisbibtrldas

N - 7.837EIerr: 2

htet

J;f ) = Hh~t"'W 8EI

(N= P . h tet ; H= w . h tot )

Wi u.- - - -

- -I1

- 1 - - hto t

- - - 1 - - 11tet

1N _ 2.467EI

cr- 3 h~t

O ( f f ) : : ; : Hh~f

3EI

Devido aos efeitos de 2a ordem, 0 desloeamento do topo da consola val ser incremen-

tado sendo ° acrescimo, admitindo uma deformada do tipo sinusoidal, dado por

Figura 7 - Comportamento da estrutura contraventada.

NO(N)=-·8N tot

cr

(8)

11




o deslocamento total sera igual a soma desta parcela com 0 deslocamento devido as

accoes horizontais

10tot :=; 8(H )+ 8(N )= N ' 8(H )

I--Ncr

(9)

em que 0 termo 1/(1 ~NINer) 6 0 denominado factor de amp Iific acao. Introduzindo os

valores da carga crftica obtidos pela teoria de estabilidade elastica (figura 7) e preten-

dendo-se garantir que os momentos de 2aordem nao excedam a condicao

(10)

e-se conduzido, por simplificacao das expressoes assim obtidas, a

consola de 1 piso: hrot iN ~0.51~Ei

(11)

consola de n pisos: hrot IN s 0.94~Ei

(12)

Sendo a verificacao da seguranca efectuada relativamente a urn estado limite ultimo, as

accoes sao majoradas por coeficientes de seguranca (em geral, Yp=I.5) e a rigidez da

estrutura 6 inferior a elastica devido a fendilhacao (6 usual adoptar urn coeficiente de re-

ducao da ordem dos 0.7). Introduzindo estes valores nas condicoes anteriores, resultam

os limites de 0.35 e 0.64, respectivamente. A analise de situacoes intermedias (2, 3, 4 e

5 pisos), aplicando a mesma metodologia, mostra que a partir de 4 pisos 0 valor limite

apresenta uma variacao muito pequena, tendo-se adoptado a condicao expressa em (7).

A existencia ou nao de elementos de contraventamento e a maior ou menor

sensibilidade da estrutura a deslocamentos horizontais conduzem a sua classificacao em

tres categorias distintas. Os procedimentos regulamentares preconizados para cada umadestas categorias sao de urn modo generico os seguintes:

I. Contraventada e de deslocamentos laterais desprezaveis. Se, devido a grande

rigidez dos elementos de contraventamento, for desprezavel a influencia da

deformabilidade lateral da estrutura, aqueles podem ser dimensionados a partir

dos resultados de uma analise de 1a ordem. No que respeita aos subconjuntos de

pilares por eles contraventados, os eventuais efeitos de 2aordern, que af possam

ocorrer, estao relacionados com a deformacao local do pilar (regra geral, de

menor dimensao e, consequentemente, de menor importancia) podendo nao

12




envolver mais nenhum elemento. Torna-se, assim, necessario pro ceder somente a

essa verificacao (identica a de urn elemento isolado).

2. Contraventada e de deslocamentos laterais nao desprezaveis. Na situacao de des-

locamentos globais da estrutura significativos (deslocamento relativo entre 0

topo da estrutura e a fundacao ou 0 primeiro piso nao deformavel) a elevada

rigidez dos elementos de contraventamento da origem a deslocamentos entre

pisos consecutivos (inter-storey drift) desprezaveis. Por esta razao, e razoavel

admitir que, para a verificacao da seguranca dos pilares da subestrutura

contraventada, os nos extremos destes elementos nao sofrern qualquer

deslocamento horizontaL A semelhanca da categoria anterior, deve somente

proceder-se a verificacao local dos possiveis efeitos de 2a ordem. Relativamente

aos elementos de contraventamento torna-se necessaria a execucao de umaanalise de 2a ordem, havendo tarnbem que garantir a resistencia destes elementos

aos possiveis efeitos de 2a ordem gerados pelos subconjuntos contraventados.

3. Nao contraventadas, As estruturas que nao possuam elementos de contraventa-

mento sao, de uma forma geral, classificadas de lateralmente deformaveis,

devendo ser dimensionadas em conformidade (estruturas sensiveis a efeitos de

2a ordem). No entanto , quando 0 nfvel de esforco axial da generalidade dos

elementos verticais nao e elevado e/ou as suas esbeltezas sejam reduzidas, os

efeitos de 2a ordem devido a deslocabilidade lateral da estrutura podem ser

desprezaveis, nao havendo necessidade de os contabilizar.

N Estrutura sensivel a efeitos de 2" ordem.

:::>------1 Avaliacao dos efeitos atraves de analise

global da estrutura

N Elem. de contraventamento: analise de 2" ordem.

~----1 Pilares - sao considerados contraventados; proceder

apenas a verificacao da deformacao local

Elementos de contraventamento: analise de I" ordem

Pilares: sao considerados contraventados; proceder

apenas a verificacao da deformacso local

Figura 8 - Procedimentos regulamentares preconizados na analise dos efeitos de 2a ordem em estruturas

de ediffcios.

13




A classificacao da estrutura 6 urn dado irnportante na orientacao do estudo sobre a rele-

vancia dos efeitos de 2a ordern mas, como se conclui dos paragrafos anteriores, s6 se

tom a conclusivo quando associado a definicao (quantificacao) do termo desprezftvel.

Exemplo 1

Considere a estrutura apresentada na figura seguinte (planta e alcado), executada num

betao C20/25 e em aco S400NR. Admita que as cargas permanentes e a sobrecarga de

utilizacao sao assimilaveis a cargas uniformernente distribuidas de 8.0 kN/m2 e

2.0 kN/m2, respectivamente. Verifique se os elementos verticais de contraventamento

(paredes de betao armado com 0.2Ox2.00 mxm) tornam desprezavel a influencia da

deformabilidade lateral da estrutura, segundo arnbas as direccoes,

T5.00

t- -- --

T3.00

+.00

+.00

+3.00

. . . L

II

II

------LL-----------n------II

II5.00

1

Segundo a direccao X, a estrutura apresenta elementos de grande rigidez (paredes de

betao armado com O.20x2.00 mxm). A aplicacao das expressoes (5) e (6) a estes

elementos conduz a

I--.00-+---6.00--1 I--.00---+---6.00--1

Figura 9 - Exemplo 1: geometria (planta e alcado),

h r o t = 12.0m

7 J : : : : 0.2 + o . 1 n }=> 7 J : : : : 0.6

n=4

LN(nao majorado) = (8.0+2.0)x(I2.0+ 10.0)x4.0;:;;: 4800kN

_ 0.2 X 2.03 _ 66 7 E 3 1 . 1 t . 7 2LEI paredes - 29.0E6x4x 12 -154. I<.Hm

donde

14




IN ~ 4800--'---- =12.0x =0.21$0.6IE1paredes 15466.7 E3

concluindo-se que a estrutura apresenta deslocamentos laterais desprezaveis segundo a

direccao X.

Segundo a direccao Y, como a estrutura nao apresenta elementos de contraventamento e

automaticamente classificada como estrutura de deslocamentos laterais nao

desprezaveis.

4. Importancia dos efeitos de 2a ordem

4.1. Crlterlos indirectos de aferh;ao

A metodologia correntemente adoptada no projecto de estruturas de betao armado

(dimensionamento dos elementos com base nos esforcos obtidos numa analise elastica

de 1a ordem) obriga a existencia de criterios que permitam, de uma forma simples e coe-

rente, proceder a avaliacao da importancia, ou nao, dos efeitos de 2a ordem. Estes

criterios, expressos nos diferentes codigos, baseiam-se na aceitacao dos esforcos

elasticos como esforcos de dimensionamento dos elementos, desde que a capacidade

resistente da estrutura nao fique reduzida em mais de 10%.No entanto, esta avaliacao na

fase de projecto nao e, em estruturas de betao annado, urn problema simples. Em

virtude de 0 ntimero de parametres intervenientes no fen6meno ser elevado, nao e

possivel estabelecer urn criterio de aplicacao geral. Muitos investigadores tern efectuado

estudos conducentes a seleccao dos parametres que maior influencia apresentam no

comportamento das estruturas aos efeitos de 2a ordem e dos valores que estes assumem

nas situacoes limite. 0 objectivo e conseguir estabelecer, a partir deles, de forma

criteriosa e segura, a fronteira entre as duas regioes: efeitos de 2a ordem desprezaveis ou

nao.

Dado 0 importante papel que apresenta no comportamento de elementos elasticos

comprimidos, a primeira escolha recaiu sobre 0 coeficiente de esbelteza, A . . , definido

como sendo a relacao entre 0comprimento efectivo de encurvadura de urn elemento e 0

raio de giracao da sua seccao,

4.1.1. Comprimento efectivo de encurvadura

Os metodos indirectos de avaliacao dos efeitos de 2a ordem (desenvolvidos a partir da

analise de urn pilar biarticulado), ao exigirem 0 calculo da esbelteza dos elementos pres-

15




supoem 0 conhecimento do comprimento efectivo de encurvadura, 10, Este e definido

pela distancia entre pontos de momenta nulo da distribuicao final de momentos, ao

longo do elemento, na ocorrencia de instabilidade. De uma forma simplificada, 0

comprimento efectivo de encurvadura pode ser interpretado como sendo 0 comprimento

de urn pilar biarticulado cujos extremos coincidem com as secedes de momento nulo do

pilar em estudo, figura 10, sendo usualmente expresso ern funcao do comprimento livre

do pilar, pel a relacao

(13)

q\

I

\I

I

I01

L

1Figura 10 - Cornprirnento efectivo de encurvadura de urn elernento cornprimido.

o caso mais simples, e que se encontra devidamente analisado na literatura, e 0 de urn

pilar isolado solicitado axialmente, com condicoes de ligacao nos extremos bern

definidas e admitindo urn comportamento perfeitarnente elastico para os materiais. Na

figura 11 apresentam-se as solucoes obtidas para pilares isolados quando se consideram

diferentes condicoes de apoio.

Numa estrutura generica, mesmo considerando ser valido admitir urn comportamento

elastico perfeito para os materiais, a resposta dos pilares fica dependente de imimeros

factores, pelo que se torna necessaria uma analise mais rigorosa. A determinacao

correcta do cornprimento de encurvadura dos pilares s6 pode ser efectuada tendo em

consideracao os diversos parametres que condicionam a deformacao da estrutura em

regime nao linear (ffsico e geometrico), sob os efeitos das accoes que a solicitam. No

entanto, ele pode continuar a ser definido pela distancia entre os pontos de inflexao da

deformada (reais ou fictfcios se exteriores ao pilar), figura 12.

16




Comprimentos

efectivos deencurvadura

teoricos

t t t t t 4

I

lo0.5 0 .7 1.0 1.0 2 .0 2 .0=-

L

Deslocamento transversal .Impedido Nao impedido

dos nos extremos

Figura 11 - Cornprimento efectivo de encurvadura de elementos isolados com diferentes condicoes de

apoio (Johnston [9]).

I1 0

1

Pontos de

L

11 0

--I

Deslocamentos laterais

dos nos n a o impedidos

L

Deslocamentos laterais

dos nos impedidos

Figura 12 - Comprimento efectivo de encurvadura: estruturas lateralmente deformaveis ou nao

(Johnston [9]).

o recurso ao comprimento efectivo de encurvadura e, desde hi muito, pratica corrente

no dimensionamento de p6rticos metalicos ou de betao armado. Em teoria, os factores 17

da equacao (13), para colunas inseridas em estruturas com deslocamentos laterais

desprezaveis ou nao, podem ser determinados rigorosamente por uma analise de

estabilidade do sistema estrutural, tendo side desenvolvidos diversos metodos (Lu,

17




1962; Kavanagh, 1962; Johnston, 1976). Infelizmente, uma tal analise nao e pratica, em

virtude de exigir programas de calculo automatico especfficos, regra geral nao dis-

ponfveis, demasiado exigentes (em consumos de tempo e meios) e com diversas

Iimitacoes quanta a aplicabilidade em estruturas de betao armado. Assim, e tendo em

vista a utilizacao em projecto, sao desejaveis tecnicas de mais simples aplicacao. Destas,

a que mais se generalizou foi, sem duvida, ados abacos de Jackson e Moreland [9].

Os modelos adoptados na determinacao dos factores 1 7 , de urn pilar inserido em estrutu-

ras com, ou sem, deslocamentos laterais dos nos impedidos, sao os representados na

figura 13.

a)

~Na a

b)

Figura 13 - Modelos de calculo para a determinacao dos factores 17 (Johnston [9]): a) estruturas com

deslocamentos laterais desprezaveis; b) estruturas com deslocamentos laterais nao despreza-

veis.

Os modelos consistem num pilar (referido por P2 na figura), para 0 qual se pretende

determinar 0 comprimento efectivo de encurvadura, cujas deformacoes sao restringidas

18



D im en sio na men to d e elem en to s c om pr im id os e sb elto s

por dois pilares de continuidade e quatro vigas concorrentes nos seus nos extremos. As

hipoteses simplificativas adoptadas no estudo foram as seguintes:

- todos os elementos possuem seccao constante ao longo do seu comprimento e

apresentam urn comportamento elastico perfeito;

- os esforcos axiais nas vigas sao desprezaveis;

- os nos de ligacao (A e B na figura 13) sao rigidos;

- as extremidades das vigas estao sujeitas a rotacao, de igual valor absoluto, apre-

sentando 0 mesmo sinal ou sinais contraries (deformada de dupla curvatura ou

de curvatura simples) consoante a hipotese, ou nao, de deslocabilidade lateral da

estrutura (figura 13);

- os parametres de instabilidade (dados pela relacao L .J Ncr 1 El ) sao iguais para

todos os pilares (instabilizacao simultanea),

Com base nestas hipoteses foram deduzidas as equacoes que permitem determinar 0

comprimento efectivo de encurvadura relativo ao comprimento do pilar s n = lolL) entre

extremidades te6ricas (Johnston [9]). Assim:

• Elernento com deslocamentos laterais dos nos extremos desprezaveis

(C X ] C X 2 ) . ( 7 r Y + ( C X ] +

C X2 ) . [ 1 - 7r11J ] + 2tan(nl1]) - 1 = 0 (14)

4 T l ) 2 tan(7r /1]) rr 11]

• Elemento com deslocamentos laterais dos n6s extremos nao desprezelveis

(X ]c x2 (rr/1J ? -36

6(C X 1 + C X 2 )

7 r11J =0

t an(7 r 11 ])(15)

em que

(16)

eo parametro, relativo a cada uma das extremidades do pilar, dado pela relacao entre a

soma da rigidez de flexao dos n pilares que concorrem no no e a soma da rigidez das m

vigas que af tambem concorrem.

A solucao das equacoes (14) e (15) e usual ser apresentada na forma grafica da figura 14

(abacos de Jackson e Moreland [9]), em que as expressoes analiticas equivalentes a

estes abacos sao as seguintes:

19




0:1

s 8 : ' 610.0

5.0

4. 0

3. 0

1]

00

100.0

S O . O

30.0

20.0

1]

00

50.010.0

5.0

4. 0

3.0

001 .0 00

10.0

2.0

l.0

10.0

B .O

7.0

6.0

S .O

4 .0

3.0

2.0

1. 0

0.0

a) Elementos com deslocamentos

laterals desprezaveis

b) Elementos com deslocamentos

laterais nao desprezaveis

1]=7.5+4(aj +a2)+1.6aja2

7.5+ (aj +az)

Figura 14 . Comprimento efectivo de encurvadura. Abacos de Jackson e Moreland [9].

20

• Elemento com deslocamentos laterais dos nos extremos nao desprezaveis

100.0

S O . O

30.0

20.0

5.0

4. 0

(17)

(18)

Outros autores, Cranston [7], partindo das hipoteses subjacentes a elaboracao dos aba-cos de Jackson e Moreland e tendo tambem por base a teoria da estabilidade elastica,

deduziram expressoes que constituem uma envolvente superior dos valores do compri-

mento efectivo de encurvadura. Estas expressoes, dependendo do mesmo tipo de para-

metros, apresentam a vantagem de serem de mais simples utilizacao, tendo side

adoptadas por diversos regulamentos (entre os quais 0 REBAP [13]). Assim, e para as

duas hip6teses de deslocabilidade horizontal da estrutura (e consequentemente dos n6s

extremos dos elementos) tem-se:

0.9

2.0

O .B

10.0

8.0

7.0

6.0

5.0

3.0

1 .0 1. 0

0.8

0.7

0.6

0.5

0 0 43.0

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

4 .02.0.7

0.3 0 . . 3 2.0

0.61. 5

0.2 0.2

),0

0.1 0.1

0.5 0.0.0 0.0

• Elemento com deslocamentos laterais dos nos extremos desprez3.veis

1] = = O.64+1.4(aj +a2)+3a]a2

1.28+2(aj +a2)+3aja2




• Elemento com deslocamentos laterais dos nos extremos desprezaveis

(l9.a)

7J=min O.85+0 . 05amin (19.b)

1 .0(l9.c)

• Elemento com deslocamentos laterais dos n6s extremos nao desprezaveis

(20.a)

(20.b)

Algumas das hip6teses adoptadas para a deducao do comprimento efectivo de encurva-

dura sao, naturalmente, discutiveis e nao se adaptam a grande maioria das situacoes pra-ticas. Diversos autores, tendo em vista uma melhor cobertura das situacoes correntes,

analisaram a influencia, de alguns parametres, nas solucoes obtidas e propuseram a

introducao de pequenas alteracoes por forma a melhorar a qualidade dos resultados. De

entre elas podem destacar-se:

- se as condicoes de ligacao nas extremidades mais afastadas das vigas forem

diferentes das anteriormente definidas havera que afectar a rigidez da viga em

causa de urn coeficiente ab de acordo com os valores apresentados no quadro 1

(Johnston et al. [11]). 0 EC2 [8] tern em conta esta proposta de forma

simplificada: 0 coeficiente ab e considerado igual a 1 .0 ou 0.5 no caso da

extremidade oposta da viga se tratar de urn encastramento (perfeito ou elastico)

ou de articulacao, respectivamente~ independentemente do tipo de deformacao da

estrutura.

Quadro 1-Coeficiente corrector da rigidez da viga, c x b '

Tipo de ligacao da extremidade l X t J

mais afastada da viga Pilar com deslocamentos laterais Pilar sem deslocamentos laterals

dos n6s extremos impedidos dos n6s extremos impedidos

Encastramento perfeito 2.00 0.67

R6tula 1.50 0.50

- para pilares com uma das extremidades livre ou assimilavel a uma rotula (sem

transmissao de momentos), 0 coeficiente 11e definido a partir do coeficiente de

rigidez da outra extremidade, a, pela expressao:

21




11=2 .0+ O.3a

- para pilares ligados a elementos de fundacao, e possfvel ainda 0 recurso aos

abacos de Jackson e Moreland, desde que se adoptem valores aceitaveis para a

rigidez da ligacao a fundacao. Cranston [7] aconselha que se adoptem os

seguintes valores (aceites pelo REBAP [13]):

a= 0.0, no caso de sapatas que confiram ao pilar encastramento perfeito (rna-

cicos de grandes dimens5es);

a= 1.0, no caso de sapatas que confiram ao pilar encastramento parcial;

a = 10.0, no caso de sapatas cuja ligacao nao assegure transmissao de mo-

mentos.

A determinacao do comprimento efectivo de encurvadura pennite 0 calculo da esbeItezados elementos, pararnetro em funcao do qual sao estabelecidos os criterios de dispensa

ou nao dos efeitos de 28 ordem.

Exemplo 2

Calcule a esbelteza dos pilares das estruturas apresentadas na figura 15, adoptando as

expressoes preconizadas pelo EC2 [8].

150 kN 150kN 300kN 150 kN

~ 35 kN/m I 35 kN/m I II ! I I I I I ! I ! ! I I I I ! I ! ! I t

002017B - T0 ° . 60 0 ° . 60 0 ° .604.00 00.20

0.20 l_ 0.20 0040 0.200040

17-

" " " '"

--12.00 I . . 6.00 · 1 I 6.00 I 6.00_j

I I I

Figura 15 - Exemplo 2: geometria e accoes das estruturas.

Resolucao:

Estrutura 1 - estrutura de deslocamentos laterais desprezaveis

Para a extremidade 1 do pilar (encastramento) pode considerar-se

22

(21)




embora, em projecto, por ser mais gravoso, se adopte muitas vezes (X] = 1.0, correspon-

dente a urn encastramento parcial.

Para a extrernidade 2 resulta:

Ipa -.;;::..2 X 0.43-.;;::.10.67E-4m4; Lpil ==4.0m

12

donde

a = ( f l i l = 1O.67E -4x 6.0 = 0.442 ( ! _ l . 4.0 36.00E-4

L 1 9

1 1 0.64+1.4x(0.0+0.44) -.;;::..58

1.28+2x0.0+ 0.44)

resultando

A , : : : :1 0

m = 0.58x4.0xm -.;;::.0.1h 0.4

Neste resultado e de salientar que a existencia de uma viga em consola (na

extremidade 2 do pilar) em nada afecta a esbelteza do elemento, pois ela nao contribui

com qualquer restricao a rotacao da extremidade do pilar. Da mesma forma, a

contribuicao para as restricoes a rotacao das extremidades dos pilares, por eventuais

vigas perpendiculares ao plano do p6rtico, nao sao consideradas dada a pequena rigidez

a torcao destes elementos.

Estrutura 2 - estrutura de deslocamentos laterals nao desprezaveis

Atendendo que a inercia do pilar e das vigas e igual a dos elementos da Estrutura 1,

resulta para 0pilar central:

( f ) P i l 1O.67E-4 1

a2 = = L ( ! _ l : : : : 4.0 x (36.00B - 4 + 36.00B - 4 ) = 0.22

L ~ ~O ~O

23




17= 7.5+4x(0.O+O.22) = 1.0427.5+(0.0+0.22)

resultando

A= lom 1.042x4.0xm =36.1

h 0.4

Como se pode constatar, 0 mesmo pilar (de iguaI comprimento e seccao) apresenta

distintos valores de esbelteza consoante as restricoes a rotacao dos nos extremos eo tipo

de estrutura em que esteja inserido (com ou sem deslocamentos laterais desprezaveis).

4.1.2. Limites de Esbelteza

A quase totalidade dos conceitos, actualmente aplicados ao problema da encurvadura de

estruturas de betao, tiveram origem nas solucoes adoptadas para as pecas metalicas

comprimidas. 0 paralelismo da metodologia adoptada tern origem no facto de 0proble-

ma ser, basicamente, 0 mesmo. As principais diferencas situam-se ao nfvel da

capacidade resistente dos materiais (a muito maior resistencia do ago permite a

execucao de pecas muito mais esbeltas) e no seu comportamento (comportamento

elastoplastico para 0 a 90 e acentuadamente nao linear, com ductilidade limitada, para 0

betao).

Somente em 1967, no eBB n° 77 [3], e consagrado 0 conceito de pilar padrao, tendo

side tambem introduzida a diferenciacao entre 0 comportamento de elementos com ou

sem deslocamentos laterais dos seus nos extremos. A analise do comportamento de pila-

res isolados para estas duas categorias permite, entre outras, as seguintes constatacoes:

- 0 comportamento (amplitude de deslocamentos transversais da deformada) de

elementos com e sem deslocamentos laterais das suas extremidades e semelhante

para identicas esbeltezas. Na figura 16exemplifica-se esta afirmacao para 0 casode urn elemento com comprimento efectivo de encurvadura igual ao seu compri-

mento real. Por esta razao foi adoptada a mesma esbelteza limite para as duas

hipoteses de deslocabilidade transversal dos n6s do elemento.

urn pilar biarticulado (elemento com deslocamentos laterais dos n6s impedidos),

quando solicitado por momentos de igual ou de sinal contrario nas suas extremi-

dades, apresenta deformadas de simples ou dupia curvatura, respectivamente.

Os deslocamentos laterals das seccoes interiores, na hipotese de momentos de

sinal contrario, sao claramente inferiores, conforme se ilustra na figura 17.

24




Como con sequencia, os efeitos de 2a ordem, introduzidos pela existencia de urn

esforco axial, sao inferiores podendo permitir-se, nesta situacao, maiores

esbeltezas aos elementos.

Deslocamentos laterais dos n6s:

a) desprezaveis

I= 1 0

1

b) nao desprezaveis

tP

Figura 16 - Semelhanca da deformada de pilares, com a mesma esbelteza, com deslocamentos laterais

dos nos extremos desprezaveis au na o,

1L=10

1

a mdx > 8mQX1 2

J . l .

t1M~ > t1M~

Figura 17 - Influencia nos efeitos de 28 ordem da defonnada associada ao carregamento.

o estudo do comportamento do pilar biarticulado e os dois aspectos anteriores conduzi-

ram as seguintes propostas para as esbeltezas limite de pilares com deslocamentos

laterais dos n6s extremos desprezaveis ou nao (proposta esta adoptada pelo

REBAP [13]):

25




pilares com deslocamentos laterais dos nos desprezaveis:

piIares com deslocamentos laterais dos nos nao desprezaveis: 35.0

em que M S d e M ~d representam os valores de calculo dos momentos actuantes nas ex-tremidades do pilar (designadas por a e b, respectivamente), supondo-se I M s d l ? : : I M s d [ .

A principal vantagem da utilizacao da esbelteza do elemento como factor de decisao da

importancia ou nao dos efeitos de 2a ordem reside na simplicidade dos calculos subja-

centes a sua determinacao. Embora 0 coeficiente de esbelteza seja representativo do

comportamento nao linear de uma estrutura, a nao inclusao, nos criterios de decisao, de

outros parametres determinantes no comportamento das estruturas de betao armado e

criticavel. Esta conclusao motivou a execucao de diversos trabalhos de investigacao

com 0 objectivo de propor novos parametres de decisao e respectivos limites, dos quais

se destaeam os de Menegotto e Via [12]. Estes autores propuseram que 0 parametro

limite passasse a englobar, alern do coeficiente de esbelteza, dois dos faetores que

consideraram mais importantes no comportamento dos elementos: a resistencia a

compressao do betao,fcd' e 0 esforco normal reduzido actuante, definido por

NV - SdSd -

Acfcd(22)

A partir de consideracoes te6ricas sobre 0comportamento dos pilares conclufram que tal

relacao pode ser considerada proporcional a denominada esbelteza equivalente, ) . . . J V . Aposterior execucao de testes analfticos conduziu a seguinte proposta (adoptada pelo

EC2 [8]):

{

15c sev <0.36

Alim = '\IV

25 se v »0.36

(23.a)

(23.b)

Relativamente a influencia, na deformada do elemento, das diferencas na excentricidade

da solicitacao nos extremos dos pilares, os trabalhos desenvolvidos confirmam a

acentuada melhoria do comportamento nas situacoes de carregamento que introduzem

dupla curvatura a deformada. Assim, a esbelteza limite pode ser substancialmente

ampliada, sendo conservativa a adopcao de valores duplos dos estipulados para a

situacao de referencia (deformada de curvatura simples) nos casos de excentricidades

iguais e de sinal contrario nas duas extremidades. No quadro 2 apresentam-se os valores

preconizados pelo EC2 [8], para pilares com deslocamentos laterais dos n6s extremos

desprezaveis ou nao, bern como os propostos pelo REBAP [13]. Por forma a evitar a

26




ocorrencia de descontinuidade na expressao da esbelteza limite, e para cobrir todas as

situacoes praticas, adoptou-se uma variacao linear entre aqueles dois extremos.

Quadro 2 - Esbeltezas limite especificadas pelo REBAP [13] e Ee2 [8].

Esbeiteza limite, Alim

Pilares com desiocamentos laterais dos nos Pilares sem deslocamentos iaterais dos n6s

Reguiarnento extremos nao desprezaveis (nos m6veis) extremos desprezaveis (nos fixos)

REBAP 35 50 -15 eo/eo2

15/ - r v se v<0.36

Ee2 25 (2 - eo/eo2)

25 se v;?0.36 i

Na figura 18 ilustra-se, para pilares com deslocamentos laterais dos nos extremos nao

desprezaveis, a variacao da esbelteza limite com 0 nivel de esforco axial reduzido,

proposta por estes dois regulamentos.

REBAP

ECZ

0.0L::-:+-....J...--1--:-=-i---'-___.--;::'-;;;-...L_---l.-"--::~_._---L-"---;:~_,_~-~0.00 020 0.40 0.60 0.80 1.00

V

Figura 18 - Limites de esbelteza de piIares com deslocamentos laterais dos n6s nao desprezaveis

(Ee2 [8] e REBAP [13]).

27




Exem plo 3

Para as estruturas consideradas no Exemplo 2, compare os valores obtidos para a

esbelteza com os correspondentes valores de esbelteza limite preconizados pelo EC2 [8]

e REBAP [13] para esses mesmos elementos.

Resolucao:

Estrutura 1 - Pertencendo 0 pilar a uma estrutura de deslocamentos laterais desprezaveis

e sendo a sua esbelteza igual a 20.1, ela e inferior a esbelteza limite (esta e funcao dos

esforcos de 1a ordem, confonne se pode constatar do quadro 2, valendo no mfnimo 35

ou 25, de acordo com 0REBAP [13] e Ee2 (8], respectivamente). Refira-se, no entanto,

que neste tipo de estruturas, a esbelteza limite e em regra superior (funcao dos

momentos de 1a ordem instalados nas extremidades dos pilares, podendo atingir 65 ou

75 para aqueles dois c6digos), em virtude das maiores restricoes impostas a deforrnacao

dos pilares.

Estrutura 2 ~ Pertencendo 0 pilar a uma estrutura de deslocamentos laterais nao

desprezaveis e sendo a sua esbelteza igual a 36.1, este valor e superior a esbelteza limite

preconizada pelo REBAP [13] (AUm = 35.0) . De acordo com 0 EC2, a esbelteza limite e

funcao do nivel de esforco axial instalado no pilar. 0 calculo elastico da estrutura

conduziu a urn esforco axial 543 kN, resultando:

v = 300 = 0.510.2 x 0.4x 13.3£3

donde

Alim = max(25; J k ) = 25 .00.51

pelo que, pelo Ee2 [8], a esbelteza do pilar tambem e superior a esbelteza limite,

havendo que pro ceder a quantificacao do efeitos de 23ordem.

5. Metodos simplificados de avaliacao dos efeitos de 23 ordem

Estabelecido 0 erro considerado admissfvel para a nao inclusao dos efeitos de 2a ordem

no processo de dimensionamento e apresentados os criterios indirectos, estipulados nos

diversos regulamentos, que permitem a sua afericao de urn modo simplificado, 0

problema dos denominados pilares curtos (com esbelteza inferior

aesbelteza limite) fica

28




resolvido. Quando a esbelteza limite e excedida, deixa de ser possfvel a dispensa

daqueles efeitos pelo que se toma necessaria a sua quantificacao.

Qualquer estudo rigoroso sobre os efeitos de 2a ordem em elementos axialmente com-

primidos requer a execucao de uma analise nao linear da estrutura, tendo em

consideracac 0 equilfbrio na posicao deformada (nao linearidade geometrica) bern como

o comportamento nao linear dos materiais (nao linearidade ffsica), Em virtude da

complexidade inerente a este tipo de analise e dos moderados efeitos de 2a ordem

registados, regra geral, em grande parte dos pilares de estruturas de betao armado (resul-

tantes do nivel moderado de tensoes de compressao admissfveis para 0 betao), os

regulamentos permitem a adopcao de metodos simplificados de quantificacao destes

efeitos.

A semelhanca dos procedimentos adoptados para as estruturas metalicas, os metodos

preconizados para os elementos comprimidos de betao annado tern os seus fundamentos

em estudos efectuados em pilares isolados, sendo as conclusoes generalizadas para os

pilares inseridos em estruturas. Nos paragrafos seguintes, procede-se a apresentacao e

descricao dos principais metodos simplificados adoptados na avaliacao dos efeitos de

2a ordem em pilares de betao armado. Por uma questao de sistematizacao optou-se por

efectuar a apresentacao separada das metodologias relativas ao pilar isolado e ao pilar

inserido em estruturas.

5.1. Pilar isolado

o estudo de elementos comprimidos e usualmente efectuado a partir de urn pilar sim-

plesmente apoiado, axialmente solicitado por urn esforco axial de compressao, com ou

sem excentricidades nos apoios (iguais ou diferentes), como ilustrado na figura 19. As

diferentes filosofias de projecto deram origem a rnetodos diferenciados de

contabilizacao dos efeitos de 2a ordem. Destes, 0 que mais se destacou foi 0metoda das

excentricidades adicionais, baseado num pilar padrao (model column method) e adopta-do pelos principais regulamentos europeus (EC2 [8],MC90 [6], REBAP [13]).

o elemento em estudo e analisado a partir de urn pilar equivalente, figura 20, em

consola ou simplesmente apoiado, de igual seccao e esbelteza, solicitado pelo mesmo

esforco axial e tal que 0momento de 1a ordem na seccao mais esforcada, denominada

seccao crftica, seja 0mesmo. As conclusoes obtidas para 0 pilar padrao, relativamente

aos efeitos de 2a ordem, sao depois atribuidas ao pilar em analise. Nos paragrafos

seguintes descrevem-se as principais caracteristicas do comportamento do pilar padrao e

das secedes de betao armado que fundamentam a metodologia regulamentar.

2 9




,f-eoltpI r---

\

Figura 19 - Elemento de base para 0 estudo dos efeitos de 2' ordem em pilares de betao armado.

Para 0 pilar de geometria indicada na figura 20, constitui uma boa aproximacao admitir

que a sua defonnada e do tipo sinusoidal. Pode, assim, escrever-se que 0 deslocamento

transversal de uma seccao, a distancia x do ponto de aplicacao de carga, e dado por

(24)

, f - e iN

I

1f x Y

otN

1 f x Ys L=Io

L = 1 0 / 2

1

Figura 20 - Geometria do pilar padrao: seccao crftica,

sendo 80 maximo deslocamento relativo entre seccoes do elemento e t o 0 comprimento

efectivo de encurvadura. Atendendo a que

~(x) ~ -Y"(x)r

(25)

a recurso a equacao (24) permite relacionar 0 deslocamento Dcom a curvatura da seccao

crftica, ilrcri' resultando

30




(26)

A deformacao transversal do elemento associ ada a existencia de urn esforco axial da

origem a urn acrescimo de momentos, denominados por efeitos de 2a ordem.

Tratando-se de urn elemento isostatico, 0 momento total na seccao critica pode

escrever -se

(27)

podendo concluir-se que a parcel a relativa aos momentos de 2a ordem, no pilar padrao,

apresenta uma variacao aproximadamente linear corn a curvatura da seccao mais

esforcada (figura 21). Esta parcel a pode ser reescrita na forma

(28)

ern que e2 ' usualmente designada por excentricidade de 2aordem, e dada por, conside-

rando a aproximacao n2 :: ; 10,

[2 1e2 =JL_

10 reri

(29)

Figura 21 - Variacao do momento de 2" ordem com a curvatura da seccao crftica do pilar padrao,

Conhecida esta relacao, e importante para uma melhor compreensao das expressoes

regulamentares, proceder a analise dos diagram as momentos-curvaturas de uma seccao

de betao armado. Estes diagramas dependem, de forma acentuada, do nivel de esforco

axial instalado na seccao. Na figura 22 ilustra-se a forma generic a destes diagramas para

uma seccao rectangular duplamente armada (seccao mais frequente em pilares de betao

armado) quando sujeita a diferentes esforcos axiais. Os diagramas representados na

figura pressup5em que 0 esforco axial e mantido constante durante toda a analise, As

31




principais caracterfsticas dos diagramas, com consequentes implicacoes ao nfvel da

resposta dos elementos, sao as seguintes:

- curvatura ultima: a curvatura associada a rotura da seccao reduz-se consideravel-

mente com 0 aumento do nfvel do esforco axial;

- curvatura de cedencia: a curvatura associada a cedencia da armadura traccionada

aumenta ligeiramente com 0 nivel de esforco axial ate valores do esforco axial

reduzido proximos de 0.4 (regiao do diagrama envolvente de esforcos, NR£MRd,

em que a existencia de urn esforco axial e favoravel no comportamento da

seccao), Para nfveis de superiores a armadura, se traccionada, deixa de entrar em

cedencia;

- ductilidade: nftida reducao da ductilidade da seccao com 0 aumento do esforco

axial. Esta reducao toma-se mais acentuada para nfveis de esforco axial reduzido

superiores a 0.4 (roturas condicionadas pelo betao).

M 4No <Nl<N 2<N 3

N > 0 (compressao)

4

No=O

1 - Fendilhacao

2 - Plastificacao da armadura traccionada

3 - Plastificacao da armadura de compressao

4 - Rotura da seccao

1 /r

Figura 22 - Diagramas de momentos-curvaturas para diferentes esforcos axiais.

Refira-se, em primeiro lugar, que urn pilar inserido numa estrutura de betao armado nao

esta submetido a urn esforco axial constante. No entanto, e para 0 par de esforcos nele

instalados num dado instante, a curvatura da seccao e muito semelhante a que se obteria

para os mesmosesforcos,

numa analise aesforco

axial constante, pelo que as conclusoes

32




extrafdas para os diagramas tracados podem, sem prejufzo dos resultados, ser generali-

zadas.

Tendo em atencao a forma dos diagramas de momentos-curvaturas e tendo presente que

o esforco axial de compressao ira dar origem a urn acrescimo de momentos, equa-

9ao (28), e facil concIuir que, para 0 pilar padrao, a curvatura associada a uma determi-

nada solicitacao, que envolva accoes verticais, sera superior a obtida numa analise de

1a ordem (figura 23).

l/r[ l/'tot 1/r

MIN=cte I

Figura 23 - Aumento da curvatura da seccao cntica associada a ocorrencia de efeitos de 2a ordern,

o aumento de curvatura e consequente aumento de momento na seccao crftica, podem

ser interpretados como uma diminuicao da capacidade resistente do pilar (para urn dado

momento flector instalado na seccao, os esforcos de 1a ordem serao tanto menores quan-

to maiores os efeitos de 2a ordem introduzidos). Esta diminuicao e tanto mais acentuada

quanto maior for 0 esforco axial actuante e a esbelteza do pilar, podendo conduzir a

situacoes de colapso sem ocorrencia da rotura dos materiais (usualmente denominadas

roturas por instabilidade), conforme ilustrado na figura 24.b.

Graficamente, a situacao de rotura atinge-se para a curvatura correspondente ao ponto

da tangencia entre 0 diagrama de momentos-curvaturas e a recta que traduz a evolucao

dos momentos de 2a ordem. Existindo uma acentuada quebra de rigidez apos a cedencia

das armaduras (ponto A da figura 24) facilmente se concIui que, quando os efeitos de

2a ordem se tornam importantes (grande inclinacao da recta que traduz estes efeitos), a

rotura tende a coincidir com esta situacao, Alem disso, sendo a reserva de capacidade

resistente das seccoes de betao annado pouco significativa apes a cedencia da annadura,e natural a consideracao desta situacao como a determinante no estudo do problema.

33




M

Mm a xI

M m d xI

Ifru l/r Ifry If ru l/rfry

a ) b)

Figura 24" Tipos de rotura em analises que incluam os efeitos de 2a ordem: a) pelos materiais, atin-

gindo-se a curvatura ultima da seccao (llrror=llr); b) por instabilidade (ilrrot<l/ru).

Como atras se referiu, na analise ao comportamento das seccoes de betao armado, a cur-

vatura de cedencia atinge urn maximo para niveis de esforco axial reduzido pr6ximos de

0.4. Para niveis de esforco axial inferiores, os efeitos de 2aordem perdem importancia

face aos momentos de 1a ordem pois a ligeira diminuicao da curvatura de cedencia da

seccao esta tambem associada a diminuicao do esforco axial. 0 recurso a maxima curva-

tura de cedencia conduzira a estimativa, por excesso, dos efeitos de 2a

ordem. Paranfveis de esforco axial superiores, deixa de ocorrer a cedencia das armaduras (regiao das

denominadas roturas frageis), desaparecendo do diagrama de momentos-curvaturas a

acentuada quebra de rigidez. Nesta regiao, em que os efeitos de 2a ordem adquirem

grande relevo, a curvatura de rotura passa a ter uma variacao contraria a do esforco

axial, sendo conveniente uma avaliacao de forma mais rigorosa.

Esta consideracoes conduziram a proposta, expressa no Model Code 78 [4], de inc1uir

urn momenta adicional, para ter em conta os efeitos de 2a ordem no dimensionamento

de pilares de betao armado, obtido a partir da expressao (28). A curvatura atribufda a

seccao crftica corresponde a maxima curvatura associada a cedencia das armaduras

traccionadas. Atendendo as relacoes constitutivas de calculo adoptadas para os materiais

(extensao maxima admissfvel para 0 betao igual a 3.5%0), 0MC78 [4] propos, para 0

calculo daquela curvatura, a seguinte expressao:

0.0035 + f sydEs

- - ~---__':::"...L'1Jd

1

34

(30)




em que fsyd e E, sao a tensao de cedencia e 0 modulo de elasticidade da armadura,

respectivamente, d a altura util da seccao e 1]urn coeficiente que pretende traduzir a

diminuicao da curvatura da seccao para nfveis de esforco axial reduzido superiores a

0.4. Este coeficiente foi inicialmente proposto igual a

0.4 01]=-:5,1.

vSd

(31)

o REBAP [13] (1983), tendo como base 0 MC78 [4], optou por uma especificacao

simplificada, na forma

5.0E-3-:= 'r]

h

1(32)

obtido admitindo, para a extensao de cedencia do aco, urn valor aproximado de 2% 0 e

considerando d=0.9h.

Estudos posteriores, tendo por base relacoes constitutivas mais realistas para 0 betao,

com inclusao de sojtenning, conduziram a alguns ajustes aquelas express5es. Actual-

mente, e demodo consensual (MC90 [6],Ee2 [8]), e adoptada a expressao

(33)

com

(34)

em que

8 sy d - extensao de cedencia da armadura (csyd:= fsyclEs);

Nud - valor de calculo da capacidade ultima da seccao em compressao simples

( N ud = 0.85 fed Ac + fsy d As> ao qual corresponde uma curvatura ultima

nula);

NSd - valor de calculo do esforco normal actuante;

Nbal - esforco axial associado ao maximo momento resistente da seccao

(Vbal <o S 0.4).

Esta expressao, alern de admitir uma curvatura critica associada a entrada em cedencia

de ambas as armaduras, tern incluido 0 coeficiente k2 que traduz de forma rnais correcta

a diminuicao de curvaturas com 0 esforco axial (correspondendo-lhe, no caso limite de

compressao simples, uma curvatura nula). 0 principal inconveniente e a dependencia

35




deste coeficiente com a solucao final de armaduras, a qual e desconhecida em fase de

projecto (urn calculo rigoroso da curvatura critica obriga a execucao de urn pequeno

processo iterativo).

1 3 ainda de referir que na expressao da excentricidade de 2a ordem, proposta pelo

EC2 [8], aparece urn coeficiente k J > introduzido com 0 objective de evitar a ocorrencia

de descontinuidade nos momentos de dimensionamento quando se excede a esbelteza

limite (atente-se que a inclusao dos efeitos de 2a ordem s6 e necessaria para valores de

esbelteza superiores ou iguais a esbelteza limite, 0 que se traduz na existencia de uma

descontinuidade a esquerda deste valor). No entanto, a solucao preconizada por este

regulamento merece alguns reparos, pois nao atinge os objectivos a que se propoe, pelo

que nestas folhas se aconselha a adopcao de urn coeficiente k1 unitario.

Exemplo4

Avalie os efeitos de 2a ordem num pilar em consola, de seccao de 0.4OX0.40 (mxm) e de

3.0 m de altura, sujeito a duas cargas concentradas, aplicadas na extremidade livre e

iguais a NSd = 1000.0 kN e HSd = 20.0 kN. Considere urn betao C20/25, d = 0.36 m e

adopte as regras preconizadas pelo EC2 [8].

Resolucao:

Tratando-se de urn pilar em consoIa, 0 comprimento efectivo de encurvadura e igual ao

dobro do cornprimento real (lo = 6.0 m), pelo que

A = = 1 0m = = 6.0xm = 52.00.4 0.4

o esforco axial reduzido vern

v = = 1000 = 0.46

0.42x13.3E3

pelo que

AU m = = max(25.0; ~ ) = 25.00.46

e, como A> AUm, os efeitos de 2a ordem nao sao desprezaveis. A sua quantificacao pode

ser feita a partir da equacao (28), considerando a curvatura da seccao critica dada pela

expressao inserida no Ee2 [8]. Assim, admitindo para k2 urn valor unitario, tem-se

36




2xl.74E -3x1.0 .6.02 - = 0,039m0,9x 0.36 10

resultando

5.2. PHares inseridos em estruturas

Apresentadas as expressoes regulamentares aplicaveis a pilares isolados, procede-se, em

seguida, a analise do problema de pilares inseridos em estruturas. A resposta de urn pilar

inserido numa estrutura ira, necessariamente, depender do comportamento (deformabili-

dade, rigidez das Iigacoes, distribuicao de carga, etc.) da propria estrutura. Os eventuaisefeitos de 2a ordem, associados a existencia de esforcos axiais nos pilares, vao estar rela-

cionados, em termos de grandeza, com a dirnensao dos deslocamentos horizontais sofri-

dos pelo elemento e, na forma como se distribuem intemamente pelas diferentes

seccoes, da relacao de rigidez entre os diversos elementos que concorrem nos n6s.

Sendo 0 comportamento dos elementos muito diferenciado, conforme se insiram ou nao

em estruturas lateralmente deformaveis, e usual diferenciar a analise dos pilares perten-

centes a estas duas categorias de estruturas.

5.2.1. Estruturas com deslocamentos laterais desprezaveis

As estruturas assim classificadas sao possuidoras dos denominados elementos de

contraventamento (elementos de grande rigidez, responsaveis pelo impedimento as

deformacoes laterais). Nestas estruturas, ha necessidade de diferenciar, na analise, 0

comportamento dos elementos de contraventamento dos restantes elementos verticais.

5.2.1.1. Pilares

Sendo desprezaveis os deslocamentos laterais dos pisos e, consequentemente, dos nos

extremos dos pilares, os efeitos de 2a ordem introduzidos nestes elementos podem ser

atribuidos unicamente a deformacao transversal que apresentam no vao. Por esta razao,

a grande maioria dos regulamentos, actualmente em vigor, preconizam que 0 estudo dos

pilares inseridos neste tipo de estrutura possa ser considerado equivalente ao de urn

elemento isolado. A avaliacao dos efeitos de 2a ordem passa, assim, a ser efectuada a

partir de urn pilar isolado de iguais caracteristicas geometricas (igual seccao e

esbelteza), solicitado por esforcos equivalentes, conforme se indica na figura 25 -

37



D im en sio na me nto d e ele me nto s co mp rim id os e sb elto s

avaliacao dos efeitos de 2a ordem atraves da consideracao da excentricidade de

2a ordem, referida em 5.1.

N~ M 2

· · · · · · · r . . · · · ·1 0 =

. . L . . . .N t M i M i

M . z

+

Mto t

Figura 25 - Pilar inserido em estruturas com deslocamentos laterais desprezaveis: analise a partir da sua

transformacao num pilar isolado equivalente.

Para pilares de seccao transversal constante (em dimensoes e quantidade de armadura,

ignorando eventuais sobreposicoes) e sujeitos a momentos de la ordem, M a e M b, de

valor diferente nas duas extremidades tais que 1 M a l ~ 1 M b l , com variacao linear ao

longo do elemento, 0 momento de dimensionamento da seccao critica, Me (seccao de

maximo momento total, figura 25) e dado por:

{

O.6M a + D.4M b

M -max-

O.4Ma

ao qual deverao ser acrescidos os efeitos de 2a ordem determinados para 0pilar.

Esta expressao consiste na adaptacao, para as estruturas de betao, dos resultados obtidos

por Austin [1] no estudo de pilares metalicos, Nestes, dada a grande ductilidade do

material, e possivel aceitar que, atingidos os esforcos de cedencia nas extremidades e

existindo reserva de capacidade resistente nas seccoes interiores, os efeitos de 2aordem

sejam transmitidos para 0 interior do elemento (figura 26.a), havendo somente que

garantir que nao sao excedidos os momentos nas extremidades.

38

(35.a)

(3S.b)




Mtot Mtot

MIl

a) b)

Figura 26 - Efeitos de 2a ordem: a) elemento com capacidade de formacao de r6tulas plasticas; b)

cornposicao dos momentos internes, numa situacao generica de carga, num elemento com

deslocamentos dos n6s extremos impedidos.

Embora aceite por quase todos os regulamentos europeus, a extrapolacao deste raciocf-

nio para as estruturas de betao armado levanta algumas reservas. Por urn lado, dado quea rigidez associada as ligacoes das extremidades dos pilares nao e constante ao longo da

hist6ria de carga, os efeitos de z a ordem variam, simultaneamente e de forma gradual,com a solicitacao (efeito semelhante ao de uma deformacao imposta num elemento

hiperstatico, figura Z6.b). Por outro lado, e importante salientar que a ductilidade das

seccoes de betao armado, solicitadas em flexao composta, e reduzida, diminuindo

significativamente com 0 aumento do nfvel de esforco axial. Por esta razao, alguns

regulamentos CBS8110 [2]) preconizam que, em pilares inseridos em estruturas com

deslocamentos laterais desprezaveis, se proceda tambem a avaliacao da influencia dos

efeitos de z a ordem nos esforcos das seccoes de extremidade.

5.2.1.2. Elementos de contraventamento

Sendo os deslocamentos laterais da estrutura desprezaveis, 0 dimensionamento dos

elementos de contraventamento e, regra geral, baseado numa analise de primeira ordem

(dimensionamento tendo por base os esforcos elasticos obtidos na analise da estrutura).

5.2.2. Pilares em estruturas lateralmente deformaveis

39




o estudo do comportamento de urn pilar inserido numa estrutura lateral mente deform a-

vel exige uma analise mais cuidada. Em primeiro lugar, e possfvel constatar que os efei-

tos de 2a ordem associados a diferenca de deslocamentos sofridos pelos n6s extremos de

urn pilar de urn dado piso, neste tipo de estruturas, sao maximos junto a esses n6s (figu-

ra 27). Aqueles efeitos irao depender da intensidade da solicitacao vertical actuando ao

nfvel do piso, sendo ainda agravados pelos efeitos associados ao deslocamento horizon-

tal das cargas aplicadas em todos os pisos superiores.

+

Mtot

Figura 27 - Efeitos de 2" ordem em pilares com deslocamentos laterais nao desprezaveis dos n6s.

E ainda de referir que, com a avaliacao dos efeitos de 2a ordem, se pretende garantir que

a capacidade resistente da estrutura nao seja diminuida. 0 objective dos procedimentos

de calculo e estimar 0 acrescimo de esforcos associados a deformacao da estrutura e

dimensionar os seus elementos em conformidade. Dado 0 funcionamento global da

estrutura, 0 dimensionamento para 0 acrescimo de esforcos nas extremidades dos pilares

s6 e eficaz (conduzindo, portanto a urn acrescimo de resistencia global) se se garantir

que os elementos que concorrem nos n6s tern, tambem eles, capacidade para resistir a

esses acrescimos (solucao equilibrada), como se pode observar na figura 28.

Por estas razoes se aconselha, nos principais c6digos, que a avaliacao dos efeitos de

2a ordem neste tipo de estruturas se deve efectuar a partir de analises globais, tendo em

conta as diferentes fontes de nao linearidade (iinica forma, alias, de prever eventuais

instabilidades do conjunto).

40




LiM ? -

Figura 28 - Estrutura lateral mente deformavel: agravarnento dos esforcos nos elementos secundarios,

Embora com algumas reservas, dadas as dificuldades associadas a execucao de analises

nao lineares e a grandeza moderada dos efeitos de 2a ordem na maioria das estruturas de

betao annado, os regulamentospermitem, mesmo para este tipo de estruturas, a adopcao

de metodos simplificados de calculo. No entanto, a sua aplicabilidade e duvidosa, dando

origem a diferentes interpretacoes, com todos os problemas daf decorrentes.

Nos paragrafos seguintes procede-se a apresentacao da metodologia inserida nos

principais regulamentos, actualmente em vigor, e de uma proposta considerada mais

coerente com 0 comportamento estrutural.

5.2.2.1. Metodo da excentricidade adicional

o REBAP [13] (art°. 60.3) permite, caso nao seja de temer a instabilidade de conjunto, aadopcao do metodo das excentricidades adicionais, considerando que a esbelteza de

cada pilar de urn dado piso e igual ao valor medic das esbeltezas dos pilares desse piso,

nao se podendo, porem, relativamente a cada pilar, ser conduzido a uma capacidade re-

sistente inferior a que se obteria considerando 0 pilar como pertencendo a uma estrutura

sem deslocamentos laterais. Embora este regulamento nao estabeleca uma definicao

para a esbelteza media, subentende-se ser identica a apresentada no e B B n° 139 [5],

obtida a partir da hip6tese de encastramento total dos pilares nos pisos (0 que constitui

uma aproximacao por vezes grosseira, razao pela qual e contestada por diversos

investigadores) e da indefonnabilidade axial das vigas, figura 29. A partir daquelas

hip6teses e possfvel escrever

(36)

41




sendo H a forca horizontal actuante no topo do piso, 8 0 deslocamento horizontal

relativo entre pisos devido a forca H, E; 0 m6dulo de elasticidade do betao, L.A 0

somatorio das areas das seccoes dos pilares do piso e Lpiso a altura do piso.

Jr

" " " " = : : : ; i""" = IE3.

0 = HL p t S C • med L12 E DI 1 0 =

Figura 29 - Modelo adoptado para a definicao de esbelteza media do piso.

o E e 2 [8] (§A.3.5), embora mais recente, continua a permitir 0 recurso aos metodos

simplificados de acrescimos de momentos flectores. A principal alteracao, apresentada

por este codigo, traduz-se na melhor definicao da fronteira de aplicabilidade destes

metodos. 0 recurso a metodos simplificados passa a estar limitado aos p6rticos

regulares, entendendo-se por regulares os p6rticos formados por pilares e vigas que

apresentem uma rigidez nominal semelhante e em que os coeficientes de esbelteza

media dos pilares de todos os pisos (calculados a partir de (36)) nao excedam 0 maior

dos seguintes valores:

{

50

A-med smax 20

JVmed

(37.a)

(37.b)

em que

Vmed (38)

referindo-se os somat6rios da expressao anterior a todos os pilares do piso em analise

(para cada direccao ou plano de encurvadura).

o recurso ao conceito de esbelteza media, que estes regulamentos preconizam, permite a

aplicacao do metodo das excentricidades adicionais e a consequente resolucao do

problema de uma forma simplificada. No entanto, dado que a excentricidade de

2

a

ordem depende nao s6 do comprimento efectivo da encurvadura mas tambern dadimensao doelemento em analise, e-se conduzido, regra geral, a diferentes

42



D im en sio na men to d e e lem en to s c om pr im id os esb elto s

excentricidades para as extremidades dos pilares de urn rnesrno piso, contrariamente ao

que se considera correcto.

Exemplo 5

Considere-se a estrutura representada na figura seguinte, submetida a s accoes nela

apresentadas. Calcule os esforcos de dimensionamento da estrutura por aplicacao do

metodo da excentricidade adicional.

1500.0kN35.0 kN/m

I 400.0kN!

30.0kN I I I IT

PI D 0.60 P2I

0040 0.30 0.30 4.00 Materiais:00.30 00.30

1C20/25, S400

rr;'n rrh-?

I6.00

II I

Figura 30 - Exemplo 5: geometria e accoes,

Resolucao:

Admitindo encastramentos com algurna capacidade de r o ta ca o , te rn -s e

0.3X 0.43a2=----

4.06.0 3 =0.444

0.3 x 0.6

Pilar 2 - a] = 1.0

0.3 x 0.33a2=----

4.06.0 3 =0.188

0.3x 0.6

donde

7JPJ = 7.5+4x(0+0.444) =1.08 ~ lo =1.08x4.0=4.32m7.5 + (0+0.444)

43




1 J P I: : : : : 7.5+4x(0+0.188) =1.04

---7 1 0 =1.04x4.0 =4.16m7.5+(0+0.188)

e

Procedendo ao calculo das excentricidades de 2a ordem com recurso as expressoes

propostas pelo EC2 [8],

e admitindo k 1 :::::1.0 e k2 = 1.0 (por simplificacao) tem-se:

eP I = 2x1.74E-3. 4.322=0.020m

2 0.9 x0.36 10

eP2::::: 2X1.74E-3. 4.162=0.025m

2 0.9xO.27 10

sendo os acrescimos de momentos, devido aos efeitos de 2a ordem, nas extremidades

dos pilares, dados pelo produto dos valores atras obtidos pelo esforco axial instalado nos

pilares. 0 principal inconveniente deste modele de avaliacao dos esforcos de 22 ordem eo nao agravamento dos esforcos nas extremidades das vigas e nas fundacoes, que

necessariamente ira ocorrer.

5.2.2.2. Metodo do acrescimo de [orcas horizontals

Para compreender 0 funcionamento de pilares inseridos em estruturas lateralmente

deformaveis (cujo comportamento envolve imimeras variaveis que dificultam 0 estudo

do problema) discutem-se seguidamente as caracteristicas do funcionamento conjunto

de pilares a partir da analise de uma estrutura muito simples, constituida por dois pilares

e uma travessa axialmente indeformavel, figura 31.

Admita-se que urn dos pilares, PI, e dimensionado para os esforcos de la ordem,

(NPl, M~i), obtidos numa analise elastica da estrutura, e que 0 outro, P2, e executado

com uma quantidade de armadura superior a necessaria (pilar com reserva de

resistencia), Considere-se que a historia de carga, numa analise nao linear, consiste na

aplicacao simultanea de dois esforcos axiais distintos, em cada urn dos pilares, NPi e

Np2, e de uma forca horizontal H actuando ao nfvel da travessa, consideradas monotoni-camente crescentes ate a rotura. Se se considerarem os pilares isolados e sujeitos a mes-

44




rna historia de carga, conclui-se que 0 pilar PI, estando pormenorizado com as

armaduras correspondentes aos esforcos de I a ordem, colapsa para uma carga inferior a

de dimensionamento, devido aos efeitos de Z 3 ordem. Por outro lado, 0 pilar P Z , em que

a armadura the confere uma reserva de resistencia, atinge uma situacao de equilfbrio

estavel, com esforcos superiores aos elasticos, sem a ocorrencia de rotura.

H + N P l + N nHP 1=

Ipl·H

1- EA=oo lpl+ In

Hn=H_HP1

L .Pl Elp1 P2 EIn

jM~l=HPIL

a)

Figura 31- Estrutura em estudo: a) modelo de calculo; b) esforcos elasticos.

Analise-se agora 0 comportamento destes pilares, quando integrados na estrutura. A

existencia de uma travessa axialmente indeformavel obriga a que os deslocamentos, no

topo, sejam iguais. Sendo a deformada de urn pilar em consola do tipo sinusoidal, e

possivel escrever

12 18 z_2___

topo 10rbase

pelo que, quando a estrutura e solicitada, a curvatura nas seccoes de encastramento de

ambos os pilares sera da mesma ordem de grandeza (esta hipotese, constituindo uma

aproximacao, revelou-se, no entanto, bastante aceitavel na gama de valores usualmente

interessados na analise, confonne se verificou em estudos parametricos efectuados por

Vinagre [14]), Assim, em qualquer instante e atendendo a (39), e possivel escrever:

[2 1 [2 1Mpi =(H -F)·L+Np1,_g_·-- ; MP2 =F·L+Npr_2_-- (40)

J 0 rbase 10 rbase

sendo F a forca na travessa. Do equilfbrio de momentos global na base dos pilares

resulta:

(39)

(41)

45




Nestas condicoes, 0 comportamento global da estrutura pode ser interpretado e

analisado a partir do diagrama soma de momentos-curvaturas dos diferentes pilares,

(I,M i-1/ r), como ilustrado na figura 32.

P ila r 2

M Estrutura

MA,loJ

P ilar 1

lIrA

Figura 32 - Estrutura constitufda por dois pilares unidos por uma travessa: diagramas de mementos-cur-

vaturas dos pilares e diagrama soma ( L M i-1 / r ).

Atendendo as caracteristicas dos diagramas de momentos-curvaturas das seccoes de be-

tao annado e a evolucao dos momentos de 2a ordem, pode afirmar-se que 0 colapso e

condicionado pelo elemento mais rfgido, quer se verifique urn fen6meno de

instabilidade (ponto B) ou de rotura dos materiais. Se os esforcos axiais sao moderados

(v<O.4), a acentuada quebra de rigidez, associada a entrada em cedencia das annaduras

do pilar mais rigido, condiciona a rotura por instabilidade (tanto mais quanta maior for a

esbelteza dos elementos que compoem a estrutura). Se os esforcos axiais sao mais

elevados, as curvaturas de rotura sao reduzidas assim como 0 "patamar" de cedencia,

continuando a rotura, regra gera1,a ser condicionada pelo pilar que admite menores cur-

vaturas (pilar mais rigido ou com maior esforco axia1,quando semelhantes).

Vinagre [14] mostrou ser valida a relacao entre a maxima excentricidade de 2a ordem,

admissivel para urn pilar, e a curvatura da seccao critica e que as expressoes regula-

mentares permitem obter uma boa estimativa do seu valor. Assim, e tendo em conside-racao os comentarios anteriores, e possfvel concluir que 0 deslocamento dos nos

extremos dos pilares, quando integrados na estrutura, estara condicionado pelo valor da

excentricidade de 2a ordem do pilar mais rigido (e2,min)'

Evidentemente que uma avaliacao mais rigorosa dos efeitos de 2a ordem so e possfvel a

partir de metodos que envolvam uma analise global das estruturas. Os resultados das

analises nao lineares do exemplo referido permitem verificar a gradual diminuicao da

forca transmitida ao pilar mais flexivel chegando mesmo a ocorrer a inversao do sentido

de actuacao, 0 significado ffsico desta inversao corresponde a incapacidade revelada por

este pilar de suportar os efeitos de 2a ordem, pelo que estes sao transferidos para 0 pilar

46




mais ngido atraves de esforco axial na travessa. A correcta simulacao deste fen6meno a

partir de metodos simplificados aplicados a analises elasticas nao e possivel. No

entanto, definido 0 deslocamento lateral sofrido pela estrutura, 0 estabelecimento do

equilfbrio na posicao deformada (figura 33) pennite, atraves da definicao de uma forca

horizontal equivalente, .&1, de alguma forma, a contabilizacao global deste efeito, con-

duzindo a resultados mais coerentes que os obtidos numa analise isolada dos pilares.

e~min f e;,min f1 ~ _ __ P _ l ---'_""I

NP 2

L

j

E fc ito s d e 2 " o rd cm :

Mil = e2,min (Npl + Hp2)

FOf9a horizontal equivalente:

&-I. L =MIf

&-I =e),min (NpJ

+NPl) = 9

2L N ;

L

Figura 33 - Forca horizontal equivalente aos efeitos de 2" ordem.

No que respeita a generalizacao desta rnetodologia a sistemas porticados correntes de

betao armado, e necessario, a semelhanca da excentricidade adicional, proceder a

algumas adaptacoes , Os regulamentos (EC2 [8], REB AP [1 3]) preconizam, quando se

adopta 0 metodo da excentricidade adicional, que se afecte simultaneamente as duas

seccoes extremas pelo mesmo momento adicional. Esta recomendacao resuita de se

admitir a hip6tese de indeformabilidade axial dos pisos, passando as seccoes extremas

do pilar a coincidir com as s ecedes c rf ti ca s, resultando acrescimos de momentos iguais.

Na pratica, tal nao ira acontecer. Os acrescimos de momentos devidos aos efeitos de

2a ordem sao inferiores nas s eccoes menos esforcadas numa analise de 1a ordem

(resultados equivalentes aos obtidos por imposicao de uma deformacao lateral a

estrutura). No entanto, a adopcao de valores identicos para ambas as extremidades,

sendo do lade da seguranca e de simples aplicacao, e usualmente adoptada. A trans-

posicao desta hip6tese para 0 metodo proposto corresponde a admitir-se que 0 des lo-

camento do pi so (e. consequentemente, dos n6s extremos de todos os p ilare s) e , agora,

igual ao dobro da excentricidade de 2a ordem admissfvel para a seccao critica do pilar

mais rigido (figura 34).

Os acrescimos de forca horizontal a aplicar, em cada piso, passam a ser obtidos a partir

da expressao

.&1 = _!!l_ 2_N = 2· eZ,min 2_N

i.; i-:(42)

47




i N ) + N 2 + N 3re , . . . . ; 2 , , . . . . ; m. . . .n , _ _ . . . . . . - - - - . ~r__..., : = : , m l 'L L

j m = i ~Figura 34 - Forcas horizontais de acordo corn 0metoda proposto.

sendo LN a totalidade das accoes verticais a actuar no piso em analise, Lpiso a altura

do piso e e2,min a menor das excentricidades dos pilares do piso (considerados como

pilares isolados).

Conclui-se, assim, ser possivel simular os efeitos de 2a ordem tendo ern atencao as

principais caracteristicas da resposta da estrutura no seu conjunto. A sua aplicacao a

estruturas de betao armado sensfveis aqueles efeitos, pode, portanto, ser efectuada de

acordo com a seguinte metodologia:

1. Avaliac;ao do deslocamento previsIvel associado a rotura para 0 piso. Como ja

referido, este deslocamento esta directarnente relacionado com a menor das

excentricidades de 2

a

ordern dos pilares nele existentes. Em estruturas correntes,ela corresponded, em principio, a do pilar mais rigido, 0 calculo desta

excentricidade pode ser efectuado com recurso as expressoes regularnentares

propostas pelo Ee2 [8].

2. Calculo das forcas horizontais equivalerttes. Conhecido 0 desiocarnento do piso

e a distancia entre os nos extremos dos pilares, e possivel determinar a

inclinacao maxima admissivel para a estrutura, representada por 82 na figura 34.

Do produto desta inclinacao corn 0 somatorio das accoes verticais actuantes no

piso, resultarn as forcas horizontais pretendidas.

3. Dimensionarnento da estrutura para os esforc;os obtidos com as novas acc;5es. A

cada accao ira corresponder urn conjunto de forcas horizontais equivalentes,

introduzidas com 0 sentido mais desfavoravel, que podem ser associadas a s

accoes na analise da estrutura.

Este procedimento de calculo apresenta melhorias significativas em relacao ao metodo

da excentricidade adicional. Saliente-se, em particular, que os efeitos de 2a ordem

passam a estar dependentes, no dimensionamento, quer das principais caractertsticas do

48



D im en sio na me nto d e e le men to s c om pr im id os e sb elto s

comportamento dos pilares considerados isolados (esbelteza, excentricidade de

2a ordem), quer do comportamento conjunto da estrutura. De facto, a analise global da

estrutura, com forcas horizontais aplicadas ao nfvel de cada piso, permite traduzir, nos

pilares de urn dado piso, a influencia do deslocarnento dos pisos superiores, permite a

obtencao de diagramas de esforcos equilibrados em todos os elementos e conduz a urn

agravamento diferenciado dos esforcos nos pilares, de acordo com a sua rigidez

(maiores acrescimos nos pilares mais rfgidos e, consequentemente, maior eficacia da

armadura introduzida). Convem ainda referir que a influencia dos efeitos de 2a ordem

nas vigas e fundacoes, resultante do automatico equilfbrio dos n6s, obriga ao

dimensionamento daqueles elementos para esforcos compatfveis com os dos pilares

conseguindo-se, desta forma, uma efectiva margern de seguranca em relacao aqueles

efeitos.

Exemplo 6

Aplique a metodologia arras apresentada ao portico do Exemplo 5.

Resolucao:

A aplicacao desta metodologia a estrutura do Exemplo 5 conduz a:

e2,min:::::in(0.020;0.02S) = 0.020m

donde

Mi = 2e2,min'EN = 2 x 0.020 x1.Sx(SOO.0+400.0+6x3S.0)= 16.7kNL 4.0

o calculo elastico da estrutura para as accoes nela actuantes (acrescendo as accoes

horizontais 0 valor agora obtido, introduzido com 0 senti do mais gravoso), permite

obter esforcos totais, havendo a destacar:

- ° maior agravamento dos esforcos no pilar mais rigido:

- 0 agravamento dos esforcos na viga e nas fundacoes (esforcos equilibrados).

Na figura 35 ilustra-se, a tracejado, 0 diagrama de momentos flectores correspondente a

solicitacao aplicada a estrutura e a trace cheio 0 diagrama final de momentos (incluindo

os efeitos de 2a ordem, simulados pela introducao de Ml = 16.7 kN).

49




7.4 27.4 79.1 91.0

91.0

79.1

I

I

I

I

I

I.

I

I

I

I

72.3 6l.00.7 47.3

Figura 35 - Exemplo 6: momentos totais, com e sem efeitos de 23 ordem, de acordo com 0 metodo

proposto.

Nota: Atendendo a que a accao horizontal (vento, sismo, etc.) pode actuar segundo os

dois sentidos, e necessario proceder a analise introduzindo 0 acrescimo de forca

horizontal com os mesmos sentidos de actuacao da accao horizontal, 0 que conduz ao

agravamento dos esforcos (envoIvente) em ambas as extremidades da viga. Neste

exemplo, e para nao sobrecarregar a figura, apenas se ilustraram os esforcos para urn dos

sentidos de actuacao das accoes.

6. Outros efeitos nao contabilizados na analise

Alem dos efeitos de 2a ordem, nao contabilizados na analise elastica de uma estrutura,

outros fen6menos podem contribuir para a alteracao dos esforcos internos e, consequen-

temente, influenciar a sua capacidade resistente. No que respeita ao dimensionamento

de pilares sao de destacar os efeitos de eventuais imperfeicoes geometricas e da fluen-

cia, factores responsaveis quer pelo agravamento das deformacoes quer dos esforcos nos

elementos. Nos paragrafos seguintes, e de uma forma resumida, apresentam-se os prin-

cipais modelos de inclusao daqueles efeitos no dimensionamento de elementos compri-

midos,

6.1. Imperfelcao geometrlca

Tendo em vista a verificacao da seguranca, os efeitos das possfveis imperfeicoes

geornetricas da estrutura nao carregada devem ser considerados no dimensionamento,

dado 0 agravarnento de esforcos que the estao associados.

50




A semelhanca das recomendacoes para pilares de estruturas metalicas, a imperfeicao

geometrica em elementos de betao armado foi inicialmente traduzida como uma

excentricidade minima de dimensionamento para as suas seccoes (correctamente, aquela

excentricidade pretendia simular, simultaneamente, quer os efeitos de 2a ordem quer os

devidos a imperfeicoes).

Somente no MC78 [4] e introduzido 0 conceito de excentricidade acidental,

posteriormente adoptado pelo REBAP [13], destinada a ter em conta os eventuais

efeitos das imperfeicoes na execucao dos pilares ou da deficiente avaliacao, no calculo,

da posicao da resultante das forcas neles actuantes. Esta excentricidade a adicionar a

excentricidade de 2a ordem, foi estabelecida de forma empfrica, para os casos correntes,

tendo side considerada igual a:

-: =max{lo /300

0.02m

(43.a)

(43.b)

A aplicacao sem restricoes desta condicao pode conduzir, na pratica, a situacoes pouco

reaIistas. Atendendo a que, conhecidas as condicoes de Iigacao de urn pilar, e possivel

definir 0 comprimento efectivo de encurvadura em funcao do comprimento real do pilar,

conclui-se que quanto maior este for, maior sera a excentricidade acidental a incluir na

analise. Em contrapartida, a experiencia mostra que 0 controlo de geometria naconstrucao, em estruturas de grande porte, se torna muito mais apertado, sendo muito

menores os desvios em relacao ao projecto.

Outro aspecto muito criticado, na regra apresentada peIo MC78 [4], resulta de a

excentricidade acidental s6 ser contabilizada quando nao sejam desprezaveis os efeitos

de 2a ordem. Sendo este urn problema inerente a construcao de qualquer estrutura e

capaz de se traduzir na diminuicao da sua capacidade resistente, nao existem razoes

objectivas para tal associacao.

Actualmente, e de forma consensual, considera-se que os efeitos das imperfeicoes

devem ser sempre considerados na analise das estruturas, independentemente da

importancia dos efeitos de 2a ordem. A semelhanca das regras preconizadas para as

estruturas metalicas, nos c6digos mais recentes (EC2 [8], MC90 [6]) estipula-se que,

nos casos em que a estrutura e analisada no seu conjunto, os efeitos das imperfeicoes

geometricas podem ser avaliados admitindo que a estrutura esta inclinada de urn angulo

e , em relacao a vertical, dado por

e 1

lOOJi(44)

51




sendo L a altura total, em metros, da estrutura, confonne se ilustra na figura 36.

Figura 36 - Imperfeicao geometrica: consideracao de uma inclinacao parasita, e , da estrutura.

A inclinacao e nao deve ser eonsiderada superior a 11200, 0 que equivale a urn desvio

maximo de 2.0 em entre extremidades de urn pilar com 4.0 m de altura. 0 EC2 [8), para

as estruturas com deslocamentos laterais desprezaveis e de pequeno porte, pennite a

adopcao de menores inclinacoes, limitando-as a 11400. Na figura 37 ilustra-se a variacao

da inclinacao parasita com a altura da estrutura, podendo observar-se que a sua diminui-

gao corresponde, em termos do deslocamento global no topo, a urn crescimento menos

que proporcional com a altura e, portanto, mais realista face as propostas anteriores.

8 e 8[m] [rad]

o R T.06L

LD l.05

0.04 1/200

0.03LI

1 / 4 0 0

0.02

0.01

0.00

4.0 8.0 12.0 16.0 20.0 24.0 28.0

L(m)

Figura 37 - Variacao da inclinacao parasita, e , e do deslocamento equivalente no topo, 8, com a altura de

estruturas lateralmente deformaveis (LD) e indeformaveis (LI), de acordo com 0 Ee2 [8].

52




Exemplo7

Para a estrutura do exemplo 5, avalie 0 acrescimo de forca horizontal correspondente a

imperfeicao geometr ica,

Resolucao:

Tratando-se de uma estrutura de deslocamentos horizontais nao desprezaveis, resulta:

1 1e · = =5.0E-3$-i.g . 100#0 200

donde

IiHLg. :::;8i.g.I,Nsd = 5.0E-3x(500.0+400.0+6.0x35.0) = 5.6kN

Esta forca deveria ter side introduzida na analise elastica da estrutura aquando da

resolucao dos Exemplos 5 e 6, pelo que se propoe ao leitor, como exercicio, essa

introducao.

6.2. Fluencla

A fluencia do betao tern por efeito urn agravamento das deformacoes ao longo do tempo

podendo, em algumas situacoes, conduzir a urn acrescimo dos esforcos nos elementos e,

indirectamente, a diminuicao da capacidade resistente da estrutura. Sendo urn fen6meno

associado a s accoes com caracter de permanencia, a sua influencia ira depender da

importancia relativa destas accoes na combinacao de accoes em causa.

Existern diversos modelos de simulacao dos efeitos da fluencia nas deformacoes em

estruturas de betao armado. A sua utilizacao pressupoe, no entanto, 0 conhecimento

ponnenorizado da lei de evolucao dos estados de tensao nas diversas seccoes dos

elementos. As incertezas associadas a hist6ria de carga actuante na estrutura e aos

proprios modelos de fluencia (dependentes da qualidade e da variabilidade dos valores

atribuidos a diversos parametres) e a complexidade dos calculos que podem envolver

colocam muitas reservas a sua utilizacao em estados limite tiltirnos. Por esta razao, a

consideracao dos efeitos de fluencia e , regra geral, efectuada com recurso a metodos

simplificados de calculo. Correspondendo a fluencia urn acrescimo das deformacoes da

estrutura, com consequente aumento daqueles efeitos, os regulamentos apresentam

propostas que penni tern a inclusao, em simultaneo, dos efeitos da fluencia atraves dos

metodos simplificados que preconizam. Assim, no metoda da excentricidade adicional,

54




a consideracao dos efeitos da fluencia e efectuada atraves da inclusao de uma nova

excentricidade, denominada por excentricidade de fluencia, ee' dada por:

(47)

em que eO e a excentricidade de l" ordem correspondente as accoes de caracter

permanente (e o = MlNg)' ea e a excentricidade acidental, cplt"", to) 0 coeficiente de

fluencia a tempo infinite, NE a carga critica de Euler (N E = 7[2EemI c / I;) e Ng e 0

esforco axial correspondente as accoes pennanentes.

Convem tambern referir que, de uma forma geral, as deformacoes laterais da estrutura

originadas pelas accoes permanentes sao muito inferiores as deformacoes instantaneas

devidas a accoes horizontais. Por esta razao, alguns regulamentos permitem desprezar a

consideracao do acrescimo de deformacao por fluencia nas situacoes corrente em que

nao haja assimetrias de carregamento.

7. Conelusoes

Neste documento procurou-se apresentar as principais caracterfsticas do comportamento

de elementos esbeltos comprimidos de betao armado, bern como as rnetodologias

simplificadas que permitem 0 seu correcto dimensionamento.

Ap6s uma apresentacao sumari a dos conceitos basicos relacionados com 0 com-

portamento de elementos comprimidos, foi efectuado 0 levantamento das principais

variaveis que influenciam a resposta destes elementos e das diflculdades associadas a

sua contabilizacao, no processo de dimensionamento. Concluiu-se que a inclusao, de

forma correcta, dos efeitos de 2a ordem na verificacao da seguranca requer a aplicacao

de metodos de analise sofisticados, tendo em conta as propriedades geometric as e

mecanicas dos elementos, 0 tipo e intensidade das accoes e os recursos informaticosdisponfveis. No entanto, e dadas as caracterfsticas dos elementos comprimidos inseridos

em estruturas de betao armado, e usual 0 recurso a metodos simplificados de avaliacao

daqueles efeitos.

Foram apresentados os procedimentos simplificados, os seus fundamentos e os

desenvolvimentos efectuados que conduziram a s propostas, actualmente em vigor, nos

principais regulamentos de estruturas de betao armado. Foram referidas e discutidas as

etapas fundamentais em que se subdividem aqueles procedimentos de calculo, podendo

destacar-se, em particular:

5 5



D im en sio na me nto d e e le me nto s co mp rim id os e sb elto s

- a classificacao das estruturas, efectuada a partir do modo de deformacao que

estas apresentam por accao do carregamento. Estando a classificacao essencial-

mente dependente da contabilizacao do impedimento ao deslocamento lateral,

foi discutida a importancia que os elementos de contraventamento apresentam.

- os criterios indirectos de afericao da importancia dos efeitos de 2a ordem, aos

quais esta, necessariamente, associ ada a especificacao de uma margem de erro.

Procedeu-se a analise e discussao das propostas, expressas nos regulamentos,

que permitem efectuar aquela avaliacao de forma simplificada.

- as metodologias de quantificacao dos efeitos de 23

ordem propostas para adopcao

no dimensionamento. Referiram-se os principais problemas associados a imple-

mentacao dos metodos simplificados, justificando-se e criticando-se as OP90eS

mais relevantes. Apresentaram-se e discutiram-se os principais metodos encon-

trados na bibliografia, sendo realcadas as suas vantagens e inconvenientes.

Por fim foram tambem referidos os procedimentos regulamentares tendo em vista a

inclusao, no dimensionamento, dos efeitos de eventuais imperfeicoes geometricas e da

fluencia,

Ao longo do texto, a explicacao dos conceitos apresentados foi complementada com a

apresentacao da resolucao de problemas simples, com 0 objective de uma mais facil

compreensao da aplicacao das regras regulamentares em projecto.

56




Referencias

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[10] Johnston, B. G. - Column buckling theory: historic highlights - ASCE, Jour-

nal of the Structural Engineering, Vol. 109, pp. 2086-2096, September, 1983.

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Nacional, Casa da Moeda, Lisboa, Portugal, 1985.

[14] Vinagre, J. - Avaliaciio dos efeitos de 2° ordem em edificios de bettio armado

- Tese de doutoramento, Instituto Superior Tecnico, Marco, 1997.

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