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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA DE EDIFICAÇÕES E AMBIENTAL

EDER LEITE DE BRITO

DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA

SUPERESTRUTURA DE UMA PONTE EM ARCO

TRIARTICULADO DE MADEIRA SOB A ÓTICA DO

PROJETO DE REVISÃO DA NBR 7190 DE 2011.

CUIABÁ – MT

AGOSTO/2013

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO

FACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM

ENGENHARIA DE EDIFICAÇÕES E AMBIENTAL

EDER LEITE DE BRITO

DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA

SUPERESTRUTURA DE UMA PONTE EM ARCO

TRIARTICULADO DE MADEIRA SOB A ÓTICA DO

PROJETO DE REVISÃO DA NBR 7190 DE 2011.

CUIABÁ – MT

AGOSTO/2013

Dissertação apresentada ao Programa

de Pós-Graduação em Engenharia de

Edificações e Ambiental, da

Universidade Federal de Mato Grosso,

como requisito parcial para obtenção

do título de Mestre.

Orientador: Prof. Dr. Norman Barros Logsdon

Dedicatória

Dedico a meus pais, Esmeraldo e Josefina, a

Raquel, minha esposa, e aos meus filhos Pedro

Henrique e Ana Júlia. Pessoas que orgulho em dizer

que amo.

Agradecimentos

Agradeço ao Prof. Dr. Sérgio Luiz Magalhães por ter insistido

veementemente pra que eu me inscrevesse na prova de seleção do

Mestrado.

Agradeço a todos os companheiros de curso, que sempre contribuíram para

realizações dos trabalhos e sempre incentivaram para conclusão da

Dissertação.

Agradeço a Rafael Lima da Silva, amigo, companheiro e exímio

desenhista, responsável por todas as imagens contidas neste trabalho.

Agradeço especialmente ao Ilustre Prof. Dr. Norman Barros Logsdon, por

toda sua dedicação, seu companheirismo, sua educação. Sem dúvidas um

exemplo a ser seguido por toda vida.

RESUMO

BRITO, E. L. Dimensionamento dos elementos da superestrutura de uma ponte em

arco triarticulado de madeira sob a ótica do projeto de revisão da NBR 7190 de

2011. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Edificações e Ambiental.

Universidade Federal de Mato Grosso. Cuiabá. Mato Grosso, 2013.

De suma importância ao desenvolvimento dos municípios do Estado de Mato

Grosso, do ponto de vista econômico e social, as estradas devem assegurar a entrada de

insumos nas propriedades agrícolas, o escoamento da produção e o livre deslocamento

das populações do meio rural. Entretanto, nota-se que, ao longo dos anos, processos

incorretos de construção e de manutenção foram empregados nestas vias,

principalmente pela carência de informações técnicas por parte das Administrações

Estaduais e Municipais. Diante dessa realidade, o trabalho tem como objetivo principal

verificar se o dimensionamento dos elementos da superestrutura de uma ponte em arco

de MLC, com tabuleiro superior, conduz a seções usuais, tanto de madeira serrada,

como de MLC, e se é possível estabelecer um roteiro para simplificação nos cálculos do

dimensionamento das peças da superestrutura da ponte, considerando os critérios

estabelecidos pelo projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011). Como parâmetro

para o desenvolvimento do projeto da ponte a ser calculada foi adotado como referência

as características geométricas da ponte sobre o Rio Claro no Município de Cuiabá –

MT. Como conclusão verificou-se que o cálculo pode ser simplificado, pois as

envoltórias dos esforços solicitantes obtidas definem um formato e a posição dos

valores máximos, permitindo obter diretamente os valores máximos para

dimensionamento e que todos os elementos da ponte, construídos de madeira serrada,

possuem dimensões comerciais facilmente encontradas nas serrarias de Mato Grosso.

Além disso, constatou-se ainda que as dimensões obtidas para o arco laminado dessa

ponte, bem como seus elementos metálicos, são de fácil fabricação pela indústria

brasileira, o que torna esse modelo de ponte bastante viável sob o ponto de vista técnico.

Palavras chaves: Pontes de madeira, estrutura em arcos, linhas de influências.

ABSTRACT

BRITO, E. L. Elements designed from a wooden tri-articulated arch bridge from

the perspective of the revision project of NBR 7190 from 2011. Dissertation in

Environmental Engineering and Buildings. Universidade Federal de Mato Grosso.

Cuiabá. Mato Grosso, 2013.

Of great importance to the development of municipalities in the State of Mato

Grosso, from economic and social point of view, the roads must ensure the entry of

inputs in agricultural properties, the output of the production and the free movement of

rural populations. However, it should be noted that, over the years, incorrect processes

of construction and maintenance were employed in these ways, mainly by absence of

technical information from State and Municipal Administrations. On this reality, the

work has as its main objective to verify if the sections of elements of the superstructure

of a glulam arch bridge, with up road deck, are usual, both of lumber, as Glulam, and if

it is possible to establish a simplified roadmap to design the superstructure elements of

this bridge, considering the criteria set out by the NBR 7190 project review, from

ABNT (2011). As a parameter to the bridge design, was adopted, as a reference, the

geometrical characteristics of the bridge over the Rio Claro in the city of Cuiabá – MT.

As a conclusion it was found that the design can be simplified, because the curves of

maximum efforts obtained define the format and the position of the maximum values,

providing directly the design maximum values. It was concluded too that all elements of

the bridge, built of lumber, have commercial dimensions easily found in sawmills of

Mato Grosso. In addition, it was noted that the dimensions obtained for the laminated

arch of this bridge, as well as its metallic elements, are easy to manufacture by the

Brazilian industry, what makes this bridge model quite feasible under the technical

point of view.

Keywords: Wooden bridges, glulam arches, influence lines.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Esquema de fabricação de uma peça em MLC.............................. 30

Figura 2 -

Comparação das distribuições de frequências da resistência da

MLC e da madeira serrada............................................................. 31

Figura 3 - Arcos da Ponte Tioga, Oregon – EUA........................................... 34

Figura 4 - Vistas laterais de vigas de MLC.................................................... 34

Figura 5 - Tipos de usinagem das emendas dentadas..................................... 37

Figura 6 - Rua dos arcos, Lapa, Rio de Janeiro.............................................. 38

Figura 7 - Ponte de Fabricio; Ponte de Santo Ângelo; Ponte de Cestio......... 39

Figura 8 - Nomenclatura para arcos................................................................ 40

Figura 9 -

Regras para a verificação da estabilidade de arcos de Leonardo

da Vinci.......................................................................................... 41

Figura 10 - Mecanismo de colapso de La Hire e Belidor................................. 42

Figura 11 - Linha de pressão segundo Timoshenko......................................... 43

Figura 12 - Ponte dos Arcos, Conservatória, Rio de Janeiro – Brasil.............. 44

Figura 13 -

Ponte dos Arcos sobre o rio Vez, Parque Nacional da Peneda-

Gerês – Portugal............................................................................ 45

Figura 14 -

Estrutura em arcos parabólicos (Bodega de Ribera de Duero –

Espanha)......................................................................................... 45

Figura 15 - Ponte em arco parabólico (New Brunswick – Canadá) ................. 46

Figura 16 - Catedral de Notre Dame, Paris – França........................................ 47

Figura 17 -

Ponte em arco gótico (Ponte de D. Goimil. Matosinhos, Porto –

Portugal)......................................................................................... 48

Figura 18 - Esquemas de arcos quanto à sua estabilidade................................ 49

Figura 19 - Arco Paisagem, Parque Nacional dos Arcos, Utah, EUA............. 50

Figura 20 - Representação natural de uma ponte em viga ................................ 50

Figura 21 - Divisões estruturais de uma ponte................................................. 51

Figura 22 - Ponte de madeira em viga simples, Mafra – SC............................ 53

Figura 23 - Ponte de madeira em pórtico sobre rio Chorna Tysa, Ucrânia...... 54

Figura 24 - Ponte Caminho do Mar, Cubatão – SP.......................................... 55

Figura 25 - Esquema de seções de pontes em placas....................................... 56

Figura 26 - Posição do tabuleiro em relação à estrutura de arcos.................... 57

Figura 27 -

Exemplo de ponte em arco com tabuleiro superior - South Prairie

Creek - Buckley, WA..................................................................... 57

Figura 28 -

Exemplo de ponte em arco com tabuleiro inferior - Hopland

Casino Bridge – Califórnia............................................................ 58

Figura 29 -

Exemplo de ponte em arco com tabuleiro intermediário -

Cascade Highlands Bridge. Bend, OR........................................... 59

Figura 30 - Ponte Alves Lima (Ribeirão Claro/PR – Chavantes/SP)............... 60

Figura 31 -

Exemplo de ponte de madeira estaiada (Hiroshima Airport

Bridge - Japão).............................................................................. 61

Figura 32 - Disposição dos carregamentos em planta...................................... 67

Figura 33 - Veículos tipo.................................................................................. 69

Figura 34 - Vento sobre veículo....................................................................... 70

Figura 35 - Viga isostática biapoiada submetida a carregamento unitário....... 91

Figura 36 - LI da reação do apoio A................................................................. 92

Figura 37 - LI da reação do apoio B................................................................. 92

Figura 38 - LI da força cortante para viga isostática biapoiada........................ 93

Figura 39 - LI do momento fletor para viga isostática biapoiada..................... 94

Figura 40 - Arco triarticulado AGB e viga de substituição.............................. 95

Figura 41 - Obtenção do ângulo φ.................................................................... 97

Figura 42 - Linhas de Influência parciais da Linha de Influência de MS......... 98

Figura 43 - Linhas de Influências de um arco triarticulado.............................. 99

Figura 44 - Arco triarticulado nivelado............................................................ 100

Figura 45 - Esquema de uma ponte em arco com tabuleiro superior............... 102

Figura 46 - LI de VA do arco para carregamento direto................................... 102

Figura 47 - LI de VA para carregamento indireto............................................. 103

Figura 48 - LI de H para carregamento indireto............................................... 104

Figura 49 - LI de MS para carregamento indireto............................................. 105

Figura 50 -

Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada -

Hopland Casino Bridge – Califórnia............................................... 106

Figura 51 -

Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada

Hopland Casino Bridge – Califórnia............................................... 107

Figura 52 -

Detalhes da rótula do fecho da Steinhart Park Road, Nebraska

City, EUA....................................................................................... 107

Figura 53 - Contraventamento da Tynset Bridge.............................................. 108

Figura 54 - Ponte sobre o Rio Claro.................................................. .............. 109

Figura 55 - Planta baixa da Ponte a ser dimensionada..................................... 111

Figura 56 - Vista lateral da Ponte a ser dimensionada...................................... 112

Figura 57 - Corte transversal da ponte a ser dimensionada.............................. 113

Figura 58 - Corte transversal da ponte em estudo evidenciando o tabuleiro..... 115

Figura 59 - Vista superior do tabuleiro da Ponte............................................... 116

Figura 60 - Carregamento permanente do tabuleiro.......................................... 118

Figura 61 - Carregamento variável do tabuleiro................................................ 119

Figura 62 - Vista lateral da ponte em estudo..................................................... 122

Figura 63 - Longarinas principais e secundárias............................................... 123

Figura 64 - Carregamento permanente das longarinas principais..................... 125

Figura 65 - Veículo no eixo dos rodeiros.......................................................... 126

Figura 66 -

Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas

principais.................................................. ...................................... 127

Figura 67 - Trem-tipo para as longarinas principais.......................................... 128

Figura 68 - Carregamento variável para o cálculo das longarinas principais.... 129

Figura 69 -

Volume de madeira sobre a área de influência da longarina da

extremidade.................................................. .................................. 132

Figura 70 - Carregamento permanente das longarinas secundárias................... 134

Figura 71 - Veículo tipo fora do eixo dos rodeiros........................................... 135

Figura 72 -

Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas

secundárias.................................................. ................................... 136

Figura 73 - Trem-tipo para o cálculo das longarinas secundárias..................... 137

Figura 74 - Carregamento variável para o cálculo das longarinas secundárias 138

Figura 75 - Corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas... 141

Figura 76 - Conjunto tabuleiro/longarina da extremidade................................. 144

Figura 77 - Conjunto tabuleiro/longarina do centro da ponte........................... 144

Figura 78 - Conjunto rodeiro/tabuleiro/longarinas principais.......................... 145

Figura 79 - Carregamento permanente das transversinas................................. 146

Figura 80 -

Carregamentos para determinação do trem-tipo para as

transversinas.................................................. ................................ 147

Figura 81 - Trem-tipo para o cálculo das transversinas..................................... 148

Figura 82 - Carregamento da LI de V das transversinas.................................. 149

Figura 83 -

Carregamento da LI de M para o cálculo do momento fletor

máximo.................................................. ....................................... 151

Figura 84 - Carregamento para o cálculo da flecha máxima na transversina... 153

Figura 85 - Diagrama de momento fletor para carregamento permanente....... 154

Figura 86 - Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha no

centro.................................................. ........................................... 154

Figura 87 - Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha na

extremidade.................................................. ................................. 155

Figura 88 - Carregamento para cálculo da flecha no vão central..................... 156

Figura 89 - Carregamento indireto para cálculo da flecha no vão central........ 156

Figura 90 - Carregamento para cálculo da flecha no vão central..................... 157

Figura 91 - LI para o cálculo das deformações nas extremidades.................... 157

Figura 92 - Carregamento para cálculo das deformações nas extremidades.... 158

Figura 93 - Diagrama de M para carregamento variável.................................. 158

Figura 94 - Carregamento para obtenção de ̅................................................. 158

Figura 95 - Diagrama de ̅ para o carregamento variável................................ 159

Figura 96 - Vista lateral evidenciando os pilares da ponte............................... 162

Figura 97 - Posicionamento dos pilares em relação aos arcos.......................... 163

Figura 98 -

Carregamento permanente dos pilares proveniente das

transversinas.................................................. ................................ 165

Figura 99 - Carregamentos para determinação do trem-tipo dos pilares.......... 166

Figura 100 - Arcos triarticulados da ponte em estudo........................................ 169

Figura 101 - Características geométricas do arco............................................... 170

Figura 102 - Carregamento permanente dos arcos.............................................. 173

Figura 103 - Carregamento permanente dos arcos.............................................. 175

Figura 104 - Carregamentos para determinação do trem-tipo para os arcos....... 176

Figura 105 - Trem-tipo para o cálculo dos arcos................................................ 177

Figura 106 - LI de H do arco.................................................. ........................... 179

Figura 107 - LI de V da seção com maior força cortante atuante (apoio).......... 181

Figura 108 - Envoltório de força cortante do arco.............................................. 183

Figura 109 - LI de VA e LI de H do arco............................................................ 184

Figura 110 - LI de N da seção com maior força normal atuante (apoio)............ 185

Figura 111 - Envoltório de força normal do arco................................................ 187

Figura 112 - LI da seção com maior momento fletor atuante.............................. 188

Figura 113 - Envoltório de momento fletor do arco............................................ 190

Figura 114 - Forças atuantes nas rótulas de apoio dos arcos............................... 193

Figura 115 - Seções cisalhadas do pino da rótula................................................ 194

Figura 116 -

Detalhamento dos parafusos da chapa de ligação do arco com a

rótula.................................................. ........................................... 195

Figura 117 - Espaçamento entre furos da chapa da rótula.................................. 196

Figura 118 - Modalidades de ruptura de uma ligação com conectores............... 197

Figura 119 - Arcos da Ponte Big Wood River, Idaho – EUA............................ 199

Figura 120 - Modelo de contraventamento sugerido para os arcos.................... 200

Figura 121 - Vista lateral evidenciando o contraventamento dos pilares........... 200

Figura 122 - LI de V no apoio.................................................. .......................... 209

Figura 123 - LI de V da seção 1.......................................................................... 211

Figura 124 - LI de V da seção 2.................................................. ....................... 213








Figura 132 - LI de V da seção 10.................................................. ..................... 229

Figura 133 - LI de VA e LI de H......................................................................... 231

Figura 134 - LI de N no apoio.................................................. .......................... 232

Figura 135 - LI de V da seção 1 e LI de H.......................................................... 234

Figura 136 - LI de N na seção 1.................................................. ....................... 235














Figura 150 - LI de N na seção 8.......................................................................... 256


Figura 152 - LI de N na seção 9.......................................................................... 259

Figura 153 - LI de V da seção 10 e LI de H........................................................ 261

Figura 154 - LI de N na seção 10........................................................................ 262

Figura 155 - LI de M da seção 1.......................................................................... 264









Figura 164 - Peça de madeira submetida à compressão perpendicular às fibras 290

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Pesos específicos dos materiais...................................................... 65

Tabela 2 - Cargas móveis nas pontes............................................................... 67

Tabela 3 - Característica dos veículos.............................................................. 68

Tabela 4 -

Valores de k em função do ângulo de incidência do movimento

das águas......................................................................................... 71

Tabela 5 - Definição de classes de carregamento............................................ 75

Tabela 6 - Ações permanentes diretas consideradas separadamente............... 83

Tabela 7 - Ações permanentes diretas consideradas em conjunto................... 84

Tabela 8 - Ações variáveis consideradas separadamente................................. 85

Tabela 9 - Ações variáveis consideradas em conjunto..................................... 86

Tabela 10 -

Valores dos fatores de combinação (ψ0) e de redução (ψ1 e ψ2)

para as ações variáveis.................................................................... 87

Tabela 11 - Ordenadas da LI de V das transversinas......................................... 150

Tabela 12 - Comprimento dos pilares................................................................ 163

Tabela 13 - Ordenadas para cálculo da força horizontal.................................... 179

Tabela 14 - Áreas para cálculo da força horizontal H........................................ 180

Tabela 15 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 1............................... 181

Tabela 16 - Áreas para cálculo do momento fletor no apoio............................. 182

Tabela 17 - Ordenadas de LI de VA e LI de H................................................... 184

Tabela 18 - Características geométricas do arco no apoio................................. 185

Tabela 19 - Ordenadas de LI de N no apoio...................................................... 185

Tabela 20 - Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios....................... 186

Tabela 21 - Áreas para cálculo da força normal nos apoios.............................. 186

Tabela 22 - Ordenadas da LI de M da seção 5................................................... 189

Tabela 23 - Áreas para cálculo do momento fletor da seção 5.......................... 189

Tabela 24 - Ordenadas para cálculo da cortante no apoio................................. 210

Tabela 25 - Áreas para cálculo da cortante no apoio......................................... 210

Tabela 26 - Força cortante característica no apoio............................................. 210


Tabela 28 - Áreas para cálculo da cortante na seção 1...................................... 212

Tabela 29 - Força cortante característica da seção 1.......................................... 212

























Tabela 54 - Ordenadas para cálculo da cortante da seção 10............................. 230

Tabela 55 - Áreas para cálculo da cortante na seção 10.................................... 230

Tabela 56 - Força cortante característica da seção 10........................................ 230

Tabela 57 - Ordenadas de LI de VA e LI de H................................................... 231

Tabela 58 - Características geométricas do arco no apoio................................. 232

Tabela 59 - Ordenadas de LI de N no apoio................................... .................. 232

Tabela 60 - Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios....................... 233

Tabela 61 - Áreas para cálculo da força normal nos apoios.............................. 233

Tabela 62 - Força normal característica nos apoios........................................... 233

Tabela 63 - Ordenadas de LI de V na seção 1 e LI de H................................... 234

Tabela 64 - Características geométricas do arco na seção 1.............................. 234

Tabela 65 - Ordenadas de LI de N na seção 1.................................................... 235

Tabela 66 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 1....................... 235

Tabela 67 - Áreas para cálculo da força normal da seção 1............................... 236

Tabela 68 - Força normal característica da seção 1........................................... 236






















Tabela 117 - Ordenadas de LI de V na seção 10 e LI de H................................. 261

Tabela 118 - Características geométricas do arco na seção 10............................ 262

Tabela 119 - Ordenadas de LI de N na seção 10.................................................. 262

Tabela 120 - Ordenadas para cálculo da força normal da seção 10..................... 263

Tabela 121 - Áreas para cálculo da força normal da seção 10............................. 263

Tabela 122 - Força normal característica da seção 10......................................... 263

Tabela 123 - Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 1................... 265



























Tabela 150 - Definição de classes de carregamento e valores de kmod1............... 285

Tabela 151 - Valores de kmod2.............................................................................. 285

Tabela 152 - Valores dos coeficientes KE............................................................ 288

Tabela 153 - Fator de correção da resistência à compressão perpendicular (n) 291

Tabela 154 - Coeficiente de fluência (ϕ) ............................................................. 293

Tabela 155 - Integrais de produtos de duas funções............................................ 299

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO............................................................................................... 26

1.1 PROBLEMÁTICA..................................................................................... 27

1.2 OBJETIVOS............................................................................................... 28

1.3 JUSTIFICATIVA....................................................................................... 28

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA...................................................................... 30

2.1 MADEIRA LAMINADA COLADA......................................................... 30

2.1.1 Histórico........................................................................................... 32

2.1.2 Vantagens e desvantagens da MLC............................................... 33

2.1.3 Colagem........................................................................................... 36

2.2 ETRUTURAS EM ARCOS....................................................................... 37

2.2.1 Classificação dos arcos quanto à forma........................................ 44

2.2.2 Classificação dos arcos quanto à estabilidade.............................. 48

2.3 PONTES.................................................................................................... 49

2.4 PONTES DE MADEIRA........................................................................... 52

2.4.1 Pontes em vigas................................................................................ 52

2.4.2 Pontes em pórticos........................................................................... 53

2.4.3 Pontes em placas.............................................................................. 54

2.4.4 Pontes em arcos............................................................................... 56

2.4.5 Pontes pênseis.................................................................................. 60

2.4.6 Pontes estaiadas............................................................................... 61

2.5 DESCRIÇÕES NORMATIVAS................................................................ 62

2.5.1 Estados limites................................................................................. 62

2.5.1.1 Estados limites últimos......................................................... 62

2.5.1.2 Estados limites de serviço..................................................... 63

2.5.2 Ações em pontes de madeira.......................................................... 64

2.5.2.1 Ações permanentes............................................................... 64

2.5.2.2 Ações variáveis..................................................................... 66

2.5.2.3 Ações Excepcionais.............................................................. 74

2.5.3 Classes de carregamento................................................................. 75

2.5.4 Tipos de carregamento.................................................................... 75

2.5.4.1 Carregamento normal........................................................... 76

2.5.4.2 Carregamento especial.......................................................... 76

2.5.4.3 Carregamento excepcional.................................................... 77

2.5.4.4 Carregamento de construção................................................. 77

2.5.5 Situações de projeto........................................................................ 77

2.5.5.1 Situações duradouras............................................................ 78

2.5.5.2 Situações transitórias............................................................ 78

2.5.5.3 Situações excepcionais......................................................... 78

2.5.6 Combinações de ações em pontes de madeira.............................. 79

2.5.6.1 Combinações últimas............................................................ 79

2.5.6.2 Coeficientes de ponderação para as ações permanentes....... 81

2.5.6.3 Coeficientes de ponderação para as ações variáveis............. 84

2.5.6.4 Valores dos fatores de combinação e de redução................. 86

2.5.6.5 Combinações em estado limite de serviço............................ 88

2.6 LINHAS DE INFLUÊNCIAS.................................................................... 89

2.6.1 Linhas de influencias em vigas biapoiadas................................... 90

2.6.2 Linhas de influências para arcos triarticulados........................... 95

2.6.2.1 Linhas de influências para arcos triarticulados nivelados.... 100

2.6.2.2 Linhas de influências para carregamentos indiretos............. 101

2.7 RÓTULAS.................................................................................................. 105

2.8 CONTRAVENTAMENTO........................................................................ 108

3 MATERIAIS E MÉTODOS.......................................................................... 109

4 DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA SUPERESTRUTURA

DA PONTE......................................................................................................... 115

4.1 DIMENSIONAMENTO DO TABULEIRO.............................................. 115

4.1.1 Características geométricas da peça.............................................. 117

4.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade..... 117

4.1.3 Determinação dos esforços de calculo e flecha de serviço........... 118

4.1.4 Verificação da tensão normal......................................................... 120

4.1.5 Verificação da tensão de cisalhamento.......................................... 120

4.1.6 Verificação da flecha de serviço..................................................... 121

4.2 DIMENSIONAMENTO DAS LONGARINAS........................................ 122

4.2.1 Dimensionamento das longarinas principais................................ 124

4.2.1.1 Características geométricas da peça..................................... 124

4.2.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de

elasticidade efetivo.............................................................. 124

4.2.1.3 Carregamentos e solicitações características........................ 125

4.2.1.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)........ 130

4.2.1.5 Verificações da tensão normal.............................................. 130

4.2.1.6 Verificação da tensão de cisalhamento................................. 131

4.2.1.7 Verificação da flecha de serviço........................................... 131

4.2.2 Dimensionamento das longarinas Secundárias............................ 132

4.2.2.1 Características geométricas da peça..................................... 132

4.2.2.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de

elasticidade.......................................................................... 133

4.2.2.3 Carregamentos e solicitações características....................... 133

4.2.2.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)......... 139

4.2.2.5 Verificações da tensão normal.............................................. 139

4.2.2.6 Verificação da tensão de cisalhamento................................. 140

4.2.2.7 Verificação da flecha de serviço........................................... 140

4.3 DIMENSIONAMENTO DAS TRANSVERSINAS.................................. 141


4.3.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade

efetivo............................................................................................... 143

4.3.3 Carregamentos atuantes nas transversinas.................................. 143

4.3.4 Solicitações de cálculo..................................................................... 149

4.3.5 Verificações da tensão normal....................................................... 160

4.3.6 Verificação da tensão de cisalhamento.......................................... 160

4.3.7 Verificação da flecha de serviço..................................................... 160

4.4 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES.................................................. 162


4.4.2 Características da madeira............................................................. 164

4.4.3 Carregamentos atuantes nos pilares............................................. 165

4.4.4 Solicitação de cálculo...................................................................... 167

4.4.5 Verificações e conclusões................................................................ 168

4.5 DIMENSIONAMENTO DOS ARCOS..................................................... 169


4.5.2 Características da madeira............................................................. 172

4.5.3 Carregamentos atuantes nos arcos................................................ 173

4.5.4 Solicitações de cálculo..................................................................... 178

4.5.4.1 Força horizontal.................................................................... 178

4.5.4.2 Força cortante....................................................................... 180

4.5.4.3 Força Normal........................................................................ 183

4.5.4.4 Momento fletor..................................................................... 187

4.5.5 Verificações e conclusões................................................................ 191

4.5.5.1 Verificação da estabilidade na seção 5 191

5 DIMENSIONAMENTO DAS RÓTULAS .................................................. 193

6 SUGESTÃO DE CONTRAVENTAMENTO.............................................. 199

7 CONCLUSÃO.................................... ........................................ ................... 201

8 BIBLIOGRAFIA................................... ........................................ ...............

APÊNDICE A - Linhas de influências para o cálculo da força cortante..... 209

APÊNDICE B - Linhas de influências para o cálculo da força normal....... 231

APÊNDICE C - Linhas de influências para o cálculo do momento fletor... 264

APÊNDICE D - Resistência de cálculo de madeira serrada de folhosas

não classificadas.................................................................................... 284

APÊNDICE E - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais

submetidos à compressão paralela às fibras........................................... 287

APÊNDICE F - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais

submetidos à compressão normal às fibras............................................ 290

APÊNDICE G - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais

submetidos à flexão simples reta........................................................... 292

APÊNDICE H - Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais 294

submetidos à flexocompressão................................................................

APÊNDICE I - Roteiro para cálculo da flecha em determinada posição de

uma viga de seção constante................................................................. 298

ANEXO 1 - Integrais de produtos de duas funções................................ 299

26

1 INTRODUÇÃO

O Brasil é um país com dimensões continentais, são mais de 8,5 milhões de

quilômetros quadrados de área, onde existem de acordo com o Departamento Nacional

de Infra Estrutura de Transportes – DNIT, mais de 1,7 milhões de quilômetros de

rodovias, dos quais apenas 10% são pavimentados, ou seja, são mais de 1,5 milhões de

quilômetros de estradas vicinais. De acordo com Calil Júnior e Góes (2005), estima-se

que 0,5% desse total constituem-se de pontes, assim sendo, tem-se cerca de 860 km de

pontes em estradas pavimentadas e, algo em torno de 7.500 km de pontes em estradas

vicinais no Brasil. Para Calil Júnior et al. (2006) as pontes são de suma importância ao

desenvolvimento dos municípios, do ponto de vista econômico e social, as estradas

devem assegurar a entrada de insumos nas propriedades agrícolas, o escoamento da

produção e o livre deslocamento das populações do meio rural.

Segundo a Secretaria de Estado de Transporte e Pavimentação Urbana do

Estado do Mato Grosso – Sinfra/MT, no Estado do Mato Grosso, 83% das rodovias

são estradas vicinais e mais de duas mil pontes no Estado são de madeira. Entretanto,

nota-se que, ao longo dos anos, processos incorretos de construção e de manutenção

foram empregados nestas estruturas, principalmente pela carência de informações

técnicas. Consequentemente, não foram utilizado todo o potencial da madeira como

elemento estrutural e tão pouco explorado o grande potencial estético desse material e

ainda, na maioria das vezes, a estrutura ficou mais cara do que o necessário. Em

consequência disso, fica no inconsciente da população a ideia equivocada de que a

madeira não é um material durável e muito menos confiável. Porém, já é sabido, que

quando a madeira é empregada de forma correta, com estrutura projetada e executada

por profissionais especializados e empregado os tratamentos preservantes contra

agentes biológicos, a madeira apresenta uma vida útil superior a cinquenta anos.

O lastimável estado em que se encontram as estradas e pontes vicinais, no

Brasil, desestimula a permanência dos indivíduos nas comunidades rurais, visto que

dificulta o trânsito causando desconforto e insegurança aos usuários, além de elevar o

custo do transporte para os produtores e os custos de manutenção para as prefeituras.

27

Em vista disto, faz-se necessário que técnicas corretas da utilização da madeira

em projetos de pontes sejam difundidas em todo país, para que se tenham estruturas

seguras, ecologicamente corretas, economicamente viáveis e esteticamente elogiáveis.

1.1 PROBLEMÁTICA

Pelo fato do Estado do Mato Grosso possuir um índice elevado de estradas

vicinais a grande maioria de suas pontes são de madeira, sendo predominantes as

pontes em vigas para vãos até 7 metros e pontes treliçadas para vãos compreendidos

entre 7 a 16 metros. Contudo, não se faz necessário o estudo em outras tecnologias?

Não se pode usar outra tipologia construtiva, como as pontes em arco? Não é possível

construir esse tipo de ponte com madeira serrada, de dimensões comerciais? E os arcos

de MLC, as dimensões serão inapropriadas para sua fabricação na indústria, que, em

geral, limitam a altura em 1,5m? O cálculo é muito complexo, não pode ser

simplificado?

Os estudos sobre pontes com estrutura em arcos, utilizando a Madeira

Laminada Colada (MLC), como material estrutural ainda carece de avanços em nosso

país. Essa técnica, já bastante utilizada em vários países, ganha destaque não só pela

estética proporcionada por sua estrutura em forma de arcos, que permite que seja

utilizada em zonas rurais e também em centros urbanos; como também pela

possibilidade da utilização de madeira de reflorestamento na composição de suas

peças, e de acordo com a Associação Brasileira de Produtores de Florestas Plantadas –

ABRAF (2011), no Brasil já são mais de 6,5 milhões de hectares de reflorestamento,

distribuídos por todas as cinco regiões do país. Soriano (2001) destaca que a escassez

das espécies de madeiras nativas tem contribuído para o desenvolvimento de pesquisas

e a aplicação de algumas espécies de madeira de reflorestamento, como exemplos o

pinus e o eucalipto.

28

1.2 OBJETIVOS

Este trabalho traz como objetivo geral verificar se o dimensionamento dos

elementos da superestrutura de uma ponte em arco de MLC, com tabuleiro superior,

conduz a seções usuais, tanto de madeira serrada, como de MLC, e se é possível

estabelecer um roteiro para simplificação nos cálculos do dimensionamento das peças

da superestrutura da ponte, considerando os critérios estabelecidos pelo projeto de

revisão da NBR 7190, da ABNT (2011). Para que estes objetivos sejam alcançados, se

faz necessário atender os seguintes objetivos específicos:

Definir um caso típico de ponte em arco de MLC, de vãos não atendidos

pelas tipologias utilizadas em MT, portanto superior a 16 m e com base em uma

situação real;

Dimensionar o tabuleiro, as longarinas, as transversinas e os pilares, todos

de madeira serrada, dessa ponte;

Dimensionar o arco de MLC dessa ponte, construindo as envoltórias de

máximos esforços solicitantes, para fazer o dimensionamento nas posições de

máximos esforços.

1.3 JUSTIFICATIVA

O Brasil ocupa lugar de destaque no cenário internacional pelo enorme

potencial na produção de madeira, não só de florestas nativas como também por área

de reflorestamento. Elemento de fonte renovável e excelente fixador de carbono, a

utilização da madeira é imprescindível para minoração dos impactos ecológicos

provocados por obras civis.

Nesse contexto, a Madeira Laminada Colada (MLC) aparece como excelente

alternativa para execução de estruturas de pontes, pois pode ser executada com

madeira de reflorestamento, de espécies de baixa densidade e qualidade estrutural

inferior, se comparadas com madeiras de alta resistência das florestas nativas do

Brasil. Para Szücs (2006) atualmente, as peças estruturais em MLC são, em sua

29

maioria, produzidas com madeira de floresta plantada, principalmente com a madeira

de Pinus, que é abundante nos países do hemisfério norte, berço da MLC.

A estrutura em forma de arcos em MLC para pontes apresenta a vantagem de

possibilitar a transposição de rios e outros obstáculos em locais cujas características

geográficas dificultam a construção de pilares e, além de eficiente pela excelente

resistência mecânica e com pouco peso, o que diminui o tamanho das fundações, a

estrutura é de rápida execução, possui baixo custo e pode ser uma ótima opção para

locais de difícil acesso e pouca infraestrutura, pois a mesma pode ser construída em

um local com recursos e posteriormente transportada e montada onde se deseja. Dessa

forma, as pontes de madeira com estrutura em arcos atende aos requisitos de

funcionalidade, segurança, economia e estética.

Portanto, as pontes em MLC tornam-se uma ótima alternativa para todas as

regiões brasileiras, em especial ao Centro Oeste e Norte do Brasil, onde existe uma

enorme necessidade de pontes, principalmente em estradas vicinais; pois se apresenta

como alternativa para as regiões alagadas do Pantanal Matogrossense, que possui

grande parte das pontes do tipo “barragem”, de vãos com pequenas dimensões, que

dificultam o fluxo das águas, principalmente no período chuvoso, se fazendo

necessárias soluções que apresentem vãos livres maiores; e também pode suprir a falta

de pedra brita em algumas localidades da região Norte, o que inviabiliza a construção

em concreto.

Dessa forma, a construção de pontes utilizando madeira como material

estrutural justifica-se por ser mais econômico, por ser um material abundante, por ser

renovável, ecologicamente correto, de baixo consumo energético, de excelente

resistente mecânica, de boa durabilidade, fácil manuseio e permite o seu transporte

com relativa facilidade.

30

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 MADEIRA LAMINADA COLADA

A Madeira Laminada Colada (MLC) é um produto manufaturado que, como o

próprio nome revela, provém da união de dois processos: a laminação da madeira e a

colagem das laminas. Após a laminação da madeira, é feita uma seleção das laminas a

serem utilizadas, de forma que sejam eliminadas as laminas que apresentarem

imperfeições significativas para a resistência da peça, a seguir as laminas são

colocadas para secagem e, então, as laminas são coladas de forma que as fibras de

todas as laminas na direção longitudinal coincida com o eixo principal da peça. As

peças de MLC podem assumir formas variadas de diversas dimensões, e podem ser

empregadas como pilares, vigas, arcos, pórticos, entre outros.

De acordo com o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), entende-

se por MLC para fins estruturais, peça de madeira, reconstituída em processo

industrializado de fabricação, composta de tábuas de dimensões relativamente

reduzidas se comparadas às dimensões da peça final, coladas umas às outras e

dispostas com as fibras paralelas ao eixo longitudinal da peça final. A Figura 1

apresenta o esquema de fabricação de uma peça de MLC.

Fig. 1: Esquema de fabricação de uma peça em MLC

Fonte: ZANGIÁCOMO (2003).

31

Moody et al. (1999)1 apud Miotto (2009) afirmam que praticamente todas as

espécies de madeira podem ser utilizadas na fabricação da MLC, contanto que as

propriedades físicas e mecânicas sejam apropriadas e que aceitem adequadamente o

processo de colagem.

Terezo e Szücs (2010) declaram que no Brasil, além da produção com Pinus

spp, também são confeccionadas vigas em MLC com madeiras de eucalipto. Ambas

provenientes de florestas plantadas, porém são espécies exóticas que não pertencem à

flora nativa brasileira.

Em estudos realizados por André (2006) fica evidente que a distribuição de

frequências da resistência da MLC tem menor variabilidade e maiores valores médios

e característicos do que no caso da madeira serrada. Isso significa que uma peça de

MLC resiste a cargas mais elevadas que outra peça de madeira serrada feita da mesma

espécie e com as mesmas dimensões, ou que para a mesma carga, menos madeira será

necessário se a tecnologia MLC for utilizada. A Figura 2 ilustra as diferenças citadas

acima.

Figura 2: Comparação das distribuições de frequências da resistência da MLC e da madeira

serrada

Fonte: ANDRÉ (2006).

___________________________________ 1

MOODY, R.G. et al. Glued structural members. In: Wood Handbook – Wood as an

engineering material. Madison: Forest Products Laboratory, 1999. Gen. Tech. Rep. FLP –

GTR – 113, Chapter 11, 24p.

32

O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), sugere que no processo

de fabricação da MLC:

Deve-se evitar a composição com espécies diferentes, ou que apresentem

diferentes coeficientes de retração;

As tábuas empregadas no processo de fabricação de peças de MLC devem

ser tratadas com produtos que garantam durabilidade e proteção biológica,

sem prejuízo à aderência da cola;

No processo de secagem, deve-se procurar a homogeneização do teor de

umidade do lote de tábuas.

Devem ser empregadas peças com densidade aparente (para um teor de

umidade de 12%) entre 0,40 g/cm³ e 0,75 g/cm3. No caso de peças com

densidade superior a 0,75 g/cm3, deve ser feita uma avaliação criteriosa do

comportamento das juntas coladas.

2.1.1 Histórico

A Madeira Laminada Colada (MLC) começou a ser utilizada na Suíça, no final

do século XIX, quando foi desenvolvida a técnica de laminar pequenas peças de

madeira para formar grandes elementos estruturais. A primeira obra em MLC foi um

auditório construído em Basel, na Suíça, em 1893. O método de colagem de lâminas

de madeira ficou conhecido na época por Hertzer System, graças a patente concedida a

Otto Karl Frederich Hertzer. O maior problema existente na época, é que não existiam

colas de boa qualidade, que fossem resistentes a umidades e intempéries, limitando a

utilização da descoberta de Hertzer a ambientes internos. O sistema se propagou pela

Europa a partir de 1913, após o surgimento de colas de melhor qualidade, e começou a

ser utilizado por países nórdicos como Dinamarca, Suécia e Noruega que possuíam

bastante tradição na utilização da madeira. Nos Estados Unidos, um dos primeiros

exemplos da utilização da MLC foi em uma construção do Forest Product Laboratory

em Madison, Wisconsin; construído em 1934, o qual foi projetado com base nos

princípios de engenharia para sistema de arcos (SMULSKI, 19972 apud TELES,

2009).

33

Segundo Teles (2009) a Esmara Estruturas de Madeira Ltda., fundada em

Curitiba – PR em 1934 com tecnologia alemã foi a primeira empresa brasileira a

trabalhar com confecção de MLC. Outra empresa de mesmo nome foi fundada no ano

de 1954 em Porto Alegre – RS e, no ano de 1984, mudou seu parque industrial para

Viamão – RS, onde ainda mantém suas atividades.

Além da Esmara, somente mais duas indústrias de MLC atuam no Brasil: a

Battistella Indústria e Comércio Ltda., situada em Lages-SC, atuando no setor há mais

de 40 anos e recentemente, a Rewood Indústria Madeireira Ltda., criada em Taboão da

Serra – SP, em 2008.

Outras indústrias de MLC foram criadas no Brasil, mas não estão mais em

funcionamento, são elas: a Premon, fundada em Curitiba – PR, em 1977; a Emadel

Estruturas de Madeira Ltda., fundada em Araucária – PR, em 1981; a Laminarco

Madeira Industrial Ltda., fundada na década de 60 em São Paulo – SP (ESPÓSITO,

2007).

2.1.2 Vantagens e desvantagens da MLC

A MLC apresenta vantagens significativas em sua utilização, pois é um

material pensado para manter e até melhorar as qualidades da madeira serrada,

diminuindo os problemas inerentes às suas imperfeições. Isso se torna possível porque

no processo de fabricação é realizada uma seleção das lâminas a serem utilizadas,

eliminando lâminas que apresentarem imperfeições como nós, fissuras, arqueamento,

entre outros, e as tábuas que comporão as lâminas deverão passar ainda por uma

classificação visual seguida de uma classificação pelo módulo de elasticidade.

Outra vantagem marcante na utilização da MLC é a grande liberdade

arquitetônica de projeto, sendo possível a criação de peças de grandes dimensões, com

seções transversais maiores que aquelas comumente encontradas em madeira serrada,

formas variadas e ainda aplicação de contra flechas, que seriam impossíveis com a

madeira serrada. A Figura 3 ilustra os arcos da Ponte Tioga, em Oregon – EUA,

construída em MLC.

34

Figura 3: Arcos da Ponte Tioga, Oregon – EUA

Fonte: http://westernwoodstructures.blogspot.com.br/

Carvalho (2008) ressalta que os elementos estruturais podem ser projetados

com uma secção transversal de geometria variável, adaptando-se as exigências das

condições de serviço em termos de resistência e rigidez. Na Figura 4 são dados alguns

exemplos desta característica da MLC. Como se apresenta, é possível ter seções

transversais maiores nas zonas de maiores solicitações. Deste modo, é possível, com

um projeto bem concebido, usar menos material para situações semelhantes e ao

mesmo tempo ter mais possibilidades arquitetônicas.

Figura 4 – Vistas laterais de vigas de MLC

Fonte: USDA (1999).

35

O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), faz algumas ressalvas

nas formas e dimensões das lâminas a serem utilizadas nas composições das peças. Na

composição longitudinal das lâminas, cada tábua deverá ter comprimento superior a

100 cm e espessura que permita uma dimensão máxima de 5 cm quando do

acabamento final da lâmina. Deve-se observar ainda que a área da seção transversal de

cada lâmina não exceda 60 cm2, para madeira de densidade igual ou inferior a

0,50_g/cm

3, ou 40 cm

2, para madeira de densidade superior a 0,50 g/cm

3, evitando-se

nos dois casos, largura final superior a 20 cm. Em nenhuma hipótese, a espessura final

de cada lâmina deverá exceder 5 cm. No caso de peças curvas, a espessura final de

cada lâmina deverá atender também ao limite máximo de L/150 do raio de curvatura

da face interna da lâmina, para o caso de madeiras com densidade aparente até

0,50_g/cm

3 e L/200, para o caso de madeiras com densidade aparente superior.

Henriques (2005) destaca que outra vantagem da MLC refere-se à relativa

imunidade ao ataque de xilófagos em grande parte devido às colas empregadas, que

são normalmente possuidoras de toxinas. Além disso, a devida impregnação de

produtos preservativos faz parte da sua tecnologia. Ressalta também que a MLC,

assim como a madeira “in natura”, é o material estrutural mais apropriado para

ambientes quimicamente agressivos, como indústrias químicas ou laboratórios, uma

vez que não sofre qualquer corrosão ou oxidação. É também imune às ações dos

cloretos da água do mar e à ação do cloro das piscinas, razão pela qual a sua larga

utilização em coberturas nesse tipo de obra.

Com relação a tratamentos contra agentes biológicos, o projeto de revisão da

NBR 7190, da ABNT (2011), específica que as tábuas empregadas no processo de

fabricação de peças de MLC devem ser tratadas com produtos que garantam

durabilidade e proteção biológica, sem prejuízo à aderência da cola. O tratamento

preservante também pode ser realizado após a fabricação das peças de MLC, desde

que não provoque alterações nas juntas coladas.

Pfeil e Pfeil (2003) afirmam que a MLC permite melhor controle de umidade

das lâminas, reduzindo defeitos provenientes da secagem irregular. Pois, em

decorrência do processo de colagem, se faz necessário que as lâminas estejam secas.

O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), recomenda que no

processo de secagem, deve-se procurar a homogeneização do teor de umidade do lote

de tábuas, visando evitar a ocorrência de defeitos prejudiciais à colagem. O processo

36

de composição das peças deve iniciar no menor tempo possível, após a secagem e

estabilização do teor de umidade do lote a ser utilizado. No momento da colagem, as

tábuas empregadas no processo de fabricação da MLC deverão estar secas, com no

máximo 18% de teor de umidade, não sendo permitida variação superior a 5% no teor

de umidade, entre lâminas adjacentes.

Zangiácomo (2003) ressalta a baixa relação peso/resistência, não exigindo

equipamentos possantes para içamento, bem como conduzindo a fundações com ações

de menores intensidades e o bom desempenho sob a ação do fogo, em razão de seções

transversais avantajadas e a elevada resistência aos agentes corrosivos.

As principais desvantagens da MLC esbarram no processo de fabricação das

peças, o qual é mais oneroso e demorado, necessitando de equipamentos especiais para

a montagem, colagem, treinamento de funcionários, utilização de adesivos para a

consolidação das peças e a modificação da planta da fábrica, os quais não são

necessários para a produção de madeira serrada. Outro fator importante é o transporte

das peças, que por possuírem dimensões especiais, dificultam a locomoção (USDA,

1999).

Outro fator prejudicial para a difusão da MLC no Brasil é o alto custo do

produto, que está na ordem de U$2.000,00/m³ (dois mil dólares por metro cúbico),

enquanto a madeira serrada de boa qualidade e alta resistência mecânica está na ordem

de U$500,00/m³ (quinhentos dólares por metro cúbico). A termos de comparação, a

MLC no Chile custa U$750,00/m³ (setecentos e cinquenta dólares por metro cúbico) e,

nos Estados Unidos e Canadá na ordem de U$1000,00/m³ (mil dólares por metro

cúbico).

2.1.3 Colagem

Para os autores do projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), os

adesivos empregados nas emendas de continuidade e na fabricação das peças

estruturais de MLC, devem ser estruturais e apresentar propriedades compatíveis às

condições ambientais a que os elementos estruturais estarão submetidos durante toda a

sua vida útil. A quantidade de adesivo e os demais parâmetros de colagem devem

37

seguir as recomendações dos fabricantes do adesivo, recomendando-se a comprovação

experimental tanto para as emendas dentadas como para os elementos estruturais

fabricados. Na ausência de recomendação do fabricante da cola, deve-se observar que

na colagem das peças de MLC a junta de cola entre lâminas deverá receber uma

pressão mínima de 0,7 MPa, para madeiras de densidade inferior ou igual a 0,5 g/cm3

e de 1,2 MPa, para madeiras de densidade superior a 0,5 g/cm3.

O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), dispõe que a

continuidade de cada lâmina deverá ser assegurada pela união longitudinal entre as

tábuas que as compõem. Essa união deverá ser realizada por colagem de entalhes

múltiplos usinados nas extremidades de tábuas consecutivas. As emendas dentadas

poderão ser usinadas verticalmente ou horizontalmente, conforme ilustra a Figura 5.

Figura 5: Tipos de usinagem das emendas dentadas

Usinagem horizontal Usinagem vertical

No caso dessa união ser realizada por emendas biseladas ou similar, a sua

eficiência deverá ser atestada por ensaio mecânico em laboratório idôneo. As emendas

de topo não deverão ser empregadas no processo de fabricação de peças estruturais de

MLC.

2.2 ESTRUTURAS EM ARCOS

De acordo com Silva e Souto (2000) apud Nunes (2009) as obras estruturais se

destinam a quatro funções fundamentais: abrigo, tráfego, condução e contenção. A

função de abrigo diz respeito a delimitar, cobrir ou proteger um espaço. As estruturas

destinadas ao tráfego são aquelas que visam facilitar a circulação de pessoas, animais,

veículos e materiais, como as estradas e ferrovias, incluindo pontes, viadutos e túneis.

A função de condução diz respeito à condução de líquidos (canais e tubos) ou gases

38

(dutos e chaminés), enquanto a função de contenção diz respeito à contenção e

armazenamento das mais diversas substâncias, por meio de reservatórios, silos,

barragens, arrimos, escoras, etc. Ao longo da história, o arco tem sido utilizado em

estruturas destinadas a todas essas funções, em diferentes formas e combinações.

Os arcos, há tempos exercem fascínio sobre os povos. Grandes obras foram

erguidas no mundo em forma de arcos, para simbolizar poder e desígnios imperiais.

Muitas dessas obras que utilizam o arco como elemento estrutural, construídas há

centenas e até milhares de anos, ainda são visitados e contemplados pela sociedade

moderna. Entre essas obras, são exemplos: o Coliseu em Roma, inaugurado em 80

d.C.; o Arco do Triunfo em Paris, construído em 1806, para comemorar as vitórias de

Napoleão Bonaparte; os arcos da Lapa, no Rio de Janeiro, inaugurado em 1723; entre

inúmeras outras. Ilustra-se na Figura 6 a velha Rua dos Arcos e sua arcada dupla

aberta ainda no século XIX e fechada na primeira metade dos anos 60, no bairro da

Lapa, na cidade do Rio de Janeiro.

Figura 6: Rua dos arcos, Lapa, Rio de Janeiro.

Fonte: http://www.rioquepassou.com.br

De acordo com Antunes (2010) os primeiros a utilizar essa técnica foram os

etruscos, porém foram os romanos que desenvolveram o conhecimento e difundiram o

processo pela Europa, nos territórios que eles conquistaram. Nesse período de

dominação, construíram inúmeras pontes com estrutura em forma de arcos, como

exemplo temos a Ponte de Fabricio (62 a.C.), a ponte de Santo Ângelo (134 d.C.) e a

39

Ponte de Cestio (365 d.C.) que ainda hoje servem a população local, ilustradas na

Figura 7.

Figura 7: (a) Ponte de Fabricio; (b) Ponte de Santo Ângelo; (c) Ponte de Cestio

(a)

(b)

40

(c)

Fonte: http://www.google.com.br/search

Arcos são estruturas que possuem seus eixos em forma curvilínea, onde a parte

central é mais alta que as extremidades. É uma estrutura plana, com carregamento no

mesmo plano e permite escolher a forma do eixo para que seja possível controlar os

esforços de flexão. Na Figura 8 apresenta-se um resumo da nomenclatura utilizada

para os arcos.

Figura 8: Nomenclatura para arcos

Fonte: FREITAS (1978).

Além das nomenclaturas exibidas na Figura 8, também são utilizados os

seguintes termos: corda de um arco, que é a distância entre dois apoios; vão, que é a

projeção horizontal da corda; flecha, que é a distância vertical que vai do fecho a linha

de nascença e é perpendicular a linha do horizonte; o grau de abatimento, que é a

41

relação entre a flecha e o vão; e o coeficiente de audácia, que é a relação entre o vão e

o grau de abatimento.

Segundo Antunes (2010) os primeiros estudos sobre o comportamento

mecânico dos arcos de que se tem conhecimento são de Leonardo Da Vinci e constam

de um conjunto de ensaios experimentais apresentando conceitos que só viriam a ser

desenvolvidos mais tarde. Da Vinci propôs para a verificação da estabilidade que “um

arco não cairá se uma corda que liga os apoios ao fecho não tocar o intradorso do

arco”, um conceito que viria a ser novamente enunciado em 1730 por Couplet. A

Figura 9 ilustra a teoria de Da Vinci.

Figura 9: Regras para a verificação da estabilidade de arcos de Leonardo da Vinci

Fonte: ANTUNES (2010).

Após Da Vinci, no ano 1638, Galileo Galilei desenvolveu as bases da mecânica

estrutural que levaram ao desenvolvimento de condições para a substituição das regras

de dimensionamento empíricas por regras racionais (GAGO, 20042 apud ANTUNES,

2010).

Em 1676, Robert Hooke sem resolver a estática do problema, reconheceu que o

problema do arco poderia ser identificado com o da catenária e estabeleceu que

suspendendo uma corrente metálica se obtivesse a geometria invertida de um arco

equilibrado (O’DWYER, 19993 apud ANTUNES, 2010).

David Gregory, em 1697, determinou a forma da corrente metálica de Hooke

publicando a expressão matemática que a definia afirmando ainda que “quando um

arco se mantém em equilíbrio é porque contém na sua espessura uma catenária”.

Gregory ainda afirmou que “a mesma força que a corrente exerce para dentro é

exercida para fora pelo arco” (GAGO, 20042 apud ANTUNES, 2010).

______________________________ 2 GAGO, A.; 2004; Análise Estrutural de Arcos, Abóbadas e Cúpulas; Dissertação para Obtenção do

Grau de Doutor em Engenharia Civil; IST; Lisboa. 3 O'DWYER, D.; 1999; Funicular analysis of masonry vaults; Computers and Structures, Vol. 73, pp

187-197.

42

No ano 1712, Philippe de La Hire arbitrou pela primeira vez uma forma como

um arco real poderia colapsar, por um mecanismo de cunha deslizante (desprezando o

atrito), onde pela ação do seu peso, a parte superior cairia, deslizando sobre juntas

fraturadas e empurrando os encontros para o exterior, conforme ilustrado na Figura 10.

Figura 10 - Mecanismo de colapso de La Hire e Belidor

Fonte: KURRER (2008)4 apud CANHÃO (2010).

Em 1823, Navier definiu o conceito de núcleo central do arco respondendo ao

problema da distribuição de tensões nas secções de peças lineares, permitindo, poucos

anos mais tarde, em 1830, a formulação de dois novos conceitos, por Méry, que

adotou as teorias de Moseley: linha de pressões e linha de resistência (NUNES, 2009).

Linha de pressões é, segundo Timoshenko, o lugar geométrico das

consecutivas intersecções entre as direções das pressões atuantes nas juntas e a linha

de resistência é o polígono que une os centros de pressões de cada junta (KURRER,

20084 apud CANHÃO, 2010). A Figura 11 ilustra a linha de pressão em um arco de

acordo com Timoshenko.

______________________________ 4 KURRER, K.E (2008). “The history of the theory of structures – from arch analysis to

computational mechanics”. Berlin: Ernest & Sohn.

43

Figura 11: Linha de pressão segundo Timoshenko

Fonte: Antunes (2010).

Para Antunes (2010) a determinação da posição da linha de pressões permite

avaliar a estabilidade da estrutura. A linha de pressões “verdadeira” é de difícil

determinação, contudo, recorrendo à teoria da análise limite, a determinação de

qualquer linha de pressões em equilíbrio com as ações atuantes e inscritas na espessura

do arco indica que essa estrutura estará em equilíbrio, ou seja, caso se encontre

qualquer solução de equilíbrio está provado que a estrutura está em equilíbrio, não

sendo necessário encontrar a solução exata.

Segundo Engel (1981) o arco, assim como o cabo de suspensão, em virtude de

seus esforços apenas por simples compressão ou tração, são, no que se refere à relação

peso/vão, os sistemas mais econômicos de cobrir um espaço.

Para Pinto (2009) o arco é uma estrutura resistente que, graças à sua forma,

vence um determinado vão, através de uma configuração geométrica poligonal ou

curva, que é submetida basicamente a esforços de compressão, evitando esforços de

flexão ou reduzindo-os a valores pouco significativos. Logo, é a estrutura de eleição

para materiais cuja resistência à tração é baixa ou nula, dado que estas se podem evitar

ou reduzir a um mínimo.

De acordo com Rebello (2000) os arcos também apresentam reação horizontal

nos apoios. Quanto maior a flecha, menor o empuxo horizontal e vice-versa, de onde

se conclui que quanto maior a flecha menor é a solicitação do arco. Dessa forma, arcos

abatidos são mais curtos, mas apresentam maior seção transversal; arcos com grande

flecha são mais longos, mas têm seção menor.

44

Os arcos podem ser classificados de acordo com sua forma e também pelo grau

de equilíbrio.

2.2.1 Classificação dos arcos quanto à forma

Os arcos são bastante variados, quanto à forma, sendo os mais comuns: os

semicirculares, elípticos ou em catenárias, parabólicos e góticos:

Arco semicircular: conhecido também como arco romano, é um arco

biapoiado e não é aconselhável para grandes vãos uma vez que a relação entre a

largura e a altura (2 : 1) o torna inviável. Um exemplo de arco semicircular é a Ponte

dos Arcos construída em Conservatória, no Estado do Rio de Janeiro em 1884,

ilustrada na Figura 12.

Figura 12: Ponte dos Arcos, Conservatória, Rio de Janeiro – Brasil

Fonte: http://www.turismovaledocafe.com/2009/10

Arco elíptico: pode ter dois ou mais apoios, tendo condições de ser

utilizado tanto para pequenos vãos (arco elíptico estreito) como para grandes vãos

(arco elíptico largo). Apresenta-se, na Figura 13, a ponte sobre o rio Vez, em Portugal,

construída no Século XIX, com estrutura em arcos elípticos.

45

Figura 13: Ponte dos Arcos sobre o rio Vez, Parque Nacional da Peneda-Gerês – Portugal

Fonte: http://gooaround.blogspot.com.br/2010/03

Arco parabólico: o arco parabólico é um dos mais adequados do ponto

de vista estrutural, pois têm a mesma forma parabólica do diagrama de momentos

fletores o que faz com que as tensões de flexão sejam eliminadas, no caso de forças

uniformemente distribuídas ao longo do vão. Na Figura 14 apresenta-se a Bodega de

Ribera de Duero em Valladolid na Espanha, com o emprego de arcos parabólicos em

madeira laminada colada.

Figura 14: Estrutura em arcos parabólicos (Bodega de Ribera de Duero – Espanha)

a) Vista parcial

46

b) Vista do conjunto

Fonte: http://www.flickr.com/photos

Na Figura 15 apresenta-se a Ponte dos arcos em Nova Brunswick no Canadá,

construída em concreto armado, com estrutura em forma de arcos parabólicos.

Figura 15: Ponte em arco parabólico (New Brunswick – Canadá)

Fonte: http://www.educacional.com.br/reportagens/arquitetura/industrial.asp

Arco gótico: é o arco em forma de ponta ou ogiva, bastante comum nas

grandes catedrais europeias. A razão desta forma de arco é essencialmente religiosa,

pois se acreditava que se houvesse algo apontando para Deus (a ponta ou ogiva)

conseguir-se-ia atingi-lo mais facilmente. A Catedral de Notre Dame em Paris,

47

apresentada na Figura 16 é um exemplo de construção com arcos góticos em toda

fachada principal.

Figura 16: Catedral de Notre Dame, Paris – França

Fonte: http://megaconstrucciones.net/?construccion=catedral-notre-dame-paris

A utilização dos arcos góticos não ficou limitada apenas às Igrejas, também

foram também utilizados na construção de pontes, sendo mais comuns em pedras ou

aço. Apresenta-se na Figura 17 a Ponte de pedras Dom Goimil em Portugal, construída

em forma de arco gótico.

http://1.bp.blogspot.com/_0SFWQabn5Co/S2L6e-axRnI/AAAAAAAAAgE/eDmxx37B_ZA/s1600-h/notre_dame.jpg

48

Figura 17: Ponte em arco gótico (Ponte de D. Goimil. Matosinhos, Porto – Portugal)

Fonte: http://www.panoramio.com/photo

2.2.2 Classificação dos arcos quanto à estabilidade

Com relação à estabilidade de um arco, ele pode ser classificado em isostático

e hiperestático. Os arcos isostáticos possuem dois apoios fixos com uma articulação

entre eles (rótula) e também são chamados de arcos triarticulados.

Os arcos hiperestáticos podem ser:

1. Biengastado: é vinculado com engastes nas extremidades e é três vezes

hiperestático.

2. Biarticulado: É vinculado com apoios fixos nas extremidades, e é uma vez

hiperestático.

3. Atirantado: possui um apoio fixo e um apoio móvel, conectados por uma barra

tracionada denominada tirante. O arco atirantado é uma vez hiperestático.

A Figura 18 apresenta os esquemas de arcos classificados quanto à sua

estabilidade.

49

Figura 18: Esquemas de arcos quanto à sua estabilidade.

Fonte: ARRUDA SERRA (s/d).

Os arcos que possuem mais de três articulações são classificados como

hipostáticos, sendo assim, não podem ser utilizados.

2.3 PONTES

Para Logsdon (1982) as pontes primitivas são obras da própria natureza. O

tronco caído, o arco formado pela erosão, o galho de árvore cruzando o riacho e a

placa de gelo formada sobre o lago (equivalentes naturais às pontes em viga, em arco,

pênsil e em placa) são exemplos disto. A Figura 19 ilustra uma ponte primitiva

formada por erosão citada por Logsdon.

50

Figura 19: Arco Paisagem, Parque Nacional dos Arcos, Utah, EUA

Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki

Logsdon (1982) afirma também que antes da descoberta dos metais (5.000

a.C.), imitando a natureza, o homem havia aprendido a construir pontes em viga,

jogando troncos de árvore ligando as margens do rio (Figura 20), e pontes suspensas

(uma variação de pontes pênseis), representadas por uma corda sustentando uma cesta

na qual o passageiro era transportado.

Figura 20: Representação natural de uma ponte em viga

Fonte: skyscrapercity.com

A NBR 7188, da ABNT (1984), define ponte como toda e qualquer estrutura

destinada a permitir a transposição de um obstáculo, natural ou artificial.

51

Para Freitas (1978) "ponte" é uma obra destinada a manter a continuidade de

uma via de comunicação qualquer vencendo um obstáculo natural ou artificial, com a

característica de não interromper totalmente esse obstáculo.

Para Soriano e Mascia (2008), as pontes podem ser definidas como obras de

arte destinadas à transposição de obstáculos naturais ou não, visando à locomoção de

veículos diversos e pedestres com segurança e conforto.

As pontes, em sua grande maioria, ficam marcadas na memória de uma

sociedade, pois são responsáveis pelo desenvolvimento financeiro, social e até mesmo

cultural de uma região. As pontes integram cidades, facilitam o escoamento de

produção, são indispensáveis em planos de mobilidade urbana, são consideradas obras

de artes, viram pontos turísticos e cartão postal de cidades. Indubitavelmente, uma

ponte entra para a história de um povo.

De acordo com Freitas (1978) as pontes podem ser classificadas segundo o seu

comprimento, a sua duração de utilização, a natureza do trafego, o material da

superestrutura, o desenvolvimento planimétrico, o desenvolvimento altimétrico, o tipo

estático da superestrutura, o sistema estrutural da superestrutura, a posição do

tabuleiro, a mobilidade do tramo, o tipo construtivo da superestrutura e o tipo da

secção transversal.

Estruturalmente as pontes podem ser divididas em três partes principais: a

infraestrutura, a mesoestrutura e a superestrutura. A infraestrutura é a parte com a

função de transmitir ao terreno os esforços provenientes da mesoestrutura e é

composta pelas fundações. A mesoestrutura recebe os esforços da superestrutura

transmitindo-os para a infraestrutura, sendo normalmente composta por pilares ou

arcos. A superestrutura é constituída pelo tabuleiro da ponte. Na Figura 21 são

ilustradas as divisões estruturais de uma ponte.

Figura 21: Divisões estruturais de uma ponte

Fonte: Almeida et al. (2000).

52

As pontes são caracterizadas de acordo com o material utilizado para elemento

estrutural, podendo ser de pedra, madeira, aço, concreto armado ou pela conjunção de

dois ou mais desses elementos.

2.4 PONTES DE MADEIRA

As pontes de madeira podem ser construídas em diversos sistemas estruturais e

construtivos, sendo mais comuns os sistemas em vigas, em pórticos, em placas, em

arcos, pênseis e estaiadas.

2.4.1 Pontes em vigas

Para Calil Júnior et al. (2006), as pontes em vigas são as mais práticas e

comumente encontradas. As vigas são, geralmente, utilizadas na forma de vão único

(vigas biapoiadas). Quando o comprimento é excessivo, pode-se construir apoios

intermediários (vigas contínuas).

As variações de seção transversal para esse tipo de ponte são vigas simples de

peças roliças, vigas com peças roliças compostas, vigas de peças serradas, vigas de

peças serradas compostas, vigas laminadas coladas, vigas compostas por peças

serradas e compensados e vigas treliçadas. Na Figura 22 apresenta-se uma ponte de

madeira em viga simples, construída na cidade de Mafra – SC na comunidade de Butiá

do Braz em 2011.

53

Foto 22: Ponte de madeira em viga simples, Mafra – SC

Fonte: Gazeta de Riomafra Jan/2011.

2.4.2 Pontes em pórticos

Esse sistema possibilita a transposição do vão livre em toda sua extensão sem a

necessidade de pilares intermediários, sendo capaz de vencer vãos maiores que as

pontes em vigas. Todavia, possui a desvantagem de apresentarem emendas e ligações

em ângulos.

Calil Júnior e Dias (1997) enfatizam que no sistema em pórtico a viga principal

está escorada por diagonais. As diagonais devem ser dispostas de forma que a relação

entre os vãos laterais e vão central do pórtico deve ser em torno de 3:4. Este sistema,

ao contrário do de vigas simplesmente apoiadas, tem o inconveniente de necessitar de

grande diferença entre o nível superior da ponte e o nível da água para implantação.

Para Logsdon e Jesus (2012) os pórticos são desejáveis, pois têm a finalidade

de transmitir as cargas de apoios intermediários para as extremidades e permitem

vencer vãos maiores que as vigas simplesmente apoiadas. Na Figura 23 apresenta-se

uma ponte com estrutura em pórtico construída na rodovia Cambaratiba, em

Borborema no Estado de São Paulo.

54

Foto 23: Ponte de madeira em pórtico sobre o Ribeirão dos Porcos, Borborema – SP.

(a) Vista lateral da ponte

(b) Vista inferior da ponte

Fonte: Calil Junior et. al (2006).

2.4.3 Pontes em placas

Esse sistema não utiliza vigas, transversinas e nem qualquer outro tipo de

elemento estrutural para distribuição das cargas atuantes e transmissão dos esforços; o

próprio tabuleiro é responsável pela absorção e transmissão das cargas atuantes para a

55

subestrutura. Para a execução do tabuleiro, podem-se adotar vários sistemas

construtivos, sendo os mais comuns o misto madeira-concreto, o tabuleiro protendido

simples, o tabuleiro protendido de seção T e o tabuleiro multicelular protendido.

As estruturas em placas podem ser moldadas no local ou constituídas de

elementos pré-moldados; são indicadas para vãos curtos, baixa altura de construção e

pequenas relações altura/vão.

Para Calil Júnior et al. (2006) o comportamento de placa é desejável no sentido

que a placa (quando rígida) é totalmente mobilizada pelas ações fazendo com que

sejam desnecessários elementos discretos como longarinas para aumentar a rigidez do

sistema. Por outro lado, o conjunto da placa passa a necessitar alturas maiores que o

tabuleiro comum de distribuição (quanto pior for o sistema que une os elementos na

forma de placa, maior será a seção necessária destes elementos). Na Figura 24, são

retratados os detalhes construtivos da ponte em placas Caminhos do Mar, executada

em Cubatão – SP em 2003.

Figura 24: Ponte Caminho do Mar, Cubatão – SP

Fonte: CALIL JÚNIOR e GÓES 2005.

As placas podem ser de seção laminada colada, laminada pregada, laminada

parafusada, composta de concreto e madeira roliça, composta de concreto e madeira

serrada ou ainda placa laminada protendida. Quando composta com concreto,

apresenta grandes vantagens construtivas já que os detalhes de fôrmas, armaduras e a

concretagem são consideravelmente simples, resultando em velocidade e facilidade de

construção. Na Figura 25 apresenta-se o esquema de fabricação de algumas seções de

pontes em placas.

56

Figura 25: Esquema de seções de pontes em placas

Fonte: CALIL JÚNIOR et al. (2006).

2.4.4 Pontes em arcos

Embora esse tipo de ponte não seja comum no Brasil, o conceito de ponte

sustentada por estruturas em arcos não é nenhuma novidade. As primeiras pontes

construídas no mundo foram justamente com estrutura em arcos, utilizando pedra ou

madeira como elementos estruturais.

As pontes em arco, como o próprio nome sugere, têm como estrutura principal

um arco. Nessas estruturas as solicitações existentes são transmitidas para os apoios

por força de compressão axial nos arcos, que sustentam o tabuleiro por meio de

tirantes ou escoras. Uma ponte em arco é classificada de acordo com a posição de seu

tabuleiro, podendo ser superior à estrutura (Figura 26, alínea a), intermediário a

estrutura (Figura 26, alínea b) ou inferior a estrutura de arcos (Figura 26, alínea c). São

utilizadas geralmente sobre leitos fluviais profundos ou grandes abismos, pois evitam

pilares intermediários.

57

Figura 26: Posição do tabuleiro em relação à estrutura de arcos

Fonte: BELL (s/d).

As pontes em arcos com tabuleiro superior possuem os seus tabuleiros

sustentados por montantes, e estes estão sujeitos a esforços de compressão. A Figura

27 ilustra uma ponte com tabuleiro superior à estrutura dos arcos.

Figura 27: Exemplo de ponte em arco com tabuleiro superior - South Prairie Creek -

Buckley, WA

Fonte: GILHAM (s/d).

As estruturas em arcos com tabuleiro inferior possuem seus tabuleiros

sustentados por tirantes ou pendurais, conforme se ilustra na Figura 28.

58

Figura 28: Exemplo de ponte em arco com tabuleiro inferior - Hopland Casino Bridge –

Califórnia

Fonte: GILHAM (s/d)

As pontes em arco com tabuleiro intermediário tem o tabuleiro sustentado

lateralmente por montantes e, no centro, por pendurais, conforme apresentado na

Figura 29.

59

Figura 29: Exemplo de ponte em arco com tabuleiro intermediário - Cascade Highlands Bridge

Bend, OR.

Fonte: GILHAM (s/d)

Para Mason (1997)5 apud Mattos (2001) as pontes em arco com tabuleiro

inferior são mais utilizadas para pequenos vãos e para grandes vãos é preferível a

ponte em arco com tabuleiro superior. As pontes em arco com tabuleiro intermediário

são menos utilizadas uma vez que a interseção do arco com o tabuleiro representa

problemas construtivos.

Os arcos têm sido muito utilizados em estruturas de pontes de madeira desde a

antiguidade. O principal fator para esta prática é que as altas solicitações oriundas da

flexão que ocorreriam em vigas passam a atuar em escala menor nos arcos onde

predominam as tensões de compressão. Outro fator relevante é a estética

proporcionada pelos arcos em pontes onde são, praticamente, ícones destas estruturas

(CALIL JÚNIOR et al., 2006).

___________________________________________ 5 MASON, Jayme. Pontes em Concreto Armado e Protendido, 1ª ed. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e

Científicos, 1977.

60

2.4.5 Pontes pênseis

As pontes pênseis se caracterizam por possuir o tabuleiro contínuo sustentado

por vários cabos metálicos atirantados ligados a dois cabos maiores que, por sua vez,

ligam-se às torres de sustentação. A transferência das principais cargas às torres e às

ancoragens em forma de pendurais é feita simplesmente por esforços de tração. Os

cabos comprimem as torres de sustentação, que transferem os esforços de compressão

para as fundações (MATTOS, 2001).

Segundo O´Cornnor (1976)6 apud Manera (2011) o emprego de cabos e

tirantes, ou pendurais, de aço de alta resistência à tração conduz a uma estrutura

econômica, principalmente quando o peso próprio torna-se importante, como nas

pontes de grandes vãos.

Para Freitas (1978) as pontes pênseis são capazes de vencer os maiores vãos

entre todos os tipos estruturais conhecidos.

Esse sistema estrutural de ponte de madeira não é muito explorado no Brasil,

existindo somente algumas pontes e passarelas em nosso território. Na Figura 30

apresenta-se a Ponte Alves Lima que liga as cidades de Ribeirão Claro, no Paraná, a

Chavantes, em São Paulo, construída no início da década de 20 do Século XX.

Figura 30: Ponte Alves Lima (Ribeirão Claro/PR – Chavantes/SP)

Fonte: http://ailtonsilva2000.blogspot.com.br

___________________________________________ 6 O´CONNOR, C. Pontes: superestruturas. Rio de Janeiro: Ed. da USP, 1976. v. 2.

61

2.4.6 Pontes estaiadas

A ponte estaiada, assim como a ponte pênsil, também utiliza cabos de aço

como estrutura principal. Todavia, diferencia-se da estrutura pênsil pela disposição dos

cabos, pois, enquanto que na estrutura pênsil os cabos principais passam pela torre e

são ligados à viga de rigidez através de cabos secundários que agem como tirantes, nas

estruturas estaiadas os cabos são ancorados nas torres e diretamente ligados a viga de

rigidez, dispensando assim o uso de cabos secundários. Outra diferença entre os dois

sistemas estruturais é que os cabos assumem formato parabólico nas estruturas

pênseis, sendo retos nas estruturas estaiadas.

O modelo de pontes estaiadas consiste de um sistema de vigas principais ao

nível do tabuleiro, de grande rigidez à torção, apoiadas nos encontros e na(s) torre(s),

somado a um sistema de cabos retos, denominados estais, que partem dos acessos,

passam sobre uma ou duas torres e dirigem-se ao vão principal para ancorá-lo e

sustentá-lo. Na Figura 31 apresenta-se uma ponte de madeira estaiada construída no

Japão.

Figura 31 - Exemplo de ponte de madeira estaiada (Hiroshima Airport Bridge - Japão)

Fonte: Base de dados do LaMEM.

62

2.5 DESCRIÇÕES NORMATIVAS

O texto deste item foi transcrito das normatizações nacionais vigentes sobre o

assunto. Inclui recomendações e aspectos existentes nas seguintes normas e textos:

NBR 7190, da ABNT (2011) – Projeto de estruturas de madeira (Projeto de Revisão).

NBR 6120, da ABNT (1980) – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações.

NBR 6123, da ABNT (1988) – Forças devidas ao vento em edificações.

NBR 7187, da ABNT (1986) – Projeto e execução de pontes de concreto armado e

protendido.

NBR 7188, da ABNT (1984) – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de

pedestre.

NBR 7189, da ABNT (1985) – Cargas móveis para projeto estrutural de obras

rodoviárias.

NBR 8681, da ABNT (2003) - Ações e segurança nas estruturas.

Manual de Projeto e Construção de Pontes de Madeira, de Calil Júnior et al. (2006).

2.5.1 Estados limites

São estados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenho inadequado às

finalidades da construção. Os estados limites podem ser estados limites últimos ou

estados limites de serviço. Os estados limites considerados nos projetos de estruturas

dependem dos tipos de materiais de construção empregados e devem ser especificados

pelas normas referentes ao projeto de estruturas com eles construídas.

2.5.1.1 Estados limites últimos

São estados que, pela sua simples ocorrência, determinam a paralisação, no

todo ou em parte, do uso da construção.

63

.No projeto, usualmente devem ser considerados os estados limites últimos

caracterizados por:

a. Perda de equilíbrio, global ou parcial, admitida a estrutura como um corpo

rígido;

b. Ruptura ou deformação plástica excessiva dos materiais;

c. Transformação da estrutura, no todo ou em parte, em sistema hipostático;

d. Instabilidade por deformação;

e. Instabilidade dinâmica.

Em casos particulares pode ser necessário considerar outros estados limites

últimos que não os aqui especificados.

2.5.1.2 Estados limites de serviço

Estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos

estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da

construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura.

No período de vida da estrutura, usualmente são considerados estados limites

de serviço caracterizados por:

a. Danos ligeiros ou localizados, que comprometam o aspecto estético da

construção ou a durabilidade da estrutura;

b. Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou

seu aspecto estético;

c. Vibração excessiva ou desconfortável.

Os estados limites de serviço decorrem de ações cujas combinações podem ter

três diferentes ordens de grandeza de permanência na estrutura:

a. Combinações quase permanentes: combinações que podem atuar durante

grande parte do período de vida da estrutura, da ordem da metade deste

período;

b. Combinações frequentes: combinações que se repetem muitas vezes durante

o período de vida da estrutura, da ordem de 105 vezes em 50 anos, ou que

64

tenham duração total igual a uma parte não desprezível desse período, da

ordem de 5%;

c. Combinações raras: combinações que podem atuar no máximo algumas

horas durante o período de vida da estrutura.

2.5.2 Ações em pontes de madeira

Segundo a NBR 8681, da ABNT (1984), ações são definidas como as causas

que provocam o aparecimento de esforços ou deformações nas estruturas. As ações em

pontes de madeira são divididas em três grupos: as permanentes, variáveis e as

excepcionais.

2.5.2.1 Ações permanentes

São as cargas existentes em toda vida útil da estrutura. É composta pelo peso

próprio da estrutura e por todas as sobrecargas fixas. Segundo a NBR 7187, da ABNT

(1986), também são consideradas permanentes, as que crescem no tempo, tendendo a

um valor limite constante. As ações permanentes compreendem, entre outras:

a) Peso próprio da estrutura

Para o cálculo do peso próprio da estrutura de uma ponte de madeira, deve-se

fixar as dimensões das peças em um anteprojeto e calcular seu peso a partir do volume

de cada elemento, considerando a madeira na classe de umidade 1 (12%) e os

elementos metálicos das conexões como 3% do peso próprio da madeira. Após o

dimensionamento definitivo, admite-se uma variação de no máximo 10% entre o peso

próprio real e o estimado inicialmente.

65

b) Sobrecargas fixas

Para o cálculo de ações provenientes de sobrecargas fixas, deve-se levar em

consideração o volume e o peso específico de cada material empregado. A Tabela 1

apresenta o peso específico dos materiais mais comuns em estrutura de pontes.

Tabela 1: Pesos específicos dos materiais.

Material Peso (kN/m3)

Concreto Simples 24

Concreto Armado 25

Revestimento Asfáltico 24

Aço 78

Lastro de Brita 17

Madeira 6 a 12

Fonte: NBR 6120, da ABNT (1980).

c) Empuxo de terra e de líquidos

O empuxo de terra nas estruturas é determinado de acordo com os princípios da

mecânica dos solos, em função de sua natureza (ativo, passivo ou de repouso), das

características do terreno, assim como das inclinações dos taludes e dos paramentos.

Como simplificação, pode ser suposto que o solo não tenha coesão e que não

haja atrito entre o terreno e a estrutura, desde que as solicitações assim determinadas

estejam a favor da segurança.

O empuxo d´água e a subpressão devem ser considerados nas situações mais

desfavoráveis para a verificação dos estados limites, sendo dada especial atenção ao

estudo dos níveis máximo e mínimo dos cursos d’água e do lençol freático.

d) Forças de protensão

A ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas protendidas,

incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, aqueles que sofrem a

ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de protensão. O valor da

força de protensão deve ser calculado considerando a força inicial e as perdas de

protensão. As forças de protensão e respectivas perdas devem ser consideradas

conforme disposto na seção 9.6.3 da NBR 6118, da ABNT (2003).

66

e) Deslocamento de apoios

Se a natureza do terreno e o tipo de fundações permitirem a ocorrência de

deslocamentos que induzam efeitos apreciáveis na estrutura, as deformações impostas

decorrentes devem ser levadas em consideração no projeto.

2.5.2.2 Ações variáveis

Para a NBR 7187, da ABNT (2003), solicitações variáveis são ações de caráter

transitório que compreendem, entre outras:

a) Cargas móveis

Os valores característicos das cargas móveis verticais para pontes são fixados

nas normas NBR 7188 – Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestres, da

ABNT (1984), e NBR 7189 – Cargas moveis para projeto estrutural de obras

ferroviárias, da ABNT (1985), ou pelo proprietário da obra.

Define-se como cargas móveis o sistema de cargas representativo dos valores

característicos dos carregamentos provenientes do tráfego a que a estrutura está sujeita

em serviço. A carga móvel em ponte rodoviária é também referida pelo termo trem-

tipo, e pode ser considerada como carga variável principal (ABNT, 1984).

Para pontes rodoviárias, o carregamento móvel divide-se em três classes:

Classe 45 - na qual a base do sistema é um veículo tipo de 450 kN de peso

total;


total;


total.

A utilização das diferentes classes de pontes fica a critério dos órgãos com

jurisdição sobre as pontes.

Os trens-tipo compõem-se de um veículo e de cargas uniformemente

distribuídas de acordo com a Tabela 2.

67

Tabela 2: Cargas móveis nas pontes

Classe

da

ponte

Veículo Carga uniformemente distribuída

Tipo Peso Total p p` Disposição

da carga kN tf kN/m2 kgf/m

2 kN/m

2 kgf/m

2

45 45 450 45 5 500 3 300

Carga p

em toda a

pista

30 30 300 30 5 500 3 300 Carga p’

nos

passeios

12 12 120 12 4 400 3 300


A disposição em planta destes carregamentos é apresentada na Figura 32.

Figura 32: Disposição dos carregamentos em planta

Fonte: CALIL JÚNIOR et al., 2006.

A NBR 7188, da ABNT (1984), ressalta que no cálculo dos arcos ou vigas

principais, permite-se desprezar o efeito de redistribuição das cargas causado pelas

vigas secundárias, permite-se, ainda, homogeneizar as cargas distribuídas e subtrair

das cargas concentradas dos veículos as parcelas correspondentes àquela

homogeneização, desde que não haja redução de solicitações.

A NBR 7188, da ABNT (1984), prevê ainda que as cargas móveis podem

provocar efeitos dinâmicos, nesse caso, o efeito dinâmico das cargas móveis deve ser

analisado pela teoria da dinâmica das estruturas. As características dos veículos,

segundo a NBR 7188, da ABNT (1984) são apresentadas na Tabela 3.

68

Tabela 3: Característica dos veículos.

Unidade

Tipo 45 Tipo 30 Tipo 12

Quantidade de eixos Eixo 3 3 2

Peso total de veículo kN-tf 450 - 45 300 - 30 120 – 12

Peso de cada roda dianteira kN-tf 75 - 7,5 50 - 5 20 – 2

Peso de cada roda traseira kN-tf 75 - 7,5 50 - 5 40 – 4

Peso de cada roda

intermediária

kN-tf 75 - 7,5 50 - 5 -

Largura de contato b1 de cada

roda dianteira

m 0,50 0,40 0,20


roda traseira

m 0,50 0,40 0,30


roda intermediária

m 0,50 0,40 -

Comprimento de contato de

cada

roda

m 0,20 0,20 0,20

Área de contato de cada roda m2

0,20 x b 0,20 x b 0,20 x b

Distância entre os eixos m 1,50 1,50 3,00

Distância entre os centros de

roda de cada eixo

m 2,00 2,00 2,00


Ilustram-se na Figura 33 as características dos veículos-tipos, que foram

apresentados na Tabela 3.

69

Figura 33: Veículos tipo

Fonte: CALIL JÚNIOR et al., 2006.

Para passarelas de pedestres, a norma NBR 7188, da ABNT (1984) define uma

classe única, na qual a carga móvel é uma carga uniformemente distribuída de

intensidade p = 5 kN/m² (500 kgf/m²), não majorada pelo coeficiente de impacto.

b) Forças de Vento

As forças devido à ação do vento seguem o disposto na NBR 6123, da ABNT

(1988). A ação do vento sobre veículos e pedestres deve ser considerada nas pontes

rodoviárias, como um valor característico nominal de 2 kN/m, aplicado a 1,2 m acima

da superfície de rolamento, conforme ilustrado na Figura 34. Nas pontes para

pedestres o vento sobre estes será fixado com o valor característico convencional de

1,8 kN/m, aplicado a 0,85 m acima do piso.

Para se levar em conta a maior resistência da madeira sob a ação de cargas de

curta duração, na verificação da segurança em relação a estados limites últimos,

apenas na combinação de ações de longa duração em que o vento representa a ação

variável principal, as solicitações nas peças de madeira devidas à ação do vento serão

multiplicadas por 0,75.

70

Figura 34 - Vento sobre veículo

Fonte: CALIL JÚNIOR et al. (2006).

c) Cargas de construção

No projeto e cálculo estrutural devem ser consideradas as ações das cargas

passíveis de ocorrer durante o período da construção, notadamente aquelas devidas ao

peso de equipamentos e estruturas auxiliares de montagem e de lançamento de

elementos estruturais e seus efeitos em cada etapa executiva da obra.

d) Empuxo de terra provocado por cargas móveis

O empuxo de terra provocado por cargas móveis deve ser considerado com os

mesmo critérios do empuxo causado por cargas permanentes, disposto no item 2.5.2.1,

alínea c, deste trabalho.

e) Pressão da água em movimento

De acordo com a NBR 7187, da ABNT (1986) a pressão da água em

movimento sobre os pilares e elementos das fundações pode ser determinada através

da expressão:

(1)

Onde:

p = Pressão estática equivalente, em kN/m2;

va = Velocidade da água, em m/s;

71

k = Coeficiente, cujo valor é 0,34 para elementos com seção transversal

circular. Para elementos com seção transversal retangular, o valor de k é

função do ângulo de incidência do movimento das águas em relação ao

plano da face do elemento, conforme a Tabela 4.

Tabela 4: Valores de k em função do ângulo de incidência do movimento das

águas

Ângulo de incidência k

90° 0,71

45° 0,54

0° 0


O efeito dinâmico das ondas e das águas em movimento deve ser determinado

através de métodos baseados na hidrodinâmica.

f) Variações de temperatura

De acordo com a NBR 7188, da ABNT (1984) a variação da temperatura da

estrutura, causada globalmente pela variação da temperatura da atmosfera e pela

insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da

construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem.

De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores:

Para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm,

deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10°C a

15°C;

Para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios

inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa

oscilação seja reduzida respectivamente para 5°C a 10ºC;

Para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70_cm

admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados.

A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50%

da diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra.

72

Devido o baixo coeficiente de dilatação térmica da madeira, na ordem de

0,15_mm/m para uma variação de 50ºC (MACHADO, 2006), é usual desprezar os

efeitos da variação de temperatura sobre os elementos de madeira.

g) Efeitos dinâmicos

Compreendem os efeitos dinâmicos em pontes os impactos verticais, impactos

laterais, a força longitudinal e a força centrífuga.

A fim de se levar em conta a maior resistência da madeira para cargas de curta

duração, na verificação de segurança em relação a estados limites últimos, os

acréscimos de solicitação nas peças de madeira devidas aos efeitos dinâmicos serão

multiplicados por 0,75.

Nas peças metálicas, inclusive nos elementos de ligações, será considerada a

totalidade dos esforços devidos aos efeitos dinâmicos.

g.1) Impacto vertical

Nas pontes, o impacto vertical é considerado uma ação de curta duração. Para

se levar em conta o acréscimo de solicitações devido ao impacto vertical, os valores

característicos das cargas móveis verticais devem ser multiplicados pelo coeficiente de

impacto.

( ) (2)

Onde:

L = Vão teórico do tramo da ponte em metros, no caso de vigas, e o menor de

seus dois vãos teóricos, no caso de placas;

α = 50 - em pontes ferroviárias

α = 20 - em pontes rodoviárias com soalho de madeira

α = 12 - em pontes rodoviárias com soalho revestido de concreto ou asfalto.

Não se considera o impacto vertical nos encontros, pilares maciços e

fundações, nem nos passeios das pontes.

Devido à maior resistência da madeira às cargas de curta duração, na

verificação da segurança nos estados limites últimos, as solicitações nas peças de

73

madeira devidas ao impacto vertical serão multiplicadas por 0,75. (CALIL JÚNIOR et

al., 2006)

g.2) Impacto lateral

O impacto lateral, só considerado nas pontes ferroviárias, segundo o projeto de

revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), é equiparado a uma força horizontal normal

ao eixo da linha e atuando no topo do trilho como carga móvel concentrada. Em

pontes em curva, não se soma o efeito do impacto lateral ao da força centrífuga,

devendo considerar-se, dentre os dois, apenas o que produzir maiores solicitações.

g.3) Força longitudinal

Nas pontes ferroviárias, a força longitudinal devida à aceleração ou à frenação

do trem será considerada com o valor característico convencional igual ao maior dos

seguintes valores: 15% da carga móvel para frenação, ou 25% do peso total sobre os

eixos motores para o esforço de aceleração. A força longitudinal será considerada

aplicada, sem impacto, no centro de gravidade do trem, suposto 2,4 metros acima do

topo dos trilhos. No caso de via múltipla, a força longitudinal deve ser considerada em

apenas uma das linhas. (CALIL JÚNIOR et al., 2006)

Nas pontes rodoviárias, a força longitudinal será considerada com o valor

característico convencional igual ao maior dos seguintes valores: 5% do carregamento

total do tabuleiro com carga móvel uniformemente distribuída, ou, para cada via de

tráfego, 30% do peso do caminhão-tipo. Esta força longitudinal deve ser aplicada, sem

impacto, a 2,0 metros acima da superfície de rolamento. (ABNT, 2010)

g.4) Força centrífuga

Nas pontes ferroviárias em curva, a força centrífuga será considerada atuando

no centro de gravidade do trem, suposto a 1,6 metros acima do topo dos trilhos, e será

avaliada em porcentagem da carga móvel, acrescida do impacto vertical, com os

seguintes valores característicos convencionais:

12% para curvas de raio R ≤ 1000m e 12/R para R > 1000m, em pontes

para bitola larga (1,60m);

8% para R ≤ 600m e 48/R para R > 600m, em pontes para bitola métrica

(1,00m).

Nas pontes rodoviárias em curva, a força centrífuga será considerada atuando

no centro de gravidade do caminhão-tipo, suposto 2,0 metros acima da superfície de

rolamento, e será tomada com o valor característico convencional igual a 20% do peso

74

deste veículo, por via de tráfego, para raios até 300 m e para valores maiores, pela

relação 60/R (em %) do peso do veículo-tipo. O peso do veículo é considerado com

impacto vertical (CALIL JÚNIOR et al., 2006).

h) Considerações sobre ações variáveis

Nem todas as cargas variáveis possuem importância significativa em todas as

pontes de madeira.

Em pontes rodoviárias de madeira de pequenos e médios vãos (até 20 m)

apenas são estruturalmente importantes à carga móvel e o impacto vertical, as demais

são inexistentes ou podem ser desprezadas frente à magnitude das anteriores

(LOGSDON, 1982).

2.5.2.3 Ações Excepcionais

Para a NBR 8681, da ABNT (2003), solicitações excepcionais são ações cuja

ocorrência se dá em circunstâncias anormais. São consideradas como ações

excepcionais:

a) Choques de objetos móveis

Os pilares passíveis de serem atingidos por veículos rodoviários ou

embarcações em movimento devem ter sua segurança verificada quanto aos choques

assim provocados. Dispensa-se essa verificação se no projeto forem incluídos

dispositivos capazes de proteger a estrutura contra este tipo de acidente. (ABNT,

2003)

b) Outras ações excepcionais

As verificações de segurança quanto às demais ações excepcionais somente

devem ser realizadas em construções especiais, a critério do proprietário da obra

(ABNT, 2003).

75

2.5.3 Classes de carregamento

Segundo o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), uma classe de

carregamento é especificada pelo conjunto das ações que têm probabilidade não

desprezável de atuarem simultaneamente sobre uma estrutura, durante um período de

tempo preestabelecido. As classes de carregamento, de qualquer combinação de ações,

são definidas pela duração acumulada da ação variável, tomada como principal na

combinação, e são definidas na Tabela 5.

Tabela 5: Definição de classes de carregamento

Classes de

carregamento

Ação variável principal da combinação

Duração

acumulada

Ordem de grandeza da duração

acumulada da ação característica

Permanente Permanente Vida útil da Construção

Longa duração Longa duração Mais de seis meses

Média Duração Média Duração Uma semana a seis meses

Curta duração Curta duração Menos de uma semana

Instantânea Instantânea Muito curta

Fonte: Projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011).

2.5.4 Tipos de carregamento

De acordo com a NBR 8681, da ABNT (2003), durante o período de vida da

construção, podem ocorrer os seguintes tipos de carregamento: carregamento normal,

carregamento especial e carregamento excepcional. Em cada tipo de carregamento as

ações devem ser combinadas de diferentes maneiras, a fim de que possam ser

determinados os efeitos mais desfavoráveis para a estrutura. Devem ser estabelecidas

tantas combinações de ações quantas forem necessárias para que a segurança seja

verificada em relação a todos os possíveis estados limites da estrutura. Além destes,

76

em casos particulares, também pode ser necessária à consideração do carregamento de

construção.

2.5.4.1 Carregamento normal

O carregamento normal decorre do uso previsto para construção. Admite-se

que o carregamento normal possa ter duração igual ao período de referência da

estrutura, e sempre deve ser considerado na verificação da segurança, tanto em relação

a estados limites últimos quanto em relação a estados limites de serviço (ABNT,

2003).

2.5.4.2 Carregamento especial

Um carregamento especial decorre da atuação de ações variáveis de natureza

ou intensidade especiais, cujos efeitos superem em intensidade os efeitos produzidos

pelas ações consideradas no carregamento normal. Os carregamentos especiais são

transitórios, com duração muito pequena em relação ao período de referência da

estrutura e, em geral, considerados apenas na verificação da segurança em relação aos

estados limites últimos, não se observando as exigências referentes aos estados limites

de utilização. A cada carregamento especial corresponde uma única combinação

última especial de ações. Em casos particulares, pode ser necessário considerar o

carregamento especial na verificação da segurança em relação aos estados limites de

serviço (ABNT, 2003)

77

2.5.4.3 Carregamento excepcional

Um carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais que

podem provocar efeitos catastróficos. Os carregamentos excepcionais somente devem

ser considerados no projeto de estrutura de determinados tipos de construção, para os

quais a ocorrência de ações excepcionais não possa ser desprezada e que, além disso,

na concepção estrutural, não possam ser tomadas medidas que anulem ou atenuem a

gravidade das consequências dos efeitos dessas ações. O carregamento excepcional é

transitório, com duração extremamente curta. Para um carregamento excepcional,

considera-se apenas a verificação da segurança em relação a estados limites últimos,

através de uma única combinação última excepcional de ações (ABNT, 2003).

2.5.4.4 Carregamento de construção

O carregamento de construção é considerado apenas nas estruturas em que haja

risco de ocorrência de estados limites, já durante a fase de construção. O carregamento

de construção é transitório e sua duração deve ser definida em cada caso particular.

Devem ser consideradas tantas combinações de ações quantas sejam necessárias para

verificação das condições de segurança em relação a todos os estados limites que são

de se temer durante a fase de construção (ABNT, 2003).

2.5.5 Situações de projeto

O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), considera as seguintes

situações de projeto: duradouras, transitórias e excepcionais.

78

2.5.5.1 Situações duradouras

Nas situações duradouras, definidas na NBR 7190, da ABNT (1997), que

podem ter duração igual ao período de referência da estrutura, devem ser verificados

os estados limites últimos e de serviço (utilização) e devem ser consideradas em todos

os projetos. Nas verificações de segurança a estados limites últimos consideram-se

combinações últimas normais, enquanto que nas de estados limites de serviço

(utilização) consideram-se combinações quase permanentes de serviço.

2.5.5.2 Situações transitórias

Quando a duração for muito menor que a vida útil da construção, segundo a

NBR 7190, da ABNT (1997), tem-se uma situação transitória, que só será considerada

se existir um carregamento especial, explicitamente especificado, e na maioria dos

casos verifica-se apenas estados limites últimos, considerando-se combinações últimas

especiais ou de construção. Se necessária à verificação dos estados limites de serviço

(utilização), deve-se considerar combinações frequentes de serviço ou raras.

2.5.5.3 Situações excepcionais

As situações com duração extremamente curta são consideradas excepcionais,

segundo a NBR 7190, da ABNT (1997), e verificadas apenas quanto aos estados

limites últimos, considerando-se combinações últimas excepcionais. As situações

excepcionais devem ser explicitamente especificadas, sempre que houver necessidade

dessa consideração no projeto.

79

2.5.6 Combinações de ações em pontes de madeira

De acordo com a NBR 8681, da ABNT (2003), para a verificação da segurança

em relação aos possíveis estados limites, para cada tipo de carregamento devem ser

considerados todas as combinações de ações que possam acarretar os efeitos mais

desfavoráveis nas seções críticas da estrutura. As ações permanentes são consideradas

em sua totalidade. Das ações variáveis, são consideradas apenas as parcelas que

produzem efeitos desfavoráveis para a segurança. As ações variáveis móveis devem

ser consideradas em suas posições mais desfavoráveis para a segurança. A aplicação

de ações variáveis ao longo da estrutura pode ser feita de acordo com regras

simplificadas, estabelecidas em Normas que considerem determinados tipos

particulares de construção. As ações incluídas em cada uma destas combinações

devem ser consideradas com seus valores representativos, multiplicados pelos

respectivos coeficientes de ponderação das ações.

2.5.6.1 Combinações últimas

Segundo o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), para

combinações de ações em estados limites últimos, é estabelecido como critério que as

ações permanentes devem figurar em todas as combinações de ações, e as

combinações das ações variáveis dependem do tipo de carregamento utilizado. Os

esforços atuantes nas peças estruturais devem ser calculados de acordo com os

princípios da Estática das Construções, admitindo-se em geral a hipótese de

comportamento elástico linear dos materiais. Os coeficientes de ponderação e os

fatores de combinação e de utilização, para a determinação dos valores de cálculo das

ações, e as combinações de ações em estados limites últimos estão definidas na NBR

8681, da ABNT (2003). No caso de ações permanentes diretas consideradas

separadamente, para elementos estruturais de madeira são recomendados os seguintes

valores para os coeficientes de ponderação (γg):

γg = 1,3, para elementos estruturais de madeira em geral;

80

γg = 1,2, para elementos estruturais de madeira industrializados.

Em princípio, para a determinação dos valores de cálculo das ações, devem ser

utilizadas as correspondentes combinações últimas de ações para cada situação de

projeto: situações duradouras (combinações últimas normais), situações transitórias

(combinações últimas especiais ou de construção) e situações excepcionais

(combinações últimas excepcionais). Para cada estrutura particular devem ser

especificadas as situações de projeto a considerar, não sendo necessário levar em conta

as três possíveis situações de projeto em todos os tipos de construção, segundo o

projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT, 2011.

a) Combinações últimas normais

As combinações últimas normais, segundo o projeto de revisão da NBR 7190,

da ABNT (2011), são utilizadas para verificação de estados limites últimos causados

por um carregamento normal. As ações variáveis são divididas em dois grupos, as

principais (Fq1,k), que atuam com seus valores característicos; e as secundárias (Fqj,k),

que atuam com seus valores reduzidos de combinação. Para as ações permanentes

(Fgi,k), devem ser feitas duas verificações: a favorável, na qual as cargas permanentes

aliviam o efeito da atuação simultânea das ações; e a desfavorável, na qual as cargas

permanentes aumentam o efeito da atuação simultânea das ações. Assim, para este

caso, a ação, ou solicitação, de cálculo (Fd) é obtida utilizando-se a expressão

apresentada a seguir:

∑ ∑

(3)

No caso particular de ponte de madeira, segundo o projeto de revisão da NBR

7190, da ABNT (2011), o impacto vertical ( ) deve ser considerado junto com a

carga móvel ( ), como variável principal. O impacto vertical por ser carga rápida,

deve ser multiplicado por 0,75 e, portanto, .

b) Combinações últimas especiais

Nas combinações últimas especiais, segundo a NBR 8681, da ABNT (2003),

quando existirem, a ação variável especial deve ser considerada com seu valor

representativo e as demais ações variáveis devem ser consideradas com valores

81

correspondentes a uma probabilidade não desprezível de atuação simultânea com a

ação variável especial.

Para verificação de estados limites últimos causados por um carregamento

especial ou de construção, a combinação é a mesma utilizada para o carregamento

normal, com ψ0j,ef = ψ0j, salvo quando ação variável principal Fq1 tenha um tempo de

atuação muito pequeno, neste caso ψ0j,ef = ψ2j, portanto (ABNT, 2003).

∑ ∑

(4)

c) Combinações últimas excepcionais

Nas combinações últimas excepcionais, quando existirem, a ação excepcional

deve ser considerada com seu valor representativo e as demais ações variáveis devem

ser consideradas com valores correspondentes a uma grande probabilidade de atuação

simultânea com a ação variável excepcional. Para verificação de estados limites

últimos causados por um carregamento excepcional, não se aplica o coeficiente de

ponderação γq à ação excepcional e se mantém o coeficiente ψ0j,ef definido para as

combinações especiais ou de construção (ABNT, 2003), portanto:

∑ ∑

(5)

2.5.6.2 Coeficientes de ponderação para as ações permanentes

Segundo a NBR 8681, da ABNT (2003), os coeficientes de ponderação γg das

ações permanentes majoram os valores representativos das ações permanentes que

provocam efeitos desfavoráveis e minoram os valores representativos daquelas que

provocam efeitos favoráveis para a segurança da estrutura. Para uma dada ação

permanente, todas as suas parcelas são ponderadas pelo mesmo coeficiente γg, não se

admitindo que algumas de suas partes possam ser majoradas e outras minoradas. Para

os materiais sólidos que possam provocar empuxos, a componente vertical é

considerada como uma ação e a horizontal como outra ação, independentemente da

primeira.

82

Os coeficientes de ponderação γg relativos às ações permanentes que figuram

nas combinações últimas, salvo indicação em contrário, expressa em norma relativa ao

tipo de construção e de material considerados, devem ser tomados com os valores

básicos indicados nas Tabelas 6 e 7. Na Tabela 6 são fornecidos os valores do

coeficiente de ponderação a considerar se, numa combinação, todas essas ações forem

separadas.

83

Tabela 6: Ações permanentes diretas consideradas separadamente

Combinação Tipo de ação Efeito

Desfavorável Favorável

Normal

Peso próprio de estruturas

metálicas 1,25 1,0

Peso próprio de estruturas pré-

moldadas 1,30 1,0


moldadas no local 1,35 1,0

Elementos construtivos

industrializados1

1,35 1,0


industrializados com adições in

loco

1,40 1,0

Elementos construtivos em

geral e equipamentos2

1,50 1,0

Especial ou

de

construção


metálicas 1,15 1,0


moldadas 1,20 1,0




industrializados1

1,25 1,0



loco

1,30 1,0



1,40 1,0

Excepcional


metálicas 1,10 1,0


moldadas 1,15 1,0




industrializados1

1,15 1,0



loco

1,20 1,0



1,30 1,0

¹ Por exemplo: paredes e fachadas pré-moldadas, gesso acartonado.

² Por exemplo: paredes de alvenaria e seus revestimentos, contrapisos.


84

Na Tabela 7 são fornecidos os valores do coeficiente de ponderação a

considerar se, numa combinação, todas essas ações forem agrupadas.

Tabela 7: Ações permanentes diretas consideradas em conjunto

Combinação Tipo de ação Efeito

Desfavorável Favorável

Normal

Grandes pontes1 1,30 1,0

Edificações tipo 1 e pontes em

geral2

1,35 1,0

Edificação tipo 23 1,4 1,0

Especial ou

de

construção



geral2

1,25 1,0


Excepcional



geral2

1,15 1,0


1 Grandes pontes são aquelas em que o peso próprio da estrutura supera 75%

da

totalidade das ações permanentes.

² Edificações tipo 1 são aquelas onde as cargas acidentais superam 5 kN/m2.

³ Edificações tipo 2 são aquelas onde as cargas acidentais não superam 5

kN/m2.

Fonte: NBR 8681, da ABNT (2003)

2.5.6.3 Coeficientes de ponderação para as ações variáveis

Segundo a NBR 8681, da ABNT (2003), os coeficientes de ponderação γq das

ações variáveis majoram os valores representativos das ações variáveis que provocam

efeitos desfavoráveis para a segurança da estrutura. As ações variáveis que provocam

85

efeitos favoráveis não são consideradas nas combinações de ações, admitindo-se que

sobre a estrutura atuem apenas as parcelas de ações variáveis que produzam efeitos

desfavoráveis. As ações variáveis que tenham parcelas favoráveis e desfavoráveis, que

fisicamente não possam atuar separadamente, devem ser consideradas conjuntamente

como uma ação única.

Os coeficientes de ponderação γq relativos às ações variáveis que figuram nas

combinações últimas, salvo indicação em contrário, expressa em norma relativa ao

tipo de construção e de material considerados, devem ser tomados com os valores

básicos indicados na Tabela 8 para cada uma das ações consideradas separadamente.

Tabela 8: Ações variáveis consideradas separadamente

Combinação Tipo de ação Coeficiente de

ponderação

Normal

Ações truncadas1 1,2

Efeito de temperatura 1,2

Ação do vento 1,4

Ações variáveis em geral 1,5

Especial ou

de construção

Ações truncadas1 1,1

Efeito de temperatura 1,0

Ação do vento 1,2

Ações variáveis em geral 1,3

Excepcional Ações variáveis em geral 1,0

1Ações truncadas são consideradas ações variáveis cuja distribuição de

máximos é truncada por um dispositivo físico de modo que o valor dessa

ação não pode superar o limite correspondente. O coeficiente de ponderação

mostrado na Tabela 4 se aplica a esse valor limite.


Se as ações forem consideradas conjuntamente, empregam-se os valores

expressos na Tabela 9.

86

Tabela 9: Ações variáveis consideradas em conjunto

Combinação Tipo de ação Coeficiente de

ponderação

Normal Pontes e edificações tipo 1

Edificações tipo 2

1,5

1,4

Especial ou

de construção

Pontes e edificações tipo 1

Edificações tipo 2

1,3

1,2

Excepcional Estruturas em geral 1,0

Quando a ações variáveis forem consideradas conjuntamente, o coeficiente

de ponderação mostrado nesta tabela se aplica a todas as ações, devendo-se

considerar também conjuntamente as ações permanentes diretas. Nesse caso

permite-se considerar separadamente as ações indiretas como recalque de

apoio e retração dos materiais e o efeito de temperatura.


2.5.6.4 Valores dos fatores de combinação e de redução

Segundo a NBR 8681, da ABNT (2003), os fatores de combinação ψ0, salvo

indicação em contrário, expressa em norma relativa ao tipo de construção e de material

considerados, estão indicados na Tabela 10, juntamente com os fatores de redução ψ1 e

ψ2 referentes às combinações de serviço.

87

Tabela 10: Valores dos fatores de combinação (ψ0) e de redução (ψ1 e ψ2) para

as ações variáveis

Ações ψ0 ψ1 ψ23,4

Cargas acidentais de edifícios

Locais em que não há predominância de pesos e de

equipamentos que permanecem fixos por longos

períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de

pessoas1.

Locais em que há predominância de pesos de

equipamentos que permanecem fixos por longos

períodos de tempo, ou de elevadas concentrações de

pessoas2.

Bibliotecas, arquivos, depósitos, oficinas e garagens.

0,5

0,7

0,8

0,4

0,6

0,7

0,3

0,4

0,6

Vento

Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral

0,6

0,3

0

Temperatura

Variações uniformes de temperatura em relação à

média anual local 0,6 0,5 0,3

Cargas móveis e seus efeitos dinâmicos

Passarelas de pedestres

Pontes rodoviárias

Pontes ferroviárias não especializadas

Pontes ferroviárias especializadas

Vigas de rolamentos de pontes rolantes

0,6

0,7

0,8

1,0

1,0

0,4

0,5

0,7

1,0

0,8

0,3

0,3

0,5

0,6

0,5 1 Edificações residenciais, de acesso restrito.

2 Edificações comerciais, de escritórios e de acesso público.

3 Para combinações excepcionais onde a ação principal for sismo,

admite-se adotar para ψ2 o valor zero. 4 Para combinações excepcionais onde a ação principal for o fogo, o

fator de redução ψ2 pode ser reduzido, multiplicando-o por 0,7.


88

2.5.6.5 Combinações em estado limite de serviço

Na verificação da segurança das estruturas de madeira são usualmente

considerados os estados limites de serviço caracterizados por:

a. Deformações excessivas, que afetam a utilização normal da construção ou

seu aspecto estético;

b. Danos em materiais não estruturais da construção em decorrência de

deformações da estrutura;

c. Vibrações excessivas.

A NBR 8681, da ABNT (2003), apresenta as seguintes combinações:

Combinações quase permanentes de serviço

Nas construções correntes são utilizadas as combinações quase permanentes.

As verificações da segurança em relação aos estados limites de serviço são feitas

admitindo-se apenas os carregamentos usuais, correspondentes às combinações de

longa duração. Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações

variáveis são consideradas com seus valores quase permanentes ψ2 FQk, portanto:

∑ ∑

(6)

Combinações frequentes de serviço

Nas construções em que haja materiais frágeis não estruturais e nas construções

em que o controle de deformações seja particularmente importante, a verificação da

segurança deve ser feita com as combinações de média ou de curta duração, a critério

do proprietário da obra, em função do rigor da segurança pretendida.

Nas combinações frequentes de serviço, a ação variável principal FQ1 é tomada

com seu valor frequente ψ1 FQ1,k e todas as demais ações variáveis são tomadas com

seus valores quase-permanentes ψ2 FQk:

∑ ∑

(7)

89

Combinações raras de serviço

Em casos especiais, a critério do proprietário da construção, pode ser exigida a

verificação da segurança em função das combinações de duração instantânea.

Nas combinações raras de serviço, a ação variável principal FQ1 é tomada com

seu valor característico FQ1,k e todas as demais ações são tomadas com seus valores

frequentes ψ1 FQk:

∑ ∑

(8)

2.6 LINHAS DE INFLUÊNCIAS

No dimensionamento de uma estrutura submetida a cargas móveis, deve-se

levar em consideração não só a intensidade das cargas aplicadas, mas também o

posicionamento das mesmas sobre a estrutura, para que seja determinada a posição em

que as cargas produzam seus efeitos mais extremos, tanto positivos quanto negativos.

Uma alternativa seria variar o posicionamento das cargas acidentais móveis e

selecionar seus efeitos mais desfavoráveis, todavia, essa opção não é prática, tão

pouco eficiente, exceto para estruturas e carregamentos extremamente simples. A

solução para esse tipo de situação é a utilização das Linhas de Influências (LIs), que

permitem determinar as posições das cargas móveis e acidentais que provocam efeitos

extremos de um determinado esforço em uma seção de uma estrutura.

Linhas de Influências (LIs) descrevem a variação de um determinado efeito

(por exemplo, uma reação de apoio, um esforço cortante ou um momento fletor em

determinada seção) em função da posição de uma carga unitária que passeia sobre a

estrutura. Assim, a LI de momento fletor em uma seção é a representação gráfica ou

analítica do momento fletor, na seção de estudo, produzida por uma carga concentrada

unitária, geralmente de cima para baixo, que percorre a estrutura (MARTHA, 2010).

Vale a pena ressaltar que as LIs apresentam os efeitos provocados por uma

carga móvel unitária em apenas uma seção da estrutura, para todos os possíveis

posicionamentos dessa carga móvel, diferentemente dos diagramas de esforços, que

90

apresentam os valores das solicitações em toda extensão da peça, para apenas uma

condição de carregamento.

Para qualquer estrutura submetida à ação de cargas móveis, isoladas ou em

conjunto, é necessário que se saiba que cada posição desta(s) carga(s), produz(em)

efeitos diferentes. Assim, se faz necessário a determinação da posição mais

desfavorável dessa carga, ou desse conjunto de cargas para a determinação de seus

respectivos efeitos extremos. Através das LIs é possível determinar o efeito de cargas

móveis de vários tipos, concentradas ou distribuídas, de intensidade uniforme ou

variada, além de permitir também, determinar as condições de carregamentos que

provocam mínimos e máximos efeitos.

Com base no traçado de LI, é possível obter os chamados envoltórios limites de

esforços que são necessários para o dimensionamento de estruturas submetidas a

cargas móveis ou acidentais. Os envoltórios limites de momento fletor em uma

estrutura descrevem, para um conjunto de cargas móveis ou acidentais, os valores

máximos e mínimos de momento fletor em cada uma das seções da estrutura, de forma

análoga ao que descreve o diagrama de momentos fletores para um carregamento fixo.

Assim, o objetivo da análise estrutural para o caso de cargas móveis ou acidentais é a

determinação de envoltórios de máximos e mínimos de momentos fletores, esforços

cortantes etc., o que possibilitará o dimensionamento da estrutura submetida a este tipo

de solicitação. Os envoltórios são, em geral, obtidos pela visualização gráfica de

valores máximos e mínimos, respectivamente, de esforços calculados em um

determinado número de seções transversais ao longo da estrutura (MARTHA, 2010).

2.6.1 Linhas de influencias em vigas biapoiadas

O processo para determinação de LI para estruturas isostáticas é relativamente

simples, bastando equacionar explicitamente o equilíbrio da estrutura submetida a uma

carga concentrada unitária, com posicionamento genérico (x), em relação a um ponto

de referência. Como exemplo, analisa-se a viga isostática biapoiada representada na

Figura 35.

91

Figura 35: Viga isostática biapoiada submetida a carregamento unitário.

Na Figura 34 tem-se uma carga unitária aplicada a uma distância x do apoio A

e uma seção S situada a uma distância x0 do mesmo apoio. As reações dos apoios A e

B foram convencionadas para cima. Com utilização das equações fundamentais da

estática é possível determinar as reações RA e RB em função da variável x e do vão L.

Assim obtém-se:

∑

( )

( ) ⁄

⁄ (9)

Como,

⁄ (10)

Essas equações são representações analíticas das linhas de influência das

reações de apoio, também chamada de função de influência, pois expressam a variação

de RA e RB em função da posição x da carga concentrada unitária. Portanto, pode-se

facilmente fazer a representação gráfica das LIs para as reações dos apoios A e B,

através das equações 9 e 10, representadas nas Figuras 36 e 37:

92

Figura 36: LI da reação do apoio A

A ordenada “YS”, na Figura 36, representa o valor da reação de apoio RA

quando a carga móvel unitária estiver sobre a seção “s”. Analogamente traça-se a LI

da reação RB.

Figura 37: LI da reação do apoio B

As mesmas condições de equilíbrio são utilizadas para a determinação das LIs

da força cortante e do momento fletor. Para esses casos, duas situações devem ser

observadas, uma quando a força está aplicada a esquerda da seção considerada e outra

quando a força está aplicada a direita da seção em estudo.

Portanto, a força cortante será, para carga aplicada à esquerda da seção, ou seja

:

(11)

Para carga aplicada à direita da seção, ou seja , a força cortante

será:

(12)

A função de influência da força cortante, para carga aplicada à esquerda da

seção considerada, é obtida como segue:

Sendo ⁄ e , obtém-se:

𝑅𝐴 𝑥 𝐿⁄

𝑃/ 𝑥 ⟹ 𝑅𝐴(𝑥)

𝑃/ 𝑥 𝐿 ⟹ 𝑅𝐴(𝑥)

𝑅𝐵(𝑥) 𝑥 𝐿⁄

𝑃/ 𝑥 ⟹ 𝑅𝐵(𝑥)

𝑃/ 𝑥 𝐿 ⟹ 𝑅𝐵(𝑥)

93

( ) ( ⁄ ) ⁄

/ ⟹ ( )

/ ⟹ ( ) ⁄

Para carga unitária aplicada à direita da seção, tem-se:

( ) ⁄

/ ⟹ ( ) ⁄

/ ⟹ ( )

Verifica-se que a LI do efeito cortante é negativa para carga aplicada à

esquerda da seção e positiva para carga aplicada à direita da seção considerada. Para o

traçado das LIs, são convencionados valores negativos acima da linha do eixo da viga

e positivo abaixo dela. Tem-se então o traçado da LI da força cortante para a estrutura

em questão, como se apresenta na Figura 38.

Figura 38: LI da força cortante para viga isostática biapoiada.

Para o momento fletor, a partir do esquema estático da Figura 34, obtém-se

para carga aplicada à esquerda da seção, ou seja, .

94

( ) (13)

Para carga aplicada à direita da seção, ou seja, com , obtém-se:

(14)

Como ⁄ e , obtém-se a seguinte função de influência para o

momento fletor:

( ⁄ ) ( ) ( ) ⁄

( ⁄ ), para

( ⁄ ), para

A representação gráfica da (LI) do momento fletor é apresentada na Figura 39.

Figura 39: LI do momento fletor para viga isostática biapoiada

95

2.6.2 Linhas de influências para arcos triarticulados

Sejam o arco triarticulado de alma cheia AGB e a correspondente viga de

substituição, apresentados da Figura 40, nos quais: L é o vão AB, medido

horizontalmente; L1 é à distância AG, medido horizontalmente; L2 é à distância GB,

medido horizontalmente; f é a flecha medida verticalmente entre G e a linha de

fechamento entre A e B.

Figura 40: Arco triarticulado AGB e viga de substituição

96

Em decorrência da carga unitária P, aplicada a uma distância x0 medida

horizontalmente a partir do apoio A, surgirão nos apoios A e B as forças verticais VA e

VB, respectivamente, e as forças horizontais HA e HB respectivamente, que podem ser

calculados pelas equações fundamentais da estática, como segue:

∑ ⟹

∑ ⟹

∑ ⟹ ( )

[ ( ) ] ⁄ (15)

Nas expressões 16 a 37, os índices maiúsculos referem-se ao arco AGB e os

índices minúsculos referem-se à viga de substituição ab.

A expressão [P.(L1 - x0) – VA. L1], presente na Equação 15, equivale ao

momento fletor no ponto “g” na viga de substituição, assim sendo:

( )⁄ (16)

Como ∑ , então:

( )

( )/ (17)

Para , tem-se / , que é o mesmo valor da reação vertical

da viga de substituição. O cálculo das reações de apoio do arco triarticulado AGB

recai, então, no cálculo da viga de substituição ab e são fornecidas pelas expressões:

( )⁄ (18)

Sendo φ o ângulo de inclinação do arco em relação a horizontal em uma seção

genérica S, de abscissa x medida a partir do apoio A, ordenada y medida a partir da

linha de fechamento AB e, conforme ilustrado na Figura 41.

97

Figura 41: Obtenção do ângulo φ

Os valores do Momento fletor, força cortante e força normal são dadas pelas

seguintes expressões:

( ) (19)

( ) ( ) (20)

( ) ( ) (21)

Como, a expressão [ ( )], presente na Equação 19, é igual ao

momento fletor na seção s da viga de substituição e ( ) é a expressão da força

cortante na seção s, o cálculo dos esforços simples na seção S do arco triarticulado

AGB recai no cálculo de sua viga de substituição ab e são dados pelas expressões:

(22)

( ) (23)

( ) (24)

Observando-se as expressões 22 a 24, conclui-se que a resolução do arco

triarticulado AGB pode ser feita por meio da viga de substituição ab. Com essas

expressões dos esforços, podem ser escritas as funções de influência para o arco

98

triarticulado AGB, tomando como referência as funções de influência da viga de

substituição ab. Tem-se então:

(25)

(26)

( ⁄ ) (27)

(28)

( ) (29)

( ) (30)

Nota-se que a LI do momento fletor na seção S será obtida a partir da união de

duas LIs, que correspondem aos termos da expressão de LIMS. Na Figura 42 são

apresentadas essas LIs.

Figura 42: Linhas de Influência parciais da Linha de Influência de MS

a) LI do Momento fletor da viga de b) LI da expressão (-y.cosα.LiH).

substituição, na seção s.

Na Figura 43 ilustram-se as linhas de influência de um arco triarticulado.

99

Figura 43: Linhas de Influências de um arco triarticulado

Em geral as cargas a serem consideradas nos projetos de estruturas solicitadas

por carregamento móvel, são especificadas em Normas Técnicas. Estas cargas são

representadas pelos chamados trem-tipo, onde são indicadas as cargas concentradas, as

distâncias entre elas, além de eventuais cargas distribuídas. Conhecido o carregamento

permanente e dado um determinado "trem-tipo" constituído de cargas concentradas e

distribuídas, pode-se determinar os valores máximos dos esforços numa seção. Na

100

pesquisa destes valores máximos deve-se considerar o carregamento permanente em

toda a estrutura e o carregamento variável (trem-tipo) nas posições mais desfavoráveis.

2.6.2.1 Linhas de influências para arcos triarticulados nivelados

Um caso comum para arcos é possuir os apoios no mesmo nível, conforme

ilustrado na Figura 44.

Figura 44: Arco triarticulado nivelado

Neste caso, o ângulo α, que é o ângulo formado entre os apoios A e B do arco,

será igual a zero. Sendo cos0º = 1, as expressões que definem os esforços simples do

arco e as expressões que definem as linhas de influência do arco ficam reduzidas,

como se apresenta nas equações 31 a 37.

101

(31)

(32)

(33)

( ⁄ ) (34)

(35)

( ) (36)

( ) (37)

2.6.2.2 Linhas de influências para carregamentos indiretos

Segundo Fonseca (1974) o carregamento indireto ocorre quando a transmissão

das cargas sobre a estrutura principal em estudo se efetua por intermédio de elementos

intermediários. Nesses casos, as reações de apoios são as mesmas que se obteriam se o

carregamento fosse aplicado de forma direta, porém os esforços simples sofrem

influência das peças de transmissão. Dessa forma, as linhas de influência dos esforços

ficam modificadas devido à natureza indireta da carga.

No caso de ponte em arcos triarticulados com tabuleiro superior, as cargas são

aplicadas no tabuleiro e transmitidas aos arcos através das longarinas, transversinas e

pilares. A Figura 45 ilustra o esquema da ponte em arco com tabuleiro superior para

determinação das LIs para carregamento indireto.

102

Figura 45: Esquema de uma ponte em arco com tabuleiro superior

As linhas de influência das reações de apoio apresentam modificações por

carregamento indireto, pois o comprimento do tabuleiro CH é diferente do

comprimento da viga de substituição AB, assim sendo, o carregamento aplicado nos

trechos CD e FH produzem alterações nas LIs dos arcos. A Figura 46 ilustra a LI de

VA do arco para carregamento direto.

Figura 46: LI de VA do arco para carregamento direto

103

A Figura 47 ilustra a LI de VA para carregamento indireto no arco AGB

considerando cargas unitárias aplicadas no trecho CD e FH.

Figura 47: LI de VA para carregamento indireto

As LIs de reações em C e em H não interessam para esse estudo pois os

esforços não são transmitidos aos arcos e sim para os apoios das encostas. A LI de

reação em B é análoga a LI de reação em A.

Para o traçado da LI de H e da LI de M em determinada seção, também se faz

necessário os ajustes para carregamento indireto, considerando as cargas aplicadas nos

trechos à esquerda de A e a direita de B. A Figura 48 ilustra a LI de H para o

carregamento indireto em estudo.

104

Figura 48: LI de H para carregamento indireto

A Figura 49 ilustra a LI de M na seção S, para o carregamento indireto em

estudo.

105

Figura 49: LI de MS para carregamento indireto

Assim, pode-se dizer que a aplicação indireta do carregamento por meio de

uma viga biapoiada acarreta alteração na LI, de qualquer efeito, correspondente a

união das ordenadas da LI sob pontos de apoio da viga biapoiada por uma reta. Essa

linearidade é reflexo do traçado das LIs de reações de apoio da viga biapoiada.

2.7 RÓTULAS

Uma ligação articulada em um modelo estrutural é chamada de rótula e é

representada no esquema estático por um circulo. Uma rótula libera a continuidade de

rotação no interior de uma estrutura. A colocação de uma rótula em uma peça

estrutural faz com que, na rótula, o momento fletor seja nulo independentemente do

sentido em que a peça esteja sendo analisada, dessa forma existe a transmissão de

apenas dois esforços internos: o esforço cortante e o esforço normal.

106

De acordo com Martha (2010) isso é, na verdade, uma condição adicional de

equilíbrio imposta por uma rótula, pois a resultante momento de qualquer um dos

lados daquela rótula tem de ser nula. Se a resultante momento de qualquer um dos

lados da rótula não fosse nula, cada parte giraria em torno do ponto da rótula. Uma

rótula simples na ligação de duas barras só impõe uma condição adicional de

equilíbrio. Embora o momento fletor tenha de ser nulo em cada lado da rótula, a

imposição de momento fletor nulo apenas por um lado da rótula já garante que o

momento fletor entrando pelo outro lado também seja nulo, posto que o equilíbrio

global de momentos em qualquer ponto já é considerado.

Nas pontes de MLC com estrutura em forma de arcos triarticulados, as rótulas

são utilizadas tanto na base dos arcos, fazendo a conexão do arco com os apoios, como

no fecho do arco. Ilustra-se nas Figuras 50 e 51 a rótula de conexão entre o apoio e o

arco de madeira laminada da ponte Hopland Casino na Califórnia, EUA.

Figura 50: Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada - Hopland Casino

Bridge – Califórnia

Fonte: GILHAM (s/d)

107

Figura 51: Detalhe de conexão entre apoio e arco em madeira laminada Hopland Casino Bridge

– Califórnia

Fonte: GILHAM (s/d)

Ilustra-se na Figura 52 a rótula do fecho do arco da ponte Steinhart Park Road

em Nebraska City, EUA.

Figura 52: Detalhes da rótula do fecho da Steinhart Park Road, Nebraska City, EUA

Fonte: http://bridgehunter.com/ne/otoe/steinhart-park-road/

108

2.8 CONTRAVENTAMENTO

O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), dispõe que as estruturas

formadas por um sistema principal de elementos estruturais, dispostos com sua maior

rigidez em planos paralelos entre si, devem ser contraventadas por outros elementos

estruturais, dispostos com sua maior rigidez em planos ortogonais aos primeiros, de

modo a impedir deslocamentos transversais excessivos do sistema principal e garantir

a estabilidade global do conjunto. Ilustra-se nas Figuras 53 a Ponte Tynset, construída

em Oslo, na Noruega, e o sistema de contraventamentos do vão principal da ponte.

Figura 53: Contraventamento da Ponte Tynset, Oslo – Noruega

Fonte: http://www.panoramio.com

Segundo Fusco et al. (2006) no dimensionamento do contraventamento devem

ser consideradas as imperfeições geométricas das peças, as excentricidades inevitáveis

dos carregamentos e os efeitos de segunda ordem decorrentes das deformações das

peças fletidas.

http://www.panoramio.com/photo_explorer

http://www.panoramio.com/photo_explorer

109

3 MATERIAIS E MÉTODOS

Para o desenvolvimento dos roteiros de cálculo dos elementos da

superestrutura da ponte em arco triarticulado, foi adotado como parâmetro de

dimensionamento as características geométricas do Rio Claro, no Município de Cuiabá

próximo à divisa com o Município de Chapada dos Guimarães, onde atualmente existe

construída uma ponte em vigas de madeira serrada, na qual só é permitida a passagem

de veículos de pequeno porte, pois existe uma placa no local proibindo a passagem de

caminhões. Ilustra-se na Figura 54 o Rio Claro e a ponte existente.

Figura 54: Ponte sobre o Rio Claro

Fonte: Foto do autor (2012).

O rio possui uma largura de aproximadamente 22 metros e a ponte existente

possui um tabuleiro de 35 metros de comprimento, sendo a distância entre pilares de

20,34 metros e o tabuleiro dista 6,60 metros em relação ao nível do rio.

A ponte em arco triarticulado a ser dimensionada possui tabuleiro superior com

24 m de comprimento, 22 metros de distância entre os apoios e 6 m de flecha dos

110

arcos. Para o dimensionamento dos elementos da superestrutura da ponte, serão

consideradas madeira serrada da classe D60 para tabuleiro, longarinas, transversinas e

pilares e MLC de classe C30. Os esforços solicitantes serão obtidos através das LIs e

os dimensionamentos dos elementos seguirão as determinações do projeto de revisão

da NBR 7190, da ABNT (2011). A Figura 55 ilustra a planta baixa da Ponte a ser

dimensionada.

111

Figura 55: Planta baixa da Ponte a ser dimensionada

112

A vista lateral da ponte com respectivas características geométricas é ilustrada

na Figura 56.

Figura 56: Vista lateral da Ponte a ser dimensionada

113

A Figura 57 ilustra um corte transversal da ponte entre os pilares 1 e 2.

Figura 57: Corte transversal da ponte a ser dimensionada

Para o desenvolvimento do projeto da ponte em arco triarticulado, foram

estabelecidos roteiros de dimensionamento para o tabuleiro, a longarina, a

transversina, o pilar e o arco de sustentação da ponte, com base no projeto de revisão

da NBR 7190, da ABNT (2011).

114

Foram criados apêndices com os roteiros de cálculos para dimensionamento de

peças estruturais de uma ponte em arco: submetidas à flexão simples reta (tabuleiro,

longarinas e transversinas); a compressão (pilares); e a flexocompressão simples reta

(arcos).

115

4 DIMENSIONAMENTO DOS ELEMENTOS DA SUPERESTRUTURA DA

PONTE

Os elementos da superestrutura da ponte a serem dimensionados são o

tabuleiro, as longarinas principais e secundárias, a transversina, o pilar mais solicitado

e o arco triarticulado da ponte em estudo.

4.1 DIMENSIONAMENTO DO TABULEIRO

As peças do tabuleiro são vigas de madeira apoiadas nas duas extremidades nas

longarinas. A Figura 58 ilustra um corte transversal da ponte em estudo, nota-se que

existem cinco longarinas, as longarinas principais que são compostas por duas peças

associadas e estão situadas abaixo dos rodeiros e as longarinas secundárias situadas

nas extremidades e no centro do vão, que dividem a seção transversal do tabuleiro em

quatro vãos de um metro cada. Assim sendo, as peças que compõem o tabuleiro são

vigas biapoiadas, de um metro de comprimento, submetidas a carregamento vertical

perpendicular ao eixo principal da peça.

Figura 58: Corte transversal da ponte em estudo evidenciando o tabuleiro

116

No projeto do tabuleiro adotou-se o uso de rodeiro e guarda rodas, pois com as

rodas diretamente sobre o rodeiro o carregamento móvel no tabuleiro será apenas a

carga distribuída estipulada pela NBR 7188, da ABNT (1984), de 5 kN/m2,

correspondente aos veículos menores e pessoas sobre a ponte. A Figura 59 ilustra a

vista superior do tabuleiro da ponte destacando o rodeiro e o guarda rodas.

Figura 59: Vista superior do tabuleiro da Ponte

De acordo com o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), em

pontes rodoviárias ou para pedestres, sem revestimento protetor, deve-se admitir uma

camada de desgaste com pelo menos 2 cm de espessura. Nesse sentido, a peça adotada

terá sua altura reduzida no cálculo de características geométricas e resistência

mecânica, como previsão ao desgaste, e serão mantidas suas dimensões reais para o

cálculo do peso próprio.

Para cálculo inicial do tabuleiro, foram adotadas peças com dimensões de 30

cm de largura, 4 cm de espessura, 2 cm de revestimento e 1m de comprimento.

Para as verificações de cálculo foi utilizado o roteiro para dimensionamento de

elementos estruturais submetidos à flexão simples reta, apresentado no Apêndice G.

117

4.1.1 Características geométricas da peça

Momento estático

Momento de Inércia

Largura da seção transversal no centro de gravidade (b)

Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada (yt2)

4.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade

Os valores de cálculo da resistência e da rigidez efetiva são dados por:

e

Para carregamento de longa duração e classe de umidade 1, de acordo com os

valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D, tem-se para a madeira não

classificada da classe D 60, os seguintes valores:

/ (densidade aparente)

/ (peso específico aparente)

118

4.1.3 Determinação dos esforços de calculo e flecha de serviço

a) Carregamento permanente

Dimensões da peça adotada:

Volume da peça:

Peso específico da madeira D60: ⁄

Peso próprio:

Peso das ligações:

Carregamento distribuído: ⁄ /

A Figura 60 ilustra o carregamento permanente a ser considerado:

Figura 60: Carregamento permanente do tabuleiro

Os esforços característicos devido ao carregamento permanente a serem

considerados são:

b) Carregamento variável

Dimensões da peça adotada: 0,30 m x 0,06 m x 1,00 m

Área de superfície da peça: 0,30 m²

Carga total: (

) ( )

Carregamento distribuído: ⁄ /

A Figura 61 ilustra o carregamento variável a ser considerado.

119

Figura 61: Carregamento variável do tabuleiro

Os esforços característicos devido ao carregamento variável a serem

considerados são:

c) Impacto vertical

Coeficiente de impacto ( ):

( )

( )

Onde:

= coeficiente de impacto;

= coeficiente associado à rugosidade da via, definido em norma, que para

vias de madeira sem revestimento é de 20;

L= vão do elemento considerado em m.

Os esforços característicos devido ao impacto vertical a serem considerados

são:

( )

( )

( )

d) Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)

Utilizando a Equação 3 para a determinação da força cortante de cálculo Vd e

do momento fletor de cálculo Md, e da Equação 6 para a determinação da flecha de

serviço , tem-se:

120

( )

( )

( )

( )

( )

( )

4.1.4 Verificação da tensão normal

De acordo com as Equações 54 e 55 do Apêndice G, tem-se:

Ok!

4.1.5 Verificação da tensão de cisalhamento

De acordo com a Equação 56 do Apêndice G, tem-se:

Ok!

121

4.1.6 Verificação da flecha de serviço


( )

( )

( )

Ok!

122

4.2 DIMENSIONAMENTO DAS LONGARINAS

As longarinas são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes do

tabuleiro e transmiti-las às transversinas. A ponte em estudo possui cinco longarinas,

divididas em onze vãos: três vãos de 2,00 m de comprimento, nas encostas e no vão

central da ponte, e os demais de 2,25 m de comprimento. Em uma vista lateral da

ponte, ilustrado na Figura 62, é possível visualizar as divisões das longarinas

caracterizadas pelos pontos de apoios das longarinas nas transversina.

Figura 62: Vista lateral da ponte em estudo

As longarinas localizadas abaixo dos rodeiros, chamadas de longarinas

principais, são as mais exigidas mecanicamente por receber diretamente as cargas dos

veículos que passam sobre a ponte. As demais longarinas, chamadas de longarinas

secundárias, que estão situadas nas extremidades e no centro do tabuleiro, recebem

apenas uma pequena parcela das cargas concentradas provenientes do veículo tipo que

trafega sobre a ponte, tendo como carga variável o carregamento distribuído estipulado

na NBR 7188, da ABNT (1984), correspondente à faixa do tabuleiro destinada ao

transito de pessoas, e uma pequena parcela do carregamento móvel, oriunda da

influência do veículo tipo. A Figura 63 ilustra o posicionamento das longarinas

principais e secundárias da ponte em estudo.

123

Figura 63: Longarinas principais e secundárias

As cargas móveis atuantes nas longarinas foram obtidas através da Linha de

Influência de reação, do conjunto do tabuleiro, sobre as longarinas.

As peças que compõem as longarinas são vigas apoiadas nas transversinas, que

não dão continuidade de um vão para o outro, para que as cargas aplicadas em um vão

não causem influências no vão seguinte. Para o cálculo das longarinas principais

foram adotadas vigas de madeira da classe D60, sendo as longarinas principais

formadas por duas peças de seção retangular, com 25 cm de base e 30 cm de altura,

justapostas lado a lado e, cada longarina secundaria formada por uma peça de seção

retangular com 20 cm de base e 30 cm de altura. Para as verificações de cálculo foi

utilizado o roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexão

simples reta, apresentado no Apêndice G.

124

4.2.1 Dimensionamento das longarinas principais

As longarinas principais estão situadas abaixo dos rodeiros, dessa forma, são

responsáveis por absorver as cargas provenientes do trem-tipo e são compostas por

duas peças de 25x30 cm².

4.2.1.1 Características geométricas da peça

Momento estático ( ):

Momento de Inércia ( ):

Largura da seção transversal no centro de gravidade ( ):

Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada (yt2):

4.2.1.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade efetivo





125


4.2.1.3 Carregamentos e solicitações características


Peso do tabuleiro ( ):

( ) ⁄

⁄ ⁄

Peso da longarina ( ):

( ) ⁄

/ /

Peso das peças de madeira ( ):

/

Peso das ligações ( ):

/

Carregamento distribuído ( ):

/

A Figura 64 ilustra o carregamento permanente a ser considerado no cálculo

das longarinas.

Figura 64: Carregamento permanente das longarinas principais

Os esforços característicos devido ao carregamento permanente a serem

considerados são:

( )

126

( )

( )


O estudo do carregamento variável das longarinas deve ser feito com a

obtenção do trem-tipo sobre as longarinas, utilizando a LI de reação, do conjunto do

tabuleiro, sobre a longarina em estudo.

As longarinas principais, localizadas abaixo dos rodeiros, são as responsáveis

por receber as cargas provenientes dos veículos e transmiti-las às transversinas. As

direções do centro de gravidade das longarinas principais coincidem com a direção do

centro dos rodeiros, porém, como o rodeiro possui o dobro da largura dos pneus do

veículo, existe a possibilidade dos veículos não trafegarem no centro de gravidade dos

rodeiros. Todavia, quando o veículo trafega no centro do rodeiro, as cargas variáveis

são depositadas integralmente nas longarinas principais, causando assim, as condições

mais desfavoráveis para as mesmas. A Figura 65 ilustra um veículo trafegando sobre a

ponte com as rodas nos eixos dos rodeiros.

Figura 65: Veículo no eixo dos rodeiros

O trem-tipo para a situação descrita é ilustrado na Figura 66.

127

Figura 66: Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas principais

O valor da ordenada da LI de R no próprio apoio é igual a 1 e a ordenada η1

pode ser obtido através da semelhança de triângulos, sendo seu valor 0,5.

128

A carga concentrada P, que para o cálculo das longarinas principais deve ser

aplicada no apoio, é obtida multiplicando o peso de cada roda, que é de 75 kN, pela

ordenada da LI sob a carga, que é igual a 1. Dessa forma tem-se

O carregamento q1 ocorre na faixa unitária de ponte sob o veículo,

correspondendo aos veículos mais leves e/ou pedestres, transitando lateralmente ao

veículo.

O valor do carregamento q1 é obtido multiplicando o carregamento distribuído

estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área da LI até a cota η1 .

*( )

+ /

As longarinas principais estarão submetidas ao carregamento q2 quando não

houver veículos trafegando sobre a ponte ou nas faixas onde não se encontram

veículos. Para obtenção do carregamento q2 deve-se carregar a LI, apenas no trecho

que provoca acréscimo na reação, com a carga de 5 kN/m² estipulado na NBR 7188,

da ABNT (1984).


pela área total da LI (At).

(

) /

Com os valores de P, q1 e q2 determinados, obtém-se o trem tipo para as

longarinas principais que é ilustrado na Figura 67.

Figura 67: Trem-tipo para as longarinas principais

Logsdon (1982) obteve para vigas simplesmente apoiadas de pontes, sem

restrição na posição do veículo, o momento máximo e a flecha máxima no centro do

vão e força cortante máxima nos apoios. Assim sendo, a situação mais desfavorável

para o momento fletor e a flecha máxima das longarinas se dá quando a carga

concentrada encontra-se aplicada no meio do vão e para a força cortante quando a

129

carga concentrada é aplicada nos apoios. A Figura 68 ilustra o carregamento variável

para o cálculo do momento fletor e flecha máxima (a) e para o cálculo da força

cortante (b).

Figura 68: Carregamento variável para o cálculo das longarinas principais


considerados para as longarinas principais são:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

c) Impacto vertical

O impacto vertical é função do coeficiente de impacto:

( )

( )

Os esforços relativos ao impacto vertical são obtidos a partir dos esforços

devidos à carga móvel, como segue:

( )

( )

130

( )

4.2.1.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud)

Utilizando a Equação 3 para a determinação da força cortante de cálculo Vd e

do momento fletor de cálculo Md, e da Equação 6 para a determinação da flecha de

serviço , tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

4.2.1.5 Verificações da tensão normal


OK!

131

4.2.1.6 Verificação da tensão de cisalhamento


OK!

4.2.1.7 Verificação da flecha de serviço


( )

( )

( )

OK!

132

4.2.2 Dimensionamento das longarinas Secundárias

As longarinas secundárias foram analisadas separadamente e o

dimensionamento feito com os valores encontrados para as longarinas das

extremidades, que apresentaram valores mais desfavoráveis que a longarina secundária

do centro da ponte. A Figura 69 ilustra o volume de madeira sobre a área de influência

da longarina da extremidade.

Figura 69: Volume de madeira sobre a área de influência da longarina da extremidade

4.2.2.1 Características geométricas da peça

Momento estático:

Momento de Inércia:

Largura da seção transversal no centro de gravidade (b):

133

Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada: (yt2):

4.2.2.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade






4.2.2.3 Carregamentos e solicitações características


Peso do tabuleiro ( ):

( ) ⁄

⁄ ⁄

Peso da longarina ( ):

( ) ⁄

/ /

Peso das peças de madeira ( ):

/


/

134


/


das longarinas secundárias:

Figura 70: Carregamento permanente das longarinas secundárias

Os esforços relativos ao carregamento permanente a serem considerados são:


Para as longarinas secundárias, a situação mais desfavorável ocorre quando o

veículo tipo trafega ligeiramente deslocado do centro do rodeiro, transferindo dessa

forma, uma parcela do carregamento variável proveniente do veículo tipo para as

longarinas secundárias. A Figura 71 ilustra o veículo tipo trafegando fora do centro

dos rodeiros, posição mais desfavorável para as longarinas das extremidades.

135

Figura 71: Veículo tipo fora do eixo dos rodeiros

O trem-tipo para a situação descrita é ilustrado na Figura 72.

136

Figura 72: Carregamento para obtenção do trem-tipo para as longarinas secundárias

137

O valor da ordenada da LI de R no apoio é igual a 1 e as ordenadas η1 e η2

podem ser obtidas por semelhança de triângulos, sendo seus valores 0,75 e 0,25

respectivamente.

A carga concentrada P, que para o cálculo das longarinas secundárias deve ser

aplicada fora do apoio, é obtida multiplicando o peso de cada roda, que é de 75 kN,

pela correspondente ordenada da LI, que é igual a 0,25. Dessa forma tem-se:


estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área compreendida entre as cotas 1 e

η1 (A1).

*( )

+ /


pela área total da LI.

(

) /

Com os valores de P, q1 e q2 determinados, o trem-tipo para as longarinas

secundárias é ilustrado na Figura 73.

Figura 73: Trem-tipo para o cálculo das longarinas secundárias

A Figura 74 ilustra o carregamento variável para o cálculo do momento fletor e

flecha máxima (a) e para o cálculo da força cortante (b) das longarinas secundárias.

138

Figura 74: Carregamento variável para o cálculo das longarinas secundárias


considerados para as longarinas secundárias são:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

c) Impacto vertical

O impacto vertical a ser considerado para as longarinas principais é:

( )

( )

Os esforços relativos ao impacto vertical a serem considerados para as

longarinas principais são:

( )

( )

( )

139

4.2.2.4 Esforços de cálculo (Vd e Md) e flecha de serviço (ud,uti)

Utilizando a Equação 3 para a determinação da Cortante de cálculo Vd e do

Momento de cálculo Md, e da Equação 6 para a determinação da flecha de serviço

, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

4.2.2.5 Verificações da tensão normal


OK!

140

4.2.2.6 Verificação da tensão de cisalhamento


OK!

4.2.2.7 Verificação da flecha de serviço


( )

( )

( )

OK!

141

4.3 DIMENSIONAMENTO DAS TRANSVERSINAS

As transversinas são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes

das longarinas, principais e secundárias, e transmiti-las aos montantes. A ponte em

estudo possui dez transversinas de 4 m de comprimento, que foram dimensionadas

para a situação mais desfavorável, ou seja, transversinas que apoiam longarinas com

vãos de 2,25 m de comprimento de ambos os lados, o que determina uma área de

influência de 2,25 m de comprimento para cada transversina. A Figura 75 ilustra o

corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas.

Figura 75: Corte transversal da ponte evidenciando uma das transversinas

As transversinas da ponte em estudo são vigas biapoiadas, com balanço em

ambas as extremidades.

Uma rápida análise do esquema estático da transversina indica valores

máximos do momento fletor no centro do vão ou sobre os apoios, valores máximos da

força cortante à esquerda ou à direita do apoio, e valores máximos da flecha no centro

do vão ou na extremidade do balanço. Assim, estes valores devem ser obtidos tanto

para o carregamento permanente como para a carga móvel.

Ao combinar os carregamentos para obter valores de cálculo, os coeficientes de

ponderação da carga permanente serão diferentes caso seja favorável ou desfavorável,

portanto, os efeitos devido à carga permanente devem ser obtidos separados (parcela

142

positiva da parcela negativa) para, na combinação, poder ser utilizado o valor correto

do coeficiente de ponderação. Para valores de serviço (flechas) isso não é necessário.

O carregamento permanente das transversinas é composto pelo peso próprio do

conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas e transversina pertencentes à área de influência

de cada transversina. O peso próprio do conjunto rodeiro, tabuleiro e longarinas atuam

como cargas concentradas aplicadas pelas longarinas nas transversinas.

As cargas móveis atuantes nas transversina foram obtidas através da LI de

reação, do conjunto do tabuleiro e longarina, sobre as transversina.

Para o cálculo das transversinas foram adotadas vigas de madeira da classe

D60, com 25 cm de base e 30 cm de altura. Para as verificações de cálculo foi

utilizado o roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexão

simples reta, apresentado no Apêndice G.


Momento estático ( ):

Momento de Inércia ( ):

Largura da seção transversal no centro de gravidade ( ):

Distâncias do centro de gravidade comprimida (yc1) e à borda tracionada (yt2):

143

4.3.2 Resistências de cálculo da madeira e módulo de elasticidade efetivo






4.3.3 Carregamentos atuantes nas transversinas


O carregamento permanente, proveniente do tabuleiro e das longarinas, atua

como cargas concentradas nas transversinas e foi obtido para a área de influência do

conjunto nas transversinas.

Peso do conjunto tabuleiro/longarina das extremidades:

A Figura 76 ilustra o volume de madeira a ser considerado no cálculo do

peso próprio do conjunto tabuleiro/longarina das extremidades.

144

Figura 76: Conjunto tabuleiro/longarina da extremidade

( ) ⁄

( ) ⁄

/

/

/ /

Peso do conjunto tabuleiro/longarina do centro:

A Figura 77 ilustra o volume de madeira a ser considerado no cálculo do

peso próprio do conjunto tabuleiro/longarina do centro da ponte:

Figura 77: Conjunto tabuleiro/longarina do centro da ponte

145

( ) ⁄

( ) ⁄

/

/

/ /

Peso do conjunto rodeiro/tabuleiro/longarina para as longarinas principais:

A Figura 78 ilustra a área de influência a ser considerada no cálculo do

peso próprio do conjunto rodeiro/tabuleiro/longarina para as longarinas principais da

ponte.

Figura 78: Conjunto rodeiro/tabuleiro/longarinas principais

( ) ⁄

( ) ⁄

( ) ⁄

/ /

/ /

/ / /

146

Peso das transversinas ( ):

( ) ⁄ /


/


/


das transversinas.

Figura 79: Carregamento permanente das transversinas


O estudo do carregamento variável das transversinas deve ser feito com a

obtenção do trem-tipo sobre as transversinas, considerando o carregamento aplicado

de forma indireta às transversinas.

A situação mais desfavorável para o carregamento das transversina ocorre

quando o eixo central do veículo tipo encontra-se sobre uma das transversina, nessa

situação, os três eixos do veículo tipo encontram-se sobre a área de influência da

transversina em estudo.

O carregamento da “linha das transversinas” é indiretamente aplicado às

transversinas, mas utilizando LI de M ou LI de V, obtêm-se os esforços máximos. O

carregamento pode ser aplicado diretamente porque as linhas de ajustes para

carregamento indireto correspondem a aplicar a LI de reação em conjunto com a do

esforço procurado.

147

É importante ressaltar que existe a possibilidade do trem-tipo mover-se

lateralmente 25 cm, para a esquerda ou para direita, em decorrência da largura do

rodeiro.

A Figura 80 ilustra o carregamento na LI da transversina para obtenção

dos esforços solicitantes.

Figura 80: Carregamentos para determinação do trem-tipo para as transversinas

148

Os valores de η1 e η2 podem ser obtidos por meio de semelhança de triângulos

e valem 1,5 e 1,25 respectivamente.

O valor da carga concentrada P é obtida multiplicando o peso de cada roda,

que é de 75 kN, pelas ordenadas da LI sob as cargas. Dessa forma tem-se:

( )

O carregamento q1 ocorre na faixa unitária de ponte sob o veículo,

correspondendo a pedestres transitando lateralmente ao veículo tipo.


estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área da LI compreendida entre η1 e

η2.

*( )

+ /

O carregamento q2 ocorre nas faixas onde não se encontra o veículo tipo ou na

existência de veículos menores.

O valor do carregamento q2 é obtido multiplicando-se o carregamento

distribuído pela área correspondente na LI.

(

) /

Com os valores de P e q1 e q2 obtidos, o trem tipo para o cálculo das

transversinas é ilustrado na Figura 81.

Figura 81: Trem-tipo para o cálculo das transversinas

c) Impacto vertical


( )

( )

149

4.3.4 Solicitações de cálculo

a) Força cortante

Para determinação da força cortante, carregou-se a LI de V, com os

carregamentos permanentes, positivo e negativo, e o trem-tipo obtido para as

transversinas na posição que provocam máximos efeitos. A Figura 82 ilustra o

carregamento da LI de V para obtenção da Força Cortante.

Figura 82: Carregamento da LI de V das transversinas

Os valores das ordenadas para o cálculo da força cortante podem ser obtidas

por semelhança de triângulos e estão apresentadas na Tabela 11.

150

Tabela 11: Ordenadas da LI de V das transversinas

η1 η2 η3 η4 η5 η6 η7 η8

0,5 0,375 0,125 0,5 0,125 -0,125 -0,375 -0,5

É importante ressaltar que as cargas concentradas permanentes provenientes

das longarinas principais são absorvidas diretamente pelos apoios das transversinas,

não interferindo dessa forma na força cortante aplicada à esquerda ou à direita dos

apoios.

A força cortante positiva a ser considerada devido ao carregamento permanente

é:

( )

Ressalta-se que o carregamento distribuído permanente das transversina refere-

se ao peso próprio da mesma, sendo assim ele é carregamento direto, devendo ser

multiplicado por toda a área da LI.

A força cortante negativa a ser considerada devido ao carregamento

permanente é:

( ) ( )

A força cortante positiva a ser considerada devido ao carregamento variável é:

( )

( )

( )

A força cortante negativa a ser considerada devido ao carregamento variável é:

( )

( )

( )

O valor de cálculo máximo da força cortante na transversina é obtido através

da seguinte combinação de ações:

[ ( )

]

( )

151

b) Momento fletor

Para determinação do momento fletor máximo, carregou-se a LI de M com o

carregamento permanente, positivo e negativo, e o trem-tipo obtido para as

transversinas na posição que provocam máximos efeitos. A Figura 83 ilustra o

carregamento da LI de M para obtenção do momento fletor máximo.

Figura 83: Carregamento da LI de M para o cálculo do momento fletor máximo

Os valores de η1,η2 e η3 podem ser encontrados por meio de semelhança de

triângulos e valem 0,5.

O momento fletor positivo a ser considerado devido ao carregamento

permanente é:

152

O momento fletor negativo a ser considerado devido ao carregamento

permanente é:

*

( )

( )+

O momento fletor positivo a ser considerado devido ao carregamento variável

é:

O momento fletor negativo a ser considerado devido ao carregamento variável

é:

*

( )

+

O valor de cálculo máximo do momento fletor na transversina é obtido através

da seguinte combinação de ações:

[ ( )

]

c) Flecha de serviço

Segundo Logsdon (1982) o cálculo de LI de flechas pode ser transformado no

cálculo de linhas elásticas, pois o TEOREMA DUAL DE MÜLLER-BRESLAU

afirma que: “A linha de influência de um deslocamento Δc numa seção C para uma

carga unitária com direção e sentido especificados em cada ponto de uma linha S a ser

percorrido pela carga, é em cada ponto de S definido pela coordenada s, o valor do

deslocamento δs medido no sentido da carga em s, correspondente a carregar a

estrutura com uma carga unitária na direção e sentido do deslocamento Δc”. Ou seja, a

linha de influência de um deslocamento Δc, numa seção C, é a linha elástica da

estrutura sob a carga unitária aplicada na seção C, com sentido e direção do

deslocamento.

Assim, o carregamento que produzirá flecha máxima pode ser obtido a partir

do esboço da LI do deslocamento vertical (elástica para carga unitária aplicada na

posição, direção e sentido do deslocamento desejado).

A Figura 84 ilustra os carregamentos, permanente e variável, para o cálculo da

flecha máxima na transversina.

153

Figura 84: Carregamento para o cálculo da flecha máxima na transversina

De acordo com Logsdon (1989), uma maneira de se obter a flecha é através da

aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais, sendo determinado pela Equação 38,

desprezando-se os deslocamentos produzidos pela força cortante (usual).

∫ ̅̅ ̅ (38)

Para a aplicação da Equação 38, utiliza-se o roteiro apresentado no Apêndice I.

Para uma viga em balanço, devem-se analisar as deflexões no centro do vão

central e nas extremidades a fim de se verificar o ponto mais desfavorável. O diagrama

de M é ilustrado na Figura 85.

154

Figura 85: Diagrama de momento fletor para carregamento permanente

Para determinação de ̅ deve-se aplicar a carga unitária nos pontos em que se

deseja calcular as flechas, ou seja, no meio do vão central e na extremidade do

balanço. A Figura 86 apresenta o carregamento unitário e o diagrama de ̅ para o

cálculo da flecha no centro do vão da transversina.

Figura 86: Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha no centro

Utilizando-se a Tabela 155 apresentada no Anexo 1, o valor do deslocamento é

dado por:

∫ ̅̅ ̅

Da tabela 155, apresentada no Anexo 1, tem-se:

155

A Figura 87 apresenta o carregamento unitário e o diagrama de ̅ para o

cálculo da flecha na extremidade da transversina.

Figura 87: Carregamento unitário e diagrama ̅ para calculo da flecha na extremidade

Utilizando-se a Tabela 155 apresentado no Anexo 1, o valor do deslocamento é

dado por:

∫ ̅̅ ̅

Da tabela 155, apresentada no Anexo 1, tem-se:

156

O carregamento variável para o cálculo da deformação máxima no vão central

é ilustrado na Figura 88.

Figura 88: Carregamento para cálculo da flecha no vão central

Por se tratar de carregamento indireto aplicado pelas longarinas às

transversinas na forma de carga concentrada, o carregamento distribuído produz uma

reação no centro do vão da transversina. A Figura 89 ilustra o carregamento indireto

para o cálculo da deformação no vão central das transversinas.

Figura 89: Carregamento indireto para cálculo da flecha no vão central

A intensidade da força P é dado pelo produto entre o carregamento distribuído

pela área da LI de R. dessa forma tem-se:

157

O deslocamento provocado pela carga é:

( )

( )

O carregamento variável para o cálculo da deformação nas extremidades é

ilustrado na Figura 90.

Figura 90: Carregamento para cálculo da flecha no vão central

Por se tratar de carregamento indireto, o carregamento distribuído deve ser

substituído por uma carga concentrada a ser calculada através da LI da deformação nas

extremidades. A Figura 91 ilustra a LI para o cálculo da deformação nas extremidades.

Figura 91: LI para o cálculo das deformações nas extremidades

A carga concentrada para o cálculo das deformações é dada pelo produto do

carregamento distribuído pela área da LI de R. Assim sendo, tem-se:

158

A Figura 92 ilustra o carregamento para o cálculo das deformações nas

extremidades das transversinas decorrentes do carregamento variável.

Figura 92: Carregamento para cálculo das deformações nas extremidades

O diagrama de M para o carregamento indicado é ilustrado na Figura 93.

Figura 93: Diagrama de M para carregamento variável

O diagrama ̅ é obtido através do carregamento unitário aplicado na

extremidade do balanço. A Figura 94 ilustra o carregamento para obtenção de ̅̅ ̅

Figura 94: Carregamento para obtenção de ̅

O diagrama de ̅ é ilustrado na Figura 95.

159

Figura 95: Diagrama de ̅ para o carregamento variável

Utilizando-se a Tabela 155 apresentado no Anexo 1, o valor do deslocamento é

dado por:

∫ ̅̅ ̅

+

Da Tabela 155, apresentada no Anexo 1, tem-se:

*(

) (

)+

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A flecha de serviço é dada pela seguinte combinação:

( ) ( )

( ) ( )

( )

160

( ) ( )

( ) ( )

4.3.5 Verificações da tensão normal


OK!

4.3.6 Verificação da tensão de cisalhamento


OK!

4.3.7 Verificação da flecha de serviço


No centro

( ) ( )

( )

OK!

161

No balanço

( ) ( )

( )

OK!

162

4.4 DIMENSIONAMENTO DOS PILARES

Os pilares são as peças responsáveis por receber as cargas provenientes das

transversinas e transmiti-las aos arcos triarticulados. Os pilares da ponte em estudo

foram dimensionados para a situação mais desfavorável, ou seja, considerando um

afastamento de 2,25 m de comprimento de ambos os lados, o que determina uma área

de influência de 2,25 m de comprimento para cada pilar, que deve ser dimensionado

também para o maior comprimento de flambagem, correspondente aos pilares mais

próximos dos apoios. A Figura 96 ilustra uma vista lateral evidenciando os pilares a

serem dimensionados.

Figura 96: Vista lateral evidenciando os pilares da ponte

O comprimento do pilar foi obtido geometricamente a partir da função

quadrática que representa o arco da ponte em

estudo. A Figura 97 ilustra o posicionamento dos pilares em relação ao arco da ponte

em estudo.

163

Figura 97: Posicionamento dos pilares em relação aos arcos

A Tabela 12 apresenta o comprimento dos pilares da ponte em estudo,

arredondados na primeira casa decimal.

Tabela 12: Comprimento dos pilares

Pilar Comprimento (m)

P1 5,6

P2 3,6

P3 2,1

P4 1,2

P5 0,6

Os pilares são os apoios das transversinas, dessa forma, o carregamento

permanente atuante nos pilares é composto pela reação de apoio das transversinas

acrescido do peso próprio dos mesmos. As cargas móveis atuantes foram obtidas

através da LI de reação do conjunto sobre os pilares. O carregamento existente atua

como carga normal de compressão aplicada nos pilares pelas transversinas.

Para o cálculo dos pilares, considerados biarticulados, foram adotadas peças de

madeira serrada da classe D60, com seção transversal quadrada de 25 cm de lado. Para

as verificações de cálculo foi utilizado o roteiro para dimensionamento de elementos

estruturais submetidos à compressão paralela às fibras, apresentado no Apêndice E.

164


Área da seção transversal ( ):

Raio de giração ( ):

√

√

Comprimento de flambagem ( ):

Índice de esbeltez máximo ( ):

4.4.2 Características da madeira






165

4.4.3 Carregamentos atuantes nos pilares


O carregamento permanente a ser considerado no cálculo dos pilares é a reação

de apoio do conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas e transversinas acrescido do peso

próprio dos pilares. A Figura 98 ilustra o carregamento do conjunto a ser considerado

para o cálculo da ação permanente nos pilares.

Figura 98: Carregamento permanente dos pilares proveniente das transversinas

A ação de compressão existente em cada pilar proveniente do conjunto é:

O peso próprio da peça é:

O peso de madeira a ser considerado no cálculo dos pilares é:

O peso das ligações a ser considerado é:

O carregamento permanente a ser considerado no dimensionamento dos pilares

é:

166


O estudo do carregamento variável nos pilares deve ser feito com a obtenção

do trem-tipo, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. Pode ser obtido

carregando-se a LI de reação dos pilares com as cargas provenientes das transversinas.

A situação mais desfavorável para o carregamento dos montantes ocorre

quando o eixo central do veículo tipo encontra-se sobre uma das transversina, nessa

situação, os três eixos do veículo tipo encontram-se sobre a área de influência dos

pilares que servem de apoio para essa transversina. A Figura 99 ilustra o carregamento

na LI dos pilares para obtenção dos esforços solicitantes.

Figura 99: Carregamentos para determinação do trem-tipo dos pilares

O valor de η1 é 0,5 e pode ser obtido por semelhança de triângulos.

167

O valor da carga concentrada P é obtido através da soma da carga concentrada

aplicada pelas transversinas com o carregamento distribuído multiplicado por sua

respectiva área na LI de R dos pilares.

Na hipótese de haver apenas pedestres ou veículos menores na ponte, o valor

da carga P é obtido multiplicando-se o carregamento distribuído pela área da LI.

c) Impacto vertical


( )

( )

Os esforços relativos ao impacto vertical são obtidos a partir dos esforços

devidos à carga móvel, como segue:

( )

4.4.4 Solicitação de cálculo

A força normal de cálculo é dada pela seguinte combinação de ações:

( )

( )

168

4.4.5 Verificações e conclusões

a) Verificação quanto à ruptura

OK!

b) Verificação quanto à estabilidade

OK!

169

4.5 DIMENSIONAMENTO DOS ARCOS

Os arcos são as peças responsáveis por receber todas as cargas da

superestrutura da ponte, permanentes e variáveis, e transmiti-las às fundações. A

Figura 100 evidencia um dos arcos da ponte em estudo.

Figura 100: Arcos triarticulados da ponte em estudo

Todos os esforços internos obtidos nos arcos, tanto os provenientes de cargas

permanentes quanto os de cargas variáveis, foram obtidos através das LIs dos esforços.

Embora as cargas sejam transmitidas aos arcos de forma concentrada pelos pilares, o

carregamento foi considerado distribuído ao longo dos arcos a fim de encontrar as

situações mais desfavoráveis para a peça. O carregamento permanente aplicado em

cada arco é composto pela metade do peso próprio do conjunto rodeiro, tabuleiro,

longarinas, transversinas e pilares, acrescido do peso do próprio arco, e o

carregamento variável obtido através do trem-tipo da ponte sobre os arcos.

Para o cálculo dos arcos foram adotadas peças de madeira laminada colada da

classe C30, com seção transversal retangular de 60 cm de base por 100 cm de altura.

Para as verificações de cálculo foi utilizado o roteiro para dimensionamento de

elementos estruturais submetidos à flexocompressão, apresentado no Apêndice H.

170


A Figura 101 ilustra as características geométricas do arco em estudo.

Figura 101: Características geométricas do arco

Raio de Curvatura do arco ( )

Onde:

L = vão livre do arco;

f = flecha do arco

171

Ângulo de imposição do arco ( )

( )

( )

Ângulo de meio arco ( )

Comprimento do semi eixo do arco ( )

Comprimento entre dois pontos contraventados do arco (LA)

Área da seção transversal ( )

Momento estático (S)

Momento de Inércia (I)

Raio de Giração ( )

√

√

√

√

Comprimento de Flambagem7 ( )

___________________________________________ 7O trecho de comprimento LA do arco, entre dois pontos contraventados, foi considerado

Biengastado, dessa forma tem-se Ke = 0,65.

172

Índice de esbeltez ( )

Esbeltezes relativas (rel,x e rel,y)

√

√

√

√

Largura da seção no centro de gravidade e distâncias às bordas

;

;

4.5.2 Características da madeira

De acordo com os valores dos coeficientes encontrados no Apêndice D e

considerando a curvatura do arco para o cálculo do , tem-se para a madeira C30

classificada, classe de umidade 1 e carregamento de longa duração, os seguintes

valores:



173

4.5.3 Carregamentos atuantes nos arcos

a) Carregamentos permanentes

Os carregamentos permanentes a serem considerados no cálculo dos arcos são

o peso próprio do conjunto rodeiro, tabuleiro, longarinas, transversinas e pilares

pertencentes à área de influência de cada arco, além do peso próprio dos mesmos e o

peso das ligações. A Figura 102 ilustra os carregamentos do conjunto a serem

considerados para o cálculo da ação permanente dos arcos.

Figura 102: Carregamento permanente dos arcos

O carregamento permanente proveniente do rodeiro foi obtido multiplicando-se

o volume de madeira do rodeiro, que possui 1 m de largura e 6 cm de espessura, pelo

peso específico da madeira. Como cada rodeiro pertence à área de influência de um

dos arcos, tem-se para cada metro de rodeiro o seguinte carregamento:

( )

174

Para obtenção do carregamento permanente oriundo do tabuleiro, multiplicou-

se a volume de madeira do tabuleiro pertencente à área de influência de cada arco pelo

peso específico da madeira.

( )

No cálculo do carregamento permanente provocado pelas longarinas,

considerou-se pertencente a área de influência de cada arco a longarina de (20x30) cm²

da extremidade, a longarina principal 2.(25x30) cm² e metade da longarina central de

(20 x 30) cm².

[( ) ( ) ( )]

Para obtenção do carregamento permanente causado pelas transversinas e pelos

pilares, que não atuam continuamente ao longo dos arcos, somou-se o peso dessas

peças e distribuiu-se a carga ao longo da extensão do arco.

* ( )

+

* ( )

+ /

O carregamento devido ao peso próprio do arco foi obtido multiplicando-se o

volume de madeira do arco pelo peso específico do material.

*( )

+ /

O peso próprio das ligações foi calculado como 3% do peso de madeira

empregado.

( )

A Figura 103 ilustra o carregamento permanente a ser considerado no

dimensionamento dos arcos.

175

Figura 103: Carregamento permanente dos arcos


O estudo do carregamento variável nos arcos deve ser feito com a obtenção do

trem-tipo para os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta.

Como as LIs de reações são lineares, elas correspondem as linhas de união para

carregamentos indiretos, assim sendo, pode-se analisar o carregamento como se as

cargas fossem transmitidas diretamente do tabuleiro para os arcos.

A situação mais desfavorável para o dimensionamento dos arcos ocorre quando

as cargas concentradas variáveis provenientes do veículo tipo encontram-se afastadas

25 cm do eixo do rodeiro, para a esquerda ou para direita, causando dessa forma um

aumento das solicitações internas dos arcos. A Figura 104 ilustra o carregamento na

LI de reação dos arcos para obtenção dos esforços solicitantes.

176

Figura 104: Carregamentos para determinação do trem-tipo para os arcos

O valor da ordenada da LI de R no próprio apoio é igual a 1 e as ordenadas η1,

η2, η3 e η4 podem ser obtidos através da semelhança de triângulos, sendo seus valores

1.5, 1.375, 1.125 e 0.125 respectivamente.

177

O valor da carga concentrada P é obtida multiplicando o peso de cada roda, que

é de 75 kN, pelas ordenadas da LI sob as cargas. Dessa forma tem-se:

( )


estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984), pela área compreendida entre η1 e η2.

*( )

+ /

Os arcos estarão submetidos ao carregamento q2 à frente e atrás do veículo tipo

ou quando só houver pedestres e veículos menores na ponte. Para obtenção do

carregamento q2 deve-se carregar a LI, apenas no trecho que provoca acréscimo na

reação, com a carga de 5 kN/m² estipulado na NBR 7188, da ABNT (1984).


pela área da LI que provoca efeito desfavorável.

(

) /

Com os valores de P, q1 e q2 determinados, o trem tipo para o

dimensionamento dos arcos é ilustrado na Figura 105.

Figura 105: Trem-tipo para o cálculo dos arcos

c) Impacto vertical


( )

( )

178

4.5.4 Solicitações de cálculo

Para a determinação das solicitações de cálculo, o arco em estudo foi dividido

em dez seções além dos apoios, a fim de se encontrar a posição e os valores mais

críticos para a estrutura. Foram escolhidos como seções para estudo os pontos de

encontro dos pilares com os arcos, os pontos médios entre dois pilares, os apoios e o

fecho do arco. Neste capítulo serão apresentados apenas os valores máximos, que

foram obtidos após o traçado das envoltórias de máximos devido à carga móvel.

Considerando a simetria da estrutura, as seções foram estudadas apenas de um lado da

rótula de fecho do arco.

4.5.4.1 Força horizontal

Para determinação da força horizontal carregou-se a LI de H com o

carregamento permanente e o trem tipo para os arcos, considerando o carregamento

aplicado de forma indireta, conforme ilustra a Figura 106.

179

Figura 106: LI de H do arco

Os valores das ordenadas da LI de H para o cálculo da força horizontal podem

ser obtidos através dos conceitos da geometria plana ou da geometria analítica e estão

apresentadas na Tabela 13.

Tabela 13: Ordenadas para cálculo da força horizontal

Ordenadas da LI de H

η1 0,917

η2 0,083

η3 0,792

η4 0,667

As áreas da LI de H para o cálculo da força horizontal estão apresentadas na

Tabela 14.

180

Tabela 14: Áreas para cálculo da força horizontal H

Áreas (compreendidas entre)

x0 – η2 η2 – η4 η4 – η1 η1 – η4 η4 – η2 η2 – x24 Área

total

0,083 2,625 2,376 2,376 2,625 0,083 10,167

O valor característico para a força horizontal H devido ao carregamento

permanente é obtido multiplicando-se a área da LI de H pelo carregamento

permanente. Dessa forma tem-se:

O valor característico para a força horizontal H oriundo do carregamento

variável é obtido multiplicando os carregamentos distribuídos por suas respectivas

áreas na LI somado ao produto das cargas concentradas por suas respectivas ordenadas

na LI. Assim, tem-se:

( )

( )

O valor de cálculo da força horizontal H é obtido através da seguinte

combinação de ações:

[ ( ) ]

( )

4.5.4.2 Força cortante

Para determinação da força cortante, carregou-se as LIs de força cortante de

todas as seções de estudo, com o carregamento permanente e o trem-tipo obtido para

os arcos, considerando o carregamento aplicado de forma indireta. A Figura 107

ilustra a LI de força cortante no apoio, com os carregamentos permanente e variável, a

qual apresentou maiores valores característicos para a força cortante.

181

Figura 107: LI de V da seção com maior força cortante atuante (apoio)

As ordenadas da LI para cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas

na Tabela 15.

Tabela 15: Ordenadas para cálculo da cortante da seção 1

Ordenadas positivas

η1 0,955 η6 0,818

η2 0,045 η7 0,750

η3 0,500

η4 0,239

η5 0,886

182

As áreas da LI para o cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas na

Tabela 16.

Tabela 16: Áreas para cálculo do momento fletor no apoio

Áreas positivas (compreendidas entre)

x0 – η4 0,060 η7 – η2 6,165

η4 – η1 0,895 η2 – x24 0,045

η1 – η7 3,835 Área Total 11,000

O valor característico para a força cortante no apoio devido ao carregamento

permanente é obtido multiplicando-se a área da LI de VA pelo carregamento

permanente. Dessa forma tem-se:

O valor característico para a força cortante no apoio causada pelo carregamento




( ) ( )

( )

O valor de cálculo da força cortante no apoio A é obtido através da seguinte


[ ( ) ]

( )

Os cálculos das forças cortantes de todas as seções encontram-se apresentados

no Apêndice A. A Figura 108 ilustra a envoltória da força cortante devido à carga

móvel para o arco em estudo.

183

Figura 108: Envoltória de força cortante do arco

4.5.4.3 Força Normal

De acordo com a Equação 37, a LI da força normal está em função da LI de

força cortante e da LI da força horizontal, dessa forma se faz necessário o

conhecimento das ordenadas das LIs de V e da LI de H para obtenção das ordenadas

das LIs de N das seções a serem estudadas. A Figura 109 ilustra a LI de V e da LI de

H para determinação das ordenadas da LI de N da seção que apresentou maior força

normal.

184

Figura 109: LI de VA e LI de H do arco

Os valores das ordenadas da LI de VA e da LI de H necessários para obtenção

da LI de N no apoio estão apresentados na Tabela 17.

Tabela 17: Ordenadas de LI de VA e LI de H

Ordenadas da LI de VA Ordenadas da LI de H

η1 0,955 η1 0,917

η2 0,045 η2 0,083

η3 0,500

As características geométricas do arco no apoio encontram-se apresentadas na

Tabela 18.

185

Tabela 18: Características geométricas do arco no apoio

x y tgφ φ senφ cosφ

0 0 1,091 47,49 0,737 0,676

A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para LI de N,


Tabela 19: Ordenadas de LI de N no apoio

Abscissa (x) Ordenadas (η)

1 -0,760

11 -0,988

21 -0,090

A Figura 110 ilustra a LI de N no apoio, com os carregamentos permanente e

variável que provoca máximos efeitos.

Figura 110: LI de N da seção com maior força normal atuante (apoio)

186

As ordenadas da LI para cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas

na Tabela 20.

Tabela 20: Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios

Ordenadas negativas

η1 -0,760 η5 -0,988

η2 -0,886 η6 -0,853

η3 -0,920 η7 -0,090

η4 -0,954

As áreas da LI para o cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas na

Tabela 21.

Tabela 21: Áreas para cálculo da força normal nos apoios


x0 – η1 η1 – η2 η2 – η5 η5 – η6 η6 – η7 η7 –

x24

Área

total

-0,760 -4,525 -4,216 -1,381 -4,009 -0,09 -14,981

O valor característico para a força normal no apoio devido ao carregamento

permanente é obtido multiplicando-se a área da LI de N pelo carregamento

permanente. Assim sendo:

O valor característico para a força normal no apoio causada pelo carregamento




( ) (

) ( )

O valor de cálculo da força normal no apoio A é obtido através da seguinte


187

[ ( ) ]

( ) [( ) ( )]

Os cálculos das forças normais de todas as seções encontram-se apresentados

no Apêndice B. A Figura 111 ilustra a envoltória da força normal para o arco em

estudo.

Figura 111: Envoltória de força normal do arco

4.5.4.3 Momento fletor

Para determinação do momento fletor, carregou-se as LIs de M de todas as

seções de estudo, com o carregamento permanente e o trem-tipo obtido para os arcos,

considerando o carregamento aplicado de forma indireta. A Figura 112 ilustra a LI de

M que apresentou maiores valores característicos, com os carregamentos permanente e

variável.

188

Figura 112: LI da seção com maior momento fletor atuante

As ordenadas da LI para cálculo do momento fletor da seção 5 estão


189

Tabela 22: Ordenadas da LI de M da seção 5

Ordenadas positivas Ordenadas negativas

η1 0,375 η7 -0,437

η2 0,937 η8 -1,375

η3 1,500 η9 -1,187

η4 2,062 η10 -1,000

η5 1,125 η11 -0,812

η6 0,187 η12 -0,125

As áreas da LI para o cálculo do momento fletor da seção 5 estão apresentadas

na Tabela 23.

Tabela 23: Áreas para cálculo do momento fletor da seção 5

Áreas Positivas

(compreendidas entre)

Áreas Negativas

(Compreendidas entre)

X0 - η1 0,375 PI – η7 -0,153

η1 - η2 0,984 η7 - η8 -1,359

η2 – η4 4,500 η8 - η11 -4,922

η4 – η6 3,375 η11 - η12 -2,578

η6 - PI 0,028 η12 – X24 -0,125

Atotal 9,262 Atotal -9,137

Os valores característicos, positivo e negativo, para o momento fletor na seção

devido ao carregamento permanente são obtidos multiplicando-se as áreas

correspondentes da LI de M pelo carregamento permanente.

Os valores característicos para o momento fletor na seção 5 causados pelo

carregamento variável são obtidos multiplicando os carregamentos distribuídos por

suas respectivas áreas na LI somado ao produto das cargas concentradas por suas

respectivas ordenadas.

190

( ) ( ) (

)

( ) ( )

( )

Os valores de cálculo do momento fletor na seção são obtidos através da

seguinte combinação de ações:

[

( ) ]

( ) [( ) ( )]

[

( ) ]

( ) [( ) ( )]

Os cálculos dos momentos fletores de todas as seções encontram-se

apresentados no Apêndice C. A Figura 113 ilustra a envoltória de momento fletor para

o arco em estudo.

Figura 113: Envoltório de momento fletor do arco

191

4.5.5 Verificações e conclusões

As verificações das solicitações devem acontecer nas seções que apresentam

maiores valores solicitações de cálculo. Como a força normal apresenta maior valor no

apoio, que possui momento fletor nulo, as verificações foram feitas para a seção 5, que

apresenta momento fletor máximo e foram verificadas a força normal e força cortante

no apoio.

4.5.5.1 Verificação da estabilidade na seção 5

a) Coeficientes kx e kcx

* ( ) ( ) +

[ ( ) ( ) ]

√( ) ( )

√( ) ( )

De forma análoga a apresentada no item 4.5.4.3 foi obtido o esforço normal de

cálculo na seção 5 ( ).

Onde,

/

/

OBS. O Projeto de Revisão da Norma NBR 7190, da ABNT de 2011,

estabelece que se e , não se faz necessário a verificação da

estabilidade. Porém, a verificação da estabilidade foi feita como exemplo didático.

192

b) Verificação da Tensão normal

(

)

(

)

c) Verificação da tensão de cisalhamento

193

5 DIMENSIONAMENTO DAS RÓTULAS

As rótulas da ponte em estudo foram dimensionadas com aço ASTM A36 e

segue os critérios de dimensionamento da NBR 8800, da ABNT de 2008. Para o

dimensionamento das rótulas de apoio, deve-se fazer a soma vetorial das forças,

horizontal e vertical, que será a força utilizada no dimensionamento da rótula. A

Figura 114 ilustra a soma vetorial a ser feita para determinação da força atuante na

rótula.

Figura 114: Forças atuantes nas rótulas de apoio dos arcos

Pelo método do paralelogramo de soma vetorial tem-se:

√( ) ( ) √( ) ( )

a) Dimensionamento do pino

Pelo fato do pino da rótula estar submetido a dois planos de corte, o pino estará

submetido à força cortante em duas seções, devendo este ser dimensionado para a

força existente na seção de cisalhamento. A Figura 115 ilustra o plano de corte das

seções cisalhadas dos pinos das rótulas.

194

Figura 115: Seções cisalhadas do pino da rótula

De acordo com a NBR 8800, da ABNT de 2008, a Força Cortante Resistente

de Cálculo é dada pela seguinte expressão:

e

Onde,

Área efetiva de cisalhamento da seção do pino;

Área bruta do pino;

Resistência ao escoamento do material do pino;

Coeficiente de ponderação de resistência ou ações, para combinações

normais .

Assim sendo,

N

Como a força resistente de cálculo deve ser maior que a força cortante atuante,

tem-se:

Portanto, para as rótulas de apoio, adota-se um pino com 50 mm de diâmetro.

Como as forças existentes na rótula do fecho do arco são menores que as forças

existentes no apoio, adotou-se também um diâmetro de 50 mm para a rótula do fecho.

195

b) Dimensionamento dos parafusos

Para o calculo dos parafusos foi considerado a hipótese do plano de corte

passar pela rosca do parafuso, por se tratar da hipótese mais desfavorável para o

dimensionamento.

A força cisalhante resistente de cálculo de um parafuso é dada por:

Onde,

Área bruta da seção;

Resistência à ruptura do material do parafuso;

Coeficiente de ponderação de resistência ou ações.

O parafuso adotado foi de aço A325 com resistência à corrosão atmosférica,

diâmetro nominal de 25 mm, e furo padrão de 26,5mm. Para

combinações normais,

Assim sendo,

Portanto, para a força cisalhante existente na rótula de apoio, que é de

1.050.071,03 N, se faz necessário à utilização de 10 parafusos com as características

descritas acima. Foram utilizados, na união das rótulas com os arcos, 12 parafusos na

parte central da chapa de ligação mais 4 parafusos na parte superior da chapa, para

cada apoio, conforme ilustrado na Figura 116.

Figura 116: Detalhamento dos parafusos da chapa de ligação do arco com a rótula

196

c) Dimensionamento da chapa da rótula

Para o dimensionamento da chapa da rótula foram observados os espaçamentos

máximos e mínimos entre furos, entre furos e as bordas e adotado para a chapa da

rótula uma espessura de 50 mm de aço de baixa liga, resistente a corrosão atmosférica

CGR 500A, . Também foi verificada a resistência da chapa da rótula

conforme a direção de aplicação da resultante das forças que atuam nos elementos

ligados, conforme estabelece a NBR 8800, da ABNT de 2008.

Quanto aos espaçamentos, a NBR 8800, da ABNT de 2008 estabelece que o

espaçamento mínimo entre furos para parafusos de 25 mm deva ser de 75 mm, o que

corresponde ao triplo do diâmetro do parafuso, e o espaçamento máximo seja de 300

mm. A NBR 8800, da ABNT de 2008 estabelece ainda que o espaçamento mínimo

entre furo e borda, para parafusos de 25 mm, seja de 38 mm e o espaçamento máximo

seja de 150 mm. Ilustram-se na Figura 117 as dimensões e os espaçamentos da chapa

da rótula.

Figura 117: Espaçamento entre furos da chapa da rótula

197

Ilustram-se na Figura 118 as modalidades de ruptura de uma chapa em uma

ligação com conectores.

Figura 118: Modalidades de ruptura de uma ligação com conectores: (a) ruptura por ovalização

do furo por plastificação local da chapa na superfície de apoio do fuste do conector; (b) ruptura por

rasgamento da chapa entre o furo e a borda ou entre dois furos consecutivos; (c) ruptura por tração da

chapa na seção transversal líquida.

Para a verificação quanto ao colapso por rasgamento da chapa ou ovalização do

furo, no caso de furação-padrão, a resistência Rd à pressão de apoio entre o fuste do

conector e a parede do furo (Fig. 118a) e ao rasgamento da chapa entre conectores ou

entre um conector e uma borda (Fig. 118b) é dada por / . Onde Rn é o menor dos

valores obtidos com as seguintes expressões:

Pressão de apoio (contato conector-chapa)

(39)

Rasgamento

(40)

Onde,

a = distância entre a borda do furo e a extremidade da chapa medida na

direção da força solicitante para a resistência ao rasgamento entre um furo extremo e a

borda da chapa;

198

a = distância entre a borda do furo e a borda do furo consecutivo, medida na

direção da força solicitante para a determinação da resistência ao rasgamento da chapa

entre furos; igual a (s - d), sendo s o espaçamento entre os centros de furos;

d = diâmetro nominal do conector;

t = espessura da chapa;

fu = resistência à ruptura por tração do aço da chapa.

Para a situação desta chapa de ligação, a resistência nominal à pressão de apoio

e ao rasgamento apresentam os mesmos valores. Assim sendo, tem-se para resistência

de cálculo da chapa o seguinte valor:

/

/

Portanto, a resistência de cálculo da chapa é superior a força cisalhante

existente.

199

6 SUGESTÃO DE CONTRAVENTAMENTO

Não faz parte dos objetivos desse trabalho o dimensionamento dos elementos

de contraventamento da ponte. Todavia, estudos sobre este item foram realizados para

que fosse sugerido um modelo de contraventamento para a ponte em estudo.

Observou-se em diversas pontes em arcos triarticulados de madeira laminada

colada construídas em todo o mundo, que a estrutura de contraventamento é construída

tanto nos arcos quanto nos pilares das pontes, sendo o contraventamento dos pilares

construídos na direção perpendicular ao sentido dos arcos. Os contraventamentos

podem ser executados em madeira, serrada ou colada, ou em aço. A Figura 119 ilustra

os arcos da Ponte Big Wood River contraventados com estrutura metálica em Idaho –

EUA.

Figura 119: Arcos da Ponte Big Wood River, Idaho – EUA

Fonte: http://westernwoodstructures.blogspot.com.br/

O modelo de contraventamento sugerido para a ponte em estudo é o

contraventamento em “X” para arcos e pilares, com exceção aos pilares 4 e 5 que, por

terem comprimentos pequenos, foi adotado uma barra horizontal como elemento de

200

contraventamento para essas peças. A vista inferior da ponte ilustrado na Figura 120

possibilita a visualização do contraventamento dos arcos.

Figura 120: Modelo de contraventamento sugerido para os arcos

Na Figura 121 pode-se visualizar o contraventamento em “X” para os pilares 1,

2 e 3 e o contraventamento horizontal sugerido para os pilares 4 e 5.

Figura 121: Vista lateral evidenciando o contraventamento dos pilares

201

7 CONCLUSÃO

A construção de pontes em arco com madeira laminada colada é uma

alternativa a ser considerada, pois é possível se construir pontes de classe 45 com um

volume relativamente pequeno de madeira. Para a situação exposta, a altura da seção

transversal do arco foi inferior a 5% do vão a ser vencido e, todos os elementos da

ponte, construídos de madeira serrada possuem dimensões comerciais, facilmente

encontradas nas serrarias de Mato Grosso.

Uma vantagem a ser considerada neste tipo de estrutura é a possibilidade da

execução das pontes sem a necessidade de fundações dentro do rio. As dimensões

obtidas para o arco laminado dessa ponte, bem como seus elementos metálicos, são de

fácil fabricação pela indústria brasileira. Outro fator relevante é que para locais onde a

diferença de cota entre o rio e o tabuleiro for pequena, existe a possibilidade da

construção de pontes em arco triarticulado com tabuleiro inferior, o que torna este tipo

de estrutura uma alternativa para as pontes do tipo “barragens” existente em toda

região.

Outro ponto de interesse é o formato das envoltórias, pois as envoltórias

obtidas definem um formato e a posição dos valores máximos, permitindo obter

diretamente os valores máximos para dimensionamento, sem a necessidade prévia de

fazer várias LIs para traçar as envoltórias.

A envoltória de forças cortantes, é muito semelhante à observada em vigas

simplesmente apoiadas, com máximo positivo no apoio esquerdo, diminuindo de

maneira praticamente linear, até o apoio direito onde é nula. Já para os valores

negativos observa-se o inverso, nulo no apoio esquerdo, crescendo de maneira

praticamente linear, até o máximo no apoio direito.

A envoltória de força normal, em arcos triarticulados nivelados e simétricos, é

sempre de compressão e apresenta valores máximos nos apoios, com queda

praticamente linear até a articulação central onde se observa seu valor mínimo.

A envoltória de momentos fletores positivos (tração embaixo), em arcos

triarticulados nivelados e simétricos, tem a forma aproximada de duas parábolas com

momentos nulos nas articulações e máximos nos "quartos de vão" (no centro de cada

202

lado do arco), o mesmo acontecendo para os momentos fletores negativos (tração

encima).

Assim, a verificação de flexocompressão deve ser feita nos "quartos de vão". A

verificação de cisalhamento, na região dos apoios.

203

8 REFERÊNCIAS

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Para o Cálculo de Estruturas de Edificações. Rio de Janeiro.

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Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil.

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pedestre. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil.

_________. NBR-7189:1985. Cargas móveis para projeto estrutural de obras

rodoviárias. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil.

_________. NBR-7187:1986. Projeto e execução de pontes de concreto armado e

protendido. Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil.

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Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil.

_________. NBR 7190:2011. Projeto de Estruturas de Madeira (Projeto de

Revisão). Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro, Brasil.

_________. NBR 8800: 2008. Projeto de estruturas de aço e de estruturas mistas

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209

APÊNDICE A

Linhas de influências para o cálculo da força cortante

Calculo da força cortante no apoio

A Figura 122 ilustra a LI de V no apoio, com os carregamentos permanente e

variável que provocam máximos efeitos.

Figura 122: LI de V no apoio

As ordenadas da LI para cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas

na Tabela 24.

210

Tabela 24: Ordenadas para cálculo da cortante no apoio

Ordenadas positivas

η1 0,955 η6 0,818

η2 0,045 η7 0,750

η3 0,500

η4 0,239

η5 0,886

As áreas da LI para o cálculo da força cortante no apoio estão apresentadas na

Tabela 25.

Tabela 25: Áreas para cálculo do momento fletor no apoio

Áreas positivas (compreendidas entre)

x0 – η4 0,060 η7 – η2 6,165

η4 – η1 0,895 η2 – x24 0,045

η1 – η7 3,835 Área Total 11,000

Os valores característicos para a força cortante devido aos carregamentos

permanentes e variáveis no apoio estão apresentados na Tabela 26.

Tabela 26: Força cortante característica no apoio

Carregamento Permanente (N) Carregamento Variável (N)

122210

328340

211

Cálculo da força cortante na seção 1

A Figura 123 ilustra a LI de V na seção 1, com os carregamentos permanente e


Figura 123: LI de V da seção 1

As ordenadas da LI para cálculo da força cortante da seção 1 estão


212


Ordenadas negativas Ordenadas positivas

η1 -0,011 η3 0,954

η2 -0,045 η4 0,886

η5 0,818

η6 0,750

η7 0,045

As áreas da LI para o cálculo da força cortante da seção 1 estão apresentadas

na Tabela 28.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η2 -0,045 η3 – η6 3,835

Área Total -0,045 η6 – x24 6,210

Área Total 10,045


permanentes e variáveis na seção 1 estão apresentados na Tabela 29.

Tabela 29: Força cortante característica da seção 1


111605

326060

-505

-5410

213







214



η1 -0,003 η6 0,903

η2 -0,014 η7 0,835

η3 -0,045 η8 0,767

η4 -0,097 η9 0,699

η5 η10 0,045


na Tabela 31.

Tabela 31: Áreas para cálculo da cortante da seção 2

Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η4 -0,125 η5 – η8 3,605

Área Total -0,125 η8 – x24 5,395

Área Total 9,000





99994

302093

-1393

-10880

215







216



η1 -0,028 η5 0,852

η2 -0,045 η6 0,784

η3 -0,079 η7 0,716

η4 -0,148 η8 0,647

Η9 0,045


na Tabela 34.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η4 -0,263 η5 – η8 3,375

Área Total -0,263 η8 – x24 4,638

Área Total 8,013





89022

278780

-2920

-24443

217







218



η1 -0,020 η6 0,801

η2 -0,045 η7 0,733

η3 -0,062 η8 0,665

η4 -0,131 Η9 0,597

η5 -0,199 η10 0,045


na Tabela 37.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η1 -0,009 η6 – η10 3,145

η1 – η5 -0,461 η10 – x24 3,938

Área Total -0,470 Área Total 7,083





78689

256105

-5222

-37682

219







220



η1 -0,045 η5 0,750

η2 -0,114 η6 0,682

η3 -0,182 η7 0,614

η4 -0,250 η8 0,545

η9 0,045


na Tabela 40.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η1 -0,045 η5 – η8 2,915

η1 – η4 -0,665 η8 – x24 3,295



permanentes e variáveis na seção 5estão apresentados na Tabela 41.



68996

234082

-7891

-52844

221







222



η1 -0,045 η6 0,699

η2 -0,097 η7 0,631

η3 -0,165 η8 0,562

η4 -0,233 η9 0,494

η5 -0,301 η10 0,045


na Tabela 43.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η2 -0,125 η6 – η9 2,684

η2 – η5 -0,895 η9 – x24 2,711






59941

212706

-11335

-68540

223







224



η1 -0,045 η6 0,648

η2 -0,148 η7 0,579

η3 -0,216 η8 0,511

η4 -0,284 η9 0,443

η5 -0,352 η10 0,045


na Tabela 46.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η2 -0,263 η6 – η9 2,455

η2 – η5 -1,125 η9 – x24 2,183






51526

191977

-15418

-84882

225







226



η1 -0,045 η6 0,597

η2 -0,199 η7 0,528

η3 -0,267 η8 0,460

η4 -0,335 η9 0,392

η5 -0,403 η10 0,045


na Tabela 49.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η2 -0,458 η6 – η9 2,224

η2 – η5 -1,355 η9 – x24 1,714






43750

171895

-20141

-101871

227







228



η1 -0,045 η6 0,545

η2 -0,250 η7 0,477

η3 -0,318 η8 0,409

η4 -0,386 η9 0,341

η5 -0,454 η10 0,045


na Tabela 52.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η2 -0,710 η6 – η9 1,994

η2 – η5 -1,585 η9 – x24 1,301






36613

152461

-25503

-119508

229


A Figura 132 ilustra a LI de V na seção 10, com os carregamentos permanente

e variável que provocam máximos efeitos.




230



η1 -0,500 η6 0,500

η2 -0,432 η7 0,432

η3 -0,364 η8 0,364

η4 -0,295 η9 0,295

η5 -0,045 η10 0,045


na Tabela 55.


Áreas negativas


Áreas positivas


x0 – η2 -1,790 η6 – η9 1,790

η2 – η5 -0,983 η9 – x24 0,983






30805

135729

-30805

-135729

231

APÊNDICE B

Linhas de influências para o cálculo da força normal

Determinação da força normal nos apoios

A Figura 133 ilustra a LI de força cortante no apoio e a LI de H para obtenção

da LI de N no apoio.

Figura 133: LI de VA e LI de H

Os valores das ordenadas da LI de VA e da LI de H necessários para obtenção

da LI de N no apoio estão apresentados na Tabela 57.

Tabela 57: Ordenadas de LI de VA e LI de H

Ordenadas da LI de VA Ordenadas da LI de H

η1 0,955 η1 0,917

η2 0,045 η2 0,083

η3 0,500

As características geométricas do arco no apoio encontram-se apresentadas na

Tabela 58.

232

Tabela 58: Características geométricas do arco no apoio


0 0 1,091 47,49 0,737 0,676

A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas a LI de N.

Tabela 59: Ordenadas de LI de N no apoio


1 -0,760

11 -0,988

21 -0,090

A Figura 134 ilustra a LI de N no apoio, com os carregamentos permanente e


Figura 134: LI de N no apoio

As ordenadas da LI para cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas

na Tabela 60.

233

Tabela 60: Ordenadas para cálculo da força normal nos apoios

Ordenadas negativas

η1 -0,760 η5 -0,988

η2 -0,886 η6 -0,853

η3 -0,920 η7 -0,090

η4 -0,954

As áreas da LI para o cálculo da força normal nos apoios estão apresentadas na

Tabela 61.

Tabela 61: Áreas para cálculo da força normal nos apoios


x0 – η1 η1 – η2 η2 – η5 η5 – η6 η6 – η7 η7 – x24 Área total

-0,760 -4,525 -4,216 -1,381 -4,009 -0,090 -14,981

Os valores característicos para a força normal devido aos carregamentos

permanentes e variáveis nos apoios estão apresentados na Tabela 62.

Tabela 62: Força normal característica nos apoios


-166440

-383951

234

Determinação da força normal na seção 1

A Figura 135 ilustra a LI de força cortante na seção 1 e a LI de H para

obtenção da LI de N na seção.

Figura 135: LI de V da seção 1 e LI de H

Os valores das ordenadas da LI de V na seção 1 e da LI de H necessários para

obtenção da LI de N na seção 1 estão apresentados na Tabela 63.

Tabela 63: Ordenadas de LI de V na seção 1 e LI de H

Ordenadas da LI de V Ordenadas da LI de H

η2 -0,045 η1 0,917

η3 0,955 η2 0,083

η7 0,045

η8 0,500

As características geométricas do arco na seção 1 encontram-se apresentadas

na Tabela 64.

Tabela 64: Características geométricas do arco na seção 1


1 1,041 0,992 44,762 0,704 0,710

235

A partir da Equação 37, têm-se as seguintes ordenadas para a LI de N.

Tabela 65: Ordenadas de LI de N na seção 1

Abscissa (x) Ordenadas (η) Abscissa (x) Ordenadas (η)

1 -0,027 11 -1,003

1 -0,731 21 -0,091

A Figura 136 ilustra a LI de N na seção 1, com os carregamentos permanente e


Figura 136: LI de N na seção 1

As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 1 estão apresentadas

na Tabela 66.

Tabela 66: Ordenadas para cálculo da força normal da seção 1

Ordenadas negativas

η1 -0,027 η5 -0,962

η2 -0,731 η6 -1,003

η3 -0,881 η7 -0,866

η4 -0,922 η8 -0,091

236

As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 1 estão apresentadas na

Tabela 67.

Tabela 67: Áreas para cálculo da força normal da seção 1



-0,027 -4,434 -4,239 -1,402 -4,070 -0,091 -14,263



Tabela 68: Força normal característica da seção 1


-158462

-377826

237









η3 -0,045 η1 0,917

η4 -0,097 η2 0,083

η5 0,903 η3 0,177

η9 0,045

η10 0,500


na Tabela 70.

238



2,125 2,094 0,880 41,353 0,661 0,751




1 -0,033 11 -1,019

2,125 -0,069 21 -0,093

2,125 -0,730





na Tabela 72.

239


Ordenadas negativas

η1 -0,033 η6 -0,970

η2 -0,069 η7 -1,019

η3 -0,730 η8 -0,880

η4 -0,872 η9 -0,093

η5 -0,921


Tabela 73.



x0 – η1 η1 – η2 η3 – η4 η4 – η7 η7 – η8 η8 – η9 η9 – x24 Área

total

-0,033 -0,057 -3,505 -4,255 -1,424 -4,133 -0,093 -13,498





-149964

-370970

240









η2 -0,045 η1 0,917

η4 -0,097 η2 0,083

η5 0,903 η3 0,177

η9 0,045

η10 0,500


na Tabela 76.

241



3,250 3,022 0,769 37,546 0,609 0,793




1 -0,038 11 -1,032

3,25 -0,125 21 -0,094

3,25 -0,734





na Tabela 78.

242


Ordenadas negativas

η1 -0,038 η6 -0,974

η2 -0,125 η7 -1,032

η3 -0,734 η8 -0,891

η4 -0,859 η9 -0,094

η5 -0,917


Tabela 79.




total

-0,038 -0,184 -2,589 -4,254 -1,442 -4,186 -0,094 -12,787





-142059

-364002

243



obtenção da LI de N na seção 4.






η2 -0,045 η1 0,917

η5 -0,199 η2 0,083

η6 0,801 η3 0,365

η10 0,045

η11 0,500


na Tabela 82.

244



4,375 3,824 0,657 33,306 0,549 0,836




1 -0,045 11 -1,041

4,375 -0,196 21 -0,095

4,375 -0,745





na Tabela 84.

245


Ordenadas negativas

η1 -0,045 η6 -1,041

η2 -0,196 η7 -0,899

η3 -0,745 η8 -0,757

η4 -0,907 η9 -0,095

η5 -0,974


Tabela 85.




total

-0,045 -0,406 -2,993 -2,922 -2,697 -2,981 -0,095 -12,138





-134850

-356623

246









η2 -0,045 η1 0,917

η4 -0,250 η2 0,083

η5 0,750 η3 0,459

η9 0,045

η10 0,500


na Tabela 88.

247



5,500 4,500 0,545 28,610 0,479 0,878




1 -0,051 11 -1,044

5,5 -0,283 21 -0,095

5,5 -0,762





na Tabela 90.

248


Ordenadas negativas

η1 -0,051 η6 -1,044

η2 -0,283 η7 -0,902

η3 -0,762 η8 -0,760

η4 -0,890 η9 -0,095

η5 -0,967


Tabela 91.




total

-0,051 -0,752 -2,065 -2,902 -2,706 -2,991 -0,095 -11,562





-128456

-350249

249









η1 -0,045 η1 0,917

η5 -0,301 η2 0,083

η6 0,699 η3 0,552

η10 0,045

η11 0,500


na Tabela 94.

250



6,625 5,051 0,434 23,455 0,398 0,917




1 -0,058 11 -1,040

6,625 -0,387 21 -0,095

6,625 -0,785





na Tabela 96.

251


Ordenadas negativas

η1 -0,058 η6 -1,040

η2 -0,387 η7 -0,898

η3 -0,785 η8 -0,757

η4 -0,865 η9 -0,095

η5 -0,953


Tabela 97.




total

-0,058 -1,252 -1,134 -2,858 -2,695 -2,979 -0,095 -11,071





-123,003

-343136

252









η1 -0,045 η1 0,917

η5 -0,352 η2 0,083

η6 0,648 η3 0,646

η10 0,045

η11 0,500


na Tabela 100.

253



7,750 5,476 0,322 17,865 0,307 0,952




1 -0,065 11 -1,026

7,75 -0,507 21 -0,093

7,75 -0,814





na Tabela 102.

254


Ordenadas negativas

η1 -0,065 η6 -1,026

η2 -0,507 η7 -0,886

η3 -0,814 η8 -0,746

η4 -0,830 η9 -0,093

η5 -0,928


Tabela 103.




total

-0,065 -1,903 -0,205 -2,784 -2,659 -2,939 -0,093 -10,648





-118303

-334654

255









η1 -0,045 η1 0,917

η5 -0,403 η2 0,083

η6 0,597 η3 0,740

η10 0,045

η11 0,500


na Tabela 106.

256



8,875 5,776 0,211 11,901 0,206 0,979




1 -0,072 11 -1,000

8,875 -0,641 21 -0,091

8,875 -0,847





na Tabela 108.

257


Ordenadas negativas

η1 -0,072 η6 -1,000

η2 -0,578 η7 -0,864

η3 -0,641 η8 -0,728

η4 -0,847 η9 -0,091

η5 -0,892


Tabela 109.




total

-0,072 -2,274 -0,533 -1,963 -2,592 -2,865 -0,091 -10,390





-115433

-332264

258









η1 -0,045 η1 0,917

η5 -0,455 η2 0,083

η6 0,545 η3 0,834

η10 0,045

η11 0,500


na Tabela 112.

259



10,000 5,950 0,099 5,664 0,099 0,995




1 -0,078 11 -0,962

10 -0,785 21 -0,087

10 -0,883





na Tabela 114.

260


Ordenadas negativas

η1 -0,078 η6 -0,962

η2 -0,628 η7 -0,831

η3 -0,745 η8 -0,700

η4 -0,785 η9 -0,087

η5 -0,883


Tabela 115.




total

-0,078 -2,472 -1,412 -0,923 -2,492 -2,754 -0,087 -10,219





-113538

-307293

261









η1 -0,045 η1 0,917

η5 -0,500 η2 0,083

η6 0,500

η10 0,045


na Tabela 118.

262



11,000 6,000 0,000 0,000 0,000 1,000




1 -0,917

11 -0,083

21 -0,917

A Figura 154 ilustra a LI de N na seção 10, com os carregamentos permanente

e variável que provocam máximos efeitos.


As ordenadas da LI para cálculo da força normal da seção 10 estão


263


Ordenadas negativas

η1 -0,917

η2 -0,083

η3 -0,792

η4 -0,667

As áreas da LI para o cálculo da força normal da seção 10 estão apresentadas

na Tabela 121.




-0,083 -2,625 -2,376 -2,376 -2,625 -0,083 -10,167





-112956

-303952

264

APÊNDICE C

Linhas de influências para o cálculo do momento fletor

Cálculo do momento fletor na seção 1

A Figura 155 ilustra a LI de M na seção 1, com os carregamentos permanente e


Figura 155: LI de M da seção 1



265

Tabela 123: Ordenadas para cálculo do momento fletor da seção 1


η1 0,217 η6 -0,058

η2 0,868 η7 -0,257

η3 0,669 η8 -0,454

η4 0,471 η9 -0,392

η5 0,273 η10 -0,331

η11 -0,041


na Tabela 124.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,054 PI - η6 -0,781

η1 - η2 0,813 η6 - η8 -2,479

η2 - η5 2,566 η8 - η10 -0,041

η5 - PI 0,281 η10 - η11 -0,013

Atotal 3,715 η11 – X24 -1,302

Atotal -4,616

Os valores característicos para o momento fletor devido aos carregamentos



Carregamento Permanente

(N.mm)

Carregamento Variável

(N.mm)

41275142

198132374

-36684233

-122189063

266







267



η1 0,455 η8 -0,044

η2 0,729 η9 -0,451

η3 0,848 η10 -0,857

η4 0,986 η11 -0,740

η5 1,244 η12 -0,623

η6 0,837 η13 -0,078

η7 0,430


na Tabela 127.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,285 PI – η8 -0,004

η1 - η2 0,444 η8 – η10 -1,352

η2 - η5 2,219 η10 - η12 -2,221

η5 – η7 2,512 η12 - η13 -2,455

η7 - PI 0,342 η13 – X24 -0,078






(N.mm)


(N.mm)

64457483

290941917

-67871972

-226980198

268







269



η1 0,375 η7 -0,550

η2 0,600 η8 -1,145

η3 1,051 η9 -0,989

η4 1,951 η10 -0,833

η5 1,352 η11 -0,676

η6 0,753 η12 -0,104


na Tabela 130.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,235 PI – η7 -0,375

η1 - η2 0,366 η7 - η8 -1,271

η2 - η5 2,871 η8 - η11 -4,098

η4 - η6 4,057 η11 - η12 -2,147

η6 - PI 0,709 η12 – X24 -0,104






(N.mm)


(N.mm)

91518290

431985335

-88831175

-317300615

270







271



η1 0,482 η9 -0,541

η2 0,844 η10 -1,317

η3 1,568 η11 -1,138

η4 1,548 η12 -0,958

η5 1,539 η13 -0,778

η6 1,529 η14 -0,120

η7 1,141

η8 0,364


na Tabela 133.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,482 PI – η9 -0,283

η1 - η2 0,498 η9 – η10 -1,394

η2 – η3 1,809 η10 - η13 -4,716

η3 - η6 3,484 η13 - η14 -2,470

η6 – η8 2,130 η14 – X24 -0,120

η8 - PI 0,128 Atotal -8,983

Atotal 8,532



272



(N.mm)


(N.mm)

94785834

424022969

-99801301

-363330579

273







274



η1 0,375 η7 -0,437

η2 0,937 η8 -1,375

η3 1,500 η9 -1,187

η4 2,062 η10 -1,000

η5 1,125 η11 -0,812

η6 0,187 η12 -0,125


na Tabela 136.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,375 PI – η7 -0,153

η1 - η2 0,984 η7 - η8 -1,359

η2 – η4 4,500 η8 - η11 -4,922

η4 – η6 3,375 η11 - η12 -2,578

η6 - PI 0,028 η12 – X24 -0,125






(N.mm)


(N.mm)

102906375

469237500

-101517625

-377423438

275







276



η1 0,278 η9 -0,234

η2 0,695 η10 -1,317

η3 1,112 η11 -1,138

η4 1,529 η12 -0,958

η5 1,279 η13 -0,778

η6 1,196 η14 -0,120

η7 1,029

η8 0,488


na Tabela 139.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,278 PI – η9 -0,038

η1 - η2 0,730 η9 – η10 -1,164

η2 – η4 3,335 η10 - η13 -4,716

η4 – η7 2,878 η13 - η14 -2,470

η7 – η8 0,569 η14 – X24 -0,120

η8 - PI 0,165 Atotal -8,508

Atotal 7,954



277



(N.mm)


(N.mm)

88371366

385047860

-94523186

-360160488

278

Cálculo do momento fletor na seção 7:






279



η1 0,191 η7 -1,145

η2 0,622 η8 -0,989

η3 0,909 η9 -0,833

η4 1,196 η10 -0,676

η5 1,483 η11 -0,104

η6 0,270


na Tabela 142.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,191 PI – η7 -0,810

η1 - η2 0,915 η7 – η10 -4,098

η2 - η5 4,736 η10 - η11 -2,147

η5 – η6 1,315 η11 – X24 -0,104

η6 - PI 0,045 Atotal -7,159

Atotal 7,203




Carregamento Permanente (N.mm) Carregamento Variável

(N.mm)

80025895

360246974

-79540980

-312246740

280







281



η1 0,115 η8 -0,857

η2 0,375 η9 -0,740

η3 0,547 η10 -0,623

η4 0,720 η11 -0,506

η5 0,893 η12 -0,078

η6 0,447

η7 0,027


na Tabela 145.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,115 PI – η8 -0,415

η1 - η2 0,796 η8 – η11 -3,068

η2 - η5 2,852 η11 - η12 -1,607

η5 – η7 0,690 η12 – X24 -0,078

η7 - PI 0,001 Atotal -5,169

Atotal 4,454





(N.mm)

49490603

219221953

-57428773

-233452837

282







283



η1 0,050 η7 -0,454

η2 0,198 η8 -0,392

η3 0,273 η9 -0,331

η4 0,347 η10 -0,269

η5 0,421 η11 -0,041

η6 0,496


na Tabela 148.


Áreas Positivas


Áreas Negativas


X0 - η1 0,050 PI – η7 -0,109

η1 - η2 0,372 η7 – η10 -1,627

η2 – η6 2,083 η10 - η11 -0,852

η6 - PI 0,129 η11 – X24 -0,041






(N.mm)

29258063

107569727

-29212154

-123585373

284

APÊNDICE D

Resistência de cálculo de madeira serrada de folhosas não classificadas

Os valores de cálculo da resistência são dados por:

(41)

Onde, fwd é a resistência de cálculo da madeira, kmod é o coeficiente de

modificação, fwk é a resistência característica da madeira e o γw é o coeficiente de

minoração da resistência para estados limites último.

Os coeficientes de minoração γw para estados limites últimos decorrentes de

tensões de compressão paralela às fibras tem o valor básico γwc = 1,4. O coeficiente de

ponderação para estados limites últimos decorrentes de tensões de tração paralela às

fibras tem o valor básico γwt = 1,8. O coeficiente de ponderação para estados limites

últimos decorrentes de tensões de cisalhamento paralelo às fibras tem o valor básico

γwv = 1,8.

O coeficiente de modificação kmod reporta, para a situação de uso, os valores

de cálculo das propriedades da madeira em função da classe de carregamento da

estrutura (kmod1), da classe de umidade admitida (kmod2), e do eventual emprego de

madeira de segunda qualidade (kmod3). O coeficiente de modificação kmod é formado

pelo produto:

kmod = kmod1 . kmod2 . kmod3 (42)

O coeficiente parcial de modificação kmod1 pode ser obtido na Tabela 12.

285

Tabela 150 – Definição de classes de carregamento e valores de kmod1

Classes de

carregamento

Ação variável principal da

combinação Tipos de madeira

Duração

acumulada

Ordem de

grandeza da

duração

acumulada da

ação

característica

Madeira serrada

Madeira roliça

Madeira

laminada colada

Madeira

compensada

Madeira

recomposta

Permanente Permanente Vida útil da

construção

0,60 0,30

Longa

duração

Longa

duração

Mais de seis

meses

0,70 0,45

Média

duração

Média

duração

Uma semana a

seis meses 0,80 0,65

Curta duração Curta

duração

Menos de uma

semana

0,90 0,90

Instantânea Instantânea Muito curta 1,10 1,10


O coeficiente de modificação kmod2 é dado pela Tabela 13.

Tabela 151 – Valores de kmod2

Classes de Umidade

Madeira serrada

Madeira roliça

Madeira laminada colada

Madeira compensada

Madeira

recomposta

(1) 1,00 1,00

(2) 0,90 0,95

(3) 0,80 0,93

(4) 0,70 0,90

No caso de madeira serrada submersa, admite-se o valor kmod2 = 0,65.


286

O coeficiente parcial de modificação kmod3 leva em consideração a qualidade da

madeira. Para a avaliação da qualidade da madeira é necessária à classificação de

todas as peças estruturais por meio de método visual normalizado e também

submetidas a uma classificação mecânica que garanta a homogeneidade da rigidez das

peças que compõem o lote de madeira a ser empregado.

Para madeira não classificada, os valores a serem empregados de kmod3

correspondem a:

Madeira de folhosa, não classificada: kmod3 = 0,70;

Madeira de conífera, não classificada: não é permitido seu uso sem

classificação.

O coeficiente de modificação kmod3 para madeira laminada colada leva em

conta a curvatura da peça, valendo kmod3 = 1,0 para peça reta e, nos demais casos:

(

)

(43)

Onde, t é a espessura das lâminas e r o menor raio de curvatura das lâminas que

compõem a seção transversal resistente.

O dimensionamento de peças estruturais em MLC deve seguir as

recomendações do projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), quanto ao

dimensionamento de peças serradas.

287

APÊNDICE E

Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à

compressão paralela às fibras

Considerando que o projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011),admite

um comportamento elastofrágil do material, ou seja, um diagrama “tensão X

deformação” linear até a ruptura, tanto na compressão quanto na tração, dois estados

limites devem ser considerados:

Ruptura, na seção menos resistente, por tensões normais de compressão de

peças curtas;

Flambagem elástica, de peças esbeltas;

Assim, o dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à

compressão paralela às fibras pode ser feito aplicando-se o seguinte roteiro:

1. Obter as características geométricas da seção de interesse do problema, que

são: a área da seção transversal da barra (A) e o raio de giração mínimo (imin);

comprimento de flambagem (L0); e o índice de esbeltez máximo ().

O comprimento de flambagem, L0, depende das condições de vinculação das

extremidades das barras e é calculado pela expressão:

(44)

Onde L é o comprimento da peça submetida à compressão e os valores do

coeficiente KE podem ser obtidos na Tabela 14.

288

Tabela 152: Valores dos coeficientes KE

Modos de

flambagem

Valores de

projeto para

KE

0,65 0,80 1,20 1,00 2,10 2,40

Código das

condições

de

extremidade

Rotação e translação lateral impedidas, translação

vertical livre

Rotação e translação vertical livres, translação

lateral impedida

Rotação livre e translações impedidas

Rotação impedida e translações livres

Rotação e translação livres


O índice de esbeltez máximo () é calculo pela expressão:

Onde imin é o raio de giração mínimo da seção transversal da peça estudada.

2. Obter as características da madeira:

Resistência de cálculo à compressão paralela às fibras (fc0,d);

Módulo de elasticidade longitudinal de cálculo (Ec0,d):

(45)

Onde,

289

(46)

Tensão crítica de Euler, de cálculo (cr,d):

(47)

3. Obter a força normal de cálculo (Nd), se necessário, traçando o(s)

diagrama(s) de força(s) normal(is);

4. Obter a tensão atuante de cálculo máxima (cd);

5. Verificar e concluir sobre a seção, sendo as condições de verificação:

Verificação quanto à ruptura

(48)

Verificação quanto à estabilidade

(49)

O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), proíbe o uso de peças

comprimidas, ou flexocomprimidas, com índice de esbeltez superior a 140.

290

APÊNDICE F


compressão normal às fibras

Os esforços resistentes correspondentes à compressão normal às fibras,

segundo O projeto de revisão da NBR 7190, da ABNT (2011), devem considerar a

extensão do carregamento, medida paralelamente à direção das fibras (“a”, na Figura

xx). Além disso, deve-se garantir que a configuração de equilíbrio não seja alterada

durante o carregamento. Por isso, recomenda-se uma distância mínima, de 7,5 cm, da

placa de distribuição às extremidades da peça. A Figura 164 ilustra um carregamento

perpendicular às fibras, denominando de “a” a extensão do carregamento medido na

direção paralela às fibras, “b” a extensão do carregamento medido na direção

perpendicular às fibras e “c” a distância da placa até a extremidade.

Figura 164: Peça de madeira submetida à compressão perpendicular às fibras

O dimensionamento de peças estruturais de madeira submetidas à compressão

normal às fibras pode ser feito aplicando-se o seguinte roteiro.

1. Obter o esforço de cálculo, Fd;

2. Determinar os valores de "a", "b" e "c" (definidos na figura anterior).

Aproveitar para verificar, e corrigir, a distância construtiva “c”;

3. Calcular a área de distribuição (Adist):

291

(área de contato); (50)

4. Obter a tensão atuante, de cálculo, à compressão normal (c90,d):

(51)

5. Obter o fator de correção (n) da resistência à compressão normal (fc90,d). Os

valores de n são obtidos na Tabela 15.

Tabela 153: Fator de correção da resistência à compressão perpendicular (n)

Extensão do carregamento normal às

fibras, medidas paralelamente a estas

“a” (cm)

Coeficiente n

1 2,00

2 1,70

3 1,55

4 1,40

5 1,30

7,5 1,15

10 1,10

Para a ≥ 15 cm, adota-se n = 1,00.


6. Verificar e concluir sobre a seção, sendo a condição de verificação:

(52)

292

APÊNDICE G

Roteiro para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexão

simples reta

A flexão simples reta se caracteriza pela ação de momento fletor em torno de

apenas um dos eixos principais de inércia, sem a presença de esforço normal. Pode-se

utilizar para a flexão simples reta o seguinte roteiro:

1. Determinar o momento estático (S) de meia seção, e o momento de inércia

(I), ambos em relação ao eixo central de inércia perpendicular ao plano de ação do

momento fletor. Obter, também, a largura da seção transversal (b), no centro de

gravidade, e as distâncias deste às bordas comprimida (yc1) e tracionada (yt2);

2. Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0,d; a resistência

à tração paralela às fibras, ft0,d; a resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0,d e o

módulo de elasticidade efetivo à compressão paralela às fibras, Ec0,ef, onde:

(53)

3. Obter os esforços de cálculo (Vd e Md) e a flecha de serviço (ud,uti), apenas

para ações de longa duração, considerando como vão teórico o menor dos seguintes

valores:

a) Distância entre eixos dos apoios;

b) O vão livre mais a altura da viga, se menor que 10 cm.

4. Verificação da Tensão normal:

Na Borda comprimida

(54)

Na Borda tracionada

(55)

293

5. Verificação da tensão de cisalhamento

(56)

6. Verificação da Flecha

( ) (57)

Na qual ulim deve ser:

Para peças de madeira serrada ou roliça sem balanço

(58)

Para peças de madeira serrada ou roliça com balanço

(59)

Para peças de MLC, e para escoramentos de fôrmas de madeira

(60)

Os valores do coeficiente de fluência (ϕ) são obtidos na Tabela 16.

Tabela 154: Coeficiente de fluência (ϕ)

Classes de carregamento Classes de umidade

(1) e (2) (3) e (4)

Permanente ou longa duração 0,80 2,00

Média duração 0,30 1,00

Curta duração 0,10 0,50


7. Concluir sobre a seção.

294

APÊNDICE H


flexocompressão

A presença de um esforço normal de compressão em um problema de flexão

caracteriza a flexocompressão. Em caso de flexocompressão, pode-se aplicar o

seguinte roteiro:

1. Determinar: a área da seção transversal (A); os momentos estáticos (Sx-x e

Sy-y), de meia seção; os momentos de inércia (Ix-x e Iy-y); e os raios de giração (ix-x e iy-

y). Obter, também, as dimensões da seção transversal (b e h), no centro de gravidade, e

as distâncias deste às bordas comprimida (xc1 e yc1) e tracionada (xt2 e yt2);

2. Determinar: a resistência à compressão paralela às fibras, fc0,d; a resistência

à tração paralela às fibras, ft0,d (se necessário verificar a borda tracionada); a

resistência ao cisalhamento paralelo às fibras, fv0,d; os módulos de elasticidades

efetivo, Ec0,ef, e de cálculo, Ec0,d, ambos à compressão paralela às fibras;

3. Obter os esforços de cálculo (Nd, Vx,d, Vy,d, Mx,d e My,d) e as flechas de

serviço (ux,ime e uy,ime, que correspondem a ux,d,uti e uy,d,uti);

4. Verificação da estabilidade:

a) Determinar comprimentos de flambagem (L0,x e L0,y) e índices de esbeltezes

(x e y);

Obs.: Existindo, em determinada direção, valores diferentes de vão (Lx ou Ly),

deve-se usar o mais desfavorável.

b) Obter as esbeltezes relativas (rel,x e rel,y)

√

(61)

√

(62)

295

Onde E0,05 é o módulo de elasticidade medido na direção paralela às fibras da

madeira, que, considerando distribuição normal, pode ser considerado igual a 0,7.Ec0,m

e Ec0,m é o valor médio do módulo de elasticidade medido na direção paralela às fibras

da madeira. A relação fc0,k/E0,05 é igual à relação fc0,d/Ec0,d (valores obtidos no 2º

passo).

Obs.: Para rel,x 0,3 e rel,y 0,3, não ocorrerá instabilidade, mas deve-se

verificar a resistência.

c) Obter os coeficientes kx e ky

* ( ) ( ) + (63)

* ( ) ( ) + (64)

Onde,

Para peças de madeira serrada ou roliça: βc = 0,2

Para peças de MLC e microlaminada (LVL): βc = 0,1

βc

d) Obter os coeficientes kcx e kcy

√( ) ( ) (65)

√( ) ( )

(66)

Se limitados os

alinhamentos

no centro do

vão Consultar norma específica para

escoramentos e fôrmas de madeira

𝑙 para peças de madeira serrada ou

roliças

𝑙 para peças de madeira laminada

colada

296

e) Verificar a estabilidade Usar a mais rigorosa das condições

(67)

(68)

Onde,

(69)

(70)

(71)

Para seção retangular: kM = 0,7

Para outras seções transversais: kM = 1,0

5. Verificação da Tensão normal (na borda comprimida usar a mais rigorosa

das condições)

(

)

(72)

(

)

(73)

6. Verificação da tensão de cisalhamento

√ (74)

297

Onde,

(75)

(76)

Fonte: SOUZA, (2009).

7. Verificação da Flecha

√ (77)

Existindo vãos diferentes,

e (78)

8. Concluir sobre a seção.

298

APÊNDICE I

Roteiro para cálculo da flecha em determinada posição de uma viga de seção

constante

1. Traçar o diagrama de momento fletor (M), para o carregamento dado.

2. Traçar o diagrama de momento fletor ( M ), para um carregamento unitário,

aplicado na posição e com a direção do deslocamento (v) desejado.

3. Utilizando-se a Tabela para integrais de produtos de duas funções calcular:

Estrutura

dx.M.M (79)

4. Aplicar a Equação 99, obtendo o valor do deslocamento (v) desejado.

299

ANEXO 1

Integrais de produtos de duas funções

Tabela 155: Integrais de produtos de duas funções

0

dx).x().x(f

Número I II III IV V

Nú

mer

o

)x(

)x(f

1

.a..

2

1 .a..

3

1 ..a.. 2

6

1

.a..3

1 .a..

4

1

2

.b..

2

1 .b..

6

1 ..b.. 2

6

1

.b..3

1 .b..

12

1

3

.ba.. 2

1

.ba... 26

1

..a.[. 26

1

]..b 2

.ba.. 3

1

.ba... 312

1

4

.a..

3

1 .a..

4

1 ..a.. 3

12

1 .a..

5

1 .a..

5

1

5

.b..

3

1 .b..

12

1 ..b.. 3

12

1 .b..

5

1 .b..

30

1

6

.a..

3

2 .a..

12

5 ...a.. 35

12

1

.a..15

7 .a..

10

3

7

.b..

3

2 .b..

4

1 ...b.. 53

12

1

.b..15

7 .b..

15

2

8

.c..

3

2 .c..

3

1 .c..

3

1 .c..

15

8 .c..

15

1

9

.c..

2

1 .c..

4

1 .c..

4

1 .c..

12

15 .c..

48

7

300

10

.c..2

1

.c..6

2

26

1...[c..

]. 1

.c..3

1 2

.c..3

1 2

11

.a..

4

1 .a..

6

1 ..a.. 4

20

1 .a..

15

2 .a..

6

1

12

.b..

4

1 .b..

20

1 ..b.. 4

20

1 .b..

15

2 .b..

60

1

0

2dx.)x(

2.

2

3

1..

22

3

1 ...

2

15

8..

2

5

1..

ou

o ponto significa que a tangente à curva é horizontal

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