Dimensionamento de Vigas

2 Dimensionamento de Vigas de Edifcios de Concreto Armado

2.1 Introduo

Neste captulo so apresentados os mtodos e as rotinas utilizados para

o dimensionamento de vigas de edifcios de concreto armado seguindo as

prescries da nova norma brasileira ABNT NBR 6118, 2003 [3]. Os esforos

solicitantes de clculo so calculados pelo programa FTOOL (anlise linear

elstica) de acordo com o carregamento proposto e a seo bruta de concreto,

procurando-se a armadura disposta em duas bordas (superior e inferior).

As sees transversais consideradas neste trabalho so: retangular, T, L

e I, todas com altura constante. As sees T so freqentes, pois, de um modo

geral, as nervuras das vigas esto solidariamente ligadas s lajes. Entretanto, a

mesa s participa do esquema resistente da seo quando estiver comprimida.

Os procedimentos adotados para o dimensionamento das sees de

concreto armado submetidas flexo composta reta foram baseados nos seis

domnios de deformao (Figura 2.3) que podem ser agrupados em domnios

maiores, chamados de regies (Figura 2.4). O mtodo de dimensionamento

utilizado o de Ferreira da SILVA Jr [2], relativo s zonas de solicitao. Os

algoritmos so capazes de identificar a regio em que se encontra a pea e,

atravs de procedimentos diretos ou iterativos, de dimensionar a pea para

qualquer combinao de fora e momento. O mtodo s trabalha com momentos

positivos. Assim, para momentos negativos o programa gira a seo

internamente para que o mtodo possa ser utilizado.

A conveno de sinais adotada :

foras e tenses de compresso: sinal positivo; foras e tenses de trao: sinal negativo.

Por coerncia, os encurtamentos sero positivos e os alongamentos

negativos. O momento fletor positivo quando traciona a borda inferior da seo

e comprime a borda superior.

DBDPUC-Rio - Certificao Digital N 0221063/CA

28

Embora a conveno internacional de sinais para foras e tenses seja o

contrrio, SANTOS [4] [5] considera a conveno acima mais adequada ao

clculo de concreto armado.

2.2 Hipteses Bsicas

Segundo a norma ABNT NBR 6118, 2003 [3], as hipteses bsicas admitidas no dimensionamento de uma seo transversal de concreto armado,

submetida flexo simples ou composta, so as seguintes:

Admite-se que uma seo transversal ao eixo do elemento estrutural indeformado permanece plana aps as deformaes do elemento

(hiptese de Bernoulli). O resultado uma distribuio linear das

deformaes normais ao longo da altura das sees transversais.

Admite-se a existncia de uma aderncia perfeita entre o concreto e o ao. Com isso, as armaduras vo estar sujeitas s mesmas deformaes

do concreto que as envolve.

A distribuio de tenses no concreto se faz de acordo com o diagrama parbola-retngulo, definido na Figura 2.1, com a mxima tenso de

compresso igual a cdf85.0 , sendo cdf a resistncia compresso de

clculo do concreto. Esse diagrama pode ser substitudo pelo retngulo

de altura x8.0 (onde x a profundidade da linha neutra), com a seguinte tenso:

cdf85.0 no caso de a largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no diminuir a partir desta para a borda comprimida;

cdf8.0 no caso contrrio. Devido facilidade do clculo automtico pelo computador, o diagrama

parbola-retngulo do concreto o utilizado no dimensionamento.


29

Parbola

Diagrama de Clculo

Diagrama Caracterstico

000

1 2=c 0005.3=cu c

c ckf

cdf85.0

])002.0

1(1[85.0 2ccdcd f =

Figura 2.1 Diagrama tenso-deformao para o concreto, adaptada da ABNT NBR 6118, 2003 [3].

onde:

ckf - resistncia caracterstica compresso do concreto aos 28 dias;

c - tenso compresso no concreto; cd - tenso de clculo do concreto; c - deformao especfica do concreto; 1c - deformao especfica do concreto na borda inferior; cu - deformao especfica de ruptura do concreto comprimido.

A tenso nas armaduras deve ser obtida a partir do diagrama tenso-deformao indicado na Figura 2.2, para os aos com ou sem patamar de

escoamento;

ykf

)( 000s10sE

ydf

yd

s

Figura 2.2 Diagrama tenso-deformao para o ao, adaptada da ABNT NBR 6118, 2003 [3].


30

sendo:

s

ydyd E

f= (2.1)

sdssd E = ydsd 0 (2.2)

ydsd f= ydsd > (2.3)

s

ykyd

ff = (2.4)

onde:

ydf - resistncia de clculo do ao trao;

ykf - resistncia caracterstica do ao;

s - coeficiente de minorao da resistncia do ao; yd - deformao especfica de clculo de escoamento do ao; s - tenso normal de trao na armadura; sd - tenso normal solicitante de clculo; s - deformao especfica do ao; sE - mdulo de elasticidade do ao.

sd - deformao especfica de clculo do ao;

O estado limite ltimo caracterizado quando a distribuio das deformaes na seo transversal pertencer a um dos domnios definidos

na Figura 2.3.

2.3 Domnios de Deformao

O Estado Limite ltimo (ELU), correspondente ao esgotamento da

capacidade resistente de uma seo transversal, pode ocorrer por ruptura do

concreto ou por uma deformao excessiva da armadura. Admite-se a


31

ocorrncia do ELU quando a distribuio das deformaes ao longo da altura h de uma seo transversal se enquadrar em um dos domnios da Figura 2.3.

Modificando a posio da linha neutra e girando esta em relao a pontos fixos

chamados de plos de rotao (ou plos de runa), pode-se distinguir seis

regies (domnios) para as configuraes deformadas ltimas convencionais:

1

2a

2b2 4

3

4a

5

C

B

3h 7

alongamentos (-) encurtamentos (+) 00

010

0002 0005.3

h

b

a A

yd

Figura 2.3 Domnios de deformaes, adaptada da ABNT NBR 6118, 2003 [3].

Reta a: trao uniforme; Domnio 1: trao no uniforme (flexo-trao) sem tenses de

compresso;

Domnio 2: flexo simples ou composta sem ruptura compresso do concreto ( 0005,3

32

Segundo SANTOS [4] [5], do ponto de vista do dimensionamento, dos

seis domnios de deformao somente as regies correspondentes aos trs

plos de runa interessam. a partir da determinao destes plos que se

estabelece a distribuio de deformaes em todos os pontos da seo

transversal, isto , as equaes de compatibilidade que caracterizam a

deformao especfica ao longo da seo. H trs regies, determinadas pelos

trs plos de runa, como pode ser visto na Figura 2.4:

alongamentos (-) encurtamentos (+)

Regio III

Regio II Regio I

h

3h 7

C

B

A

00010

0002 0005.3

Figura 2.4 Regies de deformao, adaptada de SANTOS [4].

Regio I: determinada pelo plo de runa B (esmagamento do concreto em sees totalmente comprimidas), ou seja, quando a deformao na

fibra situada a 7/3h da borda mais comprimida atingir o valor 0002 ,

sendo h a altura da seo;

Regio II: determinada pelo plo de runa A (esmagamento do concreto em sees parcialmente comprimidas), quando a deformao na fibra

mais comprimida atingir o valor 0005.3 ;

Regio III: determinada pelo plo de runa C (deformao excessiva da armadura), quando a deformao na armadura mais tracionada atingir o

valor 00010 .


33

2.4 Parmetros Adimensionais

2.4.1 Seo Retangular

Os coeficientes adimensionais utilizados na deduo das expresses

para o dimensionamento de sees transversais retangulares esto descritos a

seguir, segundo SANTOS [4]. As notaes encontram-se na Figura 2.5 e na Figura 2.6.

x

Borda 2

Borda 1

As2

A

c 2 e 2

e 1

d' 1

d' 2

c 1

h

aR s2

cc R

s1R

M d

N O

s1

d d

c

c1sd1sd1( )

sd2 sd2( )

Figura 2.5 Armadura em duas bordas seo, deformaes, tenses e resultantes, adaptada de SANTOS [4].

x

Borda 2

Borda 1

1 O

2

1

2

1

2e

1e

2c

1c

)( 2

1sd

2

1

c

2sd

)( 1

Figura 2.6 Parmetros reduzidos adimensionais para o dimensionamento.

hx

x = (2.5)


34

hd= (2.6)

he

e1

1 = he

e2

2 = (2.7)

hc

c1

1 = hc

c2

2 = (2.8)

c

s

AA 1

1 = c

s

AA 2

2 = (2.9)

hd1

1=

hd 2

2

= (2.10)

cd

sd

11 =

cd

sd

22 = (2.11)

ccd

s

AR= 1

1 ccd

s

AR= 2

2 (2.12)

ccd

cc

AR= (2.13)

hAaR

ccd

cc

=

' (2.14)

ccd

d

AN=

(2.15)

hAM

ccd

d

= (2.16)

onde c

ckcdcd

ff 85,085,0 == (2.17)


35

sendo:

- distncia do centro geomtrico da armadura tracionada borda mais afastada da seo, reduzida adimensional;

d - altura til da seo;

x - profundidade relativa da linha neutra, reduzida adimensional; 1e - distncia do centro geomtrico da seo camada inferior de barras,

reduzida adimensional;

1e - distncia do centro geomtrico da seo camada inferior de barras;

2e - distncia do centro geomtrico da seo camada superior de barras, reduzida adimensional;

2e - distncia do centro geomtrico da seo camada superior de barras;

1c - distncia do centro geomtrico da seo borda inferior, reduzida adimensional;

1c - distncia do centro geomtrico da seo borda inferior;

2c - distncia do centro geomtrico da seo borda superior, reduzida adimensional;

2c - distncia do centro geomtrico da seo borda superior;

1 - taxa geomtrica de armadura inferior; 2 - taxa geomtrica de armadura superior; 1sA - rea da armadura longitudinal inferior;

2sA - rea da armadura longitudinal superior;

cA - rea da seo transversal;

1 - distncia do centro geomtrico da armadura inferior borda inferior, reduzida adimensional;

2 - distncia do centro geomtrico da armadura superior borda superior, reduzida adimensional;

'1d - distncia do centro geomtrico da armadura inferior borda inferior; '2d - distncia do centro geomtrico da armadura superior borda superior;

1 - relao entre a tenso de clculo na armadura inferior e a tenso de clculo no concreto;


36

2 - relao entre a tenso de clculo na armadura superior e a tenso de clculo no concreto;

1sd - valor de clculo da tenso no ao da armadura inferior; 2sd - valor de clculo da tenso no ao da armadura superior;

1 - resultante de tenses na armadura inferior, reduzida adimensional; 2 - resultante de tenses na armadura superior, reduzida adimensional; 1sR - resultante de tenses na armadura inferior;

2sR - resultante de tenses na armadura superior;

- fora normal resistente do concreto (resultante de compresso do concreto), reduzida adimensional;

- momento fletor resistente do concreto, em relao borda mais encurtada, reduzido adimensional;

ccR - resultante de tenses de compresso no concreto;

a - distncia de ccR borda mais prxima da seo;

- fora normal reduzida adimensional; dN - fora normal de clculo;

- momento fletor reduzido adimensional; dM - momento fletor de clculo;

c - coeficiente de minorao da resistncia do concreto;

Pela Figura 2.6 pode-se concluir que:

111222 11 ==+= ecec (2.18) onde:

211 1 ce = 222 = ce (2.19)

2.4.2 Seo Retangular Vazada

A seguir so apresentadas algumas definies de parmetros

adimensionais complementares para o dimensionamento de uma seo


37

retangular vazada, de acordo com SANTOS [4] e a Figura 2.7 e Figura 2.8. A

seo T um caso particular da seo vazada, com 02 =h ( 02 =h ).

1h

h

2h

'2d

'1d

2wb

2wb

fb

Figura 2.7 Parmetros relacionados a seo retangular vazada, adaptado de SANTOS [4].

1h 2

1

2w

2w

2h

Figura 2.8 Parmetros reduzidos adimensionais de uma seo retangular vazada.

f

ww b

b= (2.20)

hh

h1

1 = (2.21)

hh

h2

2 = (2.22)

ccd

cc

AR= (2.23)


38

rcd

rccr A

R= , (2.24)

vcd

vccv A

R= , (2.25)

hAaR

ccd

cc

=

' (2.26)

hAaR

rcd

rrccr

= ,' (2.27)

)( 21,'

hhhAaR

vcd

vvccv

= (2.28)

Com as definies de w , 1h e 2h , pode-se escrever: )1()1( 21 hhwfv hbA = (2.29)

)]1()1(1[ 21 hhwfc hbA = (2.30)

hbA fr = (2.31)

vrc AAA = (2.32) sendo:

w - largura da alma da seo, reduzida adimensional; wb - largura da alma da seo;

fb - largura da mesa da seo retangular vazada;

1h - espessura da mesa superior da seo retangular vazada, reduzida adimensional;

1h - espessura da mesa superior da seo retangular vazada;

2h - espessura da mesa inferior da seo retangular vazada, reduzida adimensional;


39

2h - espessura da mesa inferior da seo retangular vazada;

- fora normal resistente do concreto (resultante de compresso do concreto), reduzida adimensional;

ccR - resultante de compresso no concreto, na seo retangular vazada;

cA - rea da seo transversal (retangular vazada);

r - resultante de compresso no concreto, na seo retangular cheia, reduzida adimensional;

rccR , - resultante de compresso no concreto, na seo retangular cheia;

rA - rea da seo retangular cheia de mesmo contorno externo ou mesmo

permetro;

v - resultante de compresso no concreto, no retngulo vazio, reduzida adimensional;

vccR , - resultante de compresso no concreto, no retngulo vazio (que haveria

se ele no fosse vazio);

vA - rea do retngulo vazio; ' - momento fletor resistente do concreto, em relao borda mais

encurtada, reduzido adimensional;

a - distncia de ccR borda mais prxima da seo retangular vazada; 'r - momento fletor resistente do concreto, na seo retangular cheia,

reduzido adimensional;

ra - distncia de rccR , borda superior;

'v - momento fletor resistente do concreto, no retngulo vazio, reduzido

adimensional;

va - distncia de vccR , borda superior do retngulo vazio;

2.5 Equaes de Compatibilidade

As equaes de compatibilidade fornecem a deformao em qualquer

ponto da seo transversal, em funo de duas grandezas previamente

conhecidas (deformao no plo de ruptura e a posio da linha neutra). A


40

deformao longitudinal especfica de uma fibra distante y da linha neutra (LN)

dada por kyx = (sendo k uma constante), ou seja, as deformaes so constantes ao longo de uma fibra da seo (lei de Navier).

Para garantir a hiptese de solidariedade perfeita entre cada barra de ao

e o concreto que a envolve, a deformao longitudinal especfica de uma barra

da armadura igual deformao do concreto adjacente a esta.

A seguir so apresentadas as equaes de compatibilidade deduzidas

em SANTOS [4]. Nestas equaes, uma fibra genrica (onde est localizado o

centro geomtrico de um grupo de barras de ao) definida pela distncia id ao

bordo superior e a deformao desta fibra denominada sdi . Regio I O diagrama de deformaes apresentado na Figura 2.9,

onde x a profundidade da linha neutra. O encurtamento na borda

superior e inferior dado por c e 1c , respectivamente. Engloba o domnio 5.

x

h

L N

idx

id

3h7

2B

c

sdi1c

Figura 2.9 Deformaes na regio I, adaptada de SANTOS [4].

Utilizando os parmetros adimensionais do item 2.4 e fazendo uma

semelhana de tringulos, pode-se escrever:

3714

=x

xc

(2.33)

37)1(14

1 =

x

xc

(2.34)


41

e, a partir de (2.33) e (2.34):

1473

=c

cx

(2.35)

147143

1

1

=

c

cx

(2.36)

A deformao sdi dada por:

37)(14

==

x

ix

x

ixcsdi

(2.37)

sendo i a distncia da camada i de barras borda superior, reduzida adimensional ( hdii /= ).

Regio II Refere-se ao plo A ( 0005.3=c ). O diagrama de deformaes apresentado na Figura 2.10. Engloba os domnios 3, 4 e

4a.

L Nh

Aid

sdix

5.3=c

Figura 2.10 Deformaes na regio II, adaptada de SANTOS [4].

Pela semelhana de tringulos chega-se a:

i

sdi

dxx =5.3

; x

ixsdi

= 5.3 (2.38)

Regio III Refere-se ao plo C ( 00010=sd ). O diagrama de deformaes apresentado na Figura 2.11. Engloba os domnios 1 e 2.


42

x id

'd

'dh

10

sdic

C

Figura 2.11 Deformaes na regio III, adaptada de SANTOS [4].

x

ixisdi xdh

dx

==

110

)(10 ' (2.39)

Sendo dd '= . Relacionando c e x vem que:

x

xc

=

110

(2.40)

10)1(

+=

c

cx

(2.41)

E ainda, levando a relao de xc da eq. (2.40) para a eq. (2.39), vem que:

)( ixx

csdi

= (2.42)

2.6 Limites entre Domnios

Conhecendo-se o valor de x fcil determinar em que domnio se encontra a pea. Portanto, importante conhecer o valor de x correspondente ao limite entre dois domnios.

Generalizando a eq. (2.41) tem-se:

sc

cx

= )1( (2.43)

onde c e s entram com seus sinais.


43

No limite entre os domnios 1 e 2: 00010=s e 0=c , logo: 021lim =x (2.44)

No limite entre os domnios 2 e 3 (limite entre as regies III e II):

00010=s e 0005.3=c :

)1(5.135.3

32lim =x (2.45) O limite entre os domnios 3 e 4 corresponde, nas vigas, ao limite entre

as peas sub-armadas e super-armadas. Neste caso: 0005.3=c e yds = :

ydx

+= 5.3

)1(5.343lim (2.46)

No limite entre os domnios 4a e 5 (limite entre as regies II e I):

0005.3=c e 0=s :

154lim =ax (2.47)

2.7 Resultante de Compresso do Concreto

A resultante ccR de tenses de compresso no concreto e a sua posio

(definida pela distncia a , Figura 2.12) so obtidas pelas eq. (2.48) e (2.49),

onde 'c a tenso de compresso em uma fibra genrica, a uma distncia y da borda superior, b a largura da seo no nvel y e dy a espessura da rea

elementar no mesmo nvel.

x

h

a

ccR b

y dy

L N

cdc c

1c

'c

Figura 2.12 Resultante ccR e sua posio, adaptada de SANTOS [4].


44

dybRx

ccc = 0

' (2.48)

dyybaRx

ccc = 0

' (2.49)

Se x for maior que h (linha neutra fora da seo), a integral passa a

variar de 0 a h . Com o objetivo de modificar as variveis de integrao das eq. (2.48) e

(2.49), define-se uma nova grandeza, a curvatura, dada por:

crcc 321 = (2.50)

onde )( 32 cc a diferena entre as deformaes existentes em duas fibras quaisquer com 32 cc , c a distncia entre as duas fibras e r o raio de curvatura na seo. Como a curvatura uma grandeza com dimenso, para se

trabalhar com grandezas adimensionais define-se uma curvatura adimensional

:

rh 1= (2.51)

Utilizando-se a eq. (2.5), (2.50), (2.51) e de acordo com a Figura 2.12, a

curvatura pode ser definida como funo da posio da linha neutra pela

relao:

xxrcc == 01 (2.52)

x

cc

xh

== (2.53)

A deformao 'c numa fibra genrica, a uma distncia y da borda superior, pode ser definida como:

xyx

cc= ' (2.54)

A Figura 2.13 mostra que o encurtamento mnimo 0c de uma fibra da seo :

00 =c (2.55)


45

para hx , c ou 1x e

xhx

cc= 0

para x >h , c > ou 1>x (2.56)

x

hx00 =c

00 >c

Figura 2.13 Encurtamento mnimo 0c , adaptada de SANTOS [6].

Isolando y na eq. (2.54) e considerando as eq. (2.5) e (2.53), chega-se

a:

)( 'cchy = (2.57)

e, derivando-se em relao a 'c : 'cd

hdy = (2.58) Como 'c , y e dy so funes de 'c , b funo de y e, portanto, de

'c , pode-se integrar as eq. (2.48) e (2.49) de c a 0c .

2.7.1 Resultante de Compresso do Concreto para Seo Retangular

Nas equaes a seguir utiliza-se '' 1000 cc = . Sendo 000' 2c , 'c dado por:

)4(4

''

'c

ccdc = (2.59)


46

Na seo retangular, b constante e igual a wb e hbA wc = ; dy dado pela eq. (2.58). Aplicando (2.48) e integrando de c a 0c , vem que:

= 0 '2'' )()4(c

c

cwc

ccdcc dhbR

(2.60)

Utilizando-se a definio de (eq. (2.13)) em (2.60) e integrando-se, tem-se:

=12

)6()6( 020

2cccc (2.61)

De acordo com (2.49) e levando em conta (2.57) e (2.58):

= 0 ''2'' )()()4(c

c

cccwc

ccdcc dhhbaR

(2.62)

Usando a definio de ' (eq. (2.14)) e integrando-se, vem que:

2

2000

20

3'

48)341624()8(

+= cccccccc (2.63)

No caso de 000' 2>c , cdc =' . A integral da eq. (2.48) ser dividida em

duas partes:

'2''

2

2' )()

44

()(0

cwcc

cdcwcdcc dhbdhbR

c

c

+= (2.64)

resultando em:

=12

)6(812 020 ccc (2.65)

Da mesma forma, para ' , tem-se que:

2

200

20

2'

48)3)4(424(243216

+++= ccccccc (2.66)

2.7.2 Resultante de Compresso do Concreto para Seo Retangular Vazada

O clculo de e ' para a seo retangular vazada pode ser muito trabalhoso, oferecendo um grande nmero de casos e sub-casos. Entretanto, ele

consideravelmente simplificado quando se aproveitam os resultados obtidos da

seo retangular cheia.


47

O problema dividido em dois casos. A linha neutra pode estar na mesa

comprimida ( 01 caso) ou cortar a alma da seo ( 02 caso):

11

101

hc

hx

hxcaso

(2.67)

>>>

11

102

hc

hx

hxcaso

(2.68)

No caso da linha neutra estar na mesa superior, a seo tratada como

se fosse uma seo retangular cheia, de rea hb f . Assim, pode-se escrever:

rcccc RR ,= (2.69)

rcdrccd AA = (2.70)

)1()1(1 21 hhwr

c

rr AA

== (2.71)

Para o clculo de ' tm-se: rrcccc aRaR = , (2.72)

hAhA rcdrccd = '' (2.73)

)1()1(1 21

'''

hhw

r

c

rr AA

== (2.74)

Pode-se concluir que para o clculo de e ' referentes a uma seo retangular vazada, determinam-se os valores de r e 'r referentes seo retangular cheia de mesma largura fb e de mesma altura h .

No caso da linha neutra atingir a alma, tm-se:

vccrcccc RRR ,, = (2.75)

vvrrc AAA = (2.76)


48

)1()1(1)1()1(

21

21

hhw

hhwvr

= (2.77)

)( 1,, haRaRaR vvccrrcccc += (2.78)

121''' )( hAhhhAhAhA vvvvrrc = (2.79)

)1()1(1])1[()1()1(

21

1'

2121'

'

hhw

vhvhhhhwr

+= (2.80)

Os coeficientes r e 'r so calculados pelas expresses do item 2.7.1 referentes seo retangular cheia, pois esta possui a mesma altura h da

vazada. Assim, para a seo retangular vazada tambm vale o par c e . J o retngulo vazio tem posio e altura diferentes da seo retangular

vazada. Os coeficientes v e 'v tambm so calculados com as expresses do item 2.7.1 mas para c (Figura 2.14) e .

1h

h

2h

L

x

N

1hc

c

Figura 2.14 Encurtamento c , adaptada de SANTOS [4].

Utilizando-se as eq. (2.50) e (2.51) e a Figura 2.14 tm-se:

1

1hr

cc= (2.81)

11

)(1

h

cccc h

hr

h

=== (2.82)

onde c o encurtamento na borda superior do retngulo vazio.


49

De acordo com a eq. (2.82), pode-se tirar a relao:

1hcc = (2.83) Considera-se que para a seo retangular cheia, retangular vazada e o

retngulo vazio a curvatura a mesma:

vr rrr111 == (2.84)

vr rh

rh

rh 111 === (2.85)

hhhh

rhhh

v

== )(1)( 2121 (2.86) onde rr o raio de curvatura da seo retangular cheia, vr o raio de curvatura

do retngulo vazio e a curvatura adimensional no retngulo vazio. De acordo com a eq. (2.86) obtm-se:

)1( 21 hh = (2.87) Assume-se que em todas as frmulas deduzidas para o clculo dos

coeficientes e ' a curvatura seja no nula. No caso particular de compresso uniforme, onde 0= , tais frmulas no so aplicveis. 'c considerado constante e igual a c , de modo que:

ccdcc

cc AR = )10004(41000

(2.88)

)10004(4

1000c

c = (2.89)

22 cASaR ccdcdcc == (2.90)

== 22' chc

(2.91)

onde 2S o momento esttico da rea cA em relao borda superior.


50

2.8 Estado Limite ltimo (ELU)

Todas as expresses deduzidas no item anterior podem ser utilizadas

para o dimensionamento ou verificao de sees de concreto armado, desde

que o estado limite ltimo seja respeitado.

Para obter os valores dos coeficientes e ' , necessrio conhecer o valor da curvatura , que ser obtida em funo da posio da linha neutra ( x ).

Com isso, preciso se conhecer o valor do x de referncia localizado no limite entre os domnios 2 e 3 (Figura 2.3). um valor de comparao, que

corresponde a uma ruptura considerada para referncia da mudana de plos de

rotao. Assim, da eq. (2.45) obtm-se:

5.13)1(5.3

, =refx (2.92)

se 1>x (regio I), o critrio de ruptura corresponde ao domnio 5. O plo est sobre a vertical da deformao 0002=c .

3714

= x (2.93) se refxx , (regio III), o critrio de ruptura corresponde ao domnio 2.

O plo se encontra em 00010=sd .

x = 110

(2.94)

se 1, < xrefx (regio II), os critrios de ruptura correspondem aos domnios 3, 4 e 4a. O plo se encontra em 0005.3=c .

x5.3= (2.95)


51

2.9 Flexo Composta Reta Dimensionamento com Armadura em Duas Bordas

Para o dimensionamento flexo normal composta das sees

transversais das vigas, os esforos solicitantes de clculo, dN e dM , calculados

pelo programa FTOOL, so aplicados no centro geomtrico da seo de

concreto. O momento dM suposto positivo quando traciona a borda inferior e

comprime a borda superior. O dimensionamento flexo composta restringe-se

ao caso apresentado na Figura 2.15: armaduras colocadas nas faces de largura

wb . A flexo normal simples decorrer deste estudo como um caso particular.

d h

1e

2e

'1d

'2d

1sA

2sA

dM

dN

wb

Figura 2.15 Dimensionamento, adaptada de SANTOS [5].

Para a sistematizao do dimensionamento das sees de concreto

armado submetidas flexo, ser utilizado o trabalho de Jayme Ferreira da Silva

Jr [2], relativo s zonas de solicitao. Este mtodo distribui os esforos atuantes

dentro de zonas de dimensionamento criadas em funo de valores dos esforos

normais e momentos fletores resistentes. Em funo da locao dos pontos

dentro destas regies, so determinadas as equaes das taxas das armaduras

1 e 2 (SANTOS [4] [5] e BARBOSA [7] [8]). Inicialmente, esse processo referia-se apenas seo retangular com armadura em duas bordas.

Posteriormente foi generalizado por SANTOS [4] [5] para uma seo qualquer e

com eixo de simetria.


52

SILVA Jr [2]. mostrou a existncia de seis zonas de solicitao. Cada ponto do plano da Figura 2.16, definido pelo par ( , ), conforme as eq. (2.15) e (2.16), pertence a uma determinada zona, que definida pelas armaduras

(trao e compresso) e pelo nmero de faces a serem armadas (uma, duas ou

nenhuma).

2.9.1 Zonas de Solicitao

Colocando os valores como abscissas e (considerado sempre positivo) como ordenadas, o semi-plano formado pelo conjunto de pontos ( , ) pode ser dividido em seis regies ou zonas de solicitao, conforme a Figura

2.16 e segundo SANTOS [4] e BARBOSA [7] [8].

C

C

D

O

B

AE

0

A

Flexo-trao Flexo-compresso

Figura 2.16 Zonas de solicitao, adaptada de SANTOS [5].

Zona A: as duas armaduras, 1sA e 2sA (inferior e superior, respectivamente) so comprimidas;

Zona B: a transio entre as zonas A e C; tem-se somente a armadura 2sA (armadura comprimida pelo momento fletor atuante); a outra, 1sA ,

mnima de norma;

Zona C: a armadura 1sA tracionada e a armadura 2sA comprimida; Zona D: a transio entre as zonas C e E; s h uma armadura ( 1sA )

tracionada; o esforo resistente de compresso fornecido apenas pelo

concreto;

Zona E: as duas armaduras ( 1sA e 2sA ) so tracionadas;


53

Zona O: no h necessidade de armadura (s a mnima de norma); a seo foi superdimensionada.

2.9.2

Determinao de x

Como ser visto a seguir, nas zonas A, C e E o nmero de incgnitas

(trs incgnitas - 1sA , 2sA , x ) maior que o nmero de equaes de equilbrio (duas equaes). Se no se fixar previamente a posio da linha neutra haver

um caso de multiplicidade de solues. Por este motivo, o valor de x tem que ser escolhido e, da infinidade de solues possveis, deve-se escolher a mais

econmica:

Zona A: x , isto , a deformao constante e igual a 0002 em toda a seo (reta b dos domnios), conforme a Figura 2.17.

Zona C: lim,xx = , onde lim,x igual ao x correspondente ao limite entre os domnios 3 e 4, conforme a eq. (2.46) e a Figura 2.17.

A nova norma brasileira, ABNT NBR 6118, 2003 [3], recomenda que para

melhorar a ductilidade das estruturas nas regies de apoio das vigas, a

posio da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:

50.0=dxx

para MPafck 35 (2.96)

40.0=dxx

para MPafck 35> (2.97)

sendo hd= , definido no item 2.4.

Zona E: x , isto , a deformao constante e igual a 00010 em toda a seo (reta a dos domnios), conforme a Figura 2.17. Nas zonas B e D s h uma incgnita com relao armadura. A

segunda incgnita, x , tem valor nico e determinvel por equao de equilbrio. Devido agilidade e facilidade do clculo automtico pelo computador, x calculado por tentativas, de maneira que os esforos solicitantes (j conhecidos)

se aproximem ao mximo dos esforos resistentes. Na zona B, x varia de


54

lim,x at o infinito. Na zona D, varia de lim,x at , sendo suficiente variar de lim,x a zero pois, de fato, a partir de 0=x , os coeficientes e ' so nulos.

00010

0002 0005.3

b

a

yd

Zona E

Zona A Zona C

h

Figura 2.17 Relao entre os domnios de deformao e as zonas de solicitao, adaptada de BARBOSA [7].

2.9.3 Equaes de Equilbrio

As equaes de equilbrio apresentadas nesta seo fornecem as taxas

geomtricas de armadura superior e inferior, 1 e 2 , respectivamente. As reas de ao so obtidas a partir das equaes:

cs AA = 11 (2.98)

cs AA = 22 (2.99)


55

2.9.3.1

Equaes de Equilbrio para Zona A

h

1e

2e

'1d

'2d

22 sdsA

dM

dN1c

2c

11 sdsA cd

wb

Figura 2.18 Esforos solicitantes e resistentes zona A.

Segundo a Figura 2.18, o equilbrio das foras normais:

Rdd NN =

2211 sdssdswcdd AAhbN ++= (2.100) onde dN o esforo solicitante de clculo e RdN o esforo resistente de

clculo. O equilbrio de momentos em relao borda superior fornece:

2'222

'1112 )( chbdAdhAcNM wcdsdssdsdd = (2.101)

Para que as equaes de equilbrio fiquem na forma adimensional,

divide-se ambos os membros das eq. (2.100) e (2.101) por ccd A e por hAccd , respectivamente:

22111 ++= (2.102)

22221112 )1( cc = (2.103) Considerando 1 e 2 como incgnitas, o sistema formado pelas eq.

(2.102) e (2.103) fornece:

)1( 21122

1

= ee (2.104)


56

)1( 21211

2

+= ee (2.105)

2.9.3.2

Equaes de Equilbrio para Zona B

h

1e

2e

'1d

'2d

22 sdsA

dM

dN1c

2c ccRa

Figura 2.19 Esforos solicitantes e resistentes zona B.

Por definio da zona B:

01 = (2.106) As equaes de equilbrio, pela Figura 2.19:

Rdd NN =

22 sdsccd ARN += (2.107)

aRdAcNM ccsdsdd = '2222 (2.108) Dividindo os membros das eq. (2.107) e (2.108) por ccd A e por hAccd respectivamente, as equaes de equilbrio tomam a forma

adimensional:

22 += (2.109)

'2222 = c (2.110)

As equaes fornecem:


57

22

= (2.111)

2.9.3.3

Equaes de Equilbrio para Zona C

h

1e

2e

'1d

'2d

22 sdsA

dM

dN1c

2c

11 sdsA

ccRa

Figura 2.20 Esforos solicitantes e resistentes zona C.

Segundo a Figura 2.20, as equaes de equilbrio podem ser escritas:

Rdd NN =

2211 sdssdsccd AARN += (2.112)

aRdAdhAcNM ccsdssdsdd += '222'1112 )( (2.113) Passando as equaes de equilbrio para a forma adimensional:

2211 += (2.114)

'2221112 )1( += c (2.115)

Na zona C, como lim,xx = :

lim = e 'lim' = sendo:

lim - valor de para lim,xx = ; 'lim - valor de ' para lim,xx =


58

Resolvendo o sistema de duas equaes, resulta:

)1( 211

'limlim22

1

+= e (2.116)

)1()1(

212

'limlim11

2

++= e (2.117)

2.9.3.4

Equaes de Equilbrio para Zona D

h

1e

2e

'1d

'2d

dM

dN1c

2c

11 sdsA

ccRa

Figura 2.21 Esforos solicitantes e resistentes zona D.

Por definio da zona D:

02 = (2.118) As equaes de equilbrio, pela Figura 2.21:

Rdd NN =

11 sdsccd ARN = (2.119)

aRdhAcNM ccsdsdd += )( '1112 (2.120) Colocando as equaes na forma adimensional:

11 = (2.121)


59

'1112 )1( += c (2.122)

As equaes fornecem:

11

= (2.123)

2.9.3.5

Equaes de Equilbrio para Zona E

h

1e

2e

'1d

'2d

22 sdsA

dM

dN1c

2c

11 sdsA

Figura 2.22 Esforos solicitantes e resistentes zona E.

De acordo com a Figura 2.22, as equaes de equilbrio podem ser

escritas:

Rdd NN =

2211 sdssdsd AAN = (2.124)

'222

'1112 )( dAdhAcNM sdssdsdd ++= (2.125)

Na forma adimensional, as equaes podem ser escritas como:

2211 = (2.126)

2221112 )1( ++= c (2.127) Resolvendo o sistema de duas equaes, resulta:


60

)1( 2112

1

+= e (2.128)

)1( 2121

2

= e (2.129)

2.9.3.6

Equaes de Equilbrio para Zona O

h

1e

2e

'1d

'2d

ccRdM

dN1c

2c a

Figura 2.23 Esforos solicitantes e resistentes zona O.

Na zona O os esforos de clculo so pequenos em relao s

dimenses fixadas para a seo. O concreto resiste sozinho. No h

necessidade de armadura. Considerando O = e O = como os esforos internos reduzidos no limite da zona O, as equaes de equilbrio de acordo com

a Figura 2.23 so:

=O (2.130)

'2

'2 == cOcO (2.131)

01 = (2.132)

02 = (2.133)


61

2.9.4 Limites entre as Zonas

As fronteiras entre as zonas de solicitao so determinadas pela

equao da reta existente entre cada zona, e pode ser encontrada atravs das

equaes de equilbrio e condies de contorno.

De acordo com a Figura 2.24:

CC

D

O

B

AE B

0

A

CD

DE

BC

AB 40.0lim, =

x ou 5.043lim,lim, = xx

Figura 2.24 Limite entre as zonas de solicitao, adaptada de KAEFER [1].

Limite entre as zonas A e B Chamando de AB os valores de relativos ao limite entre as zonas A e B e substituindo 01 = na eq. (2.104), obtm-se:

22 eeAB = (2.134) AB uma reta de coeficiente angular 2e . Pode-se determinar a abscissa A do ponto A. Segundo (2.134), quando 0=AB :

1=A (2.135)

Limite entre as zonas B e C Substituindo 01 = na eq. (2.116):

'limlim22 += eBC (2.136)

Limite entre as zonas C e D Para encontrar a equao da reta limite entre as zonas C e D, basta igualar a

eq. (2.117) a zero, obtendo:


62

'limlim11 )1( += eCD (2.137)

Limite entre as zonas D e E Como na Zona D 02 = , substituindo este valor na eq. (2.129) obtm-se para o limite entre as zonas D e E a equao:

= 1eDE (2.138) Coordenadas do ponto B Para encontrar as coordenadas do ponto B basta procurar a interseo entre

as retas BC e CD da Figura 2.24. Fazendo CDBC = : lim =B (2.139)

Levando este valor de B para as eq. (2.136) e (2.137): 'limlim2 = cB (2.140)

Limite da zona O Na zona O os parmetros O , e ' dependem de x . A curva limite dada pelas Equaes paramtricas (2.130) e (2.131) e ser determinada

ponto a ponto. Observa-se que:

1. a curva passa pela origem O. Para 0=x , 0' == , e resulta em 0== OO ;

2. a curva passa pelo ponto A. Para x , 1= , AO == 1 e 022 == ccO ;

3. A curva passa pelo ponto B.

2.9.5 Determinao da Zona de Solicitao

Dado um ponto no plano da Figura 2.16, definido pelo par ( e ), a determinao da zona de solicitao feita dividindo o grfico das zonas em trs

trechos, conforme a Figura 2.25.


63

C

O

B

AE

B

0 1B

D

Figura 2.25 Trechos para pesquisa da zona, adaptada de SANTOS [4].

Se 1> , de acordo com a Figura 2.25 h trs possibilidades: o ponto pode pertencer zona A, B ou C, conforme o valor de . Se BC , o ponto pertence zona C. Caso contrrio pertencer zona A ou B, conforme a

comparao de com AB . No caso de 0

64

Tabela 2.1 Taxas mnimas de armadura de flexo para vigas

Forma da seo min Retangular 0.035

T (mesa comprimida) 0.024

T (mesa tracionada) 0.031

A norma ABNT NBR 6118, 2003 [3] tambm recomenda que a soma das

armaduras de trao e compresso no deve ter valor maior que cA%4 ,

calculada na regio fora da zona de emendas:

css AAA + 04.0)( 21 (2.142)

2.9.7 Metodologia de Clculo

Dados os parmetros geomtricos da seo transversal, a altura til d e

os esforos de clculo dN e dM , o clculo de 1 e 2 segue a seguinte metodologia, de acordo com SANTOS [4] [5]:

1. calculam-se os coeficientes adimensionais e conforme as eq. (2.15) e (2.16);

2. determinam-se os limites entre as zonas de acordo com o item 2.9.4 ;

3. verifica-se em que zona se encontra a solicitao dada a partir da

localizao do ponto ( , ); 4. fixa-se ou determina-se o valor de x conforme o item 2.9.2 ; 5. tendo x , tm-se , ' , as deformaes e conseqentemente as

tenses, 1 e 2 ; 6. calculam-se as taxas geomtricas de armadura e as reas de ao,

conforme o item 2.9.3

7. verificam-se as reas de ao mnima e mxima conforme o item anterior.


65

2.10 Dimensionamento Fora Cortante

Para o dimensionamento das sees transversais das vigas fora

cortante so utilizados neste trabalho os conceitos e as consideraes da norma

ABNT NBR 6118, 2003 [3]. Essas consideraes so aplicveis s peas

lineares com armaduras de cisalhamento e nas quais dbw 5 , sendo wb e d a largura e a altura til da seo transversal, respectivamente. Considera-se que a

armadura transversal constituda por estribos verticais, pois apesar dos

estribos inclinados a 045 reduzirem a compresso na biela de concreto, estes ltimos acarretam dificuldades construtivas.

Para a obteno da armadura transversal, a nova norma brasileira

continua baseando-se no modelo em trelia associado a mecanismos resistentes

complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural. No entanto, o

clculo, assim como as verificaes necessrias, passaram a ser efetuados em

termos de foras atuantes ao invs de tenses, como era feito na antiga norma

ABNT NBR 6118, 1978 [9].

2.10.1 Clculo da Resistncia

As condies fixadas pela norma ABNT NBR 6118, 2003 [3] para

elementos lineares admitem dois modelos de clculo que pressupem a analogia

com modelo em trelia. Neste trabalho adotou-se somente o modelo de clculo I.

O modelo de clculo I admite diagonais de compresso inclinadas de 45 em relao ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a

parcela complementar cV tenha valor constante, independentemente de SdV ,

onde:

cV - parcela de fora cortante absorvida por mecanismos complementares

ao da trelia;

SdV - fora cortante solicitante de clculo, na seo.

A resistncia do elemento estrutural deve ser considerada satisfatria

quando so atendidas as seguintes condies:


66

1) Para evitar o esmagamento da biela de compresso, a fora cortante

solicitante de clculo SdV no pode exceder a fora cortante resistente de

clculo, relativa runa das diagonais comprimidas de concreto 2RdV .

2RdSd VV (2.143) Se a condio no for atendida, deve-se alterar as dimenses da seo

transversal da pea.

2) A fora cortante solicitante de clculo SdV no deve exceder a fora cortante

resistente de clculo, relativa runa por trao diagonal 3RdV .

3RdSd VV (2.144)

2.10.2 Verificao da Compresso Diagonal do Concreto

Pelo modelo de clculo I, 2RdV dada por:

dbfV wcdvRd = 22 27.0 (2.145) onde:

2v - fator de efetividade do concreto:

=250

12ck

vf (2.146)

com ckf em MPa .

2.10.3 Clculo da Armadura Transversal

A fora cortante resistente de clculo relativa trao diagonal pode ser

definida como:

swcRd VVV +=3 (2.147) sendo swV a parcela resistida pela armadura transversal.


67

Para elementos estruturais de concreto armado a parcela cV pode ter os

seguintes valores:

0=cV (2.148) para elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da

seo;

0cc VV = (2.149) na flexo simples e na flexo-trao com a linha neutra cortando a seo;

0max,

0 2)1( cSd

occ VM

MVV += (2.150)

na flexo-compresso, onde oM o valor do momento fletor que anula a tenso

normal na borda tracionada e max,SdM o momento fletor mximo solicitante no

trecho considerado.

0cV o valor de referncia para cV quando a inclinao da biela de

compresso igual a 45 , e pode ser definido como:

dbfV wctdc = 6.00 (2.151) onde:

c

ctkctd

ff

inf,= (2.152)

ctmctk ff = 7.0inf, (2.153)

32

3.0 ckctm ff = (2.154) sendo:

ctdf - resistncia de clculo do concreto trao direta;

inf,ctkf - resistncia caracterstica inferior trao do concreto;

ctmf - resistncia mdia do concreto trao direta;

ckf - resistncia caracterstica compresso do concreto.

A parcela da fora cortante resistida pela armadura transversal, swV ,

calculada pela seguinte expresso:


68

( ) cos9.0 += senfdsAV ywdswsw (2.155)

Adotando-se estribos verticais, 90= , obtm-se:

ywdsw

sw fdsA

V = 9.0 (2.156) onde:

swA - rea da seo transversal dos estribos;

- ngulo de inclinao da armadura transversal em relao ao eixo longitudinal do elemento estrutural;

s - espaamento entre elementos da armadura transversal swA ;

ywdf - resistncia de clculo ao escoamento da armadura transversal passiva.

Adota-se para a tenso na armadura transversal ywdf o valor da tenso

de escoamento ydf que no deve ser maior que MPa435 (igual tenso de

escoamento dos aos 50CA ). Logo, mesmo que o ao empregado seja o 60CA , o clculo dos estribos deve ser feito com o ao 50CA .

2.10.4 Dimensionamento da Armadura Transversal

A parcela de fora cortante resistida pela armadura transversal dada

por:

)0;max( cSdsw VVV (2.157) A armadura transversal necessria por unidade de comprimento, spmA ,

pode ser obtida a partir da eq. (2.156):

dfV

sAA

ywd

swswspm = 9.0 (2.158)


69

2.10.5 Armadura Mnima

Segundo a norma ABNT NBR 6118, 2003 [3], todos os elementos

lineares submetidos fora cortante devem conter armadura transversal mnima

constituda por estribos, com taxa geomtrica mnima:

ywk

ctm

w

swsw f

fsensb

A = 2.0min,

min, (2.159)

adotando o90= , obtm-se:

ywk

ctmwsw

ffb

sA = 2.0min, (2.160)

onde ywkf a resistncia caracterstica ao escoamento do ao da armadura

transversal.

2.10.6 Espaamento entre os Estribos

Uma vez determinada a rea dos estribos por metro de comprimento da

viga, )/( 2 mcmAspm , deve-se escolher o dimetro das barras e calcular o seu

espaamento. Utilizando-se estribos com dois ramos (estribos simples) e sendo

tA , a rea da seo da barra escolhida, o espaamento s pode ser obtido

atravs da equao:

spm

t

AA

s ,2 (2.161)

Se a rea da armadura calculada for muito grande, o emprego de estribos

simples exigir barras com dimetro elevado, o que aumenta o trabalho de

dobramento das mesmas. Neste caso pode-se adotar estribos duplos que

possuem quatro ramos, tendo, portanto, o dobro da seo dos estribos simples.

O espaamento mximo, maxs , medido ao longo do eixo da viga, segundo

a norma ABNT NBR 6118, 2003 [3], dado por:

267.0 RdSd VV mmds 3006.0max =

(2.162)


70

267.0 RdSd VV > mmds 2003.0max =

(2.163)

2.11 Decalagem e Ancoragem da Armadura Longitudinal

Para vigas de concreto armado, quando a armadura longitudinal de

trao for determinada atravs do equilbrio de esforos na seo normal ao eixo

do elemento estrutural, os efeitos provocados pelos esforos de cisalhamento

que causam a inclinao das fissuras podem ser substitudos no clculo pela

decalagem (deslocamento axial) do diagrama de armadura. Usualmente este

efeito considerado fazendo-se o lanamento da armadura longitudinal a partir

do diagrama de momentos fletores deslocado (decalado). Entretanto, o mesmo

efeito obtido quando se desloca o diagrama de armadura (Figura 2.26). Neste

trabalho, achou-se mais conveniente por questes de implementao

computacional trabalhar com a decalagem do diagrama de armadura necessria,

que para vigas sem esforo normal acompanha o diagrama de momentos

fletores (Figura 2.26). Assim, o diagrama deve ser deslocado de um

comprimento la , dado pela eq. (2.164), no sentido desfavorvel, de modo que a

rea do diagrama fique aumentada, como indicado na Figura 2.26. A figura

tambm mostra, como exemplo, o diagrama de armadura para um determinado

dimetro de barra de ao adotado no dimensionamento (armadura adotada).

la la

la la la la

Diagrama de Armadura Necessria sem decalagem Diagrama de Armadura Necessria com decalagem Diagrama de Armadura Adotada

Figura 2.26 Diagrama de armadura longitudinal deslocado de la .


71

+= cot)cot1()(2 max,

max,

csd

sdl VV

Vda (2.164)

Na eq. (2.164), max,sdV a fora cortante de clculo mxima no trecho

considerado e o ngulo de inclinao da armadura transversal. No caso de vigas com banzos paralelos, o deslocamento la pode ser considerado constante

nos trechos em que a fora cortante tem o mesmo sinal. Quando a armadura

transversal formada por estribos verticais, o90= :

dVV

Vda

csd

sdl

= )(2 max,max, (2.165)

sendo

dal 5.0 no caso geral (2.166) Depois que o diagrama de armadura longitudinal for deslocado de um

comprimento la , necessrio somar a este valor o comprimento de ancoragem

bsico bl , obtido da relao:

=cmf

fl

bd

ydb 10

104

(2.167)

sendo bdf o valor de clculo da tenso ltima de aderncia e o dimetro da barra. Neste trabalho foi considerado somente o comprimento de ancoragem

reta (sem ganchos).

O valor ltimo da tenso de aderncia de clculo, bdf , definido na

norma ABNT NBR 6118, 2003 [3] em funo da qualidade da aderncia. Considera-se em boa situao quanto aderncia os trechos das barras que

estejam em uma das posies seguintes:

com inclinao maior que 45 sobre a horizontal (no o caso deste trabalho);

horizontais ou com inclinao menor que 45 sobre a horizontal, desde que localizadas no mximo cm30 acima da face inferior da pea ou da

junta de concretagem mais prxima, quando cmh 60< ; ou desde que localizadas no mnimo cm30 abaixo da face superior do elemento ou da

junta de concretagem mais prxima, quando cmh 60 (Figura 2.27).


72

Figura 2.27 Posies de boa e de m aderncia, adaptada de ARAJO [10].

Os trechos das barras em outras posies e quando do uso de formas

deslizantes devem ser considerados em situao de m aderncia.

bdf obtido pela seguinte expresso:

ctdbd ff = 321 (2.168) com ctdf definido pela eq. (2.152) e os coeficientes definidos de acordo com a Tabela 2.2, Tabela 2.3 e Tabela 2.4:

Tabela 2.2 Valores para o coeficiente 1

Tipo de barra 1 Lisa ( 25CA ) 1.0

Entalhada ( 60CA ) 1.4 Alta aderncia ( 50CA ) 2.25


Situao de aderncia 2 Boa aderncia 1.0

M aderncia 0.7


73


Dimetro da barra (mm) 3 32 1.0 32>

100132

Considerando os valores 25.21 = (para barras nervuradas), 0.12 = (para situaes de boa aderncia) e 0.13 = (para barras com 32 mm), combinando as eq. (2.152), (2.153) e (2.154), chega-se :

3/2)(42.0 cdbd ff = , em MPa (2.169) Considerando apenas os casos usuais em que 32 mm, para as

situaes de boa aderncia, a tenso de clculo bdf dada por:

3/2)(42.0 cdbd fkf = (2.170) onde 0.1=k para barras nervuradas, 62.0=k para barras entalhadas e

44.0=k para barras lisas. Para as barras em situaes de m aderncia, a eq.(2.170) deve ser

multiplicada por 7.0 .

A nova norma ABNT NBR 6118, 2003 [3] recomenda, conforme a Figura

2.28, que na armadura longitudinal de trao dos elementos estruturais solicitados por flexo simples, o trecho de ancoragem da barra deve ter incio no

ponto A do diagrama decalado. Se a barra no for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se alm do ponto B , no mnimo 10 .


74

Figura 2.28 Cobertura da envoltria de momentos fletores, adaptada da ABNT NBR 6118, 2003 [3].

Condio A : a extremidade da barra tem que ultrapassar pelo menos bl de seu

ponto A , ponto terico de incio de sua ancoragem; Condio B : a extremidade da barra tem que ultrapassar 10 de seu ponto B , ponto terico de fim de sua ancoragem.

Conforme ser visto no prximo captulo, no presente trabalho foi

utilizada, como simplificao, a decalagem em degraus, uma vez que o objetivo

do programa desenvolvido no detalhar a armadura de uma maneira refinada,

mas sim auxiliar a verificao, apresentar uma avaliao do consumo de ao no

pr dimensionamento.


Dimensionamento de Vigas

Documents

Transcript of Dimensionamento de Vigas