Dimensionamento de um modelo simplificado de trem de pouso...
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DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO SIMPLIFICADO DE TREM DE
POUSO POR PROBABILIDADE DE FALHA
Gustavo Schiappacassa de Almeida
Projeto de Graduacao apresentado ao Curso
de Engenharia Mecanica da Escola Politecnica,
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessarios a obtencao do
tıtulo de Engenheiro.
Orientador: Fernando Pereira Duda
Rio de Janeiro
Marco de 2018
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
Departamento de Engenharia Mecnica
DEM/POLI/UFRJ
DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO SIMPLIFICADO DE TREM DE
POUSO POR PROBABILIDADE DE FALHA
Gustavo Schiappacassa de Almeida
PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO
DE ENGENHARIA MECANICA DA ESCOLA POLITECNICA DA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO DO GRAU DE
ENGENHEIRO MECANICO.
Aprovada por:
Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.
Prof. Fabio da Costa Figueiredo, D.Sc.
Prof. Daniel Alves Castello, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL
MARCO DE 2018
Schiappacassa de Almeida, Gustavo
Dimensionamento de um modelo simplificado de trem de
pouso por probabilidade de falha/ Gustavo Schiappacassa
de Almeida. – Rio de Janeiro: UFRJ/Escola Politecnica,
2018.
XI, 47 p. 29, 7cm.
Orientador: Fernando Pereira Duda
Projeto de Graduacao – UFRJ/ Escola Politecnica/
Curso de Engenharia Mecanica, 2018.
Referencias Bibliograficas: p. 38 – 39.
1. Probabilidade de Falha. 2. Dimensionamento.
3. Trem de Pouso. I. Pereira Duda, Fernando. II.
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso
de Engenharia Mecanica. III. Dimensionamento de um
modelo simplificado de trem de pouso por probabilidade
de falha.
iii
Pecam, e receberao; procurem, e
acharao; batam, e a porta sera
aberta.
Mateus 7-7
iv
Agradecimentos
Agradeco primeiramente a Deus pelo dom da vida. Agradeco a minha mae pelo
zelo com que me instruiu em minha criacao. Agradeco a minha esposa pelo seu
amor e pela paciencia em diversas noites perdidas em prol deste trabalho. Agradeco
tambem aos meus padrinhos pois as suas experiencias e contribuicoes foram fun-
damentais para revelar o quanto conhecimento eu hoje possuo. Agradeco tambem
ao departamento da engenharia mecanica pela determinacao em transmitir todo o
conhecimento disponıvel e ao secretariado do departamento e da Escola Politecnica
pois sempre se prontificaram a ajudar em qualquer momento de duvidas. E por
fim, mas nao por ultimo, agradeco todas as amizades que desenvolvi nessa jornada.
De certa forma voces tambem foram responsaveis pelo meu sucesso mantendo a
determinacao frente os desafios que enfrentamos. Obrigado!
v
Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ como
parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro Mecanico
DIMENSIONAMENTO DE UM MODELO SIMPLIFICADO DE TREM DE
POUSO POR PROBABILIDADE DE FALHA
Gustavo Schiappacassa de Almeida
Marco/2018
Orientador: Fernando Pereira Duda
Programa: Engenharia Mecanica
Usualmente na area de projeto mecanico nao se conhece com plenitude o carre-
gamento que sera imposto sobre a estrutura e conceitos como Fator de Seguranca
sao utilizados para dimensionar a resistencia de forma conservadora e sempre aten-
der o pior caso possıvel de solicitacao mecanica. Conforme sao adquiridas novas
informacoes sobre a natureza do carregamento, pode-se chegar a um nıvel de con-
fianca suficiente para que os projetos se tornem mais agressivos e, em vez de assumir
que o esforco sempre estara em seu estado maximo, considera-se todo o espectro
estatıstico de o carregamento chegar a esse ponto. Analises como essa se tornam
importantes em areas que a massa ou as dimensoes do projeto devem ser as mınimas
possıveis tal que atendam a esforco imposto e o tempo de vida previsto.
vi
Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment
of the requirements for the degree of Mechanical Engineer
PROBABILISTIC DESIGN OF A SIMPLIFIED LANDING GEAR
Gustavo Schiappacassa de Almeida
March/2018
Advisor: Fernando Pereira Duda
Department: Mechanical Engineering
At mechanical design is not usual to have all the information about the imposing
structural loading and, to bypass that issue, safety factors are used to design a
conservative resistance due to the uncertainty on the loading side. As knowledge
accumulates, the projects tend to become more aggressive and instead using one
most critical point of loading they pass to consider all the statistical spectrum of that
variable. Such analysis have main applicability in scenarios that require maximum
optimization of dimensions and weight while still attending to its mission.
vii
Sumario
Lista de Figuras ix
Lista de Tabelas xi
1 Introducao 1
1.1 Organizacao da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Metodologia 7
2.1 Falha Estrutural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Carga Estatica Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Segundo Teorema de Castigliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Flambagem Lateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Distibuicao Estocastica de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 FORM - First Order Reliability Model . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Resultados e Discussoes 26
3.1 Caso Unidimensional: Velocidade Estocastica . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Caso Geral: Espaco de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Analise de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Consideracoes Finais 37
4.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Referencias Bibliograficas 38
A Codigo Fonte 40
viii
Lista de Figuras
1.1 Parque Eolico de 150MW em Osorio/RS . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Trem de Pouso Principal - Boeing 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Modelo de Trem de Pouso Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Representacao do Trem de Pouso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Fluxo da Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Limites entre as regioes Segura e de Falha . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Espaco de Estados de Falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 (a) corresponde ao estado nulo, (b) e (c) sao configuracoes inter-
mediarias, (c) estado de maxima deformacao, (e) configuracao final . 11
2.5 Diagrama de corpo livre para metade do trem de pouso . . . . . . . . 14
2.6 Diagrama de momento fletor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.7 Fator de impacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.8 Tensoes Normais devido a esforcos de flexao . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Tensao equivalente maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.10 Flambagem lateral, retirada de [1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.11 Comparacao - Carga Crıtica de Flambagem x Carga Estatica Equi-
valente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.12 Distribuicao Estatıstica de Velocidades de Pouso . . . . . . . . . . . . 21
2.13 Espaco Probabilıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.14 Transformacao de Nataf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.15 Fluxo de determinacao do MPP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.1 Distribuicao de Velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Grafico de Velocidade Crıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Espessura de Projeto - Fibra de Carbono . . . . . . . . . . . . . . . . 28
ix
3.4 Espessura de Projeto - AISI 1045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Espessura de Projeto - AISI 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.6 Espessura de Projeto - Alumınio 3005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.7 Funcao G - Exemplo (E = 90 GPa) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.8 Distribuicao Esperada para o Limite de Escoamento . . . . . . . . . . 33
3.9 Reducao Percentual de Espessura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
x
Lista de Tabelas
1.1 Tabela de Propriedades Mecanicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1 Tabela de coeficientes de flambagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Tabela de Materiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% - Unidimensional 31
3.3 Ajuste do Limite de Escoamento Fabril . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% - Multidimensi-
onal (FORM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Comparacao entre os Resultados Obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.6 Tabela de Sensibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
xi
Capıtulo 1
Introducao
Os sistemas mecanicos reais normalmente estao sujeitos esforcos que mudam de
intensidade e direcao em alguma escala de tempo e a violencia com que isso ocorre
depende principalmente do cenario ao qual o sistema faz parte. Como exemplo do
amplo espectro de cargas variaveis, existem dois casos tıpicos: Rotores de Turbinas
Eolicas e Trens de Pouso Aeronauticos.
Figura 1.1: Parque Eolico de 150MW em Osorio/RS
Como apresentado por [2], no primeiro caso, as variacoes esperadas de carga
acontecem em perıodos de horas, podendo existir eventualmente alguma variacao
mais abrupta por condicoes climaticas adversas. E, dessa forma, pode-se considerar
que a carga e aplicada de maneira quasi-estatica, i.e., ao se observar apenas uma
pequena janela de tempo, a carga parece nao variar.
Enquanto o segundo caso, devido a sua natureza agressiva do pouso, exige que o
1
Figura 1.2: Trem de Pouso Principal - Boeing 787
trem de pouso resista a inercia do aviao se aproximando da pista a uma velocidade
vertical em torno de 2 m/s e o leve ao equilıbrio estatico em poucos segundos.
Essa variacao abrupta de esforco se caracteriza como um sistema de cargas
dinamicas em que outros fatores devem ser levados em conta, por exemplo a inercia
de todos os corpos envolvidos. Como a solucao dinamica passa por uma serie de
complexidades, usualmente o projeto de estruturas contorna esse problema definindo
Cargas Estaticas Equivalentes, i.e., cargas que, quando aplicadas estaticamente, le-
variam o corpo resistivo a mesma configuracao obtida quando sujeito ao impacto.
2
1.1 Organizacao da Tese
No capıtulo 1 estao presentes o objetivo geral do trabalho e o contexto de forma a
identificar o ponto de partida e os resultados esperados.
Para o capıtulo 2, foi descrita toda a metodologia empregada para atingir os
objivos identificados. Este comeca com uma breve revisao sobre falha estrutural,
apresenta uma forma de dimensionar a carga de impacto atraves do conceito de
carga estatica equivalente, descreve o segundo teorema de Castigliano para obter
alguns parametros importantes para a analise e logo depois introduz o conceito
de flambagem lateral como requisito de projeto. Ainda dentro do capıtulo 2 sao
encontradas duas metodologias estatısticas para definir a probabilidade de falha de
um sistema especıfico.
Ja no capıtulo 3, sao apresentados os resultados para as duas metodologias iden-
tificadas fazendo uma avaliacao tambem da espessura resistiva necessaria para cada
material selecionado.
Por fim, no capıtudo 4 podem ser encontradas sugestoes para trabalhos futuros
com o objetivo de ajustar o metodo proposto atraves de coleta de dados de telemetria
e realizacao de ensaios fısicos.
Um programa em Python foi desenvolvido para levantar os resultados nos diver-
sos cenarios possıveis e seu codigo fonte se encontra no anexo deste trabalho.
3
1.2 Objetivo
Com esse trabalho deseja-se realizar o dimensionamento de um modelo simplificado
de trem de pouso nao pelo metodo comum com a utilizacao de fatores de seguranca
mas sim utilizando todo o conhecimento disponıvel sobre o intervalo de possıveis
velocidades verticais de pouso de um aviao para entao definir a probabilidade do
trem de pouso falhar em cada pouso. Esse metodo permitiria tanto o projeto de uma
estrutura arriscada (probabilidade de 1 falha a cada 5 voos) quanto de estruturas
conservadoras (probabilidade de falha ≈ 1× 10−2).
4
1.3 Contexto
Como forma de demonstrar a metodologia, sera realizado um estudo de caso baseado
no modelo de trem de pouso utilizado pela equipe Aerodesign da UFRJ na com-
peticao de 2015 mostrado na figura 1.3. Tal aplicacao requer um projeto arriscado
e, sendo assim, os algoritmos que serao descritos no proximo capıtulo terao como
alvo a probabilidade de falha de 20%.
Figura 1.3: Modelo de Trem de Pouso Principal
A massa total tıpica da aeronave varia em torno de 14kg e esse sera o valor
considerado para avaliar o carregamento de impacto imposto durante o pouso. Para
efeitos praticos, as rodas serao consideradas elementos rıgidos que irao transmitir
integralmente as cargas do solo para a estrutura e diversos materiais serao utilizados
para estudo de caso com propriedades segundo a tabela 1.1 obtido de [3] e [4].
5
Para comparar a aplicacao dos diversos materiais, sera determinada a espessura
resistiva adequada para cada um destes de modo a resultar em uma probabilidade
de falha de 20% e assim a massa total da estrutura estara determinada atraves do
volume total de material e sua massa especıfica.
Tabela 1.1: Tabela de Propriedades Mecanicas
MaterialLimite de
Escoamento (MPa)
Modulo de
Elasticidade (GPa)
Modulo de
Cisalhamento (GPa)
Massa
Especıfica (g/cm3)
Aco AISI 1020 350 186 72 7.87
Aco AISI 1045 450 206 80 7.87
Alumınio 3005-H18 225 69 26 2.73
Fibra de Carbono +
Resina Epoxi600 70 5 1.60
Com o objetivo de simplificacao, a estrutura do trem de pouso sera considerada
conforme figura 1.4 como sendo uma barra esbelta de secao transversal retangular
com dimensoes b e h e simetria em s.
Figura 1.4: Representacao do Trem de Pouso
6
Capıtulo 2
Metodologia
Para atacar o problema proposto, serao combinados conceitos de Carga Estatica
Equivalente − para simplificar o problema de impacto considerando a solicitacao de
carga imposta equivalente a maxima deflexao do corpo − e de Estatıstica − para
descrever a velocidade nao como um valor limıtrofe mas sim como uma regiao de
probabilidades assim como alguns outros parametros que podem ter variabilidade
decorrente da fabricacao do componente.
Figura 2.1: Fluxo da Metodologia
7
2.1 Falha Estrutural
Em engenharia de estruturas, existem diversos tipos de falha porem dois desses sao
mais importantes no contexto do problema: o colapso e a falha de servicibilidade.
O primeiro exige que as cargas no corpo atinjam valores superiores aos toleraveis,
desencadeando o seu colapso total. Ja o segundo tipo de falha e mais sutil quando,
apesar de as cargas estarem dentro do aceitavel pela estrutura, o sistema nao atende
requisitos de usabilidade, como por exemplo o balanco excessivo de um predio co-
mercial.
Como o objetivo e definir a geometria resistiva de um trem de pouso, seus requi-
sitos sao:
1. Nao ocorrer plastificacao durante o pouso.
2. Restricao de maxima deformacao elastica.
Caracterizando portanto dois modos de falha admissıveis. Pode-se definir limites
e uma funcao de falha hipotetica G(X) para cada um dos requisitos que e positiva
se os valores estao dentro do aceitavel e negativa caso contrario.
G = LimiteAdmissivel − V alorAtual
Dessa maneira, em um caso multidimensional, poderiam existir regioes de falha
e regioes seguras, i.e., quando a funcao G e maior do que zero e o comportamento
esta dentro do aceitavel. A figura 2.2 ilustra este conceito.
8
Figura 2.2: Limites entre as regioes Segura e de Falha
De forma geral, se houverem mais de um criterio de falha, a probabilidade de
falha global poderia ser avaliada como uma uniao das regioes de falha para cada um
dos criterios. Assumir que as regioes sao independentes leva ao calculo superesti-
mado da probabilidade de falha que depende do grau de intersecao entre elas.
Figura 2.3: Espaco de Estados de Falha
9
Para julgar os dois requisitos de projeto, poderiam ser definidas duas funcoes
de falha, G1 e G2, que correspondem as falhas de plastificacao e de deformacao
excessiva respectivamente. Porem, para efeitos de simplificacao no contexto deste
trabalho, apenas a falha por plastificacao sera analisada considerando uma funcao de
falha. Apos determinacao da espessura resistiva, e verificado se a deflexao admitida
pela estrutura e superior ao limite definido em 8mm de deflexao maxima. Caso esse
limite seja excedido, uma nova espessura sera definida de forma a atender o requisito
de deflexao maxima.
10
2.2 Carga Estatica Equivalente
Durante o projeto de sistemas que estao sujeitos a cargas que variam rapidamente
com o tempo deve-se levar em consideracao ondas de tensao que se propagam pelo
corpo e o efeito da interacao entre a frequencia de aplicacao da carga e a frequencia
natural do sistema. Porem, em projetos usuais, existe a opcao de calcular uma carga
estatica equivalente que emula a configuracao em que o corpo e mais solicitado. Para
esse estudo, a carga nao tem variacao com o tempo, porem a sua aplicacao e repen-
tina e isso gera tensoes maiores do que caso a carga fosse aplicada estaticamente.
Esse efeito e explorado na figura 2.4.
Para um corpo elastico, a aplicacao repentina da carga P (por exemplo a queda de
uma massa) causara deformacoes alem da que seria alcancada na aplicacao estatica
de P ate que a energia de movimento seja dissipada e o corpo assuma sua con-
figuracao final. Para obter a tensao maxima que ocorre durante esse movimento,
deve-se encontrar as cargas que aplicadas quasi-estaticamente produziriam a mesma
configuracao do corpo em sua deflecao maxima (momento em que todos os elementos
diferenciais de massa estarao com velocidade nula).
Figura 2.4: (a) corresponde ao estado nulo, (b) e (c) sao configuracoes
intermediarias, (c) estado de maxima deformacao, (e) configuracao final
11
Pode-se assumir que existe um fator multiplicativo φ que permite relacionar a
deflexao δ′
obtida durante a aplicacao repentina da carga com a deflexao estatica e,
por consequencia, relaciona tambem a carga estatica equivalente PEE com a carga
P original [5].
δ′= φ δest (2.1)
PEE = φ P (2.2)
Para que as relacoes 2.1 e 2.2 sejam verdadeiras e importante que o sistema
atenda as seguintes hipoteses durante a aplicacao dinamica de P :
(1) A carga P acompanha a deflexao δ′
(2) O material continua atendendo a lei de elasticidade de Hooke durante todo o
movimento.
(3) A transmissao internas das cargas e instantanea.
Durante a aplicacao estatica, o trabalho realizado sobre o corpo e obtido por:
West =P δest
2(2.3)
Porem, com a aplicacao repentina, na deflexao maxima, o corpo tera absorvido
o trabalho WP realizado pela carga P enquanto o corpo se deforma ate a deflexao δ′
maior que a deflexao estatica, somado a energia cinetica Wcin da massa que impoe
a carga:
Wtotal = WP +Wcin
Wtotal = P δ′+Wcin
12
Como deseja-se obter a carga PEE que, aplicada estaticamente, produziria a
mesma deflexao δ′, o trabalho total absorvido pode ser substituido por um trabalho
estatico equivalente:
PEE δ′
2= Pδ
′+Wcin
Utilizando as relacoes 2.7 e 2.2 e tendo em mente a equacao 2.3, pode-se resolver
o sistema para φ:
PEE δ′
2= Pδ
′+Wcin
φ2 P δest2
= φ Pδest +Wcin
φ2 West = 2φ West +Wcin
φ2 − 2φ− Wcin
West
= 0 (2.4)
A equacao 2.4 teria duas solucoes reais porem uma delas levaria a valores absur-
dos de φ, i.e., conforme a energia cinetica no impacto aumentasse, o fator multipli-
cativo se reduziria podendo chegar a valores negativos. Desse modo, a unica solucao
possıvel para φ e:
φ = 1 +
√1 +
Wcin
West
(2.5)
Em posse da equacao 2.5, pode-se relacionar o valor da carga estatica equivalente
PEE com a carga estatica original P e, por consequencia, obter a tensao estatica
equivalente na secao mais solicitada do corpo, bastando apenas descrever o trabalho
estatico West.
13
2.3 Segundo Teorema de Castigliano
Considerando a simetria inerente ao problema, o corpo em questao pode ser apro-
ximado por uma viga conforme figura 2.5, tal que a carga P aplicada na sua ex-
tremidade e equivalente a forca Peso de metade da massa da aeronave. Existe um
apoio no ponto a que e referente a forma que e feita a fixacao do trem de pouso,
restringindo movimentos relativos de translacao e permitindo a passagem de esforcos
de flexao.
Figura 2.5: Diagrama de corpo livre para metade do trem de pouso
O segundo teorema de castigliano [6] permite avaliar a deflexao estatica δest do
ponto C (ponto de aplicacao da carga P) que tambem sera o local onde se dara a
maxima deflexao do corpo e este valor pode entao ser definido como um requisito
de projeto.
qi =∂U
∂Qi
West =
∫ L
0
M2
2EIdx = UAB + UBC
West =P 2
2EI
[ ∫ l
0
(L− l)2dx+
∫ L
l
(L− x)2dx]
West =P 2
2EI
[2l3
3− Ll2 +
L3
3
](2.6)
14
Figura 2.6: Diagrama de momento fletor
δest =∂West
∂P=
P
EI
[2l3
3− Ll2 +
L3
3
](2.7)
A equacao 2.7 permite avaliar a maxima deflexao admitida na aplicacao estatica
da carga P considerando a posicao do apoio B. Porem, como descrito na secao
2.2, para encontrar a deflexao obtida na aplicacao repentina da carga P, esse valor
deve ser multiplicado pelo fator dinamico φ. Fator este que ja pode ser calculado
utilizando o valor de energia absorvida pela estrutura a partir da equacao 2.6 e
energia cinetica da massa m calculada por 2.8, onde v e a sua velocidade de impacto.
A figura 2.7 apresenta o resultado de φ variando a espessura h considerando dois
valores de modulo de elasticidade.
Wcin =mv2
2(2.8)
De posse dos valores calculados de φ, e possıvel encontrar os valores de tensao
assumidos ao longo da estrutura com a aplicacao repentina da carga P , porem a
secao mais solicitada deve ser determinada para comparacao com o valor limitante
de tensao maxima, nesse caso o limite de escoamento do material.
15
Figura 2.7: Fator de impacto
Conforme demostrado por [7], para uma determinada secao da estrutura, a tensao
em um elemento de area dA e maior quanto mais afastado o elemento estiver da linha
neutra, assumindo o maior valor possıvel nas extremidades da secao, obtido atraves
da equacao 2.9, onde M e o momento fletor da secao e Iz e o momento de inercia
de area ao redor do eixo z.
σx =M h
2 Iz(2.9)
Figura 2.8: Tensoes Normais devido a esforcos de flexao
16
Combinado com o esforco cortante, a tensao equivalente no ponto B (regiao mais
solicitada) pode ser calculada pelo criterio de maxima energia de distorcao (Mises)
segundo a equacao 2.10, que descreve a tensao obtida na aplicacao estatica da carga
P .
σ2eq = σ2
x + 3 τ 2yz
σx =
√(M h
2 Iz
)2
+ 3
(P
A
)2
(2.10)
Atraves da multiplicacao com o fator dinamico detalhado na figura 2.7, a tensao
equivalente assumida com a aplicacao repentina da carga e encontrada e pode enfim
ser comparada com o valor de limite de escoamento do material em questao. A
figura 2.9 apresenta a variacao da tensao maxima com o aumento da espessura h
para tres casos: 1) estatico, 2) dinamico com modulo de Young de 90 GPa e 3)
dinamico com modulo de Young de 180 GPa.
Figura 2.9: Tensao equivalente maxima
17
2.4 Flambagem Lateral
A otimizacao deliberada da secao transversal da estrutura poderia levar ao extremo
de valores de h muito superiores a dimensao de b com o objetivo de aumentar a
resistencia ao esforco de flexao.
Uma esbeltez acentuada acarretaria problemas com flambagem lateral da barra
devido a instabilidade entre os momentos de inercia da secao e um pequeno momento
de inercia polar. E importante notar que somente a regiao BC da viga 2.5 estaria
propensa a flambagem lateral, pois o apoio limitaria o deslocamento do ponto B nas
tres direcoes cartesianas.
Figura 2.10: Flambagem lateral, retirada de [1]
O conceito de flambagem lateral foi estudado por [1] que deduziu o metodo para
calcular a forca crıtica Fcrit que, aplicada na extremidade da viga, desencadearia a
instabilidade.
Fcrit =4.013
(L− l)2√EIyC (2.11)
Iy =h b3
12
18
C = Gβ a c3
A equacao 2.11 considera uma secao transversal retangular e depende de
parametros geometricos e da rigidez torcional da secao (C) que pode ser calculada
utilizando os fatores tabelados em 2.1 retirados de [1], onde a e c sao as dimensoes
maior e menor respectivamente da area resistiva.
Tabela 2.1: Tabela de coeficientes de flambagem
ac
1.0 1.5 1.75 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ∞
α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
Para minimizar os efeitos de instabilidade no problema, a dimensao de b foi
fixada em 10mm. A dimensao de h foi mantida variavel para efetivamente definir a
area resistiva que levaria ao valor de probabilidade de falha (PF) escolhido e, apos
sua determinacao, e verificado se FEE (phi× Fest) e inferior a Fcrit.
O grafico 2.11 ilustra a evolucao da Fcrit e FEE conforme a dimensao h e au-
mentada mostrando que os efeitos de flambagem so sao releventes com espessuras
suficientemente pequenas quando comparadas com a dimensao da largura b fixada
em 10 mm. As curvas foram geradas considerando um modulo de elasticidade de
90GPa, modulo de cisalhamento de 20GPa e velocidade de impacto de 3m/s.
19
Figura 2.11: Comparacao - Carga Crıtica de Flambagem x Carga Estatica
Equivalente
20
2.5 Distibuicao Estocastica de Velocidade
Para o procedimento de pouso, a velocidade vertical pode variar dependendo de
diversos fatores como a carga total da aeronave, as condicoes climaticas da regiao,
entre outros.
Porem ela usualmente respeita uma faixa aceitavel de tolerancia e, caso fosse
possıvel conhecer as frequencias com que cada velocidade de pouso ocorre, pode-se
inferir a hipotese de que a velocidade vertical segue uma distribuicao estatıstica, por
exemplo uma distribuicao Normal com media (v) e desvio-padrao (sv) estimados a
partir da amostra de dados.
No caso em que somente a velocidade e uma variavel estocastica e todos os
outros parametros de entrada sao determinısticos, definir a probabilidade de falha
do sistema assume o seguinte procedimento:
(1) Encontrar a velocidade crıtica Vcrit tal que a probabilidade de a velocidade
assumir um valor acima deste seja igual ao alvo de probabilidade de falha do
projeto: Vcrit = V tal que P (v >= V ) = Pf−alvo.
(2) Definir a espessura h tal que qualquer qualquer valor acima de Vcrit levaria a
falha por plastificacao.
Figura 2.12: Distribuicao Estatıstica de Velocidades de Pouso
Conhecida a probabilidade de a velocidade assumir valores maiores que o valor
crıtico atraves da funcao de distribuicao acumulada, fica tambem determinado a
probabilidade de o sistema atingir um modo de falha.
21
Como a funcao de falha G e caracterizada pela diferenca entre resistencia e
carregamento, a velocidade crıtica pode ser ajustada para alcancar o valor desejado
da confiabilidade de projeto.
22
2.6 FORM - First Order Reliability Model
Alguns casos reais de engenharia permitem assumir aleatoriedade apenas em uma
variavel mais relevante. Porem, existem situacoes onde essa abordagem pode nao
ser recomendada por acarretar perda na precisao de estimativa de confiabilidade.
Diversos metodos estatısticos permitem avaliar a confiabilidade de sistemas con-
siderando aleatoriedade multilinear, como exemplo simulacoes de MonteCarlo [8],
Hipercubo Latino [9] e o Metodo de Confibilidade de Primeira Ordem (em ingles,
FORM) [10], [11]. Somente este ultimo sera detalhado no contexto do trabalho.
O metodo FORM define que existem uma regiao de falha delimitada por uma
funcao F(X) tal que qualquer valor em F(X) retorna um valor nulo na funcao de
falha G(X), i.e., o sistema estaria na iminencia de falha.
Somente quando essas consideracoes sao levadas para o espaco probabilıstico
que se pode avaliar a expectativa ocorrer uma falha baseado nas distribuicoes de
probabilidade das variaveis aleatorias.
Figura 2.13: Espaco Probabilıstico
Baseado nesse espaco probabilıstico, existe um ponto mais provavel (MPP) onde
23
F(X) esta mais proxima do valor medio das variaveis. Entao para simplificacao essa
funcao F(X) e aproximada por uma funcao linear L(X) no ponto MPP que, por
estar mais proximo ao valor medio, e o ponto que tem maior significancia para a
linearizacao e gera menor erro na estimativa da confiabilidade por aproximacao.
Figura 2.14: Transformacao de Nataf
Para encontrar o ponto mais provavel, e preciso recorrer ao metodo iterativo.
Como seria complicado avaliar a inclinacao da reta no espaco de estado original,
e feita uma transformacao segundo equacao 2.12 para o espaco de distribuicoes
normais padrao, i.e., com media nula e desvio padrao igual a unidade, chamada de
Transformacao de Nataf [12]. Dessa forma os cortes de isoprobabilidade se tornam
cırculos (ou esferas para maiores dimensoes) concentricos como a figura 2.14.
U =X − µσ
(2.12)
F (U) ≈ L(U) = G(up) +∇G(up)(u∗ − up)
24
Como o MPP e o ponto mais proximo da origem no espaco U, o procedimento
para determinar sua localizacao e encontrar o ponto pertencente a reta L(U) que
minimiza a distancia β = ‖up‖, onde up denota o vetor do ponto mais provavel.
E, ao final, a probabilidade de falha pode ser determinada por Φ(−β), onde Φ e a
funcao cumulativa de probabilidade.
Para favorecer a otimizacao, o vetor u∗ e atualizado baseado no impacto que
cada variavel tem no gradiente de G(u∗) — atraves da variavel a — ate que o erro
definido esteja seja suficientemente baixo. O fluxo completo esta demonstrado na
figura 2.15.
Figura 2.15: Fluxo de determinacao do MPP
25
Capıtulo 3
Resultados e Discussoes
3.1 Caso Unidimensional: Velocidade Estocastica
Assumindo que o limite de escoamento e completamente determinado para cada
material avaliado e somente a velocidade de impacto e uma variavel estatıstica,
o metodo para obter a espessura tal que a probabilidade de falha atinja o valor
desejado e o mesmo descrito na secao 2.5. Considerando uma distribuicao normal
para a velocidade com media igual a 1 m/s e desvio padrao a 0.2 m/s, seu grafico
de densidade de probabilidade assume a forma descrita pela figura 3.1. Ja o grafico
3.2 apresenta a probabilidade de falha alvo para cada velocidade de projeto.
Figura 3.1: Distribuicao de Velocidade
26
Figura 3.2: Grafico de Velocidade Crıtica
Foram levantados graficos para cada material listado representando a espessura
h necessaria para garantir a probabilidade de falha definida. A massa final (m)
do trem de pouso pode ser calculada utilizando o volume de material e sua massa
especıfica (ρ). Como a geometria do trem de pouso e de um retangulo de secao bxh
extrudado em 2L = 300mm seguindo a equacao 3.1.
m = 2L.b.h.ρ (3.1)
27
Tabela 3.1: Tabela de Materiais
MaterialLimite de
Escoamento (MPa)
Modulo de
Elasticidade (GPa)
Modulo de
Cisalhamento (GPa)
Massa
Especıfica (g/cc)
Fibra de
Carbono600 70 5 1.6
Aco AISI 1045 450 206 80 7.87
Aco AISI 1020 350 186 72 7.87
Alumınio
3005-H18225 69 26 2.73
Figura 3.3: Espessura de Projeto - Fibra de Carbono
28
Figura 3.4: Espessura de Projeto - AISI 1045
Figura 3.5: Espessura de Projeto - AISI 1020
29
Figura 3.6: Espessura de Projeto - Alumınio 3005
Para comparacao entre os materiais, foi definido uma probabilidade de falha
especificada em 20%, porem atendendendo ainda aos requisitos de deflexao maxima
em 8mm e flambagem lateral. Por exemplo, o material de fibra de carbono nao pode
ser completamente otimizado pela restricao de deformacao plastica pois antes disso
atingiu o limite da deflexao maxima e a espessura passou a ser determinada apenas
pelo ultimo requisito, resultando em uma probabilidade de falha por plasticidade
menor do que 20%.
30
Tabela 3.2: Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% - Unidimensional
MaterialEspessura
h (mm)
Probabilidade de
Falha Plastica
Deflexao Estatica
(mm)
Fator de Impacto
Maximo (phi max)
Deflexao
Dinamica Maxima
(deflexao*phi max)
Massa
Total (g)
Fibra de
Carbono12.7 0.03% 0.292 27.36 8.000 60.9
Aco AISI 1045 29.1 20% 0.008 157.86 1.302 687.1
Aco AISI 1020 43.9 20% 0.003 277.43 0.737 1036.5
Alumınio
3005-H1839.5 20% 0.010 144.63 1.422 323.5
31
3.2 Caso Geral: Espaco de Estado
A metodologia FORM descrita na secao 2.6 permite considerar mais de uma variavel
aleatoria para avaliacao da probabilidade de falha de um sistema atraves da funcao
G(X) que delimita regioes seguras (G > 0) e regioes de falha (G < 0). Como
exemplo, a figura 3.7 apresenta a funcao avaliada variando o limite de escoamento
e velocidade considerando um modulo de elasticidade de 90 GPa.
Figura 3.7: Funcao G - Exemplo (E = 90 GPa)
A principal vantagem de empregar esse metodo ocorre em casos que a resistencia
(limite de escoamento) nao pode ser determinado e seria necessario utilizar o infor-
mado pelo fabricante do material. Os fabricantes, por sua vez, definem um valor de
resistencia que pode ser garantido com certa seguranca pois existe uma certa varia-
bilidade devido o proprio processo produtivo. A forma de definir esse valor garantido
pode passar por um levantamento dos dados historicos de producao e encontrar um
valor tal que apenas α% dos resultados estejam abaixo desse valor.
Dessa forma, para demonstrar o efeito que essas hipoteses tem no valor final
da espessura de projeto, foi considerado que os valores de limite de escoamento
informados na tabela 3.1 na verdade sao os valores tal que para uma distribuicao
normal com desvio-padrao de 10 MPa, haveria uma chance de 2% dos resultados
assumirem um valor abaixo deste. A tabela 3.3 apresenta como fica o resultado
medio para o limite de escoamento de cada produto.
32
Figura 3.8: Distribuicao Esperada para o Limite de Escoamento
Tabela 3.3: Ajuste do Limite de Escoamento Fabril
MaterialFy Inferior (MPa)
(α = 2%)
Fy Medio
(MPa)
Fy Superior (MPa)
(α = 98%)
Fibra de Carbono 600 621 641
Aco AISI 1045 450 471 491
Aco AISI 1020 350 371 391
Alumınio 3005-H18 225 246 266
Para comparacao entre os materiais, foi utilizada um alvo de probabilidade de
falha em 20%. Assim como no caso de apenas a velocidade como variavel estatıstica,
o material composto de fibra de carbono atingiu primeiramente o requisito de de-
flexao maxima, por conta de seu baixo modulo de escoamento em comparacao com
os outros materiais.
Tabela 3.4: Resultados para Probabilidade de Falha alvo de 20% -
Multidimensional (FORM)
MaterialEspessura h
(mm)
Probabilidade de
Falha Plastica
Deflexao Estatica
(mm)
Fator de Impacto
Maximo (phi max)
Deflexao
Dinamica Maxima
(deflexao*phi max)
Massa
Total (g)
Fibra de
Carbono12.7 0.004% 0.292 27.36 8.000 60.9
Aco AISI 1045 26.6 20% 0.011 138.64 1.485 629.0
Aco AISI 1020 39.1 20% 0.004 233.51 0.876 923.1
Alumınio
3005-H1833.3 20% 0.016 112.45 1.837 273.0
33
De posse dos valores da tabela 3.4, e possıvel compara-los com os resultados
obtidos na ultima secao. Para todos os materiais avaliados a espessura necesaria
foi reduzida com o uso do FORM. Isso pode ser explicado pela consideracao que o
limite de escoamento nao ser mais limitado a um unico valor seguro pelo lado do
fabricante do material, mas sim uma faixa dos valores reais obtidos historicamente.
Aquele que apresentou maior variacao foi o Alumınio 3005, de certa forma explicado
pelo impacto do criterio de ajuste de limite de escoamento fabril, onde este obteve
o maior aumento percentual em relacao ao seu valor original.
Tabela 3.5: Comparacao entre os Resultados Obtidos
MaterialFORM:
Espessura h (mm)
Unidimensional:
Espessura h (mm)
Diferenca
Percentual
Fibra de Carbono 12.7 12.7 0%
Aco AISI 1045 26.6 29.1 -8%
Aco AISI 1020 39.1 43.9 -11%
Alumınio 3005-H18 33.3 39.5 -16%
Figura 3.9: Reducao Percentual de Espessura
34
3.3 Analise de Sensibilidade
Uma das possibilidades da metodologia e verificar o nıvel de importancia de cada
variavel aleatoria para o valor final da probabilidade de falha. Essa analise pode ser
conduzida para os parametros da distribuicao estatıstica. No caso de uma distri-
buicao normal, os seus dois parametros descritivos (media e desvio padrao) podem
ser avaliados por um metodo detalhado em [13].
O objetivo e encontrar a sensibilidade sp da probabilidade de falha com relacao
a cada parametro p de cada variavel aleatoria Xi, como descrito na equacao 3.2.
sp =∂pf∂p
(3.2)
Para o caso especıfico de que as variaveis aleatorias assumam distribuicao nor-
mal, a sensibilidade para o valor medio e desvio padrao da variavel sao 3.3 e 3.4
respectivamente, onde u∗i e a projecao do vetor u do MPP na dimensao da variavel
Xi.
sµi = Φ(−β)u∗iσi β
(3.3)
sσi = Φ(−β)(u∗i )
2
σi β(3.4)
Tabela 3.6: Tabela de Sensibilidade
Sensibilidade fy
(1/MPa)
Sensibilidade v
(1/(m.s−1))
Valor Medio -5.09E-03 9.67E-01
Desvio Padrao 1.09E-03 7.87E-01
35
A partir da tabela 3.6, gerada considerando o modulo de elasticidade em 70 GPa
e limite de escoamento medio em 225 MPa, e possıvel identificar tres caracterısticas:
1. O resultado negativo da sensibilidade do valor medio de limite de escoamento
indica que com o aumento desse valor medio, a probabilidade de falha seria
reduzida; o que e condizente com o comportamento esperado.
2. Para uma cada variavel aleatoria, as sensibilidades com respeito ao seu valor
medio e ao seu desvio padrao tem a mesma ordem de grandeza.
3. A sensibilidade com relacao ao valor medio de velocidade tem ordem de gran-
deza duas vezes maior (valor aproximadamente 200 vezes maior) do que em
relacao ao valor medio do limite de escoamento no sistema de unidades ado-
tado.
Essa diferenca de ordem de grandeza pode ser ajustado atraves da re-
ferencia/sistema de unidades utilizado para calculo da sensibilidade. Entao, de
forma aproximada, e possıvel afirmar que a diminuicao da media de velocidade em
0.1 m/s seria equivalente a aumentar o limite de escoamento do material em 20
MPa.
36
Capıtulo 4
Consideracoes Finais
4.1 Trabalhos Futuros
A teoria de Carga Estatica Equivalente possibilitou a determinacao da relacao en-
tre velocidade de impacto e todas as restricoes de um projeto de trem de pouso.
Porem, ela e por natureza conservadora, uma vez que nao e admitida dissipacao
de energia enquanto a carga esta sendo aplicada dinamicamente. Uma alternativa
para quantificar a dissipacao de energia seria atraves de experimentos fısicos reais
com o impacto de uma massa calibrada na extremidade do trem de pouso, afericao
da deflexao maxima admitida no teste e posterior comparacao com o esperado pela
teoria de Carga Estatica Equivalente.
A propria velocidade de impacto se mostrou um fator importante (atraves da
analise de sensibilidade) para definir com precisao a probabilidade de falha de um
projeto. Existem duas propriedades a se verificar: (1) A forma da distribuicao es-
tatıstica (i.e., se o historico de velocidade realmente segue uma distribuicao normal
ou pode se adequar a outra distribuicao — gama, por exemplo) e (2) Os parametros
descritivos dessa distribuicao estatıstica. Para esse trabalho foram utilizados uma
referencia historica de velocidades porem dada a alta sensibilidade da probabilidade
de falha com relacao ao valor da velocidade, e recomendado que esses valores se-
jam validados atraves de telemetria, por exemplo; contribuindo efetivamente para a
definicao precisa da probabilidade de falha real.
37
Referencias Bibliograficas
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sado: 20-12-2017.
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//www.labciv.eng.uerj.br/rm4/files/cap_4.pdf.
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Structural Design. 1st ed. Springer, 2006.
38
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[11] AYYUB, BILAL M.; MCCUEN, R. H., Probability, Statistics, and Reliability
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[14] SEUNG-KYUM CHOI, R. V. G., CANFIELD, R. A., Reliability-based Struc-
tural Design. v. 1. Springer, 2006.
39
Apendice A
Codigo Fonte
import numpy as np
from scipy import stats
import scipy as scy
import xlwings as xw
#X = [fy, v]
material_base = {"carbon":[600., 70.E3, 5.E3, 1.6],
"steel1020":[350., 186.E3, 72.E3, 7.87],
"aluminium3005":[225., 69.E3, 26.E3, 2.73],
"steel1045":[450., 206.E3, 80.E3, 7.87]}↪→
#material = [Mpa fy, E, G, rho g/cc]
max_deflex = 8 #mm
#g = 9.81 #m/s2
M_total = 14. #kg
m = M_total / 2
P = 9.81 * m
L = 150. #mm
l = 80. #mm
b = 10. #mm
40
pf = 0.2
n_gus=3
a = ['carbon', 'steel1045', 'steel1020', 'aluminium3005']
material_x = a[n_gus]
E = material_base[material_x][1]
G = material_base[material_x][2]
rho = material_base[material_x][3]
fy = np.array([material_base[material_x][0], 10.]) #MPa
v = np.array([1., 0.2]) #m/s
def mass(h):
#grams
return A(h)*L*2*rho/1000
def A(h):
return h*b
def I(h):
#I_x
return b*h**3 / 12
def C(h):
#rigidez torcional
#tabela: [ b/c, alpha, beta]
41
table = [[1.00, 1.50, 1.75, 2.00, 2.50, 3.00, 4.00,
6.00, 8.00, 10.00, 100],
[0.208, 0.231, 0.239, 0.246, 0.258, 0.267,
0.282, 0.299, 0.307, 0.313, 0.333],
[0.141, 0.196, 0.214, 0.229, 0.249, 0.263,
0.281, 0.299, 0.307, 0.313, 0.333]]
ratio = max([b, h]) / min([b, h])
beta = np.interp(ratio, table[0], table[2])
return G*beta*max([b, h])*min([b, h])**3
def F_buckling(h, E=E):
#forca critica para buckling -> N
I_y = h*b**3 / 12
return (4.013/(L-l)**2) * (E*I_y*C(h))**0.5
def sig_max(h):
#sigmax**2 = sig_flexao**2 + 3 * sig_cisalh**2
return ((P*(L-l)*(h/2.)/I(h))**2+3*(P/A(h))**2)**0.5
def W_cin(v):
return m*v**2/2 #N.m
def W_est(h, E=E):
return P**2/(2*E*I(h)) * (2./3*l**3 - L*l**2 + L**3 / 3)
* 1E-3 #N.m
42
def phi(h, v, E=E):
return 1 + (1 + W_cin(v) / W_est(h, E) )**0.5
def dphi_dWcin(h, v):
return 1 / ( 2*W_est(h) * (phi(h, v)-1) )
def dphi_dWest(h, v):
return (W_cin(v) / W_est(h)) * dphi_dWcin(h, v)
def dWest_dl(h):
return P**2/(2*E*I(h)) * (2*l**2 - 2*L*l) * 1E-3 #N.m
def deflex(h):
return (P/(E*I(h)) * (2*l**3/3 - L*l**2 + L**3/3))
fy_form = np.array([material_base[material_x][0] -
stats.norm.ppf(0.02)*10, 10.])↪→
X = np.array([fy_form, v])
x_med, x_dp = X[:,0] , X[:,1]
def g(h, X):
return (X[0] - phi(h, X[1]) * sig_max(h))
43
def g_grad_X(h, X):
return np.array([1,
-sig_max(h) * dphi_dWcin(h, X[1]) * (m*X[1])])
def Pf(h):
n=0
x = x_med
u = (x - x_med)/x_dp
beta = np.linalg.norm(u)
error = 1
n_list = []
u_list = []
error_list = []
beta_list = []
while error > 1E-5 and n < 100:
a = (g_grad_X(h, x) * x_dp) /
np.linalg.norm(g_grad_X(h, x) * x_dp)
beta_new = beta + g(h, x) /
np.linalg.norm(g_grad_X(h, x) * x_dp)
44
u_new = -a * beta_new
x_new = x_med + x_dp * u_new
p_failure = stats.norm.cdf(-beta_new)
#error = np.linalg.norm(u_new - u)
error = abs(beta_new - beta)
beta_list.append(beta)
x = x_new
u = u_new
beta = beta_new
n+=1
n_list.append(n)
error_list.append(error)
u_list.append(u_new)
u_list = np.array(u_list)
return p_failure, u_new#, n, a, a**2, x_new
45
def sensibility(h):
#X = [fy, v]
pf, u_actual = Pf(h)
beta_actual = np.linalg.norm(u_actual)
return (np.ndarray.tolist(pf/beta_actual * u_actual / x_dp)+
np.ndarray.tolist(pf/beta_actual * u_actual**2 / x_dp))
def Pf_v(h):
def scr(v, h_t):
return g(h_t, [fy[0], v])
v_actual = scy.optimize.root(scr, x0 = 1.0, args = (h,)).x[0]
return 1 - stats.norm.cdf((v_actual-v[0])/v[1])
def score_v(h, X):
return g(h, X)**2
def h_from_v(pf_target):
V_crit = v[0] + v[1]*stats.norm.ppf(1-pf_target)
f1 = lambda h_t: F_buckling(h_t) - P * phi(h_t, v[0])
c1 = {"type":"ineq", "fun": f1}
f2 = lambda h_t: max_deflex - deflex(h_t) *
phi(h_t, v[0] + v[1]*stats.norm.ppf(0.98))
c2 = {"type":"ineq", "fun": f2}
res = scy.optimize.minimize(score_v, x0 = 5.,
method="SLSQP", bounds = [[2., 50.]],
46
args = [fy[0], V_crit], constraints=(c1,c2))
return res.x[0]
def score_form(h, pf_target):
return 1E3*(Pf(h)[0] - pf_target)**2
def h_optimize(pf_target):
f1 = lambda h_t: F_buckling(h_t) - P * phi(h_t, v[0])
c1 = {"type":"ineq", "fun": f1}
f2 = lambda h_t: max_deflex - deflex(h_t) * phi(h_t, v[0] +
v[1]*stats.norm.ppf(0.98))↪→
c2 = {"type":"ineq", "fun": f2}
result = scy.optimize.minimize(score_form, x0 = 30.,
method="SLSQP", args = (pf_target),
constraints=(c1,c2))
return result.x[0]
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