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DDIIFFEERREENNCCIIAAÇÇÃÃOO NNUUMMÉÉRRIICCAA

Analiticamente, a derivada ( )x'f de uma função ( )xf é definida como:

( ) ( ) ( )h

xfhxflimx'fh

−+=→0

, (6.1)

desde que o limite exista.

O problema da diferenciação numérica envolve o cálculo da derivada em um

ponto arbitrário x, dados os pontos ( ( )00 xf,x ), ( ( )11 xf,x ), ..., ( ( )nn xf,x ). Para isso,

usa-se a série de Taylor.

Os métodos de diferenciação numérica estudados nesta seção são:

� Método da diferença progressiva (MDP).

� Método da diferença regressiva (MDR).

� Método da diferença central (MDC).

6.1 MÉTODO DA DIFERENÇA PROGRESSIVA

O MDP utiliza a decomposição em série de Taylor até a primeira ordem para

aproximar a derivada, ou seja:

( ) ( ) ( )( ) ( )hOxxx'fxfxf iiiii +−+= ++ 11 . (6.2)

Ou:

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( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

h

xfxfhO

xx

xfxfxf' ii

ii

iii

−≅+

−−

= +

+

+ 1

1

1 . (6.3)

Sendo: h o passo de discretização e erro de truncamento de ordem h.

A notação diferença progressiva se deve ao uso dos termos i e i+1 para o cálculo

da derivada.

6.2 MÉTODO DA DIFERENÇA REGRESSIVA

O MDR também utiliza a decomposição em série de Taylor até a primeira ordem

para aproximar a derivada, sendo que neste caso são usados os termos i e i-1:

( ) ( ) ( )( ) ( )hOxxxf'xfxf iiiii +−−= −− 11 . (6.4)

Ou:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

h

xfxfhO

xx

xfxfxf' ii

ii

iii

1

1

1 −

−

− −≅+

−−

= . (6.5)

Sendo: h o passo de discretização e erro de truncamento de ordem h.

A notação diferença reressiva se deve ao uso dos termos i e i-1 para o cálculo da

derivada.

6.3 MÉTODO DA DIFERENÇA CENTRAL

O MDC aproxima a derivada de uma função a partir da soma das equações (6.3) e

(6.5):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

h

xfxfhO

xx

xfxfxf' ii

ii

iii 2

112

11

11 −+

−+

−+ −≅+−−= .

(6.6)

Sendo: h o passo de discretização.

Ao contrário dos outros métodos apresentados anteriormente, o erro é de

ordem de h2, o que resulta em melhor qualidade da aproximação.

A notação diferença central se deve ao uso dos termos i+1 e i-1 para o cálculo da

derivada.

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6.4 AVALIAÇÃO DOS MÉTODOS

A avaliação dos métodos foi feita utilizando-se a função

( ) ( )logxxxxexf x +−+−= − 875,205 345 . Considerou-se 10,h = , para todos os casos. O

desempenho de cada método é apresentado nas tabelas e figuras a seguir.

Tabela 6.1. Método da diferença progressiva.

i xi xi+1 f(xi) f(xi+1) f’(xi) erro(%)

1 0,5 0,6 -0,0268 -0,0181 0,0866 91,94

2 1,0 1,1 0,1419 0,2347 0,9272 65,31

3 1,5 1,6 1,003 1,3314 3,3113 4,52

4 2,0 2,1 3,5196 4,3395 8,1992 106,24

5 2,5 2,6 9,0148 10,5568 15,4202 80,94

6 3,0 3,1 17,9414 19,8529 19,4143 54,29

Tabela 6.2. Método da diferença regressiva.

i xi xi-1 f(xi) f(xi-1) f’(xi) erro(%)

1 0,5 0,4 -0,0268 -0,0293 0,0252 97,65

2 1,0 0,9 0,1419 0,0753 0,6669 75,05

3 1,5 1,4 1,003 0,7341 2,6617 23,25

4 2,0 1,9 3,5196 2,8203 6,9927 75,89

5 2,5 2,4 9,0148 7,6231 13,9168 63,29

6 3,0 2,9 17,9414 15,9556 19,5586 55,43

Tabela 6.3. Método da diferença central.

i xi+1 xi-1 f(xi+1) f(xi-1) f’(xi) erro(%)

1 0,6 0,4 -0,0181 -0,0293 0,0559 94,80

2 1,1 0,9 0,2347 0,0753 0,7971 70,18

3 1,6 1,4 1,3314 0,7341 2,9865 13,89

4 2,1 1,9 4,3395 2,8203 7,5960 91,06

5 2,6 2,1 10,5568 7,6231 14,6685 72,11

6 3,1 2,9 19,8529 15,9556 19,4864 54,86

Todos os métodos apresentam desempenho semelhante, pois são oriundos da

série de Taylor, considerando até o termo de primeira ordem. Entretanto, ao se

aplicar o método da diferença central, os resultados são de melhor qualidade.

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Figura 6.1. Derivada calculada através do método diferença progressiva e através do

método analítico.

Figura 6.2. Derivada calculada através do método diferença regressiva e através do

método analítico.

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Figura 6.3. Derivada calculada através do método diferença central e através do

método analítico.