Determinante
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Seja A uma matriz de ordem n. Chama-se determinante da matriz A, o número obtido a partir de operações entre os elementos de A.
Dada a matriz quadrada de 1° ordem M= [a11], seu
determinante é o número real a11:
Det M = a11 = a11 Por exemplo:
M = [5] det M = 5 ou 5 = 5
M = [-3] det M = - 3 ou - 3 = - 3
Observação: Representamos o determinante de uma matriz entre duas barras verticais, que não têm o significado de módulo.
O determinante da matriz de 2° ordem é dado pelo
produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Exemplo1:
𝐴 = 4 22 3
Det A = 4.3 – 2.2 = 12 – 4 = 8
DETERMINANTES
DETERMINANTES DE 1ª ORDEM
DETERMINANTES DE 2ª ORDEM
4
Exemplo2: Calcule o determinante da matriz 𝐴 = 5 31 2
𝐴 = 5 31 2
detA = = 5.2 – 3.1 = 10 – 3 = 7
A regra de Sarrus é utilizada para calcular o determinante de matrizes de 3° ordem. É um processo bem simples, que possui o seguinte procedimento:
Dada uma matriz A de 3° ordem, temos:
a) Copiamos ao lado da matriz A as duas primeiras colunas.
b) Multiplicamos os elementos da diagonal principal de A. Segundo a direção da diagonal principal, multiplicamos, separadamente os elementos das outras duas “diagonais”.
c) Multiplicamos os elementos da diagonal secundária de
A, trocando o sinal do produto obtido. Segundo a direção da diagonal secundária, multiplicamos, separadamente, os elementos das outras duas diagonais, também trocando o sinal dos produtos.
Somamos todos os produtos obtidos nos itens b e c.
DETERMINANTES DE 3ª ORDEM
REGRA DE SARRUS
5
Ex.: Calcular o determinante da matriz A.
𝐴 = 3 1 5 2 0 −2 −1 4 −3
det 𝐴 = 3 1 5 2 0 −2 −1 4 −3
3 1 2 0−1 4
det 𝐴 = 3 ∙ 0 ∙ −2 + 1 ∙ −2 ∙ −1 + 5 ∙ 4 ∙ 2− 5 ∙ 0 ∙ −1 + −2 ∙ 4 ∙ 3 + −3 ∙ 2 ∙ 1
det 𝐴 = 0 + 2 + 20 ∙ − 0 − 24 − 6 = 22 − −30
det 𝐴 = 22 + 30 = 52
Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu determinante será nulo, ou seja, det M = 0.
Ex: Seja a matriz 𝑀 = 1 3 8 0 0 0−2 5 −3
, o seu determinante
será:
det 𝑀 = 1 3 8 0 0 0−2 5 −3
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 ∙ 0 ∙ −3 + 3 ∙ 0 ∙ −2 + 8 ∙ 5 ∙ 0 − [8 ∙ 0 ∙ −2 + 0∙ 5 ∙ 1 + (−3) ∙ 0 ∙ 3 = 0
PROPRIEDADES
1ª Propriedade: FILA DE ZEROS
6
Se uma matriz quadrada M possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será nulo, isto é det M=0
Seja 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑘𝑎 𝑘𝑏
Então det 𝐴 = 𝑎 𝑏𝑘𝑎 𝑘𝑏
= 𝑘𝑎𝑏 − 𝑘𝑎𝑏 = 0
Observação: Se k=1, teremos duas linhas (ou duas colunas) iguais. Logo, filas iguais representam determinante nulo
Se trocarmos entre si a posição de duas linhas (ou colunas) de uma matriz quadrada M, o determinante da nova matriz obtida será o oposto da determinante da matriz anterior. Ex:
Sejam as matrizes 𝐴 = 1 −𝟐 34 𝟓 67 𝟖 −9
e 𝐴 = −2 1 3 5 4 6 8 7 −9
Veja que nelas estão trocadas as posições da 1ª e 2ª
colunas.
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −45 − 84 + 96 − 105 − 72 − 48 = −458𝑑𝑒𝑡𝐵 = 72 + 48 + 105 − 96 + 84 + 45 = 458
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠
2ª Propriedade: FILAS PARALELAS PROPORCIONAIS
3ª Propriedade: TROCA DE FILA PARALELAS
7
Se todos os elementos de uma linha (ou colunas) de uma matriz quadrada são multiplicados por um mesmo número real k, então seu determinante fica multiplicado por k. Ex:
Seja a Matriz 𝐴 = 1 23 −2
, se multiplicarmos a 2ª linha por
3 obteremos a matriz 𝐵 = 1 29 −6
, agora iremos calcular
os determinantes dessas matrizes.
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 23 −2
= −2 − 6 = −8
𝑑𝑒𝑡𝐵 1 29 −6
= −6 − 18 = −24
𝑉𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 3 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐴
Observação: Se uma matriz quadrada M de ordem n é multiplicada por um número real k, o seu determinante fica multiplicado por k
n, isto é:
det 𝑘𝑀𝑛 = 𝑘𝑛𝑑𝑒𝑡𝑀𝑛
O determinante de uma matriz quadrada M é igual ao determinante da sua transposta, isto é, detA=detA
t
Ex:Seja a matriz 𝐴 = 2 3−1 7
,
logo sua transposta será 𝐴𝑡 = 2 −13 7
4ª Propriedade: MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE
5ª Propriedade: DETERMINANTE DA TRANSPOSTA
8
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 2 3−1 7
= 14 + 3 = 17
𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡 = 2 −13 7
= 14 + 3 = 17
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto da diagonal principal.
Ex: Sejam as matrizes 𝐴 = −1 2 0 3
e 𝐵 = 1 0 02 2 03 −1 3
os
seus determinantes são:
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −1 2 0 3
= −3 + 0 = −3
𝑑𝑒𝑡𝐵 = 1 0 02 2 03 −1 3
= 6 + 0 + 0 − 0 + 0 + 0 = 6
Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma
ordem e AB a matriz produto, então 𝑑𝑒𝑡 𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵
Sendo as matrizes 𝐴 = 1 24 3
e B= 2 −11 0
temos:
𝐴 ∙ 𝐵 = 1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 1 ∙ −1 + 2 ∙ 04 ∙ 2 + 3 ∙ 1 4 ∙ −1 + 3 ∙ 0
= 4 −1
11 −4
6ª Propriedade: DETERMINANTE DA MATRIZ TRIANGULAR
7ª Propriedade: TEOREMA DE BINET
9
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 1 24 3
= 3 − 8 = −5
𝑑𝑒𝑡𝐵 = 2 −11 0
= 0 − −1 = 1
det 𝐴𝐵 = 4 − 1
11 −4 = −16 − −11 = −5
𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵)
−5 ∙ 1 = −5
Seja A uma matriz quadrada. Se multiplicarmos todos os todos os elementos de uma linha (ou coluna) pelo mesmo número e somarmos os resultados aos elementos correspondentes de outra linha (ou coluna), formando a matriz B, então det A = det B Ex:
𝐴 = 1 54 9
⟹ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 9 − 20 = −11
Multiplicando a 1ª linha por (– 2 ) e somando os
resultados à 2ª linha obtemos:
𝐵 = 1 52 −1
⟹ 𝑑𝑒𝑡𝐵 = −1 − 10 = −11, 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑗𝑎
𝑑𝑒𝑡𝐴 − 𝑑𝑒𝑡𝐵
Vamos indicar assim:
∙ −2 ↳ +
1 54 9
= 1 52 −1
= −11
8ª Propriedade: TEOREMA DE JACOBI
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Se A é uma matriz quadrada invertível e A-1
sua inversa. Então:
𝑑𝑒𝑡𝐴−1 =1
𝑑𝑒𝑡𝐴
Seja A uma matriz quadrada com determinante não nulo e A
-1 a sua inversa, logo sabemos que:
𝐴 × 𝐴−1 = 𝐼, desta forma
det 𝐴𝐴−1 = 𝑑𝑒𝑡𝐼 ⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ∙ 𝑑𝑒𝑡𝐴−1 = 1 Teorema de Binet Daí, Concluímos que:
𝑑𝑒𝑡𝐴−1 =1
𝑑𝑒𝑡𝐴
Se uma linha (ou coluna) de uma matriz quadrada for uma combinação linear das outras, o determinante será nulo.
Ex: Veja a matriz 𝐴 = −1 2 1−2 3 51 −1 −4
, observe que os
elementos da 3ª linha é o resultado da subtração entre os elementos da 1ª com a 2ª linha. Vamos calcular o seu determinante
𝑑𝑒𝑡𝐴 = −1 2 1−2 3 51 −1 −4
= 12 + 10 + 2 − 3 + 16 + 5 = 0
9ª Propriedade: DETERMINANTE DA INVERSA
10ª Propriedade: COMBINAÇÃO LINEAR
11
01.(UNITAU) Sendo B=(bij)2x2, onde,
𝑏𝐼𝐽 =
1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗−2𝑖𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗
3𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 > 𝑗
Calcule o det Bt :
a) 13. b) - 25. c) 25. d) 20. e) - 10. 02. (FEI) Sendo x e y respectivamente os determinantes das matrizes inversíveis:
𝑎 𝑏𝑐 𝑑
𝑒 −2𝑎 2𝑏−3𝑐 3𝑑
podemos afirmar que x/y vale: a) -12 b) 12 c) 36 d) -36 e) -1/6 03. (PUCAMP) Se A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e tais que det A 0 e det B 0, então é correto afirmar que a) B = A
1 det B = det A
b) B = A det B = det A c) det A
2 = det B
2 det A = det B
d) det (A+B) = det A + det B e) det (3A) = 3.det A
EXERCÍCIOS
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04. (UNESP) Considere as matrizes reais
𝐴 = 𝑥2 02 𝑦 + 𝑧
𝑒 𝐵 = 4 𝑧𝑦 −𝑥
Se A=B
t (transposta de B), o determinante da matriz
𝑥 𝑦 −1𝑧 1 14 5 2
é igual a:
a) -1. b) 0. c) 1. d) 2. e) 3. 05. (UEG) Sendo x e y, respectivamente, os determinantes das matrizes
𝑎 𝑏𝑐 𝑑
𝑒 −4𝑎 −4𝑐5𝑏 3𝑑
é verdade que y/x é igual a a) 1/20 b) - 1/20 c) 20 d) – 20 e) 3/20 06. (UFSM) Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem n. Se det A = det B 0, então det [(1/2) . A . B
1] é
igual a a) 1/(2
n) b) 1/2 c) (1/2) . det A
d) [1/(2n)] . det A e) 2
n
07. (PUCMG) A matriz A é de quarta ordem, e seu determinante é -8. Na equação det(2A) = 2x -150, o valor de x é: a) 11 b) 16 c) 43 d) 67
13
08. (MACKENZIE) Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e A
1 a sua inversa. Se
16 . det A1
= det (2A), então o determinante de A vale: a) 4 b) 6 c) 8 d) 2 e) 16 09. (UFC) Sejam A e B matrizes 3 × 3 tais que detA = 3 e detB = 4. Então det(A × 2B) é igual a: a) 32 b) 48 c) 64 d) 80 e) 96 10. (UFES) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 com det(A)=3 e se k é um número real tal que det(kA)=192, então o valor de k é a) 4 b) 8 c) 32 d) 64 e) 96 11. (FGV) A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det(A)=7. Nessas condições, det(3A) e det(A
1) valem
respectivamente: a) 7 e -7 b) 21 e 1/7 c) 21 e -7 d) 63 e -7 e) 63 e 1/7 12. (UFSM) Sejam A, B e C matrizes reais 3 × 3, tais que A.B=C
1 , B=2A e det C= 8.
Então o valor do |det A| é: a) 1/16 b) 1/8 c) 1 d) 8 e) 16 13. (UNESP) Dadas as matrizes mostradas na figura adiante
𝐴 = 1 32 4
𝑒 𝐵 = −1 2 3 1
o determinante da matriz A . B é a) -1. b) 6. c) 10. d) 12. e) 14.
14
14. (FUVEST) Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz A
2=2A, então o determinante de A será:
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 15. (UNIOEST) O valor de "a" para o qual o determinante adiante se anula é:
14 32 42−1 2 028 𝑎 84
GABARITO [1] A [2]E [3]B [4]B [5]D [6]A [7]A [8]D [9] E [10]A [11]E [12]B [13]E [14]E [15]64
15
16