Determinação de Coeficientes em EDP e Geração de Imagens...
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Determinação de Coeficientes em EDP eGeração de Imagens para Diagnóstico
Médico
R. Cipolatti
Sextas Matemáticas
Instituto de MatemáticaUniversidade Federal do Rio de Janeiro
. – p.1/19
Técnicas para Geração de Imagens
• Radiografia;
• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.
. – p.2/19
Técnicas para Geração de Imagens
• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;
• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.
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Técnicas para Geração de Imagens
• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);
• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.
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Técnicas para Geração de Imagens
• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;
• Ressonancia Magnetica – MRI.
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Técnicas para Geração de Imagens
• Radiografia;• Tomografia por Transmissao – CT;• Tomografia por Emissao – ECT (SPECT, PET);• Ultra-sonografia;• Ressonancia Magnetica – MRI.
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CT: um “ε” de história
Nada disso existiria se . . .
• Ondas eletromagneticas nao tivessem sidoprevistas por James Clark Maxwell em 1862 eobservadas experimentalmente por HeinrichHertz em 1887;
• Os Raios-X nao tivessem sido descobertosacidentalmente por W. K. Roentgen, em 1895.Por esta descoberta, ele ganhou o Premio Nobelem 1901;
• As primeiras tecnicas de reconstrucao naotivessem sido desenvolvidas por Bracewell(1956), em radio-astronomia;
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CT: um “ε” de história
Nada disso existiria se . . .
• Ondas eletromagneticas nao tivessem sidoprevistas por James Clark Maxwell em 1862 eobservadas experimentalmente por HeinrichHertz em 1887;
• Os Raios-X nao tivessem sido descobertosacidentalmente por W. K. Roentgen, em 1895.Por esta descoberta, ele ganhou o Premio Nobelem 1901;
• As primeiras tecnicas de reconstrucao naotivessem sido desenvolvidas por Bracewell(1956), em radio-astronomia;
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CT: um “ε” de história
Nada disso existiria se . . .
• Ondas eletromagneticas nao tivessem sidoprevistas por James Clark Maxwell em 1862 eobservadas experimentalmente por HeinrichHertz em 1887;
• Os Raios-X nao tivessem sido descobertosacidentalmente por W. K. Roentgen, em 1895.Por esta descoberta, ele ganhou o Premio Nobelem 1901;
• As primeiras tecnicas de reconstrucao naotivessem sido desenvolvidas por Bracewell(1956), em radio-astronomia;
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CT: um “ε” de história
• Uma etapa fundamental para o desenvolvimentodos processos de reconstrucao de imagens foiatingida em 1963, a partir do trabalho de AllanCormack, da Universidade de Tufts, quandodesenvolveu modelos matematicos quepermitiram obter imagens muito mais precisas;
• Esses modelos foram utilizados no primeiroequipamento de tomografia por Raios-X,construıdo em 1972, por Hounsfield, noslaboratorios EMI, Inglaterra. Por essesdesenvolvimentos, Cormack e Hounsfieldreceberam o Premio Nobel de medicina em 1979.
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CT: um “ε” de história
• Uma etapa fundamental para o desenvolvimentodos processos de reconstrucao de imagens foiatingida em 1963, a partir do trabalho de AllanCormack, da Universidade de Tufts, quandodesenvolveu modelos matematicos quepermitiram obter imagens muito mais precisas;
• Esses modelos foram utilizados no primeiroequipamento de tomografia por Raios-X,construıdo em 1972, por Hounsfield, noslaboratorios EMI, Inglaterra. Por essesdesenvolvimentos, Cormack e Hounsfieldreceberam o Premio Nobel de medicina em 1979.
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Tipos de interação de Raios-X com a matéria
• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);
• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia –CT);
• Espalhamento de Compton (raios-X de altaenergia – CT);
• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –ECT);
• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia– ECT).
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Tipos de interação de Raios-X com a matéria
• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);
• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia –CT);
• Espalhamento de Compton (raios-X de altaenergia – CT);
• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –ECT);
• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia– ECT).
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Tipos de interação de Raios-X com a matéria
• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);
• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia – CT);• Espalhamento de Compton (raios-X de alta
energia – CT);
• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –ECT);
• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia– ECT).
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Tipos de interação de Raios-X com a matéria
• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);
• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia – CT);• Espalhamento de Compton (raios-X de alta
energia – CT);• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –
ECT);
• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia– ECT).
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Tipos de interação de Raios-X com a matéria
• Espalhamento Coerente (raios-X de baixaenergia);
• Efeito Fotoeletrico (raios-X de alta energia – CT);• Espalhamento de Compton (raios-X de alta
energia – CT);• Producao de Pares (raios-X de altıssima energia –
ECT);• Foto-desintegracao (raios-X de altıssima energia
– ECT).
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O Modelo Matemático para CT
ϕ(t, ω, x) e a densidade de partıculas (por unidade devolume) no ponto x ∈ R
3 e no instante t,deslocando-se na direcao ω ∈ S.
Gerador de Raios-X
Receptores
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O Modelo Matemático para CT
• Os fotons que nao estao interagindo com o corposatisfazem a equacao do transporte:
∂ϕ
∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) = 0
cuja solucao explıcita e:
ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω).
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O Modelo Matemático para CT
• No caso da interacao com o corpo, masdesconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao do transporte com termo de absorcao:
∂ϕ
∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) + q(x)ϕ(t, ω, x) = 0,
cuja solucao explıcita e:
ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω)e−
∫ t
0q(x−sω)ds
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O Modelo Matemático para CT
• No caso da interacao com o corpoconsiderando-se o espalhamento, temos aequacao linear de Boltzmann:
∂ϕ
∂t(t, ω, x) + ω · ∇xϕ(t, ω, x) + q(x)ϕ(t, ω, x)
=
∫
S
f(x, ω, ω′)ϕ(t, ω′, x) dω′
cuja solucao e da forma:
ϕ(t, ω, x) = ϕ0(x − tω)e−
∫ t
0q(x−sω)ds + R(t, ω, x)
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A Transformada Raios-X
• Na pratica, considera-se R(t, ω, x) como ruıdo eo problema se reduz a questao de determinar q(x)a partir do conhecimento de Pω[q](x), para todoω ∈ S e para todo x ∈ ω⊥, onde
Pω[q](x) =
∫ ∞
−∞
q(x − sω) ds
• A solucao deste problema foi obtida em 1917pelo matematico austrıaco J. Radon, nos seusestudos de reconstrucao de imagens para asequacoes do campo gravitacional.
. – p.13/19
A Transformada Raios-X
• Na pratica, considera-se R(t, ω, x) como ruıdo eo problema se reduz a questao de determinar q(x)a partir do conhecimento de Pω[q](x), para todoω ∈ S e para todo x ∈ ω⊥, onde
Pω[q](x) =
∫ ∞
−∞
q(x − sω) ds
• A solucao deste problema foi obtida em 1917pelo matematico austrıaco J. Radon, nos seusestudos de reconstrucao de imagens para asequacoes do campo gravitacional.
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O Problema da Determinação de Parâmetros
ϕt + ω∇x · ϕ + q(x)ϕ = Kf [ϕ]
ϕ(0, ω, x) = 0, (ω, x) ∈ S × Ω
ϕ(t, ω, σ) = g(t, ω, σ), t > 0, (ω, σ) ∈ Σ−
Kf [ϕ](t, ω, x) =
∫
S
f(x, ω′, ω)ϕ(t, ω′, x) dω′
O operador Albedo:
Aq,f [g](t, ω, σ) = ϕ(t, ω, σ), t > 0, (ω, σ) ∈ Σ+
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O Problema da Determinação de Parâmetros
• O Problema de Identificacao:Aq1,f1
[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2
• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);
• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ
(‖Aq1,f1
−Aq2,f2‖)
• Resultados Parciais; Tese C. Mathias
• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);
• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:
• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);
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O Problema da Determinação de Parâmetros
• O Problema de Identificacao:Aq1,f1
[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2
• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);
• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ
(‖Aq1,f1
−Aq2,f2‖)
• Resultados Parciais; Tese C. Mathias
• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);
• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:
• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);
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O Problema da Determinação de Parâmetros
• O Problema de Identificacao:Aq1,f1
[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2
• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);
• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ
(‖Aq1,f1
−Aq2,f2‖)
• Resultados Parciais; Tese C. Mathias
• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);
• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:
• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);
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O Problema da Determinação de Parâmetros
• O Problema de Identificacao:Aq1,f1
[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2
• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);
• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ
(‖Aq1,f1
−Aq2,f2‖)
• Resultados Parciais; Tese C. Mathias
• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);
• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:
• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);
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O Problema da Determinação de Parâmetros
• O Problema de Identificacao:Aq1,f1
[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2
• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);
• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ
(‖Aq1,f1
−Aq2,f2‖)
• Resultados Parciais; Tese C. Mathias
• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);
• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:
• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);
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O Problema da Determinação de Parâmetros
• O Problema de Identificacao:Aq1,f1
[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2
• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);
• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ
(‖Aq1,f1
−Aq2,f2‖)
• Resultados Parciais; Tese C. Mathias
• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);
• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:
• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);
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O Problema da Determinação de Parâmetros
• O Problema de Identificacao:Aq1,f1
[g] = Aq2,f2[g] ⇒ q1 = q2, f1 = f2
• Choulli-Stefanov, Comm. PDE (96);
• O Problema de Estabilidade:‖q1 − q2‖ + ‖f1 − f2‖ ≤ Ψ
(‖Aq1,f1
−Aq2,f2‖)
• Resultados Parciais; Tese C. Mathias
• Mathias-Roberty-Eu, a aparecer (05-06);
• O Problema de Identificacao com um NumeroFinito de Medicoes de Fronteira:
• Ivo Lopez-Eu, em andamento (2005);
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Resultados (Ivo Lopez + Eu)
ϕt + ω∇x · ϕ + q(x)ϕ = Kf [ϕ]
f(x, ω′, ω) = q(x)h(x, ω′, ω)
Teorema: Sejam T > diam(Ω),ρ1, ρ2, . . . , ρk
um conjunto de funcoes linearmente independentes
definidas em Ω. Seja X = spanρ1, ρ2, . . . , ρk
.
Entao, para todo M > 0, existem g1, g2, . . ., gk tais
que toda q ∈ X tal que ‖q‖∞ ≤ M e unicamente de-
terminada por Aq,f [gj], j = 1, . . . , k.
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Resultados (Ivo Lopez + Eu)
• Sejaρ1, ρ2, . . . , ρk
um conjunto de funcoes
linearmente independentes definidas em Ω.
• Pω[ρi](x) =
∫ ∞
−∞
ρi(x − sω) ds
• Ωε =x ∈ R
N \ Ω ; dist(x, Ω) < ε
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Resultados (Ivo Lopez + Eu)
• Sejaρ1, ρ2, . . . , ρk
um conjunto de funcoes
linearmente independentes definidas em Ω.
• Pω[ρi](x) =
∫ ∞
−∞
ρi(x − sω) ds
• Ωε =x ∈ R
N \ Ω ; dist(x, Ω) < ε
. – p.17/19
Resultados (Ivo Lopez + Eu)
• Sejaρ1, ρ2, . . . , ρk
um conjunto de funcoes
linearmente independentes definidas em Ω.
• Pω[ρi](x) =
∫ ∞
−∞
ρi(x − sω) ds
• Ωε =x ∈ R
N \ Ω ; dist(x, Ω) < ε
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Resultados (Ivo Lopez + C)
Teorema: Para cada ε > 0, existe ωj ∈ S eϕj ∈ C∞
0 (Ωε), j = 1, . . . , k, tais que a matrizA = (aij) com coeficientes definidos por
aij =
∫
RN
Pωj[ρi](x)ϕ2
j(x) dx
e invertıvel.
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Referências
• K.K. Shung, M.B Smith, B. Tsui: “Principles ofMedical Imaging”, Academic Press, 1992.
• G.T. Herman: “Image Reconstruction formProjections”, Academic Press, 1980.
• F. Natterer: “The Mathematics of ComputerizedTomography”, B.G. Teubner, 1986
• R. Cipolatti, Ivo F. Lopez: “Determination ofcoefficients for a dissipative wave equations viaboundary measurements”, J. MathematicalAnalysis and Appli., 2005.
• R. Cipolatti, C.M. Motta, N. Roberty: “Stabilityestimates for an inverse problem for the linearBoltzmann equation”, to appear in Rev. Compl.de Matem. . – p.19/19