Detecção e Acomodação de Falhas em Sistemas Incertos …...esquemas que minimizam os efeitos...

Ilha SolteiraIlha Solteira

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

. “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

. Campus de Ilha Solteira - SP

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

‘‘Detecção e Acomodação de Falhas em Sistemas Incertoscom Atraso no Sinal de Controle Utilizando Modo Deslizante”

ANDRÉ LUIZ ALEXANDRE DE PAULA

Orientador: Prof. Dr. José Paulo Fernandes Garcia

Ilha Solteira - SP

Maio / 2011

Ilha SolteiraIlha Solteira

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

. “JÚLIO DE MESQUITA FILHO”

. Campus de Ilha Solteira - SP

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

‘‘Detecção e Acomodação de Falhas em Sistemas Incertoscom Atraso no Sinal de Controle Utilizando Modo Deslizante”

ANDRÉ LUIZ ALEXANDRE DE PAULA

Orientador: Prof. Dr. José Paulo Fernandes Garcia

Dissertação apresentado à Faculdade de

Engenharia - UNESP - Campus de Ilha

Solteira, para obtenção do título de Mes-

tre em Engenharia Elétrica.

Área de Conhecimento: Automação.

Ilha Solteira - SP

Maio / 2011

Aos meus pais, Celso e Arlete pela força e incentivo que sempre

recebo,e porque sem eles não teria chegado aqui, a minha noiva

Mônica pela compreensão e apoio, a minha irmã Adriana, e a

todos os meus familiares que sempre estiveram do meu lado me

dando força e apoio.

DEDICO

Agradecimentos

A Deus, por ter me dado força e sabedoria para superar as dificuldades encontradas em

todos os caminhos que percorri.

Ao Prof. Dr. José Paulo Fernandes Garcia, quero expressar a minha profunda gratidão,

mestre e orientador, pela oportunidade, apoio, e por ter acreditado em mim, mesmo sem me

conhecer, e ter me dado a oportunidade da realização de mais um objetivo

A Profa. Dra. Lizete Maria Crnkowise Fernandes Garcia pelos conselhos e ensinamentos

dados ao grupo de pesquisa que contribuíram para a minha formação.

Aos professores Dra. Érica Regina Marani Daruichi Machado, Dr. Marcelo Carvalho Mi-

nhoto Teixeira e Dr. Falcondes José Mendes Seixas, que estiveram e me avaliaram em bancas

de estudos especiais e qualificação.

Ao Prof. Dr. Jean Marcos de Souza Ribeiro por ter me ajudado em todos os momentos que

precisei, aos ensinamentos e aos conselhos que contribuíram para a minha formação.

Ao Prof. Dr. Cristiano Quevedo Andrea por estar presente e me avaliar em minha banca de

defesa de mestrado.

Ao Prof. Dr. Edvaldo Assunção pelos bons conselhos e ensinamentos que levarei por toda

a vida.

Ao Prof. Dr. Antonio de Padua Lima Filho por ter me ajudado nesse tempo de mestrado, e

também pelos bons conselhos a mim passados.

Aos meus amigos e companheiros de Laboratório de Pesquisa emControle (LPC), Jeffer-

son Leone e Silva, Emerson Ravazzi Pires da Silva, Fernando Barros Rodrigues, Fabio Prudente

Durão, Luiz Francisco Sanches Buzachero, Victor Leonardo Yoshimura, Manoel Rodrigo Mo-

reira, Gisele de Carvalho Apolinário e Talita Tozetto Esteves, pelos momentos de descontração

e porque todos fizeram parte dessa formação, e lembrarei de todos com alegria e respeito por

toda a minha vida.

A Fundação de Amparo a Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), pelo apoio finan-

ceiro.

A UNESP pela infra-estrutura oferecida e aos funcionários.

Jesus, vendo a multidão, subiu a um monte, e,

assentando-se, aproximaram-se dele os seus dis-

cípulos;

E, abrindo a sua boca, os ensinava, dizendo:

Bem-aventurados os pobres de espírito, porque

deles é o reino dos céus;

Bem-aventurados os que choram, porque eles se-

rão consolados;

Bem-aventurados os mansos, porque eles herda-

rão a terra;

Bem-aventurados os que têm fome e sede de jus-

tiça, porque eles serão fartos;

Bem-aventurados os misericordiosos, porque

eles alcançarão misericórdia;

Bem-aventurados os limpos de coração, porque

eles verão a Deus;

Bem-aventurados os pacificadores, porque eles

serão chamados filhos de Deus;

Bem-aventurados os que sofrem perseguição por

causa da justiça, porque deles é o reino dos céus;

Bem-aventurados sois vós, quando vos injuria-

rem e perseguirem e, mentindo, disserem todo o

mal contra vós por minha causa.

Exultai e alegrai-vos, porque é grande o vosso

galardão nos céus; porque assim perseguiram os

profetas que foram antes de vós.

Jesus Cristo

Resumo

Usando dois controladores digitais com modos deslizantes,é proposto neste trabalho dois

esquemas que minimizam os efeitos degenerativos causados pelo atraso no tempo de compu-

tação do sinal de controle, que aqui é tratado como falha. Um observador robusto com modos

deslizantes é utilizado neste trabalho, uma vez que nem sempre é possível ter acesso a todos

os estados do sistema. Neste trabalho o observador tem um papel fundamental na detecção e

acomodação da falha, pois através de um banco de observadores é gerado um resíduo que pos-

sibilita a detecção da falha e determina qual controlador deve estar atuando sobre o sistema a

ser controlado. Para validar os métodos propostos, são realizadas simulações e experimentos

nos modelos do pêndulo invertido e no helicóptero 3DOF; ambos equipamentos da Quanser.

Palavras Chave: Modos Deslizantes, Controle Discreto, Atraso Computacional.

Abstract

Using two digital controllers with sliding mode schemes that minimizes the degenerative

effects caused by the delay in the computation time of the control signal are proposed in this

work, which is here treated as failure. A robust observer with sliding mode is shown in this

work, since it is not always possible to have access to all system states, but in this work the

observer has a key role in the failure detection and accommodation, as observers are generated

through a residue that directs the performance of the controller on the system being controlled.

To test the proposed methods, simulations and experiments are performed on models of the

inverted pendulum and the helicopter 3DOF, both Quanser equipment.

Keywords: Sliding Mode, Discrete Control, Computational Delay-Time.

Lista de Figuras

2.1 A Superfície Deslizante é a Intersecção das i-ésimas Superfícies Existentes. . . 12

2.2 Ilustração Bidimensional do Domínio do Modo Deslizante.. . . . . . . . . . . 13

6.1 Esquema para Detecção de Falhas e Adaptação do Controlador. . . . . . . . . . 44

6.2 Esquema para Detecção de Falhas Alternativo e Adaptaçãodo Controlador. . . 46

7.1 Sistema Pêndulo Invertido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 48

7.2 Planta Simplificado do Helicóptero 3DOF. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 50

8.1 Detecção de Falha Ativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e ângulo do

Pêndulo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,05s). . . . . . . . . . . .. . . . . 55

8.2 Detecção da Falha Ativa: Sinal de Controle e Controlador Ativo(Amostragem

de 0,1s e atraso de 0,05s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

8.3 Detecção da Falha Inativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e Ângulo do

Pêndulo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,05s). . . . . . . . . . . .. . . . . 56

8.4 Detecção da Falha Inativa: Sinal de Controle e ControladorAtivo (Amostragem

de 0,1s e atraso de 0,05s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57

8.5 Detecção da Falha Inativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e Ângulo do

Pêndulo(Amostragem de 0,01s e atraso de 0,009s). . . . . . . . . .. . . . . . 58

8.6 Detecção da Falha Inativa: Sinal de Controle e ControladorAtivo (Amostragem

de 0,01s e atraso de 0,009s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58

8.7 Detecção da Falha Ativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e Ângulo do

Pêndulo (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,009s). . . . . . . . . .. . . . . . 59

8.8 Detecção da Falha Ativa: Sinal de Controle e Controlador Ativo (Amostragem

de 0,01s e atraso de 0,009s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

8.9 Detecção de Falha Ativa e Adaptação do Controlador: Sinais de Referências,

Ângulo de Elevação e Ângulo de Giro Horizontal (Amostragem de 0,1s e atraso

de 0,09s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.10 Esquema de Detecção de Falha Ativo e Adaptação do Controlador: Tensão no

Motor Dianteiro(Volts) e Tensão no Motor Traseiro(Volts) (Amostragem de 0,1s

e atraso de 0,09s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

8.11 Esquema de Detecção de Falha Ativo e Adaptação do Controlador: Resíduo e

Controlador Ativo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s). . . .. . . . . . . . 64

8.12 Esquema de Detecção de Falha Alternativo Ativo: Referências e Ângulos de

Elevação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s). . . . . . . 64

8.13 Esquema de Detecção de Falha Alternativo Ativo: Sinal de Controle e Contro-

lador Ativo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s). . . . . . . . .. . . . . . . 65

8.14 Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Referências e Ângulos de

Elevação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s). . . . . . . 65

8.15 Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Sinais de Controle e Con-

trolador Ativo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s). . . . . .. . . . . . . . 66

8.16 Esquema de Detecção de Falha Alternativo Ativo: Referências e Ângulos de

Elevação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s). . . . . 67

8.17 Esquema de Detecção de Falha Alternativo ativo: Sinaisde Controle e Contro-

lador Ativo (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s). . . . .. . . . . . . . 67

8.18 Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Referências e Ângulos de

Elevação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s). . . . . 68

8.19 Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Sinais de Controle e Con-

trolador Ativo (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s). .. . . . . . . . . . 68

9.1 Esquema de Controle do Helicóptero 3DOF. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 70

9.2 CDMD-o Ângulo de Elevação e Referência sem Atraso Computacional. . . . . 73

9.3 CDMD-o Ângulo de Giro Horizontal e Referência sem Atraso Computacional . 73

9.4 CDMD-o Tensões nos Motores sem Atraso Computacional . . . . .. . . . . . 74

9.5 CDMD-o Ângulo de Elevação e Referência com Atraso Computacional. . . . . 75

9.6 CDMD-o Ângulo de Giro Horizontal e Referência com Atraso Computacional . 75

9.7 CDMD-o Tensões nos Motores com Atraso Computacional . . . . .. . . . . . 76

9.8 CDMD-h Ângulo de Elevação e Referência com Atraso Computacional. . . . . 77

9.9 CDMD-h Ângulo de Giro Horizontal e Referência com Atraso Computacional . 77

9.10 CDMD-h Tensões nos Motores com Atraso Computacional . . . .. . . . . . . 78

9.11 Esquema de Detecção Inativo: Posição do Carro e Ângulo doPêndulo (Experi-

mento). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.12 Esquema de Detecção Inativo: Sinal de Controle (Experimento). . . . . . . . . 80

9.13 Esquema de Detecção Ativo: Posição do Carro e Ângulo do Pêndulo (Experi-

mento). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.14 Esquema de Detecção Ativo: Sinal de Controle e Controlador Ativo (Experi-

mento). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.15 Ampliação no Chaveamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 82

9.16 Esquema de Detecção Ativo: Posição do Carro e Ângulo do Pêndulo Mudando

Atraso do Observador (Experimento). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 83

9.17 Esquema de Detecção Ativo: Sinal de Controle Mudando Atraso do Observador

(Experimento). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Sumário

1 Introdução 8

2 Controle com Estrutura Variável e Modos Deslizantes 10

2.1 Modelo do Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Superfície de Deslizamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 11

2.1.2 Modos Deslizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

2.1.3 Condições de Existência de um Modo Deslizante . . . . . . . .. . . . . . 13

2.1.4 O Método do Controle Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 15

2.2 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Observador Robusto com Modos Deslizantes 18

3.1 Observador com Modo Deslizante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 18

3.1.1 Forma Canônica para o Projeto do Observador . . . . . . . . . .. . . . . 19

3.1.2 Transformação LinearT0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.3 Algoritmo para o Projeto do Observador Robusto . . . . . . .. . . . . . . 24

3.2 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Controle Discreto com Modos Deslizantes sem Atraso Computacional 27

4.1 Modelo Discreto no Espaço de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 27

4.2 Controlador Discreto com Modos Deslizantes (CDMD-o) . . . .. . . . . . . 29

4.3 Projeto da Superfície Deslizante e da Lei de Controle . . . .. . . . . . . . . 30

4.4 Análise da Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.5 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Controle Discreto com Modos Deslizantes que Considera o Atraso Compu-

tacional 34

5.1 Modelo Discreto no Espaço de Estados Considerando o Atraso Computacio-

nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Controlador Discreto com Modos Deslizantes Considerandoo Atraso Com-

putacional (CDMD-h) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2.1 Projeto da Superfície Deslizante Discreta . . . . . . . . .. . . . . . . . . 37

5.3 Projeto da Lei de Controle Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 38

5.4 Análise da Robustez da Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 39

5.5 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Proposta de Detecção e Acomodação de Falhas 42

6.1 Esquema de Detecção de Falhas Baseado na Estimação de Estados . . . . . . 42

6.1.1 Resíduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6.1.2 Diagnóstico da Falha e Adaptação do Controlador . . . . . .. . . . . . . 43

6.1.3 Adaptação do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44

6.2 Esquema de Detecção de Falhas Baseado no Sinal de Controle (Alternativo) . 45

6.3 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Aplicações 47

7.1 Sistema Pêndulo Invertido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 47

7.2 Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero . . . . . . . . . . . .. . . . . 49

7.3 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

8 Resultado das Simulações 53

8.1 Resultados obtidos no Sistema Pêndulo Invertido . . . . . . .. . . . . . . . 53

8.1.1 Valores Numéricos e condições adotadas . . . . . . . . . . . .. . . . . . 53

8.1.2 Resultados da Simulação Para o Período de Amostragem de0,1 Segundos

e Atraso Computacional de 0,05 Segundos com Observador MD. . .. . . 55


e Atraso Computacional de 0,009 Segundos com Observador MD. .. . . . 57

8.2 Resultados Obtidos no Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero . . . . . 60

8.2.1 Valores Numéricos e Condições Adotadas . . . . . . . . . . . . .. . . . . 60


e Atraso Computacional de 0,09 Segundos com Observador MD. . .. . . 62


e Atraso Computacional de 9,65 mseg com Observador MD. . . . . . .. . 66

8.3 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9 Resultados Experimentais 70

9.1 Resultados Experimentais no Simulador de Voo de Helicóptero 3DOF . . . . 70

9.1.1 Controle do Helicóptero 3DOF da Quanser Sem Atraso Computacional

com CDMD-o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

9.1.2 Controle do Helicóptero 3DOF da Quanser Com Atraso Computacional

Utilizando CDMD-o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

9.1.3 Controle do Helicóptero 3DOF da Quanser com Atraso Computacional Uti-

lizando CDMD-h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

9.2 Resultados Experimentais do Pêndulo Invertido . . . . . . . .. . . . . . . . 78

9.2.1 Controle do Pêndulo com Atraso Computacional . . . . . . . . .. . . . . 79

9.3 Comentários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

10 Conclusões 85

Referências 87

8

1 Introdução

Desde inicio dos anos 60, Controle com Estrutura Variável e Modos Deslizantes (CEV-MD)

vem sendo motivo de estudo de UTKIN e outros (UTKIN, 1978, 1992; RICHARD, 2003). Re-

centemente, com a evolução dos sistemas digitais, o ControleDiscreto com Modos Deslizantes

(CDMD) tem sido muito utilizado através de computadores digitais (KOSHKOUEI; ZINOBER,

1996; FURUTA, 1990; GUO; ZHANG, 2002; GARCIA et al., 2005). Quando se utiliza alguma

técnica de controle através de computadores digitais, tem-se um certo período de amostragem

que pode até mesmo levar o sistema a instabilidade. Além disso o tempo de processamento do

sinal de controle, pelo computador digital gera um certo atraso computacional, que além de re-

duzir a robustez do controle, diminui a estabilidade do sistema e, em alguns casos, pode levar o

sistema a instabilidade (MAHMOUD, 2000; LEE; LEE, 1999; JANARDHANAN; BANDYO-

PADHYAY; TAKAR, 2004).

O atraso em CEV-MD é um problema, uma vez que este utiliza uma lei de controle com

chaveamentos infinitamente rápidos para conduzir e manter por todo o tempo a trajetória do sis-

tema sobre a superfície de deslizamento desejada no espaço de estados. O efeito do atraso deve

ser então minimizado para que o chaveamento direcione o sistema para a superfície deslizante

desejada (LEE; LEE, 1999).

Para diminuir os efeitos causados pelo atraso computacional, que é considerado neste tra-

balho como uma falha a ser detectada e acomodada, são mostrados dois controladores digitais

com modos deslizantes: um Controlador Discreto com Modos Deslizantes que não considera o

atraso computacional (CDMD-o), e um Controlador Discreto comModos Deslizantes, que con-

sidera o atraso computacional (CDMD-h) (RIBEIRO, 2006; CAUN, 2007; DAMAZO, 2008).

Um observador contínuo com modos deslizantes (EDWARDS; SPURGEON, 1994) é apre-

sentado neste trabalho, pois nem sempre é possível ter acesso a todos os estados do sistema

na prática. Neste trabalho o observador também tem a função de gerar um resíduo. Propõe-

se a utilização de um entre dois observadores: um observadorestima os estados do sistema

quando não há a ocorrência do atraso (falha), e o outro estimaos estados do sistema quando há

1 Introdução 9

ocorrência de um atraso computacional conhecido (GARCIA; BENNATON, 2002; GARCIA,

2002). Através de uma função residual direciona-se qual controlador deve estar atuando sobre

o sistema (ZHANG; JIANG, 2008; FRANK; DING, 1997).

A verificação do método proposto foi feita utilizando os modelos matemáticos não-lineares

de dois equipamentos da Quanser: o primeiro é um pêndulo invertido (QUANSER CONSUL-

TING INC., 1998), e o segundo é um Helicóptero 3DOF com três graus de liberdade (QUAN-

SER INNOVATE EDUCATE, 2007; MAIA, 2008).

O Capítulo 2 apresenta a técnica de controle com Estrutura Variável e Modos Deslizantes

(CEV-MD) (RIBEIRO, 2006; DAMAZO, 2008; GARCIA, 2002; RODRIGUES, 2009).

O projeto do observador robusto contínuo no tempo e com modo deslizante (EDWARDS;

SPURGEON, 1994; SPURGEON; EDWARDS, 1998) é apresentado no Capítulo 3.

No Capítulo 4 é apresentado o Controlador Discreto com Modo Deslizante que não consi-

dera o atraso computacional (CDMD-o) (RIBEIRO, 2006; CAUN, 2007; GARCIA et al., 2005;

RODRIGUES, 2009).

Um Controlador Discreto com Modos Deslizantes que leva em consideração o atraso com-

putacional em seu projeto (CDMD-h) é apresentado no Capítulo 5(RIBEIRO, 2006; DAMAZO,

2008; GARCIA, 2002; RODRIGUES, 2009).

No Capítulo 6 são apresentadas duas técnicas para detecção e acomodação de falhas, uma

que se baseia nos estados estimados pelos observadores (APOLINARIO, 2009; RODRIGUES,

2009), e outra que se baseia no sinal de controle.

O Capítulo 7 apresenta os dois modelos matemáticos não-lineares e seus respectivos siste-

mas, que são usados para testar as técnicas de detecção e acomodação de falhas.

No Capítulo 8 são apresentados os resultados das simulações que foram realizadas nos

modelos matemáticos não-lineares que representam as dinâmicas dos sistemas.

O Capítulo 9 mostra os resultados experimentais obtidos no helicóptero 3DOF e no pêndulo

invertido.

O Capítulo 10 apresenta as conclusões do trabalho.

10

2 Controle com Estrutura Variável eModos Deslizantes

Baseado em (RIBEIRO, 2006; DAMAZO, 2008; CAUN, 2007; GARCIA, 2002).

Um sistema de Controle com Estrutura Variável e Modos Deslizantes é caracterizado por

uma lei de controle que é chaveada quando o estado do sistema cruza certas superfícies con-

tínuas no espaço de estados. Esta estrutura de controle é usualmente não-linear e resulta em

um sistema com estrutura variável que pode ser considerado como uma combinação de sub-

sistemas, cada um com uma estrutura fixa e que opera em uma região específica do espaço de

estados (UTKIN, 1992).

Assim, a estratégia de CEV/MD utiliza uma lei de controle chaveada para conduzir e manter

a trajetória dos estados de uma planta em uma superfície específica (chamada superfície de

deslizamento ou superfície de chaveamento), ou sobre a intersecção de todas as superfícies

escolhidas no espaço de estados. Quando a trajetória dos estados atinge esta superfície e nela

permanece, diz-se que o sistema está na condição de deslizamento ou em modo deslizante.

A existência de um modo deslizante requer a estabilidade da trajetória de estado para a

superfície de deslizamento. Uma lei de controle chaveada deve então ser projetada para asse-

gurar que a trajetória de estados se dirija à superfície de deslizamento (alcançabilidade) e nela

permaneça durante todo o tempo subsequente (atratividade)(DECARLO; ZAK; MATTHEWS,

1988) e (SPURGEON; EDWARDS, 1998).

Assegurar a existência de um modo deslizante na superfície de deslizamento é um caminho

necessário no projeto de CEV/MD. Projetar a dinâmica da superfície é um caminho comple-

mentar do problema.

Assim, são duas as etapas principais no projeto:

(i) Projeto de uma superfície de deslizamento, tal que a dinâmica da planta, quando em

deslizamento, tenha uma trajetória desejada;

2.1 Modelo do Sistema 11

(ii) Desenvolvimento de uma lei de controle tal que satisfaça as condições de existência e

alcançabilidade ao modo deslizante.

CEV/MD é caracterizado por ser insensível à certas perturbações que ocorrem nos canais

de entrada do sistema, ditas perturbações casadas (DRAZENOVIC, 1969), (UTKIN, 1978) e

(DECARLO; ZAK; MATTHEWS, 1988).

2.1 Modelo do Sistema

Considera-se uma classe de sistemas não-linear no vetor de estadox(t) e linear no vetor

controleu(t), da forma:

x(t) = f (t,x,u) = f (t,x)+B(t,x)u(t) (2.1)

onde o vetor de estadosx∈ Rn , o vetor controleu∈ R

m, f (t,x) ∈ Rn e B(t,x) ∈ R

n×m. Além

disso, cada elemento def (t,x) e B(t,x) são assumidos contínuos, com derivadas contínuas e

limitadas com respeito àt ex.

2.1.1 Superfície de Deslizamento

A superfície de deslizamento ou superfície de chaveamentoσ (x(t)) = 0 é um espaço fe-

chado(n−m) dimensional emRn , determinado pela intersecção de superfícies de chaveamento

de dimensão(n−m). As superfícies de chaveamento são projetadas tal que o sistema, restrito

a superfícieσ (x(t)) = 0, tenha comportamento desejado.

Seja a superfície de deslizamento definida por

x(t)/σ (x(t)) = 0 (2.2)

cada entradaui (t) do controle chaveadou(t) ∈ Rm tem a forma

ui (t,x) =

u+i (t,x) com σi (x(t)) > 0

u−i (t,x) com σi (x(t)) < 0

, i = 1, · · · ,m (2.3)

ondex(t) | σi (x(t)) = 0 é a i-ésima superfície de deslizamento associada com a superfície

de deslizamento (2.2) de dimensão(n−m). As superfícies de deslizamento são projetadas tais

que a resposta do sistema restrito àx(t) |σ (x(t)) = 0 tenha o comportamento desejado.


Considera-se neste trabalho, a superfície de deslizamento da forma

x(t) |σ (x(t)) = Sx(t) = 0 (2.4)

em queSé chamada matriz da superfície de deslizamento, sendoS∈ Rn×n. Por simplicidade, a

notação utilizada para designar a superfície de deslizamento será

σ (x(t)) = Sx(t) = 0 (2.5)

2.1.2 Modos Deslizantes

Após ser projetada a superfície de deslizamento desejada, opróximo aspecto importante

de CEV/MD é garantir a existência de um modo deslizante. Um modo deslizante existe se na

vizinhança da superfície de deslizamento,σ(x(t)) = 0, a tangente ou vetor velocidade da traje-

tória de estado sempre está direcionado para superfície de deslizamento. Consequentemente, se

a trajetória do estado intercepta a superfície de deslizamento, o valor da trajetória de estado ou

“ponto representativo” se mantém dentro de uma vizinhança dex/σ(x) = 0 . Se o modo des-

lizante existe emσ(x) = 0, entãoσ(x) é chamado superfície de deslizamento. Como visto na

Figura (2.1), o modo deslizante não pode existir na i-ésima superfície deslizante separadamente,

mas somente na intersecção de todas as superfícies.

(x0, t0)

σ1 = 0

(x1, t1)

σ = 0σ2 = 0

Figura 2.1: A Superfície Deslizante é a Intersecção das i-ésimas Superfícies Existentes.

Um modo deslizante ideal existe somente quando a trajetóriade estadox(t) da planta con-

trolada satisfazσ (x(t)) = 0 para todot ≥ t0, para algumt0. Isto requer chaveamentos infini-

tamente rápidos. Em sistemas reais, todas as funções com controle chaveados tem imperfei-

ções tais como retardamento, histereses, etc., que forçam os deslizamentos ocorrerem em uma


frequência finita. A trajetória de estado então oscila em umacerta vizinhança da superfície

de deslizamento. Esta oscilação é chamada de trepidação. Portanto, o modo deslizante real

não ocorre sobre as superfícies contínuas, mas dentro de umacamada limite (UTKIN, 1978) e

(UTKIN, 1992).

2.1.3 Condições de Existência de um Modo Deslizante

A existência de um modo deslizante requer estabilidade da trajetória para a superfície de

deslizamentoσ(x(t)) = 0, ou no mínimo para uma vizinhança desta, ou seja, os estadosdevem

aproximar-se da superfície assintoticamente. A maior vizinhança é chamada a região de atração.

Geometricamente, o vetor tangente ou derivada no tempo do vetor de estado, deverá apontar

para a superfície de deslizamento, na região de atração.

O problema de existência assemelha-se a um problema de estabilidade generalizada, então o

segundo método de Lyapunov fornece um conjunto natural paraa análise. Assim, a estabilidade

para a superfície de deslizamento requer a seleção de uma função de Lyapunov generalizada

V(t,x) que é definida positiva e tem uma derivada negativa definida emrelação ao tempo, na

região de atração (DECARLO; ZAK; MATTHEWS, 1988).

Definição 1 Um domínio K no espaço fechadoσ = 0 é um domínio de modo deslizante se para

cadaε > 0, existeδ > 0, tal que qualquer movimento iniciado dentro de uma vizinhança δ de

dimensão n de K pode deixar a vizinhançaε de dimensão n de K somente através da vizinhança

ε de dimensão n da fronteira de K(Figura 2.2).

Vizinhançado ponto

limite de K

Pontolimite de K

x1 σ =0

x2

K

δε

ε

Figura 2.2: Ilustração Bidimensional do Domínio do Modo Deslizante.

Teorema 1 Para o domínio K, de dimensão(n−m) ser o domínio de um modo deslizante, é


suficiente que, paraΩ ⊃ K, de dimensão n, exista uma função V(t, x, σ) diferenciável com

respeito a todos os seus argumentos, satisfazendo as seguintes condições (UTKIN, 1978):

(a) V(t, x, σ) é definida positiva em relação àσ , isto é, V(t, x, σ) > 0 comσ 6= 0 e t, x

arbitrários, V(t, x, 0) = 0 ; e na esfera‖σ‖ = ρ para todo x∈ Ω e algum t, tem-se:

i) inf‖σ‖=ρ

V(t,x,σ) = hp,hp > 0 (2.6)

ii) sup‖σ‖=ρ

V(t,x,σ) = Hp,Hρ > 0 (2.7)

onde hp e Hp dependem deρ(hp 6= 0 seρ 6= 0).

(b) A derivada em relação ao tempo de V(t, x, σ) para o sistema(2.1) tem um supremo

negativo para todo x∈ Ω, exceto para x na superfície de deslizamento onde o controlena

entrada não está definido, e por isso a derivada de V(t, x, σ) não existe.

Nota 1 Um modo deslizante é globalmente alcançado se o domínio de atração é todo o espaço

de estados. De outra forma o domínio de atração é um subconjunto do espaço de estado.

Considere o sistema de equação (2.1), com a notação

x(t) = f (t,x,u) (2.8)

e a seguinte estratégia geral de controle

u =

u+(t,x) se σ(x) > 0

u−(t,x) se σ(x) < 0(2.9)

De acordo com (FILLIPOV, 1988), as trajetórias de estado do sistema (2.8), com controle

(2.9), na condição de deslizamento,σ(x(t)) = 0, são as soluções da equação

x(t) = αf+ +(1−α)f− = f0,0≤ α ≤ 1 (2.10)

onde

f+= f(t,x,u+)

e

f−= f(t,x,u−).


Resolvendo a equação⟨

gradσ , f0⟩ = 0 paraα tem-se

α =

⟨

gradσ , f−⟩

⟨

gradσ ,(f−−f+)⟩

Sendo:

(a)⟨

gradσ ,(

f−−f+)⟩

> 0

(b)⟨

gradσ , f+⟩

≤ 0 e⟨

gradσ , f−⟩

≥ 0, em que a notação,〈a,b〉, denota o produto interno

entrea eb, também escrito comoa.b, e gradσ o gradiente deσ(x).

Assim, pode-se concluir que, a solução de (2.8) com controle(2.9) existe e é unicamente de-

finida emσ(x(t)) = 0 (FILLIPOV, 1988). Nota-se também que esta técnica pode serusada para

determinar o comportamento da planta no modo deslizante (DECARLO; ZAK; MATTHEWS,

1988) e (FILLIPOV, 1988).

O método de Filippov (FILLIPOV, 1988), apresentado acima, éuma técnica que torna

possível a determinação do movimento de um sistema num modo deslizante. f 0 representa a

velocidade “média”, ˙x, da trajetória de estado restrita à superfície de deslizamento.

2.1.4 O Método do Controle Equivalente

O método do controle equivalente (UTKIN, 1978) e (DECARLO; ZAK; MATTHEWS,

1988) é utilizado para determinar o movimento do sistema restrito à superfície de deslizamento

σ(x(t)) = 0. Suponha que emt0 , a trajetória de estado da planta intercepta a superfície de

deslizamento e um modo deslizante existe parat ≥ t0. A existência de um modo deslizante

ideal implica queσ(x(t)) = 0 eσ(x(t)) = 0, para todot ≥ t0.

Diferenciandoσ(x) = 0 em relação àt , tem-se[

∂σ∂x

]

x = 0.

Substituindo ˙x por (2.1), tem-se[

∂σ∂x

]

x =

[

∂σ∂x

]

[

f (t,x)+B(t,x)ueq]

= 0 (2.11)

ondeueq é chamado de controle equivalente e é solução da equação (2.11).

Para calcularueq, assume-se que o produto matricial[

∂σ∂x

]

B(t,x) é não singular para todot

ex. Então,

2.2 Comentários 16

ueq = −

[[

∂σ∂x

]

B(t,x)

]−1 ∂σ∂x

f (t,x). (2.12)

Após a substituição desteueq em (2.1), a equação resultante descreve o comportamento

do sistema restrito à superfície de deslizamento, desde quea condição inicialx(t0) satisfaz

σ(x(t0)) = 0.

Assim, dadoσ(x(t0)) = 0, a dinâmica do sistema sobre a superfície de deslizamento para

t ≥ t0, é dada por

x =

[

I −B(t,x)

[

∂σ∂x

B(t,x)

]−1 ∂σ∂x

]

f (t,x). (2.13)

Supondo que a superfície de deslizamento é linear e é dada porσ(x(t)) = Sx(t) = 0, então∂σ∂x = S, e (2.13) reduz-se a

x =[

I −B(t,x) [SB(t,x)]−1S]

f (t,x). (2.14)

Observe que (2.13), juntamente com a restriçãoσ(x) = 0 determina o movimento do sis-

tema sobre a superfície de deslizamento. Então, o movimentodo sistema (2.1), restrito à super-

fície de deslizamento, será governado por um conjunto de equações de ordem reduzida.

Algumas aplicações de controle requerem uma superfície de deslizamento variando no

tempo: σ(t,x) = 0. Neste caso,σ (t,x) =(

∂σ∂ t

)

+(

∂σ∂x

)

x e o controle equivalente toma a

forma

ueq = −

[

∂σ∂x

B(t,x)

]−1[

∂σ∂x

f (t,x)+∂σ∂ t

]

. (2.15)

2.2 Comentários

Neste capítulo foram apresentados alguns aspectos de Controle com Estrutura Variável e

Modos Deslizantes.

No próximo capítulo será apresentado o projeto do Observador Robusto com Modos Des-

lizantes (MD), que além de ter a utilidade de estimar os estados não disponíveis do sistema,

também é utilizado para gerar a função resíduo, a qual é utilizada para escolher qual controla-

2.2 Comentários 17

dor estará atuando sobre a planta a ser controlada.

18

3 Observador Robusto com ModosDeslizantes

Baseado em (SPURGEON; EDWARDS, 1998; RIBEIRO, 2006; DAMAZO, 2008; GAR-

CIA, 2002).

O acesso pleno aos estados de um sistema para aplicações de estratégias de controle nem

sempre é possível, por isso o estudo de sistemas dinâmicos que estimem com eficiência os va-

lores dos estados sempre foi de grande importância. Para sistemas lineares, Luenberger (1971),

propôs um sistema dinâmico, chamado de observador, responsável por estimar os estados do

sistema em questão (SPURGEON; EDWARDS, 1998).

O observador é alimentado pela entrada de controle e pela diferença entre as saídas estima-

das do observador e as saídas reais da planta, que deve ser idealmente nula.

3.1 Observador com Modo Deslizante

Considere o sistema incerto descrito abaixo:

x(t) = Ax(t)+Bu(t −h)+ f (t,x,u)

y(t) = Cx(t)(3.1)

ondeA∈ Rn×n, B∈ R

n×m eC∈ Rp×n. Admite-se que as matrizesB eC são de posto completo

e a funçãof : R+ ×Rn×R

m → Rq é desconhecida e representa a incerteza do sistema. Um

problema natural para ser considerado inicialmente é o casoparticular quando as incertezas do

sistema podem ser consideradas casadas. Suponha então que:

f (t,x,u) = Dξ (t,x,u) (3.2)

onde a funçãoξ : R+×Rn×R

m → Rq é desconhecida, porém limitada, tal que

3.1 Observador com Modo Deslizante 19

‖ξ (t,x,u)‖ ≤ r1‖u‖+α (t,y) (3.3)

onder1 é um escalar positivo conhecido eα : R+×Rp → R+ é uma função conhecida. Tem-se

também que a matriz constanteD ∈ Rn×q é de posto completo e quep≥ q.

3.1.1 Forma Canônica para o Projeto do Observador

Apresentado o sistema a ser estudado, será mostrado e analisado o observador com modo

deslizante. Entretanto, este sistema será apresentado primeiramente em uma forma que facili-

tará a análise e compreensão do projeto. Esta forma é denominada forma canônica do observa-

dor.

Suponha que exista uma mudança de coordenadas linearT0 tal que o sistema (3.1) possa

ser escrito como (SPURGEON; EDWARDS, 1998):

x1 (t) = A11x1 (t)+A12y(t)+B1u (t −h)

y (t) = A21x1 (t)+A22y (t)+B2u (t −h)+D2ξ(3.4)

ondex1 ∈ Rn−p, y∈ R

p e a matrizA11 tem autovalores estáveis. Considere o observador com

modo deslizante da forma:

˙x1 (t) = A11x1 (t)+A12y (t)+B1u (t −h)−A12ey (t)

˙y (t) = A21x1 (t)+A22y (t)+B2u (t −h)−(

A22−As22

)

ey (t)+v(3.5)

ondeAs22 é uma matriz de projeto estável eey (t) = y (t) − y(t). SejaP2 ∈ R

p×p uma matriz

de Lyapunov, simétrica e positiva definida paraAs22, então o vetor descontínuov é definido por:

v =

−ρ (t,y,u) ‖D2‖P2ey

‖P2ey‖se ey 6= 0

0 se ey = 0(3.6)

onde a função escalarρ : R+×Rp×R

m → R+ satisfaz

ρ (t,y,u) ≥ r1 ‖u‖+α (t,y)+ γ0 (3.7)

e γ0 é um escalar positivo.

Seja o erro de estimação de estados definido pore1 (t) = x1 (t)− x1 (t) e ey (t) = y (t)−


y (t), então dos sistemas (3.4) e (3.5) temos:

e1(t) = A11e1 (t) (3.8)

ey(t) = A21e1 (t)+As22ey (t)+v−D2ξ . (3.9)

O sistema formado pelas equações (3.8) e (3.9) representa a dinâmica do erro resultante

da representação do espaço de estado, na forma canônica, para a planta e para o observador.

Assim, para analisar a estabilidade do sistema dinâmico, será utilizado a proposição que segue.

Proposição 1 Existe uma família de matrizes positivas definidas e simétricas P2 ∈ Rp×p, tais

que a dinâmica do erro dada pela equação(3.8)é assintoticamente estável.

Prova: SejamQ1 ∈ R(n−p)×(n−p) e Q2 ∈ R

p×p, matrizes de projeto positivas definidas e

simétricas e define-seP2 ∈ Rp×p como a única solução positiva definida e simétrica da equação

de Lyapunov

P2 As22+(As

22)T P2 = −Q2. (3.10)

Define-se

Q3 = AT21 P2 Q−1

2 P2 A21+Q1 (3.11)

e nota-se queQ3 = QT3 eQ3 é positiva definida.

SejaP1 ∈ R(n−p)×(n−p) a única solução positiva definida e simétrica da equação de Lyapu-

nov

P1 A11+AT11 P1 = −Q3. (3.12)

Considere a forma quadrática dada por

V (e1,ey) = eT1 P1e1 +eT

y P2ey (3.13)

como uma candidata a função de Lyapunov.

Derivando ao longo da trajetória do sistema a equação (3.13), tem-se

V (e1,ey) = −eT1 Q3e1 +eT

1 AT21P2ey +eT

y P2A21e1−eTy Q2ey +2eT

y P2v−2eTy P2D2ξ . (3.14)


Define-se uma nova identidade como sendo

eTy Q2 ey =

(

ey−Q−12 P2A21e1

)TQ2

(

ey−Q−12 P2A21e1

)

≡

eTy Q2ey−eT

1 AT21P2ey−eT

y P2A21e1 +eT1 AT

21P2Q−12 P2A21e1.

(3.15)

Substituindo a identidade (3.15) na equação (3.14) tem-se:

V (e1,ey) = −eT1 Q3e1 +eT

1 AT21P2Q−1

2 P2A21e1− eTy Q2ey +2eT

y P2v−2eTy P2D2ξ

= −eT1 Q1e1− eT

y Q2ey +2eTy P2v−2eT

y P2D2ξ= −eT

1 Q1e1− eTy Q2ey +2ρ (t,y,u) ‖D2‖

∥

∥P2ey∥

∥−2eTy P2D2ξ .

(3.16)

Agora, substituindo a incerteza limitada da equação (3.3) ea expressão dada na equação

(3.7) em (3.16) tem-se:

V (e1,ey) = −eT1 Q1e1− eT

y Q2ey−2ρ (t,y,u)‖D2‖∥

∥P2ey∥

∥−2‖D2‖(r1‖u‖+α (t,y))∥

∥P2ey∥

∥

= −eT1 Q1e1− eT

y Q2ey−2γ0‖D2‖∥

∥P2ey∥

∥ < 0 para (e1,ey) 6= 0

então, a dinâmica do erro é assintoticamente estável.

Seja a superfície de deslizamento para o espaço da dinâmica do erro dada como segue:

S0 =

e(t) ∈ ℜn : Ce= ey = 0

(3.17)

ondee(t) =

[

e1(t)

ey(t)

]

.

Como vimos, a dinâmica do erro é assintoticamente estável. Isto garante quee(t) → 0

quandot → ∞, ou seja, os estados da dinâmica do erro “convergem” assintoticamente para o

deslizamento mas não garante o alcance e a permanência no mesmo. Desta forma, surge a

necessidade do corolário que segue

Corolário 1 A superfície de deslizamento(3.17) garante a existência e alcançabilidade do

deslizamento sobre a mesma.

Prova:

Considere a seguinte forma quadrática

Vs (ey) = eTy P2ey. (3.18)

Diferenciando a forma quadrática (3.18) e, em seguida, substituindo o valor da expressão


(3.9) tem-se

Vs = −eTy Q2ey + 2eT

y P2A21e1 + 2eTy P2 (v − D2ξ ) . (3.19)

Substituindo em (3.19) as equações (3.6), (3.7), (3.8) e (3.9) tem-se

Vs ≤ 2∥

∥P2ey∥

∥ ‖A21e1‖ − 2γ0 ‖D2‖∥

∥P2ey∥

∥ . (3.20)

Considerando o domínioΩ como sendo:

Ω =

(e1 , ey) : ‖A21e1‖ < ‖D2‖ γ0−η

ondeη é um pequeno escalar positivo. Então a equação (3.20) torna-se

Vs ≤ − η∥

∥P2ey∥

∥ .

Pela Proposição 1 pode-se afirmar que o erro da saídaey entrará no dominoΩ em um tempo

finito e nele permanecerá, o que garante a existência e alcançabilidade do modo deslizante para

a superfície de deslizamento (3.17).

Assim, sendo ˆx o vetor que representa os estados estimados dex e e = x− x , então o

observador robusto pode ser convenientemente escrito, nascoordenadas originais do sistema,

como segue:

˙x(t) = Ax(t)+Bu(t −h)+Gl [y(t)−Cx(t)]+Gnv (3.21)

o ganho linear

Gl = T−10

[

A12

A22−As22

]

(3.22)

o ganho não linear

Gn = ‖D2‖ T−10

[

0

IP

]

(3.23)

e o vetor descontínuo

v =



0 se ey = 0(3.24)

Toda análise do observador foi realizada supondo a existência de uma transformação linear

T0 tal que o sistema passe para a forma canônica desejada. Então, no próximo item, é mostrado

como obter essa transformação linear.


3.1.2 Transformação LinearT0

A partir do fato que apenas a saída será considerada acessível (SPURGEON; EDWARDS,

1998), é conveniente introduzir uma transformação de coordenadas tal que o sistema passe a ter

como saída os últimosp estados do mesmo. Então define-se:

Tc =

[

NTc

C

]

(3.25)

ondeNc ∈ Rn×(n−p) é o espaço nulo deC. A transformação de coordenadasx 7→ Tcx é não

singular por construção e, como consequência, no novo sistema de coordenadas a matriz de

distribuição da saída torna-se:

C =[

0 Ip

]

.

Desse ponto, será estabelecido um caso especial da forma regular. Suponha que no novo

sistema de coordenadas

D =

[

DC1

DC2

]

l n− p

l p

EntãoCD = DC2 e por suposiçãoposto(DC2) = q. Assim a pseudo-inversa

D⊥C2 =

(

DTC2DC2

)−1DT

C2

é bem definida e existe uma matriz ortogonalT ∈ Rp×p tal que

TTDC2 =

[

0

D2

]

(3.26)

ondeD2 ∈ Rq×q é não singular. Consequentemente, a mudança de coordenadasx 7→ TBx onde

TB =

[

In−p −DC1D⊥C2

0 TT

]

(3.27)

é não singular, e com respeito ao novo sistema de coordenadas, o trio (A,D,C) tem a forma

A =

[

A′11 A′

12

A′21 A′

22

]

D =

[

0

D2

]

C =[

0 T]

(3.28)

ondeA′11 ∈ R

(n−q)×(n−q). Por suposição as incertezas do sistema são casadas e consequente-

mente o deslizamento é independente das incertezas. Por isso, a forma canônica (3.27) pode

ser entendida como um caso especial da forma regular normalmente utilizada no projeto de

controladores modos deslizantes.


Agora com a submatrizA′11 ∈ R

(n−q)×(n−q), podemos particioná-la tal como

A′11 =

[

A11 A12

A21 A22

]

(3.29)

ondeA11∈R(n−p)×(n−p) e suponha que o par matricial(A11, A21) é observável. Assim, devemos

encontrar um ganho matricialL ∈ R(n−p)×(p−q) tal queA11+LA21 seja estável. Então define-se

uma transformação não-singular tal que

TL =

[

In−p Lbar

0 T

]

(3.30)

ondeLbar =[

L 0(n−p) × q

]

.

Dessa maneira, a transformação de mudança de coordenadasT0, citada neste trabalho é

calculada como

T0 = T−1C T−1

B T−1L (3.31)

3.1.3 Algoritmo para o Projeto do Observador Robusto

É possível sistematizar o projeto do observador seguindo ospassos dados a seguir:

Passo 1:Monte a transformação linear não-singularTC

TC =

[

NTC

C

]

comNC ∈ Rn×(n−p) e utilize-a para obter as coordenadas do sistema tal que a matriz C tenha a

formaC =[

0 IP]

.

Passo 2: ObtenhaDC1 e DC2 a partir deD. Se posto(DC2) < q, não existe observador

robusto. Caso contrário, encontre a matriz ortogonalT ∈ Rp×p , tal que

TTDC2 =

[

0

D2

]

e a pseudo-inversa definida comoD⊥C2 =

(

DTC2DC2

)−1DT

C2 para montar a transformação linear

não-singularx 7→ TBx que segueTB =

[

In−p −DC1D⊥C2

0 TT

]

e gere as matrizes do sistema nas

3.2 Comentários 25

novas coordenadas

A =

[

A′11 A′

12

A′21 A′

22

]

D =

[

0

D2

]

C =[

0 T]

Passo 3: Identifique os sub-blocos matriciais(A11, A21) de A′11. Se não for possível ser

encontrado um ganho matricialL ∈ R(n−p)×(p−q) que estabilizeA11+ LA21, então não existe

um observador robusto. Caso contrário encontreL.

Passo 4:Defina uma transformação não-singularTL, tal que

TL =

[

In−p Lbar

0 T

]

ondeLbar =[

L 0(n−p) × q

]

.

Passo 5:SejaP2 a única solução da equação de Lyapunov para a matriz estável de projeto

AS22 e a matriz positiva definida e simétrica de projeto Q2 . DefinaAS

22, Q2 e computeP2.

Passo 6:Calcule os ganhos matriciaisGl eGn.

Ganho linear

Gl = T−10

[

A12

A22−As22

]

,

e ganho não-linear

Gn = ‖D2‖ T−10

[

0

IP

]

.

Passo 7:Monte o observador robusto como segue:

˙x(t) = Ax(t)+Bu(t −h)+Gl [y(t)−Cx(t)]+Gnv

com

v =



0 se ey = 0

ondee( t ) = x(t)−x(t) eey ( t ) = y (t)−y (t).

3.2 Comentários

Nesse capítulo foi apresentado o projeto do controlador utilizado para a estimação de esta-

dos do sistema, uma vez que nem sempre é possível ter acesso a todos os estados do sistema. O

3.2 Comentários 26

controlador utilizado é um Observador com Modos Deslizantes que além de estimar os estados

não disponíveis do sistema, também gera através de comparações feitas com os estados lidos

do sistema um resíduo, que é utilizado nos esquemas de detecção de falhas. O resíduos e os

esquemas de detecção de falhas serão mostrados no Capítulo 6.

No próximo capítulo será apresentado o Controlador Discretocom Modos Deslizantes que

não considera o atraso no sinal de controle em seu projeto.

27

4 Controle Discreto com ModosDeslizantes sem AtrasoComputacional

Este capítulo é baseado em (RIBEIRO, 2006; CAUN, 2007; GARCIA et al., 2005; RODRI-

GUES, 2009).

A implementação de controle de modos deslizantes contínuosem computadores digitais

esbarra numa gama considerável de problemas, mencionados no Capítulo 2. Portanto, o pro-

jeto com base em ferramentas matemáticas de controle digital se faz necessário, para evitar

transtornos inerentes das técnicas de emulação1.

Quando ambientamos nosso controlador no meio digital (discreto), estamos levando em

consideração no projeto os conversores analógico/digital(A/D) e digital/analógico (D/A), bem

como o período de amostragem.

Portanto, a planta contínua a ser controlada também deve tersua dinâmica representada na

forma discreta.

4.1 Modelo Discreto no Espaço de Estados

Considere o modelo com múltiplas entradas e múltiplas saídas(MIMO) no espaço de esta-

dos contínuo, representado por

x(t) = Ax(t)+Bu(t)

y(t) = Cx(t)(4.1)

1O termo Emulação é usado quando algoritmos contínuos de controle são empregados em dispositivos digitais,tornando imprescindível a utilização de pequenos períodosde amostragem, para fazer com que o sinal discreto seaproxime o máximo possível de um sinal contínuo. Isto implica o uso de altas frequências de processamento e,portanto, exige mais capacidade de processamento do hardware responsável pela ação de controle.

4.1 Modelo Discreto no Espaço de Estados 28

ondeu(t) ∈ Rm é o vetor de controle,x(t) ∈ R

n é o vetor de estados disponíveis,y(t) ∈ Rp é o

vetor de saída eA∈ Rn×n, B∈ R

n×m eC∈ Rp×n são matrizes constantes.

Uma solução para o sistema (4.1) é dada por (FRANKLIN; POWELL; WORKMAN, 1998)

x(t) = eA(t−t0)x(t0)+∫ t

t0eA(t−τ)Bu(τ)d(τ). (4.2)

Definindot0 = k∆ e t = k∆+∆, onde∆ é o período de amostragem, então surge uma versão

particular de (4.2):

x(k∆+∆) = eA∆x(k∆)+∫ k∆+∆

k∆eA(k∆+∆−τ)Bu(τ)d(τ). (4.3)

Este resultado é independente do tipo de bloqueio porqueu é especificado em termos de

tempo contínuo,u(t) , sobre o intervalo de amostragem. Uma suposição comum e tipicamente

válida, para um bloqueador de ordem zero (ZOH) sem atraso, é que

u(τ) = u(k∆), k∆ ≤ τ < k∆+∆. (4.4)

Para facilitar a solução de (4.3) para um ZOH sem atraso, nós mudamos as variáveis na

integral deτ paraη tal que

η = k∆+∆− τ. (4.5)

Então tem-se

x(k∆+∆) = eA∆x(k∆)+∫ ∆

0eAηdηBu(k∆). (4.6)

Definindo

Φ = eA∆ e Γ =∫ ∆

0eAηdηB (4.7)

então (4.6) e (4.1) são reduzidas para a forma

xk+1 = Φxk +Γuk

yk = Cxk

(4.8)

ondeuk ∈ Rm é o vetor de controle discreto no tempo exk ∈ R

n, yk ∈ Rp são os sinais amostra-

4.2 Controlador Discreto com Modos Deslizantes (CDMD-o) 29

dos. As matrizes constantes sãoΦ ∈ Rn×n, Γ ∈ R

n×m eC∈ Rp×n.

Note quexk = x(k∆), yk = y(k∆) e uk = u(k∆). Esta nova notação é adotada por questão

de simplicidade.

A matriz Φ pode ser calculada pela expansão em séries

Φ = eA∆ = I +A∆+A2∆2

2!+

A3∆3

3!+ ...

sendoI a matriz identidade. Assim,Φ também pode ser escrita como

Φ = I +A∆Ψ (4.9)

onde

Ψ = I +A∆2!

+A2∆2

3!+ ... (4.10)

A integralΓ em (4.7) pode ser validada termo a termo, resultando em

Γ =∞

∑k=0

Ak∆k+1

(k+1)!B =

∞

∑k=0

Ak∆k

(k+1)!∆B

Γ = Ψ∆B. (4.11)

Pode-se calcularΦ por (4.9) eΓ por (4.11) de maneira mais fácil, e assim representar uma

planta contínua no meio discreto.

4.2 Controlador Discreto com Modos Deslizantes (CDMD-o)

Considere o sistema discreto representado por (4.8). O controle é dado a cada instante de

amostragemk∆. Em controle digital, a i-ésima entrada de controleui(t) tem um valor constante

entre as amostragens

ui(t) = uik = ueqik +u±ik, k∆ ≤ t < (k+1)∆ (4.12)

ondeueqik é a i-ésima componente do vetor de controle equivalente discreto eu±ik é a i-ésima

componente do vetor de controle que mantém o sistema na superfície deslizante. A técnica

proposta aqui é aplicável a sistemas multivariáveis. Assim, o índice i = 1,2, ...,m, ondem

caracteriza o número de entradas de controle no sistema.

4.3 Projeto da Superfície Deslizante e da Lei de Controle 30

4.3 Projeto da Superfície Deslizante e da Lei de Controle

A superfície deslizante discreta no tempoSk é definida por

Sk = Gxk (4.13)

onde a matrizG∈ Rm×n, composta pelos ganhos da superfície deslizante, é projetada tal que o

sistema, mantido sobreSk para todok, seja assintoticamente estável.

Uma lei de controle equivalente para o sistema (4.8) em deslizamento, para todok, é obtida

deSk+1 = Sk. Então

ueqk = Feqxk (4.14)

onde Feq = −(GΓ)−1G(Φ− I) e GΓ é uma matrix não-singular.G é uma matriz constante

projetada tal que o sistema, em modo deslizante, seja estável.

Agora, a lei de controleu±k , responsável por conduzir os estados do sistema para o modo

deslizante, é projetada.

Supondo a seguinte candidata à função de Lyapunov

Vk =12

STk Sk. (4.15)

A condição de existência da superfície deslizante discretaé dada por,

Vk+1 < Vk, para ‖Sk‖ 6= 0. (4.16)

Substituindo (4.15) em (4.16), a condição será

12

STk+1Sk+1 <

12

STk Sk, ‖Sk‖ 6= 0. (4.17)

Considerando que

∆Sk+1 = Sk+1−Sk = Gxk+1−Gxk = G(Φxk +Γuk)−Gxk (4.18)

e substituindo (4.12) e (4.14) em (4.18) tem-se

4.4 Análise da Robustez 31

∆Sk+1 = G Γu±k . (4.19)

Inserindo a relaçãoSk+1 = Sk + ∆Sk+1 e (4.19) na condição (4.17), e reorganizando os

termos, obtém-se

(GΓu±k )TSk < −12(GΓu±k )T(GΓu±k ), ‖Sk‖ 6= 0. (4.20)

Por simplicidade, admite-se queGΓ = I (sendo queI é a matriz identidade). Então, a con-

dição de existência para a superfície deslizante discreta é

(u±k )TSk < −12(u±k )T(u±k ), ‖Sk‖ 6= 0. (4.21)

Uma lei discretau±k que satisfaz a condição de existência (4.21) é dada por

u±k = −Sk. (4.22)

Dessa forma, a lei de controle discreta que não considera o atraso no tempo de computação

apresenta a seguinte estrutura

uk = ueqk +u±k

uk = −[(GΓ)−1G(Φ − I)xk +Sk ](4.23)

com Sk = Gxk.

4.4 Análise da Robustez

A lei de controle discreta proposta em (4.23), além da rápidacomputação, também apre-

senta robustez para uma classe de incertezas como será mostrado a seguir.

Considere o sistema discreto incerto

xk+1 = Φxk +Γuk +∆ f (xk)

yk = Cxk

(4.24)

onde∆ f (xk) ∈ Rn é a função discreta que representa as incertezas da planta.

Proposição 2 Se‖G∆ f (xk)‖< ‖Gxk‖ para todo k, então o sistema(4.24), com lei de controle

4.4 Análise da Robustez 32

discreta(4.23), garante a condição de alcançabilidade à superfície deslizante(GARCIA et al.,

2005).

Demonstração:Considerando as incertezas, tem-se

∆Sk+1 = Sk+1−Sk = Gxk+1−Gxk

∆Sk+1 = G(Φxk +Γuk +∆ f (xk))−Gxk (4.25)

substituindo (4.12) e (4.14) em (4.25), segue

∆Sk+1 = GΓu±k +G∆ f (xk). (4.26)

Para a candidata a função de LyapunovVk = 12ST

k Sk, segue-se que

Vk+1 =12

STk+1Sk+1 (4.27)

Vk+1 =12(Sk +∆Sk+1)

T(Sk +∆Sk+1). (4.28)

Substituindo (4.26) em (4.28) segue que

Vk+1 =12(Sk +GΓu±k +G∆ f (xk))

T(Sk +GΓu±k +G∆ f (xk)). (4.29)

Considerando queu±k = −Sk, GΓ = I e substituindo em (4.29)

Vk+1 =12(Sk−Sk +G∆ f (xk))

T(Sk−Sk +G∆ f (xk))

Vk+1 =12(G∆ f (xk))

T(G∆ f (xk))

Vk+1 =12‖G∆ f (xk)‖

2 . (4.30)

Uma vez que

Vk =12

STk Sk =

12(Gxk)

T(Gxk)

Vk =12‖Gxk‖

2 (4.31)

se‖G∆ f (xk)‖ < ‖Gxk‖, então de (4.30) e (4.31), tem-se que

Vk+1 < Vk

4.5 Comentários 33

‖G∆ f (xk)‖2 < ‖Gxk‖

2 (4.32)

e a condição de alcançabilidade à superfície deslizante é satisfeita.

4.5 Comentários

Neste capítulo foi apresentado o projeto de um Controlador Discreto com Modos Deslizan-

tes (CDMD-o) que não considera o atraso computacional em seu projeto. O projeto apresenta

robustez a uma certa classe de incertezas paramétricas, porém ocorrerá queda do desempenho

na presença de atraso computacional, como será visto nos capítulos 8 e 9. Então o projeto de

um controlador que considera o atraso computacional será apresentado no próximo capítulo.

34

5 Controle Discreto com ModosDeslizantes que Considera o AtrasoComputacional

Baseado em (RIBEIRO, 2006; DAMAZO, 2008; CAUN, 2007; RODRIGUES, 2009).

O uso de dispositivos digitais programáveis para realizar ocontrole robusto pode causar um

atraso considerável no sinal de controle, devido ao tempo deprocessamento.

Consequentemente, quando um algoritmo é implementado por umcomputador digital,

existe um atrasoh, causado principalmente pelo tempo de execução das instruções que ge-

ram o sinal de controle. É assumido que este atraso é conhecido, constante e menor que um

período de amostragem∆(0 < h < ∆).

Esta seção apresenta o projeto de um novo controlador com modos deslizantes que, além

de considerar os conversores analógico/digital (A/D), digital/analógico (D/A) e o período de

amostragem, também considera o atraso no tempo de computação. Este fator é decisivo, pois

contribui de maneira significativa para a melhoria do desempenho do controle.

Contudo, a planta contínua a ser controlada deve ter sua dinâmica representada na forma

discreta, e agora seu modelo também deve considerar o atrasocomputacional.

5.1 Modelo Discreto no Espaço de Estados Considerando oAtraso Computacional

Considere o modelo com múltiplas entradas e múltiplas saídas(MIMO) no espaço de esta-

dos contínuo, com atrasoλ na ação de controle, representado por

x(t) = Ax(t)+Bu(t −λ )

y(t) = Cx(t)(5.1)

5.1 Modelo Discreto no Espaço de Estados Considerando o Atraso Computacional 35

ondeu(t) ∈ Rm é o vetor de controle,x(t) ∈ R

n é o vetor de estados disponíveis,y(t) ∈ Rp é o

vetor de saída eA∈ Rn×n, B∈ R

n×m eC∈ Rp×n são matrizes constantes.

A solução geral para (5.1) é dada por (FRANKLIN; POWELL; WORKMAN, 1998). Assim

x(t) = eA(t−t0)x(t0)+∫ t

t0eA(t−τ)Bu(τ −λ )d(τ). (5.2)

Definindot0 = k∆ e t = k∆+∆, então

x(k∆+∆) = eA∆x(k∆)+∫ k∆+∆

k∆eA(k∆+∆−τ)Bu(τ −λ )d(τ). (5.3)

Substituindoη = k∆+∆− τ tem-se

x(k∆+∆) = eA∆x(k∆)+∫ 0

∆eAηBu(k∆+∆−λ −η)(−dη)

x(k∆+∆) = eA∆x(k∆)+∫ ∆

0eAηBu(k∆+∆−λ −η)dη . (5.4)

Separando o atrasoλ em um número integral de períodos de amostragem como uma fração,

tem-se

λ = ∆−h (5.5)

ondeh é o atraso no tempo de computação.

Com esta substituição, o sistema discreto pode ser escrito como

x(k∆+∆) = eA∆x(k∆)+∫ ∆

0eAηBu(k∆+h−η)dη (5.6)

A integral de (5.6) vai de 0 até∆. Assim, podemos quebrá-la em duas partes, obtendo

x(k∆+∆) = eA∆x(k∆)+∫ h

0eAηBdηu(k∆)+

∫ ∆

heAηBdηu(k∆−∆)

x(k∆+∆) = Φx(k∆)+Γ1u(k∆−∆)+Γ2u(k∆). (5.7)

Em (5.7) definimos

5.1 Modelo Discreto no Espaço de Estados Considerando o Atraso Computacional 36

Φ = eA∆, Γ1 =∫ ∆

heAηBdη e Γ2 =

∫ h

0eAηBdη (5.8)

Dessa forma o modelo discreto que considera o atraso computacional é dado por

xk+1 = Φxk +Γ1uk−1 +Γ2uk

yk = Cxk

(5.9)

ondeuk ∈ Rm é o vetor de controle discreto no tempo exk ∈ R

n, yk ∈ Rp são os sinais amos-

trados. As matrizes constantes sãoΦ ∈ Rn×n, Γ1 ∈ R

n×m, Γ2 ∈ Rn×m e C ∈ R

p×n. Note que

xk = x(k∆), yk = y(k∆) e uk = u(k∆). Esta nova notação é adotada por questão de simplicidade.

Neste modelo, a controlabilidade e a observabilidade são preservadas, mesmo na presença

do atraso no tempo de computação. Note que a matriz de entradaΓ satisfaz a relaçãoΓ =

Γ1 +Γ2.

A matriz Φ, do sistema discreto, pode ser calculada pela expansão em séries

Φ = eA∆ = I +A∆+A2∆2

2!+

A3∆3

3!+ ...

sendoI a matriz identidade. Assim,Φ também pode ser escrita como

Φ = I +A∆Ψ (5.10)

onde

Ψ = I +A∆2!

+A2∆2

3!+ ...

As parcelas da matriz de entrada,Γ1 e Γ2, podem ser calculadas de maneira mais simples,

através das seguintes relações matriciais

Γ1 = (∆−h)ΦhΨ∆−hB (5.11)

Γ2 = hΨhB (5.12)

5.2 Controlador Discreto com Modos Deslizantes Considerando o Atraso Computacional (CDMD-h)37

5.2 Controlador Discreto com Modos Deslizantes Conside-rando o Atraso Computacional (CDMD-h)

Considere o sistema discreto representado por (5.9). A lei decontrole é realizada por um

computador digital. O controle é dado a cada instante de amostragemk∆ com um atraso de

computaçãoh, constante e menor que∆. Em controle digital, a i-ésima entrada de controleui(t)

tem um valor constante entre as amostragens

ui(t) = uik = ueqik +u±ik, k∆+h≤ t < (k+1)∆+h (5.13)

ondeueqik é a i-ésima componente do vetor de controle equivalente discreto eu±ik é a i-ésima

componente do vetor de controle que mantém o sistema na superfície deslizante. A técnica

proposta aqui é aplicável a sistemas multivariáveis. Assim, o índice i = 1,2, ...,m, ondem

caracteriza o número de entradas de controle no sistema.

5.2.1 Projeto da Superfície Deslizante Discreta

A superfície deslizante discreta no tempo, que leva em consideração o tempo de atraso,Sk

é definida como

Sk = Gxk +GΓ1uk−1. (5.14)

Observe que esta nova superfície depende da componente atrasada do sinal de controle, e

este sinal é acessível. A escolha desta superfície é que compensa o atraso no sinal de controle,

e a matrizG ∈ R1×n é projetada tal que os estados, mantidos sobreSk para todok, sejam

assintóticamente estáveis.

Uma lei de controle equivalente para o sistema (5.9), para todo k, é obtida deSk+1 = Sk.

Então

Gxk+1 +GΓ1ueqk = Gxk +GΓ1ueq

k−1

G(

Φxk +Γ1ueqk−1 +Γ2ueq

k

)

+GΓ1ueqk = Gxk +GΓ1ueq

k−1

GΦxk +GΓ2ueqk +GΓ1ueq

k = Gxk

Considerando queΓ = Γ1 +Γ2, temos

5.3 Projeto da Lei de Controle Discreta 38

ueqk = Feqxk

Feq = −(GΓ)−1G(Φ− I)(5.15)

ondeG é uma matriz constante projetada tal que o sistema, em modo deslizante, seja estável.

5.3 Projeto da Lei de Controle Discreta

A lei de controleu±k , responsável por conduzir os estados do sistema para a superfície de

deslizamento, será projetada considerando o atraso computacional.

Vamos supor a seguinte candidata à função de Lyapunov

Vk =12

STk Sk. (5.16)

Para garantir a condição de existência da superfície deslizante discreta,

Vk+1 < Vk, para ‖Sk‖ 6= 0. (5.17)

Substituindo (5.16) em (5.17), a condição de existência para a superfície deslizante será

12

STk+1Sk+1 <

12

STk Sk, ‖Sk‖ 6= 0. (5.18)

Considerando (5.15) e (5.18), tem-se

∆Sk+1 = Sk+1−Sk = Gxk+1 +GΓ1uk−Gxk−GΓ1uk−1 (5.19)

resultando por (5.9) e (5.15) que

∆Sk+1 = G Γu±k . (5.20)

Inserindo a relaçãoSk+1 = Sk +∆Sk+1 em (5.18), obtém-se

12(Sk +∆Sk+1)

T(Sk +∆Sk+1) <12

STk Sk, ‖Sk‖ 6= 0 (5.21)

2∆STk+1Sk < −∆ST

k+1∆Sk+1, ‖Sk‖ 6= 0, ‖∆Sk+1‖ 6= 0. (5.22)

Substituindo (5.20) em (5.22) obtemos

(GΓu±k )TSk < −12(GΓu±k )T(GΓu±k ), ‖Sk‖ 6= 0. (5.23)

5.4 Análise da Robustez da Estabilidade 39

Vamos admitir queGΓ = 1(por uma questão simplicidade, no caso de entrada simples).

Então, a condição de existência para a superfície deslizante discreta é

(u±k )TSk < −12(u±k )T(u±k ), ‖Sk‖ 6= 0. (5.24)

Uma lei discretau±k que satisfaz a condição de existência (5.24) é dada por

u±k = −Sk. (5.25)

Dessa forma, a lei de controle discreta que considera o atraso no tempo de computação

apresenta a seguinte estrutura

u±k = −Sk

uk = ueqk +u±k = −[(GΓ)−1G(Φ − I)xk +Sk ]

com Sk = Gxk +GΓ1uk−1

(5.26)

5.4 Análise da Robustez da Estabilidade

A lei de controle discreta proposta em (5.26), além da rápidacomputação, também apre-

senta robustez para uma classe de incertezas como será mostrado a seguir.

Considere o sistema discreto com incerteza e atraso no tempo

xk+1 = Φxk +Γ1uk−1 +Γ2uk +∆ f (xk)

yk = Cxk

(5.27)

onde∆ f (xk) ∈ Rn é a função discreta que representa as incertezas da planta.

Teorema 2 Se‖G∆ f (xk)‖ < ‖G (xk + Γ1uk−1)‖ para todo k, então o sistema(5.27), com lei

de controle discreta(5.26), garante a condição de alcançabilidade à superfície deslizante.

Demonstração:Considerando as incertezas, temos

∆Sk+1 = Sk+1−Sk = Gxk+1 +GΓ1uk−Gxk−GΓ1uk−1

∆Sk+1 = G(Φxk +Γuk +∆ f (xk))−Gxk (5.28)

5.5 Comentários 40

substituindo (5.13) e (5.15) em (5.28), segue

∆Sk+1 = GΓu±k +G∆ f (xk). (5.29)

Para a candidata a função de LyapunovVk = 12ST

k Sk, segue-se que

Vk+1 =12

STk+1Sk+1 (5.30)

Vk+1 =12(Sk +∆Sk+1)

T(Sk +∆Sk+1). (5.31)

Substituindo (5.29) em (5.31) segue que

Vk+1 =12(Sk +GΓu±k +G∆ f (xk))

T(Sk +GΓu±k +G∆ f (xk)). (5.32)

Considerando queu±k = −Sk, GΓ = 1 (entrada única) e substituindo em (5.32)

Vk+1 =12(Sk−Sk +G∆ f (xk))

T(Sk−Sk +G∆ f (xk))

Vk+1 =12(G∆ f (xk))

T(G∆ f (xk))

Vk+1 =12‖G∆ f (xk)‖

2 . (5.33)

Uma vez que

Vk =12

STk Sk =

12(Gxk +GΓ1uk−1)

T(Gxk +GΓ1uk−1)

Vk =12‖Gxk +GΓ1uk−1‖

2 . (5.34)

Se‖G∆ f (xk)‖ < ‖G (xk + Γ1uk−1)‖, então de (5.33) e (5.34), temos que

Vk+1 < Vk

‖G∆ f (xk)‖2 < ‖G (xk + Γ1uk−1)‖

2 (5.35)

e a condição e atratividade é satisfeita.

5.5 Comentários

Neste capítulo foi apresentado o projeto de um Controlador Discreto com Modos Deslizan-

tes que considera o atraso computacional(CDMD-h), que apresenta robustez a uma certa classe

5.5 Comentários 41

de incertezas paramétricas e elimina os efeitos do atraso que são degenerativos ao sistema.

No próximo capítulo será apresentado dois esquemas de detecção e acomodação de falhas.

42

6 Proposta de Detecção e Acomodaçãode Falhas

Segundo (TEIXEIRA, 2005) uma falha é definida como um mau funcionamento de qual-

quer componente do sistema, sendo que a detecção e identificação de falhas são duas tarefas

importantes a serem realizadas por um sistema de monitoramento. Uma falha pode ocorrer re-

pentinamente (falha abrupta) ou lentamente (falha incipiente) em um componente. O fato de se

detectar rapidamente uma falha incipiente pode evitar panetotal da planta, que dependendo da

situação pode causar perda de material como também fatalidades graves em pessoas, como por

exemplo, em veículos lançadores de satélites, veículos espaciais, navios, submarinos, aviões de

alto desempenho, etc.

Detecção de falha é a indicação de que algo está errado no sistema e identificação é de-

terminar a localização da falha, ou seja, é a identificação dequal componente falhou. Feita

a detecção e a identificação pode-se providenciar um chaveamento adequado do controlador

ao tipo de falha ocorrida ou pode-se tomar outras providências para abortar o andamento do

processo em falha.

Neste trabalho será proposta uma técnica de identificação e adaptação do controlador à fa-

lha, a qual será o atraso no sinal de controle devido ao tempo de computação necessário para

gerar o sinal de entrada de controle digital. Assim, no esquema proposto é assumido que o

sistema sem atraso computacional é um sistema sem falha, e que o sistema com atraso compu-

tacional é um sistema com falha, sendo que esta falha deve seridentificada e o controlador deve

ser ativado para melhorar o desempenho e a estabilidade relativa do sistema.

6.1 Esquema de Detecção de Falhas Baseado na Estimaçãode Estados

Baseado em (APOLINARIO, 2009; RODRIGUES, 2009).

6.1 Esquema de Detecção de Falhas Baseado na Estimação de Estados 43

6.1.1 Resíduos

Considerando o sistema discreto dado por:

xk+1 = Φxk +Γ1uk−1 +Γ2uk

yk = Cxk

A saída discreta disponível da planta realyk ∈ Rp é comparada com as saídas dos obser-

vadores. Dois observadores são utilizados: na estrutura doprimeiro é admitido que o sistema

controlado é sem atraso computacional, fornecendo a saída ˆy0k ∈ R

p e o estado ˆx0k ∈ R

n; no ou-

tro observador é assumido que o atraso computacional está presente, fornecendo uma saída de

tempo discreto ˆyhk ∈ R

p e o estado ˆxhk ∈ R

n (ver Figura 6.1).

O resíduo será gerado pela norma das diferenças entre as saídas dos observadores e as saídas

da planta. Os resíduos, para cada um dos observadores, são definidos por:

r0k =

∥

∥y0i −yi

∥

∥ (6.1)

e

rhk =

∥

∥

∥yh

i −yi

∥

∥

∥. (6.2)

6.1.2 Diagnóstico da Falha e Adaptação do Controlador

A diferença entre as funções de resíduos, para cada observador, no período de amostragem

k é definida por:

rk = r0k − rh

k. (6.3)

O resíduo (6.3) indicará a real condição do sistema. Assim, odiagnóstico da falha pode ser

formulado como:

i) Se

r0k < rh

k (6.4)

então o sistema está operando sem atraso computacional, ou seja, sem falha.

ii) Se

r0k > rh

k (6.5)

então o sistema real está operando com atraso, ou seja, com falha.

6.1 Esquema de Detecção de Falhas Baseado na Estimação de Estados 44

6.1.3 Adaptação do Controlador

A adaptação do controlador pode ser chaveada conforme a seguinte lógica:

i) Se a condição (6.4) ocorre, ativa-se o controlador CDMD-o,eq.(4.23)

ii) Se a condição (6.5) ocorre, ativa-se o controlador CDMD-h, eq.(5.26)

Definindo a eq.6.3 então a função decisão para adaptar o controlador para as condições com

falha ou sem falha é dada por:

• serk > 0, então o controlador CDMD-h será ativado.

• serk < 0, então o controlador CDMD-o será ativado.

A Figura 6.1 ilustra o esquema proposto para detecção de falhas e adaptação do controlador.

DETECÇÃODE FALHAS

CDMD-h

CDMD-o

D/A A/D

OBSERVADOR

OBSERVADOR

SINAL DE CONTROLE SAÍDA

MODELO NÃO-LINEARDA PLANTA

IMPLEMENTAÇÃO DIGITAL

DETECÇÃO DE FALHAS

z-1

+

-

+-

+

-

uk yk

x0k

y0k

yhk

xhkuk−1

rk

rk

r0k y0

k

yk

yhkrh

k

Figura 6.1: Esquema para Detecção de Falhas e Adaptação do Controlador.

6.2 Esquema de Detecção de Falhas Baseado no Sinal de Controle (Alternativo) 45

6.2 Esquema de Detecção de Falhas Baseado no Sinal de Con-trole (Alternativo)

O esquema de detecção de falhas alternativo tem os mesmos componentes do esquema ja

proposto anteriormente, ou seja, para cada falha tem-se um controlador e um observador. No

esquema proposto anteriormente são gerados sinais estimados dos observadores e esses sinais

são então comparados com os sinais que estão sendo medidos nasaída da planta, então gera-se

um resíduo e a partir dai, é tomada a decisão de qual controlador estará atuando sobre a planta

a ser controlada.

No esquema alternativo, considera-se que se tem acesso ao sinal de controle que chega na

planta, logo ao invés de serem comparados os sinais estimados dos observadores, são compara-

dos os sinais de controle que estão sendo gerados pelos controladores, com o sinal de controle

que está chegando na planta a ser controlada.

Tem-se então duas funções decisão com a mesma forma, sendo que f dh=função decisão

com atraso ef do=função decisão sem atraso, sendo que

sedh 6= 0 entãof dh= -0,5 se nãof dh=1

e

sedo 6= 0 entãof do= -0,5 se nãof do=1.

Tem-se que

dh = uk−uhk (6.6)

do = uk−uok (6.7)

sendo que M é a função decisão dada pela soma dedh edo conforme mostrado na eq.6.8.

E = f dh + f do. (6.8)

Como somente o sinal de um controlador pode estar atuando sobre a planta,

seE > 0 então CDMD-o deve estar ativo

e

seE < 0 então CDMD-h deve estar ativo.

A Figura 6.2 ilustra o esquema proposto para detecção de falhas alternativo e adaptação do

6.3 Comentários 46

OBSERVADOR

MD-o

OBSERVADOR

MD-hCONTROLADOR

CDMD-h

CONTROLADOR

CDMD-o

Z

D/A A/D

MODELO NÃO LINEAR

SAÍDASINAL DE CONTROLE ky

1ku-

ku

ˆox

ˆhx

o

ku

h

ku

ku

ku

fdh

fdh

fdo

fd

-1

Z-1

Figura 6.2: Esquema para Detecção de Falhas Alternativo e Adaptação do Controlador.

controlador.

6.3 Comentários

Neste capítulo foi mostrado de forma introdutória o que é falha, e os seus efeitos degene-

rativos e até mesmo destrutivos ao sistema a ser controlado.Na tentativa de eliminar os efeitos

causados por uma falha, um esquema de detecção e adaptação decontroladores proposto por

(RODRIGUES, 2009) e por (APOLINARIO, 2009) foi apresentado, mas como esse esquema

em algumas simulações não obteve bons resultados, foi proposto neste capítulo um outro es-

quema para detecção e adaptação de controladores.

No capítulo seguinte serão apresentados os modelos dos sistemas a serem utilizados nas

simulações.

47

7 Aplicações

Nesta seção, serão apresentados os modelos matemáticos do sistema Pêndulo Invertido

e do Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero, ambos equipamentos da Quanser. Estes

sistema serão utilizados para a aplicação da metodologia proposta para identificação e adaptação

à falhas devido ao atraso computacional, cujos resultados são apresentados nos capítulos 8 e

9. Ambos os sistemas foram escolhidos por serem equipamentos disponíveis em laboratório,

naturalmente instáveis, não-lineares e, portanto, objetos adequados para aplicação de novas

técnicas de controle.

7.1 Sistema Pêndulo Invertido

O Sistema Pêndulo Invertido é mostrado na Figura 7.1, onde o pêndulo é montado sobre um

carrinho com motor, que está sobre um trilho. A base do pêndulo (carrinho motorizado) pode

se mover apenas em cima do trilho ao qual ele está posicionado. Portanto apenas um problema

bi-dimensional será considerado.

Este sistema pode ser comparado a um sistema lançador de foguetes, cujo objetivo é manter

a nave na posição vertical no momento do seu lançamento (CAUN,2007).

Na Figura 7.1,u é a força de controle,M é a massa do carro,mé a massa do pêndulo,x é a

posição do carro sobre o trilho eθ é o ângulo do pêndulo.

O vetor de estados para o Pêndulo Invertido é definido como

xT =

[

θ ,x,∂∂ t

θ ,∂∂ t

x

]

(7.1)

e o vetor de saída é

yT = [θ ,x] . (7.2)

As equações diferenciais que representam a dinâmica do sistema pêndulo invertido são

7.1 Sistema Pêndulo Invertido 48

θ

xu

0

l

m

M

y

mg

Figura 7.1: Sistema Pêndulo Invertido.

dadas a seguir (QUANSER CONSULTING INC., 1998)

(M +m) x−ml(sinθ)θ 2 +ml(cosθ)θ = u

mxcosθ +mlθ = mgsinθ +msinθθ x(7.3)

que também podem ser escritas da seguinte forma

θx

θx

=

θx

(M+m)gsinθ−mlsinθθ2cosθ+bxcosθ+(M+m)sinθθ x

l(M+m(sinθ)2)mlθ2 sinθ−mgsinθ cosθ−bx−mcosθ sinθθ x

M+m−m(cosθ)2

+

0

0

− acosθl(M+m(sinθ)2)

aM+m−m(cosθ)2

V (7.4)

onde a relação entre a força de controleu e a tensãoV, em Volts, gerada pelo computador digital

é

u = aV−bx (7.5)

e os valores numéricos dea eb, bem como todos os outros parâmetros são dados na Tabela7.1.

Tabela 7.1: Parâmetros Físicos do Sistema Pêndulo Invertido.Parâmetros Símbolo Valor Unidades

Comprimento do pêndulo l 0,61 mMassa do pêndulo m 0,21 Kg

Massa do carro M 0,4573 KgConstante gravitacional g 9,8 m/s2

Dado da placa de aquisição a 1,7378 -Dado da placa de aquisição b 7,6872 -

Linearizando o sistema no ponto de equilíbrio[

θ x θ x]

=[

0 0 0 0]

através

do comandolinmodno software MATLAB/SIMULINK, obtem-se as seguintes matrizes:

7.2 Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero 49

A =

0 0 1 0

0 0 0 1

46,9362 0 0 55,0860

−4,5049 0 0 −16,8012

(7.6)

B =

0

0

−12,4594

3,8001

(7.7)

que representam a dinâmica do sistema.

7.2 Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero

O Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero, usado neste trabalho, é o Helicóptero

3DOF e a descrição é detalhada no manual da Quanser (QUANSER INNOVATE EDUCATE,

2007). A planta é representada na Figura 7.2. A representação no espaço de estados com o

vetor de estados para o Helicóptero 3DOF é definido

xT =

[

ε, p,λ ,∂∂ t

ε,∂∂ t

p,∂∂ t

λ ,∫

εdt,∫

λdt

]

(7.8)

e o vetor de saída é

yT =

[

ε, p,λ ,∫

εdt,∫

λdt

]

. (7.9)

Onde as variáveisε, p e λ são o ângulo de elevação, ângulo de inclinação e ângulo de giro

horizontal respectivamente.

Para uma melhor representação do sistema real nas simulações, optou-se pela utilização de

um modelo não-linear (MAIA, 2008), e as equações diferenciais que representam a dinâmica

do sistema são dadas a seguir nas equações (7.10 - 7.17).

x1 = x4 (7.10)

x2 = x5 (7.11)

x3 = x6 (7.12)

7.2 Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero 50

Mw.g

Contra-peso Lw

Elevação

ε > 0

λ > 0

Giro

horizontal

Lh Lh

La

M f .gMh.gMb.g

Motor traseiroFb

Ângulode Inclinação

p > 0Ff Motor dianteiro

Figura 7.2: Planta Simplificado do Helicóptero 3DOF.

x4 = x26.ξ3.sen(2x1)+ξ4.cos(2x1)+ξ5.sen(x1)+

+ξ6.cos(x1)+ξ7(u21 +u2

2)+ξ8(u1 +u2).cos(x2)(7.13)

x5 = ξ16.ξ1(u21−u2

2)+ξ2(u1−u2)−υ2.x5 (7.14)

x6 = ξ13+ξ14.sen(2x1)+ξ15.cos(2x1)−1.υ1−υ3.x6+

+[ξ9(u21 +u2

2)+ξ10(u1 +u2)].sen(x2)+

+x4.x6.[ξ11.sen(2x1)+ξ12.cos(2x1)]

(7.15)

x7 = x1 (7.16)

x8 = x3. (7.17)

Os valores das constantes são dados na Tabela7.2.

A representação em espaço de estados é dada na forma:

x(t) = Ax(t)+Bu(t)

y(t) = Cx(t)(7.18)

7.3 Comentários 51

Tabela 7.2: Parâmetros do Modelo não-linear do Helicóptero.

Parâmetro Valor Parâmetro Valorξ1 0,1117N/V2 ξ11 1,0567Kg.m2

ξ2 0,0449N/V ξ12 −0,2515Kg.m2

ξ3 −0,4843 ξ13 0,5454Kg.m2

ξ4 0,1153 ξ14 0,1258Kg.m2

ξ5 −1,0389N/(m.Kg) ξ15 0,5283Kg.m2

ξ6 −1,3170N/(m.Kg) ξ16 4,1832(m.Kg)−1

ξ7 0,0656N/(m.Kg.V2) υ1 0,107N.mξ8 0,0264N/(m.Kg.V) υ2 0,18N.sξ9 −0,0718N.m/V2 υ3 0,47N.m.sξ10 −0,0289N.m/V - -

onde

A =

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0

−1,0389 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 −0.7530 0 0 0

−0,0234 −17.5355 0 0 0 −0,4377 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

(7.19)

BT =

[

0 0 0 1.4827 10.5611 0 0 0

0 0 0 1.5221 −10.5611 0 0 0

]

(7.20)

são as matrizes do modelo linearizado no ponto de operação[

ε p λ]

=[

27,5o 0o 0o]

.

Foi escolhido esse ponto como sendo o ponto de operação, poisé quando o helicóptero encontra-

se na horizontal, ou seja, paralelo com a mesa que da suporte àbase do helicóptero. O modelo

foi linearizado através do comandolinmodno software MATLAB/SIMULINK.

7.3 Comentários

Neste capítulo foram apresentados os modelos matemáticos dos dois sistemas a serem utili-

zados para comprovar a funcionalidade dos controladores descritos anteriormente e do esquema

de detecção de falha por atraso no tempo computacional do sinal de controle.

Quando se modela um sistema, alguns dos parâmetros podem nãoser considerados no

projeto, porque é muito difícil representar com perfeição as dinâmicas reais por um modelo

7.3 Comentários 52

matemático. Assim, a utilização de controladores robustos, capazes de compensar as incertezas

paramétricas da planta, são essenciais.

No próximo capítulo serão apresentados os resultados das simulações dos dois modelos

mostrados nesse capítulo.

53

8 Resultado das Simulações

Neste capítulo são apresentados os resultados das simulações. O objetivo principal das

simulações realizadas é o controle de um Sistema Pêndulo Invertido e de um Sistema de Simu-

lação de Voo de Helicóptero, mesmo na presença de falha devido ao atraso computacional. As

simulações foram feitas aplicando as técnicas de controle nos modelos não-lineares do Pêndulo

Invertido e Simulador de Voo de Helicóptero, e os controladores foram projetados a partir dos

modelos linearizados.

8.1 Resultados obtidos no Sistema Pêndulo Invertido

Para o Sistema Pêndulo Invertido, primeiramente foi utilizado um observador robusto com

modo deslizante para estimar os estados não disponíveis e obter resíduos. A partir do valor do

resíduo os controladores CDMD-o e CDMD-h foram ativados conforme a situação de falha.

8.1.1 Valores Numéricos e condições adotadas

Foi assumido que apenas as saídas da planta estão disponíveis, que são o ângulo do pêndulo

θ e a posição do carrinhox. Os estados são obtidos por estimação usando observadores.

A condição operacional inerente do controlador digital foisimulada como está mostrado

na Tabela 8.1. O caso sem falha indica que não existe atraso computacional, tal que, o sistema

deverá ser controlado pelo CDMD-o, eq.(4.23). A condição de falha indica que existe atraso

computacional, tal que, o sistema deverá ser controlado pelo CDMD-h, eq.(5.26). Para as

simulações foram utilizados dois períodos de amostragem que são 0,1 e 0,01 segundos.

Para o projeto do observador robusto MD foi usado o modelo linearizado contínuo em

torno do ponto de operação, conforme (7.6) e (7.7). Para o projeto dos controladores CDMD-o

e CDMD-h foram utilizadas as matrizesΦ e Γ para os dois períodos de amostragem.

Para o período de amostragem de 0,1 segundos as matrizes são

8.1 Resultados obtidos no Sistema Pêndulo Invertido 54

Tabela 8.1: Condição de Simulação.

Tempo (segundos) 0≤ t < 30 30≤ t < 60 60≤ t < 90 90≤ t ≤ 120Condição sem falha com falha sem falha com falha

Tipo de falha condição normal atraso no sinal condição normal atraso no sinalde controle de controle

Controlador ativo CDMD-o CDMD-h CDMD-o CDMD-h

Φ =

1,2140 0 0,1072 0,1765

−0,0144 1 −0,0005 0,0479

4,2371 0 1,2140 2,9409

−0,2405 0 −0,0144 0,1667

, (8.1)

ΓT =[

−0,0399 0,0118 −0,6652 0,1885]

(8.2)

e os valores numéricos da matrizG, usados no controle conforme (4.23) e (5.26), são

G =[

−10,5295 −2,3013 −1,8333 −3,2505]

(8.3)

Para o período de amostragem de 0,01 segundos as matrizes são

Φ =

1,0023 0 0,0100 0,0026

−0,0002 1 0 0,0092

0,4580 0 1,0023 0,5075

−0,0415 0 −0,0002 0,8453

, (8.4)

ΓT =[

−0,0006 0,0002 −0,1148 0,0350]

(8.5)


G =[

−96,8670 −20,1863 −16,9631 −28,5962]

. (8.6)

Os valores dos ganhos dos observadores MD, conforme (3.22) e(3.23), não dependem do

período de amostragem, e são


Gl =

80,0 0

0 82,0

6446,9 0

4402,4 5346,3

(8.7)

e

Gn=

1 0

0 1

80,0 0

55,0860 65,1988

(8.8)

8.1.2 Resultados da Simulação Para o Período de Amostragem de 0,1 Se-gundos e Atraso Computacional de 0,05 Segundos com ObservadorMD.

Os resultados das simulações com condições iniciais[

θ x θ x]

=[

0 0 0 0]

são mostrados na Figura 8.1 e na Figura 8.2. O intervalo de amostragem usado foi de 0,1

segundos e o atraso computacional foi de 0,05 segundos como condição de falha. O sinal de

referência usado para a posição do carro foi uma onda quadrada.

Os valores numéricos da matrizΓ1 usado no CDMD-h conforme (5.26) são

ΓT1 =

[

−0,0181 0,0052 −0,1285 0,0302]

. (8.9)

0 20 40 60 80 100 120

−0.1−0.05

00.050.1

Deslocamento do carro (m)

Tempo (segundos)

0 20 40 60 80 100 120−0.1

−0.05

0

0.05

0.1Ângulo do Pêndulo (rad)

Tempo (segundos)

Figura 8.1: Detecção de Falha Ativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e ângulo do Pêndulo(Amostragem de 0,1s e atraso de 0,05s).


0 20 40 60 80 100 120−5

0

5

Entrada do Controle

Tempo (segundos)

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo

Tempo (segundos)1: C

DM

D−

o ; 2

: CD

MD

−h

Figura 8.2: Detecção da Falha Ativa: Sinal de Controle e Controlador Ativo(Amostragem de0,1s e atraso de 0,05s).

Os controladores CDMD-o e CDMD-h foram adequadamente ativados pelo esquema de

detecção de falha proposto para as condições sem falha e com falha. O esquema proposto

fornece um bom desempenho para o pêndulo invertido mesmo na presença de atraso.

As Figuras 8.3 e 8.4 mostram o desempenho do sistema com o esquema de detecção de

falha inativo.

0 20 40 60 80 100 120

−0.1

0

0.1


Tempo (segundos)

0 20 40 60 80 100 120−0.1

0


Tempo (segundos)

Figura 8.3: Detecção da Falha Inativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e Ângulo doPêndulo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,05s).


0 20 40 60 80 100 120−5

0

5

Entrada do Controle

Tempo (segundos)

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo


DM

D−

o ; 2

: CD

MD

−h

Figura 8.4: Detecção da Falha Inativa: Sinal de Controle e Controlador Ativo (Amostragem de0,1s e atraso de 0,05s).

Como o esquema de detecção estava inativo, apenas o controlador CDMD-o permaneceu

ativo, o que levou o sistema a ter grandes oscilações na ocorrência da falha.

8.1.3 Resultados da Simulação Para o Período de Amostragem de 0,01Segundos e Atraso Computacional de 0,009 Segundos com Obser-vador MD.

Os resultados das simulações com condições iniciais[

θ x θ x]

=[

0 0 0 0]

para o esquema de detecção de falhas inativo são mostrados naFigura 8.5 e na Figura 8.6. O

intervalo de amostragem usado foi de 0,01 segundos e o atraso computacional foi de 0,009

segundos como condição de falha. O sinal de referência usadopara a posição do carro foi uma

onda quadrada.


ΓT1 =

[

−0.0001 0 0.0106 0.0032]

(8.10)


0 20 40 60 80 100 120−0.1

0

0.1

0.2Deslocamento do carro (m)

Tempo (segundos)

0 20 40 60 80 100 120−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

Ângulo do Pêndulo (rad)

Tempo (segundos)

Figura 8.5: Detecção da Falha Inativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e Ângulo doPêndulo(Amostragem de 0,01s e atraso de 0,009s).

0 20 40 60 80 100 120−5

0

5

Entrada do Controle

Tempo (segundos)

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo


DM

D−

o ; 2

: CD

MD

−h

Figura 8.6: Detecção da Falha Inativa: Sinal de Controle e Controlador Ativo (Amostragem de0,01s e atraso de 0,009s).

Como o esquema de detecção estava inativo, apenas o controlador CDMD-o permaneceu

ativo, o que levou o sistema a instabilidade na ocorrência dafalha.

As Figuras 8.7 e 8.8 mostram o desempenho do sistema com o esquema de detecção de

falha ativo.


0 20 40 60 80 100 120

−0.1−0.05

00.050.1


Tempo (segundos)

0 20 40 60 80 100 120−0.1

−0.05

0

0.05


Tempo (segundos)

Figura 8.7: Detecção da Falha Ativa: Sinal de Referência, Posição do Carro e Ângulo doPêndulo (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,009s).

0 20 40 60 80 100 120−5

0

5

Entrada do Controle

Tempo (segundos)

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo


DM

D−

o ; 2

: CD

MD

−h

Figura 8.8: Detecção da Falha Ativa: Sinal de Controle e Controlador Ativo (Amostragem de0,01s e atraso de 0,009s).


detecção de falha proposto para as condições de operação semfalha e com falha. O esquema

proposto fornece um bom desempenho para o pêndulo invertidomesmo na presença de atraso.

8.2 Resultados Obtidos no Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero 60

8.2 Resultados Obtidos no Sistema de Simulação de Voo deHelicóptero

O Sistema de Simulação de Voo de Helicóptero também foi utilizado para testar o esquema

de detecção de falhas proposto, sendo que o sistema simuladousa observador robusto com

modo deslizante para estimar os estados não disponíveis do sistema e obter os resíduos que são

utilizados no esquema de detecção de falhas. Com os sinais residuais gerados pelos observado-

res, dois controladores CDMD-o e CDMD-h foram ativados conforme a condição de falha ou

sem falha.

8.2.1 Valores Numéricos e Condições Adotadas

Para a simulação foi assumido que apenas a saída da planta estava disponível, que éyT =

[ε, p,λ ,∫

εdt,∫

λdt], sendo que os outros estados são obtidos por estimação usando um obser-

vador MD robusto.

A condição operacional do controlador digital foi simuladocomo mostrado na Tabela 8.2.

O caso sem falha indica que não existe atraso computacional,tal que, o sistema deverá ser con-

trolado pelo CDMD-o, eq.(4.23). A condição de falha indica que existe atraso computacional,

tal que, o sistema deverá ser controlado pelo CDMD-h, eq.(5.26). Foram utilizadas simulações

com dois períodos de amostragem que são 0,1 e 0,01 segundos..

Tabela 8.2: Condição de Falha Inerente.

Tempo (segundos) 0≤ t < 40 40≤ t < 80 80≤ t ≤ 120Condição sem falha com falha sem falha

Tipo de falha condição normal atraso no sinal condição normalde controle

Controlador ativo CDMD-o CDMD-h CDMD-o

Para o projeto dos controladores CDMD-o e CDMD-h foram usadas as matrizesΦ eΓ para

os dois períodos de amostragem (0,1 e 0,01 segundos).

Para o período de amostragem de 0,1 segundos as matrizesΦ e Γ são


Φ =

0,9948 0 0 0,0998 0 0 0 0

0 1 0 0 0,0963 0 0 0

−0,0001 −0,0864 1 0 −0,0028 0,0978 0 0

−0,1037 0 0 0,9948 0 0 0 0

0 0 0 0 0,9275 0 0 0

−0,0023 −1,7157 0 −0,0001 −0,0843 0,9572 0 0

0,0998 0 0 0,0050 0 0 1 0

0 −0,0029 0,1000 0 0 0,0049 0 1

, (8.11)

ΓT =

[

0,0076 0,0529 −0,0008 0,1519 1,0443 −0,0308 0,0003 0

0,0074 −0,0515 0,0008 0,1480 −1,0173 0,0300 0,0002 0

]

. (8.12)

Os valores numéricos da matrizG, usados no controle eq.(4.23) e eq.(5.26), são

G =

[

13,105 0,886 20,062 2,614 0,663 7,273 12,820 8,125

13,851 −8,383 25,646 2,662 0,256 10,374 14,063 9,823

]

. (8.13)

Para o período de amostragem de 0,01 segundos as matrizesΦ e Γ são

Φ =

0,9999 0 0 0,0100 0 0 0 0

0 1 0 0 0,0100 0 0 0

0 −0,0009 1 0 0 0,0100 0 0

−0,0104 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0,9925 0 0 0

−0.0002 −0,1750 0 0 −0,0009 0,9956 0 0

0,0100 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0,0100 0 0 0 0 1

, (8.14)

ΓT =

[

0,0001 0,0005 0 0,0152 0,1080 0 0 0

0,0001 −0,0005 0 0,0148 −0,1052 0 0 0

]

. (8.15)

Os valores numéricos da matrizG, usados no controle eq.(4.23) e eq.(5.26), são


G =

[

184,23 −82,72 385,31 31,93 5,09 152,00 202,53 147,81

205,32 −343,97 552,87 32,70 −2,96 244,35 241,18 199,47

]

. (8.16)

Os valores dos ganhos dos observadores MD, conforme (3.22) e(3.23) não dependem do


Gl =

80,0 0 0 0 0

0 82 0 0 0

0 0 30 0 0

6559 0 0 0 0

0 2398 0 0 0

0 −7,9 2386 0 0

1 0 0 10 0

0 0 1 0 20

(8.17)

e

Gn=

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

82 0 0 0 0

0 29.2740 0 0 0

0 0 79,5623 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

. (8.18)

8.2.2 Resultados da Simulação Para o Período de Amostragem de 0,1 Se-gundos e Atraso Computacional de 0,09 Segundos com ObservadorMD.

As simulações foram feitas para um período de amostragem de 0,1 segundos e o atraso

computacional foi de 0,09 segundos como condição de falha. Os sinais de referênciasusados

foram uma onda quadrada para o ângulo de elevação, e uma referência fixa em 0o para o ângulo

de giro horizontal. Os resultados da simulação são mostrados nas Figuras 8.9, 8.10 e 8.11; e os

valores numéricos da matrixΓ1 utilizado para o projeto do CDMD-h são


ΓT1 =

[

0,0014 0,0099 0,0003 0,0151 0,1009 0,0083 0 0

0,0014 −0,0097 0,0003 0,0148 −0,0983 0,0081 0 0

]

. (8.19)

0 20 40 60 80 100 1200

20

40

60Sinal de Referência e Elevação

Tempo, segundos

Gra

us

0 20 40 60 80 100 120

−100

0

100

Sinal de Referência e Deslocamento Horizontal

Tempo, segundos

Gra

us

Figura 8.9: Detecção de Falha Ativa e Adaptação do Controlador: Sinais de Referências, Ân-gulo de Elevação e Ângulo de Giro Horizontal (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s).

0 20 40 60 80 100 120

−20

0

20

Tensão no Motor Dianteiro

Tempo, segundos.

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120

−20

0

20

Tensão no Motor Traseiro

Tempo, segundos

Vol

ts

Figura 8.10: Esquema de Detecção de Falha Ativo e Adaptação do Controlador: Tensão noMotor Dianteiro(Volts) e Tensão no Motor Traseiro(Volts) (Amostragem de 0,1s e atraso de0,09s).

Os controladores CDMD-o e CDMD-h não foram ativados adequadamente pelo esquema

Detecção/Adaptação proposto para cada condição de falha/sem falha. O esquema proposto não


0 20 40 60 80 100 120

−5

0

5

10x 10

−5

Tempo, segundos

Resíduo

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo

CD

MD

−o

; C

DM

D−

h

Tempo, segundos

Figura 8.11: Esquema de Detecção de Falha Ativo e Adaptação do Controlador: Resíduo eControlador Ativo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s).

teve o mesmo desempenho do pêndulo, assim o esquema de detecção de falhas alternativo,

conforme (6.8), será então usado no sistema de voo do helicóptero 3DOF da Quanser.

As Figuras 8.12 e 8.13 mostram a resposta que o sistema teve com o esquema de detecção

de falhas alternativo ativo.

0 20 40 60 80 100 120

10

20

30

40

Sinal de Referência e Elevação

Tempo, segundos

Gra

us

0 20 40 60 80 100 120

−100

0

100


Tempo, segundos

Gra

us

Figura 8.12: Esquema de Detecção de Falha Alternativo Ativo: Referências e Ângulos de Ele-vação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s).


0 20 40 60 80 100 120−20

0

20


Tempo, segundos.

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120−20

0

20


Tempo, segundos

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 1201

1.52

Controlador Ativo

CD

MD

−o

; C

DM

D−

h

Tempo, segundos

Figura 8.13: Esquema de Detecção de Falha Alternativo Ativo: Sinal de Controle e ControladorAtivo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s).


detecção de falha alternativo proposto para as condições desem falha ou com falha. O esquema

proposto fornece um bom desempenho para o helicóptero 3DOF mesmo na presença do atraso.

As Figura 8.14 e 8.15 mostram o desempenho do sistema com o esquema de detecção de

falha alternativo inativo.

0 20 40 60 80 100 1200

20

40


Tempo, segundos

Gra

us

0 20 40 60 80 100 120

0

10

20Sinal de Referência e Deslocamento Horizontal

Tempo, segundos

Gra

us

Figura 8.14: Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Referências e Ângulos deElevação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s).


0 20 40 60 80 100 120−20

0

20


Tempo, segundos.

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120−20

0

20


Tempo, segundos

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 1201

1.52

Controlador Ativo

CD

MD

−o

; C

DM

D−

h

Tempo, segundos

Figura 8.15: Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Sinais de Controle e Contro-lador Ativo (Amostragem de 0,1s e atraso de 0,09s).

8.2.3 Resultados da Simulação Para o Período de Amostragem de 0,01Segundos e Atraso Computacional de 9,65 mseg com ObservadorMD.

As simulações foram feitas para um período de amostragem de 0,01 segundos e o atraso

computacional foi de 9,65 mseg como condição de falha. Os sinais de referências usados foram

uma onda quadrada para o ângulo de elevação, e uma referênciafixa em 0o para o ângulo de

giro horizontal. Os resultados da simulação para o esquema de detecção de falha alternativo

ativo são mostrados nas Figuras 8.16 e 8.17, e os valores numéricos da matrixΓ1 utilizado para

o projeto do CDMD-h são

ΓT1 =

[

0 0 0 0,0005 0,0038 0 0 0

0 0 0 0,0005 −0,0037 0 0 0

]

. (8.20)


0 20 40 60 80 100 1200

20

40


Tempo, segundos

Gra

us

0 20 40 60 80 100 120

−100

0

100


Tempo, segundos

Gra

us

Figura 8.16: Esquema de Detecção de Falha Alternativo Ativo: Referências e Ângulos de Ele-vação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s).

0 20 40 60 80 100 120−20

0

20


Tempo, segundos.

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120−20

0

20


Tempo, segundos

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 1201

1.52

Controlador Ativo

CD

MD

−o

; C

DM

D−

h

Tempo, segundos

Figura 8.17: Esquema de Detecção de Falha Alternativo ativo: Sinais de Controle e ControladorAtivo (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s).


detecção de falha alternativo proposto para as condições desem falha ou com falha, e na ocor-

rência da falha o CDMD-h permaneceu ativo na maior parte do tempo. As Figuras 8.18, 8.19

mostram o desempenho do sistema nas mesmas condições de operabilidade, mas com o es-

quema de detecção de falha alternativo inativo.


0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800

20

40


Tempo, segundos

Gra

us

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

−100

0

100


Tempo, segundos

Gra

us

Figura 8.18: Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Referências e Ângulos deElevação e Giro Horizontal (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−20

0

20


Tempo, segundos.

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180−20

0

20


Tempo, segundos

Vol

ts

0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801

1.52

Controlador Ativo

CD

MD

−o

; C

DM

D−

h

Tempo, segundos

Figura 8.19: Esquema de Detecção de Falha Alternativo Inativo: Sinais de Controle e Contro-lador Ativo (Amostragem de 0,01s e atraso de 0,00965s).

O sistema teve um bom desempenho com o esquema de detecção de falha alternativo ati-

vado, com os controladores chaveando adequadamente, o sistema se manteve estável, já com o

esquema inativo o sistema foi para a instabilidade.

8.3 Comentários 69

8.3 Comentários

Neste capítulo foram apresentadas as respostas dos sistemas na ocorrência da falha, que é

um atraso no sinal de controle, e o esquema de detecção de falhas e adaptação do controlador

proposto inicialmente teve um bom desempenho no sistema Pêndulo Invertido, mas quando co-

locado para detectar falhas no Helicóptero 3DOF não obteve um desempenho esperado, levando

o sistema a instabilidade. Na tentativa de solucionar esse problema com o Helicóptero 3DOF

foi utilizado o esquema de detecção de falhas e adaptação do controlador alternativo, e um bom

resultado então foi obtido, pois o sistema se manteve estável mesmo na ocorrência da falha.

No próximo capítulo serão mostrados os resultados experimentais obtidos.

70

9 Resultados Experimentais

Os experimentos foram realizados utilizando os dois equipamentos apresentados no Ca-

pítulo 7 e nas simulações vistas no Capítulo 8, que são helicóptero 3DOF e o pêndulo inver-

tido. Os controladores foram projetados utilizando o modelo linearizado em torno do ponto

de operação como já mostrado nas simulações. O controle é feito usando-se o software MA-

TLAB/SIMULINK, que se comunica com o equipamento através de uma placa de comunicação

em tempo real, podendo assim obter as leituras dos encoders eenviar os sinais de controle como

mostrado na Figura 9.1.

y(t)

Planta

A/D

D/A

u(t)

Amplificadoresde Potência

Microcomputador comMatlab Simulink Real-Time

Figura 9.1: Esquema de Controle do Helicóptero 3DOF.

9.1 Resultados Experimentais no Simulador de Voo de Heli-cóptero 3DOF

Para o controle do Helicóptero 3DOF foram utilizados os controladores CDMD-o eq.(4.23),

e o controlador CDMD-h eq.(5.26). Foram feitos três experimentos que mostram o desempenho

9.1 Resultados Experimentais no Simulador de Voo de Helicóptero 3DOF 71

do sistema controlado pelo CDMD-o quando não há atraso, o mesmo controlador atuando sobre

o sistema com atraso computacional, e o sistema com atraso computacional sendo controlado

pelo CDMD-h. Através dos resultados observa-se as diferenças que ocorrem nos resultados

dos ângulos do Helicóptero e nas tensões que são aplicadas nos dois motores do equipamento.

Como apenas a saída da planta é disponível, que éyT = [ε, p,λ ,∫

εdt,∫

λdt], os outros estados

são obtidos por estimação usando um observador MD robusto apresentado no Capítulo 3 e dado

pela eq. (3.21).

As matrizesΦ e Γ que representam a dinâmica do sistema e foram utilizadas no projeto do

controlador para um período de amostragem de 0,02 segundos são

Φ =

1 0 0 0,020 0 0 0 0

0 1 0 0 0,020 0 0 0

0 −0,003 1 0 0 0,020 0 0

−0,021 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0,985 0 0 0

−0,001 −0,349 0 0 −0,003 0,991 0 0

0,020 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0,020 0 0 0 0 1

, (9.1)

ΓT =

[

0,0003 0,0021 0 0,0297 0,2096 0 0 0

0,0003 −0,0022 0 0,0304 −0,2152 0 0 0

]

, (9.2)

e os valores numéricos da matrizG, usados no controle eq.(4.23) são

G =

[

60,14 15,08 −1,48 16,26 2,23 −1,60 34,12 −0,3542

58,57 −14,70 1,45 15,84 −2,17 1,56 33,25 −0,35

]

. (9.3)

Os valores dos ganhos dos observadores MD, conforme (3.22) e(3.23) não dependem do



Gl =

80,0 0 0 0 0

0 82 0 0 0

0 0 30 0 0

6559 0 0 0 0

0 2398 0 0 0

0 −7,9 2386 0 0

1 0 0 10 0

0 0 1 0 20

, (9.4)

e

Gn=

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

82 0 0 0 0

0 29.2740 0 0 0

0 0 79,5623 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

. (9.5)

9.1.1 Controle do Helicóptero 3DOF da Quanser Sem Atraso Computa-cional com CDMD-o

Os resultados foram obtidos com um período de amostragem de 0,02 segundos, e as res-

postas do sistema são mostradas nas Figuras 9.2, 9.3 e 9.4.

As Figuras 9.2 e 9.3 mostram respectivamente os ângulos de elevação e o ângulo de giro

horizontal e suas respectivas referências.A Figura 9.4 mostra as tensões que são aplicadas nos

motores dianteiro e traseiro do Helicóptero 3DOF para que a referência seja alcançada pela

planta.


0 20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30Elevação

tempo (segundos)

grau

s

referênciamedida

Figura 9.2: CDMD-o Ângulo de Elevação e Referência sem Atraso Computacional.

0 20 40 60 80 100 120 140−3

−2

−1

0

1

2

3Deslocamento Horizontal

tempo (segundos)

grau

s

referênciamedido

Figura 9.3: CDMD-o Ângulo de Giro Horizontal e Referência sem Atraso Computacional


0 20 40 60 80 100 120 1404

5

6

7

8

9

10

11

12

13Tensão nos Motores

tempo (segundos)

Vol

ts

DianteiroTraseiro

Figura 9.4: CDMD-o Tensões nos Motores sem Atraso Computacional

As Figuras 9.2, 9.3 e 9.4 mostram que o controlador CDMD-o obteve um bom resultado,

levando o sistema de voo de Helicóptero a ter um bom desempenho para o ângulo de eleva-

ção, uma vez que o sistema buscou a referência e permaneceu sobre ela durante o tempo de

experimento.

9.1.2 Controle do Helicóptero 3DOF da Quanser Com Atraso Computa-cional Utilizando CDMD-o

Os resultados foram obtidos com um período de amostragem de 0,02 segundos, e um atraso

no sinal de controle de 0,019 segundos durante todo o tempo de experimento. As respostas do

sistema são mostradas nas Figuras 9.5, 9.6 e 9.7.

As Figuras 9.5 e 9.6 mostram a os ângulos do Helicóptero 3DOF,sendo que na Figura 9.5

são mostradas a referência e o ângulo medido para a inclinação. A Figura 9.6 mostra o ângulo

de giro horizontal e a referência, e a Figura 9.7 mostra as tensões que são aplicadas nos motores

dianteiro e traseiro do Helicóptero 3DOF,


0 20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30Elevação

tempo (segundos)

grau

s

referênciamedida

Figura 9.5: CDMD-o Ângulo de Elevação e Referência com Atraso Computacional.

0 20 40 60 80 100 120 140−10

−8

−6

−4

−2

0

2

4


tempo (segundos)

grau

s

referênciamedido

Figura 9.6: CDMD-o Ângulo de Giro Horizontal e Referência com Atraso Computacional


0 20 40 60 80 100 120 1402

4

6

8

10

12


tempo (segundos)

Vol

ts

DianteiroTraseiro

Figura 9.7: CDMD-o Tensões nos Motores com Atraso Computacional

Conforme mostrado nas figuras 9.5, 9.6 e 9.7, quando há atraso computacional no sinal de

controle, o simulador de voo de helicóptero, obteve uma resposta não muito satisfatório, pois

o equipamento oscilou muito em torno de sua referência. Esseresultado mostra os efeitos do

atraso sobre o sistema.

9.1.3 Controle do Helicóptero 3DOF da Quanser com Atraso Computa-cional Utilizando CDMD-h

Os resultados foram obtidos com o controle do sistema de voo de helicóptero sendo feito por

um CDMD-h, com um período de amostragem de 0,02 segundos, e um atraso computacional de

0,019 segundos durante todo o tempo de experimento. As respostas do sistema são mostradas

nas Figuras 9.8, 9.9 e 9.10.

As Figuras 9.8 e 9.9 mostram a os ângulos do Helicóptero 3DOF,sendo que na Figura

9.8 são mostradas a referência e o ângulo medido para a inclinação. A Figura 9.9 mostra o

ângulo de giro horizontal e a referência, e a Figura 9.10 mostra as tensões que são aplicadas nos

motores dianteiro e traseiro do Helicóptero 3DOF.


ΓT1 =

[

0 0,002 0 0,0015 0,0104 0 0 0

0 −,0002 0 0,0015 −0,0107 0 0 0

]

(9.6)


0 20 40 60 80 100 120 1400

5

10

15

20

25

30Elevação

tempo (segundos)

grau

s

referênciamedida

Figura 9.8: CDMD-h Ângulo de Elevação e Referência com Atraso Computacional.

0 20 40 60 80 100 120 140−4

−3

−2

−1

0

1

2


tempo (segundos)

grau

s

referênciamedido

Figura 9.9: CDMD-h Ângulo de Giro Horizontal e Referência com Atraso Computacional

As Figuras 9.8, 9.9 e 9.10 mostram que o controlador CDMD-h nãoconseguiu melhorar o

desempenho do sistema, quando comparado com o CDMD-o atuandonas mesmas condições

de operação, ou seja, na presença do atraso computacional. Ofato de o CDMD-h ter tido o

mesmo desempenho do CDMD-o na presença do atraso talvez se deve ao fato do modelamento

matemático (MAIA, 2008) ter sido feito em um equipamento do mesmo modelo do que temos

em laboratório, mas que talvez não fielmente igual ao equipamento que temos em laboratório.

9.2 Resultados Experimentais do Pêndulo Invertido 78

0 20 40 60 80 100 120 1402

4

6

8

10

12


tempo (segundos)

Vol

ts

DianteiroTraseiro

Figura 9.10: CDMD-h Tensões nos Motores com Atraso Computacional

9.2 Resultados Experimentais do Pêndulo Invertido

Para o controle do Pêndulo Invertido foram utilizados os controladores CDMD-o eq.(4.23),

e o controlador CDMD-h eq.(5.26). Foram feitos experimentosque mostram o sistema com

o esquema de detecção de falhas baseado na estimação de estados apresentado no capítulo 6.

Assim como nas simulações, foi utilizado observadores paraestimar os estados não disponíveis

para do sistema.

Semelhante as simulações, os valores adotados do controlador e do observador são os mes-

mos para o período de amostragem de 0,01 segundos que são:

Φ =

1,0023 0 0,0100 0,0026

−0,0002 1 0 0,0092

0,4580 0 1,0023 0,5075

−0,0415 0 −0,0002 0,8453

, (9.7)

ΓT =[

−0,0006 0,0002 −0,1148 0,0350]

, (9.8)


G =[

−96,8670 −20,1863 −16,9631 −28,5962]

. (9.9)


Os valores dos ganhos dos observadores MD, conforme (3.22) e(3.23), não dependem do


Gl =

80,0 0

0 82,0

6446,9 0

4402,4 5346,3

(9.10)

e

Gn=

1 0

0 1

80,0 0

55,0860 65,1988

. (9.11)

O valor do atraso escolhido para os resultados experimentais foi de 0,009 segundos, o que

corresponde a 90% do período de amostragem.

9.2.1 Controle do Pêndulo com Atraso Computacional

Os resultados experimentais foram obtidos com as mesmas condições de operação mostra-

das nas simulações, sendo considerada falha o atraso computacional. Esse atraso é introduzido

artificialmente no sistema em intervalos definidos de tempo conforme mostrado na Tabela 8.1,

ou seja, no experimento de 120 segundos o atraso esta presente de 30 à 60 segundos e de 90 à

120 segundos.

As Figuras 9.11 e 9.12 mostram a resposta que o sistema teve operando somente com o

controlador CDMD-o ativo, e pode ser observado que o sistema não obteve um bom resultado.

Nas Figuras 9.13 e 9.14 o esquema para a detecção e a acomodação de falhas estava ativo,

sendo mostrado na Figura 9.13 a posição do carro sobre o trilho e a ângulo do pêndulo. Na

Figura 9.14, é mostrado o sinal de controle e o controlador ativo.


0 20 40 60 80 100 120−0.1

0

0.1

Deslocamento do Carro e Referência

met

ros

0 20 40 60 80 100 120

−0.05

0

0.05

Ângulo do Pêndulo

radi

anos

Figura 9.11: Esquema de Detecção Inativo: Posição do Carro e Ângulo do Pêndulo (Experi-mento).

0 20 40 60 80 100 120−5

0

5

Sinal de Controle

volts

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo

1: C

DM

D−

o ;

2: C

DM

D−

h

Figura 9.12: Esquema de Detecção Inativo: Sinal de Controle (Experimento).


0 20 40 60 80 100 120−0.1

0

0.1

Deslocamento do Carro e Referênciam

etro

s

0 20 40 60 80 100 120−0.1

0

0.1Ângulo do Pêndulo

radi

anos

Figura 9.13: Esquema de Detecção Ativo: Posição do Carro e Ângulo do Pêndulo (Experi-mento).

0 20 40 60 80 100 120−5

0

5

Sinal de Controle

volts

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo

1:C

DM

D−

o

2:C

DM

D−

h

Figura 9.14: Esquema de Detecção Ativo: Sinal de Controle e Controlador Ativo (Experi-mento).


O sistema controlado pelos CDMD-o e CDMD-h, com o esquema de detecção e adaptação

dos controladores ativo obteve um resultado melhor do que o do sistema controlado somente

pelo CDMD-o. No entanto aparentemente como mostrado na Figura 9.14, ocorreu um excesso

de chaveamento indevidamente, porém amplia-se a Figura 9.14 como mostra a Figura 9.15

percebe-se que pela média de permanência os controladores adequados à condição de operação

permaneceram ativos por mais tempo.

0 5 10 15 20 25 30

1

1.5

2

Controlador Ativo

1:C

DM

D−

o

2:C

DM

D−

h

30 35 40 45 50 55 60

1

1.5

2

Controlador Ativo

1:C

DM

D−

o

2:C

DM

D−

h

Figura 9.15: Ampliação no Chaveamento.

Um outro experimento foi feito, para tentar melhorar o chaveamento do esquema de detec-

ção de falhas. O período de amostragem e o atraso são os mesmosque foram usados no outro

experimento, porém na entrada do observador com atraso adiciona-se 0,009 segundos além do

atraso normal. Com isso considerou-se um atraso real que podeestar ocorrendo no sistema de

0,009 segundos.

A resposta que o sistema teve com esse novo atraso na alimentação do observador é mos-

trada através das Figuras 9.16 e 9.17.

Mudando o atraso na entrada do observador, nota-se que o chaveamento em decorrência

disso foi melhor como mostrado na Figura 9.17. Contudo observa-se que o esforço de controle

foi maior.


0 20 40 60 80 100 120−0.1

0

0.1

Deslocamento do Carro e Referênciam

etro

s

0 20 40 60 80 100 120−0.1

0

0.1Ângulo do Pêndulo

radi

anos

Figura 9.16: Esquema de Detecção Ativo: Posição do Carro e Ângulo do Pêndulo MudandoAtraso do Observador (Experimento).

0 20 40 60 80 100 120−5

0

5

Sinal de Controle

volts

0 20 40 60 80 100 120

1

1.5

2

Controlador Ativo

1: C

DM

D−

o ;

2: C

DM

D−

h

Figura 9.17: Esquema de Detecção Ativo: Sinal de Controle Mudando Atraso do Observador(Experimento).

9.3 Comentários 84

Nos dois experimentos feitos com o esquema de detecção de falhas ativo, o sistema teve um

bom resultado, superando o desempenho do sistema controlado apenas pelo CDMD-o.

9.3 Comentários

Apesar das dificuldades típicas que ocorrem em realizações experimentais, os resultados

obtidos de maneira geral apontam para um melhor desempenho do sistema quando utiliza-se os

controladores propostos, que levam em consideração a falhapor atraso computacional.

No próximo capítulo serão apresentadas as conclusões finais.

85

10 Conclusões

Este trabalho apresentou uma estratégia de controle, com dois controladores digitais base-

ados em modos deslizantes. Um controlador que não leva em consideração o atraso no tempo

de computação do sinal de controle (CDMD-o) (GARCIA et al., 2005), e outro controlador

que leva em consideração o atraso no tempo de computação no sinal de controle (CDMD-h)

(CAUN, 2007). O atraso foi considerado como uma falha, pois além de diminuir a robustez

pode levar o sistema a instabilidade.

O CDMD-o apresentou excelentes resultados, garantindo a estabilidade dos sistemas simu-

lados quando não existiu a ocorrência de atraso computacional, mas quando se introduziu o

atraso computacional no sinal de controle o CDMD-o tem seu desempenho deteriorado. As-

sim, o projeto de um controlador discreto que leva em consideração o atraso computacional

(CDMD-h) foi necessário.

O controlador que considera a falha (atraso computacional)foi projetado de tal forma que,

na ocorrência de um atraso conhecido menor que o período de amostragem, a estabilidade do

sistema seja garantida. Como a falha pode ocorrer a qualquer momento, foi necessário o projeto

de um esquema para a detecção e acomodação de falhas. Mesmo utilizando dois controlado-

res, os mesmos não atuam simultaneamente, ou seja, cada um atua conforme a condição de

operação.

Nas simulações e nos experimentos foi utilizado o observador robusto com modos desli-

zantes, sendo que o observador teve neste trabalho, além de estimar os estados não disponíveis

dos sistemas, papel fundamental nas estratégias de detecção e acomodação de falhas.

Os resultados das simulações foram obtidos utilizando os modelos matemáticos não-lineares

dos equipamentos pêndulo invertido e helicóptero 3DOF, sendo que maiores dificuldades foram

encontradas no modelo matemático do helicóptero 3DOF.

Com os resultados obtidos através de simulações mostradas noCapítulo 8 e os resultados

experimentais apresentados no Capítulo 9, de maneira geral pode ser comprovado a eficiên-

cia dos controladores e os esquemas para a detecção e acomodação de falhas propostos neste

10 Conclusões 86

trabalho.

Trabalhos Futuros: Estudo de Preditores que eliminem os efeitos de atrasos maiores do

que o período de amostragem.

87

Referências

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