Deslocamentos Em Estruturas

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURASO objetivo da anlise estrutural determinar os efeitos das aes em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificaes de estados limites ltimos e de servio (NBR 6118) Ou seja, estimar seu comportamento frente as situaes diversas que ela enfrentar desde a fabricao ou execuo dos elementos at o final de sua vida til.

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURASEsse comportamento pode ser estimado por diversos parmetros, com o objetivo de determinar os esforos internos e externos (cargas e reaes de apoio), e as correspondentes tenses resultantes, bem como a determinao dos deslocamentos e correspondentes deformaes da estrutura que est sendo projetada, principalmente as estaticamente indeterminadas.

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS INTRODUOPRINCPIO DO TRABALHO VIRTUALPrincpio de dAlembertMtodo da carga unitria para o clculo dos deslocamentosTeorema de Maxwell e Teorema de BettiEnergia de deformao e energia complementarTeoremas de Castigliano Mtodo dos deslocamentosMtodo das Foras Diferena entre mtodos das foras e mtodo dos deslocamentosCONCLUSO

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURASPRINCPIO DO TRABALHO VIRTUALPor virtual, nesse contexto, entenda-se, quantidades imaginrias e que no existem no sentido real ou fsico. Logo, um deslocamento virtual imaginrio e arbitrariamente imposto sobre o sistema estrutural. J o trabalho realizado por foras reais durante um deslocamento virtual chamado de trabalho virtual.

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURASPrincpio de dAlembert

Para um ponto material em equilbrio ( R=0) o trabalho virtual realizado pelo sistema de foras reais em equilbrio, que atua sobre o ponto, quando este sofre um deslocamento virtual, arbitrrio qualquer, nulo Esse enunciado constitui o princpio de dAlembert

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURASPrincpio geral do trabalho virtualQuando um sistema de cargas em equilbrio atua sobre um corpo rgido, pode-se dar a ele um deslocamento virtual consistindo numa translao, rotao ou uma combinao de ambas. Durante esse deslocamento virtual, o trabalho realizado pelas foras deve ser igual a zero porque as foras esto em equilbrio. Tambm possvel aplicar o princpio dos deslocamentos virtuais aos casos de estruturas deformveis

DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURASDurante a deformao virtual, cada elemento da estrutura ser deslocado para uma nova posio, acarretando a deformao da prpria estrutura. Assim, as foras exercidas num elemento (tenses resultantes e cargas externas) realizaro trabalho virtual.


Este trabalho virtual total chamaremos de dWe e pode ser subdividido em:

dWr (trabalho devido ao deslocamento do elemento como corpo rgido translao e rotao) e dWd (trabalho associado deformao do elemento). Logo: dWe = dWr + dWd , como dWr = 0, temos dWe = dWd


O trabalho virtual total igual ao trabalho virtual realizado por estas foras durante a deformao virtual do elementoFazendo a integrao para toda a equao, temos: We = Wd ,A quantidade total deste trabalho virtual obtido pelo somatrio de todos os elementos chamada de trabalho interno, Wint . Assim, obtm-se a seguinte equao: Wext = Wint


quando a uma estrutura deformvel, em equilbrio, sob a ao de um sistema de cargas, dada uma pequena deformao virtual, o trabalho realizado pelas foras externas igual ao trabalho virtual realizado pelas foras internas.Que o principio do trabalho virtual!


Mtodo da carga unitria, pode ser utilizado para determinao de deslocamentos das estruturas isostticas ou estaticamente determinadas (estruturas que podem ter seus esforos internos e externos determinados apenas por condies de equilbrio) e hiperestticas ou estaticamente indeterminada, a partir do princpio do trabalho virtual.


Mtodo da carga unitria, O trabalho virtual externo que ocorre durante essa deformao virtual, realizado pela carga unitria, pois est a nica carga externa atuando na estrutura. Temos assim:Wext = 1 .


Mtodo da carga unitria, J o trabalho virtual interno realizado pelas tenses resultantes (NU, M U, VU e TU), quando os elementos da estrutura so deformados virtualmente. Entretanto, as deformaes virtuais so escolhidas para serem as mesmas das deformaes reais,( d, d, d e d) que ocorrem na estrutura que suporta as cargas reais. Logo:

Mtodo da carga unitriaWint = NU d + M U d + VU d + TU d, como Wext = Wint ,temos, = NU d + M U d + VU d + TU d a equao fundamental da carga unitriaResumindo: = deslocamento a ser calculado (translao, rotao, deslocamento relativo e rotao relativaNU, M U, VU e TU = tenses resultantes (fora axial, momento fletor, fora cortante e momento de toro causados pela carga unitria correspondente a ).d, d, d e d = deformaes causadas pelas cargas reais.


Teorema de Maxwell e Teorema de Betti, Esses teoremas so chamados de Reciprocidade ou Teoremas recprocos, O trabalho virtual produzido por um sistema A de foras em equilbrio, quando se desloca devido s deformaes produzidas por outro sistema de foras B, em equilbrio, igual ao trabalho virtual produzido pelo sistema de B quando se desloca devido s deformaes produzidas pelo sistema de foras A. Logo:


Teorema de Maxwell, com o seguinte enunciado: em uma estrutura linear elstica, o deslocamento de num ponto j na direo de um esforo unitrio, provocado por um segundo esforo unitrio, igual ao deslocamento do ponto de aplicao do segundo esforo, em sua direo, devido aplicao do primeiro esforo unitrio


Energia de deformao e energia complementarPara demonstrar os conceitos de energia, considera-se uma barra sujeita a uma fora axial P que produz uma tenso = P/A e deformao = / L. O material da barra considerado elstico, com curva tenso-deformao no-linear, mostrada em (b). Ento, a relao carga-deflexo (c) ter a mesma forma da curva tenso deformao.


Teoremas de ClapeyronQuando tratamos de uma estrutura elstica, carregada com cargas estticas, cujos valores crescem uniformemente desde zero at os valores mximos, ela se deformar. Como estamos no regime elstico, a condio de equilbrio energtico do sistema implicar na igualdade dos trabalhos das foras externas ( cargas e reaes) e das foras internas ( esforos simples) ou seja:


O trabalho realizado por um esforo que cresce uniformemente desde 0 at seu valor final, bem como suas deformaes, vale metade do produto dos valores finais do esforo pela deformao que ele provocou ( Teorema de Clapeyron)


Teoremas de CastiglianoDisso deriva o Primeiro Teorema de Castigliano, A derivada parcial da energia real de deformao, em relao a uma das cargas aplicadas igual qualquer deformao elstica segundo a direo dessa carga E o segundo Teorema de Castigliano:A derivada parcial da energia real de deformao, em relao deformao elstica , segundo a direo de uma das cargas aplicadas igual ao valor dessa carga


Aprofundando os estudos, poder ser observado que , o mtodo utiliza os deslocamentos como incgnitas e ir recorrer a soluo das equaes de equilbrio sendo chamado, portanto, de mtodo dos deslocamentos. De forma simplificada, o mtodo dos deslocamentos consiste em somar uma srie de solues bsicas que satisfazem isoladamente as condies de compatibilidade, mas que no satisfazem as condies de equilbrio da estrutura original, para na superposio restabelecer as condies de equilbrio.


Portanto, quando uma estrutura no-linear estiver sendo analisada, ser usado o termo mtodo dos deslocamentos.

Mtodo das Foras

Para o estudo do mtodo das foras, so aplicados os conceitos de energia complementar e o Teorema de Crotti-Engesser. De forma simplificada, o mtodo das foras consiste em somar uma srie de solues bsicas que satisfazem as condies de equilbrio, mas que no satisfazem ascondies de compatibilidade da estrutura original, para na superposio restabelecer ascondies de compatibilidade.

Mtodo das Foras

A estrutura utilizada para superposio de solues bsicas uma estrutura isosttica auxiliar, chamada de Sistema Principal, obtida a partir da estrutura originalpela eliminao de vnculos. As tenses resultantes e reaes associadas aos vnculosliberados so as incgnitas do problema e so denominados hiperestticos.

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MTODO DAS FORASMTODO DOS DESLOCAMENTOS-Incgnita: hiperestticos.-Estrutura utilizada na soluo bsica:-Sistema Principal (estrutura isosttica, obtida a partir da eliminao de vnculos da estrutura original).-Condies da estrutura original satisfeitas:condies de equilbrio.-A energia complementar expressa emfuno das cargas e hiperestticos.-Utiliza-se o Teorema de Crotti-Engesser para obter as equaes de compatibilidade.- utilizado para estruturas no-lineares.-Incgnita: deslocabilidades.-Estrutura utilizada na soluo bsica:-Sistema Hipergeomtrico (estrutura obtida a partir da adio de vnculos para impediras deslocabilidades).-Condies da estrutura original satisfeitas:condies de compatibilidade.-A energia de deformao expressa em funo dos deslocamentos desconhecidosdos ns.-Utiliza-se o 1 Teorema de Castigliano para obter as equaes de equilbrio.- utilizado para estruturas no-lineares.

CONCLUSOPara o clculo de deslocamentos de estruturas, nessa aula, baseamos na importncia dos conceitos de energia de deformao e energia complementar, que formam a base de alguns mtodos bastante eficientes na anlise estrutural. Estes mtodos podem ser aplicados para estruturas lineares e no-lineares, como o caso do princpio do trabalho virtual e o mtodo dacarga unitria..

CONCLUSOEntretanto, veremos na sequncia, que os teoremas recprocos, o mtodo da flexibilidade e o mtodo da rigidez baseiam-se no princpio da superposio e, por isso, aplicam-se somente a estruturas de comportamento linear. Assim, mesmo com o crescente uso da tecnologia a favor de desenvolver essas teorias e conceitos cada vez mais precisos, ainda existe muita investigao a ser feita e estudada a cerca da concepo estrutural.

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