Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas...
Transcript of Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas...
![Page 1: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/1.jpg)
Introdução à Computação Gráfica
Desenho de Construção NavalManuel Ventura
Instituto Superior TécnicoSecção Autónoma de Engenharia Naval
2007
![Page 2: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/2.jpg)
M.Ventura 2
Sumário
• Entidades Geométricas• Transformações Geométricas 2D
– Escala– Rotação– Translação– Coordenadas homogéneas– Matriz de transformação generalizada
• Transformações Geométricas 3D• Curvas Bézier 2D
![Page 3: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/3.jpg)
M.Ventura 3
Entidades Geométricas (1)
[ ]P x y=
Polígono
Ponto
[ ]
A A
B B
C C
D D
x yx y
ABCDx yx y
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Segmento de recta
y
x
(x,y)
(xA,yA
)
(xB,yB)
(xA,yA
)
(xB,yB)(xC,yC)
(xD,yD
)
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
BB
AA
yxyx
AB
![Page 4: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/4.jpg)
M.Ventura 4
Entidades Geométricas (2)
VectorFamília de segmentos de recta orientados que têm todos o mesmo comprimento ou grandeza.
A A
A A
Propriedades aritméticas especiais1. Se A é um vector, então –A, é um vector de comprimento
igual, mas que aponta no sentido oposto.2. Se A é um vector então kA tem um comprimento k vezes
superior a A (Multiplicação escalar).3. Dois vectores podem ser adicionados para obter um terceiro
vector usando o método do paralelogramo ou o método origem-extremidade (Adição vectorial).
![Page 5: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/5.jpg)
M.Ventura 5
Entidades Geométricas (3)
A
B
A+B
Método do paralelogramo AA+B
B
Método origem-extremidade
![Page 6: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/6.jpg)
Transformações Geométricas em 2D
![Page 7: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/7.jpg)
M.Ventura 7
Transformações Geométricas
• Transformações Primárias– Escala– Rotação– Translação
• Transformações Secundárias– Reflexão em relação à origem– Reflexão em relação a um ponto qualquer– Reflexão em relação aos eixos de referência– Reflexão em relação a uma recta
![Page 8: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/8.jpg)
Transformações Geométricas Primárias
![Page 9: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/9.jpg)
M.Ventura 9
Escala
• A escala é definida por
• Sob a forma matricial será
1 0
1 0
x
y
x S xy S y=⎧
⎨ =⎩
[ ] [ ]
[ ][ ]
1 1 0 0
0 0
00
x
y
Escala
Sx y x y
S
x y T
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦=
Si > 1 => factor de ampliaçãoSi < 1 => factor de reduçãoSi = 1 => elemento neutroSi = 0 => elemento absorventeSx = Sy => escala uniformeSx = Sy => escala diferenciada
![Page 10: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/10.jpg)
M.Ventura 10
Rotação (1)
e o ponto transformado será:
Em coordenadas polares o ponto inicial será( )( )
0
0
cossin
x ry r
αα
= ⋅⎧⎨ = ⋅⎩
( )( )
1
1
cossin
x ry r
α βα β
= ⋅ +⎧⎨ = ⋅ +⎩
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
1
cos cos sin sins sin sin cos
x ry r co
α β α βα β α β
⎧ = ⋅ −⎡ ⎤⎣ ⎦⎨ = ⋅ +⎡ ⎤⎣ ⎦⎩
Desenvolvendo e substituindo
![Page 11: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/11.jpg)
M.Ventura 11
Rotação (2)
O raio pode ser expresso em função das coordenadas do ponto inicial
( ) ( )0 0
cos sinx yr rα α
= =
Substituindo r na expressão anterior teremos:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
0 01
0 01
cos cos sin sincos
s sin sin coscos sin
x yxsin
x yy co
α β α βα α
α β α βα α
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎩
E simplificando, teremos:( ) ( )( ) ( )
1 0 0
1 0 0
cos sinsin cos
x x yy x y
β ββ β
= −⎧⎨ = +⎩
![Page 12: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/12.jpg)
M.Ventura 12
Rotação (3)
Na forma matricial será:
[ ] [ ] ( ) ( )( ) ( )1 1 0 0
cos sinsin cos
x y x yβ ββ β
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
A transformação geométrica da rotação de um ângulo éindependente do vector de posição e do raio da rotação, e é expressa pela matriz
[ ] ( ) ( )( ) ( )
cos sinsin cosR
Mβ ββ β
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
![Page 13: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/13.jpg)
M.Ventura 13
Rotação (4)
A inversa de uma matriz de rotação pura, é a sua transposta
[ ] [ ]1 TR R− =
As rotações são positivas no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio.
Quando o determinante |R|=1 a rotação diz-se pura.
Sen Cos Tang30° 1/2 √3/2 √3/345° √2/2 √2/2 160° √3/2 1/2 √3
![Page 14: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/14.jpg)
M.Ventura 14
Translação (1)
1 0
1 0
X
Y
x x Vy y V= +⎧
⎨ = +⎩
Para manter a forma matricial e obter uma matriz independente das coordenadas da entidade a transformar, tem que se introduzir o conceito de coordenada homogénea h
Uma translação é definida por
( ) ( ) ( ), , , , , , ,1x y hx y x y h x yh h h′ ′⎛ ⎞′ ′⇔ = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
![Page 15: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/15.jpg)
M.Ventura 15
Translação (2)
E a transformação em forma matricial será
[ ] [ ]1 1 0 0
1 01 1 0 1
X Y
x y x yV V
⎡ ⎤⎢ ⎥= × ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
A matriz de Translação é portanto definida por:
[ ]1 00 1
T
X Y
MV V
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
![Page 16: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/16.jpg)
M.Ventura 16
Matrizes de Transformações 2D
Escala Rotação Translação
[ ]0
0x
T
y
SM
S⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ] ( ) ( )( ) ( )
cos sinsin cosTM
α αα α
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦ [ ]
1 00 1T
X Y
MV V
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Notar que nas transformações assim descritas, as matrizes são multiplicadas à direita ou seja
[ ] [ ] [ ]TMPP ×= 01
![Page 17: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/17.jpg)
M.Ventura 17
Concatenação de Matrizes (1)
Uma sequência de transformações pode ser representada por uma concatenação de matrizes
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1 0 1 2 3P P T T T= × × ×
[ ] [ ] 11 00 1
T T − ⎡ ⎤× = ⎢ ⎥
⎣ ⎦
• O produto de matrizes não é comutativo, logo, a ordem das transformações é relevante.
• A compatibilização de matrizes requer matrizes (3 x 3) e a utilização de coordenadas homogéneas
• A transformação inversa é expressa pela matriz inversa [ ] 1T −
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]T
T
MPPTTTM
×=××=
01
321
![Page 18: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/18.jpg)
M.Ventura 18
Concatenação de Matrizes (2)
Aplicações:Rotação de um ponto em torno de um centro de rotação fixodiferente da origem.
![Page 19: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/19.jpg)
M.Ventura 19
Definição Alternativa das Matrizes
Neste caso, as matrizes são multiplicadas à esquerda, e a matriz dos pontos iniciais deve ser também transposta, ou seja
Alguns autores e alguns sistemas computacionais usam um arranjo diferente das matrizes de transformação geométrica, que são as transpostas das acima indicadas.
[ ] [ ] [ ]TT PMP 01 1×=
[ ] [ ]TTT MM =1
A ordem da multiplicação também deve ser invertida. Por exemplo, quando se pretender aplicar, por esta ordem, as transformações [A], [B] e [C], a matriz de transformação total será:
[ ] [ ] [ ] [ ]ABCMT ××=1
![Page 20: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/20.jpg)
M.Ventura 20
Matrizes de Transformação 2D em Coordenadas Homogéneas
Escala
Rotação
Translação[ ]0 0
0 00 0 1
X
T Y
SM S
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]( ) ( )( ) ( )
cos sin 0sin cos 00 0 1
TM
α αα α
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]1 0 00 1 0
1T
X Y
MV V
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
![Page 21: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/21.jpg)
M.Ventura 21
Compatibilização de Matrizes (1)
[ ]
• As coordenadas cartesianas ordinárias (x,y) são substituídas pelas coordenadas homogéneas (x,y,1).
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1111
22
11
nn yx
yxyx
CMM
• Os pontos, segmentos e polígonos são representados em coordenadas homogéneas, respectivamente, por uma matriz de dimensões (1x3), (2x3) e (Nx3).
![Page 22: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/22.jpg)
M.Ventura 22
Compatibilização de Matrizes (2)
[ ]
• A matriz de transformação geométrica em 2D deverá ser representada no seu formato generalizado com as dimensão de (3x3):
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
100
fedcba
T• Os elementos da diagonal a e d
correspondem a transformações por variação de escala
• Os elementos a, b, c e d, reflectem a aplicação de rotações
• Os elementos e e f traduzem translações
![Page 23: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/23.jpg)
M.Ventura 23
Exercício: Ordem de Concatenação
• Aplicação de duas transformações geométricas sobre um mesmo polígono, [ABC], impondo-se duas sequência distintas de execução.
A
x1 2 3 4
1
2
3
4
C
B
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321311
ABC
( ) ( )31801 =⋅−= YO TTranslRotTransf
( ) ( )18032 −⋅== OY RotTTranslTransf
![Page 24: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/24.jpg)
M.Ventura 24
Resolução: Ordem de Concatenação (1)
[ ]
• Rotação do triângulo em torno da origem de 180° seguido de translação em Y de 3 unidades:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
130010001
130010001
100010001
T
[ ]1 1 1 1 0 0 1 2 1
ABC 3 1 1 0 1 0 3 2 12 3 1 0 3 1 2 0 1
t
⎡ ⎤− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
( ) ( )1 180 3YOTransf Rot Transl T= − ⋅ =
![Page 25: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/25.jpg)
M.Ventura 25
Resolução: Ordem de Concatenação (1)
• Rotação do triângulo em torno da origem de 180° seguido de translação em Y de 3 unidades:
![Page 26: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/26.jpg)
M.Ventura 26
Resolução: Ordem de Concatenação (2)
[ ]
• Translação de [ABC] segundo Y de 3 unidades, seguido de uma rotação em torno da origem de 180°:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
130010001
100010001
130010001
T
[ ]1 1 1 1 0 0 1 4 1
ABC 3 1 1 0 1 0 3 4 12 3 1 0 3 1 2 6 1
t
⎡ ⎤− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ − = − −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
( ) ( )18032 −⋅== OY RotTTranslTransf
![Page 27: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/27.jpg)
M.Ventura 27
Resolução: Ordem de Concatenação (2)
• Translação de [ABC] segundo Y de 3 unidades, seguido de uma rotação em torno da origem de 180°:
![Page 28: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/28.jpg)
Transformações Geométricas Secundárias
![Page 29: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/29.jpg)
M.Ventura 29
Transformações Secundárias
• As Transformações Secundárias são aquelas que podem ser consideradas como casos particulares ou aplicações compostas de transformações primárias
• Alguns exemplos:– Reflexão em torno da origem (0,0)– Reflexão em torno de um ponto qualquer– Reflexão em torno de um eixo de referência– Reflexão em torno de uma recta qualquer passando pela origem
![Page 30: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/30.jpg)
M.Ventura 30
Reflexão em Relação à Origem
0t 0x =-xPt
x
P
y =-yt 0
0y[ ]
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
100010001
TM
A matriz de transformação associada è Reflexão em relação à origem (0,0) é a seguinte:
Note-se que corresponde a efectuar uma rotação de 180°(no plano) em torno da origem.
[ ]( ) ( )( ) ( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
1000180cos180sin0180sin180cos
TM
![Page 31: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/31.jpg)
M.Ventura 31
Reflexão em Relação a um Ponto Genérico
[ ] [ ][ ][ ][ ] 101−= TRTPP REF
• Translação desse ponto para a origem
• Reflexão em relação à origem
• Translação inversa
A Reflexão em relação a um ponto qualquer pode ser obtida em três passos:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
1010001
YX PPT
A translação é definida pelas coordenadas do ponto genérico
![Page 32: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/32.jpg)
M.Ventura 32
Reflexão em Relação a um Eixo
Em relação ao eixo dos XX (y=0)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
100010001
(x=0)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
100010001
Em relação ao eixo dos YY
Note-se que corresponde a efectuar uma rotação de 180° no espaço em torno do eixo.
![Page 33: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/33.jpg)
M.Ventura 33
Reflexão em Relação a uma Recta que passa pela Origem
tP0t
y=x
x=y
y
x
0P
[ ] [ ][ ][ ][ ]454501 +−= RRRPP xx
Por simples análise visual se pode deduzir que a matriz de transformação de um ponto P em relação à recta bissectriz do 1º quadrante (Y=X) será:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡==
100001010
xyR
Podemos obter o mesmo resultado decompondo a transformação desejada numa série de transformações elementares:
![Page 34: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/34.jpg)
M.Ventura 34
Notas sobre Transformações
• A Reflexão e a Escala só envolvem elementos da diagonal• Os elementos fora da diagonal provocam um efeito de
shearing.• A origem (0,0) é invariante (Não é alterada pelas
transformações)
• A matriz identidade é o elemento neutro das transformações geométricas, não altera os pontos iniciais.
[ ] [ ] [ ]001
100010001
PPP =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡×=
![Page 35: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/35.jpg)
M.Ventura 35
Operações com Matrizes em Excel
=mmult(F5:H7;N13:P15)
=minverse(F5:H7)
=mdeterm(F5:H7)
=transpose(F5:H7)
<ctrl+shift+enter>
radians()
sin(), cos()
sqrt()
Funções necessárias para calcular transformações geométricas numa folha de cálculo:
![Page 36: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/36.jpg)
M.Ventura 36
Exercício de aplicação (1)
• Deduza uma matriz que transforme o triângulo
• [A1 A2 A3] em [B1 B2 B3], sem utilizar rotações:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
222111
AAA 321
A
1 2 3
1
2
3
1
A2 A3
x
y
-1
-2
-3
1B B
B3
2
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
=221211
BBB 321
![Page 37: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/37.jpg)
M.Ventura 37
Exercício de aplicação (1) - Resolução
• Uma solução possível é aplicar uma reflexão em torno de xx, seguido de uma reflexão em torno da recta y=-x :
xyxx reflreflTransf −=⋅=
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0110
0110
1001
T
![Page 38: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/38.jpg)
M.Ventura 38
Exercício de aplicação (1) - Resolução
• Representação geométrica:
A
y
x1 2 3
1
2
3
1
2A 3A
-1
-2
-3
1b
3b2b-3
-1
-2
2
1
3
y
B3
B11
B22 3 x
y=-x
![Page 39: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/39.jpg)
M.Ventura 39
Exercício de aplicação (2)
• Variação de escala segundo x de um factor 2 do triângulo [ABC], mantendo fixo o vértice (2,3).
1 2 3 4
1
2
3
4
y
5
5 6
A B
C
x
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
533632
ABC
![Page 40: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/40.jpg)
M.Ventura 40
Exercício de aplicação (2) - Resolução
1. Aplicar uma translação ao triângulo de modo a colocar o vértice A(2,3) na origem (0,0)
2. Aplicar a variação de escala pretendida (alongamento de 2 vezes apenas segundo X)
3. Aplicar uma translação ao triângulo transformado de modo a reposicionar o seu vértice A em (2,3).
![Page 41: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/41.jpg)
M.Ventura 41
Exercício de aplicação (2) - Resolução
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
102010002
132010001
100010002
132010001
T
[ ] [ ] [ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⋅=
1541310132
102010002
153136132
ABCABC Tt
Transf = Transl(Tx=-2, Ty=-3) Escala(Sx=2) Transl(Tx=2, Ty=3)
![Page 42: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/42.jpg)
M.Ventura 42
Exercício de aplicação (2) - Resolução
• Representação geométrica:
A
1
1
2
5
4
3
y
62 3 4 5 7 8 9 10 x
Ct
t Bt
![Page 43: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/43.jpg)
M.Ventura 43
Exercício proposto
• Indique qual a sequência de transformações necessárias para transformar o triângulo [ABC] em [A’B’C’] :– Calcule a matriz concatenada.– Obtenha a matriz de coordenadas final– Represente geometricamente.
[ ] [ ]ABC A'B'C'=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=−−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
1 13 12 3
2 22 44 3
![Page 44: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/44.jpg)
M.Ventura 44
Exercícios
![Page 45: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/45.jpg)
M.Ventura 45
Exercícios
![Page 46: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/46.jpg)
M.Ventura 46
Exercícios
![Page 47: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/47.jpg)
M.Ventura 47
Exercícios
![Page 48: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/48.jpg)
M.Ventura 48
Exercícios
![Page 49: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/49.jpg)
M.Ventura 49
Exercícios
ATENÇÃO!
Multiplicação à esquerda!
(Matrizes transpostas)
![Page 50: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/50.jpg)
M.Ventura 50
Exercícios
![Page 51: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/51.jpg)
M.Ventura 51
Exercícios
![Page 52: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/52.jpg)
M.Ventura 52
Exercícios
ATENÇÃO!
Multiplicação à esquerda!
(Matrizes transpostas)
![Page 53: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/53.jpg)
M.Ventura 53
Exercícios
![Page 54: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/54.jpg)
M.Ventura 54
Exercícios
![Page 55: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/55.jpg)
M.Ventura 55
Exercícios
ATENÇÃO!
Multiplicação à esquerda!
(Matrizes transpostas)
![Page 56: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/56.jpg)
M.Ventura 56
Exercícios
![Page 57: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/57.jpg)
M.Ventura 57
Exercícios
![Page 58: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/58.jpg)
M.Ventura 58
Exercícios
![Page 59: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/59.jpg)
M.Ventura 59
Exercícios
![Page 60: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/60.jpg)
Transformações Geométricas em 3D
Manuel Ventura
![Page 61: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/61.jpg)
M.Ventura 61
Matrizes de Escala e Translação em 3D
EscalaTranslação
[ ]
0 0 00 0 00 0 00 0 0 1
x
y
T
z
SS
MS
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
[ ]
1 0 0 00 1 0 00 0 1 0
1
T
x y z
M
V V V
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
![Page 62: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/62.jpg)
M.Ventura 62
Matrizes de Rotação em 3D
Rotação de α em torno de XX
[ ] ( ) ( )( ) ( )
1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1
TMα αα α
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=
−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Rotação de β em torno de YY
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
cos 0 sin 00 1 0 0
sin 0 cos 00 0 0 1
TM
β β
β β
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Rotação de γ em torno de ZZ
[ ]
( ) ( )( ) ( )
cos sin 0 0sin cos 0 00 0 1 00 0 0 1
TM
γ γγ γ
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
Regra dos Três Dedos da Mão direita
![Page 63: Desenho de Construção Naval Manuel Ventura - mar.ist.utl.pt · Propriedades aritméticas especiais 1. Se A éum vector e, ntão –A, é um vector de comprimento igual, mas que](https://reader038.fdocumentos.tips/reader038/viewer/2022102822/5be4c7b709d3f20a668d562e/html5/thumbnails/63.jpg)
M.Ventura 63
Bibliografia
• Rogers, David (1998), “Mathematical Elements for ComputerGraphics”, McGraw-Hill.