Desempenho de Sistemas de Controle · 2014-09-16 · Controle de Sistemas – Professor Renato...

Controle de Sistemas Desempenho de Sistemas de Controle

Renato Dourado Maia

Universidade Estadual de Montes Claros

Engenharia de Sistemas

Controle de Sistemas – Professor Renato Dourado Maia

Resposta Transitória de Sistemas de Ordem Superior

A resposta ao degrau de um sistema de ordem superior será uma combinação de respostas de fatores de primeira ordem e de fatores de segun-da ordem:

1

1

0 ,21 1

( ) ( )1

ii

tn nt

i i d i ii i n i

ey t A Ae A sen tα

σ ω θζ

−−

= = +

= + + +−

∑ ∑

Até agora falamos apenas em polos... Mas e o efeito dos zeros?

O efeito dos zeros da função de transferência sobre a resposta transitória é atenuar o efeito dos polos em suas proximidades,

influenciando os coeficientes Ai(frações parciais).

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Polos aparentemente dominantes podem ter o seu efeito na resposta transitória

reduzido pela presença de zeros em sua proximidade!!!

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plano s

Resposta forçada Resposta natural

Resposta no domínio do tempo

Transformada da saída

Pólo da entrada Zero do sistema Pólo do sistema

plano s plano s plano s

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Exemplo

2

1 2 2( 0,5( )

2 5 )5)(G s

ss s+ ++=

2

2 2 2

5( )( 2( 5

( 0 4))

.)0,5s

G ss s

s ++

=+ +

21 2( ) 1 (4,899 78,46 )

10

0,2,, 50 01 3

tt ey t e sen t

−− + +−= °

−

22 2( ) 1 (4,899 78,46 )

10

0, 2,, 42 60 6

tt ey t e sen t

−− − ++= °

−

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0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t

y(t)

Efeito de um Zero na Resposta de um Sistema de Terceira Ordem

Segunda OrdemTerceira ordem com pólo em -0.5Terceira ordem com pólo em -0.5 e zero em -0.4

Script em Matlab: M_6_DesempenhoSistemasProg1.m

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Estimação do Fator de Amortecimento Para se estimar o fator de amortecimento, deve-

se medir a ultrapassagem percentual e utilizar a equação deduzida na aula passada:

210. 10 eU P ζ ζπ− −=

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Ultrapassagem Percentual e Tempo de Pico Normalizado versus Relação de Amortecimento

Ultr

apas

sage

m M

áxim

a Pe

rcen

tual

Coeficiente de Amortecimento

Ultrapassagem Percentual

Estimação do Fator de Amortecimento

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Localização dos Polos e Resposta Transitória

Respostas ao Impulso para Diferentes Localizações dos Polos

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Sinais de Teste Forma de onda Nome

Interpretação física

Função do tempo

Transformada de Laplace

Degrau Posição constante

Rampa

Parábola

Velocidade constante

Aceleração constante

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Sistema de rastreamento

Foguete acelerador

Satélite orbitando com velocidade constante

Satélite em órbita geoestacionária

Sinais de Teste

Degrau

Rampa

Parábola

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Erro em Estado Estacionário

Tempo Tempo de

Assentamento Tempo de

Pico

Tempo de Subida

Ultra- passagem

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Erro em Estado Estacionário Entrada

Saída 1

Saída 2

Tempo

Tempo

Saída 2

Saída 1

Entrada

Saída 3

(a) Degrau.

(b) Rampa.

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Erro em Estado Estacionário Considere o sistema a seguir:

( )G s

Para H(s)=1, o “erro” é dado por:

( )H s

( )R s ( )Y s( )aE s

1( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( )aE s R s Y s E s R s

G s= − = =

+

+ -

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Erro em Estado Estacionário Ganho DC: o ganho DC de uma função de trans-

ferência estável, sem polos na origem, é definido por:

Tipo do Sistema: o tipo do sistema em malha fe-chada é definido pelo número de integradores, ou polos em s = 0, da função de transferência em malha aberta, G(s) (sistema tipo 0: não há inte-grador, etc.).

0 lim ( ) (0)

sGanho DC G s G

→=

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Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo degrau unitário:

1 1( )1 ( )

E sG s s

=+

Aplicando-se o Teorema do Valor Final:

0 00

1 1 1( ) lim ( ) lim1 ( ) 1 lim ( ) 1s s s

s pse e E s

KG s G s→ →→

= ∞ = = = =+ + +

Constante de Erro de Posição

0lim ( ) (0)sp G sK G→

=

Sistema Tipo 0: 1

1 ssp Ganho DC eGanho D

KC

= ⇒ =+

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Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo rampa unitária:

2

1 1( )1 ( )

E sG s s

=+

Aplicando-se o Teorema do Valor Final:

0 00

1 1 1( ) lim ( ) lim( ) lim ( ) 1ss s s

s v

e e E ss sG s sG s K→ →

→

= ∞ = = = =+ +

Constante de Erro de Velocidade

0lim ( )svK sG s→

Sistema Tipo 0: 0 sv seK = ⇒ = ∞ Sistema Tipo 1: 1

ssv

eK

=

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Erro em Estado Estacionário Para uma entrada tipo parábola unitária:

3

1 1 1( )1 ( ) s

asE s e

G s Ks= ⇒ =

+

Constante de Erro de Aceleração 2

0lim ( )

sa sK s G→

Sistema Tipo 0 ou 1: 0 sa seK = ⇒ = ∞ Sistema Tipo 2: 1

ssa

eK

=

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Tipo 0 Tipo 1 Tipo 2

Entrada Expressão do

erro estacionário

Constante de erro

estacionário

Constante de erro

estacionário

Constante de erro

estacionário Erro Erro Erro

Degrau,

Rampa,

Parábola,

Constante

Constante

Constante

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Erro em Estado Estacionário Os sistemas de controle são geralmente caracte-

rizados pelo seu tipo e pelas constantes de erro Kp, Kv e Ka. Em particular, as constantes de erro expressam numericamente a capacidade de redu-ção do erro em estado estacionário: quanto maiores, melhor é o desempenho do sistema em estado estacionário, mas não obrigatoriamente no período transitório.

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Erro em Estado Estacionário ( )G s( )R s ( )Y s

( )aE s

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

t

y(t)

Efeito de Kp na Resposta Transitória

K = 10K = 20K = 50K = 100K = 200K = 400

( 2)

( ))(

6sKG s

s+=

+

11 ( )p

sseGaK nho DC

=+ =

(0) 12p GK K= =

1 121 12 12sse

K K= =

+ +

Script em Matlab: M_6_DesempenhoSistemasProg2.m

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Erro em Estado Estacionário Considere, agora, o sistema a seguir:

( )G s

Para H(s)≠1, K1 pode ser visto como um conversor de unidades (velocidade para tensão, por exemplo).

( )H s

( )R s ( )Y s( )aE s

1K

2( )1

KH ssτ

=+

K2 é um fator de conversão de unidades: mV/rpm, no caso de um tacogerador, por exemplo.

+ -

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1

1

1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) (

( )

)1 ( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( )

G sE s R s Y s R s R sG s H s

G s H s G s R sG s H s

H s G s R sG s H s

K

K

K

− = −+

+ −=

++ −

=+

( )G s

( )H s

( )R s ( )Y s( )aE s

1K + -

K1 = K2

1

1( ) ( )1 ( )

EGK

s R ss

=+

1

11 (0)sse

GK=

+

( ) 1R s s=

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Erro em Estado Estacionário Considere, agora, uma entrada de perturbação:

Controlador Processo

a Controlar

O sistema agora possui duas entradas, R(s) e D(s), e cada uma delas tem a sua contribuição para a saída C(s) e,

consequentemente, para o erro em estado estacionário. Por linearidade, é possível calcular cada uma das saídas e das

contribuições para o erro em estado estacionário.

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Erro em Estado Estacionário Para o sistema a seguir, calcular a componente

do erro em estado estacionário devida a uma perturbação em degrau unitário.

Controlador G1(s)

Processo G2(s)

Solução: -1/1000

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Índices de Desempenho Um índice de desempenho é uma medida quanti-

tativa do desempenho de um sistema, e é esco-lhido de modo que seja colocada ênfase nas es-pecificações consideradas importantes.

Os índices de desempenho mais utilizados são: ISE, ITAE, IAE, e ITSE.

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Índices de Desempenho ITAE – Integral do erro absoluto vezes o tempo:

reduz a contribuição exagerada do erro nos pri-meiros instantes, e enfatiza erro presente na res-posta em estado estacionário.

IAE – Integral do erro absoluto:

ITSE – Integral do erro ao quadrado vezes o tem-po:

0( )

Tt e tI A dT E t= ∫

0( )

Te tI dAE t= ∫

2

0( )

Tte tITSE dt= ∫

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Índices de Desempenho Normalmente, o limite superior T de integração é

escolhido como sendo o tempo de acomodação, ou assentamento.

Dentre os índices vistos, o mais seletivo é o ITAE, visto que seu valor mínimo é facilmente identifi-cável em função da variação do coeficiente de a-mortecimento, ζ.

Um sistema de controle é dito ser ótimo quando o índice de desempenho selecionado é minimiza-do.

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Índices de Desempenho Índices para sistema de 2ª ordem, com entrada em degrau unitário

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Índices de Desempenho Para a função: 0

11 1 0

( ) n nn

bT ss b s b s b−

−

=+ + + +

Considerando entrada em degrau unitário:

16/09/2014 30/33


Índices de Desempenho Respostas ao Degrau para Valores Ótimos do ISE

Tempo Normalizado

Res

post

a N

orm

aliz

ada

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Índices de Desempenho Respostas ao Degrau para Valores Ótimos do IAE

Res

post

a N

orm

aliz

ada

Tempo Normalizado

16/09/2014 32/33


Índices de Desempenho Respostas ao Degrau para Valores Ótimos do ITAE

Res

post

a N

orm

aliz

ada

Tempo Normalizado

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