DESCRIÇÃO DO CÓDIGO TEACH-C · Métodos Numéricos em Problemas de Difusão 54 4.2 O sistema de...

Métodos Numéricos em Problemas de Difusão

53

CAPÍTULO

4

DESCRIÇÃO DO CÓDIGO TEACH-C

4.1 Nota introdutória

Neste capítulo, o programa TEACH-C é descrito tendo em mente que a sua aplicação

pode ser tão vasta como a do método desenvolvido no capítulo 3. O código é, portanto,

aplicável a problemas de difusão de calor (ou de massa, ou de quantidade de movimento),

em situações estacionárias ou transientes, em problemas com coordenadas cartesianas ou

cilíndricas axissimétricas, com ou sem fontes de calor (ou de massa, ou de quantidade de

movimento), com condutibilidade térmica uniforme ou variável (dependente da

temperatura ou variável com a posição espacial) e sem qualquer restrição às condições de

fronteira. Apesar de se ter imposto a constância das propriedades do material, massa

volúmica e calor específico, o programa pode ser alterado, sem dificuldades acrescidas, de

forma a incorporar variações dessas propriedades.

Embora o programa original estivesse escrito em FORTRAN-IV, a versão aqui

apresentada foi rescrita para FORTRAN-90 e pode ser executada num computador pessoal

com um compilador vulgar de FORTRAN.

Por outro lado, o programa TEACH-C foi escrito de forma a ser uma solução de

compromisso entre as soluções algo conflituosas de códigos de aplicação genérica,

eficientes em termos de memória e tempo de cálculo requeridos e a facilidade de

compreensão e de manipulação desses códigos.

Deverá ainda salientar-se que todos os valores a introduzir no programa TEACH-C

deverão estar em unidades SI.


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4.2 O sistema de coordenadas bi-radial

Uma das características do código, criada como forma de redução da memória

computacional requerida, é o uso de vectores (matrizes unidimensionais) para armazenar

os valores dos coeficientes das equações algébricas, que vão sendo redefinidos à medida

que o código executa o processo iterativo e muda de uma linha para a seguinte. Esta opção

poderia criar uma situação de inflexibilidade do código no que se refere à melhor

orientação a dar ao domínio de solução, que, tal como explicado na secção 3.6, pode

acarretar inconvenientes e, portanto, carece de remoção.

Um caso típico que poderia gerar este tipo de inconvenientes é o de uma alheta

anular, como a que se representa na figura 4.1. Tal como explicado na subsecção 3.6, é

preferível executar o varrimento do processo iterativo de solução na direcção preferencial

do fluxo de calor, i.e., em linhas verticais que são perpendiculares à direcção

preferencialmente radial do fluxo de energia. Se a alheta não fosse cilíndrica e

axissimétrica, uma simples reorientação seria suficiente para resolver o problema. No

entanto, num sistema clássico de coordenadas cilíndricas axissimétricas, como o

representado na figura 4.1 (a), tal não é possível. Se, contudo, o sistema de coordenadas for

bi-radial como o do programa TEACH-C, em que a direcção radial pode ser

indiferentemente orientada segundo o eixo dos yy (tomando a designação ry) ou segundo o

eixo dos xx (tomando a designação rx), a reorientação pretendida é facilmente exequível,

tal como ilustrado na figura 4.1 (b).

y, ry

x

y

x, rx (a) (b)

Figura 4.1 – Ilustração do uso de coordenadas bi-radiais para uma alheta com

geometria axissimétrica: (a) Orientação clássica, (b) Orientação alternativa.


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Assim, o versátil código TEACH-C admite um sistema de coordenadas com dois

raios possíveis de curvatura, rx e ry. É obviamente inadmissível executar o programa

simultaneamente com dois raios de curvatura, o que equivaleria a ter uma geometria com

dois eixos de simetria. Para impedir este procedimento errado, o código iguala à unidade o

raio de curvatura que não é relevante, e contém um teste (filtro) para interrupção da

execução do programa caso o utilizador menos atento imponha a coexistência de dois raios

de curvatura.

Não constitui tarefa árdua generalizar a equação (3.21) para admissibilidade de

coordenadas bi-radiais. Na realidade, basta apenas alterar as expressões de cálculo do

volume de cada célula, bem como das áreas das suas interfaces, que aparecem no cálculo

dos coeficientes das equações algébricas: equações (3.23.a) a (3.23.e).

Desta forma obtém-se:

ewnsy,Px,PPV xyrr δδ≈ (4.1.a)

ewx,Py,nna xrr δ≈ (4.1.b)

ewx,Py,ssa xrr δ≈ (4.1.c)

nsx,ey,Pea yrr δ≈ (4.1.d)

nsx,ey,Pwa yrr δ≈ (4.1.e)

É esta a versão que o código TEACH-C utiliza.

4.3 Estrutura global do código TEACH-C

A figura 4.2 representa, de forma resumida e em formato de fluxograma, a estrutura

global do código TEACH-C, onde se podem observar as subrotinas contidas pelo código, a

sua função e a relação entre elas, bem como a sequência pela qual elas são chamadas.

O PROGRAMA PRINCIPAL constitui-se no bloco central do código. Neste bloco, o

primeiro capítulo executa operações de atribuição de valores aos parâmetros de controlo,

nomeadamente para a malha e para as coordenadas a usar, estabelece as dimensões do

domínio de solução e as propriedades do material e efectua a escolha do ponto monitor e

das variáveis de controlo do progresso do código.


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57

No capítulo seguinte, o capítulo 2, o programa chama a SUBROUTINE INIT, onde

as variáveis são inicializadas a zero, ou com um valor a definir pelo utilizador, e onde são

calculadas todas as grandezas geométricas relacionadas com a malha, i.e., as dimensões

dos volumes de controlo.

Neste capítulo do PROGRAMA PRINCIPAL são ainda atribuídos os valores

numéricos que serão usados nas condições de fronteira e a SUBROUTINE PROPS é

chamada para inicializar o valor das propriedades do material em todos os nós do domínio

de solução, nomeadamente a condutibilidade térmica do material. Por fim, é possível

efectuar uma impressão das condições iniciais com recurso à SUBROUTINE PRINT.

No capítulo 3 do PROGRAMA PRINCIPAL procede-se à resolução do problema

com o cálculo propriamente dito, através da execução dos ciclos iterativos no tempo e no

espaço. O cálculo dos coeficientes das equações algébricas discretizadas é efectuado para

cada nó do domínio de solução na SUBROUTINE CALCT, que é chamada pelo

PROGRAMA PRINCIPAL, e que, por sua vez, recorre à SUBROUTINE PROMOD para

especificar as condições de fronteira e fontes, se existirem, e à SUBROUTINE SOLVE

para efectuar a solução das equações algébricas pelo algoritmo de Thoma ou TDMA. É

ainda na SUBROUTINE CALCT que se calcula o resíduo global para efectuar o teste de

convergência. Seguidamente, o PROGRAMA PRINCIPAL retoma a SUBROTINE

PROPS para actualizar os valores das propriedades do material, particularmente no caso de

problemas em que a condutibilidade térmica do material depende da temperatura. Neste

capítulo do PROGRAMA PRINCIPAL são ainda impressos os campos da temperatura,

chamando a SUBROUTINE PRINT, de acordo com os critérios estabelecidos pelo

utilizador na escolha que efectuou para os parâmetros de controlo, no capítulo 1.

O processo termina com o capítulo 4, onde o utilizador pode adicionar as operações

finais que entenda, não existentes actualmente no programa.

Detalhes mais relevantes da estrutura do código serão descritos adiante, neste

capítulo, na subsecção 4.5.

4.4 Símbolos e convenções importantes 4.4.1 A malha

A figura 4.3 apresenta um volume de controlo típico de uma malha com todas as

dimensões e cotas expressas com a notação usada em FORTRAN pelo código TEACH-C.

Como se pode observar, cada nó P da malha é referenciado pelos índices (I,J), sendo I o


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índice que especifica a linha da malha na direcção xx com uma coordenada X(I) e J é o

índice que especifica a linha da malha na direcção yy com uma coordenada Y(J). Os

valores de I e de J têm como limites: 1 ≤ I ≤ NI e 1 ≤ J ≤ NJ. No entanto, estes limites nem

sempre definem o domínio de solução.

P(I,J)

S

N

EW

s

n

ew

XU(I),RU(I)

YV(J),RV(J)

RY(J),Y(J)

X(I),RX(I)

DXPW(I) DXEP(I)

DYPS(J)

DYNP(J)

SEW(I)

SNS(J)

Eixo de simetria

qn

qs

qeqw

Figura 4.3 – Notação em FORTRAN das variáveis geométricas.

De facto, para geometrias irregulares como a que se representa na figura 4.4 ou a da

figura 3.3, o código torna inactivos alguns dos nós da malha ou volumes de controlo,

recorrendo, para tal, às variáveis JS(I) e JN(I), que estabelecem o limite inferior, JS(I), e o

limite superior, JN(I), do domínio de solução para cada linha I.

Para o caso da figura 4.4, em que a malha tem 12×8 nós (NI×NJ), respectivamente

nas direcções xx e yy, a variável JS(I) deveria ser definida como: JS(I) = 2 para I = 2 a 4;

JS(I) = 3 para I = 5; JS(I) = 4 para I = 6; JS(I) = 5 para I = 7; JS(I) = 6 para I = 8 a 11.

O código disponibiliza três sistemas possíveis de coordenadas: cartesianas e

cilíndricas, tendo este último a opção bi-radial. Esta escolha é efectuada através das

variáveis lógicas INCYLX e INCYLY: quando ambas assumem o valor lógico .FALSE., o

utilizador optou por coordenadas cartesianas e, automaticamente, o programa atribui um

valor unitário aos dois raios de curvatura rx e ry. Quando se impõe INCYLX = .TRUE. e

INCYLY = .FALSE., o raio de curvatura rx é calculado e ry é igualado à unidade, tendo o


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utilizador optado pela geometria radial com axissimetria no eixo yy (ver figura 4.1 (b)).

Caso contrário, quando INCYLX = .FALSE. e INCYLY = .TRUE., o raio de curvatura ry é

calculado e o raio rx é igualado à unidade, tendo o utilizador optado pela geometria radial

com axissimetria no eixo xx (ver figura 4.1 (a)).

Tal como já referido, se INCYLX = .TRUE. e INCYLY = .TRUE., o programa é

automaticamente interrompido emitindo uma mensagem de erro.

Domínio

Fronteira real

y

Linhas definidoras das interfaces dos volumes de controlo

x Fronteira fictícia

Malha

Figura 4.4 – Uso de uma malha regular numa geometria irregular. A variável JS(I) define, para cada I, o limite inferior do domínio de solução.

Os valores de NI, NJ, X(I), Y(J), JS(I), JN(I), INCYLX e INCYLY têm que ser

obrigatoriamente fornecidos pelo utilizador do programa. A partir destes dados, o

programa, para além dos raios de curvatura já mencionados, calcula as seguintes variáveis

geométricas:

DXPW(I) distância entre os nós P e W, δxPW;

DXEP(I) distância entre os nós P e E, δxEP;

DYPS(J) distância entre os nós P e S, δyPS;

DYNP(J) distância entre os nós P e N, δyNP;

SEW(I) dimensão do volume de controlo na direcção xx em torno de P, δxew;

SNS(J) dimensão do volume de controlo na direcção yy em torno de P, δyns.


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4.4.2 Variáveis dependentes e propriedades do material

As temperaturas da iteração em curso (ou iteração actual) são armazenadas na matriz

T(I,J) e os da iteração anterior na matriz TOLD(I,J), para se poderem resolver problemas

transientes, sendo I e J os índices que definem a posição do nó em causa. De forma a poder

considerar-se a condutibilidade do material variável com o espaço ou com a temperatura, o

código dispõe da matriz GAMH(I,J). Contudo, como referido na subsecção 3.3.2, não está

prevista pelo programa TEACH-C a variação da massa volúmica ρ do material nem do seu

calor específico Cp.

4.4.3 Parâmetros de controlo

Além dos parâmetros de escolha das coordenadas INCYLX e INCYLY, existem no

programa outras variáveis de controlo que definem opções importantes para o utilizador, e

que, portanto, este deve conhecer. Essas variáveis são as seguintes:

INTIME é uma variável lógica que define o regime em estudo como estacionário

quando INTIME = .FALSE., ou transiente quando INTIME = .TRUE. e, no primeiro caso,

o cálculo do termo transiente da equação algébrica, ( )1nP

nPP TTD −− , não é executado e o

programa apenas itera no espaço para a obtenção da solução final. Apesar desta prática ser

equivalente a impor um passo temporal δt infinito, é computacionalmente mais económica

e eficiente.

INPRO é também uma variável lógica que permite ao utilizador estabelecer se vai

resolver um problema com condutibilidade térmica constante (INPRO = .FALSE.) ou, se

pelo contrário, aquela propriedade é variável (INPRO = .TRUE.). Neste último caso, o de k

variável, a SUBROUTINE PROPS é chamada repetidamente no interior do ciclo espacial

para actualizar o valor da condutibilidade térmica k, de acordo com a especificação dada

pelo utilizador, sempre que há novos valores da temperatura T, ou seja, sempre que termina

a execução da SUBROUTINE CALCT. No caso da condutibilidade térmica do material ser

constante, a SUBROUTINE PROPS só é chamada uma vez no início dos cálculos.

MAXSTP é a variável que define o número máximo de passos no tempo a executar.

Quando o utilizador estabelece regime estacionário (INTIME = .FALSE.) para o seu

problema, o código impõe automaticamente um valor unitário para MAXSTP. No caso de

regime transiente, o número de passos no tempo realmente efectuado vai sendo

contabilizado cumulativamente pela variável NSTEP.

MAXIT é a variável que define o número máximo de iterações no espaço, para cada

passo no tempo. No caso deste número limite ser atingido, sem se ter alcançado a


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convergência do processo iterativo, o programa é interrompido e envia uma mensagem de

aviso de erro. O número de iterações realmente efectuadas vai sendo cumulativamente

contabilizado pela variável NITER.

SORMAX é valor de λ da equação (3.48) que estabelece o nível de convergência do

processo em ralação a um valor de referência, Qref. Assim, a soma adimensionalizada dos

valores absolutos dos resíduos para todos os volumes de controlo, ref

n

1iPi Q/R∑

=

, deverá ser

inferior ao valor de SORMAX pré-estabelecido. RESORT é a soma dos valores absolutos

dos resíduos para todos os volumes de controlo, cuja adimensionalização, ou normalização,

se efectua dividindo RESORT por SNORM, sendo este o valor de referência do fluxo de

calor, Qref.

DT é o passo no tempo, δt, a ser especificado pelo utilizador, e que pode ser variável

durante o processo de cálculo transiente.

URFT é o factor de sub-relaxação, α, para a temperatura, de acordo com a equação

(3.50).

NITPRI é uma variável de controlo de impressão de resultados. Esta variável define

o intervalo dentro de cada iteração temporal, medido em número de iterações espaciais,

para o qual o campo de temperaturas é impresso.

NSTPRI é a variável que controla a impressão de resultados transientes do campo de

temperaturas num intervalo medido em número de iterações no tempo. Assim, os

resultados transientes são impressos a cada múltiplo do número de iterações no tempo,

NSTPRI, e, entre duas iterações temporais consecutivas, o campo de temperaturas é ainda

impresso a cada múltiplo do número de iterações espaciais, NITPRI.

IMON, JMON é o par de índices (I,J) que define o ponto monitor, que é um ponto do

interior do domínio de solução seleccionado pelo utilizador, para o qual o valor da

temperatura é impresso ao longo do processo iterativo, permitindo-lhe avaliar a evolução

da convergência do referido processo iterativo.

4.4.4 Coeficientes da equação discretizada

Os coeficientes da equação discretizada - ver equação (3.28) - AN, AS, AE, AW, AP,

SU e SP, constituem parâmetros do programa que o utilizador deve conhecer e, acima de

tudo, deve saber onde são calculados e onde devem ser modificados quando se referem a

nós da fronteira. O equivalente em FORTRAN dos referidos coeficientes é dado na tabela

4.1.


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Note-se que os coeficientes correspondem a símbolos no código que são matrizes

unidimensionais, i.e., vectores, por razões de economia de memória computacional

requerida. Assim, quando o processo iterativo progride de uma linha I = constante para a

linha seguinte, os coeficientes são recalculados, perdendo-se os valores para a linha

anterior definitivamente.

Tabela 4.1 – Símbolos em FORTRAN dos coeficientes da equação discretizada.

Coeficiente Símbolo em FORTRAN

AN AN(J)

AS AS(J)

AE AE(J)

AW AW(J)

AP AP(J)

SU SU(J)

SP SP(J)

4.5 Descrição do CASO_BASE resolvido na versão original do

código 4.5.1 Natureza do problema

A versão original do código TEACH-C resolve um problema de condução de calor

bidimensional e transiente. A figura 4.5 mostra a geometria deste problema que, como se

pode observar, se trata de uma barra muito longa de secção recta rectangular (W×H).

Inicialmente, a barra está toda à temperatura de 0 ºC. Subitamente, é imposta a temperatura

de 100 ºC na face superior da barra, mantendo-se as outras faces à temperatura de 0 ºC.

As propriedades do material são as seguintes: k = 14,68 W m-1 ºC-1, ρ = 7800 kg m-3,

C = 485,67 J kg-1 ºC-1. O objectivo do problema é estudar a evolução ao longo do tempo da

distribuição de temperaturas no interior da barra, até se atingir o regime estacionário.

Na medida em que o comprimento da barra é muito maior que as suas altura e

largura, respectivamente H e W, o problema pode ser abordado bidimensionalmente se

desprezarmos o efeito dos topos. Assim, o problema resume-se ao caso representado na

figura 4.6.


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H

W

y

x

T = 0T = 0

T = 0 T = 100

A área sombreada representa o domínio da solução

z

Figura 4.5 – Geometria real do CASO_BASE da versão inicial do código TEACH-C.

y

x

TTOP = 100.0

H

W

TLEFT = 0 TRIGHT = 0

TBOT = 0

Figura 4.6 – Geometria bidimensional realmente calculada pelo CASO_BASE da versão inicial do código TEACH-C.

4.5.2 Variáveis relevantes e descrição das subrotinas

Na versão original do programa TEACH-C, as seguintes variáveis constituem um

conjunto relevante para a demonstração do problema:

H Altura H da barra [m]

W Largura W da barra [m]


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TCON(I,J) Condutibilidade térmica do material [W m-1 ºC-1]

CV(I,J) Calor específico do material [J kg-1 ºC-1]

DENSIT(I,J) Massa volúmica do material [kg m-3]

TTOP Temperatura da face superior da secção recta da barra [ºC]

TBOT Temperatura da face inferior da secção recta da barra [ºC]

TLEFT Temperatura da face esquerda da secção recta da barra [ºC]

TRIGHT Temperatura da face direita da secção recta da barra [ºC]

De seguida, fornecer-se-ão alguns pormenores de cada uma das subrotinas do código

TEACH-C, que devem ser lidos em conjunto com a totalidade da listagem do código

fornecida no Apêndice 1, para uma análise mais objectiva e profícua do programa.

Primeiro serão referidas as subrotinas que dependem do problema e, depois, as subrotinas

que são independentes do problema e, como tal, imutáveis.

PROGRAMA PRINCIPAL

i) Capítulo 0: trata das operações preliminares como a especificação da dimensão

das matrizes, IT e JT, e da dimensão da malha, NI e NJ. São dados valores a NI e NJ

correspondendo a uma malha de 12 × 12 (10 volumes de controle em cada direcção do

espaço, visto os nós externos serem inactivos).

ii) Capítulo 1: começa com as dimensões globais do domínio de solução e com a

malha. O sistema de coordenadas cartesianas é seleccionado atribuindo o valor .FALSE. às

variáveis INCYLX e INCYLY.

Os dados para a geometria da barra são especificados (H = 1,0 m e W = 1,0 m). A

malha pode ser uniforme, ou com expansão regular através dos factores de expansão

FEXPX e FEXPY para as coordenadas dos nós X(I) e Y(J), respectivamente. A malha é

uniforme se se atribuir a estes factores o valor 1,0. Aos limites do domínio de cálculo JS(I)

e JN(I) são atribuídos os valores 2 e NJ – l, respectivamente.

As propriedades do material que estão especificadas são as do aço, em unidades do

Sistema Internacional.

Os valores atribuídos aos parâmetros de controlo são: 20 passos no tempo com a

duração de 50 s cada um, com um número máximo possível de 100 iterações espaciais para

cada passo no tempo.

O campo de temperaturas será escrito em todos os passos no tempo (NSTPRI = 1) e,

dentro de cada passo no tempo, em cada NITPRI iterações espaciais (NITPRI = 110, i.e.,


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não se escreve o campo de temperaturas para as iterações espaciais). Não se procede à

relaxação do campo de temperaturas (URFT = 1,0) e o critério de convergência é

SORMAX = 10-3, i.e., 0,1% do fluxo de calor de referência.

A localização do ponto monitor é especificada (IMON = 6, JMON = 6).

iii) Capítulo 2: começa com uma chamada à SUBROUTINE INIT, onde são

calculados os parâmetros geométricos da malha e as matrizes são inicializadas a zero. De

volta ao PROGRAMA PRINCIPAL são atribuídos os valores das temperaturas nas

fronteiras. A SUBROUTINE PROPS é chamada para inicializar a matriz da

condutibilidade térmica. Em seguida, o factor de normalização do resíduo, SNORM, é

calculado. Esta quantidade depende do problema e deve ser especificada pelo utilizador.

Neste caso particular SNORM é calculado da seguinte forma: ( ) H/WTTk BOTTOP − . Esta

equação expressa uma referência do fluxo de calor em jogo neste problema.

O capítulo fecha com a escrita das especificações do problema de acordo com os

dados do utilizador.

iv) Capítulo 3: este capítulo do código TEACH-C diz respeito ao cálculo

propriamente dito, e não requer nenhuma modificação para o presente problema. Contudo,

amiúde, são necessárias alterações do seguinte tipo:

- para cálculos não-estacionários é necessário, por vezes, ajustar o DT durante o

cálculo, para minimizar o tempo de cálculo;

- alteração das condições fronteiras e/ou fontes que podem depender do tempo ou da

temperatura;

- alterações nas operações de escrita.

Uma das principais funções deste capítulo é supervisionar o desenvolvimento do

processo iterativo. Um dos testes que é feito consiste em comparar o valor do resíduo

normalizado com um certo valor predefinido. Este teste é feito para um número de

iterações a partir de um valor estabelecido, NITER ≥ 20. Se a fonte exceder o valor

prescrito o programa pára, indicando que o processo está a divergir.

v) Capítu1o 4: escreve o campo final de temperaturas.

SUBROUTINE PROMOD

Nesta subrotina são incorporadas as condições de fronteira. No exemplo apresentado,

todas as fronteiras são do tipo Dirichlet, i.e., temperatura imposta. Assim, será suficiente

examinar o tratamento de apenas uma fronteira, por exemplo a fronteira NORTE, para se

perceber o procedimento.


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A expressão para o fluxo de calor na equação discretizada, que é calculado

incorrectamente pela SUBROUTINE CALCT, é suprimida, fazendo AN(NJM1) = 0. A

expressão correcta para o fluxo de calor ( ) BPewPBBn /TTkq yx δδ−= é inserida em

SU(NJM1) e SP(NJM1) com auxílio da quantidade BPewB /k yx δδ representada por DN.

As restantes fronteiras são tratadas de um modo semelhante. As alterações a SU(NJM1) e

SP(NJM1) são feitas de um modo aditivo, para não interferir com as quantidades já

armazenadas nestas duas matrizes, o que pode acontecer num problema com fontes de

calor. Caso isso aconteça, estes são também inseridos nesta subrotina.

O índice IL contém o valor da linha I=constante que se está a resolver no processo

iterativo, para que se possa dar conhecimento ao programa do momento adequado para se

aplicarem as modificações para as fronteiras laterais (este e oeste).

SUBROUTINE PROPS

Esta subrotina só é modificada quando a condutibilidade térmica varia de

determinada maneira com a temperatura ou com o espaço. Nestas circunstâncias, o

utilizador deve especificar a lei matemática dessa variação na SUBROUTINE PROPS. No

exemplo que consta da versão inicial do código TEACH-C, a condutibilidade térmica é

constante e portanto o valor atribuído a TCON no PROGRAMA PRINCIPAL é

introduzido automaticamente na matriz GAMH(I,J) e uma única vez.

De seguida efectuar-se-á a descrição das subrotinas independentes do problema.

SUBROUTINE CALCT

i) Capítulo 1: trata do cálcu1o dos coeficientes das equações discretizadas. Este

cálculo é feito linha-a-linha, para linhas I=constante, e com os valores de I a variar no

intervalo: 2 ≤ I ≤ NI-1. Os limites inferior e superior para cada uma das linhas são

estabelecidos, respectivamente, por JS(I) e JN(I). Devido à relação de reciprocidade entre

os vários coeficientes, AS(J) = AN(J-1) e AW(J) (para a linha I) = AE(J) (para a linha I–1),

só são calculados dois coeficientes para cada volume de controlo: AN(J) e AE(J).

ii) Capítulo 2: chama a SUBROUTINE PROMOD, onde os coeficientes são

modificados, sempre que necessário.

iii) Capítulo 3: associa os coeficientes de forma conveniente para que o método de

resolução do sistema de equações algébricas seja aplicado. Neste capítulo calculam-se e

somam-se resíduos e incorpora-se a sub-relaxação.

iv) Capítulo 4: chama a SUBROUTINE SOLVE que de descreve de seguida.


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SUBROUTINE SOLVE

i) Capítulo 1: as equações algébricas são resolvidas para cada linha I=constante,

através do algoritmo de cálculo TDMA. A sequência é a seguinte: os coeficientes da

equação (3.43) são calculados, seguindo-se o cálculo dos coeficientes das equações (3.46)

e, finalmente, as temperaturas são calculadas por substituição por ordem inversa, desde a

última equação até à primeira equação, no sistema definido pelas equações (3.46).

SUBROUTINE INIT

i) Capítulo 1: contém mensagem de erro

ii) Capítulo 2: contém os cálculos relacionados com a malha, cuja nomenclatura

permite que sejam auto-explicativos. Deve notar-se que os valores das coordenadas das

linhas extremas (I=1, I=NI, J=1, J=NJ) são reajustados de forma a garantir que coincidem

com os valores das coordenadas extremas do domínio físico de solução para facilitar a

leitura dos resultados.

iii) Capítulo 3: inicializa as variáveis. Neste capítulo, o utilizador pode

eventualmente alterar os valores de inicialização das variáveis de acordo com as condições

específicas de cada problema.

SUBROUTINE PRINT

Trata-se de uma subrotina geral para as operações de escrita. Esta subrotina escreve o

conteúdo de qualquer matriz bidimensional PHI(I,J) com um título especificado no

FORMAT apropriado. A variável PHI(I,J) é argumento da subrotina.

4.5.3 Metodologia de modificações ao código TEACH-C

Querendo adaptar-se o programa TEACH-C a um problema particular, deve

proceder-se de acordo com a seguinte metodologia e sequência de modificações

necessárias:

PROGRAMA PRINCIPAL

Capítulo 0

• Especificar as dimensões (IT,JT) das matrizes bidimensionais, e da malha (NI,NJ).

Capítulo 1

• Seleccionar o sistema de coordenadas através das variáveis INCYLX e INCYLY

• Fornecer o modo de calcular as coordenadas dos pontos da malha X(I) e Y(J)

• Especificar os limites superior e inferior do domínio de solução, respectivamente


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JN(I) e JS(I), para cada linha I=constante.

• Atribuir valores apropriados aos parâmetros de controlo INTIME e INPRO.

• Se os cálculos são não-estacionários, atribuir valores ao intervalo de tempo DT e ao

intervalo para a operação de escrita NSTPRI. Para cálculos estacionários, os

valores destas duas variáveis, DT e NSTPRI, são irrelevantes.

• Fornecer os valores das propriedades dos materiais TCON, CV e DENSIT.

• Se as propriedades dos materiais são dependentes da temperatura, inserir a

sequência de cálculos para essas propriedades na SUBROUTINE PROPS.

• Especificar o valor dos parâmetros de controlo do processo iterativo MAXIT,

URFT e SORMAX.

• Especificar o valor dos parâmetros de controlo de escrita NITPRI, NSTPRI e

IMON, JMON.

Capítulo 2

• Fornecer o valor das temperaturas nas fronteiras (caso sejam condições fronteiras

de temperatura imposta) e inicializar os valores da temperatura no interior do

domínio. Em adição, deve explicitar-se neste capítulo o conjunto de valores que são

necessários à definição das condições de fronteira.

• Fornecer um processo de cálculo apropriado para o factor de normalização da fonte

SNORM.

• Adaptar a escrita da informação da especificação do problema.

SUBROUTINE PROMOD

Inserir as condições de fronteira e os termos de fonte apropriados ao problema, tendo

em atenção que:

• Tem de se especificar condições em todas as fronteiras.

• Para inserir uma condição de fronteira deve quebrar-se a ligação normal,

estabelecida automaticamente, e inserir a equação correcta através dos coeficientes

de uma fonte linearizada.

• Os termos de fonte referentes a fontes reais devem também ser linearizados.

• As alterações feitas aos coeficientes da fonte são feitas de uma maneira aditiva, de

tal modo que não interfiram com os valores já armazenados nesses coeficientes.


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4.6 Descrição do CASO_TESTE para adaptação faseada

Nesta secção apresenta-se o CASO_TESTE, que é um problema semelhante ao do

CASO_BASE, que se destina a ser resolvido em conjunto pelo docente e pelos alunos nas

aulas práticas, para que os alunos se adaptem progressivamente ao código.

A figura 4.7 mostra a geometria deste problema que, como se pode observar, se trata

de uma barra muito longa, de secção recta rectangular (2W = 2,0 m × 2H = 0,2 m).

Inicialmente, a barra está toda à temperatura de 800 ºC. Subitamente, é imersa num fluido

à temperatura de 80 ºC, que tem um coeficiente de transmissão de calor por convecção

constante, h = 520 W m-2 ºC-1. As propriedades do material de que é feita a barra são as

seguintes: k = 520 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, Cp = 460 J kg-1 ºC-1. O objectivo do

problema é estudar a evolução ao longo do tempo da distribuição de temperaturas dentro

da barra, até se atingir o regime estacionário.

2H

2W

y

x

h, TF


zh, TF

Figura 4.7 – Geometria real do CASO_TESTE para inserir no código TEACH-C.

Na medida em que o comprimento da barra é muito maior que as suas altura e

largura, respectivamente 2H e 2W, o problema pode ser abordado bidimensionalmente se

desprezarmos o efeito dos topos da barra.

Mais do que isso, e na medida que há simetria axial em qualquer das duas direcções

do espaço, o domínio de solução pode ser reduzido a um quarto da secção recta, desde que

se imponha condição de fluxo nulo nos dois eixos de simetria.


70

Assim, o problema resume-se ao caso cuja geometria e domínio de solução estão

representados na figura 4.8.

A malha a utilizar deve ter 102 nós na direcção xx e 12 nós na direcção yy.

O passo no tempo deve ser imposto como δt = 30 segundos.

Os alunos deverão proceder às alterações do código propostas pelo docente na aula,

correr o programa e construir os gráficos que entenderem pertinentes para analisar os

resultados na aula prática seguinte.

y

x

H/2

W/2

Figura 4.8 – Geometria bidimensional a ser realmente calculada pelo CASO_TESTE no

código TEACH-C.


71

CAPÍTULO

5

APLICAÇÕES DO CÓDIGO TEACH-C

5.1 Problema 1: Condução de calor unidimensional 5.1.1 Lição 1: Regime estacionário e sem fontes

Para que o calor se escoe apenas segundo uma direcção do espaço, o material tem

que ser, teoricamente, infinito segundo as outras duas dimensões. Na prática, isto é

conseguido com uma aproximação bastante boa isolando os topos da placa ou, em

alternativa, estudando apenas a zona central de uma placa cuja espessura seja muito

inferior às outras dimensões (largura e altura), de forma a poderem desprezar-se os efeitos

das extremidades.

Considere-se então uma placa plana infinita de espessura L e condutibilidade

térmica, k, constante, de um material isotrópico e homogéneo. A placa está ladeada por

dois fluidos às temperaturas T1 e T2 (T1 > T2) e são conhecidos os coeficientes de

transmissão de calor por convecção h1 e h2, conforme se mostra na figura 5.1.

A equação do calor que rege este caso e as respectivas condições de fronteira são:

0d

Td2

2

=x

(5.1)

( )1,P11 TThq0 −=∴=x (5.2)

( )22,P2 TThqL −=∴=x (5.3)

Trata-se de um problema muito simples para o qual existe solução analítica, o que

constitui uma vantagem para a validação das previsões numéricas efectuadas pelo código


72

TEACH-C. De facto, o perfil de temperaturas no interior da placa é linear, resultando da

integração directa da equação (5.1), com a forma:

21 CCT += x (5.4)

em que C1 e C2 são constantes de integração obtidas a partir das condições de fronteira

dadas pelas equações (5.2) e (5.3).

L

T2 ,h2

T1 ,h1

xy

O

k

Tp1

Tp2

Figura 5.1 – Placa plana simples sem fontes.

O fluxo de calor por unidade de área, que é constante, é calculado a partir das

equações (5.2), (5.3) e (5.5):

( )2,P1,P TTLkq −= (5.5)

valendo, portanto:

21

21

h1

kL

h1

TTq

++

−= (5.6)

Nesta lição vão-se estudar dois casos, visando a sua comparação e o

desenvolvimento da destreza do aluno na manipulação do código TEACH-C: uma placa

plana simples e uma placa plana múltipla, ambos com solução analítica conhecida.


73

Caso 1

O primeiro caso a estudar será o de uma chapa simples de aço (k = 58 W m-1 ºC-1),

com uma espessura de L = 5 mm, ladeada, de um dos lados por um gás quente à

temperatura de 1000 ºC e com um coeficiente h1 = 50 W m-2 ºC-1 e, do outro lado, por um

fluido menos quente, à temperatura T2 = 300 ºC (h2 = 1000 W m-2 ºC-1).

Com esta lição pretende-se, em primeiro lugar, que o aluno efectue previsões

numéricas do perfil de temperaturas e as compare com a solução analítica, investigando

simultaneamente o efeito das variáveis T1, T2, h1, h2, k, e L no perfil obtido.

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as seguintes indicações:

Dado que se trata de um problema unidimensional, é possível efectuarem-se os

cálculos apenas numa linha de pontos da malha. Por outro lado, é vantajoso seleccionar

uma linha vertical de pontos no cálculo numérico, de forma a que a direcção da variação da

temperatura real (eixo xx na figura 5.1) coincida com a direcção segundo a qual se aplica o

método iterativo TDMA (eixo yy na figura 5.2), conforme se mostra na figura 5.2. Em

resumo, para modelar numericamente o problema colocado deverão trocar-se os eixos.

Como se pode observar na figura 5.2, os cálculos são efectuados ao longo da linha vertical

I=2, sendo as linhas I=1 e I=3 usadas para armazenar as condições de fronteira. Esta

abordagem assegura também a condição de fluxo unidimensional, pois não haverá

transferência de calor na direcção xx (figura 5.2), já que se irão quebrar as ligações dos nós

da linha I=2 com os nós vizinhos das linhas I=1 e I=3, operação que se efectuará na

SUBROUTINE PROMOD. É também nesta subrotina que se devem especificar as

condições de fronteira, de acordo com a tabela 3.3 do capítulo 3.

A malha deve ser criada no PROGRAMA PRINCIPAL, que é também o bloco do

programa onde devem ser inseridas as propriedades do material (condutibilidade térmica,

que é constante) e os valores dos coeficientes de transmissão de calor por convecção.

A adaptação do programa à condição de regime estacionário faz-se impondo o valor

.FALSE. à variável INTIME no PROGRAMA PRINCIPAL.

Para efectuar o estudo paramétrico, i.e., o estudo da influência das principais

variáveis no perfil de temperaturas, deverão ser também previstos os referidos perfis na

placa de aço variando os seguintes parâmetros (um de cada vez, mantendo os restantes

valores constantes):

i) T1 = 700 ºC

ii) h1 = 200 W m-2 C-1

iii) T2 = 700 ºC


74

iv) h2 = 2000 W m-2 C-1

v) k = 390 W m-2 C-1

vi) L = 20 mm

I = 1 I = 2 I = 3J = 1

J = N J

y

Figura 5.2 – Placa plana sem fontes: domínio de solução.

O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados

contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para o caso de base com os da

solução analítica e a comparação dos resultados do caso de base com os do estudo

paramétrico.

Caso 2

O segundo caso a estudar será o de uma parede múltipla constituída por três placas

planas: uma de estuque (k1 = 0,25 W m-1 ºC-1, L1 = 10 mm), adjacente a uma placa de fibra

de vidro (k2 = 0,038 W m-1 ºC-1, L2 = 100 mm), que por sua vez está adjacente a outra

placa de madeira (k1 = 0,10 W m-1 ºC-1, L1 = 20 mm) conforme se mostra na figura 5.3.

Esta parede múltipla está ladeada, de um dos lados, por ar à temperatura Tint = 20 ºC e com

um coeficiente de transferência de calor por convecção hint = 30 W m-2 ºC-1 e, do outro

lado, por ar exterior à temperatura Text = 0 ºC (hext = 60 W m-2 ºC-1).


75

L1

T2 ,h2

T1 ,h1

yx

O

k1

L2 L3

k2 k3

Tp1

Tp2

Tp3

Tp4

10mm

hext = 60 W/m2.ºCText = 0 ºC

Mad

eira

K =

0,2

5W

/m.ºC

Fibr

a de

vi

dro

Estu

que

K =

0,0

38

W/m

.ºC

K =

0,1

2 W

/m.ºC

100 mm 20 mm

hi = 30 W/m2.ºCTi = 20 ºC

y

x

Figura 5.3 – Placa plana múltipla sem fontes: caso genérico e caso de aplicação.

Chama-se a atenção para o facto de haver, obviamente, alteração das equações que

estabelecem o fluxo de calor e a do perfil de temperaturas. Para o fluxo de calor de uma

placa com três ou com mais materiais, a equação (5.6) transforma-se, respectivamente, em:


76

ext3

3

2

2

1

1

int

extint

h1

kL

kL

kL

h1

TTq

++++

−= (5.7.a)

exti i

i

int

extint

h1

kL

h1

TTq

++

−=

∑ (5.7.b)

Tal como no caso anterior, pretende-se com esta lição, e em primeiro lugar, que o

aluno efectue previsões numéricas do perfil de temperaturas e que as compare com a

solução analítica, investigando simultaneamente o efeito das variáveis k2 e hext no perfil

obtido.

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as mesmas indicações que

se seguiram para o Caso 1. Deve, no entanto, levar-se em linha de conta que as interfaces

entre os vários materiais têm que coincidir com as faces dos volumes de controlo. A malha

constante da figura 5.4 é um exemplo típico que mostra o que se pretende.

As propriedades dos vários materiais devem ser inseridos na SUBROUTINE

PROPS.

Para efectuar o estudo paramétrico, i.e., a influência das variáveis escolhidas,

deverão ser também previstas as distribuições de temperatura na parede múltipla variando

os seguintes parâmetros (um de cada vez, mantendo os restantes valores constantes):

i) k2 = 1 W m-2 ºC-1 (tijolo)

ii) hext = 120 W m-2 ºC-1

O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar o relatório sucinto dos resultados,

que deverá incluir a comparação das previsões numéricas obtidas para o caso de base com

os valores da solução analítica e a comparação dos resultados do caso de base com os do

estudo paramétrico. Deverá ainda identificar o constituinte da resistência térmica da parede

múltipla que determina de forma mais acentuada o valor do fluxo de calor e calcular a

percentagem do aumento de fluxo de calor quando se muda a constituição da parede,

substituindo a fibra de vidro pelo tijolo.


77

Madeira

Fibra de vidro

Estuque

I = 1 I = 2 I = 3 J = 1

J = N J

y

Figura 5.4 – Placa plana múltipla sem fontes: exemplo típico da malha.

5.1.2 Lição 2: Regime transiente e sem fontes

Considere-se uma placa plana infinita de espessura 2H e condutibilidade térmica, k,

constante, de um material isotrópico e homogéneo, sem fontes e que está inicialmente à

temperatura T1. Subitamente, no instante t = 0, as superfícies superior e inferior da placa

são sujeitas à temperatura TB, conforme se mostra na figura 5.5. A igualdade das

temperaturas nas superfícies superior e inferior assegura que, mesmo em regime transiente,

existe simetria do perfil de temperaturas em torno do eixo y = H. Por isso, e como está

expresso na figura 5.5, o domínio de solução fica restringido a meia placa, i.e., 0 ≤ y ≤ H.

A equação do calor que rege este caso e as respectivas condições inicial e de

fronteira são:

0TktTC 2

2

v =∂∂

−∂∂

yρ (5.8)

y∀=∴= 1TT0t (5.9)


78

BTT0,0t =∴=≥ y (5.10)

0TH,0t =∂∂

∴=≥y

y (5.11)

y


TB

TB

TI (t = 0)

2H

Figura 5.5 – Placa plana simples sem fontes com temperatura imposta.

Este problema, e à semelhança do problema da lição 1, também tem solução

analítica. Contudo, para este caso, a solução analítica não é trivial, expressando-se por uma

série, mas pode ser encontrada nos livros básicos de transmissão de calor, como por

exemplo [3], [4] e [6]. Um problema interessante para se analisar é o que se refere aos

primeiros instantes de tempo (pequenos valores de t), em que apenas há variações

significativas da temperatura nas proximidades da parede y = 0, e em que a condição de

fronteira em y = H não influencia ainda a solução. Na realidade, nestes tempo e espaço

reduzidos, a variação da temperatura é equivalente à variação da temperatura de um bloco

semi-infinito com uma superfície localizada em y = 0 e a outra a uma distância infinita. A

condição de fronteira (5.11) modifica-se então para:

1TTy,0t =∴∞→≥ (5.12)

Nestas condições, pode-se demonstrar que a solução da equação diferencial regente,

equação (5.8) é dada por (e.g., referência [6]):

∫ −==−−

=η

ηηπ

ηθ0

2

B1

B d)exp(2)(erfTTTT (5.13.a)


79

t2 αη y= (5.13.a)

sendo ( )vCk ρα /= a difusividade térmica do material.

Também é fácil demonstrar que o fluxo de calor é dado por (e.g., referência [6]):

( )B1v

0yB TT

tCk2Tkq −=

∂∂

−==

ρπy

(5.14)

A quantidade ( ) 2/1tα tem a dimensão de um comprimento e pode ser interpretada

como a medida da distância a que, no tempo t, o fluxo de calor penetra no sólido, i.e., é a

profundidade da penetração do calor, pelo que é legítimo considerar que, no período em

que a evolução da temperatura se assemelha à de um corpo semi-infinito, a distribuição de

temperaturas dependa apenas de y, i.e., da variável η. Obviamente que ao fim de um tempo

alargado a variação de temperatura acabará por atingir o eixo de simetria e a abordagem

aqui apresentada deixa de ter validade. De facto, neste caso, a distribuição de temperaturas

passa a depender de dois parâmetros adimensionais: a posição adimensional y/H e o tempo

adimensional, também conhecido como número de Fourier, 2HtFo α

= .

Nesta lição vão-se estudar dois casos, visando a sua comparação (efeitos do número

de Fourier e, no caso 2, do número de Biot) e o desenvolvimento da destreza do aluno na

manipulação do código TEACH-C: placa plana simples em regime transiente com

temperatura imposta e placa plana simples em regime transiente com fluxo por convecção

imposto nas fronteiras.

Caso 1

O primeiro caso a estudar é o de uma chapa de aço com uma espessura 2H = 20 cm

(k = 58 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, Cp = 460 J kg-1 ºC-1), que estando inicialmente à

temperatura de 1000 ºC, é sujeita repentinamente a uma temperatura de 400 ºC nas suas

fronteiras.


numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas, devendo explicar fisicamente

os resultados, particularmente no que se refere à comparação com resultados para uma

placa plana semelhante à anterior, sujeita às mesmas condições inicial e de fronteira, mas

sendo feita de cobre (k = 390 W m-1 ºC-1, ρ = 8960 kg m-3, Cp = 380 J kg-1 ºC-1). O


80

segundo objectivo desta lição é a sensibilização do aluno para os efeitos do passo no tempo

escolhido e do refinamento da malha na precisão dos resultados obtidos.

O número de nós da malha na direcção yy deverá ser NJ = 12, com um factor de

expansão FEXPY = 1,1 e um passo no tempo DT tal que, quer para o cobre quer para o

aço, se possa imprimir a distribuição de temperaturas para o número de Fourier de 0,5, i.e.,

Fo = 0,5.

De seguida, o aluno deverá estudar a influência do passo no tempo, efectuando

corridas do programa para o caso do aço com metade do valor de DT e com o dobro do

valor de DT. De novo para o caso do aço, e mantendo a corrida inicial como caso de base,

o aluno deverá então estudar a influência do refinamento da malha correndo o programa

com duas outras malhas: NJ = 20 e NJ = 6 (o que permitirá alterar o espaçamento da

malha).

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as indicações seguintes:

Criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, THETA e ETA, que

representem, respectivamente, a temperatura e a profundidade adimensionalizadas. A

variável FO para o número de Fourier deve também ser criada e impressa sempre que se

efectua uma impressão dos resultados.

A malha (ver figura 5.6) deve ser criada no PROGRAMA PRINCIPAL, que é

também o bloco do programa onde devem ser inseridas as propriedades do material

(condutibilidade térmica, massa volúmica e calor específico, que são constantes).

A adaptação do programa à condição de regime transiente faz-se impondo o valor

.TRUE. à variável INTIME no PROGRAMA PRINCIPAL.

O aluno deverá recorrer a gráficos para efectuar um relatório sucinto dos resultados,

contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados e a

comparação com a solução analítica com críticas sobre a sua validade.

Caso 2

O outro caso a estudar é também o de uma chapa de aço, à temperatura de 1000 ºC,

com uma espessura 2H = 20 cm (k = 58 W m-1 ºC-1, ρ = 7850 kg m-3, Cp = 460 J kg-1 ºC-1),

que no instante t=0 é sujeita repentinamente a um fluxo de calor por convecção nas suas

fronteiras pelo contacto com um fluido a uma temperatura TF conhecida (400 ºC) e com

um coeficiente h de convecção, também conhecido, conforme se mostra na figura 5.7, onde

a espessura da placa 2H é muito inferior às duas outras dimensões, W e L.

Neste caso, a formulação matemática do problema passa a ser:


81

y


T = TB

J = 1

J = NJ

I = 1

?T/?y = 0

I = 2 I = 3

H

Figura 5.6 – Placa plana sem fontes: malha típica.

0TktTC 2

2

v =∂∂

−∂∂

yρ (5.15)

y∀=∴= 1TT0t (5.16)

( )FB0

B TThTkq0,0t −−=∂∂

−=∴=≥=yy

y (5.17)

0TH,0t =∂∂

∴=≥y

y (5.18)


2H y

h prescrito

L

WFluido circundante à temperatura TF

Figura 5.7 – Placa plana sem fontes: fluxo convectivo imposto nas fronteiras.


82

A solução deste problema é função de dois números adimensionais: o de Fourier e o

número de Biot: k/hHBi = , que representa fisicamente a razão entre as resistências

térmicas do bloco de material e da camada térmica do fluido. Quando Bi é muito elevado, a

resistência térmica da camada de fluido é desprezável face à resistência de condução e

estamos perante uma situação similar ao caso 1. No caso de Bi ser muito pequeno,

significando que a resistência térmica convectiva é dominante, pode-se admitir que a

temperatura no interior do sólido é uniforme. Nestas circunstâncias, a temperatura do

sólido varia de acordo com a seguinte lei, que resulta da integração da equação (5.15) com

as condições inicial e de fronteira dadas por (5.16) a (5.18) (ver, e.g., referência [6]):

−=−=

−−

=vB1

B

CHthexp)BiFoexp(

TTTT

ρθ (5.19)


numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas, devendo explicar fisicamente

os resultados, particularmente no que se refere à comparação com o Caso 1, bem como da

variação do perfil de temperaturas com o número de Biot. O problema base de estudo

corresponderá a Bi = 0,001 e DT = 50 s, devendo-se efectuar também o estudo paramétrico

com Bi = 10 e DT = 0,05 s, e Bi = 100 e DT = 0,015 s.

O número de nós da malha na direcção yy deverá ser NJ = 16, com um factor de

expansão FEXPY = 1,1. Para normalizar o resíduo, o aluno deverá usar para a variável

SNORM a seguinte expressão:

h1

kH

TTQ HyF

ref

+

−= = (5.20)

Para a resolução numérica do problema deverão seguir-se as indicações seguintes:

Criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, ALFA e BIOT, que

representem, respectivamente, o coeficiente h e o número de Biot. A variável TF para a

temperatura do fluido deve também ser criada.


contendo a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados, em

particular o efeito do número de Biot e o tempo necessário para se atingir o regime

estacionário. O perfil de temperaturas para Fo = 0,5, tal como para o Caso 1, deve ser


83

sempre apresentado e discutido. Deverá ser traçado o gráfico em coordenadas logarítmicas

da temperatura adimensionalizada ( ) ( )FBHyB TT/TT −− = em função de Bi, para Fo = 0,5 e

analisada a evolução no que se refere à consistência com a interpretação física do número

de Biot. Os alunos deverão ainda traçar o gráfico em coordenadas semi-logarítmicas (a

escala logarítmica é o da temperatura adimensionalizada) de ( ) ( )FBHyB TT/TT −− = em

função de Fo, para Bi = 0,001, e discutir os resultados à luz da solução analítica do

problema dada pela equação (5.19).

5.1.3 Lição 3: Regime transiente e com fontes

Existem inúmeros problemas de condução de calor na indústria que envolvem a

geração de calor por um material condutor, como por exemplo a geração de calor nas

paredes de um pneu em movimento, a libertação de calor num elemento de combustível de

um reactor nuclear ou o aquecimento e a libertação de calor por efeito de Joule pela

resistência de um aquecedor eléctrico. Neste último caso é muito vulgar o material

condutor de que é feita a resistência exibir uma resistividade que depende da temperatura

e, em certas circunstâncias, a taxa de geração de calor é uma função linear da temperatura.

Nesta lição, é precisamente este o caso que se vai estudar.

Considere-se uma placa plana infinita de espessura 2H = 0,0002 m e condutibilidade

térmica, k, constante, de um material condutor que, à passagem de corrente eléctrica, gera

calor segundo a equação (ver figura 5.8):

( )[ ]00 TT1qQ −+= β (5.21)

sendo q0 a taxa de geração de energia de referência (à temperatura T0) por unidade de

volume, e β o coeficiente de dependência da resistividade do material condutor com a

temperatura. A forma da equação (5.21) permite inferir imediatamente que, para valores de

β positivos, o valor da fonte cresce com o aumento da temperatura, aspecto que torna a

solução inerentemente instável. Assim, para valores de β acima de um dado valor a

determinar, o calor gerado não se dissipa (não é conduzido para o exterior) e não é possível

atingir o regime estacionário.

A placa condutora acima referida, estando à temperatura ambiente TF = 300 ºC, no

instante t =0, é subitamente sujeita à passagem de uma corrente eléctrica de intensidade

constante, estando mergulhada num fluido à temperatura TF com um coeficiente h de

transmissão de calor por convecção constante.


84

A simetria verificada na situação da subsecção 5.1.2 mantém-se e, para além da

equação (5.21), a restante formulação matemática do problema é:

0QTktTC 2

2

v =−∂∂

−∂∂

yρ (5.22)

yTT0t F ∀=∴= (5.23)

( )FB0

B TThTkq0,0t −−=∂∂

−=∴=≥=yy

y (5.24)

0TH,0t =∂∂

∴=≥y

y (5.25)


2H y

h prescrito

L

WFluido circundante à temperatura TF

Q

Figura 5.8 – Placa plana com fontes: fluxo convectivo imposto nas fronteiras.

A análise dimensional deste problema, e fazendo arbitrariamente T0 = TF, mostra que

a distribuição da temperatura é dependente de quatro variáveis adimensionais, i.e.:

( )

=− *S,Bi,Fo,

hfTT F

yβ (5.26.a)

Hk

HS*S β= (5.26.b)

A equação (5.26.b) representa a fonte adimensionalizada e pode ser interpretada como a

razão entre a geração adicional de calor e a condução adicional de calor resultantes do


85

aumento unitário da temperatura do material. Este problema tem uma solução analítica

para números de Biot muito elevados e para regime estacionário, i.e., ao fim de um grande

período de tempo após a aplicação da corrente eléctrica, que se expressa pela seguinte

equação (ver referência [5]):

( )

( )

1*Scos

H

*SHcos

TT F −

−

=−=

y

βθ (5.27)

Para valores de *Scos próximos de zero a temperatura assume valores muito elevados, o

que acontece quando 4/*S 2π= e tem como consequência a falha no funcionamento do

condutor.

O objectivo desta lição é, em primeiro lugar, fazer com que o aluno efectue previsões

numéricas da evolução no tempo do perfil de temperaturas de uma placa infinita com uma

fonte da calor linearmente dependente da temperatura, devendo ainda explicar fisicamente

os resultados obtidos, particularmente no que se refere à comparação com a solução

analítica para o caso particular referido.

O material da placa condutora é cobre que, como a maioria dos metais, tem um

coeficiente de resistividade positivo. As propriedades do cobre são: k = 390 W m-1 ºC-1,

ρ = 8960 kg m-3, Cp = 380 J kg-1 ºC-1, β = 4×10-3 ºC-1. O valor de h deve ser ajustado de

forma a que o número de Biot seja grande, i.e., 1026. Para estes valores devem ser

executadas três corridas do programa:

(i) S* = 1

(ii) S* = 2

(iii) S* = 3

Mantendo o valor de S* = 1, dever ser feito o estudo paramétrico da influência do

número de Biot, variando h para assegurar os seguintes valores:

(i) Bi = 102,6

(ii) Bi = 10,26

(iii) Bi = 1,026

(iv) Bi = 0,1026

Para concretizar o problema, e partindo da solução do problema da subsecção 5.1.2 o

aluno deverá criar no PROGRAMA PRINCIPAL novas variáveis, BETA, SAST, T0, Q e


86

Q0, que representem, respectivamente, o coeficiente de resistividade, a fonte

adimensionalizada, a temperatura de referência, a variável para a fonte - Q na equação

(5.22), e o valor da fonte à temperatura de referência.


que contenha a comparação das previsões numéricas obtidas para os casos estudados, em

particular o efeito do número de Biot, em regime estacionário e para S* = 1, sobre o perfil

de temperaturas ( )FTT −β , e a comparação do caso de Bi = 1026 com a solução analítica.

Sabendo que o cobre funde a 1356 K, e com recurso a gráficos de coordenadas bi-

logarítmicas, o aluno deverá ver para os vários valores de S*, ao fim de quanto tempo

funde o material (as ordenadas mostram os valores da a temperatura máxima atingida),

sabendo que Bi = 1026. Fazer a mesma análise no mesmo tipo de gráfico, mas fixando

agora S* = 1 e variando o número de Biot conforme indicado.

5.2 Problema 2: Condução de calor bidimensional 5.2.1 Lição 1: Regime estacionário e com fontes

A distribuição de temperaturas para um cilindro de diâmetro 2H e altura 2W,

conforme se mostra na figura 5.9, no seio do qual se gera uma potência calorífica uniforme

Q, e em que se mantém todas as superfícies do cilindro à temperatura T1, é regida pela

seguinte formulação matemática, desde que se despreze a condução axial:

kQ

ddT

dd1

−=

r

rrr

(5.28)

1TTH =∴=r (5.29)

0ddT0 =∴=

rr (5.30)

A solução da equação (5.28) é dada pela equação:

( ) BlnAk4

QrT 2 ++−= rr (5.31)

As constantes A e B de integração obtêm-se facilmente das condições de fronteira,

expressas pelas equações (5.29) e (5.30):


87

0A = (5.32)

21 H

k4QTB += (5.33)

donde resulta:

( ) 12

22

TH

1k4

QHT +

−=

rr (5.34)

Caso se considere a condução axial, a formulação matemática passa a ser:

kQTT1

2

2

−=∂∂

+

∂∂

∂∂

xrr

rr (5.35)

1TTH =∴=r (5.36)

0T0 =∂∂

∴=r

r (5.37)

1TT0 =∴=x (5.38)

0=∂∂

∴=xTWx (5.39)

r

2W

2H

W O domínio da solução é o plano a sombreado

x

Figura 5.9 – Cilindro condutor com fontes e temperatura constante nas superfícies.


88

Este problema, e no caso da fonte não ser uniforme, não tem solução analítica.

Assim, o código TEACH-C é uma ferramenta útil e indispensável para a resolução deste

tipo de problemas.

Nesta lição vamos considerar então o caso de aquecimento do elemento de

combustível cilíndrico de um reactor nuclear com a geometria representada na figura 5.9.

O material do elemento de combustível é dióxido de urânio (k = 9,174 W m-1 ºC-1),

servindo como combustível do reactor através de um processo de fissão nuclear

(desintegração atómica controlada), estando dentro de um contentor cuja superfície

exterior é arrefecida por um escoamento de água em ebulição.

A taxa volumétrica local de libertação de calor, Q, não é uniforme, mas aumenta com

a densidade do fluxo neutrónico, densidade essa que é usual considerar-se como variando

sinusoidalmente através do elemento de combustível segundo a expressão:

=

W2senQQ MAX

xπ (5.40)

em que QMAX é proporcional à taxa de fissão nuclear.

É razoável assumir que a temperatura nas superfícies do combustível (incluindo os

círculos do topo) é constante, devendo neste problema ser assumido o valor de 600 ºC. Por

razões de segurança, o valor máximo da temperatura no interior do elemento de

combustível não pode nunca exceder os 900 ºC. Esta limitação compulsiva levanta de

imediato um problema que terá que se resolver: qual a taxa máxima de geração de calor

admissível para que a temperatura no interior do elemento de combustível não exceda os

900 ºC?

Vamos tomar como dimensões do cilindro de combustível os seguintes valores:

Diâmetro: 2H = 0,02 m

Altura: 2W = 4,0 m.

A equação (5.40), que expressa a taxa de geração de calor no elemento de

combustível cilíndrico, permite saber que essa geração exibe uma simetria geométrica em

relação à secção x = W. Por outro lado, existe também simetria em θ (ângulo azimutal das

coordenadas cilíndricas), pelo que bastará simular ¼ da secção axial do elemento de

combustível (ver figura 5.9).

Assim, o domínio de solução será definido por: 0 ≤ x ≤ W e 0 ≤ r ≤ H.


89

Deverão ser usadas coordenadas cilíndricas (INCYLY = .TRUE.) com uma malha

uniforme com um número de nós NI = 12 e NJ = 8.

O factor de normalização do resíduo global do erro usado deve ser 2/WHQ 2MAX ,

que traduz aproximadamente o valor total de calor gerado por unidade de ângulo θ.

Deve efectuar-se um estudo para vários valores crescentes de QMAX, visando

encontrar o valor da taxa máxima para a qual o elemento de combustível atinge a

temperatura máxima admissível.

O primeiro valor a ser utilizado deverá ser QMAX = 103 W rad-1, devendo-se de

seguida duplicar sucessivamente este valor. Deve ter-se em mente que a grandeza QMAX,

que consta na equação (5.35), é uma variável com unidades expressas em [W m-3].

Deve criar-se uma nova variável, S, no PROGRAMA PRINCIPAL, que conterá os

valores de QMAX. Deve assegurar-se regime estacionário, incluindo no PROGRAMA

PRINCIPAL as seguintes instruções: INTIME = .FALSE. e DT = 0.

Tal como nos casos anteriores, na SUBROUTINE PROMOD deverão incluir-se as

condições de fronteira (temperatura imposta nas fronteiras norte e oeste e fluxo nulo, i.e.,

condição de simetria nas fronteiras sul e este). Para além disso, no fim da SUBROUTINE

PROMOD deve inserir-se a fonte de calor Q.


contendo as previsões numéricas obtidas para os casos estudados, e a variação da

temperatura máxima com o valor de QMAX, deduzindo o seu valor máximo admissível para

que a temperatura não exceda os 900 ºC.

O aluno deverá ainda desprezar a condução axial (impondo um valor nulo para AE(J)

e AW(J) em todas as linhas I=constante) e comparar os resultados, quer com a solução

analítica, quer com o caso numérico bidimensional. Note que deve impor neste caso uma

fonte uniforme.


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DESCRIÇÃO DO CÓDIGO TEACH-C · Métodos Numéricos em Problemas de Difusão 54 4.2 O sistema de...

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