Suporte rígido

Elasticidade, k

Massa, m

Palheta

Amortecimento, b

móvel

1

Descrição dinâmica de ondas Analogias eletromecânicas.

Lembrando o oscilador forçado, tínhamos

Fonte

2

Descrição dinâmica de ondas Analogias eletromecânicas.

3

Descrição dinâmica de ondas Equações dinâmicas.

Vamos começar estudando o caso de osciladores acoplados

(mecânicos ou elétricos, lembrar as analogias entre as variáveis

consideradas para descrever o movimento)

Ondas longitudinais.

Vamos analisar o movimento dos osciladores acoplados da figura.

Em equilíbrio, a distancia d é a mesma para todos os elementos e

as posições de cada elemento são dadas por xn.

O deslocamento horizontal será representado por (x,t).

𝐹 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐹(𝑥𝑛+1, 𝑡)

A força á esquerda do elemento

n será F(xn,t).

A força á direita do elemento n é

-F(xn+1,t), compressão da mola.

Então a força neta atuando será:

𝑀 ሶ𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 = 𝐹 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐹(𝑥𝑛+1, 𝑡)

4

Descrição dinâmica de ondas A força F(xn+1,t) = k [(xn ,t) - (xn+1 ,t)] é decorrente da constante k

e da compressão (xn ,t) - (xn+1 ,t) da mola entre os elementos n e

n+1.

Em função da velocidade pode ser escrito (considerando C=1/k):

𝐶 ሶ𝐹 𝑥𝑛+1, 𝑡 = 𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝑢(𝑥𝑛+1, 𝑡)

Fazemos agora a transição a uma linha de transmissão contínua

(como uma mola, fluido ou sólido com uma distribuição de massa)

d0 (mantendo = M/d constante).

Desta forma, u(x,t) e F(x,t) passam a ser funções continuas de x, t.

No limite (d0) teremos que:

𝐹 𝑥𝑛+1, 𝑡 − 𝐹 𝑥𝑛, 𝑡

𝑑=𝜕𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

𝑢 𝑥𝑛+1, 𝑡 − 𝑢 𝑥𝑛, 𝑡

𝑑=𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

5

Descrição dinâmica de ondas Lembrando as duas

primeiras equações:𝐶 ሶ𝐹 𝑥𝑛+1, 𝑡 = 𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝑢(𝑥𝑛+1, 𝑡)

e considerando as

duas últimas:

𝐹 𝑥𝑛+1, 𝑡 − 𝐹 𝑥𝑛, 𝑡

𝑑=𝜕𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥𝑢 𝑥𝑛+1, 𝑡 − 𝑢 𝑥𝑛, 𝑡

𝑑=𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

𝑀 ሶ𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 = 𝐹 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐹(𝑥𝑛+1, 𝑡)

Obtemos as importantes equações (chamadas de campo):

𝜅𝜕𝐹

𝜕𝑡= −

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑡= −

𝜕𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

Onde é a inversa da capacitância por unidade de comprimento e

é a massa por unidade de comprimento (ambas constantes)

6

Descrição dinâmica de ondas

Derivando a primeira equação respeito de x e a segunda respeito

de t podemos eliminar uma das variáveis e obtemos a já conhecida

equação de onda:

𝜅𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2= −

𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥𝜕𝑡𝜇𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡𝜕𝑥= −

𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2

Onde v2=1/ que já foi obtido para o caso geral de ondas.

𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑡=−𝜕𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥𝜅𝜕𝐹

𝜕𝑡=−𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2= 𝜅𝜇

𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2=

1

𝑣2𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2

7

Descrição dinâmica de ondas Ondas transversais.

Vamos analisar agora o movimento transversal do ponto de vista

dinâmico.

Vamos supor que a tensão seja constante (S)

O deslocamento transversal do elemento de massa n será (x,t).

O deslocamento transversal

não muda o comprimento da

corda (ou mola) em primeira

ordem de aproximação.

Mesmo com deslocamentos

diferentes para elementos

adjacentes a tensão é

considerada constante em

primeira aproximação

(pequenos deslocamentos)

8

Descrição dinâmica de ondas A componente vertical da tensão depende da inclinação no ponto

considerado.

Da mesma forma que anteriormente definimos a força transversal

que atua sobre o lado esquerdo do elemento n como F(xn,t) e sobre

o lado esquerdo do elemento n+1 como F(xn+1,t).

Desconsiderando a massa da

mola, a força de reação no

elemento n da mola será:

-F(xn+1,t) (mesma magnitude

mas em direção oposta, ver

figura)

Portanto a força resultando sobre o elemento n será:

𝐹 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐹(𝑥𝑛+1, 𝑡)

𝑀 ሶ𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 = 𝐹 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐹(𝑥𝑛+1, 𝑡)

9

Descrição dinâmica de ondas Vamos agora expressar a força F em função da tensão S e do

deslocamento

Considerando pequenas inclinações da mola entre os elementos

n e n+1 (tg = sen ) teremos que a força atuando no lado

esquerdo do elemento n+1 será:

𝐹 𝑥𝑛+1, 𝑡 = S 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝑥𝑛+1, 𝑡 /𝑑

Passando para a velocidade:

ሶ𝐹 𝑥𝑛+1, 𝑡 = −𝑆

𝑑[𝑢 𝑥𝑛+1, 𝑡 − 𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 ]

Passando para uma distribuição continua (como anteriormente)

𝑀 ሶ𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 = 𝐹 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐹(𝑥𝑛+1, 𝑡) ሶ𝐹 𝑥𝑛+1, 𝑡 = −𝑆

𝑑[𝑢 𝑥𝑛+1, 𝑡 − 𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 ]

𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑡= −

𝜕𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

1

𝑆

𝜕𝐹

𝜕𝑡= −

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

10

Descrição dinâmica de ondas Estas equações são as mesmas obtidas anteriormente para o

deslocamento longitudinal substituindo k por 1/S portanto:

𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2=𝜇

𝑆

𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2=

1

𝑣2𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2

11

Descrição dinâmica de ondas Ondas eletromagnéticas

Vamos analisar o caso da propagação de ondas eletromagnéticas

por uma linha de indutâncias e capacitâncias (ver figura) e logo

para o caso de uma distribuição contínua como é o caso de um

cabo coaxial, por exemplo.

As variáveis que escolhemos (variáveis de campo) são a

corrente através da indutância n I(xn,t) e a tensão no capacitor n

V(xn,t).

12

Descrição dinâmica de ondas

Com a tensão nos capacitores n e n+1 sendo V(xn,t) e V(xn+1,t) a

diferença de tensão através da indutância n será V(xn,t) - V(xn+1,t)

Substituindo a Lei de Newton pela Lei de Indução, teremos que:

𝐿𝜕𝐼 𝑥𝑛, 𝑡

𝜕𝑡= 𝑉 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝑉 𝑥𝑛+1, 𝑡

A relação entre a força e a compressão das molas acopladas numa

linha de osciladores mecânicos agora é substituída pela carga Q

no capacitor e sua tensão Q= CV.

Derivando Q = CV obtemos I= C dV/dt

𝑀 ሶ𝑢 𝑥𝑛, 𝑡 = 𝐹 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐹(𝑥𝑛+1, 𝑡)

13

Descrição dinâmica de ondas

Aplicando estas relações ao

capacitor n+1, considerando que a

corrente através deste capacitor é

a diferença entre as correntes

I(xn,t) e I(xn+1,t) teremos que:

𝐼 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐼 𝑥𝑛+1, 𝑡 = 𝐶𝜕𝑉 𝑥𝑛+1, 𝑡

𝜕𝑡Agora passamos ao limite para um sistema contínuo, mantendo

L/d=L0 e C/d=C0 constantes (valores médios da capacitância e

indutância por unidade de comprimento) obtemos:

𝐿0𝜕𝐼

𝜕𝑡= −

𝜕𝑉

𝜕𝑥𝐶0

𝜕𝑉

𝜕𝑡= −

𝜕𝐼

𝜕𝑥

Comparando com o sistema mecânico:

𝐼 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝐼 𝑥𝑛+1, 𝑡 = 𝐶𝜕𝑉 𝑥𝑛+1, 𝑡

𝜕𝑡𝐿𝜕𝐼 𝑥𝑛, 𝑡

𝜕𝑡= 𝑉 𝑥𝑛, 𝑡 − 𝑉 𝑥𝑛+1, 𝑡

14

Descrição dinâmica de ondas

𝐿0𝜕𝐼

𝜕𝑡= −

𝜕𝑉

𝜕𝑥

𝐶0𝜕𝑉

𝜕𝑡= −

𝜕𝐼

𝜕𝑥𝜅𝜕𝐹

𝜕𝑡= −

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑡= −

𝜕𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

No caso de um cabo coaxial, e para uma linha de transmissão em

paralelo os valores de C0 e L0 podem ser obtidos dos parâmetros

geométricos.

Vamos ver agora, para o caso de ondas harmônicas, as equações

para as amplitudes complexas.

15

Descrição dinâmica de ondas

Equações para as amplitudes complexas.

A forma de introduzir as amplitudes complexas será da forma

convencional (como feito anteriormente).

Consideremos as equações de campo obtidas:

𝜅𝜕𝐹

𝜕𝑡= −

𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥𝜇𝜕𝑢

𝜕𝑡= −

𝜕𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

Vamos definir as amplitudes complexas da velocidade e da força

como u(x,) e F(x,), sendo assim (para o caso harmônico)

teremos:

−𝑖𝜇𝑢(𝑥, 𝜔) = −𝑑𝐹(𝑥, 𝜔)

𝑑𝑥−𝑖𝐹(𝑥, 𝜔) = −

𝑑𝑢(𝑥, 𝜔)

𝑑𝑥

𝑢(𝑥, 𝜔) =1

𝑖𝜔𝜇

𝑑𝐹(𝑥, 𝜔)

𝑑𝑥𝐹(𝑥, 𝜔) =

1

𝑖𝜔𝜅

𝑑𝑢(𝑥, 𝜔)

𝑑𝑥

16

Descrição dinâmica de ondas Como sabemos, a amplitude complexa da segunda derivada de

F(x,t) é:−2𝐹(𝑥, 𝜔)

Assim, a equação de onda𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥2=

1

𝑣2𝜕2𝐹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡2

leva à seguinte equação para a amplitude complexa:

𝑑2𝐹(𝑥, 𝜔)

𝑑𝑥2+ 𝑘2𝐹(𝑥,𝜔) = 0 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =

𝜔

𝑣

Equação diferencial linear de segunda ordem, homogênea de

coeficientes constantes (a mesma do oscilador harmônico, só que

aqui com derivadas espaciais no lugar de temporais).

Sua solução geral é:𝐹 𝑥,𝜔 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥

Onde A e B são constantes complexas!

17

Descrição dinâmica de ondas

Esta solução (para a amplitude complexa da força) representa duas

ondas, uma se deslocando para a direita e outra para a esquerda.

𝐹 𝑥,𝜔 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥

Da mesma forma obtemos a solução para a amplitude complexa da

velocidade. A partir das equações de campo......até..........

𝑢 𝑥,𝜔 = −1

𝑖𝜇

𝑑𝐹 𝑥,𝜔

𝑑𝑥=1

𝑍[𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 − 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥]

Aqui Z v (k=/v e v= 1/(k)1/2 ) é a impedância da onda que

pode ser interpretada como a razão entre a amplitude complexa da

força e a da velocidade, na onda se deslocando na direção positiva

de x. Z é um número real.

A e B podem ser calculadas a partir de valores conhecidos dos

valores complexos F e u em um ponto x.

18

Descrição dinâmica de ondas

Por exemplo, em termos de F(0,) e u(0,) determinamos A e B a

partir de F(0,) = A+B e u(0,) =1/Z (A-B).

Tendo obtido as funções amplitude complexa para F e u

𝐹 𝑥,𝜔 𝐹0𝑒𝑖𝜙(𝑥)

𝑢 𝑥,𝜔 𝑢0𝑒𝑖𝛽(𝑥)

as funções de onda reais são:

𝐹 𝑥, 𝑡 = 𝐹0cos[𝜔𝑡 − 𝜙 𝑥 ]

𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑢0cos[𝜔𝑡 − 𝛽 𝑥 ]

Exemplo: Vamos aplicar este procedimento ao estudo da

oscilação forçada de uma mola real, considerando sua massa

19

Descrição dinâmica de ondas

Veja a figura. F=F0 cos (t); x = 0 fixo; x = -L força externa.

Massa total da mola M e constante k.

- compliância por unidade de comprimento = 1/ kL

- massa por unidade de comprimento.

𝐹 𝑥,𝜔 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥

A expressão para as amplitudes complexas de F e u são:

𝑢 𝑥,𝜔 =1

𝑍[𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 − 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥]

A amplitude complexa da força externa em x = -L é simplesmente F0

A amplitude complexa da velocidade u em x = 0 é zero, portanto:

𝑢 0,𝜔 =1

𝑍𝐴 − 𝐵 = 0 → 𝐴 = 𝐵

F=F0 cos (t)

20

Descrição dinâmica de ondas Assim:

𝐹 𝑥,𝜔 = 𝐴𝑒𝑖𝑘𝑥 + 𝐵𝑒−𝑖𝑘𝑥 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)

Utilizando a outra condição de contorno F(-L)=F0 obtemos:

𝐹0 = 2𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝐿) 𝐴 =𝐹0

2 𝑐𝑜𝑠(𝑘𝐿)

Assim:

𝐹 𝑥,𝜔 =𝐹0

cos(𝑘𝐿)𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)

𝑢 𝑥, 𝜔 = 𝑖𝐹0

𝑍 cos(𝑘𝐿)𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥)

Vamos analisar a solução encontrada

21

Descrição dinâmica de ondas 𝐹 𝑥, 𝜔 =

𝐹0cos(𝑘𝐿)

𝑐𝑜𝑠(𝑘𝑥)𝑢 𝑥, 𝜔 = 𝑖𝐹0

𝑍 cos(𝑘𝐿)𝑠𝑖𝑛(𝑘𝑥)

Qual a velocidade no extremo x = -L? 𝑢 −𝐿,𝜔 = −𝑖𝐹0𝑍𝑡𝑔(𝑘𝐿)

Qual o deslocamento no extremo x = -L?

Lembrando que u(x,) = -i(x,) temos que: 𝜉 −𝐿,𝜔 =𝐹0𝑍𝜔

𝑡𝑔(𝑘𝐿)

No limite de =0 (em x=-L), podemos substituir tg (kL) por kL

(k=/v=()1/2 ), portanto:

𝜉 −𝐿,𝜔 ≅𝐹0𝐿

𝑍𝑣=

𝐹0𝐿

𝜇𝑣2= 𝐹0𝐿𝜅 =

𝐹0𝑘

que é a deformação

estática da mola!A medida que a frequência aumenta a amplitude aumenta em

direção à ressonância (com amplitude infinita) quando kL=/2

A frequência de ressonância é dada por:

𝜔0 = 𝑘𝑣 =𝜋

2

𝑣

𝐿=𝜋

2

1

𝜇𝜅𝐿2=𝜋

2

𝑘

𝑀=

𝑘

𝑀𝑒𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑀𝑒 =

4

𝜋2𝑚 ≅ 0,405𝑚

A mesma frequência que para o caso ideal mas com 40% da

massa, fixa no extremo -L