Washington Soares Alves

Conceituar as principais definiçõesassociadas ao estudo dos DescontosComposto, estudados em matemáticafinanceira;

Conhecer as suas divisões;

Conhecer as principais formulas associadasaos cálculos envolvendo os descontoscompostos;

Saber aplicar as fórmulas em aplicações dosDescontos Composto.

Conceitos Iniciais – Desconto;

Desconto composto;

Desconto Composto Racional ou por dentro;

Desconto Composto Comercial (ou bancário)ou por fora;

Principais Fórmulas;

Aplicações práticas.

Descontos: São os juros recebidos (oudevolvidos) concedidos quando o pagamentode um título é antecipado;

Desconto: é a diferença entre o valor nominal(N = valor indicado no título ou valor novencimento) e o valor atual (A = valor dotítulo calculado para antes do vencimento).

ANDc

Desconto simples: A taxa de desconto incidesobre o valor nominal (N) dos títulos, tantasvezes quantos forem os períodos unitários;

Desconto Composto: Equivale a soma dosdescontos simples, calculados isoladamenteem cada um dos períodos que faltam para ovencimento do título.

O valor descontado é a diferença entre o valornominal N e o valor atual (A) de um título

O desconto composto é geralmente utilizadonas operações financeiras com períodosuperior a doze meses.

ANDc

Existem dois tipos de Descontos composto:

Desconto comercial, chamado de descontopor dentro; (Esse tipo de desconto não éempregado);

Desconto Racional, chamado de desconto porfora.

O desconto comercial composto é calculado

sobre o valor nominal (N) do título.

O valor atual (A) é obtido por meio de uma

sucessão de descontos sobre o valor nominal,

isto é, sobre o valor expresso no título.

Dessa forma:Instante n: valor do título é N = VFInstante (n – 1) (ou 1 período anterior): valor dotítulo era:

N – i N = N (1 - i)Instante (n – 2): valor do título era:

(N – i N) - i (N – i N) = N (1 - i)-i N (1 - i)= (N –iN) (1 - i)

= N (1 - i) (1 - i)= N (1 – i ) 2

e, assim sucessivamente. Dessa forma, n períodosantes do vencimento o valor do título era:

A = N(1 – i) n

O desconto comercial é a diferençaentre o valor nominal do título e o seuvalor atual. Assim,

d = N – A A = N(1 – i)n

d = N – N(1 – i) n

d = N[1 – (1- i) n ]

Calcular o valor atual de um título de R$20.000,00 descontado um ano antes dovencimento à taxa de desconto bancáriocomposto de 5% ao trimestre, capitalizáveltrimestralmente.

SOLUÇÃO

N = R$20.000,00

i = 5% a.t. = 0,05 a.t.

n = 1 ano = 4 trimestres

A = N(1 - i)n

= 20.000 (1 - 0,05)4

= 20.000 . 0,814506 = 16.290,13

Qual é o valor nominal de um título que foiresgatado 1 ano antes de seu vencimento porR$ 16.290,13, à taxa de desconto bancáriocomposto de 5% ao trimestre, capitalizadostrimestralmente?

SOLUÇÃO

A = R$ 16.290,13

i = 5% a.t.

n = 1 ano = 4 trimestres

Pela fórmula, temos:

O valor do desconto é calculado sobre o valoratual, divergindo apenas por agoraconsiderarmos uma capitalização, isto é,usarmos potenciação como em capitalizaçãocomposta.

O valor nominal é o valor que consta no títuloe é dado por:

niAN 1

O valor atual é o valor de resgate, valorpresente ou valor líquido de um títulodescontado antes do seu vencimento. Édado por:

ni

NA

1

O desconto racional é a diferença entre ovalor nominal e o valor atual de um títuloque foi saldado antes do seu vencimento

ni

NNDr

1

ni

NDr1

11

ANDr

Qual é o valor do título que, descontado 3 mesesantes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m.,capitalizável mensalmente, determinou um valor deresgate de R$ 12.400,00?

Solução

A = 12.400,00

i = 10% a.m.

n = 3 meses

N = A(1 + i)n

= 12.400(1 + 0,1)3

= 12.400 1,331

= 16.504,40

Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizável trimestralmente?

Solução

N = 16.504,40

i = 46,41% a.a

n = 9 meses = 3 trimestres

Inicialmente, devemos encontrar as equivalência das taxas. Assim

A(1 + i) = A(1 + i’)4

Como os valores futuros devem ser iguais.

(1 + 0,4641) = (1 + i’)4

1 + i’ = (1,4641)1/4 = 1,1

i’ = 1,1 - 1 = 0,1 a.t.

Sabendo todos os dados, podemos,agora, calcular o valor que o títulofoi descontado antes do vencimento.

A’= N’/(1 + i)n

= 16.504,40/(1 + 0,1)3

= 16.504,40/1,331000

= 12.400,00

WALTER De Francisco. Matemática Financeira.5. Ed. São Paulo: Atlas, 1985.

ASSAF NETO, ALEXANDRE. MatemáticaFinanceira e suas Aplicações. 6. Ed. SãoPaulo: Atlas, 2001.

CRESPO, Antônio Arnot. MatemáticaFinanceira Fácil. 14ª Ed. São Paulo: Saraiva2009 .