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Desafio 008

Coloque os algarismos de 1 a 9 dispostos nas 9 casas de um tabuleiro de Jogo da Velha, de maneiraque a soma dos 3 algarismos de qualquer reta e qualquer diagonal seja igual a 15.

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Soluo do Desafio 008

Atualmente h muitas referncias para a soluo dos chamados quadrados mgicos(este o "nome do jogo"), mas aqui, vamos utilizar um raciocnio intuitivo para buscara soluo deste desafio:

Nossa primeira preocupao ser encontrar grupos de 3 algarismos distintos cujasoma seja 15. O processo dever ser o mais natural possvel, consistindo em organizarfamlias do menor para o maior algarismo.

Comeando com a famlia do 1, poderamos pensar em 2 para o prximoelemento do grupo, mas ainda faltaria 12 para atingirmos a soma 15. Ento, osegundo algarismo deve ser 5 para que o terceiro seja o maior possvel, ou 9,de modo a se ter a soma 15. Com este procedimento obteremos a famlia degrupos de algarismos comeando com 1:

1 5 9

1 6 8A famlia do 1 s possui 2 grupos e no foi possvel utilizar os algarismos 2, 3,4, 7.

A prxima famlia ser dos grupos comeando com 2. e os outros dois membrosdevero somar 13:

2 4 9

2 5 8

2 6 7Algarismos no utilizados: 1, 3.

Famlia do 3:3 4 8

3 5 7Algarismos no utilizados: 1, 2, 6, 9.

Famlia do 4:4 2 9

4 3 8


Famlia do 5:5 1 9

5 2 8

5 3 7

5 4 6Os 9 algarismos foram utilizados!

Famlia do 6:

Desafios http://www.somatematica.com.br/desafios/soldes8.html

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6 1 8

6 2 7


Famlia do 7:7 2 6

7 3 5Algarismos no utilizados: 1, 4. 8, 9.

Famlia do 8:8 1 6

8 2 5


Famlia do 9:9 1 5

9 2 4Algarismos no utilizados: 3, 6. 7, 8

A configurao do chamado "Jogo da Velha" conhecida como Matriz 3 3, isto , umconjunto entrelaado de 3 linhas e 3 colunas formando um "quadrado" com 9 clulas.No caso presente, os 9 algarismos devem ocupar as 9 clulas de tal forma que, emqualquer linha, em qualquer coluna ou em qualquer diagonal, a soma dos 3 algarimosseja sempre 15, formando o chamado Quadrado Mgico 3 3

Consideraes sobre o Quadrado Mgico 3 3 cuja soma igual a 15:

A clula central pertence simultaneamente linha central, coluna central e sduas diagonais, formando quatro grupos de algarismos onde um deles comuma todos.

A familia do 5 a nica que rene 4 grupos de algarismos, o que nos leva aconcluir que o algarismo 5 deve ocupar a posio central da matriz:

5

Por observao, verificamos que h 4 famlias com 3 grupos (2, 4, 6, 8) e 4famlias com 2 grupos (1, 3, 7, 9). Em qualquer caso, h sempre um grupocontendo o algarismo 5.

Observamos ainda que, das clulas vrtices do quadrado, so gerados sempre 3grupos de algarismos, ocupando uma linha, uma diagonal e uma coluna. Dessaforma, as famlias de 3 grupos, isto , 2, 4, 6 e 8, devem ocupar tais posies:

2 4

5

6 8

Resta-nos portanto "encaixar" as familias de 2 grupos, isto , 1, 3, 7 e 9 nasclulas ainda vazias, tomando o cuidado de verificar, em cada caso, se a somacom os demais algarismos da mesma linha ou coluna totaliza 15:

2 9 4

7 5 3

6 1 8

O resultado acima seria uma resposta plenamente satisfatria ao desafio proposto.


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Porm devemos ainda considerar algumas outras possibilidades.O fato de escolhermos o primeiro vrtice para a posio do algarismo 2 foi de puraconvenincia porque poderamos escolher qualquer dos demais vrtices para iniciar oraciocnio.Geometricamente, a escolha dos demais vrtices significa promover uma "rotao" namatriz onde o eixo de rotao seria perpendicular ao papel. Vamos ento escolher osentido anti-horrio para rotaes sucessivas de 90 graus. Dessa forma obtemos mais3 solues possveis:

4 3 8

9 5 1

2 7 6

8 1 6

3 5 7

4 9 2

6 7 2

1 5 9

8 3 4

Tomemos a primeira soluo e imaginemos um outro tipo de rotao na qual o eixoagora seria vertical, pertencente ao plano do papel e, digamos, passando pelo centroda matriz. Vamos promover uma rotao de 180 graus (os nmeros permanecemcomo so):

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Se nesta nova soluo promovermos mais 3 rotaes de 90 graus com o eixoperpendicular ao plano do papel, encontraremos mais 3 solues possveis:

2 7 6

9 5 1

4 3 8

6 1 8

7 5 3

2 9 4

8 3 4

1 5 9

6 7 2

Resposta:

Ao reunirmos todas as solues acima teremos um conjunto de 8 quadradosmgicos como soluo ao desafio proposto:

2 9 4

7 5 3

6 1 8

4 3 8

9 5 1

2 7 6

8 1 6

3 5 7

4 9 2

6 7 2

1 5 9

8 3 4

4 9 2

3 5 7

8 1 6

2 7 6

9 5 1

4 3 8

6 1 8

7 5 3

2 9 4

8 3 4

1 5 9

6 7 2

Nota Final:

Poderamos ainda pensar em promover uma rotao com eixo horizontal, mas em 2D,como veramos, as solues seriam redundantes, isto , coincidiriam com as soluesj encontradas.

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