_____________________ 1 Professor Pós Graduado em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras

de Paranavaí – FAFIPA, Graduado em Ciências 1º Grau com Habilitação em Matemática pela Faculdade de Ciências, Letras e Educação de Presidente Prudente - SP.

2 Mestre em Ciências pela Universidade Federal do Paraná - UFPR, Graduado em Ciências 1º Grau

com Habilitação em Matemática pela Faculdade Estadual de Educação, Ciências e Letras de Paranavaí - FAFIPA,Prof. Assistente C do Colegiado de Matemática da FAFIPA.

“DESVENDANDO A TRIGONOMETRIA”

Autor: Francisco de Paula Costa1

Orientador: M. Sc. Carlos RopelattoFernandes2

Resumo

Este artigo inicia-se com um relato do Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola, da etapa de Implementação e da Produção Didático-Pedagógica realizada para o Programa de Desenvolvimento Educacional do Paraná - PDE que objetivou capacitar professores da rede pública estadual que atuam na Educação Básica do município de Itaúna do Sul pertencente ao Núcleo Regional de Educação de Loanda- Pr. Dentre as diferentes tendências optou-se pela tendência metodológica História da Matemática para o ensino da Trigonometria tema central deste artigo cujo objetivo foi capacitar através de curso de aperfeiçoamento os professores de Matemática através de confecção de Materiais Didáticos e Manipuláveis e atividades práticas inerentes a este conteúdo que é uma das dificuldades encontrada pelo professor devido ao fato que historicamente a Geometria e a Trigonometria tenham ficado de lado nas aulas de Matemática, principalmente na formação acadêmica da maioria dos professores tornando evidente tais dificuldades, mas estas,à medida que o curso foi se desenvolvendo os professores foram sanando suas dúvidas e dificuldades de forma muito significativa.

Palavras-chave: Trigonometria; Materiais Manipulativos; Tendência metodológica; História da Matemática.

1 Introdução

Este artigo tem como finalidade, despertar no professor a curiosidade, o

interesse e a busca pelo conhecimento daquilo que ele ensina ou venha a ensinar e

que este aprenda ou reaprenda a pesquisar antes de repassar qualquer informação

e conhecimento aos seus alunos, principalmente em uma época que os avanços

tecnológicos ditam nosso modo de vida.

Pensando nisso, o objetivo da proposta do PDE através do Projeto de

Intervenção Pedagógica na Escola e da Implementação Pedagógica na Escola é

colaborar com o trabalho do professor através de um curso de capacitação com a

confecção de material manipulativo e atividades voltadas ao ensino da

Trigonometria, pois esta tem ficado um pouco de lado nas aulas de matemática, e

isto não é de hoje, historicamente estudos apontam que no final da década de 80

estudiosos matemáticos tentaram mostrar a importância do estudo de Geometria e

da Trigonometria no ensino.

Porém os professores mostraram-se muito resistentes, ficando estes

conteúdos fora das aulas de matemática, talvez seja em grande parte devido à

formação acadêmica da maioria dos professores devido às muitas dificuldades que

encontram em se trabalhar tais conteúdos em sala de aula, pois estes estão muito

distantes da realidade do aluno.

Segundo Brito e Morey (2004, p.31), tais dificuldades estão relacionadas à

formação escolar das décadas de 70 e 80 caracterizadas como descaso com a

Geometria e a Trigonometria ficando somente em estudos de memorização e sem a

compreensão destes conteúdos.

Essas dificuldades têm gerado muito desconforto aos professores,

principalmente nas séries finais da Educação Básica em relação ao conteúdo de

Trigonometria, pois muitos se sentem incapacitados em tornar suas aulas mais

interessantes, atrativas e significativas para o aluno no ensino e aprendizagem.

É fato, que vários professores, para tornarem suas aulas mais atrativas e

significativas tem procurado cada vez mais participar de cursos de capacitação,

simpósios, seminários, etc., que venha suprir essa deficiência através de cursos que

lhes ensinem a fazer uso de material didático e manipulativo, pois o professor que

faz uso desses materiais didáticos e tem conhecimento de como utilizar em sala de

aula seus alunos demonstram mais interesses e compreensão no ensino e

aprendizagem do conteúdo que ora lhe é ensinado.

Há algumas décadas, acreditava-se que, quando terminada a graduação, o

profissional estaria apto para atuar na sua área durante toda sua vida profissional.

Hoje a realidade é diferente, principalmente para o profissional docente. Este deve

estar consciente de que sua formação teórica e prática de professor contribuirão

para melhorar a qualidade do ensino, visto que são as transformações sociais que

irão gerar mudanças no ensino.

Para Nacarato e Paiva (2008, p. 14) “pesquisas que tomam os saberes

docentes como objeto de estudo já rompe com a concepção de que o bom professor

é aquele que tem apenas o domínio do conteúdo”. Porém, não significa negar sua

importância, mas pressupor que o saber docente vai muito mais além que o

conhecimento.

Sabe-se que a formação dos professores não depende apenas de sua

formação acadêmica, que se inicia no curso de licenciatura, a mesma ocorre

também quando o professor passa da teoria para a prática, ou seja, começa a

ministrar aulas. Dessa forma no processo de alfabetização científica deve-se

objetivar o estímulo a meta-conhecimento (reflexão sobre a área científica) e a meta-

cognição, ou seja, reflexão sobre a estrutura cognitiva e aprendizagem não só dos

professores, mas também dos alunos. Assim, o sucesso pedagógico merece ser

pensado como um ideal que vai além do simples domínio de conteúdo, interferindo

no aproveitamento dos alunos e na qualidade de ensino.

Mediante tais dificuldades optou-se por trabalhar, dentre as diferentes

tendências metodológicas, a História da Matemática que dentro do contexto escolar

é um componente necessário.

2 História da Matemática

A História da Matemática dentro do contexto escolar é um componente

necessário como um dos objetivos primordiais da disciplina para “que os estudantes

compreendam a natureza da matemática e sua relevância na vida da humanidade”.

(PARANÁ, 2008, p. 39).

Ainda segundo as DCE’s:

A história da Matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação das situações-problema, a busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar

e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. A história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e necessidades reais. (MIGUEL & MIORIM, 2004 apud PARANÁ, 2008, p.39).

A História no ensino da Matemática resgata através das descobertas e fatos

históricos explanações àquelas perguntas geralmente feitas pelos alunos, como:

Onde? Por quê? E Para que?

Farago (2003) faz um comentário que se conhecendo a História da

Matemática esta poderá ajudar na construção dos conceitos matemáticos e sua

construção.

A história da Matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento. Permite compreender a origem das idéias que deram forma à nossa cultura e observar também os aspectos humanos do seu desenvolvimento: enxergar os homens que criaram essas idéias e estudar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Assim, esta História é um valioso instrumento para o ensino/aprendizado nesta ciência e por que, no fundo, ele sempre era algo natural no seu momento. (FARAGO, 2003, p.17).

De acordo com esse argumento acredita-se que para compreender e

entender melhor a Matemática no âmbito social e institucional é preciso conhecer

primeiramente sua História.

Um dos objetivos deste trabalho foi dar condições para que professores e

alunos possam usufruir do ensino e aprendizagem mais significativos no conteúdo

de trigonometria, para isto é necessário conhecer um pouco da sua história, que

vem antes da era cristã.

3 Desenvolvimento

Como Implementação Pedagógica na escola, foi desenvolvido um curso com

os professores de Matemática envolvendo atividades e um pouco de história

inerente aos conteúdos de trigonometria, conforme segue:

3.1 Um Pouco da História da Trigonometria

A origem da trigonometria é incerta. Sabe-se que na Antiguidade estudiosos

dedicavam estudos a problemas na Astronomia, Agrimensura e Navegação em

meados do século IV ou V a.C., com os egípcios e babilônios. Segundo Eves (1995,

p.202) foram os astrônomos babilônicos dos séculos IV e V a.C. que acumulavam

muitos dados e observações e hoje é sabido que grande parte desse material foi

repassada aos gregos. Sendo que essa astronomia primitiva que deu origem à

trigonometria esférica.

Vale ressaltar que Tales de Mileto, Pitágoras e Arquimedes contribuíram e

muito para o surgimento da trigonometria. De acordo com Guelli (1998, p. 49) os

matemáticos e astrônomos da Antiguidade foram desafiados a determinar o

tamanho do Sol e da Lua, para isso se fazia necessário antes conhecer o tamanho

do comprimento da circunferência da Terra, vários matemáticos da época se

dedicaram a medir a Terra, porém, Eratóstenes fez a demonstração mais

interessante.

Eratóstenes sabia o dia exato em que iria ocorrer o solstício de verão na cidade de Assuan, às margens do rio Nilo. Nesse dia especial, ao meio-dia, o Sol ficava completamente a pino. Desse modo, uma vareta fincada verticalmente no solo não fazia nenhuma sombra nesse horário. E o fundo de um poço ficava completamente iluminado. (GUELLI, 1998, p.49).

Segundo Guelli (1998, p. 51) Eratóstenes aproveitando disso, partiu para

Alexandria e praticamente no mesmo horário em que o Sol estava a pino em

Assuan, fincou a vareta verticalmente no chão, medindo o ângulo formado pela

ponta da vareta com a extremidade da sombra.

Em seu raciocínio descobriu que o ângulo media 1/50 de toda circunferência

da Terra, ou seja, a distância entre Assuan e Alexandria era de 5.000 stadium

antiga medida grega que corresponde em dias atuais aproximadamente 39.000

quilômetros.

Durante dois séculos e meio os matemáticos gregos fizeram estudos das

relações entre retas e círculos aplicando a vários problemas astronômicos não

resultando ainda em uma trigonometria sistemática. Presume-se que “na primeira

metade do segundo século antes de nossa era que foi compilada pelo astrônomo

Hiparco de Nicéia (180-125 a.C.) a primeira tabela trigonométrica”, devendo a ele o

uso do círculo de 360°(BOYER, 1974 apud MOREY, 2001, p. 24).

De acordo com Guelli (1998, p. 54) essa tabela foi construída com ângulos

de 0° a 180° sendo um grande avanço na trigonometria, dando a Hiparco o título de

“Pai da Trigonometria”.

Título esse, que foi esquecido mais tarde com o surgimento “da mais

importante obra trigonométrica da Antiguidade: uma coleção de 13 livros

denominada Síntese Matemática” escrita no primeiro século da era cristã por

Ptolomeu de Alexandria conhecida até os dias de hoje como Almajesto nele

encontra-se uma tabela bem mais completa que a de Hiparco, onde ele utilizou a

base sexagesimal, o mesmo que fez Hiparco.

Já no final do século IV surgia na Índia um conjunto de textos matemáticos,

o Siddhanta, cujo significado é sistemas de astronomia que revolucionou a

história da Trigonometria.

Os matemáticos e astrônomos em vez de seguir o Almajesto de Ptolomeu

que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais decidiram seguir

os hindus que apresentavam uma Trigonometria com base na relação entre metade

da corda com a metade do ângulo central, essa meia corda os hindus chamavam de

jiva que traduzida pelos árabes escreveram jiba que na língua árabe é comum

escrever apenas consoantes de uma palavra onde o leitor acrescia mentalmente as

vogais, os tradutores árabes registram jb.

E na tradução para o latim, o inglês Robert de Chester interpretou jb como

jaib que em latim significa baia ou enseada e escreve-se sinus(em português,

seno).

Nas revisões de literatura sobre o assunto vale ressaltar que:

Georg Von Peurbach (1460) usou um raio de 600 000 partes no cálculo de senos, e Regiomontanus, uma década depois, usou um raio de 6 000 000 de partes e posteriormente de 10 000 000 de partes. Rheticus (1550) repetiu esta precisão e tornou-se o primeiro europeu a descartar o raio e a usar as funções trigonométricas como razões entre lados de um triângulo retângulo. O seno e outras funções podiam assim ser concebidos como números puros em vez de comprimentos. Por volta de 1613, Pitiscus já publicara tábuas de senos com quinze casas decimais. Deve-se a Edmund Gunter (1620) o termo co-seno para o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em “co-sinus”, que logo foi modificado para cosinus – em português “co-seno”.(KENNEDY, 1992, p.40).

Enquanto os conceitos de seno e co-seno tiveram sua origem no contexto da

astronomia, tangente e co-tangente emergiram das necessidades mais modestas da

medição de alturas e distâncias.

A construção destes conceitos no decorrer dos séculos surgiu com as

necessidades do homem em calcular distâncias inacessíveis e se perpetuando pelos

tempos e atualmente trabalhados nas séries finais do ensino fundamental e nas

séries iniciais do ensino médio, embora trabalhado muito superficial não levando em

conta sua historicidade.

3.2 Aspectos construtivos e históricos no ensino da Matemática

Há muito os alunos vem perdendo o interesse pelo estudo, principalmente

na disciplina de Matemática, considerada por muitos uma grande vilã. Um dos

obstáculos que impedem o sucesso do ensino e aprendizagem desta disciplina

segundo Mendes (2009, p. 108) “diz respeito ao desinteresse dos estudantes com

relação ao modo como a Matemática é apresentada em sala de aula”. Pesquisas

mostram que uma das melhores maneiras de se aprender a Matemática em sala de

aula se faz através de um ensino prático e dinâmico pelos envolvidos no processo

de ensino e aprendizagem.

Outro obstáculo a ser superado segundo o autor, são os porquês

matemáticos que se ouve muito dos alunos em sala de aula, pois eles não

conseguem perceber qualquer familiaridade com alguns tópicos abordados durante

a aula com seu cotidiano. Para Mendes (2009, p. 109) ainda “a história pode ser

nossa grande aliada quanto a exploração desses porquês”, isto se conseguirmos

infiltrar às atividades de ensino e aprendizagem alguns aspectos históricos

necessários para solucionar esse obstáculo.

Procurando solucionar esses obstáculos o curso teve início justamente a

partir da história da trigonometria com atividades que fossem amarrando o conteúdo

de forma sequenciada conforme consta na Produção Didático-Pedagógica, pois

alguns professores só trabalham este conteúdo muito superficialmente ou tal qual

está no livro didático segundo depoimento de alguns e outros alegaram nunca ter

trabalhado pelo fato que estudaram muito pouco sobre o referido conteúdo em suas

graduações, ou seja, quase nada de trigonometria.

E sempre que possível recorrer a materiais manipulativos sem perder o foco

que a aprendizagem será alcançada a partir das experiências e reflexões dos

próprios alunos.

Para que o ensino de Matemática alcance esses objetivos, proporcionando aos estudantes oportunidades de desenvolverem habilidades e conhecimentos úteis e que os preparem, como homens comuns, para ter uma compreensão relacional do conhecimento matemático ensinado na escola, é necessário a utilização de uma metodologia que valorize a ação docente do professor, através de um ensino partindo do concreto para o abstrato. (MENDES, 2009, p.109).

3.3 Materiais didáticos e manipulativos e sua utilização na Trigonometria

As dificuldades encontradas por professores e alunos no processo ensino e

aprendizagem na disciplina de Matemática são grandes, em se tratando do aluno,

essa dificuldade é ainda maior, pois não consegue entender e compreender

conceitos que lhes são transmitidos pelo professor e este muitas vezes sente-se

incapacitado a tantas dificuldades, o qual não consegue atingir seus objetivos de

maneira satisfatória.

Isto muitas vezes ocorre pelo fato que muitos professores não são

licenciados para tal disciplina. Segundo Nacarato (2008, p. 19) “pesquisadores em

Educação Matemática vêm utilizando a expressão “professores que ensinam

matemática” para referir-se aos professores polivalentes”, a autora se refere aqueles

professores que lecionam várias disciplinas nas séries iniciais da educação básica

como, por exemplo, a disciplina de Matemática, visto não serem especialistas.

Sabe-se que isto não ocorre somente nas séries iniciais, mas, em todas as

séries da educação básica, muitas vezes por falta do professor licenciado,

principalmente na disciplina de Matemática, muitos acabam por ensinar da forma

que aprenderam na disciplina de currículo.

O objetivo deste trabalho foi demonstrar a utilização de alguns materiais

didáticos e manipuláveis em sala de aula como recursos didáticos para tornar as

aulas de Matemática mais atrativas e significativas no ensino e aprendizagem do

aluno.

Para isso, o professor deve ter clareza quanto ao uso desses materiais, ou

seja, ter conhecimento de como utilizar, para que este não se torne apenas um

brinquedo para o aluno.

Em função disso Lorenzato diz que:

Material didático (MD) é qualquer instrumento útil ao processo de ensino-aprendizagem. Portanto, MD pode ser um giz, uma calculadora, um filme, um livro, um quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, uma transparência, entre outros. [...] Por melhor que seja, o MD nunca ultrapassa a categoria de meio auxiliar de ensino, de alternativa metodológica à disposição do professor e do aluno, e, como tal, o MD não é garantia de um bom ensino, nem de uma aprendizagem significativa e não substitui o professor. (LORENZATO, 2006, p.18).

Em se tratando do conteúdo de Trigonometria nas séries finais da Educação

Básica o grau de dificuldade ainda é maior, devido a uma grande maioria dos

professores não terem conhecimento básico de Geometria, isto porque muitos não

tiveram esse conteúdo em sua formação docente. E como ensinar algo que não

aprenderam a seus alunos?

Antes de iniciar o estudo de Trigonometria é necessário que o professor

verifique antes o que o aluno tem de conhecimento sobre Geometria, pois muitos

não sabem nem como usar régua, transferidor e compasso que são instrumentos

necessários e úteis para compreender sobre o tema.

É fato que durante o decorrer do curso foi observado a falta de habilidade

em manusear o compasso e o transferidor por alguns cursistas, onde alegaram

nunca ter estudado a disciplina de desenho geométrico em sua época de

estudantes.

Muitas vezes o professor quando tem conhecimento científico precisa voltar

ou até mesmo ensinar o conteúdo de Geometria no que diz respeito à construção de

ângulos, semelhança de triângulos, etc., para que tenha êxito no conteúdo que vai

ensinar.

3.4 Noção de Ângulo

A palavra ângulo é usada corriqueiramente na matemática e no dia-a-dia

como: ângulo de visão, ângulo de posição, ângulo de inclinação, entre outras

segundo Mendes (2009, p.130).

3.4.1 Um pouco dos ângulos na história

De acordo com Mendes (2009, p. 132-133) a palavra Trigonometria originou

de três radicais gregos: tri (três), gonos (ângulos) e metrum (medir) que significa

medidas do triângulo. Tais medidas necessitam de um conhecimento básico de

ângulos de um triângulo e suas medidas.

A Trigonometria foi criada por astrônomos e topógrafos de diversos povos e

em diferentes períodos históricos, como os babilônios, árabes, gregos e hindus

devido à necessidade que tinham em relacionar distâncias com ângulos.

Na imaginação dos gregos antigos, a concepção da noção de ângulo, por

exemplo, “eram duas pessoas apontando para uma mesma estrela”, onde esta

estrela era o vértice do ângulo e cada pessoa apresentava uma direção para tentar

dar a ideia exata de ângulo, conforme a figura.

A B

Figura 1 Fonte: o autor

Já os babilônios antigos que viveram (4000 – 3000 a.C.) utilizavam os

ângulos nas construções ligadas a astronomia, a religiosidade, “bem como no

calendário das estações e da época do plantio”. Usavam

seu sistema de numeração sexagesimal no qual dividiam uma circunferência em seis partes iguais usando seu raio como medida padrão, seguindo-se de várias subdivisões até obter 360 partes (graus) geradas através das frações da medida do raio e talvez até, por influência do total de dias do ano (eles consideravam o ano com 360 dias). Dessa prática surgiu também as idéias básicas para a criação das medidas de minuto e segundo, pois o referido sistema de contagem, as frações sexagesimais, após traduções do grego para o árabe e em seguida, para o latim, tornaram-se as partes primae e partes minutae secundae das quais derivaram as palavras minuto e segundo.(MENDES, 2009, p.132).

O ângulo reto segundo Mendes (2009) surgiu da prática de medição dos

antigos, quando colocavam uma vara vertical em relação ao chão para medir altura

de objetos e comparavam as sombras projetadas que mais tarde tornara uma das

ideias básicas da geometria apresentada por Euclides, quando suscitou a ideia de

que duas retas que se cruzam formam ângulos iguais entre si e retos, formando

assim as perpendiculares. Surgindo aí as noções de ângulos agudos e obtusos para

os menores e maiores que o ângulo reto, considerando também as noções de

perpendicularismo.

Para compreensão de ângulos foi realizado atividades envolvendo medição

e classificação dos mesmos como sugestão para que o professor possa estar

iniciando a trigonometria com seus alunos.

3.5 Semelhanças dos Triângulos Imaginários

Em nosso dia-a-dia há certas situações em que precisamos efetuar

medições. Na maioria dessas medições podemos colocar o instrumento de medida

sobre a grandeza a ser medida. É o que fazemos para medir, por exemplo, o

comprimento de um terreno, a largura de uma mesa, a altura de uma porta, etc. Os

instrumentos podem ser a trena, a fita métrica, o metro de carpinteiro, régua, entre

outros.

Entretanto, nem sempre é possível aplicar estes instrumentos de medidas

apenas, como medir, por exemplo, a distância da Terra à Lua? A distância do Sol à

Terra? Como medir o raio da Terra?

3.5.1 Semelhança na história dos triângulos

Conforme Mendes (2009) foram os Gregos que efetivaram a medida da

altura dos objetos através de sua sombra. Essa experiência é contada

historicamente através de um dos feitos creditados a Tales de Mileto por volta de

600 a.C. em sua passagem pelo Egito quando foi abordado pelos escribas egípcios

a mando do Faraó para que ele calculasse a altura de uma pirâmide quadrangular.

Tales fez o seguinte, apoiou-se numa vara e esperou até o instante em que

de manhã a sombra da vara na vertical tivesse o mesmo comprimento da vara. Foi

então, que Tales pediu a um dos escribas que ali estava para medir depressa a

sombra da pirâmide mais a metade do comprimento da sua base, pois aquilo seria a

altura da pirâmide, a partir de uma vara, duas sombras e uma ideia.

Figura 2 Fonte: o autor

Para repetir o feito de Tales os cursistas saíram sala de aula para medir

alturas de objetos através das sombras de: árvores, postes de energia elétrica, o

prédio da escola, etc., e neste momento pensando no ensino noturno que é difícil

trabalhar com sombras, foi utilizado um espelho para determinar a semelhança de

triângulos e a proporcionalidade através da lei da reflexão de um raio de luz

conforme (Figura 3).

Figura 3 Fonte: o autor

3.6 A Trigonometria no Triângulo Retângulo

3.6.1 Razões Trigonométricas

Foram realizadas algumas atividades para introduzir o conceito de seno,

cosseno e tangente de um ângulo agudo como razões trigonométricas no triângulo

retângulo diferente de como a maioria dos livros didáticos trazem, para que o aluno

possa compreender melhor este conteúdo.

3.6.2 Um pouco de história das razões trigonométricas

Sem o domínio teórico das razões trigonométricas os babilônios e egípcios

da antiguidade já conheciam e faziam uso de alguns teoremas sobre razões entre os

lados de triângulos semelhantes. Porém, os gregos já haviam começado um

processo sistemático desse conhecimento, iniciando assim a elaboração da

trigonometria segundo Mendes (2009, p. 152).

Para o autor, não se tem muita certeza quando o uso sistemático do círculo

de 360° começou a fazer parte da Matemática, mas em grande parte deve-se a

Hiparco através de sua tabela de cordas e cuja influência teve origem na astronomia

babilônica construída a partir do sistema de numeração sexagesimal.

Foi onde surgiu, das necessidades em resolver alguns problemas inseridos

na astronomia, os termos seno e cosseno através da função corda que quer dizer

(reta que une dois pontos extremos de um arco de circunferência) estudados por

alguns gregos da era cristã.

De acordo com Guelli (1998, p. 58), os matemáticos e astrônomos em vez

de seguir o Almajesto,(a mais importante obra trigonométrica da antiguidade

composto por 13 livros denominada Síntese Matemática escrita por Ptolomeu de

Alexandria) que relacionava as cordas de um círculo com os ângulos centrais,

decidiram seguir os hindus que apresentavam uma Trigonometria com base na

relação entre metade da corda com metade do ângulo central que chamavam de

jiva que os árabes escreveram jiba na sua tradução e é comum eles escreverem

apenas consoantes de uma palavra e o leitor acrescentava mentalmente as vogais,

os tradutores árabes registraram jb e na tradução para o latim o inglês Robert de

Chester interpretou jb como jaib que significa baía ou enseada e escreve-se sinus

(em português, seno).

O termo co-seno para o seno do complemento de um ângulo deve-se a

Edmund Gunter (1620) onde ele sugeriu combinar os termos “complemento” e

“seno” em “co-sinus” que logo foi modificado para cosinus que em português quer

dizer “co-seno” segundo Kennedy (1992, p. 40).

Figura 4 Fonte: o autor

= /R= = sen , →Logo:

sen =

Que tal experimentarmos na prática?

Observe a Figura10 e determine a medida da corda HG e do raio R (HO);

Determine a razão entre a medida de HG e a medida do diâmetro;

Determine a razão entre a metade da metade de HG (HP) e a medida do

raio R(HO);

Determine outras razões existentes entre os segmentos representados na

figura construída por você (tente, por exemplo, entre OP e R; HP e OP entre

outras.

3.6.3 Variação do seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo

Para que houvesse uma boa compreensão da variação do seno, cosseno e

tangente de um ângulo foi feito a seguinte atividade:

Traçar no papel milimetrado os eixos de coordenadas x e y medindo 10 cm,

para isso usaremos como unidade de medida o decímetro.

Em seguida, desenhamos um ângulo de 30° conforme Figura 11 e

marquemos sobre um de seus lados, a partir do vértice, um segmento de reta OB de

comprimento 1 decímetro e pelo ponto B trace um segmento BE perpendicular ao

outro lado do ângulo.

E, do mesmo modo, desenhemos os ângulos de 45° a partir do vértice um

segmento OC e pelo ponto C tracemos o segmento CF e para o ângulo de 60° o

segmento OD e por D tracemos o segmento DG em seguida com o auxílio do

transferidor trace um arco ligando os vértices desses triângulos do eixo x ao eixo y.

Figura 5 Fonte: o autor

A seguir, pelo ponto B, desenhamos o segmento BE perpendicular ao outro

lado do ângulo. Sendo assim, temos:

sen 30°= = 0,5

cos 30°= =0,86

tg 30°= =0,56

Seguindo o mesmo critério, complete a tabela abaixo:

sen 45° =

cos 45° =

tg 45° =

Sen 60° =

cos 60° =

tg 60° =

Tabela 1 Fonte: o autor

A partir dessa atividade, mostrar aos alunos que o eixo x (eixo das

abscissas) representa no plano cartesiano o cosseno e o eixo y (eixo das

ordenadas) representa o seno e a reta perpendicular ao eixo x no ponto A

representa a tangente.

A Figura 5 permite representar graficamente o seno, cosseno e a tangente

de vários ângulos, todos juntos. Com essa representação podemos visualizar o

seno, cosseno e a tangente de todos os ângulos agudos.

Observe agora a Figura 6: nela, o arco de circunferência de centro O tem

raio 1 (neste caso, não importa a unidade).

Figura 6 Fonte: o autor

O ponto P está sobre o arco de circunferência. Se o ponto P caminha sobre

o arco, no sentido anti-horário, o ângulo a muda e podemos ver facilmente o que

acontece com cos a e seno a. É preciso que olhe para a Figura 6 e imagine o

deslocamento do ponto P para sentir o que acontece com o ângulo a,com seu

cosseno e o seu seno.

Se o ponto P percorre a circunferência no sentido horário, aproximando-se

do ponto Ao ângulo a diminui e o ponto Q também irá se aproximar do ponto A com

isso o cos a aumenta e o seno a diminui.

Agora se o ponto P percorre a circunferência no sentido anti-horário,

afastando-se de A faz com que o ângulo a aumenta e o ponto Q vai se aproximando

de O assim o cos a diminui e o seno a aumenta.

3.7 Trigonometria no Círculo

3.7.1 Um pouco de história

Atualmente os livros didáticos apresentam as tábuas trigonométricas

prontas, no entanto, o autor nos desafia a construir nossa própria tabela e comparar

com aquelas já existentes.

Para realizar esta atividade foi feito a construção do Ciclo Trigonométrico.

Aqui optou-se por construir o ciclo trigonométrico com valores decimais devido às

dificuldades que os alunos encontram em trabalhar com esses números e para que

o professor possa mostrar de onde vem aquela tabela com tais valores.

Figura 7 Fonte: o autor

O procedimento de como foi feito essa construção encontra-se na Produção

Didático-Pedagógica.

3.8 Funções Trigonométricas Circulares

As funções circulares na trigonometria são de fundamental importância

devido à sua periodicidade, pois representam fenômenos naturais periódicos, como:

variações da temperatura terrestre, pressão sanguínea no coração, comportamento

ondulatório do som, etc.

Obviamente hoje em dia não tem necessidade o professor ficar explorando a

construção gráfica dos alunos de forma manual, pois existem alguns softwares que

fazem este trabalho.

Porém, é necessário que o professor ainda faça a demonstração manual

para que o aluno possa compreender como era e ainda é feito essa construção.

Uma maneira encontrada de construir gráficos das funções circulares de

forma menos desinteressante para o aluno é através do ciclo trigonométrico

construído no material manipulativo, conforme os gráficos que foram construídos

utilizando pedaços de barbante coloridos, canetas ou lápis de cor.

Gráfico1: f(x)= sen(x)

Fonte: o autor

Depois de construir o gráfico o professor pode ir explicando sobre o domínio

da função f(x)= sen(x); sobre a imagem,porque ela está no intervalo de –1 < y < 1;

porque o período da função, neste caso é 2π; o sinal da função em quais

quadrantes é positivo e em quais quadrantes é negativo e em quais quadrantes a

função é crescente e em quais quadrantes são decrescente.

Gráfico 2: f(x)= cos(x) Fonte: o autor

O mesmo procedimento que foi feito com a função seno.

Gráfico 3:f(x)= tg(x) Fonte: o autor

Na função tangente além do professor fazer todos os procedimentos como

nos gráficos anteriores, aproveitar e perguntar aos alunos porque não existem as

tangentes de 90° e 270°.

4 Considerações Finais

Sabe-se que mudar a prática pedagógica para alguns professores é um

desafio muito grande, para isto, é necessário rever alguns conceitos de ensino e

aprendizagem. Conforme o curso foi se desenvolvendo também foram surgindo

algumas dificuldades por parte de alguns professores, os quais foram relatando

nunca ter trabalhado o conteúdo de Trigonometria em suas aulas pelo fato que, na

época de suas formação acadêmica não aprenderam e por isso se sentiam

inseguros em aplicar tal conteúdo a seus alunos, tais relatos foram de suma

importância, pois a partir deles passamos a desenvolver o curso de maneira que

todos os envolvidos pudessem compreender e ter uma nova visão de como ensinar

trigonometria de maneira signitificativa e prazerosa tanto para quem ensina como

para quem aprende.

Como professor PDE tive uma experiência grandiosa percebendo nos

professores de Matemática participantes deste curso e de minha tutoria no Grupo de

Trabalho em Rede (GTR) um entusiasmo quanto ao ensino de Trigonometria com o

uso do Material Didático e Manipulativo e atividades envolvendo conteúdo de

trigonometria e um pouco de sua história através da História da Matemática.

Ficou evidente que o professor espera participar de formação continuada de

forma prática e contextualizada através de oficinas com trocas de experiências entre

professores da mesma Escola, Município ou Núcleo Regional de Educação,

principalmente nas Semanas Pedagógicas das escolas onde terão a oportunidade

de aprender novas tendências metodológicas para o ensino da matemática o

possibilitará tornar suas aulas mais atrativas, significativas e prazerosas para todos

os envolvidos nos processos de ensino e aprendizagem.

Conclui-se que os professores de Matemática, deste município, que

participaram deste curso construindo seu próprio material didático e manipulativo e

fazendo uso destes na aplicação das atividades propostas na Produção Didático-

Pedagógica obtiveram uma aprendizagem bastante significativa, pois puderam tirar

as dúvidas existentes da forma de ensinar Trigonometria através da História da

Matemática.

5 Referências

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