Derivadas Aplicações

CÁ L C U L O D I F E R E N C I A L E IN T E G R A L I – A P L I C A Ç Õ E S D E DE R I V A D A S

1. MÁ X I M O S E M Í N I M O S

Definições

Seja f uma função definida em um intervalo S pertencente aos reais.Seja c um número pertencente ao intervalo S.

Mas uma função pode ter vários pontos com comportamento de máximo ou mínimo. Nestes casos é delimitado o intervalo a ser verificado.

- Em temos mínimos relativos;

- Em temos máximos relativos;- Em temos o mínimo absoluto, em [a, f];- Em temos o máximo absoluto, em [a, f];

Professora Simone Leal Schwertl

1

(i) A imagem de c, f(c), é o valor mínimo de f em S, se para todo .

(ii) A imagem de c, f(c), é o valor máximo de f em S, se para todo .

f(c)

a c b

f(c)

a c b

f(a)

f(b)

f(c)

f(d)

f(e)

f(f)

a b c d e f

Existem funções que possuem apenas um ponto de máximo ou um ponto de mínimo, ou ainda funções que não possuem nem ponto de máximo e nem ponto de mínimo.

Observamos que os pontos de máximo e mínimo a reta tangente a curva dada é paralela ao eixo x, e portanto seu coeficiente angular a, calculado pela derivada da função, será zero. Desta forma, podemos colocar que se em x = c temos um ponto de máximo ou de mínimo de uma função, então f’(c) = 0. O ponto da função onde x = c será chamado de ponto crítico.

Aplicação1. Determine o vértice das parábolas usando a derivada primeira.

(a) (b)

2. Verificar se a função tem pontos de máximo e ou de mínimo.

1.1 C O M O C L A S S I F I C A R U M P O N T O C R Í T I C O D E U M A F U N Ç Ã O E M P O N T O D E M Á X I M O O U M Í N I M O

Conceitos Básicos


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(i) Tem ponto de máximo ou mínimo.

(i) Não tem ponto de máximo nem mínimo.

y = a.xy

x x

y

y = a.x + b

x

y

x

y

cbxaxy 2 cbxaxy 2

Seja f uma função definida em um intervalo I, e sejam x1 e x2 números pertencentes ao intervalo I.

(vi) A função f é dita constante em I se para

1.2 C R I T É R I O S P A R A D E T E R M I N A R P O N T O S D E M Á X I M O E M Í N I M O


3

f(x1)

f(x2)

x1 x2

f(x1)

f(x2)

x1 x2

(iii) A função f é dita crescente em I se quando para .

(iv) A função f é dita decrescente em I se quando para .

21 xfxf

x1 x2

1. CR I T É R I O D A P R I M E I R A D E R I V A D A

Seja um ponto crítico ou seja f’(c) = 0.

Exemplos:1. Dadas as funções abaixo, determine:

- os pontos críticos das funções dadas;- o intervalo de crescimento e ou de decrescimento;- classifique os pontos críticos em máximo ou mínimo.

a)b)

2. CR I T É R I O D A S E G U N D A D E R I V A D A


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(i) Se f ’(x) > 0 para x > c e f ’(x) < 0 para x < c, então em c temos um ponto de mínimo.

(i) Se f ’(x) < 0 para x > c e f ’(x) > 0 para x < c, então em c temos um ponto de máximo.

-f ’(x1) < 0

+f’(x2) > 0

x1 x2c

decresce cresce

+f’(x1) > 0

-f ’(x2) < 0

x1 x2c

cresce decresce

Seja f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto crítico, ou seja, f’(c) = 0, neste intervalo com a < c < b. Se f admite segunda derivada (f’’) em (a, b) então temos:

- f’’(c) < 0 a função f tem um ponto de máximo relativo em c;- f’’(c) > 0 a função f tem um ponto de mínimo relativo em c;

Exemplo:

Exemplos – Problemas de maximização e minimização

1. O Departamento de Estradas de determinada cidade planeja construir uma área de recreação para motoristas junto a uma de suas principais estradas. A área deverá ser retangular, com 5000 , e cercada nos três lados não adjacentes à estrada. Qual será a menor quantidade de cerca necessária para cercar a área conforme o projeto? R:

2. Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas sem tampa de pedaços de quadrados de papelão com 30 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos virando para cima os lados.

a) Se x cm é o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, expresse o número de centímetros cúbicos do volume da caixa como função de x.

b) Ache o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, para se obter uma caixa com o maior volume. R: 2.

c) Determine o máximo volume. R:

3. Um terreno retangular às margens de um rio deve ser cercado por todos os lados, menos ao longo do rio. O material para a cerca custa $ 12,00 por metro no lado paralelo ao rio e $ 8,00 por metro nos outros dois lados; $ 3.600,00 devem ser gastos para fazer a cerca.

a) Se x m é o comprimento de um lado não paralelo ao rio, expresse como função de x o número de metros da área do terreno.

b) Ache as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com $ 3.600,00. R:

4. Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 . A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído o galpão. R:

5. Uma rede de água potável ligará uma centra de abastecimento situada a margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da mão de obra através do rio é de 64 reais por metro enquanto em terra custa 32 reais por metro. Qual é a


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forma mais econômica de se instalar a rede de água potável. (ver figura na pagina seguinte)

2. D I F E R E N C I A L E AC R É S C I M O

2.1 Acréscimo

Seja y = f(x) uma função- Acréscimo de x: é a variação da variável x, chamada de .

- Acréscimo de y: se existe uma variação de x, é fácil observar que haverá uma variação de y, chamada de acréscimo de y, .

Exemplos:1. Qual a variação na área de um quadrado quando o seu lado passa de 2 para 4

cm?2. Calcular o acréscimo , para x = 3 e na função .

2.2 Diferencial


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x1 x2

f(x1)

f(x2)

x

y

RIO

central de abastecimento

500 m

2000 m

2000 - x x

Conj. Res.

Seja y = f(x) uma função derivável e um acréscimo da variável x:

- A diferencial de x é dx e ;- A diferencial de y é dy e .

Como , então:

(quociente entre dois diferenciais)

Interpretação Geométrica

coeficiente angular

e como , então:

Observamos que quanto menor é , mais próximos ficam os valores de e dy.

No exemplo 1, temos:


7

x

y

f(x2)

f(x1)

x1 x2

Q

R

MP

x

y Por definição

por acréscimo

por diferencial

Vemos que e Se fizermos a variação de área quando x varia de 2 para 2,1, teremos:

por acréscimo:

por diferencial:

Concluímos que e dy calculam uma variação na função, quando x (variável independente) varia de x1 para x2. E que quando essa variação de x chamada de é muito pequena, .

Exemplo:3. Dado , calcular e dy.(a) para qualquer valor de x e de ;(b) para x = 2 e = 0,1;(c) para x = 2 e = 0,01;(d) para x = 2 e = 0,001;

(a)

acréscimo:

como

diferencial:

x x y dy2 0,1 1,34 1,32 0,01 0,1304 0,13


8

2 0,001 0,013004 0,013

Observamos que quando menor o x, .

Exemplos (aplicações):

1. Obter o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m.

2. A medida da aresta de um cubo é encontrado como sendo 15 cm, com uma possibilidade de erro de 0,01 cm. Usando diferenciais, encontre o erro aproximado, usando esta medida no cálculo de:

(a) Volume;(b) Área de uma das faces.

3. VE L O C I D A D E E A C E L E R A Ç Ã O

velocidade e aceleração são conceitos que todos nós conhecemos. Quando dirigimos um carro, podemos medir a distância percorrida num certo intervalo de tempo. O velocímetro marca, a cada instante, a velocidade. Se pisamos no acelerador ou no freio, percebemos que a velocidade muda. Sentimos a aceleração.

Mostraremos que podemos calcular a velocidade e a aceleração através de derivadas.

3.1 Velocidade

Suponhamos que um corpo se move em linha reta e que s = s(t) represente o espaço percorrido pelo móvel até o instante t. Então, no intervalo de tempo entre t e , o corpo sofre um deslocamento

.

Definimos a velocidade média nesse intervalo de tempo como o quociente

isto é, a velocidade média é o quociente do espaço percorrido pelo tempo gasto em percorrê-lo.

De forma geral, a velocidade média nada nos diz sobre a velocidade do corpo no instante t. Para obtermos a velocidade instantânea do corpo no instante t, calculamos sua velocidade média em instantes de tempo cada vez menores. A velocidade instantânea, ou velocidade no instante t é o limite das velocidades médias quando se aproxima de zero, isto é,


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Como já vimos no capítulo anterior, esse limite é a derivada da função s = s(t) em relação a t. Por tanto:

3.2 Aceleração

O conceito de aceleração é introduzido de maneira análoga ao de velocidade.A aceleração média no intervalo de tempo de t até é dada por

Observamos que ela mede a variação da velocidade do corpo por unidade de tempo no intervalo de tempo . Para obtermos a aceleração do corpo no instante t, tomamos sua aceleração média em intervalos de tempo cada vez menores. A aceleração instantânea o limite

Logo, a derivada da velocidade nos dá a aceleração. Como v(t) = s’(t) , temos a(t) = v’(t) = s’’(t).

3.3 Exemplos

1) No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por . Determinar:

(a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2, 4];(b) a velocidade do corpo no instante t = 2;(c) a aceleração média no intervalo [0, 4];(d) a aceleração no instante t = 4.

4. TA X A D E VA R I A Ç Ã O

No capítulo anterior vimos que quando um corpo se move em linha reta de acordo com a equação do movimento s = s(t), a sua velocidade é dada por v = s’(t).

Sabemos que a velocidade representa a razão de variação do deslocamento por unidade de variação do tempo. Assim, a derivada s’(t) é a taxa de variação da função s(t) por unidade de variação t.

O mesmo ocorre com a aceleração que é dada por a(t) = v’(t). Ela representa a razão de variação da velocidade v(t) por unidade de variação do tempo t.


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Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação. Dada uma função y = f(x), quando a variável independente varia de x a , a correspondente variação de y

será . O quociente representa a

taxa média de variação de y em relação a x.

A derivada é a

taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x.A interpretação da derivada como uma razão de variação tem aplicações práticas nas

mais diversas ciências. Vejamos alguns exemplos.

Exemplos

1. Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da

epidemia) é, aproximadamente, dado por .

(a) Qual a taxa de variação média da expansão da epidemia do terceiro para o quinto dia ?

(b) Qual a taxa de variação da expansão da epidemia no tempo t = 4 ?(c) Qual a taxa de variação da expansão da epidemia no tempo t = 8 ?(d) Qual o número de pessoas atingidas pela epidemia após o primeiro dia ?

2 . Um reservatório está sendo esvaziado para limpeza. A quantidade de água no reservatório, em litros, t horas após o escoamento ter começado é dada por V = 50(80-t)2. Determinar:

a) A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento.

b) A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento.

c) A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento.

5. RE G R A D A C A D E I A

Suponha que y seja uma função derivável de u e u uma função derivável de x . Então y é uma função composta de x e

Isto é, a derivada de y em relação a x é a derivada de y em relação a u vezes a derivada de u em relação a x.


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Exemplos:

1. O raio de uma circunferência cresce à razão de 21cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da circunferência em relação ao tempo?

2. Acumula-se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m?

6 . RE G R A D E . .L’H O S P I T A L


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