EX E R C Í C I O S – AP L I C A Ç Õ E S D E DE R I V A D A S

1) A função nos dá o lucro de um fabricante de canetas de acordo com o preço x de venda. Qual será o preço para se obter o lucro máximo? Qual será o lucro máximo?

2) Um carpinteiro pode construir estantes a um custo de 40 u.m. cada. Se o carpinteiro vender as estantes por x u.m. cada, calcula-se que (300 – 2x) estantes serão vendidas por mês.

a) Expresse o lucro mensal y do carpinteiro como função do preço x.Dado: Lucro = Receita – Custob) Calcule o preço de venda x para que o lucro mensal y seja máximo.c) Calcule o valor do lucro mensal máximo.d) Construa o gráfico da função lucro mensal

3) Um terreno retangular às margens de um rio deve ser cercado por todos os lados menos um, ao longo do rio. O material para a cerca custa 12 u.m. por metro do lado paralelo ao rio e 8 u.m. por metro nos outros dois lados. Dispõe-se de 3.600 u.m. para gastar com a cerca.

a) Se x metros é o comprimento de um lado não paralelo ao rio e y metros é o comprimento do lado paralelo ao rio, então expresse como função de x o número de metros quadrados da área de terreno.

b) Use a função área encontrada acima para determinar as dimensões do terreno de maior área que se pode cercar com 3.600 u.m..

Custo total = soma dos custos de cada lado = 3.600

4) Uma caixa fechada com base quadrada deve apresentar um volume de 2.000 cm 3. O material para a tampa e fundo da caixa custa 3 u.m. por cm2, enquanto que o material para os lados custa 1,5 u.m. por cm2.

a) Se x cm for o comprimento de um lado do quadrado da base e y cm for a altura da caixa, então expresse o custo do material como função de x.

b) Use a função custo encontrada acima para determinar as dimensões da caixa para as quais o custo do material seja mínimo.

Custo = soma dos custos de cada lado.

5) Se uma lata de zinco de volume cm3 deve ter a forma de um cilindro, ache a altura e o raio para que o material usado na sua fabricação seja mínimo.

Dado:

6) Uma folha de papel contém 396 cm2 de matéria impressa com margem superior de 3,5 cm, margem inferior de 2 cm, margem lateral diteira de 2 cm e margem lateral esquerda de 2,5 cm. Determine quais devem ser as dimensões da folha de papel para que haja o máximo de economia de papel, isto é, para que a área seja mínima.

Dado: Área = largura . comprimento

7) Um fazendeiro tem 24 metros de cerca para construir dois chiqueiros retangulares de dimensões x e y, com um lado comum x. Sabe-se que os dois chiqueiros deverão ter a mesma área e o mesmo perímetro. Determine as dimensões x e y, de forma que a área de cada chiqueiro seja máxima.

Dado: Área = x.yPerímetro = soma das medidas dos lados

não precisa cercar

y

x xA = x.y

y

xx

r

h

8) Uma bola de neve é formada de tal modo que seu raio aumenta na razão de 0,05 cm/s. Calcule a taxa de variação do volume quando o raio for 8 cm.

Dado: (volume de uma esfera)

9) Encontre a taxa de variação do raio de uma circunferência, sabendo que seu comprimento aumenta à razão de 36 cm/s.

Dado: C = (comprimento da circunferência)

10) A areia que escoa de uma calha forma um monte de forma cônica, cuja altura é sempre igual a metade do raio da base. Calcule a taxa de variação do raio quando este for 1,8 m e o volume estiver aumentando na razão de 4,86 m3/s.

Dado: (volume de um cone)

11) Deixa-se cair areia à razão de 20,25 cm3/s, formando uma pilha cônica, cujo raio é igual a um terço da altura. Encontre a variação da altura quando esta for 81 cm.

Dado: (volume de um cone)

12) Um reservatório cilíndrico está sendo cheio com óleo à razão de 4,5 m3/min. Sabendo-se que a altura do reservatório é igual ao sêxtuplo do diâmetro da base do cilindro, determine a rapidez com que se elevará o nível do óleo (taxa de variação da altura), quando o óleo estiver a 6 m do fundo do reservatório.

Dado: (volume de um cilindro) d = 2r

13) Se a pressão P e o volume V de um certo gás estão relacionados pela fórmula ,

determine a taxa de variação de P em relação a V, quando o volume for igual a 2.

14) Um capacitor de um circuito elétrico é um aparelho para armazenar carga elétrica. Se a quantidade de carga elétrica num dado capacitor num instante t for coulombs, determine a corrente I(t) no circuito quanto t = 4s.

Dado:

15) Um terreno, em desapropriação para reforma agrária, tem a forma de um quadrado. Calcula-se que cada um dos seus lados mede 1200 metros, com um erro máximo de 10 metros. Calcule o possível erro no cálculo da área do terreno, usando diferencial.

Dado: dA = A . dL

16) Um pintor é contratado para pintar ambos os lados de três paredes quadradas com 4 metros de lado. Ao iniciar a pintura constatou que os lados das paredes tinham 4 cm a mais. Usando diferencial, encontre o aumento de tinta a ser usada.

Dado: dA = A . dL

17) De um pedaço de papelão com forma quadrada, corta-se 0,1 cm de dois lados consecutivos, mantendo-se assim a forma quadrada. Se o lado do papelão media 150 cm, use diferenciais para encontrar a variação da área provocada por este corte.

Dado: A = L2

18) Calcule os limites indicados:

a)

b)

c)

d)

e)

RE S P O S T A S

1)

2) b) x = 95 u.m. c) y = 6050 u.m.

3) y = 150 m x = 112,5 m

4) x = 10 cm y = 20 cm

5) r = 2 cm h = 4 cm

6)

7)

8) cm3/s

9) cm/s

10) m/s

11) cm/s

12) m/s

13) –0,25

14) ampéres

15) dA = m2

16)

17) dA = -30 cm2

18)